Revista Ingenieria UC - Facultad de Ingeniería

Revista INGENIERÍA UC
ISSN 1316-6832
Deposito Legal pp 92.0200
Órgano de Divulgación Científica y Tecnológica
Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo
Valencia - Venezuela
Indizada en:
REVENCYT (Venezuela)
Actualidad Iberoamericana (CIT-Chile)
IEE/INSPEC (United Kingdom, UK )
Se publica un Volumen anual en tres números:
Abril, Agosto y Diciembre
Incluida en:
Ulrich’s International Periodicals Directory (USA)
Comité Editorial
Editor Jefe
Dr. Edilberto Guevara P.
Dr. Antonino Caralli
Dra. Zulay Niño
Dr. Alfredo Varela
Director
Dr. Francisco J. Arteaga
Dr. Mario Petrizzelli
Dr. Sergio Pérez
Dr. Eduardo Lujano
Dr. Luis Vallés
Dr. Carlos Villanueva
Dr. Pablo Baricelli
Comité Técnico*
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Universidad Simón Bolívar, Venezuela
Universidad Simón Bolívar, Venezuela
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Dr. Fernando Mora, USB
Universidad Simón Bolívar, Venezuela
Universidad Simón Bolívar, Venezuela
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Universidad de Carabobo, Venezuela
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Dr. Guillermo Montilla, UC
Universidad del Zulia, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
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Dra. Jaqueline Loyo de Sardi, UC
Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela.
Ing. Wilmer Sanz F., M.Sc., UC
Dr. German Larrazabal, UC
Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
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Dr. José Antonio Díaz, UC
Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
Ing. Edwin Peña, M.Sc., UC
Ing. Demetrio Rey Lago, M.Sc, UC
Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
Ing. Laura Sáenz, M.Sc., UC
Ing. Teodoro García, M.Sc. UC
Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
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Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
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Universidad de Oriente, Venezuela
Universidad de Carabobo, Venezuela
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Universidad de Carabobo, Venezuela
Universidad de Carabobo
Diseño y Diagramación: Ing. Luis Obediente y
Br. Jesús Villarroel Mathie
Diseño de Portada: Lic. Betzy Y. Padrón R.
Impreso en: Publicaciones Facultad de Ingeniería
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
CONSEJO DE DESARROLLO
CIENTÍFICO Y HUMANÍSTICO
VALENCIA-VENEZUELA
*Lista parcial
Revista INGENIERÍA UC
Órgano de Divulgación Científica y Tecnológica
Facultad de Ingeniería
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
Vol. 10, Nº 3
Valencia - Venezuela
ISSN 1316-6832
Diciembre 2003
Contenido
Revista INGENIERÍA UC
Vol. 10, Nº 3, Diciembre 2003
5 Editorial
7 Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz basado en el
espectrograma
Robust algorithm for the detection of the voice fundamental frequency based on the spectrogram
J. Díaz, C. Sapienza, H. Rothman, Y. Natour
17 Una metodología general para la optimización paramétrica de un controlador de estructura
predeterminada en Matlab-Simulink
A general methodology for the parametric optimization of a predetermined structure controller in MatlabSimulink
A. Romero
28 Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60 laminado en frío y
sometido a un tratamiento térmico de recocido
Evaluation of the mechanical performance of a microalloyed stainless steel type X-60 cold deformation
and recovery thermal treatment
C. Angarita, P. Moewis, L. Sáenz
37 Determinación de la disminución del rendimiento global de una bomba centrífuga por concepto
de desgaste en su carcasa
Determination of the global yield decrease of a centrifugal pump due to casing wear
L. Vallés, T. Cortez
50 Estabilización de un sistema de suspensión magnética aplicando una forma canónica Hamiltoniana
de pasividad y linealización exacta por realimentación
Stabilization of a magnetic suspension system by application of a Hamiltonian canonical passivity form
and exact feedback linealization technique
F. Arteaga, A. Morillo, L. Obediente
59 Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana actual con códigos sísmicos de otros
países
Comparative study of the present Venezuelan seismic code with seismic codes of other countries
F. Lanza S., S. Puentes M., F. Villalobos
67 Determinación de la distribución de esfuerzos y sus influencias durante la vida útil del sello para la
bomba KSB ETA 32-200.
Determination of stress distribution and its influences during the seal’s useful life for the pump KSB ETA
32-200.
L. Vallés, L. Michieli, A. Salguero
80 Métodos evolutivos en problemas de optimización
Evolutionay methods for optimization problems
E. Alba, M. Laguna, R. Martí
90 Dispositivo inteligente de ultrasonido para construir un mapa de entorno
Intelligent ultrasound device to build an environment map
V. Campos, L. Doré, A. Alfonsi
99 Diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples dominios acotados con el
método de factorización
Algorithms design for simultaneous stabilization with multiple bounded domains using factorization
approach
F. Arteaga, M. Contramaestre, M. Vizcaya, G. Beale, A. Morillo.
115 Índice de números anteriores
119 Índice de autores (Author Index)
120 Índice de materias
121 Subject Index
REVISTA INGENIERÍA UC
Editorial
El año 2003 se ha convertido en un año de alcances y logros de alto impacto y trascendencia para nuestra
Revista INGENIERÍA UC. En primer lugar, se ha consolidado en el índice nacional de Revistas Venezolanas de
Ciencia y Tecnología, REVENCYT, reflejado en el número del mes de Agosto. En segundo lugar, nos sentimos
realmente muy complacidos de comunicarles que, a partir de este número, la misma está registrada a nivel internacional en el índice ACTUALIDAD IBEROAMERICANA (Centro de Información Tecnológica, CIT de Chile)
y en el “Institution of Electrical Engineers”, IEE/INSPEC (Reino Unido). Asimismo, ha sido incluida en el
ULRICH´s Internacional Periodicals Directory (USA). Se ha recibido la aprobación vía correo electrónico y el
permiso para colocar la información sobre estas indizaciones a partir de este número 3, correspondiente al mes de
diciembre, quedando en espera de una correspondencia vía correo postal. Con todos estos logros y según las normas del Programa de Promoción al Investigador, PPI, un artículo en la Revista INGENIERÍA UC pasa a ser considerado equivalente a una publicación del Tipo B, ya que posee al menos un Índice Internacional. Una publicación en ésta también es válida para los reconocimientos de la Comisión Nacional de Bonificación Académica,
CONABA, y el Programa de Estímulo al Investigador, PEI-UC. Con todo esto queremos incentivar a la comunidad científico-tecnológica de nuestra Facultad a enviar sus artículos para ser considerados por el Comité Editorial
y el Comité Técnico para el respectivo proceso de revisión y arbitraje.
Con el presente número le entregamos a la comunidad científica-tecnológica de nuestra Facultad y
Universidad, y a la comunidad nacional e internacional, diez trabajos de alta calidad de investigación en áreas de
la Ingeniería, específicamente, en sistemas de comunicaciones, ingeniería de materiales, ingeniería mecánica,
sistemas de control, inteligencia artificial e ingeniería civil. Estos trabajos comprenden un total de diecisiete coautores internos (UC), doce coautores externos a nuestra Universidad, cuatro de Universidades Nacionales tales
como la Universidad de Oriente (UDO) y la Universidad del Zulia (LUZ) y ocho coautores de Universidades de
España y de los Estados Unidos de Norteamérica, alcanzando así nuestra Revista una proyección nacional e internacional de gran escala. Este último número 2003 contiene el Índice de Materias (en español e inglés) y el Índice
de Autores para obtener así una guía de consulta en el Volumen 10. Esto se realizará de ahora en adelante en el
último número (Diciembre) de cada año (Volumen). Adicionalmente, el presente número y los anteriores de este
Volumen están disponibles en la Página Web de la Revista, especificada en las Normas de Autor.
A partir del siguiente número nos hemos propuesto como meta la publicación en los lapsos establecidos
para obtener una periodicidad acorde a las exigencias internacionales a fin de alcanzar otros índices tales como
LATINDEX, PERIODICA (México), Institute for Scientific Information, ISI (USA), y el prestigioso Engineering
Index. Asimismo, podemos informarles que estamos trabajando para tener la Revista registrada en el Fondo Nacional para la Ciencia y Tecnología, FONACIT, Venezuela y poder así obtener financiamiento de este organismo
nacional. A partir de este número estamos recibiendo también apoyo de parte de FUNDACITE-Carabobo, lo cual
nos ayudará en las diversas actividades que necesitan ser realizadas para mantener una buena calidad y periodicidad.
Queremos expresar nuestro especial agradecimiento a todos los colaboradores que hacen posible el continuo mejoramiento de la Revista, al Comité Técnico (Árbitros que aparecen en la Lista Parcial de cada Número
según el trabajo realizado) de los artículos, al Comité Editorial, al CDCH-UC, al Departamento de Publicaciones
y en general a las Autoridades de la Facultad de Ingeniería. Y también extendemos un sincero reconocimiento a
todos los autores y coautores que han aportado su valioso trabajo a este número que completa el Volumen 10 de
nuestra acreditada Revista INGENIERÍA UC.
Dr. Francisco J. Arteaga B.
Director
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
5
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 7-16, 2003
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental
de la voz basado en el espectrograma
José Antonio Díaz(1), Christine Sapienza(2), Howard B. Rothman(2), Yaser Natour(2)
(1)
Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
(2)
Department of Communication Sciences and Disorders, University of Florida, USA
Email: [email protected]
Resumen
La detección de la frecuencia fundamental de la voz (Fo) ha sido un problema particularmente difícil de
procesamiento digital de señales. Este parámetro es necesario para documentar la vibración de las cuerdas vocales
y alteraciones a sus patrones vibratorios en la presencia de una patología. Existe una gran variedad de algoritmos
para extraer y analizar Fo. En muchas oportunidades se ha reportado que estas técnicas no funcionan bien para
diferentes tipos de interlocutores y su rendimiento disminuye a medida que se incrementa el nivel de ruido. El
objetivo principal de esta investigación fue el desarrollo de un algoritmo robusto para la extracción y análisis de
Fo de voces normales y patológicas. Este algoritmo se basó en el espectrograma y utiliza técnicas de sistemas
expertos para extraer Fo. El algoritmo desarrollado se probó con seis muestras normales y seis patológicas, las
cuales contenían una vocal sostenida. Los resultados proporcionados por el algoritmo propuesto estuvieron en
concordancia con los resultados generados por dos paquetes comerciales de análisis de voz, y además, pudo
detectar Fo por un periodo de tiempo mas largo.
Palabras clave: Procesamiento de voz, frecuencia fundamental, espectrograma.
Robust algorithm for the detection of the voice fundamental frequency
based on the spectrogram
Abstract
The detection of fundamental frequency (Fo) in speech has often been shown to be a particularly difficult
signal processing problem. This parameter is a necessary one for documenting vocal fold vibration and alterations
to these vibratory patterns in the presence of pathology. There exist a variety of algorithms for extracting and
analyzing Fo. It has been reported that these techniques do not work well for different types of talkers and
decrease in performance as the noise level increases. The main objective of this research was to develop a robust
algorithm for the extraction and analysis of Fo from normal and pathological voices. This algorithm is based on
the spectrogram and makes use of artificial intelligence techniques to extract Fo. An algorithm was developed and
tested with 6 normal and 6 abnormal samples, which contain a sustained vowel. These 12 samples were also
analyzed by two commercial software packages, which make use of other techniques, and the results were
compared to the results provided by the proposed algorithm. The results provided by the proposed algorithm
agreed with those of the other two software packages, and the algorithm was able to detect Fo for a longer period
of time.
Keywords: Speech processing, fundamental frequency, spectrogram.
1. INTRODUCCIÓN
La voz es una onda compleja de la cual pueden
extraerse muchos parámetros con el objetivo de modelarla y caracterizarla. Uno de los parámetros mas frecuentemente utilizados y analizados es la frecuencia
fundamental (Fo), ya que está directamente relacionado con el “pitch” que nosotros percibimos [1].
También este parámetro es necesario para documentar
la vibración de las cuerdas vocales, y alteraciones
a sus patrones vibratorios en presencia de una
patología [2, 3].
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
7
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz
Existe una gran variedad de algoritmos para la
extracción de Fo [4-10]. Algunos de los métodos
utilizados mas frecuentemente para el cálculo de Fo
son los siguientes:
dos categorías: primera, algoritmos que trabajan en el
dominio del tiempo [5-7]. Segunda, algoritmos que
realizan una transformación sobre la señal, y extraen
Fo de la señal transformada [9,10].
1. Detección de cruces por cero.
2. Detección de picos.
3. Comparación de las formas de onda.
4. Autocorrelación.
5. Espectrografía.
6. Cepstrum.
Los algoritmos que pertenecen al segundo
grupo tienen ciertas ventajas. La señal de voz es una
onda compleja compuesta de la suma de todos los
diferentes armónicos. La extracción de Fo de esta
onda compleja no es una tarea fácil en la mayoría de
los casos, y en algunos casos, como en las voces
patológicas, esta tarea es aún mas difícil. También,
sabemos que el oído humano transforma la señal de
voz en sus componentes de frecuencia en la coclea,
antes de que los impulsos eléctricos lleguen al
cerebro. Esto sugiere que la transformación de la señal de voz al dominio tiempo-frecuencia ayudaría a la
detección de Fo. Además, esta transformación descompone la señal en sus componentes de frecuencia.
A pesar del número de algoritmos existentes y
de los esfuerzos en desarrollarlos, estos algoritmos no
trabajan bien para diferentes tipos de interlocutores y
su rendimiento disminuye cuando el nivel de ruido
aumenta [11-14]. Por lo tanto, es necesaria una
mejora de los métodos existentes.
El objetivo principal de esta investigación fue
contribuir al área de análisis de voz, desarrollando un
algoritmo robusto para la extracción de Fo, el cual
pudiera ser utilizado en voces normales y patológicas.
2. SELECCIÓN DE LA MUESTRA
Primero se establecieron las condiciones que
debía cumplir el grupo de muestras con las cuales se
probaría el algoritmo propuesto. Se decidió utilizar
muestras que contuvieran una /a/ sostenida, lo cual
simplificaría la fase de prueba del algoritmo, y se
podrían utilizar muestras mas complejas, como
discurso continuo, en estudios futuros.
Existía una base de datos de muestras en el departamento de Ciencias y Desordenes de la Comunicación de la Universidad de Florida, la cual contenía
muestras de /a/ sostenidas de voces normales y
patológicas. Se seleccionaron aleatoriamente doce
muestras de esta base de datos, seis de voces
normales y seis de voces patológicas.
3. DESARROLLO DEL ALGORITMO
Tal como se indicó anteriormente, existe una
amplia variedad de algoritmos para la extracción y
análisis de Fo. Si se analiza la lista de métodos que se
muestra arriba, se observa que se puede clasificar en
8 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
La señal de voz puede transformarse al dominio tiempo-frecuencia utilizando varios métodos
como el espectrograma, la distribución de Wigner,
Wavelets, etc. El espectrograma se seleccionó entre
estos diferentes métodos debido a que es robusto
frente al ruido y no presenta términos cruzados como
sucede con otros métodos.
Se desarrolló un algoritmo para calcular y
graficar el espectrograma de una muestra de voz.
Varios parámetros debieron seleccionarse a fin de
calcular el espectrograma. Estos son los siguientes:
1. Longitud de la ventana
2. Solapamiento de las ventanas
3. Tipo de ventana
4. Frecuencia mínima a ser mostrada
5. Frecuencia máxima a ser mostrada
En vez de especificar estos parámetros en el
código de software, se le dio al usuario la posibilidad
de cambiarlos a su gusto. Después de calcular el
espectrograma, el software lo muestra en una ventana
como se indica en la Figura 1. En esta Figura, la
frecuencia fundamental (Fo) y los armónicos de
la muestra de voz pueden ser identificados. Las personas que han trabajado con voz, saben como identificar Fo visualmente a partir del espectrograma. Existe
un conjunto de reglas que nos permite extraer
la información de Fo del espectrograma [1]. Si se
Díaz, Sapienza, Rothman y Natour
Frecuencia (Hz)
Espectrograma
Tiempo (s)
Figura 1. Ejemplo de espectrograma: Frecuencia Vs. Tiempo
implementan estas reglas en un sistema experto, y se
le aplican al espectrograma, se estaría en capacidad
de extraer Fo de la misma manera que lo hacemos
visualmente.
El espectrograma es una superficie en un
espacio tri-dimensional, donde Fo y los armónicos
representan “picos” de esta superficie (Ver Figura 2).
Se identifica Fo visualmente cuando se observa uno de
estos “picos”.
Espectrograma
Picos
2. Si Fo se ha detectado previamente ir al paso 7, sino
ir al paso 3.
3. Aumentar la frecuencia y evaluar cada punto en el
espectrograma.
4. Si un punto es un máximo local, determinar la
altura del punto.
5. Si la altura es mayor que un nivel umbral, se ha
encontrado Fo, sino, no se halló Fo en ese instante
de tiempo.
6. Aumentar el tiempo, hacer la frecuencia igual a
cero (0) y regresar a 2.
Amplitud
7. Encontrar el máximo valor del espectrograma en un
rango de frecuencia alrededor del valor de Fo
hallado previamente.
8. Determinar la altura del pico
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
Figura 2. Espectrograma en el espacio tri-dimensional:
Amplitud Vs. Frecuencia Vs. Tiempo.
Basado en las reglas que se utilizan para
identificar visualmente Fo, se creó el siguiente conjunto de reglas, y se implementaron en MATLAB:
1. Comenzar en tiempo igual a cero y frecuencia
igual a cero (este punto representa el origen en la
Figura 1).
9. Si la altura es mayor que un nivel umbral, se ha
encontrado Fo, sino, no se halló Fo en ese instante
de tiempo.
10. Aumentar el tiempo, hacer la frecuencia igual a
cero (0) y regresar a 2.
Este es el conjunto de reglas básico que se
implementó en MATLAB para extraer la curva de Fo.
La versión final del algoritmo contiene mas reglas, las
cuales mejoran el rendimiento del algoritmo. Estas
son las razones por las que se incremento el número
de reglas:
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
9
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz
1. No es conveniente comenzar la búsqueda de Fo en
frecuencia igual a cero (0), ya que puede existir
una componente DC en la frecuencia cero (0) que
puede ser erróneamente detectada como Fo.
2. No hay necesidad de buscar Fo a altas frecuencias.
Es conocido que la frecuencia fundamental para
hombres y mujeres está alrededor de 100 y 200 Hz
respectivamente.
3. La superficie del espectrograma tiende a tener
amplitudes más bajas a altas frecuencias. Por lo
tanto, las alturas de los picos deben compararse al
valor promedio de las componentes de frecuencia
alrededor de ellos, y no compararse al valor
promedio de todas las componentes de frecuencia.
4. La resolución en frecuencia del espectrograma es
baja, por lo tanto, es conveniente extraer un
armónico mas alto primero, y calcular Fo
dividiendo la curva obtenida por el número del
armónico extraído. Esto mejorará la resolución.
Los siguientes parámetros son utilizados por el
software para extraer el armónico del espectrograma,
y pueden ser seleccionados por el usuario:
1. Frecuencia inicial de búsqueda.
2. Frecuencia final de búsqueda.
3. Ancho de la base.
4. Ancho de la ventana.
5. Altura del pico.
Las frecuencias iniciales y finales de
búsqueda representan el intervalo de frecuencias
donde se encuentra el armónico deseado. El ancho de
la base es el rango de frecuencias usado para calcular
la altura promedio alrededor de un punto en el espectrograma. El ancho de la ventana es el intervalo de
frecuencias donde se buscará el armónico deseado
cuando ha sido detectado previamente. Es una ventana
deslizante centrada en la frecuencia del Fo detectado
previamente. La altura del pico es el nivel umbral
utilizado para comparar las alturas de los picos. Alturas por encima de este valor indican que Fo ha sido
encontrado, alturas por debajo de este valor indican
que Fo no ha sido encontrado.
El software calcula la curva de Fo basado en las
reglas descritas arriba y la dibuja sobre el espectrograma, esto le permite al usuario comparar la curva con
el espectrograma y decidir si el software detectó la
curva correctamente. En caso de que el software falle,
el usuario puede cambiar los parámetros indicados
arriba, y realizar un nuevo análisis. La Figura 3
muestra el resultado de extraer el armónico 11 de la
muestra 1. Se puede apreciar que la curva extraída
sigue las oscilaciones del espectrograma, por lo tanto
se puede proceder a extraer la curva de Fo. El usuario
debe introducir el número del armónico (11 en este
caso) y el software determina la curva de Fo. La
Figura 4 muestra los resultados.
El software también calcula las siguientes
estadísticas de la curva de Fo y las muestra en la ventana de comandos de MATLAB:
1. Frecuencia promedio.
2. Frecuencia máxima.
3. Frecuencia mínima.
4. Desviación estándar.
Armónico 11
Frecuencia (Hz)
Espectrograma
Tiempo (s)
Figura 3. Armónico 11 de la muestra 1.
10 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Díaz, Sapienza, Rothman y Natour
Frecuencia (Hz)
Frecuencia Fundamental
Tiempo (s)
Figura 4. Curva de Fo para la muestra 1.
4. RESULTADOS
A fin de determinar la exactitud de los
resultados generados por el algoritmo propuesto, las
12 muestras seleccionadas fueron analizadas por dos
paquetes de software comerciales y a través del algoritmo desarrollado e implementado en MATLAB.
Estos dos paquetes de software comerciales fueron
llamados software 1 y 2 en este artículo, y el software
desarrollado se llamó algoritmo propuesto.
La Tabla 1 muestra los resultados obtenidos a
partir de las 12 muestras bajo análisis. La columna 1
indica el número de la muestra. Las muestras 1 a la 6
corresponden a voces normales, y las muestras 7 a la
12 corresponden a voces patológicas. Las columnas 2
y 3 muestran el valor medio y la desviación estándar
obtenidas con el software 1, mientras que las columnas 4 y 5 muestran el valor medio y la desviación estándar obtenidas con el software 2. Las columnas 6 y
7 contienen el valor medio y la desviación estándar
obtenidas con el algoritmo propuesto. Las columnas 8
y 9 muestran la diferencia porcentual entre el valor
medio de Fo obtenido con el algoritmo propuesto y los
obtenidos con el software 1 y 2. Finalmente, las columnas10 y 11 muestran la diferencia en Hz entre la
desviación estándar obtenida con el software desarrollado y los valores obtenidos con el software 1 y 2.
Si se observan las columnas 8 y 9 de la Tabla 1
vemos que la diferencia porcentual en los valores de
Fo son pequeños para las muestras 1 a la 8 y mayores
para las muestras 9 a la 12. La diferencia porcentual
para las muestras 1 a la 8 varía entre 0 y 0,23 %. Esto
quiere decir que el valor medio de Fo obtenido con los
tres paquetes de software bajo estudio son similares
para las muestras 1 a la 8, lo cual no sucede con las
muestras 9 a la 12.
Tabla 1. F0 y su desviación estándar.
Muestra
Normal
Softw are 1
Fo
Softw are 2
Algoritmo propuesto
Diferencia en Fo (%)
Fo
Dev Est
Fo
Dev Est
Muestra 1 302,8
1,5
302,78
1,621
302,73
1,473
0,02
0,02
0,03
0,15
Muestra 2 143,7
0,8
143,738
1,921
143,739
0,832
-0,03
0
-0,03
1,09
Muestra 3 210,9
13,2
211,764
13,607
211,284
12,017
-0,18
0,23
1,18
1,59
Muestra 4 132,4
1,7
132,452
1,94
132,438
1,608
-0,03
0,01
0,09
0,33
Muestra 5 122,3
1,2
122,293
1,249
122,327
1,081
-0,02
-0,03
0,12
0,17
Muestra 6 146,2
0,5
146,242
0,669
146,235
0,497
-0,02
0
0
0,17
Softw are 1
Softw are 2
-0,06
0,22
Patologica
Fo
Dev Est
Fo
Dev Est
Fo
Dev Est
Muestra 7
109
1,2
109,037
1,476
109,011
1,258
Softw are 1 Softw are 2
Diferencia en Dev Est (Hz)
Dev Est
Softw are 1 Softw are 2
-0,01
0,02
Softw are 1
Softw are 2
Muestra 8 178,5
2,3
178,561
3,824
178,547
2,22
-0,03
0,01
0,08
1,6
Muestra 9 102,1
38,5
131,392
44,913
155,405
10,161
-34,3
-15,45
28,34
34,75
Muestra 10 124,4
32,7
231,025
7,625
231,174
5,196
-46,19
-0,06
27,5
2,43
Muestra 11 37,7
11,9
177,533
37,625
179,62
7,367
-79,01
-1,16
4,53
30,26
Muestra 12 68,1
19,4
176,701
68,987
205,409
53,459
-66,85
-13,98
-34,06
15,53
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
11
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz
Las muestras 9 a la 12 corresponden a voces
patológicas. Estas señales son más complejas y
difíciles de analizar. Las Figuras 5 a la 7 muestran las
curvas de Fo generadas por los tres paquetes de
software para la muestra 3 la cual es representativa de
las muestras normales. La forma de las tres curvas es
similar. Las Figuras 8 a la 10 muestran las curvas de
Fo generadas por los tres paquetes de software para la
muestra 9. Observamos que las tres curvas son
diferentes. Es por esta razón que los valores medios
de Fo para las muestras 9 a la 12 son diferentes
(Ver Tabla 1).
La Figura 11 muestra el espectrograma y la
curva de frecuencia fundamental extraída con el
algoritmo propuesto para la muestra 9. Se puede
apreciar en esta figura que la curva extraída por el
algoritmo propuesto corresponde con la frecuencia
fundamental que se muestra en el espectrograma,
indicando que el software extrajo la frecuencia fundamental correctamente. También se analizaron los
resultados generados por el algoritmo propuesto para
las muestras 10 a la 12 y se observó que las curvas de
Fo coinciden con las frecuencias fundamentales mostradas en el espectrograma, por lo tanto, se puede
decir que el valor obtenido con el algoritmo propuesto
es un buen estimado del valor medio de Fo para las
muestras 9 a la 12.
Si se observan las columnas 10 y 11 de la
Tabla 1 vemos que las diferencias entre las desviaciones estándar de Fo son pequeñas para las muestras 1 a
la 8 y son mayores para las muestras 9 a la 12. La
diferencia en la desviación estándar para las muestras
1 a la 8 varía de 0 a 1,6 Hz, ésto es, la desviación
estándar generada por los paquetes bajo estudio son
similares para las muestras 1 a la 8, lo cuál no
sucede para las muestras 9 a la 12. Estas diferencias
provienen del hecho de que las curvas de Fo producidas por los tres paquetes de software para las muestras
9 a la 12 son diferentes, tal como se mencionó en
párrafos anteriores.
Si se observa de nuevo la Figura 4, podemos
ver la curva de Fo de la muestra 1. Esta Figura
muestra pequeñas variaciones en la frecuencia
fundamental de esta muestra. Los parámetros
escogidos para el cálculo de la curva de Fo de esta
muestra fueron los siguientes:
Longitud de la FFT = 4.096
Solapamiento = 3.500
Frecuencia inicial = 3.100
Frecuencia final = 3.500
Ancho de la ventana = 400
Altura del pico = 10
Número del armónico = 11
Los parámetros obtenidos fueron:
Frecuencia media = 302,730
Frecuencia máxima = 306,286
Frecuencia mínima= 299,627
Desviación estándar = 1,473
Esta muestra fue discretizada a una velocidad
de 50,000 Hz. Por lo tanto, la resolución del
espectrograma es:
f res =
f s 50.000
=
= 12,20 Hz
N
4.096
Cuando el armónico se dividió por 11 para obtener la curva de Fo, se obtuvo la siguiente resolución:
Frecuencia (Hz)
Frecuencia Fundamental
Tiempo (s)
Figura 5. Curva de Fo generada por el software 1 para la muestra 3.
12 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(1)
Díaz, Sapienza, Rothman y Natour
Figura 6. Curva de Fo generada por el software 2 para la muestra 3.
f res =
12,20
= 1,109 Hz
11
(2)
Si se hubiera extraído la frecuencia fundamental
a partir del primer armónico en vez del armónico 11, la
resolución de la curva de Fo hubiera sido 12,20 Hz.
Se diseñó un parámetro para medir y comparar
la longitud de la curva de Fo. Este parámetro mide la
longitud de la curva de Fo en porcentaje respecto a la
longitud total de la señal. Este parámetro se calculó de
la siguiente manera:
Con una longitud de la FFT de 4096 muestras y
un solapamiento de 3500 muestras, existen 596
muestras entre ventanas sucesivas. Por lo tanto, el
tiempo entre ventanas sucesivas (que también es la
resolución en el tiempo del espectrograma) es:
t res =
596
= 11, 92 × 10 − 3 s
50.000
f ol =
(3)
Las Figuras 5 a la 7 muestran las curvas de Fo
dibujadas por los tres diferentes paquetes de software
para la muestra 3. Observamos que las tres curvas son
continuas. Estas curvas son representativas de todas las
muestras normales. Las Figuras 8 a la 10 muestran las
curvas de Fo dibujadas por los tres paquetes de software para la muestra 9, la cual corresponde a una voz patológica. La Figura 8 muestra algunas discontinuidades
y ruido tal como indican las flechas. En la Figura 9 se
observa que la curva de Fo no es continua, mientras
que la Figura 10 muestra una curva continua.
∑L
i
LT
× 100
(4)
donde:
fol = Longitud de la curva de Fo en porcentaje.
Li = Longitud del imo segmento de curva de Fo en
segundos.
LT = Longitud total de la curva de Fo en segundos.
Un valor de 100% de fol indica que la curva de
Fo es una línea continua como la que se muestra en la
Figura 10, un valor menor al 100% indica que la curva
de Fo tiene algunas discontinuidades como las que se
ven el la Figura 9.
Frecuencia (Hz)
Frecuencia Fundamental
Tiempo (s)
Figura 7. Curva de Fo generada por el algoritmo propuesto para la muestra 3.
o
Rev.Rev.
INGENIERÍA
INGENIERIA
UC.UC.
Vol.Vol.
10, N
10,
3,NoDiciembre
1, Abril 2003
2003
13
13
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz
La Tabla 2 muestra los valores de fol para los tres diferentes paquetes de software. Los valores para el
software 1 varían de 81,13% a 98,96% para el software 2 varían de 73,61% a 100%, y para el algoritmo
propuesto varían de 95,22% al 100%. Si comparamos
estos valores observamos que el algoritmo propuesto
produce los valores mayores de fol para cualquiera de
las muestras, lo que indica que pudo detectar la curva
de Fo por un periodo de tiempo más largo.
Tabla 2. Longitud de la curva de Fo en porcentaje.
Muestra
Longitud de la curva Fo (%)
Normal
Softw are 1 Softw are 2
Alg Prop
Muestra 1
98,96
100
100
Muestra 2
92,03
100
100
Muestra 3
91,67
100
100
Muestra 4
92,72
100
100
Muestra 5
85,65
99,57
100
Muestra 6
89,95
100
100
Patologica
Softw are 1 Softw are 2
Alg Prop
Muestra 7
81,29
99,15
Muestra 8
98
99,15
100
Muestra 9
93,25
80,08
100
Muestra 10
95,5
87,6
97,66
Muestra 11
81,13
92,37
99,06
Muestra 12
92,95
73,61
95,22
se calculó a partir del armónico extraído al dividirlo
por el número del armónico.
La curva de Fo calculada tiene buena resolución
en el tiempo y resolución variable en la frecuencia. El
usuario puede cambiar fácilmente la resolución en el
tiempo ajustando el solapamiento de la ventana, la cual
puede hacerse tan pequeña como un periodo de
muestreo. La resolución en frecuencia depende de dos
factores: la longitud de la ventana y el armónico
seleccionado. Durante el análisis de las muestras se
observó que la ventana no debe ser mayor de 80 ms.,
ya que longitudes mayores producen distorsión o
modificación de la curva de Fo. Mientras más alto sea
el armónico seleccionado, mejor será la resolución en
frecuencia, sin embargo, algunas veces las muestras
son tan ruidosas e irregulares que el algoritmo sólo
puede extraer el primer armónico. En algunos casos de
muestras poco ruidosas fue posible extraer el armónico
20. La resolución en frecuencia típica del algoritmo
varía entre 1 y 12 Hz.
100
5. CONCLUSIONES
Se desarrolló un algoritmo para la extracción y
análisis de la curva de Fo. Este algoritmo se basó en el
espectrograma y emplea un conjunto de reglas para
extraer un armónico del espectrograma. La curva de Fo
Debido a que el algoritmo propuesto está basado
en el espectrograma, éste requiere varios ciclos de la
onda de voz para estimar un valor de Fo, lo cual hace
que la longitud de la curva de Fo comience un corto
tiempo después que lo hacen los paquetes de software
1 y 2, y también se tiene un corto tiempo antes. Los
valores de Fo calculados con el algoritmo propuesto
son buenos estimados de los valores reales. En 8 de las
12 muestras, los valores calculados concordaron con
los de los otros dos paquetes de software. En los casos
donde se observaron diferencias, se verificó que los
valores obtenidos eran buenos estimados de los valores
reales.
Frecuencia (Hz)
Frecuencia Fundamental
Ruido
Discontinuidades
Tiempo (s)
Figura 8. Curva de Fo generada por el Software 1 para la muestra 9.
14 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Díaz, Sapienza, Rothman y Natour
el usuario puede determinar si el software extrajo
correctamente el armónico o falló. Una vez que el
armónico ha sido extraído exitosamente, el usuario
puede proceder a calcular la curva de Fo.
El algoritmo propuesto es capaz de extraer la
curva de Fo de muestras difíciles. Una comparación
entre los tres paquetes de software bajo estudio, mostró
que el algoritmo propuesto extrajo la curva de Fo por
un periodo de tiempo más largo que los otros dos
paquetes de software para todas las muestras bajo
análisis (Ver Tabla 2).
El algoritmo propuesto funciona tanto con voces
normales como patológicas. Si se observa la tabla 2, se
aprecia que el porcentaje de detección de Fo para los
software 1 y 2 disminuye a un 81 % y 73 % para las
muestras patológicas, mientras que el rendimiento del
software desarrollado disminuyó a un mínimo de 95 %
para la muestra 10.
El algoritmo desarrollado permite que el usuario
verifique la exactitud de los resultados obtenidos. Al
dibujar el armónico extraído sobre el espectrograma,
Figura 9. Curva de Fo generada por el software 2 para la muestra 9.
