PROYECTO DE INVESTIGACION por Universidad Nacional del

PROYECTO DE INVESTIGACION por Universidad Nacional del Callao se encuentra bajo
una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivadas 2.5 Perú.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA PESQUERA Y DE ALIMENTOS
INFORME FINAL DEL
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
“TEXTO: MATEMÁTICA III PARA ESTUDIANTES DE
INGENIERÍA”.
Lic. Segundo Agustín García Flores
(Del 01 de mayo del 2012 al 30 de Abril del 2014)
(Resolución Rectoral N° 0460-2012-R)
Callao, 2014
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a) ÍNDICE
Página
b) RESUMEN
09
c) INTRODUCCION
10
d) MARCO TEORICO
14
CAPITULO I
1. RECTAS Y PLANOS
1.1 Introducción a los vectores
14
14
1.1.1 Vector
15
1.1.2 Igualdad de vectores
17
1.1.3 Operaciones con vectores
19
1.1.4 Ortogonalidad de vectores
21
1.1.5 Producto escalar (o interno) entre dos vectores
21
1.1.6 Ángulo entre dos vectores
23
1.1.7 Producto vectorial entre dos vectores
24
1.1.8 Triple producto escalar
26
1.1.9 Triple producto vectorial
27
1.2 La recta y sus ecuaciones
30
1.2.1 Ecuaciones de la recta
30
1.2.2 Ángulo que forman dos rectas
33
1.2.3 Intersección de dos rectas
34
1.2.4 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
35
1.2.5 Distancia de un punto a una recta
35
1.3 El plano y sus ecuaciones
37
1.3.1 Ecuaciones del plano
37
1.3.2 Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio
41
1.3.3 Plano paralelo a dos rectas
42
1.3.4 Recta definida por dos planos
42
1.3.5 Ángulo que forman dos planos
44
1.3.6 Angulo que forman recta y plano
45
1.3.7 Distancia de un punto a un plano
47
1.3.8 Distancia entre dos rectas paralelas
49
1.3.9 Distancia (mínima) entre dos rectas que se cruzan
51
1.3.10 Distancia de una recta a un plano
53
1.3.11 Distancia entre dos planos
54
1.4 Práctica Nº 01
56
CAPITULO II
2. FUNCIONES VECTORIALES
2.1 Funciones vectoriales de variable real
64
64
2.1.1 Definición. Dominio y rango
65
2.1.2 Operaciones con funciones vectoriales
68
2.1.3 Límite y continuidad
70
2.1.4 Derivación
75
2.1.5 Integración
79
2.2 Práctica Nº 02
83
CAPITULO III
3. CURVAS
3.1 Parametrización de una curva
87
87
3.1.1 Curva parametrizada
87
3.1.2 Curva regular
90
3.2 Reparametrización de una curva regular
91
3.3 Longitud de arco de una curva
93
3.4 Tangente unitaria, normal principal y vector binormal
94
3.5 Planos: osculador, normal y rectificante
96
3.6 Curvatura y torsión
98
3.6.1 Curvatura
3.6.2 Torsión
3.7 Práctica Nº 03
99
101
104
CAPITULO IV
4. SUPERFICIES
4.1 Superficie y su gráfica
108
108
4.1.1 Introducción
108
4.1.2 Definición de superficie
111
4.1.3 Discusión de la ecuación de una superficie
111
4.2 Superficies cuádricas
118
4.3 Práctica Nº 04
130
CAPITULO V
5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
133
5.1 Funciones reales de varias variables
133
5.1.1 Definición. Dominio y rango
134
5.1.2 Operaciones con funciones de varias variables
140
5.2 Curvas y superficies de nivel
142
5.2.1 Curvas de nivel
142
5.2.2 Superficie de nivel
150
5.3 Límite y continuidad
5.3.1 Conjuntos abiertos y cerrados en
151
n
151
5.3.2 Límite
155
5.3.3 Continuidad
162
5.4 Derivadas parciales
164
5.4.1 Definición e interpretación geométrica
164
5.4.2 Derivadas parciales de orden superior
167
5.4.3 Derivadas direccionales
170
5.4.4 Derivada de la función compuesta
172
5.4.5 Derivación implícita
174
5.4.6 Diferencial de una función escalar
175
5.5 Práctica Nº05
179
5.6 Práctica Nº06
185
5.7 Gradiente de una función
192
5.8 Máximos y mínimos en funciones de varias variables