Frecuencia (Hz)
Frecuencia Fundamental
Tiempo (s)
Figura 10. Curva de Fo generada por el algoritmo propuesto para la muestra 9.
Frecuencia (Hz)
Espectrograma
Tiempo (s)
Curva de Fo
Figura 11. Espectrograma y curva de Fo para la muestra 9.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
15
Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz
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REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 17-27, 2003
Una metodología general para la optimización paramétrica de un
controlador de estructura predeterminada en Matlab-Simulink
Asdrúbal Romero M.
Unidad de Investigación en Automatización Industrial, Escuela de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
Email: [email protected]
Resumen
El enfoque de optimización paramétrica para la determinación de los ajustes óptimos de un controlador ha
mantenido una vigencia permanente en la literatura del área, pero, tradicionalmente, se ha constreñido a
controladores tipo PI o PID y a una clase restringida de modelos parametrizados de procesos, de los que se han
derivado reglas de sintonización. En este trabajo, se presenta una metodología general que le permite a un
diseñador de sistemas de control, operando en un ambiente de diseño tipo MATLAB-SIMULINK, resolver en
pocas horas de trabajo el problema de optimización paramétrica para cualquier proceso, cuyo modelo matemático
sea susceptible de ser simulado en el ambiente, y cualquier controlador de estructura predeterminada.
Palabras clave: Optimización paramétrica, ajustes de controlador, control PID, criterios integrales IAE,
ISE, ITAE, reglas de sintonización, MATLAB SIMULINK.
A general methodology for the parametric optimization of a
predetermined structure controller in Matlab-Simulink
Abstract
The parametric optimization methodology for determining the optimal controller settings has maintained an
unabated interest in the research literature of the field. But, traditionally, it has been constrained to controllers of
the PI or PID type and to a restricted class of parametrized process models, that have been used for obtaining
tuning rules tables. In this paper, a general methodology is presented that allows to a control systems designer,
working in an ambient MATLAB-SIMULINK or in one of similar features, solving in a few hours of work the
parametric optimization problem, for any process model which could be simulated in the ambient and for any
predetermined structure controller.
Keywords: Parametric optimization, controller settings, PID control integral, criteria IAE ISE ITAE,
tuning rules, MATLAB SIMULINK.
1. INTRODUCCIÓN
Casi tan antigua es la idea de la necesidad de un
dispositivo controlador, como la de obtener los parámetros de dicho dispositivo mediante la optimización
de un criterio funcional tipo integral. Los criterios
IAE, ISE e ITAE constituyen ejemplos clásicos de las
familias de funcionales utilizables para evaluar el
desempeño de un lazo de control SISO. O’ Dwyer
[1] presenta una acuciosa recopilación de reglas de
sintonización para controladores PID, mediante los
muy diversos enfoques existentes que se han venido
aplicando desde los años 40 hasta las postrimerías del
siglo recientemente concluido. Entre ellas, cabe destacar todas aquellas provenientes de la idea de aplicar
técnicas de optimización para el ajuste “optimo” de
los parámetros, apelando a criterios del tipo señalado.
Una revisión de la bibliografía vinculada a esta idea,
referencias [2-12], revela que el objetivo de obtener
“ajustes óptimos” ha mantenido un permanente interés
entre los investigadores. Sin embargo, la mayoría de
las reglas de sintonización presentadas son aplicables
a la obtención de los parámetros PI o PID óptimos
para una clase muy restringida de modelos de
procesos. Esto, por cuanto la metodología utilizada
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
17
Uso de simulink en el ajuste de controladores
involucra aplicar la técnica de optimización a un modelo de proceso parametrizado, tipo FOLPD por
ejemplo (un retardo de primer orden más un retardo
puro), y luego mediante un número significativo de
experimentos en los que se van variando los parámetros del modelo del proceso, se van obteniendo los
ajustes óptimos correspondientes. Los resultados de la
exhaustiva experimentación se condensan en unas
reglas de sintonización en las que, introducidos los
parámetros conocidos del proceso, se pueden calcular
los ajustes óptimos. Tales reglas de sintonización son
obtenidas mediante la utilización de software para el
ajuste de curvas partiendo de datos experimentales
(Table Curve [13] es sólo un buen ejemplo). En la
literatura revisada no se presenta una metodología
general que pueda aplicarse a cualquier modelo arbitrario de proceso y a cualquier controlador de estructura predeterminada distinta a la de los conocidos PI y
PID. Pero, el inmenso poder de cálculo puesto a la
disponibilidad de los diseñadores de los sistemas de
control hoy en día, y la relativa amistosidad del software con el cual usualmente trabajamos, nos permite
afirmar: que con pocas horas de trabajo, básicamente
las requeridas para montar la simulación del proceso
en cuestión, interactuando con el controlador elegido,
en una plataforma tipo SIMULINK o cualquier otra
de características similares, y un conocimiento, a
nivel de usuario del software, sobre cómo integrar las
respectivas simulaciones a una estrategia de optimización, se pueden obtener “ajustes óptimos” a la medida del sistema de control que se esté sintonizando. Es
hacia esta metodología general a la que apunta, como
objetivo principal, el contenido de este trabajo. Se
ilustrará a través de un ejemplo representativo la
forma cómo podemos utilizar la poderosa herramienta
computacional de simulación, SIMULINK, para
obtener los parámetros óptimos de un controlador de
estructura predeterminada, o lo que es lo mismo
resolver el problema de optimización paramétrica
vinculado al ajuste o sintonización de los parámetros
de un controlador o algoritmo de control cuya ley ya
es conocida.
En la siguiente sección se presentan los lineamientos generales de la metodología de optimización
paramétrica de controladores, y el porque este enfoque se presta, de manera natural, a ser manejado en
un ambiente tipo MATLAB-SIMULINK. Luego, se
presenta el proceso que se utilizó para nuestro estudio
18 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
ilustrativo. La enseñanza de los conceptos fundamentales sobre el control de procesos, y sus vericuetos
más teóricos, estamos convencidos que puede ser
grandemente realzada a través de la apelación al estudio de casos prácticos modelados realísticamente. El
ejemplo utilizado es uno de ellos. Posteriormente, en
la siguiente sección se muestran los archivos tipo .m
que se utilizaron, así como el diagrama de
SIMULINK del proceso más el controlador, donde se
plasman los conceptos emitidos sobre este enfoque
metodológico. La sección final es de discusión de los
resultados obtenidos vía la optimización paramétrica
y la comparación con resultados logrados a partir del
ajuste de los parámetros utilizando la técnica del
Lugar Geométrico de las Raíces para posicionamiento
de los polos dominantes. En este análisis comparativo, surge un hallazgo bien interesante. La solución
optimizada que se obtiene para un cambio en las
variables de carga, muy posiblemente, sería rechazada en un tradicional salón de clase por su agresividad
en cuanto a la ubicación definitiva de los polos de la
cadena cerrada. Esto nos ha conducido a dejar planteada una interrogante, ¿Hasta qué punto el paradigma clásico de “adecuada ubicación” de los polos
dominantes del modelo variacional linealizado no
debe ser revisado, a la luz de las nuevas metodologías que se pueden aplicar en el aprovechamiento del
poder de cálculo y las herramientas de software con
las cuales hoy contamos?
2. EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
PARAMÉTRICA DE CONTROLADORES
De lo que es trata es de minimizar un criterio
de desempeño de naturaleza funcional, que evalúe
el comportamiento, a lo largo del intervalo de
control seleccionado, de las señales de error y la
energía de control utilizada (de considerarse
pertinente) que resultan de controlar el proceso, sea
ante una variación en los valores de referencia para
las variables controladas o perturbaciones en algunas
de las variables de carga. Este problema, si bien comparte algunas características similares con el problema más general de Control Óptimo, por ejemplo el
carácter funcional del objetivo a minimizar y la
necesidad de satisfacer las ecuaciones que rigen el
Romero
comportamiento dinámico del proceso controlado en
su condición de principal restricción, es un problema de jerarquía inferior. La razón es que en él no
se pretende obtener la política de control óptimo.
Es decir, las incógnitas del problema no son las leyes
de control mi(t), i=1,...,pm, donde pm corresponde al
número de variables manipuladas, las cuales, como es
de hacer notar, son funciones del tiempo en el intervalo de control, ni tampoco lo es la estructura del controlador óptimo, en el caso de que la solución del problema sea factible de obtener bajo la forma de ley de
control en cadena cerrada. En el problema de ajuste de
un controlador mediante la técnica de optimización
paramétrica la estructura del controlador es seleccionada de antemano, bien pudiera ser un controlador
PID como en el caso bajo estudio que presentaremos,
y las incógnitas pasan a ser un número finito de parámetros definidos sobre la estructura del controlador
(Kc, Tr y Td en el caso del PID), cuyos valores vienen
a ser lo que se conoce, comúnmente, como los ajustes
del controlador. Esto es lo que permite que, a pesar de
la naturaleza dinámica del problema, éste pueda ser
formulado en el marco de los métodos de optimización estática para funciones multivariables sin restricciones, cuya complejidad para la comprensión matemática y el repertorio de técnicas de cálculo numérico
para su resolución los ubica, definitivamente, en una
escala inferior dentro de la pirámide cuyo vértice
superior es ocupado por los métodos de optimización
dinámica (que son los adecuados a los efectos de
resolver los problemas de control óptimo) [14].
valo de control que se considere pertinente. Cada
simulación se hace con un vector de parámetros del
controlador distinto, el cual va siendo variado de conformidad a la estrategia de búsqueda de los valores
óptimos que es regida por el algoritmo de optimización que domina todo el proceso iterativo. Es decir la
simulación pasa a ser esclava del algoritmo maestro,
que bien puede ser cualquiera de los algoritmos de
optimización estática multivariable sin restricciones
que provee el Optimization Toolbox de MATLAB.
Las sucesivas simulaciones cumplen el rol de ir evaluando el funcional a ser minimizado y, en cada una
de tales evaluaciones, se cumple, de manera absolutamente natural, con todas las ecuaciones dinámicas que
modelan al proceso y al controlador (la principal restricción del problema). Otro tipo de restricciones que
comúnmente surgen en la formulación de problemas
de control, como lo es la limitación de las salidas de
los controladores a mantenerse dentro de ciertos rangos predefinidos, también son incorporables de manera muy natural mediante la utilización de bloques de
limitación dentro del modelo. Distinto a si se desea
manejar alguna restricción sobre una variable del proceso, por ejemplo: que una temperatura no sobrepase
un determinado valor, por cuanto la inclusión de este
tipo de restricciones no se encuadra dentro de la
metodología a ser presentada, a menos que se apele a
la utilización del concepto de funciones penalti (o
barrera) dentro de la función objetivo, lo cual puede
complicar aun más la solución numérica del
problema.
Se demostrará que la única limitación que se le
presenta a quien desee apelar a esta metodología de
optimización paramétrica es que pueda disponer de un
modelo dinámico de su sistema, susceptible de ser
representado en un ambiente de modelación con potencialidades similares a las que provee el ambiente
MATLAB-SIMULINK. Y esto vale no sólo para el
proceso a ser controlado, sino también para la estructura del controlador a ser utilizado, con lo que debe
quedar claro que, de modo alguno, se está constreñido
a utilizar un controlador PID como en el estudio de
nuestro caso. De allí el carácter general de este enfoque metodológico. Por otra parte, la principal restricción del problema es manejada de manera natural en
la estrategia de solución mediante SIMULINK, por
cuanto cada evaluación del funcional que se está minimizando: involucra una simulación del modelo
“proceso más controlador” a lo largo de todo el inter-
Con relación al funcional objetivo, de carácter
integral como ya lo hemos señalado, su evaluación no
representa ningún obstáculo para esta metodología.
Cualquier criterio integral puede ser evaluado en
SIMULINK, mediante la definición de un bloque integrador adicional con valor inicial cero y cuyo integrando sea la misma función que se utiliza como integrando del funcional objetivo. Al final de cada simulación, se tomará la salida del integrador auxiliar en el
tiempo final como el valor de la función que es vista
por el algoritmo de optimización. Corremos el riesgo
de ser reiterativos al resaltar que el ambiente
SIMULINK nos provee de amplísima libertad a la
hora de estructurar el criterio integral que se desea
optimizar. No estamos constreñidos a los clásicos
IAE, ISE o ITAE, sino que cualquiera de ellos, o sus
variantes, puede ampliarse a los efectos de incorporar
penalización sobre la energía de control utilizada.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
19
Uso de simulink en el ajuste de controladores
3. EL PROCESO UTILIZADO EN EL
ESTUDIO DEL CASO
(-∆H)= 1080,34 BTU/lbm de A que reacciona, (Calor
de reacción).
k= Constante de la velocidad de reacción, ft3/lbm.min
a
En la Figura 1 se muestra una representación
esquemática de un reactor químico continuo en el cual
se lleva a cabo una reacción exotérmica. El mecanismo de remoción de calor a los efectos de viabilizar la
regulación del proceso alrededor de una temperatura
constante: es una camisa a la que se le inyecta un flujo
de agua fría. Las ecuaciones de balance de masa y
energía, así como todos los parámetros involucrados y
el punto estático de operación deseado se presentan a
continuación. Este ejemplo fue tomado de Cecil Smith
[15] y ha sido utilizado como caso de estudio en
varios de los cursos de control que se dictan en el
departamento de Sistemas y Automática de la Universidad de Carabobo.
−
(Ecuación de Arhenius)
k = k 0 e T + 460
k0= 1,43 ft3/lbm.min
a= 2560 °R
T= Temperatura en el reactor (°F) (La variable que se
va a controlar).
Tf= Temperatura en el flujo de suministro (Variable
de Carga).
TC= Temperatura en la camisa.
W= Flujo de suministro en lbm (Variable de carga)
Ca= Concentración de A en el reactor.
Balance de energía de la camisa
M C C 'p
dTC
= UA T (T − TC ) + WC C 'p (TW − TC )
dt
(2)
Donde:
MC= 4000 lbm (Masa del agua en la camisa)
C’p= 1,0 BTU/lbm°F (Calor especifico del agua)
Wc= Flujo de agua fría inyectada a la camisa (Entrada
manipulada)
TW= Temperatura del agua fría (Variable de carga)
Figura 1. Diagrama esquemático del proceso.
3.1 Ecuaciones del proceso
Balance de energía de la masa reactante
dentro del tanque
Balance de masa del componente A
dCa W
=
(Caf − Ca ) − kCa2
dt
Vρ
(3)
Caf= Concentración de A en el suministro (Variable de
carga).
3.2 Modelo en espacio de estado
a
Vρ Cp
dT
= WCp (Tf − T)-UAT (T − TC ) + ( − ∆H)VkC2a (1)
dt
Donde:
V= 250 ft3 (Volumen utilizado del reactor).
Cp= 0,9 BTU/lbm°F (Calor especifico de la masa del
reactante).
ρ= 80 lbm/ ft3 (Densidad de la masa reactante)
AT=500 ft2 (Área efectiva de transferencia de calor)
U= 1,2 BTU/(min. ft2.°F) (Coeficiente de transferencia de calor).
20 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
dx1 1
UAT
( − ∆H) −( x1 +460 ) 2
=
u1 (u2 − x1 ) −
(x1 − x2 ) +
k 0e
x3
dt Vρ
Vρ Cp
ρ Cp
dx2 UAT
1
=
(x1 − x2 ) +
u5 (u4 − x2 )
'
dt MCCp
MC
a
−(
)
dx3 1
=
u1 (u3 − x3 ) − k0e x1 +460 x32
dt Vρ
Donde:
x1 =T x2 =TC x3 =Ca
u1 =W u2 =Tf
u3 =Caf
u4 =Tw u5 =WC
(4)
Romero
3.3 Punto nominal de operación
∆T ( s )
−3.3 x10 −4 ( s + 0.2291)
=
∆Wc ( s ) ( s + 0.0724)( s + 0.2011)( s + 0.4251)
Valores Nominales para las variables de carga:
u 1n =Wn =1000lb/min
u 2n =Tfn =150 o F
u 3n =C afn =9.0 lb/ft 3
u 4n =Twn =80 o F
∆T ( s )
−0.002( s + .4125)( s − 0.1568)
=
∆W ( s ) ( s + 0.0724)( s + 0.2011)( s + 0.4251) (7)
Valor nominal para la entrada manipulada:
u 5n =W cn =1050 lb/m in
Valores nominales para los estados del proceso:
x1n =Tn =190 o F
x 2n =Tcn =120 o F
x3n =Can =3.22 lb/ft 3
3.4 Modelo linealizado y función de transferencia
⎡ u1 UAT ( − ∆H)akx3 2
UAT
2( − ∆H)kx3 ⎤
⎢− Vρ − Vρ C + ρC (x + 460)2
⎥
'
Vρ Cp
ρCp
p
p 1
⎡∆x1 ⎤ ⎢
⎥ ⎡∆x1 ⎤
UAT
UAT
u5
⎢∆x' ⎥ = ⎢
⎥ ⎢∆x ⎥
−
−
0
'
'
⎢ '2 ⎥ ⎢
⎥ ⎢∆x2 ⎥
MCCp
MCCp MC
2
⎢⎣∆x3 ⎥⎦ ⎢
⎥ ⎣ 3⎦
akx3
u1
−
−
−
0
2x
k
⎢
3 ⎥
2
(x1 + 460)
Vρ
⎣⎢
⎦⎥
⎡ (u 2 − x 1 )
⎢ Vρ
⎢
L+⎢
0
⎢
⎢ (u 3 − x 3 )
⎢⎣ Vρ
Donde: k = k o e
u1
0
0
Vρ
0
0
u5
MC
u1
0
Vρ
−(
a
x1 + 460
0
⎤
⎥ ⎡ ∆u 1 ⎤
⎥ ⎢ ∆u 2 ⎥
(u 4 − x 2 )
⎥ ⎢ ∆u 3 ⎥
MC
⎥ ⎢ ∆u 4 ⎥
⎥ ⎢⎣ ∆u 5 ⎥⎦
0
⎥⎦
0
(5)
)
⎡∆x1' ⎤ ⎡ −5.72x10−2
0.033
2.67 ⎤ ⎡ ∆x1 ⎤
⎢ '⎥ ⎢
⎥
−0.4125
0.15
0 ⎥ ⎢⎢∆x 2 ⎥⎥
⎢∆x 2 ⎥ = ⎢
⎢∆x' ⎥ ⎢−1.746 x10−3
−0.229⎥⎦ ⎢⎣∆x3 ⎥⎦
0
⎣ 3⎦ ⎣
⎡ −0.002
L + ⎢⎢
0
⎢⎣2.89 x10−4
⎡ ∆u1 ⎤
0.05 0
0
0 ⎤ ⎢⎢∆u 2 ⎥⎥
0
0 0.2625 −0.01⎥⎥ ⎢∆u3 ⎥
⎢
⎥
0 0.05
0
0 ⎥⎦ ⎢∆u 4 ⎥
⎢⎣∆u5 ⎥⎦
(6)
Del cual se pueden obtener las funciones de
transferencia como:
Se hace evidente de las ecuaciones del modelo
que el proceso es claramente no lineal, por ello debe
ser linealizado a los efectos de poder aplicar alguna
técnica de diseño lineal, como lugar geométrico de las
raíces, en la determinación de los parámetros del
controlador. Pero, no es necesario hacerlo si se apela a
la metodología objeto de esta investigación. En la
Figura 2 se muestra el modelo tipo SIMULINK de
todo el sistema en cadena cerrada. A los efectos de
controlar el proceso se incluye un transmisor con
rango de entrada 150-250 ºF, una válvula lineal con
acción inversa para compensar la ganancia negativa
del proceso y capacidad de manipulación de un flujo
máximo de 2000 lbm/min, y un controlador PID
discreto. Este aparece en el modelo como un bloque
tipo subsistema, cuyo detalle interno se muestra en la
Figura 3.
El algoritmo está implementado en la forma
velocidad con una etapa de salida que excluye la posibilidad de que se produzca el fenómeno “windup
reset”. El valor inicial de la salida del controlador se
provee en la unidad de retardo 2 y es igual a 47.5 %
corresponde a la entrada que requiere la válvula en el
punto nominal de operación, de esta manera en cada
simulación lo que se registra es el efecto de la perturbación o del cambio aplicado en el valor de referencia
para la temperatura. El modelo mostrado en la
Figura 2 también incluye el integrador auxiliar, el cual
se encarga de ir evaluando la integral del valor absoluto del error porcentual en la temperatura, que se
corresponde con el criterio funcional que se va a
minimizar en nuestro caso.
4. PROCEDIMIENTOS PARA LA
OPTIMIZACIÓN PARAMÉTRICA
SIMULINK nos provee de un entorno de simulación que puede ser totalmente controlado desde la
ventana de comandos de MATLAB o a través de
archivos tipo .m [16]. Esta propiedad de SIMULINK
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
21
Uso de simulink en el ajuste de controladores
Figura 2. Diagrama SIMULINK del proceso mas controlador.
22 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Romero
Figura 3. Diagrama SIMULINK del subsistema controlador
es clave, en cuanto nos permite programar una secuencia de experimentos de simulación de conformidad a la
lógica de experimentación que nos interese. En el caso
nuestro, la lógica de experimentación es determinada
por la función “fminsearch”, la cual es una rutina de
la toolbox de optimización de MATLAB, que se
encarga de buscar el mínimo de una función escalar
multivariable sin restricciones. Esta función de
MATLAB utiliza el método de búsqueda SIMPLEX
[17, 18]. Está reportado en la literatura que por el
hecho de no apelar al cálculo analítico o numérico de
los gradientes de la función que se está minimizando,
como sí lo hace, por ejemplo, la rutina “fminunc” de
la misma toolbox, “fminsearch” puede manejar las
discontinuidades que se puedan presentar en la función. En esta investigación la función escalar a la que
hacemos referencia, es implementada mediante un archivo tipo .m cuyo contenido se muestra en la Tabla 1.
El vector incógnita es ParCont, que en cada llamada
contiene los valores de los tres parámetros del controlador que se van a utilizar en la evaluación de la función. Mediante el comando “set_param” tales valores
son asignados a los correspondientes bloques del modelo del subsistema PID Discreto. Y en la línea
resaltada con una flecha apuntadora se comanda la
simulación del modelo por un intervalo de control de
100 min (comando “sim”). La evaluación de la función
se resume a obtener el último valor del arreglo de salida yout que corresponde al Outport #1 en el cual se va
almacenando la integral del valor absoluto del error.
Esta función es llamada por “fminsearch” según se
muestra en el Tabla 2.
El archivo “OptReactorSP.m” (Tabla 2) contiene el código que ejecuta el procedimiento de determinación de los parámetros óptimos del controlador para
un cambio en el valor de referencia de la temperatura
de 10 grados farenheit (partiendo de una adivinanza
inicial para el vector ParCont {60, 4, 1}). En su línea
clave resaltada de nuevo con una flecha apuntadora se
invoca a “fminsearch” para que comande toda la experimentación en la búsqueda de los valores óptimos;
es ella, a través de su algoritmo interno, quien se encarga de ir modificando el vector de parámetros del
controlador que se utiliza en cada llamada a la función
“optparametrico3modos”. Como quiera que el algoritmo SIMPLEX puede converger a un mínimo local
dependiendo de la adivinanza inicial que se haya
provisto, en la investigación se modificó un número
exhaustivo de veces la adivinanza inicial a los fines de
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
23
Uso de simulink en el ajuste de controladores
Tabla 1. Archivo .m para evaluar el funcional integral.
Tabla 2. Archivo .m que ejecuta la optimización.
function f=optparametrico3modos(ParCont,TS)
KC=ParCont(1);
TR=ParCont(2);
TD=ParCont(3);
ParametroIntegral=TS/TR;
ParametroDerivativo=TD/TS;
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
AccionIntegral','gain',num2str(ParametroIntegral));
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
AccionDerivativa','gain',num2str(ParametroDerivativo));
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
GananciaControlador','gain',num2str(KC));
[t,xout,yout]=sim('reactorcccontrol3',[0,100]);
% Simula el modelo reactorcccontrol3 en el intervalo de
tiempo desde 0
% hasta 100 min. Guarda en el arreglo t los valores de tiempo, en xout los
% valores de los estados para cada uno de los valores de
tiempo, y en yout,
% que está en el Outport 1: la salida del integrador del valor
absoluto del
% error.
numpuntos=size(t,1);
% Obtiene el numero de elementos del vector t
f=yout(numpuntos ,1);
% Obtiene el valor final de yout.
TS=1;
% Período de muestreo se hace igual a 1
set_param('reactorcccontrol3/DeltaTref','After','10');
% Cambio de 10 grados en la temperatura de referencia
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
In1','SampleTime',num2str(TS));
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
UnitDelay','SampleTime',num2str(TS));
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
UnitDelay1','SampleTime',
num2str(TS));
% Parámetros del Controlador
% KC=Ganancia Controlador
% TR=Reset Time
% TD=Derivative time
KC=60;
TR=4;
TD=1;
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/
UnitDelay2','SampleTime',
num2str(TS));
M0=47.5; % M0 es el reset inicial del controlador
set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/Unit
Delay2','X0',num2str(M0));
ParCont=[KC TR TD];
[ParCont,ValorOptimo,exitflag,output]=fminsearch
('optparametrico3modos', ParCont,[],TS);
set_param('reactorcccontrol3/DeltaTref','After','0');
% Esta ultima instrucción prepara el sistema para la simulación con otro tipo de variación perturbante o cambio de set
point.
ValorOptimo
ParCont
output
recopilar los resultados obtenidos y detectar el mínimo
global. Los resultados que se muestran en la sección
siguiente es el resumen de todos los experimentos
hechos en los dos casos un cambio en el punto de
ajuste de diez grados y una perturbación escalón del
25% en el flujo de alimentación del reactante (el archivo para este caso no se muestra, pero es fácil de derivar del mostrado en el Tabla 2).
5. RESULTADOS OBTENIDOS
En la Figura 4 se muestra la respuesta optimizada para un cambio en la temperatura de referencia de
diez grados. Esta respuesta, aunque bastante buena, no
es muy superior a la que se puede obtener mediante
alguna técnica clásica de diseño lineal, como LGR,
aplicada al modelo variacional anteriormente presentado. Donde la mejoría si es sustancial es en la respuesta
optimizada para cambios en la carga. En la Figura 5 se
muestra la respuesta optimizada para un cambio en el
24 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
flujo de suministro de reactante del 25%. A pesar de lo
significativo de la perturbación, la máxima variación
de temperatura no alcanza ni el medio grado y cualquier efecto desaparece en apenas diez minutos. Una
respuesta como ésta no fue posible obtener mediante
LGR, porque el paradigma de ubicación de los polos
del modelo variacional en cadena cerrada nos conduce
a una ubicación conservadora de los polos dominantes
(se persigue una buena estabilidad relativa), mientras
que, como lo demuestra nuestra solución optimizada la
mejor respuesta para cambios en la carga se obtiene
para unos ajustes de los parámetros del controlador
mucho más agresivos. Se justifica este calificativo en
cuanto a que con ellos se obtiene una ubicación de
algunos polos mucho más cercana al lindero de inestabilidad. Los ajustes óptimos para los dos casos son
radicalmente distintos. Tanto la ganancia Kc como Tr
Eje Imaginario
Temperatura (°F)
Romero
Eje Real
Tiempo (min)
Figura 6. LGR resultante con el ajuste optimo para cambios
en la referencia.
Eje Imaginario
Temperatura (°F)
Figura 4. Respuesta optimizada IAE para un cambio en la
referencia de diez grados.
Tiempo (min)
Eje Real
Figura 5. Respuesta optimizada IAE para un cambio en la
carga del 25%.
Figura 7. LGR resultante con el ajuste óptimo para cambios
en la carga.
resultan mucho mayores en el ajuste óptimo para cambios en la carga, como consecuencia de que la integral
del valor absoluto del error tiende a ser mucho más
pequeña. Así, estos experimentos demuestran lo que
ha sido reportado en reconocidos textos de control
digital [15, 19, 20]: la optimización paramétrica conduce a distintos resultados dependiendo de si se desea
optimizar la función servo o la reguladora. En estos
textos, se apela a reglas de sintonización como las que
ya hemos mencionado en la introducción y el cálculo
respectivo arroja también diferencias significativas
entre los dos ajustes óptimos. En la Figura 6 se muestra el lugar geométrico de las raíces, y la ubicación de
los polos cerrados para los ajustes óptimos correspondientes a cambios en el punto de ajuste (Kc= 7.86,
Tr= 9.64 y Td= 0.0858). Mientras que en la Figura 7
se muestra la ubicación correspondiente al ajuste óptimo para cambios en la carga (Kc= 142.63, Tr= 124.45
y Td= 0.6179).
La inclusión de los dos LGRs resultantes para
los dos ajustes óptimos, si bien escapa al enfoque
metodológico de este trabajo, permite aseverar que
el paradigma tradicional de ubicación de los polos
dominantes no resulta tan efectivo cuando se trata de
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
25
Uso de simulink en el ajuste de controladores
privilegiar el comportamiento regulador de un lazo de
control. El enfoque de optimización paramétrica aplicado a este caso, nos ha permitido desvelar este fenómeno que, por otra parte, no resulta tan evidente en el
contexto del análisis lineal. Una nota de advertencia
debería producirse, en este sentido, en el ámbito de los
cursos básicos de teoría de control.
6. CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
Mediante este trabajo se ha demostrado que la
técnica de optimización paramétrica puede ser, muy
fácilmente, generalizada a cualquier modelo matemático de proceso y cualquier controlador de estructura
predeterminada trabajando en ambientes de diseño tipo
MATLAB-SIMULINK, y que ello no requiere de un
número excesivo de horas de trabajo ni de sofisticados
conocimientos de optimización.
De la observación sobre el comportamiento de
los procedimientos utilizados desde el punto de vista
numérico, cabe señalar algunas conclusiones adicionales que pueden servir de recomendaciones a quienes
quieran enfrascarse en la búsqueda de soluciones de
este tipo:
1. Se observó que la rutina “fminsearch” puede converger a soluciones bastante alejadas del mínimo
global para algunos vectores de inicio.
2. Se optó por lo tanto en programar otro procedimiento muy sencillo para evaluar el funcional IAE sobre
una matriz tridimensional de resolución gruesa,
construida dándole a cada parámetro siete valores
distintos, elegidos de manera tal de cubrir todo el
dominio a explorar en su correspondiente dimensión. Las doscientos cuarenta y tres simulaciones,
realizadas en pocos minutos, nos permitió identificar la región donde podía ubicarse el mínimo global. Arrancando desde diversos vectores de inicio,
ubicados todos en los linderos de la región identificada, sí se observó consistencia del algoritmo en
cuanto a la convergencia hacia el mismo mínimo.
3. El poder de cálculo que nos brinda MATLAB nos
permitió la obtención de curvas de contorno del
funcional IAE en el espacio paramétrico. Se observó: que en el entorno alrededor del mínimo global
el funcional es bastante sensible a las variaciones en
el parámetro Td, cualquier ligero cambio en este
26 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
parámetro del controlador produce una variación
apreciable en el funcional y la respuesta dinámica,
no así en el caso de Kc y Tr. Esto lo que produce es
superficies de contorno relativamente más elongadas en dos dimensiones que en la correspondiente
al parámetro de la acción derivativa. El mínimo global, más que en un valle redondeado, se ubica en un
cañón [21, 22]. Ello explica que la búsqueda de este
mínimo amerite en promedio unas trescientas simulaciones, aun así y a pesar de lo que pudiera impresionar esta cifra, una vez montados y validados los
procedimientos, en una computadora de escritorio
la obtención del mínimo para un cambio de referencia o de carga no toma más de un cuarto de hora.
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Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
27
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 28-36, 2003
Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60
laminado en frío y sometido a un tratamiento térmico de recocido
César Angarita , Philippe Moewis, Laura Sáenz
Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
Email: [email protected]
Resumen
El comportamiento mecánico del acero microaleado X-60, se estudia cuando el material es laminado en
frío con grados de deformación de 10, 20 y 30 %, y posteriormente tratado térmicamente; aplicándosele
específicamente un recocido, a la temperatura de 700 ºC con tiempos de 10, 15 y 20 minutos. Dicho estudio
contempló primeramente el análisis químico, el ensayo de tracción, microscopía óptica y microscopía electrónica
de barrido para las condiciones originales, laminado en frío y con recocido; esto con el objeto de poder comparar
los resultados obtenidos con la muestra original. Un incremento en las propiedades mecánicas de forma
significativa se da en el material, el cual se hace más notable al aumentar el porcentaje de deformación. Este
incremento mecánico se caracteriza por el aumento del esfuerzo de fluencia, la resistencia a la tracción, y la
reducción de la ductilidad. En cuanto a las condiciones de recocido se da progresivamente la recuperación del
material con relación a sus propiedades mecánicas, debido a la recristalización parcial que se produce, la cual se
hace más satisfactoria para tiempos de recocido mayores de 15 minutos y para mayores grados de deformación
en frío. En las condiciones de mayor deformación (20 y 30 %), existe un leve crecimiento de grano, destacando
que es más evidente en la condición de mayor grado de deformación en frío.
Palabras claves: Acero microaleado, laminación, recocido, comportamiento mecánico.
Evaluation of the mechanical performance of a microalloyed stainless
steel type X-60 cold deformation and recovery thermal treatment
Abstract
The mechanical behavior of microalloyed stainless steel X-60 were analyzed in the present work, when the
material is cold rolled. The cold plastic deformation of 10, 20 and 30 % of their thinkness, followed by a thermal
treatment at 700 ºC during 10, 15 and 20 minutes. The mechanical behavior is characterized through chemical
analysis of its components, and the tension tests, optic microscope and scanning electronic microscopy. The
microstructure obtained is ferrite-perlite. The properties mechanical of the samples were evaluated in the
conditions as-received, cold-plastic deformation and thermal treatment material. When deformation is progressive
increment for the application of the cold rolling deformation is observed the increase of the mechanical strength.
It’s characterized for the yield strength and ultime tensile strength, and the reduction of the ductility. Partial
recristaly is obtained when the time of recovery is lower at 15 minutes and when the deformation is increased. In
the conditions when the material have more deformation (20 and 30 %), have a little growth of grain, it´s more
evident in the condition when have more cold deformation.
Keywords: Microalloyed steel, cold deformation, recovery and mechanical behavior.
1. INTRODUCCIÓN
Los aceros Microaleados conocidos como de
alta resistencia y baja aleación (HSLA), son un grupo de aceros de bajo contenido de carbono que
28 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
utilizan pequeñas cantidades de elementos aleantes
para obtener esfuerzos de fluencia mayores que
275 MPa (40 Ksi) en la condición de laminados
ó normalizados. La función principal de los elementos aleantes en estos aceros, es de contribuir al
Angarita, Moewis y Sáenz
endurecimiento de la ferrita por medio del refinamiento de grano, endurecimiento por precipitación y
endurecimiento por solución sólida. Este último está
ligado ampliamente a los contenidos de aleación,
mientras que los dos efectos anteriores a este, dependen de los efectos del complejo diseño de aleación y
de los tratamientos termomecánicos.
Estos tienen mejores propiedades mecánicas y
a veces mejor resistencia a la corrosión que los aceros
al carbono laminados. Mas aún, debido a que el
esfuerzo de fluencia de los aceros HSLA puede obtenerse con menores contenidos de carbono, la soldabilidad de muchos de ellos es comparable a la del acero
suave y hasta a veces mejor.
Los aceros HSLA también se proporcionan
como chapas laminadas en frío y forjas. La principal
ventaja de las forjas HSLA (como los productos
HSLA laminados en caliente) es que los esfuerzos de
fluencia en el rango de 275 a 485 MPa (40 a 70 Ksi) ó
quizás mayores pueden alcanzarse sin un tratamiento
térmico. Las composiciones base de estas forjas de
ferrita-perlita microaleadas son comúnmente 0,3 –
0,5 % de carbono y 1,4 – 1,6 % de manganeso. También han sido desarrolladas las forjas de acero HSLA
bainíticas de bajo carbono [1-3].
En el presente trabajo se establece como objetivo determinar como influye el tratamiento térmico de
recocido sobre las propiedades mecánicas del acero
microaleado de fabricación nacional denominado tipo
X-60 laminado en frío y recocido. A continuación se
presentará un resumen acerca de los aceros microaleados.
2. ACEROS MICROALEADOS
Los aceros HSLA son principalmente laminados en caliente en las formas de productos forjados
(chapas, láminas, barras, planchas y secciones estructurales) y se proporcionan comúnmente en la condición de laminados en caliente. Sin embargo, la producción de aceros HSLA laminados en caliente también puede incluir un procedimiento especial de laminación denominado “hot mill” que adicionalmente
mejore las propiedades mecánicas durante su fabrica-
ción. Este procedimiento incluye: Laminación controlada, enfriamiento acelerado, de templado o enfriamiento rápido al aire o enfriamiento al agua de aceros
de bajo carbono, el normalizado, y de recocido intercrítico.
• Laminación controlada: De endurecimiento por
precipitación de los aceros HSLA para obtener un
grano austenítico fino y/o grano austenítico altamente deformado [3-5], esto produce que el enfriamiento se transforme en granos ferríticos finos
que mejora la tenacidad y el esfuerzo de fluencia.
• Enfriamiento acelerado: En los aceros HSLA de
laminación controlada para producir un grano
ferrítico fino durante la transformación de la austenita. Estas velocidades de enfriamiento no pueden ser tan rápidas como para precipitar ferrita
acicular, ni tampoco puede ser tan lenta que puede
causar un sobreenvejecimiento por precipitación.
• De templado o enfriamiento rápido al aire o enfriamiento al agua de aceros de bajo carbono
(<0,08 %C). Poseen una adecuada templabilidad a
transformar bainita los aceros de bajo carbono
(ferrita acicular). Esta microestructura ofrece una
excelente combinación de alto esfuerzo de fluencia (275-690 MPa ó 60-100 Ksi) excelente soldabilidad, formabilidad y alta tenacidad controlando
el laminado si es necesario para bajar la temperatura de transición.
• El normalizado: De los aceros HSLA conteniendo
vanadio, para refinar el grano mejorando la tenacidad y el esfuerzo de fluencia.
• De recocido intercrítico: De los aceros HSLA,
para obtener una microestructura de doble fase
(matriz ferrítica con martensita dispersa). Esta
microestructura causa una disminución del esfuerzo de fluencia, pero su capacidad de endurecimiento por deformación suministra una buena
combinación de ductilidad y esfuerzo máximo y
mejora la formabilidad.
La utilidad y la efectividad de costo de estos
métodos de proceso son altamente dependientes de la
forma de producto y del contenido de aleación.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
29
Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60
Especificaciones y categorías de los aceros
HSLA [1]
Los aceros de alta resistencia y baja aleación
incluyen muchas normas y poseen distintos grados
diseñados para proporcionar combinaciones específicas de propiedades tales como esfuerzo, tenacidad,
deformabilidad, soldabilidad y resistencia a la corrosión atmosférica. Estos aceros no son considerados
aceros aleados, aún cuando sus propiedades deseadas
se alcancen mediante el uso de pequeñas adiciones de
aleantes. En lugar de esto, los aceros HSLA se clasifican como categoría separada, la cual es similar al
acero de medio carbono laminado con propiedades
mecánicas acrecentadas obtenidas mediante la juiciosa (pequeña) adición de aleantes y quizás las técnicas
especiales de procesos tales como la laminación con
enfriamiento controlado.
Aunque los aceros HSLA se consiguen en numerosas normas y combinaciones, los aceros HSLA
pueden dividirse en las siguientes categorías:
•
•
•
•
•
•
•
Aceros para la exposición a la intemperie.
Aceros microaleados ferríticos-perlíticos.
Aceros estructurales perlíticos laminados.
Aceros de ferrita acicular (bajo carbono bainita).
Aceros de doble fase.
Aceros controlados en el perfil de inclusión.
Aceros resistentes al agrietamiento inducido por
hidrógeno.
Solo se hará referencia a los aceros del tipo
ferrítico perlíticos ya que son los utilizados en el presente trabajo [3-6].
Aceros microaleados ferrítico-perlítico
Contienen pequeñas cantidades de elementos
formadores de carburos o carbonitruros
(generalmente < 0,10 %), tales como el niobio, el
vanadio y/o titanio para el endurecimiento por precipitación, refinamiento de grano y posiblemente control de la temperatura de transformación. Las propiedades mecánicas pueden incrementarse y mejorar la
microestructura mediante la adición de manganeso y
silicio [2-6].
30
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Usando pequeñas cantidades de elementos
aleantes como el niobio y el vanadio se puede incrementar el esfuerzo del acero laminado en caliente sin
aumentar el contenido de carbono y/o manganeso.
Estos aleantes en cantidades menores al 0,10 % fortalecen los aceros estándar al carbono-manganeso sin
interferir en sus procesos. Entonces el contenido de
carbono puede ser reducido para mejorar la soldabilidad y la tenacidad debido a los efectos fortalecedores
del niobio y vanadio compensados por la reducción en
el esfuerzo debido a la reducción del contenido de
carbono.
El refinamiento de grano mediante el condicionamiento de la austenita con métodos de laminación
con enfriamiento controlado ha dado como resultado
una mejora en la tenacidad y en los esfuerzos de
fluencia, de 345 a 620 MPa (50 a 90 Ksi) [3-6].
El alto esfuerzo de fluencia se alcanza a través
del efecto combinado del tamaño de grano fino
desarrollado durante el laminado en caliente controlado y el endurecimiento por precipitación debida a la
presencia del vanadio, niobio y titanio. Ejemplos especificados de acuerdo a las normas: SAE J410, SAE
J 1392, SAE J 1442, ASTM A-242, A-606, A-715 [6].
3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
El material utilizado es un acero microaleado
tipo X-60 fabricado por un proceso de laminación en
caliente, en forma de plancha de 15 mm de espesor
fabricado por SIDOR cuya composición química es
especificada en la Tabla 1 y comparada con el % en
peso máximo exigido por las especificaciones de la
Norma ASTM A 709.
El acero microaleado es sometido a un proceso
de laminado en frío, con grados de deformación de
10, 20 y 30% respectivamente y posteriormente es
tratado térmicamente, aplicándosele específicamente
un tratamiento de recocido a la temperatura de 700 ºC
con tiempos de 10, 15 y 20 minutos respectivamente.
Dicho estudio contempló ensayos de: tracción,
microscopia óptica y microscopia electrónica de barrido. Se evaluó el material en su condición original,
laminado en frío y luego de laminado y recocido.
Angarita, Moewis y Sáenz
Tabla 1. Composición química del acero microaleado X-60.
Elemento
% Peso
Experimental
% Peso máx. especificado en Norma
ASTM A 709
C
Ni
0,175 0,013
0,26
---
Mo
Cu
P
Al
Cr
Mn
S
Si
0,001
0,009
0,05
0,003
0,005
0,63
0,01
0,23
---
---
---
---
Ensayo de tracción
El ensayo de tracción evaluado en la máquina
marca Galdabini de capacidad 20 toneladas permitió
evaluar el comportamiento del material bajo la acción
de cargas estáticas. Durante el ensayo se somete a una
probeta de dimensiones especificadas según la norma
ASTM A 370, a una fuerza de tensión axial suficientemente lenta, para que las partes de las probetas estén
en equilibrio en todo instante. A su vez se registro los
diferentes alargamientos de la misma con relación a
una longitud inicial, hasta llegar a la ruptura.
Se utilizaron tres (3) probetas planas por cada
condición de ensayo. A través del ensayo de tracción
se determinaron las siguientes propiedades del material: Esfuerzo de fluencia, σy0,2%, resistencia a la tracción, σmáx, esfuerzo de ruptura, σrup, ductilidad medida
a través de el % de elongación, %e, y el % de reducción de área, % RA, y coeficiente de endurecimiento
del material, n.
4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La muestra del acero microaleado fue preparada
metalográficamente y atacada con Nital al 2 % ( 2 %
de ácido nítrico diluido en 98 % de alcohol etílico),
para observar el tipo de microestructura, encontrándose en el análisis de microscopia óptica la presencia de
una microestructura ferrítico-perlítica, como puede ser
observado en la Figura 1. Con respecto a cómo afecta
la deformación en frío al material se observa un alargamiento del grano a medida que se incrementa el
porcentaje de deformación.
En la Figura 1 (a, b, y c) se puede observar que
bajo las condiciones de recocido en base a la deformación en frío del 10 %, no muestran tendencia a
la recristalización, lo cual se puede atribuir a que los
0,04
1,35
0,05
0,40
tiempos de recocido establecidos no permiten desarrollar ni siquiera recristalización parcial en el material.
Debido a esto se puede decir que se da sólo la etapa
de recuperación o restauración inicial.
Los valores de las propiedades mecánicas evaluadas a través del ensayo de tracción del material
original y el material tratado, son presentados en la
Tabla 2. Se puede observar un incremento en las propiedades mecánicas de forma significativa, el cual se
hace más notable al aumentar el porcentaje de deformación, como es sabido la densidad de dislocaciones
aumenta a medida que aumenta la deformación en frío
del material, generando el endurecimiento por deformación del material y como consecuencia el aumento
de la resistencia mecánica del material. Este incremento mecánico es caracterizado por el aumento del
esfuerzo de fluencia y la resistencia a la tracción, así
como la reducción de la ductilidad, evaluada a través
del % de reducción de área y el porcentaje de elongación.
En las condiciones de recocido se da progresivamente la recuperación del material, con relación a
sus propiedades mecánicas, debido a la recristalización parcial que se produce, la cual se hace más satisfactoria para tiempos de recocido mayores de 15
minutos y para mayores grados de deformación
en frío, como se puede observar en las Figuras 2, 3 y
4. En las condiciones de mayor deformación (20 y
30 %), existe un leve crecimiento de grano que se da
en poca proporción y que pudiera contribuir a una
dispersión parcial del alargamiento granular, destacando que es más evidente en la condición de mayor
grado de deformación en frío, siendo así la más significativa ( Ver Figura 1).
La laminación en frío provoca en el material, el
decrecimiento del coeficiente de endurecimiento por
deformación, disminuyendo así, la capacidad del
acero para ser deformado plásticamente como se puede observar en los resultados expuestos en la Tabla 2.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
31
Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60
10 µm
10 µm
a) Deformación en frío al 10 % y recocido por 10 minutos.
e) Deformación en frío al 20 % y recocido por 15 minutos.
10 µm
10 µm
b) Deformación en frío al 10 % y recocido por 15 minutos.
f) Deformación en frío al 20 % y recocido por 20 minutos.
10 µm
10 µm
c) Deformación en frío al 10 % y recocido por 20 minutos.
g) Deformación en frío al 30 % y recocido por 10 minutos.
10 µm
10 µm
d) Deformación en frío al 20 % y recocido por 10 minutos.
h) Deformación en frío al 30 % y recocido por 15 minutos.
10 µm
i) Deformación en frío al 30 % y recocido por 20 minutos.
Figura 1. Microscopía óptica del acero X-60 en su condición de deformado en frío y tratado térmicamente a 700 ºC.
32 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Angarita, Moewis y Sáenz
Esfuerzo de Fluencia
Resistencia a la Tracción
Reducción de Area
500
Elongación
70
450
60
50
350
300
40
250
30
200
150
Ductilidad
Esfuerzo (MPa)
400
20
100
10
50
0
0
0
10
15
20
Tiempo de Recocido (min)
Figura 2. Variación de las propiedades mecánicas del acero microaleado X-60 en función del tiempo de recocido
realizado a 700 ˚C, después de deformado en frío. Deformación en frío al 10 %
Resistencia a la tracción
Esfuerzo de fluencia
% de reducción de área
Elongación
600
60
50
400
40
300
30
200
Ductilidad
Esfuerzo (MPa)
500
20
100
0
10
0
10
15
20
Tiempo de recocido (min)
Figura 3. Variación de las propiedades mecánicas del acero microaleado X-60 en función del tiempo de recocido
realizado a 700 ˚C, después de deformado en frío. Deformación en frío al 20 %
La condición de laminación en frío con 30 % de
deformación, y en las condiciones de recocido
(tiempos de 10, 15 y 20 minutos) se da el reestableci-
miento de las propiedades mecánicas en el acero microaleado X-60, ya que estas alcanzan valores muy
próximos a los que el material posee en condición
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
33
Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60
Resistencia a la tracción
Esfuerzo de fluencia
% de reducción de área
700
70
Elongación
60
500
50
400
40
300
Ductilidad
Esfuerzo (MPa)
600
30
200
100
20
0
10
0
10
15
20
Tiempo de recocido (min)
Figura 4. Variación de las propiedades mecánicas del acero microaleado X-60 en función del tiempo de recocido
realizado a 700 ˚C, después de deformado en frío. Deformación en frío al 30 %
original. Cabe destacar que se producen recristalizaciones parciales, evidenciadas mediante el estudio
metalográfico (Ver Figuras 2, 3 y 4).
En la condición de 30 % de laminación en frío a
partir de 10 min de recocido presenta el mayor intervalo de recuperación de ductilidad, representados por
el porcentaje de elongación y el porcentaje de reducción de área, en comparación a las demás condiciones
de laminación y recocido.
Las condiciones de recocido en base a la
deformación en frío del 10 %, (Ver Figura 2) no
parcial en el material. Debido a esto se puede decir
que se da sólo la etapa de recuperación o restauración
inicial.
Microscopia electrónica de barrido
Las superficies de fractura de las probetas de
tracción fueron observadas a través del microscopio
electrónico de barrido, a nivel general el material presenta en mayor proporción, características dúctiles en
la superficie de fractura de las probetas de tracción,
las cuales pueden atribuirse al tratamiento de recoci34 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
do aplicado. Encontrándose que el mecanismo de
fractura es del tipo coalescencia de cavidades, caracterizado por la presencia de hoyuelos de pequeños
diámetros y coalescencia de cavidades.
5. CONCLUSIONES
La condición de 30 % de laminación en frío a
partir de 10 min de recocido presenta el mayor rango
de recuperación de ductilidad, representados por el
porcentaje de elongación y el porcentaje de reducción
de área, en comparación a las demás condiciones de
laminación y recocido. Estos intervalos son de 10,234,7 % y 41,92-57,87 % respectivamente.
Para el mayor grado de deformación en frío
(30 %), se tiene un incremento en el esfuerzo de
fluencia del 100,44 % y un 39,14 % para la resistencia a la tracción, en comparación a la condición original.
Las condiciones de recocido en base a la deformación en frío del 10 %, no muestran tendencia a la
recristalización, lo cual se puede atribuir a
que los tiempos de recocido establecidos no permiten
Angarita, Moewis y Sáenz
Tabla 2. Propiedades mecánicas del acero microaleado X-60.
σy0,2%
(MPa)
σmax
(MPa)
σrup
(MPa)
RA
(%)
e
(%)
n
Condición
σ0
(MPa)
Original
285,7
300,4
565
433,7
61,7
30
0,35
laminado al 10 %
414,5
428,6
505,7
392,5
55,9
15,3
0,13
laminado al 20 %
480,6
534,2
565,1
429
52,0
12,2
0,11
laminado al 30 %
551,4
604
635,3
497,4
42
10,2
0,12
347,8
351,3
545,7
412,4
59,4
20,5
0,25
305,1
319,7
536,8
402,3
55,8
27,1
0,31
271
346,3
567,6
450,5
58,84
28,6
0,24
378,8
399
570
438,5
56,2
25
0,24
383,3
407,4
560,5
437,8
57,5
26,2
0,29
397,2
406
574,8
445,2
55,6
27,4
0,26
244,5
313,1
570,7
438
57,9
35,2
0,38
246,5
304,2
559,3
427,2
59,8
36,1
0,40
247
290,4
549,4
418,9
59,4
38,1
0,37
laminado al 10 % +
recocido a 700 °C por
10 min
laminado al 10 % +
recocido a 700 °C por
15 min
laminado al 10 % +
recocido a 700 °C por
20 min
laminado al 20 % +
recocido a 700 °C por
10 min
laminado al 20 % +
recocido a 700 °C por
15 min
laminado al 20 % +
recocido a 700 °C por
20 min
laminado al 30 % +
recocido a 700 °C por
10 min
laminado al 30 % +
recocido a 700 °C por
15 min
laminado al 30 % +
recocido a 700 °C por
20 min
desarrollar ni siquiera recristalización parcial en el
material. Debido a esto se puede decir que se da sólo
la etapa de recuperación o restauración inicial.
miento por deformación, disminuyendo así, la capacidad del acero para ser deformado plásticamente.
A nivel general el material presenta en mayor
proporción, características dúctiles en la fractura de
las probetas de tracción, lo cual puede atribuirse al
tratamiento de recocido aplicado.
RECONOCIMIENTOS
A partir de los 15 min. de recocido, se observa
un leve crecimiento de grano en ciertas regiones del
material, lo cual es consecuencia de la recristalización parcial producida. Esto es específicamente
para las condiciones de 20 y 30 % de deformación en frío mediante el proceso de laminación.
La laminación en frío provoca en el material, el decrecimiento del coeficiente de endureci-
Los autores reconocen al Consejo de Desarrollo
Científico y Humanístico de la Universidad de Carabobo por el financiamiento al proyecto CDCH-99-03.
REFERENCIAS
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Microalloyed Steels, The Institute of Materials,
UK(1997).
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
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Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60
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propertyties of ferritic- pearlitic HSLA Steeels.
(1993) Materials Technology. Steel Research 64
N°5 p.p. 267-274.
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vanadium and titanium microalloyed steel.
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Austenite in a V-Nb Microalloyed Steel. Journal
of Materials Science 32 (1997) p.p.5985-5991.
[6] F.B. Pickering (1978) Physical Metallurgy and the
Design of Steels, cap. 4, Ed. Applied Science
Publishers, Essex.
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 37-49, 2003
Determinación de la disminución del rendimiento global de
una bomba centrífuga por concepto de desgaste en su carcasa
Luis E. Vallés D., Trina G. Cortez M.
Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
Email: [email protected]
Resumen
Puesto que en la actualidad no existe suficiente información acerca de la evolución del desgaste en la
carcasa, no se conoce el comportamiento de las variables operativas incluyendo el rendimiento global en función a
este fenómeno; es por ello que la presente investigación se plantea como objetivo principal la determinación de la
disminución del rendimiento global que presenta una bomba centrífuga por concepto de desgaste en su carcasa.
Para el logro de tal objetivo, se realizaron ensayos que permitieron simular tal proceso, observando al mismo
tiempo el comportamiento de las variables operativas, empleando para ello una bomba marca KSB modelo ETA
32-200, ya que estas bombas son muy utilizadas a nivel industrial. Los resultados arrojaron, para el caudal
nominal del equipo, una disminución del rendimiento global desde 44,74 % hasta 41 % lo que representa una caída de un 8,36 % respecto a su valor inicial, así como una disminución neta de la altura efectiva de 3,11 m.c.a y un
aumento considerable de la potencia de accionamiento. El desgaste que afectó la carcasa es de tipo abrasión por
arranque, y provocó la pérdida del 3 % del peso inicial la carcasa.
Palabras claves: Carcasa, rendimiento, desgaste, bomba centrífuga, altura efectiva.
Determination of the global yield decrease of a centrifugal
pump due to casing wear
Abstract
Since now, there is not enough information about the casing wear evolution, the operative variable behavior
does not know including the global yield in function to this phenomenon; wherefore the main objective of the
present investigation is the determination of the global yield decrease that a centrifugal pump presents for the
wear concept in its casing. To get this objective, rehearsals carried out, which allowed simulating the process,
observing the operative variables behavior at the same time, using a marks KSB model ETA 32-200 pump, since
these pumps are very utilized at industrial level. The results hurtled a global yield decrease for the nominal flow of
the equipment from 44.74 % to 41 %, what represents a fall of 8.36 % with respect to the initial value, as well as a
net decrease of the effective height of 3.11 m.c.a and a considerable increase of the working power. The wear that
affected the casing is an outburst abrasion type, and it caused the loss of 3 % of the casing initial weight.
Keywords: Casing efficiency, wear, centrifugal pump, dynamic head.
1. INTRODUCCIÓN
Las empresas poseen una imperiosa necesidad
de asegurar su futuro, dentro de ellas se llevan a cabo
procesos en los cuales están involucrados equipos que
en la mayoría de los casos, no se tiene conocimiento
de cómo ni cuándo acarrearán problemas.
industrial. Comparado con los otros dos problemas
que ocasionan el reemplazo de máquinas y/o sus componentes como son la fatiga y la corrosión, el desgaste
ha sido el menos estudiado y probablemente sea por
esta razón, que aún no se ha constituido un cuerpo de
conocimientos racional que permita predecirlo con
cierto grado de exactitud.
El desgaste es una de las principales causas,
que hace necesario el mantenimiento de la maquinaria
La situación de Venezuela en los últimos años
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
37
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
ha llevado a que se le dé una importancia creciente al
estudio del desgaste ya que este proceso degenerativo
es prácticamente inevitable, dañino en muchos casos
pero reducible. En los momentos actuales parece más
adecuado dirigir esfuerzos hacia la prolongación de la
vida útil de los elementos de máquinas, antes que a la
fabricación intensiva de piezas de reposición.
trumentos de medición de las diferentes variables que
se medirán durante el proceso de desgaste de la carcasa. Todos los instrumentos de medición a emplear
en el banco de ensayos, son los mismos seleccionados
Por las investigaciones previas desarrolladas en el
mismo, considerando los cálculos, criterios y normas
correspondientes [1, 2].
En la actualidad las bombas centrífugas conforman las piezas claves de la mayoría de los sistemas
para manejo de fluidos; y por ser máquinas dinámicas, conformadas por una parte rotatorias y otra fija,
forman parte de aquellos equipos cuyos componentes
son bastante susceptibles a desgaste.
Los sistemas A y B están conformados por los
mismos componentes, la única diferencia es el fluido
de trabajo. Tales componentes son: (a) conjunto bomba-motor, (b) fluido de trabajo, (c) base del banco
sobre la cual se instalará el conjunto, (d) tanque de
almacenamiento para el fluido de trabajo, (e) circuito
hidráulico compuesto por la tubería de succión y
tubería de descarga, accesorios, válvula de control de
fluido, (f) instrumentación [3].
Por todo lo anterior, el hecho de estudiar el
fenómeno de desgaste en una bomba centrífuga, específicamente de su carcasa, constituye un aporte importante a la necesidad de obtener un mejor rendimiento de las superficies susceptibles de desgaste en
las bombas, a la determinación de las causas de este
fenómeno y predicción de sus consecuencias. La presente investigación espera determinar el efecto del
desgaste de la carcasa sobre el rendimiento y funcionalidad de la bomba a través de la observación de las
curvas características a lo largo del proceso de
desgaste.
2. METODOLOGÍA
Desarrollo de la solución
En el presente trabajo se hace referencia al
diseño del procedimiento a seguir, desde los ensayos,
el banco de ensayos y el procesamiento de los datos
recolectados. Luego se procederá al análisis de los
resultados obtenidos en esta etapa, y efectuar conclusiones y establecer las respectivas recomendaciones.
Descripción del banco de pruebas
Esta sección estará dedicada a la descripción
detallada del banco de pruebas donde están instaladas las bombas requeridas para la realización de los
ensayos. Es importante destacar que este banco de
pruebas ya ha sido utilizado en el desarrollo de ensayos para estudios de desgaste, en otros componentes
de la ETA 32-200; por lo cual dispone de las tomas y
conexiones necesarias para la instalación de los ins38 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Conjunto bomba motor
El tipo de bomba con la cual se hará el estudio
es una bomba centrífuga para manejo de agua limpia,
específicamente de la casa fabricante de estos equipos
KSB, modelo ETA 32-200 con motor de 15 HP a
3.500 rpm.
Las dimensiones principales y los caudales
nominales de las bombas de baja presión de la serie
ETA construidas por KSB corresponden a las normas
DIN 24 255.
Circuito de succión y descarga
El circuito hidráulico es de succión negativa;
consta de un tramo de elevación de succión ( φ 2"),
compuesto de una válvula check para mantener la
ceba y una toma de presión para ser conectada a un
vacuómetro (0-30"Hg.), el cual mostrará la presión en
la succión de la bomba. En el tramo de descarga
(φ 1¼") se encuentra una toma de presión que se
conectará a un manómetro (0-12 bar) que registrará la
presión de descarga de la bomba, al final de la tubería
de descarga se coloca una válvula para el control del
caudal manejado por la bomba [4].
Selección de los instrumentos de medición
Mediante el banco de ensayos se podrá determinar las magnitudes de las variables hidráulicas de
Vallés y Cortez
funcionamiento de la bomba centrífuga, tales como:
altura efectiva, potencia de accionamiento, rendimiento global. Para ello se hace necesario medir las variables involucradas que permitan determinar dichas
variables hidráulicas fundamentales por lo que se
harán las mediciones de: presión a la descarga,
presión en la succión, velocidad del fluido, temperatura del fluido, velocidad de giro del motor, voltaje,
intensidad de corriente y factor de potencia [5].
Cada instrumento tiene límites de mediciones
tales, que los valores donde se va a mover la variable
estén entre un 60 % a un 80 % del intervalo del instrumento, de esta manera se busca seleccionar el instrumento que proporcione la mejor apreciación posible.
Presión
Las presiones que se requieren medir son la
presión en la succión y la de descarga de la bomba.
Para el caso de la succión se requiere de un vacuómetro (0-30 "Hg) debido a que, de acuerdo a la ubicación
de esta tubería respecto a la bomba, se tiene una
elevación de succión y por ende la presión en la
succión de la bomba será menor que la atmosférica,
es decir, una presión de vacío.
Se debe tener en cuenta que la máxima presión
manométrica de succión o vacío, de acuerdo con los
cálculos realizados al momento de diseñar el banco y
seleccionar los instrumentos a emplear en él, es de
0,196 bar por debajo de la presión atmosférica. De
acuerdo con esto se empleará en la succión un vacuómetro tipo Bourdon marca Bourdon Sedeme.
Para establecer la posición más apropiada en la
cual debe instalarse o colocarse el instrumento, se
considera la norma ASME PTC 8.2 - 1990; de acuerdo con la sección 4 párrafo 4.7 de esta norma, se tiene
que "los instrumentos para medir presión deben ser
colocados a una distancia mínima de la succión de la
bomba de dos veces el diámetro de la tubería".
Para el caso de la descarga se empleará un manómetro, ya que como es de esperarse la presión en
este punto es mayor que la presión atmosférica. Para
la selección de este instrumento es necesario conocer
el valor máximo de presión que puede presentarse en
este punto. De acuerdo con las características y especificaciones de la bomba, el valor máximo de presión
a la descarga de la misma es de 8,5 bar (125 psig).
Debe prevenirse el efecto que puede ocasionar la
vibración en este instrumento, para ello se requiere
que el mismo contenga glicerina.
A partir de lo anterior se selecciona un manómetro (0-12 bar) tipo Bourdon con glicerina. Para
determinar la colocación del manómetro se hace
referencia a la norma ASME PTC 8.2-1990, al igual
que en el medidor de presión de succión.
Caudal
Para la selección del medido de caudal uno de
los aspectos más importantes a considerar es el caudal
o los caudales que manejarán cada una de las bombas
del sistema. Conocer con la mayor exactitud los valores de esta variable es importante, dado que indica en
que punto de la curva del equipo, se está trabajando.
Para la etapa de los ensayos en que se produce el desgaste de la carcasa, con la bomba A del banco de ensayos, se trabajará en un entorno del punto de máximo
rendimiento de ± 5 %, es decir (16 m³/h ± 0,8 m ³/h).
Para la etapa de medición de las variables operativas
en la bomba B del banco de ensayos, se tomará la lectura de las mismas para los caudales establecidos en el
Manual para ensayo de performance de KSB, también
con una tolerancia de ± 5 % para cada caudal [6-8].
Debido a que el fluido que maneja el sistema es
una mezcla de agua y arena se debe utilizar un método especial de medición, ya que dicha mezcla es altamente abrasiva, se hace necesaria la selección de un
medidor de velocidad de flujo de colocación externa
a la tubería (normas ASTM PTC 8.2-1990, aparte
4.25). Por lo anterior, se elige un medidor de caudal
tipo Doppler.
Temperatura
Se quiere conocer no sólo la temperatura del
fluido, sino también la temperatura superficial de la
bomba y del motor. Para el caso del primero, se
empleará un termómetro fijo colocando en el tanque
de almacenamiento y un termómetro móvil para
conocer la temperatura a la cual opera el equipo de
bombeo en los sitios más importantes como son la
carcasa de la bomba y la caja de rodamientos [9].
Para medir la temperatura del fluido se colocará
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
39
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
un termómetro en el tanque de almacenamiento ya
que dentro del mismo la temperatura se hace más
uniforme. Para la selección de este instrumento se
considera que la temperatura máxima que podría, en
un caso extremo, alcanzar el fluido es de 100 °C.
Para determinar la temperatura del equipo de
bombeo (bomba y motor) se utilizará un pirómetro de
radiación. Este instrumento presenta la ventaja que
con él se pueden realizar mediciones sobre cualquier
superficie.
Velocidad de giro del motor (rpm)
Para determinar la velocidad a la cual gira el
motor en conjunto con la bomba se empleará un
tacómetro de contacto que requiere estar fijo al eje de
rotación [10].
Potencia eléctrica
Para conocer con exactitud la potencia de
accionamiento, sería conveniente realizar la calibración del motor, es decir, instalarlo en un equipo capaz
de medir el tanque en el eje y la velocidad de giro del
mismo a fines de obtener esta potencia y con ello
determinar el rendimiento global de la bomba. Sin
embargo, ésta representa una limitación ya que la
Universidad de Carabobo actualmente no cuenta con
este equipo para motores de 15 hp y realizar este
procedimiento fuera de las instalaciones de la Universidad resultaría excesivamente costoso.
Para determinar la potencia eléctrica consumida
por el motor se empleó un transformador de corriente
para llevar la corriente de una línea que está por orden
de los 37 A (según especificaciones del motor a
220 v), a una corriente que soporte el instrumento de
medición (5A) que para este caso será cofímetro que
en conjunto con un amperímetro y un voltímetro,
suministrarán información para determinar la potencia
eléctrica consumida por el motor a través de la ecuación.
Pa = 3 IVcos (φ )η mot
(1)
3. DETERMINACIÓN DE LA MEZCLA DE
AGUA Y ARENA
En el campo de la investigación de bombas cen40 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
trífugas, se ha observado la utilización de una mezcla
de agua y arena para producir el desgaste acelerado de
los componentes del equipo de una manera progresiva
y uniforme. Por lo general predomina el uso de dos
tipos de arena, un tipo de arena de cuarzo (arena de
montaña) y otro tipo de arena de sílice (que se utiliza
para realizar los moldes en los procesos de fundición).
Investigaciones anteriores [3], en las cuales se
simuló el desgaste progresivo del impulsor de este
mismo tipo de bomba mediante condiciones de trabajo real, se realizó una comparación entre los dos tipos
de arena anteriormente mencionadas basándose en
parámetros como dureza, resistencia a la fricción,
facilidad de adquisición y bajos costos. De esta manera se consideró mas apropiado para acelerar el desgaste, el uso de arena de sílice en comparación con la de
cuarzo ya que posee un tamaño de partícula que comprende los valores de dureza y resistencia a la fricción
capaces de resistir el trabajo frente a las propiedades
del material de la carcasa, además de ser más accesible su adquisición, que la arena de cuarzo.
El tamaño de partícula está basado en estudios
de tribometría donde se establece un diámetro mínimo
de 0,186 mm y un diámetro máximo de 1 mm. Con
este tamaño de partícula, en la mencionada investigación [3] se estableció que una concentración de
5 % (masa/volumen) es apropiada para acelerar el
proceso de desgaste en las condiciones de funcionamiento dadas.
Los valores de diámetro de partícula de arena se
sílice que usará para la preparación de la mezcla están
entre 0,21 mm como valor mínimo y 0,85 mm como
valor máximo puesto que se cuenta con tamices
ASTM N° 70 Y N° 20; los demás tamices de número
mayor o inferior a éstos dan un diámetro de partícula
que sale del rango recomendado.
El cálculo del peso (Kg) de arena necesaria para
lograr una concentración del 5 % se realizó en función
de la cantidad de agua en el tanque de almacenamiento.
Este volumen de agua dada la geometría del
tanque, es de 0,52 m³ lo que es igual a 520 Kg de
agua, por ende si la cantidad de agua representa el
95 % de la masa total de la mezcla, entonces la mezcla tiene una masa total de 548 Kg. La diferencia
entre la masa total de la mezcla y la masa de agua
Vallés y Cortez
sería por ende la masa de arena, teniendo así una cantidad de arena necesaria igual a 28 Kg.
4. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN DE
LAS CARACTERÍSTICAS DE LA
CARCASA
De acuerdo con investigaciones previas [5] a lo
largo del proceso de desgaste, la superficie de la
carcasa va perdiendo material, lo cual hace que ésta
adquiera un aspecto físico importante, típico del tipo
de desgaste que se presenta.
A fines de obtener la mayor cantidad de información acerca del mencionado fenómeno, se realizará
el pesaje de la carcasa en condiciones iniciales y al
final de cada período de trabajo para desgaste; es
decir, al momento en que está nueva, luego a las 12,
24, 36, 48 y 60 horas de trabajo. Esto permitirá conocer la cantidad de material de carcasa perdido durante
todo el proceso, para lo cual se utilizará una balanza
marca OHAUS con capacidad de Kg y apreciación de
1 gramo.
Figura 1. División de la carcasa para la ubicación de los
puntos donde se evaluó el espesor de la pared.
Esto permite comparar el grado de severidad
del desgaste a lo largo de los 360° de la carcasa en
sentido del recorrido del flujo (Figura derecha) y a lo
ancho de la misma (Figura izquierda).
Las mediciones se realizaron empleando un
medidor ultrasónico. Los valores de espesor de pared
se tabularon en un formato especialmente diseñado
para tal fin que se muestra en la Figura 2.
Medición del espesor de pared
Otra variable que permite obtener información acerca del efecto del desgaste a lo largo de la carcasa es el
espesor de pared de la misma. Si la carcasa pierde
peso por efecto del desgaste, esta pérdida se reflejará
en la variación del espesor de pared. Las mediciones
de tal variable, se realizarán al inicio (0h) y al final
(60h) del proceso de desgaste.
Para establecer los puntos donde se evaluará el
espesor de pared, se realiza una división imaginaria de
la carcasa en tres regiones o circunferencias diferentes
las cuales a su vez se subdividen en zonas tal como se
muestra en la Figura 1; esto permitirá observar la
tendencia de esta variable a lo largo y ancho de este
componente.
Como puede verse en la Figura 1 la carcasa se
divide en tres regiones denotadas como R1, R2 y V, a
su vez cada una de éstas se subdivide en siete zonas
diferentes denotadas como Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6 Y
Z7. De todas las zonas de cada una de estas regiones
se tomará un punto particular (P1, P2, P3, P4, P5, P6,
P7) y se evaluariá siempre en el mismo punto el espesor de pared a las 0 y 60 horas de trabajo.
Figura 2. Formato para la medición del espesor de la pared
de la carcasa a lo largo del proceso de desgaste.
5. OBSERVACIÓN DE LAS HUELLAS QUE
SE FORMAN EN LA SUPERFICIE
INTERNA DE LA CARCASA PRODUCTO
DE DESGASTE
Otro aspecto importante para el análisis del desgaste en la carcasa, es la observación del aspecto que
adquiere la superficie interna de la misma durante este
proceso. Tal observación se basará en la realización
de una impresión sobre papel de la superficie a lo
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
41
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
largo de toda la circunferencia interna de la carcasa
una vez terminado cada intervalo de trabajo, tal como
se muestra en la Figura 3, empleando para ella una
pieza graficada que permita marcar las "huellas" que
se producen por efecto del fenómeno de desgaste.
La observación de esta superficie conllevará al
establecimiento del tipo de desgaste que se presenta
en la misma. Además de esto, este procedimiento
permitirá observar si la geometría y tamaño de la
huella que se forma por efecto del desgaste sobre la
superficie interna de la carcasa es uniforme o si es
variable a lo largo de los 360°.
Figura 3. Impresión de la huella que se forma en la
superficie interna de la carcasa por efecto del desgaste.
yores pérdidas volumétricas. 2) aumenta el choque
entre sí de las partículas del fluido ya que se originan
torbellinos debido a la deformación de la superficie
interna de la carcasa; esto se traduce en un incremento
de las pérdidas hidráulicas, las cuales disminuyen la
energía específica útil que la bomba comunica al fluido, es decir, la altura efectiva.
De acuerdo con la ecuación de Euler, se tiene
que en los rodetes centrífugos, la cantidad de energía
transferida al fluido la determinan las condiciones
cinemáticas a la salida del rodete (U2, B2, A2, Q).
⎛1⎞
H e = ⎜ ⎟U
(2)
⎝g⎠
Si para un mismo caudal a lo largo del proceso
de desgaste, la velocidad de giro rpm fue más o menos constante y por ende la velocidad tangencial en la
salida U2 también; y manteniendo el mismo impulsor,
por lo cual fue constante el área de la sección de salida A2 y el ángulo del alabe en la salida, entonces se
deduce que la variación en el valor de H que muestra
la Figura 4 es producto del desgaste de la carcasa.
6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Evolución de las curvas de funcionamiento
durante el proceso de desgaste
Una vez realizado cada ensayo, se procedió al
levantamiento de las curvas de las variables operativas: altura efectiva (H), potencia de accionamiento
(Pa) y rendimiento global (η). Los datos recolectados
se procesaron en un programa diseñado en Microsoft
Excel, el cual se basó en los cálculos del procedimiento para ensayo de performance establecido por KSB
fundamentado en las Normas del Instituto de Hidráulica Nivel B.
Curvas H vs. Q
Como puede notarse en el gráfico los valores de
H para un mismo caudal tienen a disminuir a medida
que aumenta el tiempo de desgaste. Este comportamiento obedece al hecho de que al aumentar el desgaste en la carcasa: 1) aumenta el caudal de recirculación; y puesto que la energía que se le comunica a
este caudal no es aprovechada, se tienen entonces ma42 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
0
12
24
Ho
ra
s
36
48
56
Figura 4. Curvas de comportamiento de la altura efectiva
durante el proceso de desgaste.
Para el punto de caudal nulo o shutt-off, la
disminución de la altura efectiva responde al aumento
de las holguras internas por efecto del desgaste, como
por ejemplo la holgura entre el ojo del impulsor y la
succión de la carcasa, aumenta por efecto del desgaste
del anillo de desgaste lo que hace aumente el caudal
de recirculación. La Figura 5 muestra los valores de
altura efectiva para el punto de caudal nulo, durante el
proceso de desgaste de la carcasa.
Vallés y Cortez
Para el valor de caudal nominal de la bomba
(16 m³/h) la altura efectiva, durante todo el proceso de
desgaste de la carcasa, (desde que está nueva hasta el
momento en que falla), disminuye de 76,67 m.c.a.
a 73,56 m.c.a, esto es, cae 3,11 m.c.a. lo que representa
4,05 % de su valor inicial.
Figura 5. Curva de comportamiento de la altura efectiva
para caudal nulo durante el proceso de desgaste.
Un aspecto importante que debe observarse, es
el cambio en la pendiente de las curvas de altura efectiva. Observando tales curvas puede notarse como la
pendiente de las curvas aumenta, para un mismo intervalo de caudal, con el grado de desgaste o tiempo de
funcionamiento de la bomba. Este aumento se observa
mejor en el siguiente gráfico.
incrementan con el caudal neto manejado, tal incremento se acentúa aun más con el desgaste de la carcasa. Esto quiere decir, que cuando la bomba maneja
caudales mayores al nominal, el efecto del desgaste
sobre la funcionalidad de la misma, es aún más negativo que cuando maneja caudales que estén cercados o
dentro del entorno del punto de máximo rendimiento;
véase en la Figura 6 como aumenta la variación de
altura efectiva para caudales mayores al nominal.
Observando el comportamiento de las curvas
H vs. Q, puede notarse que para cualquier sistema, a
medida que aumenta el desgaste de la carcasa, el punto
de trabajo se desplaza hacia la izquierda. Tal desplazamiento implica que el nuevo valor de altura y/o caudal
puede no corresponderse con las exigencias solicitadas
por el sistema donde se encuentra instalada la bomba;
en este caso se hace necesaria una evaluación del proceso para determinar si éste no admite variación en
una de las variables. Si la variable que resulta crítica es
la altura (H) y ésta logra mantenerse sacrificando caudal (Q) o viceversa, entonces quiere decir que el
equipo puede seguir operando con la carcasa a cierto
grado de desgaste. Sin embargo si no existe manera de
poder mantener la variable crítica para el proceso que
se tenga, entonces es necesario el reemplazo de la carcasa.
Curvas Pa vs. Q.
Como puede notarse en la Figura 7 la potencia
de accionamiento tiene a aumentar con el desgaste o
envejecimiento de la carcasa.
56
48
36
12
0
24
0
12
24
36
48
56
ras
Ho
Figura 6. Altura efectiva para caudal nulo durante el
proceso de desgaste de la carcasa.
A medida que aumenta el caudal neto manejado
por la bomba, mayores son las pérdidas hidráulicas.
El gráfico evidencia que, las pérdidas hidráulicas se
Figura 7. Curva de comportamiento de la potencia de
accionamiento durante el proceso de desgaste.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
43
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
Para el caudal nominal la potencia se incrementa
desde 9,86 hp hasta 10,32 hp es decir, aumenta 0,46 hp
lo que representa un 4,66 % del valor inicial.
Si al momento de instalar el equipo para la realización de los ensayos, se hubiese seleccionado un motor de 10 hp, es decir, no se hubiese respetado el factor
de reserva de potencia, se habría tenido una sobrecarga
del motor y por ende se habría dañado.
Por esto es importante señalar, que el evidente
aumento en la potencia obliga al usuario a seleccionar
motores que soporten tal incremento; logrando evitar
pérdidas por reparación o sustitución de los mismos.
Como puede observarse a través de la Figura 7,
las curvas de potencia de accionamiento, se desplazan
de forma casi paralela, aumentando con el grado de
desgaste de la carcasa. La menor variación de la potencia de accionamiento ocurre para caudales cercanos al
punto de shut-off y para caudales cercanos al entorno
de máximo rendimiento (16 m³/h).
Figura 8. Rendimiento global de la bomba para el caudal
nominal durante el proceso de desgaste de la carcasa.
0
12
24
Curvas n vs. Q
Dado el aumento en la potencia de accionamiento así como la disminución de la potencia útil (por el
aumento de las pérdidas de disponibilidad) a través del
proceso de desgaste, el Rendimiento global se comporta como se muestra en la Figura 8, disminuyendo considerablemente desde 44,74 % hasta 41 %, es decir,
cae 3,74 puntos porcentuales, lo que representa un 8,36
% respecto a su valor inicial, para el punto de caudal
nominal de la bomba (16 m³/h).
Tal como indican las curvas de comportamiento
en la Figura 9, a lo largo del proceso de desgaste de la
carcasa, la bomba experimenta una caída considerable
del rendimiento global. Esta disminución se observa
mejor en la Figura 9, que muestra los valores de rendimiento global para caudal nominal de la bomba
(16 m³/h) a las diferentes horas de trabajo para
desgaste.
Como se observa en la Figura 8, el rendimiento
global de la bomba en estudio, para el caudal nominal,
experimenta un comportamiento descendente durante
el proceso de desgaste de la carcasa, tal comportamiento se ajusta a un polinomio de tercer orden, cuya ecuación se muestra sobre la Figura 8.
44 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
36
48 56
ra
Ho
s
Figura 9. Curva de comportamiento del rendimiento global
de la bomba durante el proceso de desgaste de la carcasa.
A partir del análisis de la Figura 8, se establece
que la ecuación del polinomio aproximado al comportamiento del rendimiento global resulta la relación entre el rendimiento global y el tiempo de desgaste de la
carcasa trabajando bajo las condiciones del ensayo. Es
decir, el rendimiento global de la bomba para caudal
nominal (16 m³/h) varía con el tiempo de desgaste de
la carcasa (bajo las condiciones del ensayo) según la
ecuación:
N = 0,00004t 3 − 0,0037t 2 + 0,0231t + 44,74
(3)
Siendo:
t = tiempo (horas) para el cual se desea conocer el
rendimiento durante el ensayo.
Vallés y Cortez
Partiendo de la ecuación anterior, se determina
la relación entre el rendimiento del equipo y el tiempo
de trabajo para cualquier concentración de sólidos.
Para ello se considera la equivalencia del tiempo de
trabajo con una concentración de 5 y las horas de
trabajo a una concentración dada, teniéndose que:
T iem p o =
X%
tiem p o rea l
5%
(4)
Esta equivalencia se sustituye en la ecuación de
rendimiento y se obtiene la ecuación que expresa el
valor del rendimiento global de la bomba en función
del tiempo de trabajo y de la concentración de sólidos
que maneje, tal ecuación resulta:
3
2
X%
⎛ X%
⎞
⎛ X%
⎞
η(%) =⎜ ζtiempo⎟ − 0.003⎜ ζtiempo⎟ +
ζtiempo + 44.74
5%
⎝ 5%
⎠
⎝ 5%
⎠
.
(5)
De manera simplificada se tiene que:
η(%) = 3,2x10−7 ( X.t)3 − 1,48x10−4 ( X.t)2 + ...
4,62x10−3 ( X.t) + 44,74
(6)
nominal, bajo las condiciones del ensayo es:
Pa = 4 x10−6 t 3 − 0, 0003t 2 + 0, 0155t + 9,86
(7)
Realizando el mismo procedimiento que al
momento de establecer la ecuación al rendimiento
global, teniendo como base la equivalencia entre el
tiempo de ensayo y el tiempo real de trabajo de la
bomba, se tiene que:
Pa (hp) = 3,2x10−8 ( X .t)3 − 1,2x10−5 ( X .t )2 + ...
3,1x10−3 ( X .t ) + 9,86
(8)
Donde:
X = concentración de sólidos en suspensión del agua
con que se trabaje (% masa / volumen).
t = tiempo de trabajo (horas).
Uno de los aspectos más importantes de esta
curva, es que mediante su ecuación pueden realizarse
cálculos inherentes al consumo de potencia, para cualquier tiempo de funcionamiento del equipo y para
cualquier concentración con que se trabaje.
Donde:
X = concentración de sólidos en suspensión del agua
con que se trabaje (% masa/ volumen).
t = tiempo de trabajo (horas).
De igual forma puede obtenerse la ecuación que
define el comportamiento de la potencia de accionamiento, bajo condiciones tolerables de trabajo. Para
ello debe partirse, del comportamiento de esta variable
durante los ensayos.
Partiendo de los valores de potencia de accionamiento para el caudal nominal, de acuerdo al tiempo de
funcionamiento del equipo durante los ensayos, se
obtiene la curva de comportamiento de esta variable en
función al tiempo de desgaste de la carcasa.
Como muestra la Figura 10, la potencia de
accionamiento para caudal nominal a lo largo del
proceso de desgaste de la carcasa sigue un comportamiento aproximado al de un polinomio de tercer orden.
De acuerdo con esto, la ecuación que define
el valor de la potencia de accionamiento para el caudal
Figura 10. Potencia de accionamiento para el caudal
nominal a lo largo del proceso de desgaste en la carcasa.
Desgaste de la carcasa
El seguimiento del proceso de desgaste en la
carcasa se realizó a través de la observación del comportamiento de las variables peso y espesor de pared
de la carcasa, además del aspecto físico, es decir,
a las huellas que se producen en la superficie
interna como consecuencia del proceso de desgaste.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
45
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
Esta observación permitirá determinar aspectos importantes como qué tipo de desgaste se presenta, relación
entre la evolución de éste y el tiempo de funcionamiento, uniformidad del mismo a lo largo de la car-
casa, entre otros. A la hora 56 de funcionamiento,
se presentó un considerable goteo producto del desgaste severo del material de la carcasa. La falla se ubicó en la zona 4, de acuerdo con la división realizada
para la observación del desgaste.
carcasa tiene un comportamiento con desgaste acelerado controlado.
La variación neta de peso fue de 362 gramos
después de 56 horas de trabajo, esto quiere decir que a
lo largo de la vida útil de la carcasa, ésta pierde casi el
3 % de su masa total inicial. A partir de esto también
puede determinarse la tasa total de desgaste o pérdida
de material durante el proceso de desgaste acelerado
controlado.
Tensayo = ∆ P / t
(9)
Siendo:
Tensayo = Tasa de variación del peso durante el proceso
de desgaste (g/h)
∆P = peso total perdido durante el proceso de desgaste
(g)
t = tiempo para que ocurra la falla de la carcasa (h)
Figura 11. Ubicación de la falla de la carcasa.
Variación del peso de la carcasa durante el
proceso de desgaste
La pérdida de peso de la carcasa es producto del
arranque de material de la superficie interna de la
carcasa por parte de la mezcla agua-arena, por ende la
variación del peso permite observar la pérdida de
material con respecto al tiempo.
La medición del peso de la carcasa se realizó a
las 0, 12, 24, 36, 48 y 56 horas de trabajo. Esto valores
se representan en la Figura 12.
Se tiene entonces que:
Tensayo = 6,464g / h
Investigaciones previas sobre desgaste [3] en un
impulsor de la ETA 32-200, determinaron que la tasa
de variación del peso de un componente por efecto del
desgaste, se comporta de manera aproximadamente
lineal según la concentración de sólidos en suspensión
de la mezcla con que se trabaje. Esto permite entonces
obtener la tasa real de desgaste, es decir, la velocidad
de desgaste de la carcasa trabajando con agua en
condiciones tolerables (concentración no mayor a
0,02 %) a partir de la concentración a la cual se
encuentren los sólidos en suspensión de esta agua, es
decir, la concentración real de trabajo. Tales investigaciones determinaron que:
Treal =
Figura 12. Peso de la carcasa durante el proceso de desgaste.
Como puede verse en la Figura 12, el peso de la
46 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(10)
% real
Tensayo
% ensayo
(11)
Siendo:
% real = concentración real de trabajo (masa/
volumen).
% ensayo = concentración de arena en el ensayo
(masa/volumen).
Treal = tasa de variación del peso en condiciones reales
de trabajo (g/h).
Tensayo = tasa de variación del peso durante los ensayos
(g/h).
Dado que la concentración máxima tolerable
Vallés y Cortez
de sólidos en el agua para condiciones normales de
trabajo, de acuerdo al fabricante de la bomba en
estudio, es de aproximadamente un 0,02% y utilizando
la ecuación ∆P⁄t se tiene que:
0, 02%
ζ 6.464 g / h
5%
= 0, 026 g / h
A partir de la ecuación Treal, se tiene de forma
general que la velocidad de desgaste a una concentración dada se puede determinar de la siguiente forma.
X%
ζ 6, 464 g / h
5%
T % = X % 1, 223 g / h
T% =
(13)
Siendo:
T%= tasa de desgaste a una concentración específica.
X % = concentración de sólidos a la cual se desea
conocer la velocidad de desgaste.
Así mismo a
partir de la ecuación
∆P⁄t, puede generarse una relación que permita determinar el tiempo para la falla de la carcasa (en horas) a
partir de la concentración con la cual se trabaje, esto
es:
Treal =
( gramos tiempo)
X%
Tensayo
% ensayo
=
real
(
X % gramos
tiempo
%ensayo
(14)
)
Tomando en cuenta lo anterior y despejando
Tiemporeal, se tiene:
%ensayo
Tiempoensayo
X%
(17)
Para el caso de agua con 0,02% de sólidos, se
tiene que el tiempo de funcionamiento para que ocurra
la falla de la carcasa de la bomba en estudio, con las
especificaciones (material, dimensiones, etc.,) es:
Tiemporeal =
280h
= 14,000h
0.02%
(18)
A su vez a partir de la ecuación (Tiemporeal),
puede obtenerse la equivalencia del tiempo de trabajo
con agua con 0,02 % de sólidos en suspensión y una
hora de trabajo de ensayo con una concentración
de 5 %.
5%
1hensayo = 250h
(19)
0.02%
Con esto se tiene que, 1 hora de ensayo con una
concentración de 5 % equivale a 250 horas de trabajo
con una concentración de 0,02 %. De forma general
partiendo de la misma ecuación (Tiemporeal), se tiene
que la equivalencia del tiempo de ensayo a 5 % de
sólidos en suspensión en el agua, y el tiempo de trabajo a X concentración, es:
Tiemporeal =
(15)
ensayo
Los gramos representan la pérdida total de material de la carcasa durante el proceso de desgaste, bien
sea durante los ensayos o bajo condiciones de trabajo
reales. Esta cantidad es la misma puesto que es la cantidad de material que se pierde hasta el momento en
que comienza la falla de la carcasa.
Tiemporeal =
280h
X%
Tiemporeal = tiempo en que la carcasa falla por desgaste.
X% = concentración de sólidos en suspensión con que
(12)
trabaje.
Treal =
Treal
Donde:
Tiemporeal =
(16)
Tiempoensayo =
X%
Tiemporeal
5%
(20)
Variación del espesor de pared de la carcasa
durante el proceso de desgaste
En esta sección se muestran las zonas de la carcasa que fueron mayormente afectadas por el desgaste. Se realizó una división de la carcasa en tres regiones o circunferencias (Región 1, Región 2 y voluta)
las dos primeras se subdividieron en siete zonas y
voluta en cuatro (debido a la geometría de la fundición), de manera de ubicar los puntos donde se midió el espesor de pared y de así localizar la pérdida de
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
47
Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba
material y determinar si ésta es uniforme o no a lo largo y ancho de la circunferencia o 360º de la carcasa
en sentido del flujo. A partir de estos valores se determinó la variación neta del espesor durante todo el proceso, es decir desde el estado inicial de la carcasa (sin
desgaste) hasta el estado final (56 horas de trabajo).
Como muestra la Figura 13, la variación del
espesor de pared no es igual en los diferentes puntos,
esto indica que el desgaste a lo largo del recorrido de
los 360° que definen la carcasa no es uniforme, ni tampoco a lo ancho de la misma, observándose mayores
cambios del espesor de pared hacia las zonas de mayor
presión, en las zonas 5, 6 y 7 para las Regiones R1 y
R2 al igual que en la voluta.
Figura 14. Voluta, zona de inicio.
Figura 15. Voluta, zona 4.
Reg 1
Reg 2
Voluta
Figura 13. Variación neta del espesor de la pared de la carcasa en la Región 1, Región 2 y voluta, durante las 56 horas
del proceso de desgaste.
Es importante destacar que la disminución de
espesor de pared más significativa ocurre en la zona 7
de la Región 1, siendo ésta la zona más cercana a la
descarga de la bomba (Figura 16). Este cambio es de
6,7 mm en un punto cuyo espesor de pared inicial era
de 1,59 mm, lo que representa una disminución del
42,14 % de su valor inicial. El desgaste produce mayor
arranque de material hacia la zona de donde se encuentra la descarga (Figura 16), a diferencia de la zona 1 o
zona de inicio de la voluta (Figura 14) y zona 4 (Figura
15) donde es menos severo.
Aspecto que adquiere la superficie interna de la
carcasa por efecto del desgaste
En esta sección se muestra el aspecto que adquiere con el tiempo de desgaste, la superficie interna
de la carcasa. La observación de la huella que produce
48 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Figura 16. Descarga.
este proceso, permitirá determinar con precisión que
mecanismo de desgaste actúa y verificar si la severidad
del mismo, de acuerdo a la huella que deja, coincide
con lo que indica la variación del espesor de pared.
Las huellas se observarán a través de la impresión de la superficie sobre papel, para lo cual se empleó una pieza de grafito. Las Figuras 12 - 16 muestran un modelo representativo de cómo quedó la superficie luego de cada intervalo de trabajo para desgaste.
En tales Figuras, las regiones blancas representan las
cavidades y las regiones negras representan las protuberancias.
7. CONCLUSIONES
• Con el desgaste de la carcasa el rendimiento global de la bomba disminuye de un valor inicial
de 44,74 % hasta 41 % para las condiciones finales
Vallés y Cortez
•
•
•
del desgaste de la carcasa. Esto comprende una
caída de 3,74 puntos porcentuales, que representan
un 8,35 % del valor inicial de esta variable.
La altura efectiva o energía especifica útil, para el
caudal nominal de la bomba en condiciones iniciales (sin desgaste) disminuye desde 76,67 m.c.a hasta 70,91 m.c.a, es decir cae 5,76 m.c.a lo que representa un 7,51 % de su valor inicial.
La Potencia de accionamiento se incrementa desde
9,86 hp para lasa condiciones iniciales, hasta 10,32
hp para el momento en que falló la carcasa, lo que
representa un aumento neto de 0,46 y a su vez se
traduce a largo plazo, en incremento del costo de
operación del equipo.
A lo largo del proceso de desgaste de la carcasa, el
Rendimiento global de la bomba en estudio se
comporta de manera descendente, y se relaciona
con el tiempo de funcionamiento del equipo (t) y la
concentración de sólidos en suspensión (X) a través
de la siguiente ecuación:
η(%) = 3,2x10−7 ( X.t)3 −1,48x10−4 ( X.t)2 + 4,62x10−3 ( X.t) + 44,74
• A lo largo del proceso de desgaste de la carcasa, la
potencia de accionamiento de la bomba ETA
32-200 se comporta de manera ascendente, y se
relaciona con el tiempo de funcionamiento del
equipo (t) y la concentración de sólidos en suspensión (X) a través de la siguiente ecuación:
−8
3
−5
2
−3
Pa (hp) = 3,2x10 (X.t) − 1,2x10 (X.t) + 3,1x10 (X.t) + 9,86
• La carcasa sufre un proceso de abrasión por arran-
•
•
•
que, el cual provoca pérdida de material en la
superficie interna de la misma. Esta pérdida de material hace que el peso de la carcasa disminuya
siguiendo un patrón aproximadamente lineal en
función al tiempo de desgaste.
El desgaste no es uniforme a lo largo de la carcasa,
siendo más pronunciado en la zona de la carcasa
donde el área de la voluta es mayor, es decir, donde
existe mayor presión.
El desgaste que sufrió el anillo de desgaste y su
efecto negativo sobre las curvas de funcionamiento
H vs Q justifica la colocación de este tipo de elementos cambiables.
El tiempo para la falla de la carcasa bajo condiciones tolerables de trabajo (agua a 0,02% de sólidos
en suspensión) es de 14.000 h.
• El ensayo puede realizarse a bombas diferentes,
•
con carcasas de diferente material, para así corroborar su vida útil con determinadas concentraciones; además con potencias mayores donde la variación del η y su incidencia, de acuerdo al proyecto,
horas de trabajo diarias, etc., pueda ser notoria.
A partir de la gráfica de potencia de trabajo del
equipo, mediante un estudio económico basado en
el costo de la carcasa y el consumo de energía eléctrica, pudiera fijarse el punto a partir del cual se
torna antieconómico seguir empleando la voluta
desgastada. Esto involucra considerar la potencia
del equipo y el número de horas diarias de trabajo.
REFERENCIAS
[1] ADDISON, Herbert. Centrifugal and other Rotodinamics pumps. Editorial Chapman & Hall. London. (1996).
[2] BALJE E. Turbomáquinas "A Guide to Design,
Selection and Theory" Willey- Interscience Publication. New York, (1976) Páginas: 37, 446-456
[3] ESPAŇA, L. SERRATO, C Trabajo Especial de
Grado. Universidad de Carabobo. (2001).
[4] G wilson. Diseños de Bombas Centrífugas. Sección
10.21.2 Hydraulic Institute.
[5] "Hydraulic Institute Standards" 12° Edición. U.S.A
(1969).
[6] KARASSIK, Igor. CARTER, Roy "Bombas Centrífugas". Editorial Continental S.A. 5ta Edición.
México (1975).
[7] KARASSIK, Igor. KRUTZSCH, William. Pump
Handbook. Editorial Mc Graw Hill. Segunda
Edición, (1976).
[8] KARASSIK, Igor. Manual de Bombas Centrífugas.
Diseño Aplicación, Especificaciones, Operación y
Mantenimiento. Editorial McGraw Hill. (1994)
[9] NASCIMBENI, M. Bombas Centrífugas. Trabajo
de ascenso no publicado. Universidad de Carabobo. (2001).
[10] YEDIDIAH, S. Centrifugals pumps problems.
Petroleum Publishing company. Tulsa, Oklahoma. (1980).
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
49
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 50-58, 2003
Estabilización de un sistema de suspensión magnética aplicando una
forma canónica Hamiltoniana de pasividad y linealización exacta por
realimentación
Francisco J. Arteaga B.(1), Atilio Morillo P (2), Luis Obediente (1)
Universidad de Carabobo, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Unidad de Investigación en Automatización
Industrial, Valencia, Venezuela.
(2)
Centro de Investigación de Matemática Aplicada, División de Postgrado de Ingeniería, Universidad del Zulia,
Maracaibo, Venezuela
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
(1)
Resumen
El objetivo de este trabajo es el diseño de controladores no lineales para la estabilización en torno a un
punto de equilibrio de un sistema electrodinámico con una dinámica sencilla (pero que aún así requiere de un
tratamiento no lineal), como lo es el sistema de suspensión magnética constituido por un electroimán. Se
proponen dos acciones de control: la primera, derivada de aplicar la técnica de linealización exacta mediante
realimentación del estado; y la segunda, obtenida como resultado de utilizar un procedimiento de pasivización
basado en la descripción del sistema en una forma canónica Hamiltoniana de pasividad que sintetiza la manera
como los términos disipativos y no disipativos de la energía influyen en la dinámica del sistema.
Palabras clave: Sistema de suspensión magnética, linealización exacta, pasivización, forma canónica
Hamiltoniana
Stabilization of a magnetic suspension system by application of a
Hamiltonian canonical passivity form and exact feedback
linealization technique
Abstract
The purpose of this work is to design nonlinear controllers for stabilizing an electrodynamic system, with a
simple dynamic (but still requiring a non linear treatment), around an equilibrium point. Two control actions are
proposed for a magnetic suspension system formed by an electromagnet. The first one, derived from applying the
exact linealization technique by state feedback. The second one is obtained as a result of a passivization procedure
based on a system description in a Hamiltonian passivity canonical form that synthesizes the way in which
dissipative and non dissipative energy terms influence the system dynamics.
Keywords: Magnetic suspension system, exact linealization, passivization, Hamiltonian canonical form.
1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo se aborda el problema de controlar la altura de una esfera de acero, respecto a un nivel
de referencia, mediante su suspensión (o levitación) en
contra de la fuerza de la gravedad, por medio del uso
de un electroimán. Las variables de estado consideradas para modelar el sistema han sido la altura de la
50 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
esfera (medida hacia abajo), su velocidad, y la corriente en la bobina del electroimán; mientras que la acción
de control es ejercida por el voltaje suministrado al
sistema. Una descripción del sistema físico y la deducción del modelo matemático puede encontrarse en los
trabajos realizados por Barie, Chiasson [1] y Harley,
Wölfle [2]. Se diseñaron dos controladores en
espacio de estado, los cuales parten de bases teóricas
Arteaga, Morillo y Obediente
diferentes, y explotan propiedades disímiles del sistema, y por lo tanto, conducen a esquemas de control
diferentes.
Se utiliza, en primer lugar, el esquema de control de linealización exacta por realimentación (FLC).
La técnica de FLC se distingue por su sencillez algorítmica, pero son bien conocidas sus desventajas. Por
ejemplo, su alta sensibilidad ante las perturbaciones
de los parámetros y su requerimiento de conocimiento
perfecto de los estados. En tal sentido, resulta apropiado utilizarla conjuntamente con otros métodos, a
fin de examinar la efectividad de los mismos en cuanto a superar las deficiencias e incertidumbres en el
modelo [3-5].
El segundo controlador usado es resultado del
denominado “enfoque de control basado en pasividad”, denotado como PBC. La pasividad es una propiedad fundamental de una amplia familia de sistemas
físicos, y puede definirse en términos de la disipación
y transformación de la energía del sistema. En relación a la disipación de la energía, el PBC puede ser
entendido como una extensión de los llamados métodos de “moldeado de la energía” e “inyección de
amortiguamiento” [6], [7]. Esta técnica consta de dos
etapas básicas: (1) una etapa de moldeado de la energía, la cual consiste en modificar la función de energía de forma tal que la nueva función posea un mínimo global en el punto de equilibrio deseado; (2) una
etapa de “inyección de amortiguamiento”, la cual
consiste en modificar las propiedades de disipación
del sistema a fin de hacer el punto de equilibrio asintóticamente estable. Para una discusión completa de
este tópico se puede consultar Ortega [7].
Las condiciones geométricas para que un sistema dinámico sea pasivizado por realimentación alrededor del origen respecto a una determinada función
de almacenamiento de energía V y una salida fijada
del sistema han sido establecidas por Byrnes [8]. Sin
embargo, para un sistema que en principio no sea pasivo, puede aplicarse el procedimiento de pasivización desarrollado por Sira-Ramirez [9]. En este método, partiendo de una función de energía V
(típicamente una función cuadrática) que satisface
una cierta condición de transversalidad, mediante un
cambio de coordenadas de la entrada, se obtiene una
expresión canónica Hamiltoniana de pasividad del
sistema que facilita la aplicación de la técnica PBC,
alrededor de un punto de equilibrio, no necesariamente el origen. Esta forma canónica revela la manera
como los términos disipativos y no disipativos de la
energía influyen en la dinámica del sistema.
El resto del trabajo está organizado como sigue. En la Sección 2 se describe el modelo matemático del sistema de suspensión magnética constituido
por un electroimán. En la Sección 3 se analiza el sistema desde la perspectiva de la linealización exacta y
se diseña el control FLC. En la Sección 4 se aplica el
procedimiento de pasivización de Sira-Ramirez [9],
se empieza por determinar la condición pasivizable
del sistema y sintetizar la función de realimentación
que logra pasivizarlo; luego, basándose en la citada
forma canónica Hamiltoniana del sistema pasivizado,
se aplican los métodos de moldeado de energía e inyección de amortiguamiento, desembocando finalmente en un compensador dinámico auxiliar para alcanzar la estabilización asintótica alrededor del punto
de equilibrio deseado. Finalmente, la Sección 5 contiene las conclusiones del trabajo.
2. MODELO MATEMÁTICO
El sistema de suspensión magnética consiste de
una esfera de acero que se suspende mediante la
acción del campo magnético generado por un
electroimán de corriente controlada por realimentación a través de una medición óptica de la posición de
la esfera.