195
5.8.1 Definición de extremos relativos
195
5.8.2 Punto silla
197
5.8.3. Condición suficiente de extremo (matriz Hessiana)
197
5.8.4 Criterio de las derivadas segundas
198
5.9 Valores extremos condicionados
5.9.1 Método de multiplicadores de LaGrange
5.10 Práctica Nº07
204
205
209
CAPITULO VI
6. LA INTEGRAL DOBLE
215
6.1 La integral doble sobre un rectángulo
215
6.2 Función integrable
216
6.2.1 Definición de integral doble
216
6.2.2 Propiedades de la integral
217
6.3 Integrales iteradas. Teorema de Fubini
6.4 Integrales sobre recintos estándar de R2
6.5 Cambio de variable en integrales dobles
6.5.1 Integrales dobles en coordenadas polares
6.6 Práctica Nº08
220
222
224
229
231
CAPITULO VII
7. LA INTEGRAL TRIPLE
7.1 Integrales triples: definición y propiedades
236
236
7.2 Cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas 238
7.3 Cambio de variables en las integrales triples
242
7.3.1 Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas
244
7.3.2 Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas
246
7.4 Aplicaciones de la Integral triple
248
7.5 Práctica Nº09
252
CAPITULO VIII
8. LA INTEGRAL DE LINEA
254
8.1 Definición y propiedades fundamentales
254
8.2 Independencia de las trayectorias
258
8.3 Teorema de Green
260
8.4 Practica Nº10
265
CAPITULO IX
9. INTEGRAL DE SUPERFICIE
9.1 Conceptos de funciones vectoriales de varias variables
269
269
9.1.1 Limite y continuidad
270
9.1.2 Derivadas parciales
271
9.2 La integral de superficie
273
9.2.1 Superficie parametrizada
273
9.2.2 Vectores normales y planos tangentes
275
9.2.3 Área de una superficie paramétrica
277
9.2.4 Definición de integral de superficie
279
9.2.5 Orientación de una superficie
285
9.3 Práctica Nº11
286
CAPITULO X
10. OPERADORES DIFERENCIALES
10.1 Operadores diferenciales en
289
289
10.1.1 Gradiente de un campo escalar
289
10.1.2 Divergencia de un campo escalar
289
10.1.3 Rotacional de un campo vectorial
290
10.1.4 Algunas relaciones entre operadores
291
10.2 Teorema de Divergencia de Gauss
293
10.2.1 Teorema e interpretación física
293
10.2.2 Algunas consideraciones prácticas
294
10.3 Teorema de Stokes
10.3.1 Teorema e interpretación física
302
302
10.4 Práctica Nº12
306
e) MATERIALES Y METODOS
310
f) RESULTADOS
311
g) DISCUSION
312
h) REFERENCIALES
313
i) APENDICE
315
Integral de Riemann
315
 La integral como límite de sumas
316
 Propiedades de la integral definida
319
Teorema de valor medio para integrales
321
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
322
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
324
b). RESUMEN
La idea central en la redacción del “Texto: Matemática III para
estudiantes de Ingeniería”, es hacer una presentación ordenada, secuencial en
el sentido de la complejidad de los contenidos, didáctica y sencilla, pero sin
perder formalidad, de los principales temas que componen el silabo de la
asignatura en la Facultad de Ingeniería Pesquera y de Alimentos.
El texto está organizado en 10 capítulos, con 139 ejemplos didácticos,
que cubren la temática del Cálculo diferencial e integral de varias variables
contenido en el silabo del curso. Asimismo, se incluyen 12 prácticas de final de
capitulo conteniendo 523 ejercicios seleccionados y propuestos que permiten
reforzar y profundizar los ejemplos y temas expuestos.
En el Apéndice se presenta de una manera formal algunos resultados de
integral definida, como los teoremas fundamentales del cálculo que son
saberes previos a Matemática III muy necesarios para entender este material