La ecuación de movimiento de la esfera es:
m&y& = − ky& + mg + F ( y , i )
(1)
donde m es la masa de la esfera, y > 0 la posición
vertical (medida hacia abajo), k es el coeficiente de
fricción viscosa, g es la aceleración de gravedad,
F ( y , i ) es la fuerza generada por el electroimán, la
cual depende de la corriente i . La inductancia del
electroimán depende de la posición de la esfera, y
puede modelarse (entre varias alternativas semejantes) como:
L( y ) = L1 +
L0
1+ y / a
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(2)
51
Estabilización de un sistema de suspensión magnética
donde L0, L1 y a son constantes. Este modelo representa el caso en el que la inductancia tiene su máximo
valor cuando la distancia al electroimán de la esfera es
mínima, y decrece a un valor constante a medida que
la bola se aleja (a) hasta y → ∞. Obsérvese que
L ( y ) ≠ 0 ,para todo y ≥ 0 . Tomando:
1
(L( y)i2 )
2
E( y, i) =
(3)
como la energía almacenada en la bobina, la fuerza
F ( y , i ) viene dada por:
dE
L0 i2
F ( y, i) =
=
dy
2a(1+ y / a)2
.
(4)
La ecuación que gobierna el subsistema eléctrico está dada por:
v= φ& + Ri
(5)
.....
donde v es la fuente de tensión en el circuito y
φ = L( y )i es el flujo magnético. De manera que:
∂L(y)
& + L(y)i& + Ri
yi
∂y
v=
...
...
...
(6)
{
}
Ω = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 / x1 > 0, x3 > 0
Un fácil cálculo muestra que los puntos de
equilibrio del sistema vienen dados por:
⎛
x* = ( x1*, 0, x3* ) = ⎜⎜ x1R, 0,
⎝
⎞
2mg
(a + x1R )2 ⎟⎟
aL0
⎠
.
..
para un valor fijado u = v * de la variable u, y una
posición deseada x1R . El objetivo de control es estabilizar el sistema en torno a un punto de equilibrio
deseado x* , y para ello se asumirá un conocimiento
perfecto del estado.
3. DISEÑO DEL CONTROL FLC
El sistema de suspensión magnética (8) puede
expresarse en la forma afín dada por:
x& = f ( x ) + g ( x )u
de donde se obtiene:
...
(10)
.
(11)
y = h(x )
⎡
⎤ 1
L0
i& = ⎢v − Ri − y&
i
2 ⎥
a(1+ y / a) ⎦ L(y)
⎣
(9)
donde f (x ) y g (x ) son los campos vectoriales defi(7)
...
Introduciendo las variables de estado x1 = y,
u = v, reemplazando en (1) y en (7),
obtenemos el sistema:
x 2 = y& , x 3 = i,
nidos por:
⎡
⎤
⎢
⎥
x2
⎢
⎥
2
⎢
L0a x3 ⎥
k
⎥
f ( x) = ⎢ g −
x2 −
2m(a + x1 )2 ⎥
m
⎢
⎢
⎥
⎢ 1 ⎛ −R x + L0a x2 x3 ⎞ ⎥
⎟
3
⎢⎣ L( x1 ) ⎝⎜
(a + x1 )2 ⎠ ⎥⎦
.
.
⎧x&1 =
⎪
⎪x& =
⎪⎪ 2
⎨
⎪x& =
⎪3
⎪
⎪⎩ y =
x2
.
.
2
g −
k
L0a x3
x2 −
m
2m(a + x1)2
.
.
⎤
1 ⎡
L0a
x x + u⎥
⎢−Rx3 +
2 2 3
(a + x1)
L(x1) ⎣
⎦
x1
.
.
(8)
donde el vector de estado x varía en la región de
operación del sistema:
52 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
g ( x) =
⎡
⎤
⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ L( x1 ) ⎥⎦
(12)
Arteaga, Morillo y Obediente
y h(x) es la función de salida y = h( x) = x1 .
β ( x) = −
L0a x3
m (a + x1 )2 L( x1 )
..
(18)
..
Es obvio que el grado relativo del sistema respecto a la salida y = x1 es 3, por lo tanto, de acuerdo a resultados bien conocidos (véase, por ejemplo,
[8]), existe un difeomorfismo T : U ⊂ Ω → T (U ),
donde U es un entorno de un punto de equilibrio x 0
del sistema, y un cambio de coordenadas afín y
dependiente del estado, expresado por:
u = α ( x ) + β ( x )υ
(13)
.
con β ( x) ≠ 0 , tal que en las coordenadas definidas
por T el sistema original es equivalente a un sistema
lineal expresado en la forma canónica de Brunovsky:
z& = Ac z + Bυ
(14)
.
υ = k( z − z* ) = kT ( x − x* )
(19)
con una ganancia k de modo que sea Ac + Bc k Hurwitz. Por ejemplo, puede utilizarse un regulador lineal
cuadrático (LQR) para la elección de k. Con el control
υ = kT ( x − x* ) el sistema (8) se estabiliza en el
punto de equilibrio x*.
4. DISEÑO DEL CONTROL PBC
z 1 = x1
En esta sección se diseñará el control por pasivización, aplicando el procedimiento desarrollado por
Sira-Ramirez y aplicado a diferentes tipos de procesos
(eléctricos, químicos, etc.) [9-12].
z 2 = x2
A. Pasivización del sistema
En este caso, un fácil
que z = T ( x ) viene dado por:
cálculo
muestra
El sistema de suspensión magnética (8) puede
escribirse en la forma general
2
z3 = g −
En el sistema lineal y controlable (16) obtenido
se puede hacer:
k
L0 a x3
x2 −
m
2 m ( a + x1 ) 2
.
.
x& = f (x) + g(x) u
(15)
..
(20)
y = h( x)
observando que los campos vectoriales f y g son:
mientras que (14) viene dada por:
⎡0 1 0 ⎤
⎡0⎤
⎢
⎥
z& = ⎢0 0 1 ⎥ z + ⎢⎢0⎥⎥ υ
⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
(16)
⎡
⎤
⎢
⎥
x2
⎢
⎥
⎢
⎥
L0 a
k
2
⎥
f ( x) = ⎢ g −
x2 −
x
3
m
2m(a + x1)2 ⎥
⎢
⎢
⎥
⎢ 1 ⎛ −R x + L0a x2 x3 ⎞ ⎥
⎟
3
⎢⎢ L ( x ) ⎜
(a + x1)2 ⎠ ⎥⎦⎥
⎣ 1 ⎝
.
.
con:
.
.
2
kL0 a x3
k
k2
α ( x) = − g + 2 x2 +
+ ...
m
m
2m2 (a + x1 )2
..
.
2
L0 a x2
RL0 a x3
+
− ...
3
m(a + x1 )
(a + x1 )2 mL( x1 )
..
.
2
( L0 a ) 2 x 2 x3
( a + x1 ) 4 m L ( x1 )
(17)
⎡
⎤
⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
g( x) = ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 ⎥
⎢⎣ L ( x1) ⎥⎦
..
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(21)
53
Estabilización de un sistema de suspensión magnética
mientras que la salida es:
y = h(x) = x1
(22)
Como se estableció en la sección previa, el
sistema es de fase mínima y la salida del sistema tiene
grado relativo 3. La región de operación del sistema
ya descrita en (9) es:
Ω = {( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 / x1 > 0, x3 > 0}
tal como se estableció en la Sección 2, con x1 y x3
además acotados superiormente por las condiciones
físicas del sistema.
Considérese la función de almacenamiento de
energía
1 2
x1 + x22 + x32 )
(
2
V=
(23)
De donde se obtiene que el campo vectorial
f(x) posee la descomposición natural respecto de la
función de almacenamiento V:
f (x) = fd (x) + fnd (x) + fI (x)
(26)
con:
⎡
⎤
⎢0
⎥
⎢
⎥
⎢ k
⎥
fd ( x) = ⎢− x2 ⎥
m
⎢
⎥
⎢− R x3 ⎥
⎢⎣ L( x1 ) ⎥⎦
.
⎡
⎤
⎢
⎥
x2
⎢
⎥
2
⎢
L0 a x3 ⎥
f nd ( x) = ⎢ g −
⎥
2m (a + x1 )2 ⎥
⎢
⎢
⎥
L0 a x2 x3
⎢
⎥
2
⎢⎣ L( x1 )(a + x1 ) ⎥⎦
.
.
.
es fácil ver que:
LgV(x) =
x3
≠ 0 en
L(x1)
Ω
(24)
Por lo tanto, el sistema es pasivizable con función de almacenamiento de energía V(x). Es decir,
existen funciones escalares α ( x ) y β (x) en Ω
con β ( x) ≠ 0 en Ω , tales que el cambio de coordenadas dado en la ecuación (13):
f I ( x) = 0
(27)
donde las componentes f d ( x), f nd ( x) y f I (x) satisfacen:
2
Rx3
k
Lfd V( x) = − x22 −
≤ 0 en Ω
m
L(x1 )
.
2
u = α ( x ) + β ( x )υ
Lfnd V( x) = x1x2 + gx2 −
.
L0a x2 x3
+ ...
2m(a + x1 )2
.
.
hace que el sistema en lazo cerrado (8)-(24) sea pasivo respecto a la función de almacenamiento V y a la
rata de suministro definida por s(u, y ) = uy.
La derivada de V, respecto al tiempo a lo largo
de las trayectorias de (8), es:
2
2
& = − k x2 − Rx3 + x x + gx − L0ax2x3
V
2
1 2
2
2m(a + x1)2
m
L(x1)
.
.
.
.
2
⎧
L0ax2 x3
=⎨
2
L(x1)(a + x1) ⎩
.
L f I V( x) = 0 en Ω
no negativa en Ω
ó
indefinida en Ω
(28)
En forma resumida, la derivada de V, respecto
al tiempo a lo largo de las trayectorias del sistema (8),
se expresa como:
2
L0 a x2 x3
u x3
... +
+
2
L( x1 )(a + x1 )
L( x1 )
.
.
(25)
54 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
& = Lf V( x) + L f V( x) + Lg V( x)u (29)
V
d
nd
Arteaga, Morillo y Obediente
Considérese la transformación de coordenadas
de la entrada dependiente del estado:
x& = −ℑ(x)
L V(x)
h(x)
δ h2 (x)
u=
υ − fnd
−
Lg V(x)
Lg V(x)
Lg V(x)
(30)
Substituyendo cada término ya calculado en
(25), se obtiene
... −
x1
δ x L( x1 )
x x L( x )
L( x1 )υ −
− 1 2 1
x3
x3
x3
2
1
gx2 L( x1 )
L ax x
L a x x L( x )
− 0 2 32 + 0 2 3 12
x3
(a + x1 )
2m (a + x1 ) (31)
.
.
..
Esta función uPBC es de la forma (24), por lo
tanto es una realimentación que hace pasivo al sistema
en lazo cerrado (8)-(24), es decir al sustituir (30) en la
expresión para υ dada en (13), se obtiene:
& ≤ xυ
V
1
B. Forma canónica del sistema pasivo.
Substituyendo u PBC en el sistema de suspensión
magnética (8), obtenemos el sistema en lazo cerrado:
x2
2
L0 ax3
k
g − x2 −
m
2m(a + x1)2
.
(35)
que satisfacen las ecuaciones
fd (x) −
δ h2 (x)
T
⎡ ∂V⎤
⎢⎣ ∂x ⎥⎦ g(x)
⎡
⎢
⎢ I − g ( x)
⎢
⎢
⎢⎣
g(x) = − R(x)
∂V
(x) fI (x)
∂x
⎡ ∂V T
⎤ ⎤
(x)⎥ ⎥
⎢
⎣ ∂x
⎦ ⎥ f (x)
nd
T
⎡ ∂V
⎤⎥
⎥
g (x)⎥
⎢
⎣ ∂x
⎦ ⎥⎦
= −ℑ( x)
∂V
(x)
∂x
(36)
Basándose en estas consideraciones se obtienen
las matrices
⎡
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ −g
x1
ℑ( x) = ⎢
⎢
⎢
⎢ x2 g x2
⎢ +
⎢ x3 x1 x3
⎢⎣
.
.
(34)
ℑT ( x) = −ℑ( x), R T ( x) = R( x) ≥ 0
(32)
la cual es la expresión diferencial de la pasividad de
acuerdo a Byrnes [8].
⎧x&1 =
⎪
⎪x& =
⎪2
⎪⎪
⎨x& =
⎪3
⎪
⎪
⎪
⎩⎪
∂V
∂V
(x) − R(x) (x) + M(x)υ
∂x
∂x
donde ℑ( x ), R ( x ) son matrices tales que
donde υ es una nueva función de control y δ es un
escalar estrictamente positivo.
uPBC =
Este sistema en lazo cerrado puede expresarse
en la forma canónica Hamiltoniana
g
x1
x2 g x2 ⎤
−
x3 x1 x3 ⎥
⎥
⎥
⎥
L0 a x3 ⎥
2m (a + x1 ) 2 ⎥
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥⎦
−
0
.
.
.
−
L0 a x3
2m (a + x1 ) 2
.
.
...
⎡
⎢
⎢0
⎢
R ( x) = ⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢⎣
⎧ Rx3 x1x2 gx2
L ax x
−
−
+ 0 2 32
⎨−
x3
2m(a + x1)
⎩ L(x1) x3
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
−
δ x12 ⎫⎪
.
x1
⎬+ v
x3 ⎪⎭ x3
.
.
0
k
m
0
⎤
⎥
0
⎥
⎥
0
⎥
⎥
R
δ x1 2 ⎥
+
2 ⎥
L ( x1 )
x 3 ⎥⎦
(37)
(33)
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
55
Estabilización de un sistema de suspensión magnética
Estas matrices satisfacen las condiciones (35) y las
ecuaciones (36) con:
que se interpreta como un compensador dinámico.
Se tendrá en definitiva que:
∂V
( x) = x
∂x
(38)
V&d = − ( x − xd )T Rm ( x)( x − xd )
C. Moldeado de la energía e inyección de
amortiguamiento
con:
Rm (x) = R(x) + Rd i (x)
.
Considérese la función de energía modificada
1
( x − xd )T ( x − xd )
2
Vd = V( x, xd ) =
(39)
(46)
y así:
& ≤ − a ( x − x )T ( x − x )
V
d
d
d
b
(47)
con:
Donde:
x d = ( x1d , x 2 d , x3d )
(40)
es un vector de estados auxiliar que representa el estado que se desea alcanzar. Es decir:
Vd =
(45)
[
]
1
( x1 − x1d ) 2 + ( x2 − x2 d ) 2 + ( x3 − x3d ) 2 (41)
2
Derivando Vd respecto del tiempo a lo largo de
las trayectorias del sistema, se obtiene:
a = inf x∈Ω λmin ( Rm ( x)) > 0
b = sup x∈Ω λmax ( Rm ( x)) > 0
(48)
De donde se sigue que V ( x, x d ) es una función
de Lyapunov para el sistema y, por lo tanto, el vector
x(t ) converge asintóticamente hacia la trayectoria
auxiliar x d (t ).
D. Compensador dinámico.
.
Vd = (x − xd )T (x& − x&d )
= (x − xd )T [ −R(x)x − ℑ(x)x + M (x)υ − x& d ]
(42)
Agregando ahora un término que representa la
inyección de amortiguamiento de la forma − Rdi ( x) x,
tal que Rm ( x) = R( x) + Rdi ( x) sea una matriz semidefinida positiva para todo x ∈ Ω , se obtiene
& = (x − x )T [ −(R(x) − R )(x − x ) − ℑ(x)(x − x )
V
d
d
di
d
d
.
.
.
...−Rxd + Rd i (x−xd ) + M(x)υ − x&d − ℑ(x)xd ] (43)
En la ecuación (44), que define el compensador
dinámico, podemos sustituir los valores de R ( x ),
R d i ( x ), ℑ ( x ) y M ( x) , con lo cual se obtiene la
ecuación diferencial (49).
La ecuación (49) obtenida es un sistema lineal
dependiente del tiempo respecto a la variable auxiliar
xd. Con ella se dispone de suficiente libertad para sintetizar el control de realimentación externo υ . Típicamente se impone a una componente particular de xd
un valor de equilibrio constante deseado, en correspondencia con el punto de equilibrio original x* considerado.
.
Ahora se puede imponer que el vector auxiliar
xd satisfaga la ecuación diferencial ordinaria
x&d = −Rxd + Rdi (x−xd ) + M(x)υ − ℑ(x)xd
.
.
.
(44)
56 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
En este caso se puede particularizar usando las
variables auxiliares ξ y η como se muestra en la
ecuación (50).
Con lo cual se obtiene finalmente la ecuación
algebraico-diferencial (51) que produce υ .
Arteaga, Morillo y Obediente
⎧
⎪x&1d =
⎪
⎪
⎪x&2d =
⎪
⎨
⎪x& =
⎪ 3d
⎪
⎪
⎪
⎩
g
x
gx
− x2d + 2 x3d + 2 x3d + R1(x1 − x1d )
x1
x3
x1 x3
..
.
L0 ax3d
g
k
x1d − x2d −
+ R2(x2 − x2d )
x1
m
2m(a+ x1)2
.
..
..
...
⎛ x gx ⎞
δx 2 ⎞
L ax x ⎛ R
−⎜ 2 + 2 ⎟ x1d + 0 3 2d 2 −⎜⎜
+ 1 ⎟⎟ x3d
2m(a+ x1) ⎝ L(x1) x3 ⎠
⎝ x3 x1 x3 ⎠
x
... + R3(x3 − x3d ) + 1 υ
(49)
x3
.
..
.
..
..
..
..
.
..
...
..
ξ = x1d , η = x2 d , x3* = x3 d
⎛ x2
gx2 ⎞
+
⎟ x3* + R1(x1 − ξ)
x1x3 ⎠
⎝ x3
g
x1
ξ& = − η + ⎜
g
η& =
α1
(50
ξ −
.
AGRADECIMIENTOS
k
L0a x3*
η −
+ R1 ( x2 − η)
m
2m(a + x1 )2
.
.
⎛ x2
υ= ⎜
+
⎝ x1
explota la descripción del sistema en forma canónica
Hamiltoniana de pasividad, la cual sintetiza la manera
como los términos disipativos y no disipativos de la
energía influyen en la dinámica del sistema. Una etapa
inmediata que haría falta desarrollar para proseguir
este trabajo, es la realización de simulaciones computacionales (en ambiente Matlab-Simulink, por ejemplo), que permitan la comprobación de la eficiencia de
las acciones de control sintetizadas, así como de su
robustez ante la incertidumbre de los parámetros y ante
la presencia de perturbaciones. Las simulaciones también permitirían una comparación del desempeño de
ambos controladores entre si, así como frente a otras
propuestas conocidas. Adicionalmente sería muy pertinente analizar el problema de seguimiento de trayectorias en el caso del control basado en pasividad.
2
⎛ Rx
L0 ax3
gx2 ⎞
δx ⎞
ξ
η + ⎜ 3 + 1 ⎟x3*
−
2 ⎟
2
x3 ⎠
2mx1(a+x1)
x1 ⎠
⎝ x1 L(x1)
.
.
..
..
...
x
...− 3 R3(x3 − x3*)
x1
.....
..
Los autores expresan su reconocimiento a la
Dirección de Investigación de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad de Carabobo por el financiamiento otorgado para la actual realización de este
proyecto de investigación.
..
REFERENCIAS
.
..
(51)
5. CONCLUSIONES
Se alcanzó el diseño de los controladores anunciados para el sistema de suspensión magnética, tanto
el basado en la linealización exacta, como el basado en
la metodología PBC. En el diseño de ambas propuestas, para mayor simplicidad se asumió la disponibilidad total del estado, sin embargo un análisis más realista debería contemplar la inclusión de observadores
para medir algún estado inobservable, como lo es la
velocidad, por ejemplo. El diseño del controlador PBC
resultó ser mucho más interesante, ya que este se basa
en aspectos estructurales de la física de los subsistemas
eléctrico y mecánico que conforman el sistema completo, especialmente en la relación entre el almacenamiento de energía y su disipación. En este punto se
[1] Barie W. and Chiasson J.: “Linear and nonlinear
state-space controllers for magnetic levitation”.
International Journal of Systems Science, Vol. 27,
No. 11 (1996) 1153-1163.
[2] Hurley, W. G. and Wölfle, W.: Electromagnetic
Design of a Magnetic Suspension System”, IEEE
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[5] Slotine J.–J. and Li. W.: Applied Nonlinear
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Hamiltonian Systems by Interconnection”,
Proceedings of the 38th Conference on Decision
and Control, Phoenix, Arizona, USA, December
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
57
Estabilización de un sistema de suspensión magnética
[7] Ortega R., Loira A., Nicklasson P. J., and SiraRamírez H., Passivity Based Control of Euler
Lagrange Systems. Mechanical, Electrical, and
Electromechanical Applications. Springer Verlag,
London, 1998.
[8] Byrnes C. I., Isidori A., and Willems J. C.,
“Passivity, Feedback Equivalence and the Global
Stabilization of
Minimum Phase Nonlinear
Systems”. IEEE Trans. on Automatic Control,
Vol. 36 (1991), 1228-1240.
[9] Sira-Ramírez H. and Ángulo M. I.: “Passivity
Based Control of Nonlinear Chemical Process”,
International Journal of Control, Vol. 68, No 5
(1997), 971-996.
58 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
[10] Sira H., Pérez R., Ortega R., and García M.:
“Passivity-based Controllers for the Stabilization
of DC-to-DC Power Converters”, Automática,
Vol. 33 (1997), 499-513.
[11] Camacho O., Rojas R., Pernía A., y Pérez M.,
“Control basado en pasividad para procesos químicos”, Revista Técnica Ingeniería Universidad
del Zulia, Vol. 25, No. 1 (2002), 3-11.
[12] Morillo A. y Arteaga F., “Sistema de Suspensión
Magnética Controlado por Voltaje: Linealización
Exacta y Pasivización”, IV Congreso de Automatización y Control, Mérida, Venezuela, 12-14
Noviembre, 2003.
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 59-66, 2003
Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana actual con
códigos sísmicos de otros países
Freddy J. Lanza S., Scarlet H. Puentes M., Fernando Villalobos
Departamento de Estructuras, Escuela de Ingeniería Civil. Universidad de Carabobo. Valencia, Venezuela.
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
Este trabajo presenta el análisis de los parámetros más relevantes de diseño sísmico de la norma
venezolana, en comparación con los códigos sísmicos de los Estados Unidos, México, Japón y Chile. En la
estimación de las acciones sísmicas se obtuvo que el corte basal calculado a través del código Japonés resultó
mayor en un 72 %, respecto al calculado según la norma venezolana, el obtenido por el código estadounidense
UBC un 40 % menor, por el código de México un 20 % menor y por el código de Chile un 50 % menor, lo cual
indica que después del Japón, los cálculos según la norma venezolana resultan mayores en la magnitud del corte
basal. Lo que implica mayores costos a nivel constructivo. Sin embargo, el diseño es más confiable, lo cual hace
que las estructuras sean menos vulnerables ante las acciones sísmicas.
Palabras Clave: Norma sismorresistente venezolana, parámetros sísmicos de diseño, códigos sísmicos,
corte basal.
Comparative study of the present Venezuelan seismic code
with seismic codes of other countries
Abstract
This work presents the analysis of the most outstanding parameters in seismic design of the Venezuelan
norm, in comparison to the seismic codes of the United States, Mexico, Japan and Chile. In the estimate of the
seismic actions it was obtained that the basal cut calculated through the Japanese code was bigger in 72 %,
regarding the one calculated according to the Venezuelan norm, the one obtained by the UBC 40 % smaller, for
the code of Mexico 20 % smaller and for the code of Chile 50 % smaller, which indicates after the Japan, the
calculations according to the Venezuelan norm are bigger in the magnitude of the basal cut. This implies bigger
costs at constructive level, however the design is more reliable, which makes that the structures are less vulnerable
before the seismic actions.
Keywords: Venezuelan seismic code, seismic design parameter, seismic codes, lateral seismic shear.
1. INTRODUCCIÓN
Venezuela pertenece a los países que conforman
el cinturón de fuego, el cual se caracteriza por ser una
de las zonas más sísmicas del planeta, debido a que
en la zona que bordea el océano Pacífico, aproximadamente se libera un 85 % del total de la energía producida por los movimientos telúricos o terremotos en el
mundo. En la segunda mitad del siglo XX, con el crecimiento de la población existente en Venezuela, se
empezaron a erigir las primeras edificaciones y se empiezan a registrar los primeros eventos sísmicos que
trajeron consecuencias desfavorables, entre los que se
destaca el de Caracas, el 28 de julio de 1967. Tomando en cuenta estos sucesos, se desarrollaron diversos
estudios que permitieron la realización de normas o
códigos para el diseño de edificaciones.
Los códigos sísmicos consideran los criterios de
análisis y diseño de las edificaciones situadas en zonas
donde puedan ocurrir movimientos telúricos. Sin
embargo debido a que la naturaleza de los sismos y
el comportamiento estructural ante estos es complejo,
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
59
Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana
además de originar grandes pérdidas materiales y
humanas, es conveniente tomar la iniciativa de seguir
realizando investigaciones con la finalidad de disminuir la vulnerabilidad estructural ante la acción de los
sismos.
El presente trabajo pretende evaluar el nivel de
exigencia de la norma sismorresistente COVENIN
MINDUR 1756-88 (Rev.-2001), realizando un estudio comparativo respecto a las normas de Chile,
Japón, México y Estados Unidos ya que estos países
están ubicados en zonas de alto índice de sismicidad,
debido a que se encuentran dentro de la zona conocida como el cinturón de fuego del océano pacífico.
2. MARCO TEÓRICO
2.1 Cinturón de fuego del pacífico
Los tres principales cinturones sísmicos del
mundo son: el cinturón circunpacífico, el cinturón
transasiático (Himalaya, Irán, Turquía, Mar Mediterráneo, Sur de España) y el cinturón situado en el centro del océano atlántico, los cuales son mostrados en
la Figura 1.
La principal zona de riesgo sísmico es el llamado "Cinturón de fuego del pacífico” conocido como
geosinclinal circumpacífica, el cual debe su nombre
al enorme anillo de actividad volcánica que se extiende alrededor del océano Pacífico. Casi todos los volcanes hacen erupción en zonas costeras o bajo el mar,
creando cadenas de montañas bajo del agua, siendo
una de las zonas más sísmicas del planeta ya que
aproximadamente en la zona que bordea el océano
pacífico se libera un 85 % del total de la energía producida por los movimientos telúricos o terremotos en
el mundo [1]. El cinturón de fuego del pacífico se
extiende desde el litoral pacífico en América del Sur,
asciende hacia el norte bordeando la costa pacífica de
Norte América y desciende a lo largo del litoral
Asiático.
2.2 Mapa de riesgo sísmico global
A nivel mundial existen organizaciones que
han realizado estudios de riesgo sísmico, entre las
cuales se destaca la ONU ya que a través de numerosos estudios efectuados por científicos se desarrolló
un mapa de riesgo sísmico global [2], el cual se muestra en la Figura 2. Este mapa se basa en la amenaza
sísmica que representa los peligros para la población
Figura 1. Situación de los principales cinturones sísmicos y volcanes.
60 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Lanza, Puentes y Villalobos
Figura 2. Mapa de riesgo sísmico global.
producidos por terremotos. La amenaza sísmica es un
término técnico que caracteriza numéricamente la probabilidad estadística de la ocurrencia (o excedencia)
de cierta intensidad sísmica (o aceleración del suelo)
en un determinado sitio [3], durante un período de
tiempo. El mapa muestra la aceleración pico del suelo
(PGA) que se puede esperar en un determinado lugar
durante los próximos 50 años con 10 % de probabilidad de excedencia, que corresponde a un periodo de
retorno de 475 años.
Una variable que afecta la respuesta estructural
es el amortiguamiento viscoso [5], esta característica
generalmente se expresa como fracción del amortiguamiento crítico (ζ), el tipo de amortiguamiento considerado toma en cuenta las fuentes de disipación de
energía como fricciones internas, fricciones en los
apoyos y en elementos no estructurales, etc. A medida
que una estructura posea características de ductilidad
que permitan disipar mas energía la fracción de amortiguamiento critico será mayor y en consecuencia la
respuesta espectral será menor.
2.3 Respuesta espectral
3. METODOLOGÍA DEL TRABAJO
La respuesta espectral se utiliza para el estudio
de la dinámica de estructuras, en el área de ingeniería
sísmica. La respuesta espectral es el valor máximo de
respuesta (máximo desplazamiento, velocidad, aceleración o cualquier cantidad de interés) obtenido para
una función de carga especificada. Las curvas espectrales son representaciones gráficas donde la abcisa es
la frecuencia natural (periodo) del sistema, y la ordenada es la respuesta máxima [4]. En el análisis dinámico solo se requiere conocer el espectro o curvas
espectrales para condiciones de carga conocida y el
periodo de vibración del sistema, con lo cual se puede
obtener la respuesta máxima de dicho sistema.
Esta investigación se realizó siguiendo los siguientes pasos:
• Con base a la situación de los principales cinturones sísmicos, se realizó la selección de cuatro
países que integran un mismo cinturón para el
estudio comparativo, se eligió el cinturón de fuego
del Océano Pacífico ya que Venezuela es uno de
los países que lo conforma, de esta manera se
eligieron los siguientes países: Chile, México,
Estados Unidos y Japón.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
61
Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana
• Se definen e identifican las variables para realizar
una comparación cuantitativa y cualitativa utilizando la información recopilada de los códigos en
estudio.
• Para realizar la comparación de tipo cualitativa se
comparó cada código con el código venezolano,
identificando los parámetros comunes o los efectos
que consideran los demás códigos a través de procedimientos que permitan realizar el diseño. Los
parámetros son los siguientes: Filosofía del cálculo, zonificación sísmica, forma espectral, clasificación de las edificaciones según su importancia,
clasificación de la estructura según el sistema estructural, factor de reducción de respuesta, clasificación de las edificaciones según la regularidad
estructural, obtención de la respuesta sísmica
(espectro de diseño), métodos de análisis sísmico,
período de retorno y probabilidad de excedencia,
coeficiente sísmico máximo y mínimo, coeficiente
de amortiguamiento, combinación de efectos y por
ultimo el nivel de diseño.
• En base a lo que considera cada código, la comparación de tipo cuantitativa se hizo tomando
en cuenta los siguientes parámetros: la respuesta
espectral ya que permite evaluar el nivel de energía
a la que se somete la estructura, el factor de reducción de respuesta ya que este parámetro representa
la capacidad de disipar energía inelásticamente
que posee la estructura, y por ultimo el corte basal
ya que es el resultado final de las acciones sísmicas
con el cual se procederá ha realizar el diseño [6].
• Se seleccionó una estructura ya calculada [7] por la
norma venezolana COVENIN MINDUR 1756-98
(REV.-2001), destinada para uso educativo, ubicada en una zona sísmica 5 (peligro sísmico elevado), y de una altura de 24 m (8 niveles de 3 m de
altura cada uno) incluyendo techo de sala de máquinas, el sistema estructural está constituido por
pórticos de concreto armado, la planta tipo se
muestra en la Figura 3.
• La ubicación de la edificación en los demás países
está determinado por las condiciones de suelo y
sismicidad de cada región. Para mantener la
uniformidad de condiciones en la comparación, la
estructura se ubicó en cada país de acuerdo a lo
siguiente:
1. En una zona con un perfil geotécnico del terreno
de fundación en donde se presente suelos muy
Figura 3. Geometría de la planta tipo.
62 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Lanza, Puentes y Villalobos
duros o densos, roca blanda o meteorizada.
2. En una zona con actividad sísmica medianamente
alta en función al rango de peligrosidad sísmica
mundial, según lo especifica el mapa global de
peligrosidad sísmica, mostrado en la Figura 2.
dos obtenidos en los métodos de análisis exigidos por
cada código, en donde se puede observar que el resultado más conservador es el de Japón, manteniéndose
en la parte constante de su espectro.
Tabla 1. Períodos de vibración obtenidos según los distintos
códigos para la edificación en estudio.
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
4.1 Espectros de respuesta
En el gráfico mostrado en la Figura 4 se muestran los espectros de respuesta elásticos sin reducir,
según lo especificado por cada código para la misma
estructura y condiciones de suelo. La curva correspondiente al código de Chile [8] no está suavizada como
las demás, corresponde a la fórmula que se aplica en
el análisis dinámico y es la que muestra mayor
respuesta para períodos entre 0,19 y 0,50 segundos.
Espectros de Diseño
1.20
CHILE
1.00
JAPÓN
VENEZUELA
UBC
0.80
A/g
0.60
MÉXICO
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
CÓDIGO
VENEZUELA
UBC 1997
MÉXICO
CHILE
JAPÓN
T (seg.)
0,686
0,717
0,983
1,157
0,450
A ( no reducida )
0,913
0,628
0,480
0,570
0,997
4.2 Factor de reducción de respuesta
Para efectos de cálculo se asignó para la misma
estructura un factor de reducción de respuesta según
lo establecido por cada norma, con la finalidad de
reducir las fuerzas elásticas de diseño sísmico [9], en
general se observó que este efecto es considerado por
los materiales, detalles constructivos y el sistema estructural, permitiéndole a la estructura incursionar en
el rango inelástico y disipar la energía impartida por
un temblor fuerte mediante histéresis. En la Figura 5
se muestra un gráfico en el cual se aprecia el valor de
los factores que reducen la fuerza sísmica de cada código en estudio, bien sea disminuyendo el valor de la
ordenada del espectro, disminuyendo el valor del corte basal, o el valor de las fuerzas sísmicas por nivel.
1.00
FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESPUESTA
Período T (seg)
10.55
12.000
10.000
En la Tabla 1 se muestran los valores de perío-
8.000
3.33
4.000
2.000
VENEZUELA
6.000
CHILE
6.00
JAPÓN
Para períodos menores que 0,16 y mayores que
0,78 segundos, es decir, Venezuela al igual que Japón
son los países más exigentes (siendo Venezuela menor que Japón), en lo que se refiere a la respuesta del
espectro y para períodos entre 0,67 y 0,78. Venezuela
es el más exigente de todos. Cabe destacar que para
menores períodos ya sea que pertenezcan a la rama
constante o decreciente del espectro, se obtendrán
resultados más conservadores de respuesta.
8.50
ESTADOS UNIDOS
Figura 4. Espectros de respuesta elástica
2.00
MÉXICO
0.000
F
FACTOR
Figura 5. Espectros de respuesta elástica
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
63
Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana
COMPARACIÓN DE CORTES BASALES
1.724
1.80
1.724
1.60
1.40
0.606
JAPÓN
0.486
MÉXICO
VENEZUELA
0.606
0.497
0.799
CHILE
0.20
0.819
CHILE
0.40
1.000
MÉXICO
0.60
VENEZUELA
0.80
1.000
UBC1997
1.00
UBC1997
1.20
JAPÓN
RELACION DE CORTE BASAL RESPECTO A VENEZUELA
Se observa que el valor del factor de reducción
que establece el código chileno es el mayor de todos
(10,55), esto se debe a que se aplicó un análisis dinámico. El código de los Estados Unidos [10] se reduce
la fuerza con un valor de 8,5 que es 42 % mayor a
Venezuela. De otra forma Japón [11] y México [12]
son más conservadores en este aspecto, reduciendo la
fuerza un 67 % y un 44 % respectivamente menor que
Venezuela. En la Tabla 2 se muestra la relación entre
factores de reducción de respuesta respecto a
Venezuela, se aprecia que para Chile el factor es mayor que el de Venezuela en 76 %, mientras que para el
UBC es 42 % mayor.
0.00
Fx
Fy
DIRECCION DE ANÁLISIS PARA EL CORTE
Tabla 2 relación entre factores de
reducción de respuesta respecto a Venezuela.
PAIS
VENEZUELA
UBC 1997
MÉXICO
CHILE
JAPÓN
F
1,00
1,42
0,33
1,76
0,56
Es importante señalar que la estimación de las
acciones sísmicas en el código japonés se realiza por
nivel, facilitando la interpretación del criterio de
“energía disipada inelásticamente”, en el caso de presentarse alguna característica diferente en un entrepiso, solo se aplicaría a ese nivel el factor de reducción
que le corresponda sin tener que afectar a los demás
elementos, para efectos de este estudio el factor se
mantiene constante ya que todos los elementos poseen
características similares.
4.3 Corte basal
En la Figura 6 se muestra un gráfico comparativo el cual relaciona los cortes basales generados por
cada código respecto al de Venezuela, siendo este la
unidad patrón (1). Se observa que el corte basal mayor
es el japonés y es 72 % veces mayor que el de
Venezuela en las dos direcciones de estudio. Los
demás cortes basales son menores que el de Venezuela, UBC es 40 % menor en ambas direcciones de estudio, México es 18 % menor en dirección X y 20 %
menor en dirección Y, por último Chile en promedio
es 50 % menor en la dirección X y 51 % menor en
dirección Y.
Se puede observar que el código venezolano
generó el corte basal más alto después de Japón, este
64 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Figura 6. Gráfico comparativo de corte basal.
último fue el mas alto debido al factor Z, del cual dependen las cortes generados por nivel, este coeficiente
se expresa como fracción de la gravedad y se tomó
igual a 0,8, que corresponde a una zona de peligrosidad sísmica mediana a alta según el mapa de riesgo
sísmico global mostrado en la Figura 2. Por otro lado
el menor corte basal generado fué el de Chile y se debe principalmente a que por normativa del código se
aplicó un método de análisis dinámico, el cual es más
exacto y aproxima más a la realidad los valores esperados de fuerzas sísmicas.
4.4. Fuerzas sísmicas generadas por nivel
En las Figuras 7 y 8 se observa gráficos que
relacionan la fuerza sísmica generada por cada código
por nivel respecto a la generada por el código venezolano en la dirección X y en dirección Y, tomando en
cuenta el criterio anterior Venezuela es la unidad patrón (1), UBC y Chile en promedio son menores en
50 % por nivel y México en promedio es 30 % menor.
Como se observa, la mayor fuerza sísmica en
cada nivel es generada por el código japonés, con excepción del nivel 5, esto ocurre debido a que en el
procedimiento de cálculo, se afectan las condiciones y
las fuerzas a partir del nivel 5, por la falta de rigidez
que se presenta en las columnas superiores, el código
japonés toma en cuenta este efecto aumentando el
corte por nivel sólo de los pisos que no cumplen con
las condiciones establecidas, incorporando al método
procedimientos considerando los modos superiores de
vibración.
Lanza, Puentes y Villalobos
RELACIÓN DE FUERZA SÍSMICA POR NIVEL EN DIRECCIÓN X
JAPÓN
VENEZUELA
UBC 1997
MEXICO
CHILE
TECHO
6
4.
NIVEL
5
4
3
2
1
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
RELACION
Figura 7. Relación de la fuerza sísmica por nivel respecto a
la generada por el código venezolano.
5.
RELACION DE FUERZA SÍSMICA POR NIVEL EN DIRECCION Y
TECHO
JAPÓN
VENEZUELA
UBC 1997
6
MÉXICO
CHILE
6.
NIVEL
5
4
3
2
7.
1
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
RELACIÓN
Figura 8. Relación de la fuerza sísmica por nivel respecto a
la generada por el código venezolano.
8.
5. CONCLUSIONES
1. El código Venezolano es uno de los que considera
la mayor porción de sobrecarga de uso, estableciendo como mínimo 50 % para edificaciones del grupo
A, tales como las destinadas para uso educacional
2. De acuerdo al gráfico comparativo de los espectros
de diseño (Figura 8), se observa que para períodos
entre de 0,67 y 0,78 s, la respuesta obtenida por la
norma venezolana se presenta con los mayores valores de ordenadas espectrales.
3. En la comparación de los métodos de análisis estáticos, se presenta para todos los códigos sísmicos en
estudio a excepción de Japón, un mismo esquema
9.
de estimación de las acciones sísmicas considerando la estructura como una unidad (corte basal, estimación de períodos, distribución de fuerzas).
La norma sísmica de Japón presenta una serie de
parámetros asignados de acuerdo a las características del proyecto, y trabaja con un diagrama definido como ruta de diseño, que guía el cálculo de las
acciones sísmicas correspondientes, de acuerdo a
los estudios que se vayan describiendo. Es importante señalar que la estimación de las acciones sísmicas en este código se realiza por nivel, facilitando
la interpretación del criterio de “energía disipada
inelásticamente”. En el caso de presentarse alguna
característica diferente en un entrepiso, solo se aplicaría a ese nivel el factor de reducción que le
corresponda sin tener que afectar a los demás
elementos.
La norma Chilena resultó ser la más exigente en
cuanto a la escogencia de métodos de análisis a emplear, más no en valores de diseño, ya que empleó
un método de análisis dinámico, lo que hace al
resultado mas preciso.
El código de Japón limita la dispersión de la rigidez
lateral de un nivel respecto al promedio de los valores de rigidez lateral en todos los niveles de la edificación, incrementando los valores de corte sólo en
aquellos niveles que no cumplan con las condiciones establecidas.
La norma Chilena resultó ser la más estricta en
cuanto a la escogencia de métodos de análisis a emplear, es decir es más exigente en términos de cálculo, más no en valores de diseño, ya que empleó
un método de análisis dinámico, lo que hace al
resultado mas preciso.
En cuanto a los factores de reducción de respuesta,
el código estadounidense (UBC) y el código Chileno reducen mas la respuesta en 42 % y un 76 %
respectivamente que el código Venezolano, es decir
consideran a la estructura en estudio con mayor capacidad de disipar energía inelásticamente, en lo
que respecta a Japón y México son mas conservadores ya que reducen menos la respuesta en 44 % y
67 % respectivamente que el código Venezolano.
En lo que se refiere a los valores de corte basal
obtenidos respecto al código venezolano, por código Japonés es 72 % mayor, el obtenido por el UBC
es 40 % menor, el obtenido por el código de México es 20 % menor y por el código de Chile es 50 %
menor. Como se puede observar después de Japón,
Venezuela tiene la mayor magnitud. Esto se debe a
que el código japonés, se presenta mayor exigencia
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
65
Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana
a nivel constructivo, en lo que se refiere al aspecto
de la distribución de rigideces a lo largo de la
estructura además que para el cálculo de esta
acción la estructura se ubica en una zona con
mayor magnitud de aceleración horizontal. Si se
observa los resultados obtenidos, se concluye que
las acciones sísmicas de acuerdo al código Venezolano son mayores con excepción del código Japonés, lo que implica mayores costos a nivel constructivo. Sin embargo proporciona buena confiabilidad de la integridad estructural, de esta forma
contribuye a que las estructuras sean menos vulnerables ante las acciones producidas por los sismos.
6. RECOMENDACIONES
1. Para modificaciones posteriores de la norma sismorresistente Venezolana, se recomienda la incorporación de un diagrama de flujo similar a las rutas de
diseño definidas en el código japonés, en el cual se
establezcan las rutas de cálculo a seguir para determinar las acciones sísmicas de forma más eficiente
y que rija la evaluación de los parámetros de cálculo en función de los requerimientos que este considere.
2. Del mismo modo se recomienda la realización de
un análisis comparativo de diseño sismorresistente,
con el cual se puede cuantificar los costos de cada
diseño.
REFERENCIAS
[1] Sauter Franz, “Fundamentos de ingeniería sísmica
I, introducción a la sismología”, Editorial Tecnológica de Costa Rica, Año 1989.
[2] Documento
en línea,
http://www.scec.org/
news/00news/news000401.html año 2004.
[3] Graces, José. “Introducción a la evaluación de la
amenaza sísmica en Venezuela”. Primera Edición,
Organización Graficas Carriles, Venezuela 2002.
[4] Anil K., Chopra, “ Dynamics of structures, theory
and applications to earthquake engineering”, Primera edición, organización graficas Carriles, Venezuela 2002
[5] Academia de ciencias científicas físicas matemáticas y naturales. “Diseño sismorresistente, especifi66 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
caciones y criterios empleados en Venezuela”, Volumen XXXIII, Editorial Binev, 1997.
[6] Norma
COVENIN MINDUR
1756-2001,
“Edificaciones sismorresistentes”, Año 2001.
[7] Gómez C. Luis A. Y Guada R. Andreina,
“Comparación en el diseño en concreto armado de
estructuras según las normas COVENIN 1756-82,
1756-98 Y 1756-98 REV. 2001”. Tesis de Pregrado, Universidad de Carabobo, 2002.
[8] Instituto nacional de normalización, “Norma Chilena Diseño Sísmico de Edificios”, Año 1993.
[9] Bazán, Enrique y Meli, Roberto, “Diseño sísmicos
de edificios”, 5ta reimpresión, Editorial LIMUSA –
Grupo Noriega Editores, Balderas, México D.F,
Año 2002.
[10] International conference of building officials
(UBC), “Código uniforme de la edificación
1997”, Volumen 2, versión en español, ICBO,
Año 1999.
[11] Ministerio
de
construcción de Japón,
“Reglamento normativo de construcción”, Año
1987.
[12] Gaceta oficial del departamento del distrito federal, Numero 38, México, D.F., “Normas técnicas
complementarias para diseño por sismo”, Año
1987.
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 67-79, 2003
Determinación de la distribución de esfuerzos y sus influencias durante
la vida útil del sello para la bomba KSB ETA 32-200
Luis E. Vallés, Luis A. Michielli O., Antonio R. Salguero S.
Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
Email: [email protected]
Resumen
El sello mecánico es un componente vital en la mayoría de los equipos rotativos, mientras se encuentra en
funcionamiento está sometido a presiones que inducen tensiones elevadas en sus partes. Esta razón es la principal
causal del desgaste del sello mecánico acortando su vida útil; un factor determinante en este desgaste lo representa
los efectos causados por el abrasivo que contiene el fluido. Conocer el patrón de desgaste del sello por efecto
abrasivo en el tiempo, es importante para predecir el momento adecuado en el que se deberá reemplazar el
mismo, por lo que se propone la creación de un modelo teórico conformado por ecuaciones que relacionan los
parámetros de funcionamiento del sello mecánico, del flujo manejado y de la bomba, y de esta manera conocer,
ante la combinación de estas ecuaciones el comportamiento de todas las variables que influyen en el desgaste para
distintas condiciones de operación. El modelo teórico propuesto fue validado efectuando un ensayo experimental,
para establecer las condiciones de trabajo reales del sello. Por otra parte, se pudo conocer que a medida que
transcurre el tiempo la masa perdida en la cara rotativa va decreciendo linealmente, además de que el porcentaje
de abrasivo no influye significativamente en la temperatura que alcanza las caras en operación.
Palabras Claves: Sello mecánico, fricción, abrasivo, vida útil, desgaste.
Determination of stress distribution and its influences during the seal’s
useful life for the pump KSB ETA 32-200
Abstract
The mechanical seal is a vital component in most of the rotary equipments, while it is in operation, it is
subjected to pressures induce risen tensions in its parts. This reason is the principal causal of the mechanical seal
wear shortening their useful life, and the effects caused by the abrasive contained in the fluid is another decisive
factor in this wear. It is important to know the seal wear pattern for abrasive effect in the time to predict the right
moment to replace the seal, for that the creation of a theoretical model conformed by equations that relate the
operation parameters of the mechanical seal, of the managed flow and of the pump to know, in this way, the
behaviour of all the variables that influence in the wear for different operation conditions trough the combination
of these equations. The proposed theoretical pattern was validated making an experimental rehearsal, to establish
the real work conditions of the seal. On the other hand, as long as the time pass, the lost mass in the revolving
face decreases lineally besides that the abrasive percentage doesn't influence significantly in the temperature
reaches the faces in operation.
Keywords: Mechanical seal, friction, abrasive, useful life, wear.
1. INTRODUCCIÓN
En la mayoría de los procesos industriales se
manejan fluidos diversos para una amplia gama de
aplicaciones, la bomba centrífuga como un componente esencial en el manejo de dichos fluidos interviene
de manera directa en la eficiencia de estos procesos.
Los elementos internos que conforman la bomba, como lo son: eje, impulsor, voluta, sello o empacadura y
carcasa, determinan el óptimo funcionamiento de la
misma. Uno de los componentes con mayor exigencia
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
67
Determinación de la distribución de esfuerzos
mecánica dentro de una bomba centrífuga lo representa el sello. El no conocer los esfuerzos que actúan
sobre el sello, ante parámetros de operación y funcionamiento de una bomba en una situación cualquiera,
dificulta predecir el momento en el cual dicho sello
fallará. En consecuencia, sería muy útil conocer hasta
qué punto el sello cumple con su función, y bajo qué
condiciones puede hacerse uso de él para los diferentes procesos en la industria. Para predecir la vida útil
de sello esta investigación plantea la generación teórica de un modelo matemático validado por los datos
obtenidos de un ensayo experimental.
Esfuerzo en la cara rotativa por presión en la
caja de sellado
La caja de sellado se encuentra justo atrás del
impulsor de la bomba, y es el hogar del sello, en esta
existe una presión P1, por causa del fluido que se
escapa de la boca de descarga y se acumula en ella
(Figura 1), dicha presión debe ser sellada.
La presión P1 , se puede calcular de la siguiente
manera:
P1 = Ps + 0.1( Pd − Ps )
(1)
2. METODOLOGÍA
Desarrollo del modelo teórico
Este desarrollo consiste en la modelación matemática de los principales fenómenos que intervienen
cuando el sello está trabajando, como lo son: esfuerzos de presión, esfuerzos fricciónales, esfuerzos por
temperatura, y esfuerzos centrífugos. Hasta llegar a la
predicción teórica del desgaste del sello por efectos
abrasivos.
Estudio de los esfuerzos a los que está
sometida la cara rotativa del sello
Mientras que el sello está en funcionamiento se
encuentra sometido a presiones, que inducen tensiones elevadas en sus componentes, las cuales se ven
reflejadas directamente en las caras del sello provocando cargas de fricción y a partir de esta cargas
térmicas. El sello se diseña de tal forma, que la cara
rotativa sea el componente que falle antes de
cualquier otro componente [1].
Por tal motivo, el desarrollo del modelo teórico
consiste en analizar los esfuerzos productos de las
cargas a la cual se encuentra sometida la cara rotativa
de sello [2], los esfuerzos a analizar son:
1. Esfuerzos inducidos por la presión existente en la
caja de sellado.
2. Esfuerzos inducidos por fricción y temperatura.
3. Esfuerzos producidos por el efecto centrífugo.
68 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Caja de
Sellado
Figura 1. Ubicación caja de sellado.
Entre el eje de la bomba y el sello existe una
presión P2, que es la presión atmosférica
P2(manométrica) = 0.
La presión efectiva entre las caras del sello
viene dada por la ecuación:
PG = ∆ p ( K − K 1 ) + Pr
(2)
Esta es la presión promedio que actúa en las
caras del sello, si se considera un modelo lineal
(K1 = 0,5), esto es cuando las caras de sellado se mantienen totalmente paralelas durante el tiempo de operación (lográndose con el correcto montaje del sello,
asegurándose la alineación del eje y reduciendo al
máximo las vibraciones), la distribución de presiones
en la cara del sello está conformada por una distribución en forma triangular por efectos de la diferencia
de presión P1-P2, y otra rectangular por efectos del
resorte (Ver Figura 2), [3, 4].
Vallés, Michielli, y Salguero
De la Figura 2 se puede deducir que la presión
que actúa en un determinado punto de la cara, en función del radio, es la ecuación de la recta que se forma
en el trapecio de presión efectiva resultante por la
constante del balanceo del sello (K), dicha ecuación
es:
P (r ) =
K ( ( r − R1 ) P1 + ( R2 − R1 ) Pr )
( R2 − R1 )
(3)
Esfuerzo en la cara rotativa por efectos
fricciónales
Existen dos tipos de fricción que actúan en la
cara, una fricción ocasionada por el contacto entre las
caras (Frc) y otra fuerza de fricción por el líquido y
la cara (Frl), existe un factor empírico llamado número de Guembel [5, 6], el cual da una idea de las condiciones de fricción en la cual está trabajando el sello, y cual es la condición de fricción predominante,
es decir, si bajo ciertas condiciones de trabajo la fricción es mixta (Frc+ Frl), o predomina la fricción ocasionada solamente por el líquido Frl.
La fuerza friccional ocasionada por el contacto
(Frc) se puede determinar como: Frc = fN , donde:
f es el factor de fricción o coeficiente de roce, y N es
la fuerza normal que actúa sobre la cara.
Figura 2. Presión efectiva en las caras del sello.
La fuerza normal es producto de la distribución
de presiones entre las caras en contacto explicadas en
el punto anterior. Para determinar como es la distribución de estas fuerzas sobre la cara es necesario hacer
el siguiente análisis diferencial:
Finalmente, la distribución de presiones
(esfuerzo) a los que está sometido la cara, por efectos
de la presión hidráulica y la presión del resorte, se
observa en la Figura 3.
Figura 4. Análisis del diferencial de fuerza.
Figura 3. Distribución de esfuerzos por diferencia de
presión.
El diferencial de fuerza se obtiene de la
siguiente manera: df = PdA, en donde la presión es
conocida pero varía en función del radio como lo
describe la siguiente ecuación [7-9]. El diferencial de
área (dA) se termina como sigue; dA = r(dr)(dθ).
Si la ecuación se describe de la siguiente manera:
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
69
Determinación de la distribución de esfuerzos
P(r ) =
rPK
R P K − R1 K ( P1 + Pr )
1
+ 2 r
(4)
( R2 − R1 )
( R2 − R1 )
La fuerza friccional ocasionada por el líquido
sobre las caras se puede aproximar como una fuerza
que actúa constante en toda la superficie de la cara, y
viene definida por:
donde:
a=
P1 K
( R 2 − R1 )
b=
K ( R2 Pr − R1 ( P1 + Pr ) )
(5)
( R2 − R1 )
entonces; P(r)= ar + b
Se observa claramente en la Figura 4, que el
ángulo θ varía entre 0 y 2π, y el radio r varía entre R1
y R2, lo cual nos conduce a la siguiente integración
doble:
F=
2π R2
∫ ∫ PdA
(6)
0 R1
al sustituir P = ar + b, y dA = r(dr)(dθ) , quedando:
F=
2π R2
∫ ∫ (ar + b)rdrdθ
(7)
0 R1
resolviendo la doble integración la fuerza queda
definida según la siguiente ecuación:
b
⎡a
3
3
2
2 ⎤
F = 2π ⎢ ( R2 − R1 ) + ( R2 − R1 )⎥
2
⎣3
⎦
Frl =
Donde, η: Viscosidad dinámica.
VG: Velocidad de deslizamiento.
Ac: Área de contacto entre las caras.
h: Holgura entre las caras.
La distancia entre las caras h, se puede aproximar a la diferencia de las rugosidades aritméticas (Ra)
de los materiales de las caras en contacto.
Finalmente, la fuerza friccional total
(Fr = Frc+ Frl), también llamada fuerza de roce mixta,
actuante sobre la cara, la representa la siguiente ecuación:
⎡
P1
3
3
Fr = f 2π K ⎢
R2 − R1 + ...
⎣ 3 ( R2 − R1 )
(
(
(
h
⎡
P1
3
3
f 2π K ⎢
( R2 − R1 ) + ...
−
R
R
3(
)
2
1
⎣
R 2 P r − R 1 ( P1 + P r )
2
2 ⎤
( R 2 − R1 ) ⎥
2 ( R 2 − R1 )
⎦
)
)
(12)
El esfuerzo a los que está sometido la cara por
efectos fricciónales (σf ) se puede calcular de la siguiente manera; σf = Fr/Aa , de tal modo que la
ecuación queda:
⎡
P1
R P − R (P + P ) 2
3
3
2 ⎤
2 fK ⎢
(R2 − R1 ) + 2 r 1 1 r (R2 − R1 )⎥
2(R2 − R1 )
⎣ 3(R2 − R1 )
⎦
σf =
2
2
(R2 − R1 )
... +
sustituyendo a los factores a y b:
)
R 2 Pr − R1 ( P1 + Pr )
2
2 ⎤
R 2 − R1 ⎥ + ...
2 ( R 2 − R1 )
⎦
(8)
b
⎡a
3
3
2
2 ⎤
Frc = f 2π ⎢ ( R2 − R1 ) + ( R2 − R1 )⎥ (9)
2
⎣3
⎦
(11)
h
η V G π R 2 2 − R1 2
Esta ecuación muestra como se comporta la
fuerza ejercida a la cara por efectos de la presión
hidráulica por el contacto [10]. Entonces la fuerza de
fricción por contacto queda definida así:
Frc =
ηVG Ac
ηVG
h
(13)
Esfuerzo en la cara rotativa por efectos
térmicos causados por fricción.
(10)
70 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
El calor causado por fricción entre dos superficies en contacto, en donde una se desliza
respecto a la otra, depende de los siguientes factores:
Vallés, Michielli, y Salguero
las propiedades de los materiales en contacto, la velocidad de deslizamiento de un material respecto al otro
y la potencia de calor disipada en el contacto.
Para este modelo, la máxima temperatura que
puede alcanzar la cara rotativa viene dada por la siguiente ecuación:
T = T∞ +
FD C γ Q t
b
Esfuerzos en la cara rotativa
centrífugo
(14)
por efecto
El fluido que se encuentra entre las caras del
sello, por efectos de la rotación del eje, es lanzando
radialmente hacia fuera, creando una fuerza centrífuga
que actúa sobre las caras. Esta fuerza centrífuga intenta abrir las caras del sello, ejerciendo sobre éstas
una presión que se puede calcular como sigue:
Pz =
3
ρω 2 ( D2 2 − D1 2 )
80
(15)
Donde: ρ = densidad del fluido entre las caras.
ω = velocidad angular.
D2 y D1 = Diámetro exterior e interior respectivamente
Modelo de
rotativa
desgaste abrasivo en la cara
El desgaste depende principalmente de la velocidad de las partículas (asociado esto a las velocidad a
la que gira la bomba), la dureza y de su tamaño [11].
Se tiene una ecuación que permite calcular el volumen
retirado de la superficie afectada en función de la dureza de la misma, la fuerza ejercida sobre esa superficie, la longitud que recorre la partícula y una constante de desgaste definida por la forma y geometría de la
partícula.
sente en el fluido y la densidad del fluido. Se calcula
por medio de la siguiente ecuación:
K desg = (FP + FDA + FDF )FA
(17)
Para que esta ecuación tenga mayor aplicación
sobre el estudio realizado es conveniente transformarla a masa perdida en función de los parámetros relacionados a la operación de la bomba, los radios del
sello mecánico, el diferencial de presión en la caja de
sellado, la velocidad angular de la bomba, el tiempo
que va a permanecer funcionando el sello y la dureza
del material atacado, se tiene la siguiente expresión:
4 2 K desg wKRm ρCR t ⎡ 1
3
3
π
P1 R2 − R1 + ...
⎢
3
H ( R2 − R1 ) ⎣ 3
(
m=
(
)
)
(
)
1
1
2
2
2
2 ⎤
Pr R2 − R1 ( R2 − R1 ) − P1 R1 R2 − R1 ⎥ (18)
2
2
⎦
Con esta ecuación se puede determinar teóricamente la cantidad de masa retirada de la superficie de
la cara rotativa.
3. DISEÑO DEL ENSAYO EXPERIMENTAL
Descripción general del banco de ensayo
El objetivo del ensayo experimental, es la
comprobación del modelo teórico, sometiendo al sello
a las condiciones de operación reales. Para ello se
diseñó un banco de ensayo, con la bomba original
KSB ETA 32-200 y con el sello marca Burgmann M2
original. En la Figura 5, se muestra una vista general
del banco de ensayo.
(16)
Este sistema, simula las condiciones reales
en la cual trabaja un sello. El motor pone en funcionamiento el sistema, haciendo que el eje se
mueve y por ende la cara rotativa del sello.
La constante de proporcionalidad (Kdesg),
depende de varios factores; con respecto al tipo de
abrasivo se encuentra el tamaño del grano y la densidad y con respecto al medio está el % de abrasivo pre-
El compresor presuriza el tanque a la presión
habitual de trabajo del sello además de generar
turbulencia del agua para una simulación más real. La
presión dentro del tanque presurizado es controlada
por la válvula de alivio.
V=
FKL
3H
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
71
Determinación de la distribución de esfuerzos
Manómetro
Válvula
o-ring, el anillo de empuje y el resorte a la cara
estacionaria, luego se introduce este conjunto en el
eje previamente lubricado.
3. Se coloca el anillo de sujeción a la distancia de
trabajo del sello. Habiéndose cumplido los pasos 1,
2 y 3, el montaje se ve como se observa en la
Figura 6:
Motor
Bomba
Brida
Cara Rotativa
Entrada de Aire
Comprimido
Figura 5. Vista general del banco de ensayo.
Cara
Estacionaria
Anillo
Sujeción
Procedimiento de realización del ensayo
El ensayo experimental
principales:
se divide en tres fases
FASE I:
En esta fase las caras del sello son examinadas, en
un cuarto de control de calidad, en donde la temperatura y la humedad relativa están controladas en 20 °C
y 60 % respectivamente, esto según la norma
COVENIN 2.424 - 2.000 y 2.425 - 2.000.
Figura 6. Vista montaje hasta los pasos 1, 2 y 3.
4. Se coloca el o-ring a la tapa y se coloca en la bomba, luego se aprietan los tornillos de la tapa sujetando así la brida de sello (Ver Figuras 7 y 8).
Primeramente se pesan las caras, con un balanza de
apreciación 0,01 g y se tabulan los valores. Luego se
toman las medidas de la cara rotativa con instrumentos de alta precisión.
FASE II
Esta fase consiste en el montaje del ensayo y el
seguimiento en operación.
Montaje del ensayo:
1. Se coloca los O-ring a la brida y a la cara estacionaria, y luego se introduce en la brida del sello mecánico, el conjunto se introduce en el eje.
2. Se arma la parte rotativa, en donde, se coloca el
72 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Figura 7. Tapa de la bomba montada.
5. Se coloca la voluta, el suministro de aire comprimido y se inserta el agua (1335 mL) y el abrasivo.
6. Luego se coloca el manómetro y se enciende la
bomba, se abre la válvula de paso del aire comprimido y con la válvula de alivio se controla la presión a la deseada.
Vallés, Michielli, y Salguero
Figura 8. Detalle del apriete de los tornillos de la tapa a la
brida del sello.
Seguimiento durante ensayo:
Para tiempos de: 0, 3, 7, 10, 15, 20, 30 ,45, 60,
75, 90, 120, 150 y 180 minutos, se toma la temperatura
de trabajo del sello con un instrumento láser de precisión 0,1 °C y a parte se verifica que el goteo sea el
permisible para las condiciones de trabajo del sello.
FASE III:
Transcurridas tres (3) horas de haber arrancado
la bomba, se detiene la misma se corta el suministro de
aire comprimido y se procede a desmontar todo el
ensayo. Las caras son limpiadas en un equipo de
ultrasonido para evitar que les quede arena impregnada
y pueda afectar las mediciones, luego se dejan secar las
caras por un lapso no menor de 12 horas para evitar
que la humedad de la cara de carbón pueda afectar las
mediciones. Se siguen las fases 1, 2 y 3 en días posteriores consecutivos con el mismo sello hasta que éste
falle.
Consideraciones generales del ensayo
1. Se ensayaron dos sellos mecánicos, debido a que es
un componente muy costoso y solo se disponían de
dos sellos donados por la empresa, para el primer
sello se utilizó un 5 % de abrasivo y en el segundo
un 10 %. Manteniéndose las demás condiciones
iguales entre sellos.
2. Los ensayos se realizaron todos en la mañana, para
que las condiciones ambientales sean las mismas.
3. La temperatura fue tomada en la parte posterior de
la tapa, ver Figura 9, que es lugar más cercano donde se encuentra trabajando el sello.
Figura 9. Vista toma de temperatura.
4. Se diseñó una planilla donde se tabularon las masa,
medidas de las caras del sello y la temperatura de
trabajo. Además del procedimiento que se debe seguir para el montaje del ensayo, la hora de inicio y
de finalización del ensayo.
Especificación de los parámetros de trabajo en la
validación
Con la finalidad de determinar la validez de las
ecuaciones que conforman el modelo teórico, es necesario establecer parámetros de funcionamiento real
con los que opera la bomba. La presión de la caja de
sellado depende directamente de la presión de succión
y descarga de la bomba, para lograr una presión relativamente alta en la caja de sellado (P = 4 bar) por efectos de tiempo de duración del ensayo, es necesario asumir éstos parámetros de funcionamiento de la bomba.
Si se toma en cuenta a la bomba KSB ETA
32-200, trabajando cercano a máxima eficiencia, esto
es Hm = 63,9 m y Q = 17,5 m3/h y una presión de succión Ps =3,39 bar (que se considera una presión de
succión típica de trabajo de la bomba), aplicando
Bernoulli entre la succión y la descarga de la bomba,
resulta Pd = 9,49 bar.
Además como fluido de trabajo se asumió, agua
a T = 30 ºC y 5 % de abrasivo para el primer sello, y
10 % de abrasivo para el segundo sello. Es de hacer
notar que estas variables como lo son; presión de
succión y descarga, temperatura y porcentaje de
abrasivo en el fluido, están todas contempladas en el
modelo teórico generado, por lo que ellas pudiesen
tomar cualquier valor, los valores tomados son para
ejecutar el modelo y el ensayo y poder establecer una
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
73
Determinación de la distribución de esfuerzos
comparación entre ellos.
Datos en operación
Con la finalidad de determinar la validez de las
ecuaciones que conforman el modelo teórico, es
necesario establecer parámetros de funcionamiento
real con los que opera la bomba temperatura y
porcentaje de abrasivo, que para la ejecución del
modelo y el ensayo se asumirá en T = 30 ºC y 5 % de
abrasivo para el primer sello, y 10 % de abrasivo para
el segundo sello.
Tabla 3. Datos en operación.
Variable
PG
VG
Valor
485,8279 KPa
5,498 m/s
κ
1,714
0,035
4,37x10-7
3.672,873 w.s1/2/mºC
8.586,92 w.s1/2/mºC
0,3
93.487,862 W/m2
2.662,33 x 103 Pa.m/s
1.697,769 Pa
f
G
b1
b2
4. RESULTADOS Y SU DISCUSIÓN
γ
Resultados y discusiones del modelo teórico y
el ensayo experimental.
Qf
P.V
Pz
Específicos del sello
Tabla 1. Resultados específicos del sello.
Variable
Rm
Aa
Ac
K
K1
Fr
Pr
h
Valor
0,014625 m
2,527x10-4 m2
3,137x10-4 m2
1,24
0,5
47,97 N
189,8279 KPa
0,15 µm
De las condiciones de trabajo
Tabla 2. Resultados de las condiciones de trabajo.
Variable
P1
P2
Valor
400 KPa
0 KPa
∆P
400 KPa
375,943 rad/s
7,38 x10-2 mL/h
w
L
74 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Comparación de presiones
Tabla 4. Comparación de los resultados de presiones.
PG
σf
485,8279 Pa 29.246,226 Pa
Pz
1.697,769 Pa
De la distribución de presiones
La presión en cualquier punto de la cara quedó
definida por:
P ( r ) = 180,363 r − 2.154.425
(19)
Esta ecuación es para valores 13,25 < r <16,
que son el radio R1 y R2 de la cara en milímetros y la
presión que resulta es en KPa.
Si graficamos la expresión anterior se obtiene
lo que a continuación se muestra en la Figura 10.
•
La Figura 10 es una línea recta de pendiente positiva, es decir, mientras mayor es el radio de la
cara, mayor es la presión que está aplicada en ese
punto. Siendo la máxima presión ( para r = R2) es
de Pmax = 731,38 KPa, y la mínima presión
(para r = R1), Pmin = 235,38 KPa.
Vallés, Michielli, y Salguero
•
800
800
700
700
Presión (kP
(kPa)
Presión
a)
600
600
•
500
500
400
400
300
300
•
200
200
100
100
00
12
12
13
13
14
15
14
15
Radio
de
la
cara
(mm)
Radio de la cara (mm)
16
16
17
17
Del efecto térmico causado por fricción
Figura 10. Presión en cada punto de la cara.
•
•
Este es el valor de esfuerzo friccional promedio
que actúa en la cara del sello, dicho valor es
pequeño comparado con el efecto de presión
hidráulica en las caras, siendo aproximadamente 17
veces menor (Ver Tabla 4).
El número de Guembel para el cálculo del factor de
fricción es de 4,37x10-7, lo cual indica que el sello
está trabajando bajo condiciones de fricción de
líquido, por lo que el esfuerzo friccional es bajo ya
que existen buenas condiciones de lubricación.
El comportamiento de los esfuerzos friccionales a
lo largo de la cara es comparable a la distribución
de presiones, en el sentido de que, es mayor hacia
la periferia de la cara y menor mientras el radio sea
más pequeño, pero no se comportan de manera
lineal.
Es de hacer notar, que este modelo de distribución
de presiones se cumple no sólo para el sello en estudio, sino para cualquier sello que sea montado
internamente y de presurización externa, siempre y
cuando se garantice el paralelismo de las caras en
el montaje y operación del sello.
Experimentalmente se demostró éste modelo de
distribución de presiones (Ver Figura 11), en donde
se puede observar claramente que hacia la periferia
de la cara se ha deteriorado.
T = 30 + 0, 2214 t
(21)
En esta expresión se debe introducir el tiempo
en segundos para que la temperatura resultante este
dada en grados Celsius (ºC). Para una mejor visualización en la Figura 12 los tiempos se muestran en
minutos.
55
Temperatura (°C)
50
Zona Pulida
45
40
35
30
25
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
Tie mpo (min)
Zona Desgastada
Figura 12. Variación de temperatura con el tiempo (Teórico)
Figura 11. Detalle de desgaste (sello a las 12 horas).
•
De los esfuerzos friccionales
σf = 29.246,226 Pa
(20)
Este modelo infiere que la temperatura tiene un
mayor incremento en los primeros minutos y luego
sigue incrementándose con la misma variación al
transcurrir el tiempo.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
75
50
55
55
45
50
50
TTemperatura
e m p e r a t u r a (°(°C)
C)
Temperatura (°C)
Determinación de la distribución de esfuerzos
45
45
40
40
40
35
35
35
30
30
30
25
25
25
0
20
40
60
00
80 100 120 140 160 180 200
20
20
40
40
60
60
80
80
T
iempo(m
in)
Tiempo
(min)
Tie mpo (min)
Sello N° 1
Sello N° 2
Sello
Sello N
N°° 11
Figura 13. Variación de temperatura con el tiempo.
•
•
En la Figura anterior se observa para ambos sellos
ensayados que las temperaturas no varían significativamente entre ellos, esto quiere decir que el
porcentaje de abrasivo presente en el fluido es una
variable que no influye en la temperatura de trabajo del sello.
En los primeros minutos hay incrementos altos de
temperatura, y a medida que va transcurriendo el
tiempo, estas variaciones se van reduciendo hasta
llegar al momento en que tiende a estabilizarse la
temperatura.
Para analizar los resultados obtenidos entre el
modelo teórico y el ensayo experimental es conveniente visualizar la Figura 14.
•
•
•
Como se evidencia en la Figura 14, el modelo
teórico y los resultados experimentales se aproximan. Los valores experimentales tienden a estabilizarse a partir de los 90 minutos, en cambio la
curva del modelo teórico siempre tiende a aumentar.
Tanto los resultados experimentales como teóricos presentan un cambio de temperatura acelerado en los primeros minutos, y luego las temperaturas aumentan en variaciones menores.
Para el intervalo de temperatura 0 - 180 minutos,
la diferencia máxima entre los valores experimentales y el teórico es 6,33 ºC, lo cual ocurre para
t = 180 min.
76 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
100
100 120
120 140
140 160
160 180
180 200
200
Sello
SelloN
N°° 22
Teórico
Teórico
Figura 14. Comparación de los resultados teóricos
experimentales de temperatura.
•
•
El modelo teórico generado es una referencia
válida de lo que ocurre cuando el sello trabaja. Sin
embargo, éste no contempla que las temperaturas
tiendan a mantenerse luego de un lapso de tiempo
específico por efecto del calor que se entrega al
fluido de trabajo de la bomba.
La confiabilidad del modelo teórico de temperatura entre 0 y 90 minutos esta entre el 96 y 99 %,
calculado con la siguiente formula:
%C =
Re al
x100
Teorico
(22)
Del esfuerzo en la cara rotativa por efecto
centrífugo
(23)
Pz = 1.697.769 Pa
•
•
Como se puede observar este valor de esfuerzo
por efecto centrífugo que actúa en la cara del
sello, es pequeño comparado con el efecto
friccional y más aún con el de presión hidráulica
en las caras, siendo 17 veces menos al esfuerzo
friccional y 286 veces menor al efecto por la
presión hidráulica (Ver Tabla 4)
El comportamiento de estos esfuerzos son en
dirección radial y con la misma magnitud en toda
la cara, tratando de expulsar la película del fluido
entre ellas y que está siendo usada como
lubricante.
Vallés, Michielli, y Salguero
•
Del desgaste abrasivo en la cara rotativa
El desarrollo teórico del desgaste en la cara rotativa
del sello para 5 % y 10 % de abrasivo, viene dado por
las siguientes expresiones:
m = 4,62 x10−6 t
(24)
10 % Abrasivo: m = 5, 43x10−6 t
(25)
5 % Abrasivo:
En la fase experimental los resultados obtenidos, para el sello Nº 1 (ensayado con 5 % de abrasivo)
y el sello Nº 2 (ensayado con 10 % de abrasivo), se
observa como se muestra gráficamente en la Figura 16:
Estas ecuaciones, fueron calculadas para introducir el tiempo en segundos y muestre los resultados
de masa perdida en la cara rotativa del sello en gramos
(g). Graficando las expresiones anteriores y colocando
el tiempo en horas para una mejor apreciación observe
la Figura 15:
0,6
Masa Perdida (gr)
0,5
0,9
0,8
El modelo teórico desarrollado muestra la pérdida
de masa en la cara en función del tiempo, mas no
predice cual es la máxima masa que se debe perder
para que el sello falle.
10% de Abrasivo
0,4
0,3
0,2
Masa Perdida (gr)
0,7
0,1
0,6
0,5
0
5% de Abrasivo
0,4
0
10
20
30
40
Tie mpo (hr)
0,3
Sello Nº 1
0,2
0,1
0
0
4
8
12
16
20
24
28
32 36
40
44
Sello Nº 2
Figura 16. Masa perdida por unidad de tiempo para 5 y 10 %
de abrasivo (Experimental).
Tie mpo (hr)
5 % de Abrasivo
10 % de Abrasivo
Figura 15. Masa perdida por unidad de tiempo para 5 y 10 %
de abrasivo (Teórico).
•
•
Ambos gráficos son una línea recta de pendiente
positiva, es decir, mientras mayor es el tiempo de
operación, mayor es la masa que va perdiendo la
cara rotativa.
Para 5 % de abrasivo la masa perdida es de
0,0166 g/h en la cara rotativa y para 10 % de abrasivo la masa perdida es de 0,0195 g/h, lo cual indica que el modelo teórico infiere que a mayor porcentaje de abrasivo presente en el fluido manejado, mayor será el desgaste que sucede en la cara.
•
•
•
El sello Nº 1 falló a las 28 horas y 27 minutos en
operación siendo la masa perdida hasta ese instante
de 0,52 g.
El sello Nº 2 falló a las 25 horas y 19 minutos en
operación experimentando una pérdida de masa
hasta ese momento de 0,50 g.
Ambas gráficas tienen una marcada tendencia lineal de desgaste, es decir, mientras aumentan las
horas en operación la masa perdida también aumentan.
Para analizar los resultados obtenidos entre el
modelo teórico y el ensayo experimental en el primer y
segundo sello, es conveniente visualizar las Figuras
17 a la 20:
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
77
Determinación de la distribución de esfuerzos
•
0,8
0,7
•
Masa Perdida (gr)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Tie mpo (hr)
Experimental
En el primer sello, entre el modelo teórico y el
experimental (Figura 17), la máxima diferencia
entre los valores de masa perdida es de 0,0415 g
que sucede al momento en que falla el sello.
En el segundo sello, entre el modelo teórico y el
experimental (Figura 18), la máxima diferencia
entre los valores de masa perdida es de 0,0392 g,
que a diferencia del primer sello esta ocurre a las
24 h de operación, pero si muy cercano al momento cuando falla el sello, como sucedió en el
primero.
Para una aplicación más práctica de estos
resultados del comportamiento del sello mecánico con
respecto a la cantidad de abrasivo en el tiempo, se
presenta la Figura 19:
T eórico
Figura 17. Comparación del modelo teórico y el resultado
experimental sello Nº 1.
0,8
0,7
Masa Perdida (gr)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Figura 19. Vida útil respecto al % de abrasivo.
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
(h)
Tie mpo (hr)
Experimental
•
T eórico
Figura 18. Comparación del modelo teórico y el resultado
experimental sello Nº 2.
•
En las dos figuras anteriores se puede observan
que para ambos casos el modelo teórico y los resultados del modelo experimental son muy
aproximados, lo que le da gran validez al modelo
teórico propuesto en esta investigación.
78 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
•
En la figura anterior, se puede observar que la
vida útil máxima del sello ensayado (M2/25
Burgmann), es para 0 % de abrasivo y de aproximadamente tres años.
El efecto del porcentaje de abrasivo presente en el
fluido se acentúa a partir de 5 %, en el gráfico se
puede observar que para rangos de porcentaje de
abrasivo ente 0 y 4 % la vida del sello está dada en
años, y en el rango de 5 % a 20 % la vida del sello
es en horas.
En la Figura 20 se muestra la variación de ésta
medida para los dos sellos.
Vallés, Michielli, y Salguero
Ancho de la Cara (mm)
dd
15,3
•
15,2
15,1
•
15
14,9
14,8
•
14,7
14,6
14,5
14,4
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
tie mpo (hr)
(h)
Sello Nº 1
Sello Nº 2
Figura 20. Variación de F respecto del tiempo.
•
•
Ambas curvas presentan una tendencia lineal de
pendiente negativa, es decir, a medida que
transcurre el tiempo, el ancho de la cara también
decrece.
En la Figura 20 se evidencia el efecto del porcentaje de abrasivo en el fluido, respecto a la
variación del ancho de la cara. Se observa que
para el sello Nº 2 el desgaste en el ancho de la cara
es más acelerado que en el sello Nº 1.
5. CONCLUSIONES
•
•
•
•
Los esfuerzos por efectos de presión hidráulica
entre las caras del sello, se comportan linealmente,
mientras se mantenga el paralelismo de las caras,
efecto que se comprobó con los datos arrojados por
el ensayo.
El esfuerzo friccional promedio que actúan en las
caras del sello, es significativamente menor a los
esfuerzos producidos por la presión hidráulica,
cuando las condiciones de trabajo son tales que el
sello trabaja en un régimen de fricción adecuado.
El modelo teórico de temperatura, es confiable
entre un 96 – 99 % y representa una buena aproximación de lo que ocurre en la realidad solamente
hasta los 90 minutos de operación del sello, puesto
que luego de este valor, la temperatura del sello se
estabiliza.
La temperatura de las caras del sello luego de 90
minutos en operación, no se rige por la ecuación
•
•
teórica de temperatura, sino que se mantiene
aproximadamente constante en este último valor.
La temperatura, no es una variable que dependa del
porcentaje de abrasivo presente en el fluido.
El esfuerzo centrífugo presente en las caras, es
siempre mucho menor a los esfuerzos fricciónales,
y mucho más aún a los esfuerzos por efectos de la
presión hidráulica.
Experimentalmente se comprobó que el desgaste
de la cara rotativa por efectos abrasivos está en
función del tiempo, la presión en la caja de sellado,
la presión del resorte, la dureza de la cara, la fuerza
perpendicular aplicada a la cara y la constante de
desgaste.
La vida útil del sello es una función directa del
porcentaje de abrasivo presente en el fluido.
Cuando la masa perdida de la cara rotativa del sello
alcanza aproximadamente los 0,5 g, el sello superará el goteo máximo permisible, por lo que éste es
un valor crítico a partir del cual se considera que el
sello falló.
REFERENCIAS
[1] Avallone, E. Baumeister, T. (1992). Manual del
Ingeniero mecánico (9na Edición). México:
MacGraw-Hill.
[2] Damage of mechanical seal (2000). Burgmann
Internacional.
[3] Díaz Matalobos, A. (1992). Confiabilidad en mantenimiento (1era Edición). Caracas, Venezuela:
Ediciones IESA.
[4] Karassik, T. y otros. (1999). Manual de Bombas
( 3era Edición). México: MacGraw-Hill.
[5] Kreith, Frank. (1970). Principios de transferencia
de calor (1era Edición en Español). México:
Herrero Hermanos, Sucesores, S.A
[6] Manual de información (1999). Burgmann
Venezuela.
[7] Manual de sellos mecánicos (1995). John Krane
Venezuela.
[8] Mc Naughton, K (1992). Bombas. Selección, uso y
mantenimiento. México: MacGraw-Hill.
[9]
Mechanical
seal
practice for improved
performance (1era Edición). London: J D
Summers-Smith.
[10] Mechanical seals. Desing Manual (2000). Burg
mann Internacional.
[11] Rodríguez, P. Manual (1998). Manual de sellos
mecánicos (1era Edición). Barquisimeto, Venezuela: Agrafic C.A.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
79
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 80-89, 2003
Métodos evolutivos en problemas de optimización
Enrique Alba(1), Manuel Laguna(2), Rafael Martí(3)
(1)
Universidad de Málaga, España
(2)
University of Colorado at Boulder, USA
(3)
Universidad de Valencia, España
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
La existencia de una gran cantidad y variedad de problemas difíciles, que aparecen en la práctica y que
necesitan ser resueltos de forma eficiente, ha impulsado el desarrollo de procedimientos para encontrar buenas
soluciones. Estos métodos, en los que la rapidez del proceso es tan importante cómo la calidad de la solución
obtenida, se denominan heurísticos o aproximados. Los procedimientos metaheurísticos constituyen la nueva
generación de método aproximados, y dan unas reglas o estrategias que guían la construcción o el diseño del
algoritmo heurístico concreto que resolverá el problema dado. Aun así, estas reglas no son rígidas y tienen
muchos grados de libertad, permitiendo, por un lado, el diseño de diferentes métodos basados en la misma
metodología, pero, dejando por otro lado al investigador la libertad para tomar decisiones e iniciativas al diseñar
el método. Una de las familias de métodos que podemos encontrar dentro de los procedimientos metaheurísticos
es la de los llamados algoritmos evolutivos. En este trabajo se describen tres de estos métodos que han
demostrado su efectividad en los últimos años: los algoritmos genéticos, la búsqueda dispersa y el
re-encadenamiento de trayectorias.
Palabras claves: Métodos evolutivos, búsqueda dispersa y re-encadenamiento de trayectorias.
Evolutionay methods for optimization problems
Abstract
The main shortcoming of classical heuristic methods to solve hard optimization problems is their inability
to escape local optimality. Meta-heuristics provided a way of considerably improving the performance of simple
heuristic procedures. The search strategies proposed by meta-heuristic methodologies result in iterative
procedures with the ability to escape local optimal points. Metaheuristics have been developed to solve complex
optimization problems in many areas, with combinatorial optimization being one of the most fruitful. Generally,
the best procedures achieve their efficiencies by relying on context information. The solution method can be
viewed as the result of adapting meta-heuristic strategies to specific optimization problems. Evolutionary methods
are a class of metaheuristics that construct solutions by combining others by means of strategic designs. The goal
of these procedures is to enable a solution procedure based on the combined elements to yield better solutions than
one based on the original elements. These methods operate with a population of solutions, rather than with a
single solution at a time, and employ procedures for combining these solutions to create new ones. In this paper
consider three of the most popular evolutionary approaches: genetic algorithms, scatter search and path relinking,
and their strategies that provide useful alternatives to more established search methods, its describe the features of
these methods that offer opportunities for creating increasingly more versatile and effective methods in the future.
Keywords: Evolutionary algorithms, scatter search, path relinking.
1. INTRODUCCIÓN
Los métodos evolutivos están basados en
poblaciones de soluciones. A diferencia de los métodos clásicos de mejora basados en seguimiento de trayectorias, en cada iteración del algoritmo no se tiene
80 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
una única solución sino un conjunto de éstas [1]. Estos métodos
se basan en generar, seleccionar, combinar y
reemplazar un conjunto de soluciones. Dado que
mantienen y manipulan un conjunto en lugar de
una única solución a lo largo de todo el proceso de
Alba, Laguna y Martí
se puede ver agravado porque la “convergencia” de la
población requiera de un gran número de iteraciones.
Por ello se ha dedicado un gran esfuerzo a obtener
métodos que sean más agresivos y logren obtener soluciones de calidad en un horizonte más cercano.
2. ALGORITMOS GENÉTICOS
Los Algoritmos Genéticos (AG’s) fueron introducidos por John Holland [2] fundamentado en el
proceso observado en la evolución natural de los seres vivos. Básicamente, los AG’s imitan el proceso
de evolución natural, el principal mecanismo que guía
la aparición de estructuras orgánicas complejas y bien
adaptadas. De forma muy simplificada, la evolución
es el resultado de las relaciones entre la creación de
nueva información genética y los procesos de evaluación+selección.
Los biólogos han estudiado en profundidad los
mecanismos de la evolución, y aunque quedan parcelas por entender, muchos aspectos están bastante explicados. De manera muy general se puede decir que
en la evolución de los seres vivos el problema al que
cada individuo se enfrenta cada día es la supervivencia.
Cada individuo en una población se ve afectado por el resto (compitiendo por recursos, emparejándose para procrear, huyendo de los depredadores, ...)
y también por el entorno (disponibilidad de comida,
clima, ...). Los individuos mejor adaptados son los
que tienen mayores posibilidades de vivir más tiempo
y reproducirse, generando así una progenie con su
información genética (posiblemente modificada).
A nivel de los genes, el problema de la supervivencia es el de buscar aquellas adaptaciones beneficiosas en un medio hostil y cambiante. Debido en
parte a la selección natural, cada especie gana una
cierta cantidad de “conocimiento”, el cual es incorporado a la información de sus cromosomas. En el
transcurso de la evolución se generan poblaciones
sucesivas con información genética de los individuos
cuya adecuación es superior a la de la media. La naturaleza no determinista de la reproducción provoca una
creación permanente de información genética nueva,
y por tanto la aparición de distintos individuos.
Así pues, la evolución tiene lugar en los cromosomas, en donde está codificada la información
del ser vivo. La información almacenada en el cromosoma varía de unas generaciones a otras. En el
proceso de formación de un nuevo individuo, se combina la información cromosómica de los progenitores,
la forma exacta en que se realiza es aún desconocida.
Aunque muchos aspectos están todavía por
discernir, existen unos principios generales de la evolución biológica ampliamente aceptados por la comunidad científica. Algunos de estos son:
• La evolución opera en los cromosomas en lugar de
en los individuos a los que representan.
• La selección natural es el proceso por el que los
cromosomas con “buenas estructuras” se reproducen más a menudo que los demás.
• En el proceso de reproducción tiene lugar la evolución mediante la combinación de los cromosomas
de los progenitores. Se llama recombinación a
este proceso en el que se forma el cromosoma del
descendiente. También son de tener en cuenta las
mutaciones que pueden alterar dichos códigos.
• La evolución biológica tiene una memoria implícita (no explícita) en el sentido de que en la formación de los cromosomas únicamente se considera
la información del período anterior, pero la representación n-ploide (diploide en los humanos) permite almacenar información que resultó de interés
en el pasado en un entorno ambiental distinto
Este modelo neo-Darwiniano de la evolución
orgánica se refleja en la estructura de un algoritmo
genético. Así, los algoritmos genéticos establecen una
analogía entre el conjunto de soluciones de un problema y el conjunto de individuos de una población natural, codificando la información de cada solución en
una cadena (vector binario) a modo de cromosoma.
Este cromosoma (único o múltiple) forma junto con
su aptitud un “individuo” sobre el que el algoritmo
aplica sus operaciones. En palabras del propio
Holland:
“Se pueden encontrar soluciones aproximadas a problemas de gran complejidad
computacional mediante un proceso de
evolución simulada”
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
81
Métodos evolutivos
Los AG’s están basados en integrar e implementar eficientemente dos ideas fundamentales: Las
representaciones simples (genotipos, tales como los
vectores binarios) de las soluciones del problema y la
realización de transformaciones simples para modificar y mejorar estas representaciones.
población de soluciones posibles. La población inicial suele ser generada de forma aleatoria
(restringiéndose a soluciones que sean factibles), aunque recientemente se están considerando diseños en
los que se utiliza información sobre el problema para
generar soluciones de cierta calidad.
Para llevar a la práctica el esquema anterior y
concretarlo en un algoritmo, hay que especificar los
siguientes elementos:
La evaluación sirve para asociar un rvalor de
calidad, calculado
r por la función objetivo f ( x k ) , para
cada solución x k representada por el individuo késimo de P’(t), k:1, ..., l. Aunque se suele utilizar la
calidad como medida de la bondad según el valor de
la función objetivo, se puede incorporar un factor de
penalización para controlar la infactibilidad en algunos problemas. Este factor puede ser estático o ajustarse dinámicamente, lo cual produciría un efecto
similar al de la Oscilación Estratégica en Tabu
Search [4]:
•
•
•
•
•
•
Una representación cromosómica (genotipo)
Una población inicial
Una medida de evaluación (fitness o adecuación)
Un criterio de selección / reemplazo de individuos
Una o varias operaciones de recombinación
Una o varias operaciones de mutación
La Figura 1 muestra un esquema básico de un
algoritmo genético. Se puede observar que se trata
de un algoritmo estocástico en el que es posible distinguir las tres etapas clásicas [3]: generación de la
muestra inicial, paso de optimización y comprobación
de la condición de parada.
t := 0;
inicializar [P(t)];
evaluar [P(t)];
mientras no terminar hacer
P’(t) := selección_pareja [P(t)];
P’(t) := recombinación [P’(t)];
P’(t) := mutación [P’(t)];
evaluar [P’(t)];
P(t+1) : =selecc_entorno [P’(t) ∪ P(t)];
t := t +1;
fin mientras
Figura 1. Algoritmo genético
En el algoritmo de la Figura 1, P(t) denota una
población de m individuos en la generación t. El algoritmo genera una nueva población P’(t) de λ individuos aplicando a P(t) un conjunto de operadores de
variación. Típicamente tenemos el caso mostrado en
el que dichos operadores son la selección y recombinación de parejas junto con la mutación de los nuevos
individuos generados. Los operadores de variación
son en general no deterministas, viniendo por tanto su
comportamiento regulado por reglas de transición probabilísticas.
Los AG’s inician la búsqueda a partir de una
82 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Calidad = ValorObjetivoNormalizado − Penalizacion * MedidaInfactibilidad
(1)
El proceso de selección en un GA consta de dos
etapas: la primera decide quiénes compiten por la reproducción (emparejamiento) y la segunda decide
cuáles de entre todos los individuos (nuevos y viejos)
van a sobrevivir, simulando así el proceso de selección del entorno (o ambiental). Ambas etapas de la
selección utilizan de alguna manera los valores de
adecuación “fitness” calculados en la evaluación y
asociados a cada individuo para guiar el proceso hacia
soluciones mejores.
Los diferentes tipos de selección utilizan el valor de adecuación directamente “fitness proportionate” o bien la relación entre dichos valores (torneo estocástico, ranking lineal, etc.). El reemplazo es en la
mayor parte de aplicaciones prácticas elitista, de forma que se asegura la conservación de las k mejores
soluciones presentes en la población actual cuando se
va a generar la siguiente población. En el reemplazo
se distingue entre técnicas que usan la población actual de µ individuos más la nueva de λ individuos para
generar la próxima población -algoritmos (µ+λ)- y los
que únicamente usan los λ nuevos individuos para
reemplazar a los µ individuos antiguos -algoritmos
(µ,λ)-.
En general, un algoritmo genético es un metaheurístico poblacional en donde se pueden mezclar las
Alba, Laguna y Martí
útiles, para avanzar hacia la región más prometedora
de la búsqueda. Los operadores de recombinación se
aplican con alta probabilidad y usualmente han utilizado uno o varios puntos de cruce en los individuos
para intercambiar las porciones resultantes entre los
dos padres. También existen variantes que consideran
más de dos padres en el proceso de recombinación.
Algunos de los operadores de recombinación mas utilizados son:
De un punto: Se elige aleatoriamente un punto de
ruptura en los padres y se intercambian sus bits.
De 2 puntos: Se eligen dos puntos de ruptura al
azar para intercambiar.
Uniforme:
En cada bit se elige al azar un padre
para que contribuya con su bit al del
hijo, mientras que el segundo hijo
recibe el bit del otro padre.
PMX, SEX:
Son operadores más sofisticados fruto de mezclar y aleatorizar los anteriores.
Las mutaciones más comunes son las que modifican un bit aleatoriamente “bit slip” a baja probabilidad, o las que utilizan un ruido con distribución normal, en el caso de genotipos flotantes.
A este respecto, se debe decir que tradicionalmente se han manejado representaciones binarias en
los individuos evolucionados, aunque las representaciones en punto flotante y otras más complejas rápidamente han configurado un panorama muy amplio,
donde únicamente se reconoce la plantilla de búsqueda básica y se observan variados operadores dependientes de la representación. De hecho, muchos resultados actuales trabajan sobre permutaciones, genotipos de longitud variable, etc. Puede consultarse Bäck
[5] para un compendio de variantes, representaciones
y aplicaciones de los algoritmos genéticos y evolutivos en general. De forma más resumida e incluso unificada, el trabajo de Bäck [6] permite comprender los
fundamentos matemáticos y similitudes entre los algoritmos genéticos y las estrategias de evolución y otras
técnicas evolutivas.
Dado que el algoritmo genético opera con una
población en cada iteración, se espera que el método
converja de modo que al final del proceso la pobla-
ción sea muy similar, y en el infinito se reduzca a un
sólo individuo.
Se ha desarrollado una extensa teoría para estudiar la convergencia de estos algoritmos en el caso de
vectores binarios. Esta teoría se basa principalmente
en considerar que un individuo binario es realmente
un representante de una clase de equivalencia o
esquema, reinterpretando la búsqueda en lugar de
entre vectores, entre esquemas. De este modo se concluye lo que se conoce como paralelismo intrínseco:
“En una población de m vectores binarios se están
procesando implícitamente O(m3) esquemas”. A partir
de este resultado el teorema de esquemas prueba que
la población converge a unos esquemas que cada vez
son más parecidos, y en el límite a una única solución.
En el caso de vectores no binarios se introducen los
conceptos de forma y conjunto de similitud que generalizan al de esquema. Este dominio (teoría) está en
fase de extensión, ya que las explicaciones actuales no
suelen incorporar los detalles propios del espacio de
búsqueda y por tanto no es posible dar teoremas de
convergencia para problemas arbitrarios aún.
Como ocurre con los otros metaheurísticos, aún
cuando existan explicaciones teóricas de funcionamiento, el problema es que en la práctica no se suelen
respetar las condiciones necesarias para garantizar la
convergencia del método, ya que son difíciles de seguir y probar. Por ello, nos encontramos con que, en
ocasiones los algoritmos genéticos resuelven satisfactoriamente un problema de optimización dado y otras
se quedan bastante alejados del óptimo.
Por último, se debe mencionar que entre las
técnicas más prometedoras para el avance en estos
metaheurísticos y su aplicación a problemas del mundo real, se destaca la inclusión de técnicas paralelas y
descentralizadas, en las que la población se divide con
algún criterio de entorno y se hace evolucionar de forma separada a zonas distintas dentro de la tradicional
población única [7]. Adicionalmente, la inclusión de
técnicas híbridas, entendido esto como colaboración o
incorporación de operadores inspirados en otros metaheurísticos, es un campo que goza de amplios éxitos
[8], de manera que cada vez es más difusa la separación entre los distintos algoritmos basados en poblaciones, y mayor las interacciones con los algoritmos
basados en trayectorias, que consideran un punto cada
vez durante la búsqueda del óptimo.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
83
Métodos evolutivos
3. BÚSQUEDA DISPERSA
La Búsqueda Dispersa (BD) es un método evolutivo que ha sido aplicado en la resolución de un gran
número de problemas de optimización [9]. Los conceptos y principios fundamentales del método, fueron
propuestos al comienzo de la década de los setenta,
basados en las estrategias para combinar reglas de
decisión, especialmente en problemas de secuenciación, así como en la combinación de restricciones
(como el conocido método de las restricciones subrogadas). La BD se basa en el principio de que la información sobre la calidad o el atractivo de un conjunto
de reglas, restricciones o soluciones puede ser utilizado mediante la combinación de éstas. En concreto,
dadas dos soluciones, se puede obtener una nueva mediante su combinación de modo que mejore a las que
la originaron.
Al igual que los algoritmos genéticos, la BD se
basa en mantener un conjunto de soluciones y realizar
combinaciones con éstas; pero a diferencia de éstos,
no está fundamentado en la aleatorización sobre un
conjunto relativamente grande de soluciones sino en
las elecciones sistemáticas y estratégicas sobre un
conjunto pequeño. Como ilustración basta decir que
los algoritmos genéticos suelen considerar una población de 100 soluciones mientras que en la búsqueda
dispersa es habitual trabajar con un conjunto de tan
sólo 10 soluciones.
La primera descripción del método fue publicada en 1977 por Fred Glover donde establece los principios de la BD. En este primer artículo se determina
que la BD realiza una exploración sistemática sobre
una serie de “buenas” soluciones llamadas conjunto
de referencia. Los siguientes comentarios resumen
los principales aspectos de este trabajo:
• El método se centra en combinar dos o más solu-
•
•
•
•
ciones del conjunto de referencia. La combinación
de más de dos soluciones tiene como objetivo el
generar centroides.
Generar soluciones en la línea que unen dos dadas
se considera una forma reducida del método.
Al combinar se deben de seleccionar pesos apropiados y no tomar valores al azar.
Se deben de realizar combinaciones “convexas” y
“no convexas” de las soluciones.
La distribución de los puntos se considera importante y deben de tomarse dispersos.
84 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Glover [10], introduce la combinación ponderada (weighted combination) como el mecanismo principal para generar nuevas soluciones. En esta versión
se enfatizan las búsquedas lineales entre dos soluciones y el uso de pesos para muestrear en dicha línea.
Asimismo, se introduce el concepto de combinar soluciones de calidad con soluciones diversas. Además, el
método incluye una componente de intensificación
que consiste en tomar una muestra mayor de la línea
que ha producido mejores soluciones.
En este artículo el autor especifica que para
trabajar con problemas con variables enteras, binarias
o que forman una permutación, hay que diseñar métodos específicos de combinación (notar que no tiene
sentido hablar de combinación lineal de dos permutaciones). Para ello se introducen los mecanismos de
combinación basados en votos. En estos se definen
reglas mediante las que cada solución “vota” para que
sus características aparezcan en la solución que se está
construyendo. Estos métodos de votos han sido muy
utilizados en las rutinas de combinación de los algoritmos de BD y parece que constituyen uno de las claves
del éxito de estos métodos.
En 1998, Glover [10] publica una versión más
específica del método en donde se recogen y simplifican muchas de las ideas expuestas en trabajos anteriores. Esta publicación tuvo un gran impacto en lo que
a la difusión del método se refiere. Numerosos investigadores comenzaron a aplicar a partir de ese momento la BD a la resolución de problemas de optimización obteniendo resultados de gran calidad.
El método de BD se basa en combinar las soluciones que aparecen en el llamado conjunto de referencia (el cual es equivalente a la población en algoritmos genéticos). En este conjunto se tienen las soluciones buenas que se han ido encontrando. Es importante destacar que el significado de buena no se restringe a la calidad de la solución, sino que también se
considera la diversidad que esta aporta al conjunto.
La Búsqueda Dispersa consta básicamente de los siguientes elementos:
1. Un generador de soluciones diversas. El método
se basa en generar un conjunto P de soluciones diversas (alrededor de 100), del que se extrae un subconjunto pequeño (alrededor de b=10) con el que
realizar las combinaciones y que denominamos:
Alba, Laguna y Martí
2. Un conjunto de referencia. Extraído del conjunto
de soluciones diversas según el criterio de contener
soluciones de calidad y diferentes entre sí (Calidad
y Diversidad). Si el método no logra mejorar a la
solución, se considera que el output es la propia
solución considerada. Las soluciones en este conjunto están ordenadas de mejor a peor respecto de
su calidad.
2.1. Creación. Se Inicia el conjunto de referencia
con las b/2 mejores soluciones de P. Las b/2
restantes se extraen de P por el criterio de
máxima distancia con las ya incluidas en el
conjunto de referencia. Para ello debemos de
definir previamente una función de distancia
que generalmente depende del contexto del
problema que se está resolviendo.
2.2. Actualización. Las soluciones fruto de las
combinaciones pueden entrar en el conjunto
de referencia y reemplazar a alguna de las ya
incluidas si las mejoran. Así pues, el conjunto
de referencia mantiene un tamaño b constante
pero va mejorando a lo largo de la búsqueda.
En implementaciones sencillas, la actualización de este conjunto se realiza únicamente
por calidad, aunque se puede hacer también
por diversidad. También en implementaciones
más avanzadas es posible variar el tamaño del
conjunto de referencia durante la búsqueda.
3. Un método de combinación. BD se basa en combinar todas las soluciones del conjunto de referencia. Para ello, se consideran subconjuntos de 2 o
más elementos del conjunto de referencia y se combinan mediante una rutina diseñada a tal efecto. La
solución o soluciones que se obtienen de esta combinación pueden ser inmediatamente introducidas
en el conjunto de referencia (actualización dinámica) o almacenadas temporalmente en una lista hasta
terminar de realizar todas las combinaciones y después ver qué soluciones entran en éste
(actualización estática).
4. Un método de mejora. Típicamente se trata de un
método de búsqueda local para mejorar las soluciones, tanto del conjunto de referencia como las combinadas antes de estudiar su inclusión en el conjunto de referencia.
El algoritmo de la Figura 2 muestra cómo actúan los elementos descritos en un esquema básico del
algoritmo. El algoritmo hace referencia a los subconjuntos de R ya que podemos combinar parejas, tríos o
cualquier número de soluciones. Es usual limitar las
combinaciones a parejas, por lo que el punto 6 equivaldría a decir: “Generar todas las parejas de soluciones de R en las que al menos una de las dos sea nueva”; donde por nueva entenderemos que haya entrado
al conjunto después de realizar la última combinación
de todo R.
1. Comenzar con P = Ø. Utilizar el método de generación
para construir una solución y el método de mejora para
tratar de mejorarla; sea x la solución obtenida. Si
x ∉ P entonces añadir x a P. (i.e., P = P ∪ x ), en otro
caso, rechazar x. Repetir esta etapa hasta que P tenga
un tamaño prefijado.
2. Construir el conjunto de referencia R = { x1, …, xb }
con las b/2 mejores soluciones de P y las b/2 soluciones
de P más diversas a las ya incluidas.
3. Evaluar las soluciones en R y ordenarlas de mejor a
peor respecto a la función objetivo.
4. Hacer NuevaSolución = TRUE
Mientras (NuevaSolución)
5. NuevaSolucion = FALSE
6. Generar los subconjuntos de R en los que haya al
menos una nueva solución.
Mientras (Queden subconjuntos sin examinar)
7. Seleccionar un subconjunto y etiquetarlo como
examinado.
8. Aplicar el método de combinación a las soluciones del subconjunto.
9. Aplicar el método de mejora a cada solución
obtenida por combinación. Sea x la solución
mejorada:
Si( f (x) < f xb y x no está en R)
b
10. Hacer x = x y reordenar R
11. Hacer NuevaSolucion = TRUE
( )
Figura 2. Algoritmo básico de la búsqueda dispersa
Notar que el algoritmo se detiene cuando al
tratar de combinar se ve que no hay nuevos elementos
en el conjunto de referencia (la variable NuevaSolución está a FALSE). Este algoritmo puede ser anidado
en un esquema global que permita reconstruir el conjunto de referencia cuando éste ya ha sido utilizado.
Así, si el límite de tiempo (o evaluaciones) no se ha
excedido, una estrategia habitual es regenerar el conjunto de referencia dejando la mitad superior (b/2 mejores) y eliminando la mitad inferior. Después, se genera un conjunto P como al comienzo del algoritmo,
del que se extraen únicamente las b/2 soluciones
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
85
Métodos evolutivos
más diversas con las ya existentes en R. De esta forma
obtenemos un nuevo conjunto de referencia en el que
mantenemos las soluciones de calidad y renovamos las
debidas a diversidad. Se volvería a combinar como
anteriormente sobre este conjunto de referencia (pasos
5 a 11). De este modo se obtiene un esquema cíclico
indefinido al que hay que añadirle una variable de control para detenerlo. Típicamente esta variable está en
función del tiempo o del número de iteraciones
(evaluaciones de la función objetivo).
Aunque los orígenes de la búsqueda dispersa
fueron publicados hace casi 30 años, la metodología se
puede considerar como relativamente reciente y en
constante desarrollo. Durante los últimos años se han
realizado nuevas contribuciones aplicando la búsqueda
dispersa a la resolución tanto de conocidos problemas
de optimización como de otros encontrados en la práctica. Algunas de estas aplicaciones han abierto nuevos
campos de estudio, ofreciendo alternativas a los diseños conocidos. Laguna y Martí [11] realizan una revisión exhaustiva del método, tanto de los elementos
más utilizados y conocidos, como de los aspectos más
novedosos y las últimas propuestas. Entre éstas podemos destacar:
I. Aplicar la rutina de mejora de forma selectiva.
Las pruebas indican que el aplicar el método de mejora a todas las soluciones generadas y combinadas
no garantiza obtener mejores resultados finales. Establecer umbrales de calidad para no aplicar la mejora a soluciones que difícilmente van a proporcionar la mejor solución ahorra un gasto innecesario de
tiempo de computación. Por otro lado, al aplicar el
método de mejora a todas las soluciones se acelera
la convergencia de éste, lo cual pude ser deseable si
disponemos de poco tiempo de computación, pero
debemos de evitarlo si queremos ejecutar el método
en un horizonte largo para obtener soluciones de
gran calidad.
II. Es necesario estudiar el porcentaje de tiempo que el
método está generando soluciones y el tiempo que
está combinando. En esencia esta es la cuestión que
se plantea en todos los métodos heurísticos: el equilibrio entre la intensificación y la diversificación.
III.Comparar las actualizaciones del conjunto de referencia estática y dinámica. Notar que al combinar
las soluciones podemos aplicar dos estrategias, introducirlas en el conjunto nada más generarlas, si
procede, o anotarlas en una “pila” y cuando se termine de realizar todas las combinaciones, realizar la
86 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
actualización. La primera estrategia es dinámica y
más agresiva, en tanto que las soluciones buenas
entran rápidamente en el conjunto de referencia,
pero dado que éste es de tamaño constante, esto
implica que hay soluciones que pueden salir sin
llegar a haber sido utilizadas para realizar combinaciones.
4. RE-ENCADENAMIENTO DE
TRAYECTORIAS
Como se ha mencionado, uno de los principales
objetivos de cualquier método de búsqueda es crear un
buen equilibrio o interacción entre lo que se denominan estrategias de intensificación y de diversificación.
El método denominado re-encadenamiento de trayectorias (Path-Relinking) surgió como un proceso de integración de estas dos estrategias de búsqueda [4]. El
proceso genera nuevos caminos entre soluciones que
ya han sido previamente conectadas por una serie de
movimientos durante un proceso de búsqueda.
El re-encadenamiento de trayectorias (RT) se
basa en el hecho de que entre dos soluciones se puede
trazar un camino que las una, de modo que las soluciones en dicho camino contengan atributos de ellas. Las
soluciones originales pueden haber sido generadas mediante un método basado en una búsqueda local y estar
unidas por un camino, o haber sido generadas por otro
método y no estar unidas de ningún modo; en cualquier caso, se genera un nuevo camino que las una. Las
características de dicho camino vendrán especificadas
respecto de los atributos que son incorporados o eliminados, o por los movimientos realizados para alcanzar
una solución desde la otra. Esto constituye una extensión del concepto de combinación visto en las secciones anteriores en tanto que se obtienen varias soluciones a partir de dos o más originales.
La Figura 3 ilustra el mecanismo de RT en el
caso de dos soluciones: la solución A que se denomina
solución inicial (initiating solution) y la solución B que
se denomina solución guía (guiding solution). El diagrama muestra ambas soluciones unidas por dos caminos, uno en trazo continuo representando el camino
original que describió el algoritmo de búsqueda local
para obtener A y B, y otro en trazo discontinuo que
representa el camino que ahora vamos a obtener
aplicando RT. En el eje de abscisas se representa
Alba, Laguna y Martí
movimientos que se van realizando, mientras que en
el de ordenadas el valor de la función objetivo
(suponemos que el problema es de minimizar).
A
B
j
Valor de la función objetivo
Tal y como muestra la Figura 3, la idea en la
que se basa el método es que al realizar movimientos
desde A hacia B, incorporando a A propiedades de B,
obteniendo alguna solución intermedia que mejore en
valor a A y a B.
Movimientos que se van realizando
Figura 3. Esquema de Path relinking
Se puede considerar el método RT como una
extensión del método de combinación de la búsqueda
dispersa. En lugar de construir una nueva solución,
combinando una o más soluciones iniciales directamente, RT genera un conjunto de soluciones en los
caminos entre y fuera de las soluciones iniciales y
guías seleccionadas.
El proceso se puede considerar como un caso
extremo de una estrategia que trata de incorporar atributos de una solución de calidad en otra solución considerada. Sin embargo, en lugar de usar un criterio
que simplemente motive la inclusión de tales atributos, RT subordina otras consideraciones con el fin de
seleccionar los movimientos que introduzcan atributos
como el criterio prioritario. Así, en cada paso se determina el mejor movimiento como aquel que incorpore
la mayor cantidad, o el más destacado de los atributos
de la solución guía.
Para generar los caminos es necesario seleccionar movimientos que cumplen los siguientes objetivos: empezando por una solución inicial, los movimientos deben introducir progresivamente los atributos de la solución guía (o reduciendo la distancia entre
los atributos de la solución inicial y los de la solución
guía). Los papeles de ambas soluciones son intercambiables; además, cada solución puede moverse hacia
la otra como una manera de generar combinaciones.
En el primer paso consideramos la creación de un camino que une dos soluciones seleccionadas x’ y x’’,
produciendo una secuencia de soluciones x’= x(1),
x(2), …, x(r)= x’’.
Puede que en el nuevo camino se encuentren
soluciones que no mejoren la calidad de las dos soluciones extremas consideradas, pero algunas de ellas
pueden ser puntos de partida para alcanzar otras soluciones que sí sean mejores que las originales. Por está
razón es interesante y valioso examinar los entornos
de las soluciones a lo largo del camino construido, ya
que pueden proporcionar nuevos puntos de partida
para lanzar una búsqueda adicional.
Si abordamos ahora el algoritmo RT en su conjunto hemos de considerar que tenemos una colección
de soluciones previamente obtenidas a las que se le va
a aplicar la estrategia descrita de generación de nuevos caminos. Para unificar la notación con la búsqueda dispersa, en [11] se proponen el mismo término de
conjunto de referencia (RefSet) para dicho conjunto
con b soluciones. Desde este punto de vista, RT y BD
se consideran métodos basados en poblaciones que
operan en un conjunto de soluciones y básicamente se
difieren en la manera de construir, manipular, actualizar y re-generar el RefSet.
En un diseño básico de la búsqueda dispersa, a
todos los pares de soluciones en RefSet se les aplica
el método de combinación. Análogamente, en una
versión básica del RT todos los pares de soluciones
son llamados a participar en la fase del reencadenamiento. Para cada par de soluciones (x’, x’’)
se pueden establecer dos camino; uno desde x’ hacia
x’’ y el otro desde x’’ hacia x’. La actualización del
RefSet se basa en la mejora de la peor solución del
conjunto, es decir, una nueva solución generada en un
camino, se admite en el RefSet si mejora la peor solución en dicho conjunto. Si es así, re-emplaza a dicha
solución (el tamaño del RefSet, al igual que ocurre en
BD se considera fijo).
Muchos trabajos han demostrado la eficacia
de aplicar algún método de búsqueda local desde
algunas soluciones intermedias, generadas en
los caminos, para explorar su entorno [12, 13]
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
87
Métodos evolutivos
Por otro lado, dos soluciones consecutivas obtenidas
durante el proceso de re-encadenamiento son bastante
similares y difieren solamente en los atributos que han
sido introducidos por un solo movimiento. Por ello,
generalmente no es eficiente aplicar el método de mejora en cada iteración del proceso, sobre todo si su
aplicación es de coste considerable en términos del
tiempo de ejecución. Una posibilidad es aplicar el método de mejora cada cierto número de iteraciones, o
aplicarlo sólo a aquellas que cumplan un determinado
criterio basado en su calidad (o calidad y diversidad
respecto a las que ya se les aplicó dicha mejora).
El proceso de re-encadenamiento simultáneo
empieza con dos puntos x’ y x’’ simultáneamente produciendo dos secuencias x’= x’(1), x’(2), …, x’(r) y
x’’= x’’(1), x’’(2), …, x’’(s). Las elecciones en este
caso son dirigidas con el fin de obtener x’(r)= x’’(s),
para los valores finales de r y s. Éste se ve como un
proceso en donde dos soluciones guías se intercambian
dinámicamente hasta su convergencia a un solo punto.
El diseño básico se puede generalizar de diferentes formas. La primera consiste en generar caminos
que vayan más allá de los extremos, lo que equivaldría
a usar combinaciones no convexas. El problema consistiría en definir los atributos que guían el camino más
allá de dichos extremos.
Otra posible generalización consiste en considerar varias soluciones guías de la manera siguiente. En
lugar de realizar movimientos desde un punto x’ hacia
otro punto x’’, se reemplaza este último con una colección de soluciones X’’. Así, una vez alcanzada una solución x(i), las opciones para determinar la siguiente
solución x(i+1) vienen dadas por la unión de las soluciones en X’’, o más precisamente por la unión A’’ de
los atributos A(x), para todos los x en X’’. Esta variante
ha sido utilizada con éxito en distintos trabajos.
encaenamiento de trayectorias. La diversidad de operaciones y problemas resueltos en este dominio es muy
elevada, por lo que se han revisado únicamente los
elementos canónicos de estos algoritmos y se ha diferido al lector interesado hacia referencias donde podrá
encontrar un mayor nivel de detalle.
Las similitudes entre los métodos discutidos,
tanto como sus diferencias, permitirán establecer mecanismos refinados de solución de problemas complejos en base a colaboraciones o extensiones de las ideas
delineadas en este trabajo.
Quizá convendría citar para terminar algunas
aplicaciones de estos métodos en la resolución de problemas de optimización de los denominados difíciles,
con el objeto de ilustrar su potencia y eficacia. A tal
efecto, basta mencionar la recopilación de las siguiente
siete aplicaciones recientes de la búsqueda dispersa y
el re-encadenamiento de trayectorias dada en [14]:
A. Entrenamiento de redes neuronales.
B. Problemas de rutas de vehículos.
C. Software comercial.
D. Problemas combinatorios basados en permutaciones.
E. Problemas Multi-objetivo
F. Ancho de banda en matrices
G. Dibujo de grafos
El caso de los algoritmo genéticos no necesita
de ilustración dada su gran popularidad. Para comprobarlo, basta con hacer una búsqueda en Internet con
palabras clave “genetic algorithms applications” y obtenemos más de 300000 páginas con aplicaciones.
AGRADECIMIENTOS
A la Prof. Ninoska Maneiro, que nos animó a
realizar este trabajo y colaboró activamente en la corrección y formato del documento final.
5. CONCLUSIONES
En este trabajo hemos presentado tres modelos
metaheurísticos de optimización de gran impacto actual: algoritmos genéticos, búsqueda dispersa y re88 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Esta investigación fue parcialmente financiada
por el Ministerio de Ciencia y Tecnología de España:
TIC2003-C05-01, y por la AVCiT de la Generalitat
Valenciana: Grupos 03/189.
Alba, Laguna y Martí
REFERENCIAS
[1] Blue C., Roli A., Metaheuristics in Combinatorial
Optimization: Overview and Conceptual Comparison, ACM Computing Surveys 35(3), 268-308,
2003.
[2] Holland J., Adaptation in Natural and Artificial
Systems. University of Michigan Press, Ann Arbor. 1975.
[3] Wah B. W., Chang Y-J. Trace-Based Methods for
Solving Nonlinear Global Optimization and Satisfiability Problems. Journal of Global Optimization, Kluwer Academic Press, 10(2), 107-141.
1997.
[4] Glover F. , Laguna M. , Tabu Search, Kluwer
Academic Publishers, Boston. 1997.
[5] Bäck T., Fogel D., Michalewicz Z. (eds.), Handbook of Evolutionary Computation (Oxford University Press). 1997.
[6] Bäck T.. Evolutionary Algorithms in Theory and
Practice. Oxford University Press. 1996.
[7] Alba E., Tomassini M., Parallelism and Evolutionary Algorithms, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, IEEE Press, 6(5):443-462, October 2002.
[8] Alba E., Luque G., Algoritmos Híbridos y Paralelos para la Resolución de Problemas Combinatorios, Dpto. Informática-Univ. Oviedo (ed.), Actas
del Segundo Congreso Español de Metaheurísticas y Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados
(MAEB’03) , Gijón, pp. 353-362, 2003.
[9] Glover, F., Laguna M., Martí R., Scatter Search
and Path Relinking: Advances and Applications,
Handbook of MetaHeuristics, 1-36, F. Glover and
G. Kochenberger (Eds.), Kluwer, 2003.
[10] Glover, F., A Template for Scatter Search and
Path Relinking, in Artificial Evolution, Lecture
Notes in Computer Science 1363, J.-K. Hao, E.
Lutton, E. Ronald, M. Schoenauer and D.
Snyers (Eds.), Springer-Verlag, pp. 13-54. 1998.
[11] Laguna M. Martí R., Scatter Search: Methodology and Implementations in C, Kluwer Academic
Publishers. 2003.
[12] Piñana E., Plana I., Campos V., Martí, R.,
GRASP and Path relinking for the matrix bandwidth minimization, European Journal of Operational Research 153, pp. 200-210, 2004.
[13] Glover, F., Laguna M., Martí R., Scatter Search,
to appear in Theory and Applications of Evolutionary Computation: Recent Trends, A. Ghosh
and S. Tsutsui (Eds.), Springer-Verlag. 1999.
[14] Glover, F. , Laguna, M., Martí, R., New Ideas
and Applications of Scatter Search and Path
Relinking, to appear in New Optimization Techniques in Engineering, Springer-Verlag, G. Onwubolu y B.V.Babu (Eds.).
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
89
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 90-98, 2003
Dispositivo inteligente de ultrasonido para construir un mapa de entorno
Víctor Campos, Leonardo Doré, Alfonso Alfonsi
Grupo de Arquitecturas de Sistemas de Control, Departamento de Computación y Sistemas, Escuela de
Ingeniería y Ciencias Aplicadas, Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Barcelona, 6001,Venezuela.
Ave. Alterna, Barcelona, Anzoátegui.
Email: [email protected], Tlf. +58-281-2623224.
Resumen
Se desarrolla un sensor inteligente que obtiene datos por medio de transductores de ultrasonido de forma
replicada; estos son procesados por un microcontrolador e integrados utilizando técnicas de fusión de datos basadas en la teoría de Bayes, con el propósito de construir un mapa de entorno. Se utiliza la metodología estructurada
y técnicas de diseño modular para desarrollar el hardware; en el caso del Software, se usa el Lenguaje de
Modelado Unificado dentro de los pasos de la ingeniería de software. El dispositivo permite dentro de un espacio
muestral limitado determinar la presencia de objetos, proporcionando la distancia a su ubicación, con respecto a
un punto de referencia, caracterizándolos dentro del escenario. Este aporte es importante, ya que en aplicaciones
en robots, el uso de sensores son herramientas vitales y de bajo costo en la gestión de trayectorias dentro de un
entorno.
Palabras claves: Sensor de ultrasonido, fusión de datos, mapa de entorno, microcontrolador, metodología
estructurada, UML.
Intelligent ultrasound device to build an environment map
Abstract
An intelligent sensor is developed to obtains data, by means of transducers of ultrasonic in a replied way,
and they are processed by a microcontroller and integrated using technical of data fusion, based on the theory of
Bayes, with the purpose to building an environment map. Structured methodology and technical of design is used
to modulate to develop the hardware; and in the case of the Software, it is used the of Unified Modelling
Language inside the steps of the software engineering. The device allows inside a space limited muestral to
determine the presence of objects, providing the distance to its location, with regard to a reference point,
characterising them inside the scenario. This contribution is important, in Robots applications since, the use of
sensors is a vital tools and low cost in the administration of trajectories inside an environment.
Keywords: Ultrasound sensor, data fusion, environment map, microcontroller, structured methodology,
UML.
1. INTRODUCCIÓN
Los avances tecnológicos en la ciencia de los computadores y la comunicación han hecho que el procesamiento de sensores se forme como una disciplina
con teorías y propios enfoques que permiten el uso de
algoritmos complejos para obtener información en
tiempo real.
Existen trabajos que fundamentan el presente
aporte, Bennet y colaboradores [1], describen un
instrumento inteligente que evalúa la distancia de un
90 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
objeto. Por su parte, Dahlkemper y Largen [2], estudian el desarrollo de sensores que permitan reducir el
costo de un sistema de automatización. Blanes y colaboradores [3], describen un sensor de ultrasonido, que
registra la construcción de un mapa, enfocándose en
obtener un mapa con un mínimo de lecturas aplicando
interpolación. Alfonsi y colaboradores [4], presenta un
sistema de instrumentación virtual para el procesamiento y generación de señales, utilizando técnicas de
procesamiento digital de señales, diseño electrónico y
desarrollo de software.
Campos, Doré y Alfonsi
El objetivo es desarrollar un sensor inteligente
basado en el uso de transductores de ultrasonido replicados para el muestreo de un escenario y posterior
construcción del mapa de entorno. Para lograr esto, se
obtienen los datos por medio de los transductores de
ultrasonido, (dos pares Emisor / Receptor), que luego
son procesados por un microcontrolador para obtener
distancias, permitiendo, caracterizar los objetos
dentro del escenario. Ésta información arrojada, será
integrada utilizando técnicas de fusión de datos basadas en las teorías Bayesianas, preprocesamiento que
suministra la información necesaria para la representación en forma gráfica, a través del software, del mapa de entorno.
2. METODOLOGÍA
El dispositivo desarrollado, esta integrado por
dos subsistemas: Hardware, formado por un arreglo
de transductores de ultrasonido replicados, un motor
paso a paso y un microcontrolador, empleando la metodología estructurada [5] para el desarrollo del software de control; y Software, denominado Software
Generador de Mapa de Entorno (SGME), que se encarga de procesar los datos y generar el mapa de entorno a través de una interfaz gráfica; aquí, se utilizan
los pasos sugeridos por la ingeniería de software [5]:
Análisis y Especificación de los requerimientos, Diseño, Codificación, Prueba e Integración. E Lenguaje
de Modelado Unificado (UML), proporciona diagramas que permiten visualizar, especificar y documentar los componentes de la aplicación [6].
actualizar la probabilidad de las celdas de la rejilla
con las lecturas hechas por el sensor, como se indica
en la Ecuación 1, Elfes [7] aborda este tópico.
P(OCCnew) =
p(r / OCC)P(OCCold)
p(r / OCC)P(OCCold) + p(r / FREE)(1 − P(OCCold))
2.1 Análisis y diseño del hardware
El subsistema de hardware, Figura 1, se encarga de controlar y procesar los ecos recibidos de un
par de transductores de ultrasonido (telémetro)
Devantech SRF04 [8], que obtienen los datos necesarios para el cálculo de la distancia del objeto detectado, y son rotados 360 grados sobre su eje mediante un
motor paso a paso de 7,5 grados/paso. Para controlar
ambos dispositivos se utiliza un microcontrolador
PIC 16C74B-04 de Microchip Technology [9], sobre
el cual recae la tarea del cálculo de la distancia y establece comunicación asíncrona con el computador
(PC) a través del puerto paralelo. Lo anterior lo realiza mediante el software del control del hardware, que
refleja el flujo y el contenido de la información (datos
de control), entre los elementos del sistema [4, 5].
Modulo de Ultrasonido
SRF04
R
E
2
Otro método utilizado es el de Mapas de acumulación [7], que representa eficientemente el espacio ocupado y vacío, basándose en la construcción de
un mapa cartesiano bidimensional dividido en un conjunto de MxN celdas cuadradas de tamaño DxD. Cada celda tiene asociado un valor que indica el grado
de Certeza de la Presencia de un Obstáculo (CPO) en
esa localización.
(1)
Transductores
SRF04
Reloj
PIC16C
74B-04
Microcontrola
dor
R
E
2
MOTOR PASO A PASO
5
4
INTERFAZ PARA
EL CONTROL DEL
MOTOR PASO A
PASO
8
En la elaboración del mapa de acumulación
hay varias fuentes de incertidumbre, como son los
falsos ecos, las medidas falsas, la no-reflexión, etc., y
es por ello que se apoya en el modelo de la teoría
Bayesiana, teniendo en cuenta la suposición siguiente
de independencia: todos los puntos de rejilla son variables aleatorias independientes, lo que se hace es
Puerto
Paralelo
Figura 1. Diagrama de bloques del subsistema de hardware
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
91
Dispositivo inteligente de ultrasonido
2.2 Análisis y especificación de requerimiento
del software
En la Figura 2 se muestra el diagrama de casos
de uso de los requerimientos del SGME. Comportándose de la siguiente manera: el caso de uso capturar
datos recibe una petición de un usuario para la adquisición de datos provenientes del sensor, habilitándolo
para realizar los procedimientos que sirven de puente
entre los dos subsistemas. Estos datos son almacenados en un “buffer”, representado por el archivo temporal para su posterior procesamiento.
El procesamiento de datos es llevado a cabo por
el caso de uso generar mapa, hay que tomar en cuenta
que los datos, se pueden manipular a través de las rutinas básicas de entrada y salida de archivo por medio
del caso de uso manejo de archivo, así como también
puede realizarse un listado impreso de los mismos por
medio del caso de uso generar listado. Otro punto es
la ayuda, donde el sistema debe comunicarse con el
archivo de ayuda que contiene información sobre diferentes temas del software, y contiene texto que solo
entiende el compilador del sistema de ayuda de
Windows [10].
2.3 Diseño del software
Aborda el diseño de: la interfaz de usuario y la
estructura de software. La primera comprende la elaboración de la zona de comunicación usuarioprograma de la aplicación, aquí se selecciona el estilo
de pantalla y menú, (Figura 3), y la estructura de software debe soportar los documentos de especificación
de requerimientos y el diseño de la interfaz de usuario. En la Figura 4 se presenta el diagrama de clase de
la aplicación principal Tform1, existen cuatro (4) clases bien definidas y con comportamientos independientes, los cuales se relacionan a través de la clase
principal, y una clase de particular interés que es la
que maneja los errores. El diagrama de secuencia,
Figura 5, muestra la forma en que se desencadena la
ejecución de los casos de uso del sistema, y el diagrama de despliegue muestra la disposición física de los
recursos de ejecución computacional, tales como un
computador y sus interconexiones, que forman parte
del sistema, Figura 6.
SGME
Capturar
Datos
Subsistema
de Hardware
Generar
Mapa
Archivo
Temporal
Figura 3. Pantalla principal del SGME
Generar
Listado
Usuario
Manejo de
Archivo
TPic
TGraf
Manejador de
Archivo
TForm1
Ayuda
Manejador de Ayuda
TBayes
Figura 2. Diagrama de casos de uso para el SGME
92 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Error
TMArch
Figura 4. Diagrama de clases para la Aplicación Principal
Campos, Doré y Alfonsi
Form1
Pic
Bayes
March
Graf
Usuario
Leer datos
del sensor
Leer datos Pal
Control
Datos
Fu-
Datos
Verificar
Comunicació
Leer
datos
Para construir el código encargado de manejar
y controlar la adquisición de datos del PIC, se utiliza
el lenguaje de ensamble. Trabajando con el sistema de
interrupciones del microprocesador para acceder al
puerto paralelo del PC [4], ya que es de vital importancia para la comunicación del sensor con el subsistema de software. De forma similar la especificación
del código para el procesamiento de datos se basa
principalmente en la implementación de las ecuaciones formuladas por Elfes [7].
Respuesta
Mensaje de
respuesta
Abrir
Archivo
SGME
Leer datos de Archivo
Puerto Paralelo
(Interfaz)
Datos
Fuisión_Bayes(Datos)
Datos procesados
Computadora
Usuario:PC
Muestra de
Datos
Microcontrolador
Imprime
datos
Imprimir
Listado
Listado
Impreso
Guardar
Graficar
Mapa
Sensor de ultrasonido
Guardar datos de
Archivo(Datos)
Graficar Mapa de Entorno (Datos
Procesados)
Mapa de
Bits
Salir
Figura 5. Diagrama de Secuencia para el Software
2.4 Codificación
El lenguaje seleccionado es el Delphi [11], trabaja sobre plataforma Windows, ofrece herramientas
gráficas incorporadas en la biblioteca de componentes
visuales (VCL) y la facultad para permitir incorporar
código en el lenguaje de ensamble en secciones del
programa.
Figura 6. Diagrama de despliegue del sistema
2.5 Pruebas e integración
Para la elaboración del SGME, las pruebas fueron llevadas a cabo en paralelo con la codificación.
Para validar las entradas de datos al programa, se
recurrió a utilizar la prueba de unidad, en específico la
caja negra, donde se validan los datos requeridos para
la configuración de las lecturas que debe realizar el
sensor y que representan las únicas entradas que requiere el SGME para realizar el muestreo y graficar el
mapa del entorno.
Para demostrar la prueba, se procede a realizar
una partición de equivalencia. En la Tabla 1 se observan las clases realizadas para verificar el comportamiento de la entrada de datos para configurar la posición del sensor, que debe coincidir con la ubicación
real del sensor dentro del área establecida para el
muestreo, y en la Tabla 2 se puede apreciar los casos
de prueba realizados basándose en dichas equivalencia.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
93
Dispositivo inteligente de ultrasonido
Tabla 1.Clases de equivalencia para la
realización de pruebas
#
Valor
Válido
Valor
Inválido
1 La magnitud contiene números positivos.
√
-
2 La magnitud debe estar entre 1 y 300.
√
-
3 La magnitud del número es mayor que 300 o menor que 1.
-
√
4 La longitud del número debe ser mayor de cuatro cifras.
-
√
5 La magnitud es cero.
-
√
6 La magnitud contiene caracteres {A-Z, a-z}.
-
√
7 La magnitud contiene caracteres especiales como *,7,?,¿,=,(,
etc.
8 La magnitud del número contiene números negativos.
-
√
-
√
Clase de equivalencia
Tabla 2. Casos de prueba
Número
Clase involucradas
Resultado
/*58
(7,1)
Inválido
Reyt
6
Inválido
Er78
(6,1)
Inválido
-9
8
Inválido
5
(1,3)
Inválido
356
(1,2)
Inválido
0
(2,5)
Inválido
Una vez que las pruebas de unidad fueron realizadas, se procedió a efectuar la integración, en éste
proceso, los grupos de funciones y procedimientos
pertenecientes a las clases agregadas se fueron integrando con las funciones de la clase (TForm1). El
método de integración utilizado en el software es el
hilvanado [5].
Para facilitar la representación de la integración
se utilizó como herramienta los diagramas de paquetes proporcionados por UML [7], Figura 7. Las fases
se describen a continuación:
Fase I: En esta se agregaron las clases TPic, TBayes,
TGraf y TMArch, a la clase TForm1, encargada
de inicializar el programa, además de mantener la
comunicación con Windows, e incluye la barra de
título, la barra de herramientas, los menús y la barra
de estado.
94 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Fase II: Parte fundamental de lo que es la interface
entre el PC y el sensor de ultrasonido. En este proceso
se integraron progresivamente los procedimientos necesarios para permitir la lectura de datos y verificar la
comunicación con el PIC, los cuales se encuentran
encapsulados en la clase TPic, y trabajan con operaciones o instrucciones en lenguaje de bajo nivel, lo
cual permite tener acceso al puerto paralelo del computador. Para integrar los procedimientos a la ventana
principal, fueron asociados a través de eventos, por
medio de los botones “lectura de datos” y “verificar
comunicación” respectivamente.
Fase III: Parte más importante del programa debido a
que se incorpora las rutinas de procesamiento al
SGME, la cual permite obtener un mapa de acumulación, representado por una rejilla bidimensional. El
paquete procesamiento de datos: consta del procedimiento fusión de datos (de la clase TBayes), que agrupa las rutinas necesarias para la actualización de las
celdas que forman parte del mapa de acumulación, el
procedimiento establecer coherencia espacial (de la
clase TGraf), que se encarga de relacionar a través de
métodos trigonométricos la posición del sensor con
las lecturas asentadas en el mapa de acumulación, y el
procedimiento graficar mapa de entorno (de la clase
TGraf), que plasma una representación gráfica del
mapa de acumulación en la pantalla de bits, además
de utilizar funciones de conversión para llevar coordenadas reales a coordenadas de pantalla, utilizando la
ecuaciones presentadas por Pérez [12], integradas en
la Figura 8, donde se puede apreciar parte de los procedimientos implementados en la clase Tgraf.
Fase IV: Permite integrar al programa los procedimientos de entrada y salida de datos a través de archivos, entre éstos se pueden denotar abrir archivo, guardar archivo e imprimir los cuales se encuentran encapsulados en la clase TMArch, procedimientos que utilizan algunos componentes de VCL de Delphi [11],
para poder realizar sus tareas.
Fase V: Agrupa los procedimientos para la ayuda del
software. El sistema de ayuda presenta los tópicos
referentes a cada una de las partes necesarias para manipular el SGME y tiene capacidad de permitir ayuda
sensible al contexto, esta característica se hace disponible a través del procedimiento contenido de ayuda.
Campos, Doré y Alfonsi
Comunicación con el PIC
Archivo
Lectura de
Datos
Verificar
Comunicación
Abrir
Guardar
Imprimir
Ventana Principal
SGME
Procesamiento de Datos
Ayuda
Fusión de
Datos
Establecer
Coherencia
Espacial
Graficar Mapa
de Entorno
Contenido de
Ayuda
Acerca de
Figura 7. Diagrama de paquetes para representar la integración del Software
2.6 Integración de Software y Hardware
El control del hardware viene dado directamente por la acción de las líneas del puerto paralelo sobre
cada una de las etapas que conforman el circuito del
sistema, Tabla 3. Este se centra en la manipulación
de los estados de las líneas del puerto mediante las
instrucciones de lectura y escritura de datos representadas por las instrucciones de la función y los procedimientos en Delphi [11].
Cuando se programa el PIC16C74A-04, se hace
uso de algunos recursos como: El puerto paralelo esclavo, que permite la interconexión directa del puerto
D del PIC con el bus de datos del computador,
Tabla 3. Cuadro detallado de líneas de datos, control y
estado del módulo sensor inteligente
Registro
Bit
Control
Control
Control
Control
Estado
Estado
Datos
Datos
Datos
Datos
Datos
Datos
Datos
Datos
0
1
2
3
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre
Señal
RD
WR
CS
INT
ACT
SRD
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
Valor Lógico
0
0
0
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
teniendo este el control a través de las líneas RD, WR
y CS del puerto E (que están configuradas como entradas). Perro guardián “Watch Dog Timer”, evita que
el sistema se quede “colgado”, que permanezca en un
ciclo infinito o que no obtenga una respuesta del computador. Está configurado para un tiempo de 2,3 segundos. Modo de reposo ( SLEEP ), característica útil
para los sistema que utilizan baterías. Y las interrupciones consisten en una detención del programa en
curso para realizar una determinada rutina.
//Transformación de puntos a pixeles
Funtion TGraf. Conversion(x1,x2,y2:integer;X:real): integer;
Var r:integer;
m,b:real;
begin
m:=((y2-y1)/(x2-x1));
b:=y2-(x2*m);
r:=trunc((m*X)+b);
Conversion:=r;
end;
//Parte del código para Gráfica del Mapa de Entorno
for i:=1 to MaxDis do
forj:=1 to MaxDis do
begin
temp:=GRID3[i][j];
//puntos a graficar
a:=Conversion(1,0,0,255,temp);
BMP.Canvas.Pen.Color:=RGB(a,a,a);
//asignación color
BMP.Canvas.Brush.Color:=RGB(a,a,a);
x:=conversion(0,Margen,300,300+Margen,i);
//llamada a
función de conv.
y:=conversion(0,300+Margen,300,Margen,j);
BMP.Canvas.MoveTo(x,y);
//dibuja punto en un mapa de
bits
BMP.Canvas.LineTo(x,y+1);
end;
Figura 8. Código para rutinas gráficas
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
95
Dispositivo inteligente de ultrasonido
3. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE
RESULTADOS
Al desarrollar el sistema inteligente, primero se
analizó y diseñó el circuito de la estructura física del
hardware que incluye: Sensores de ultrasonido, motor
paso a paso y el PIC16C74B, Figura 9; y luego se
describe la programación del PIC, que corresponde con
el software de control del hardware, utilizando la metodología estructurada, que luego se convierte en programa modular. La utilización del PIC, representa un
incremento potencial en la eficiencia del sensor, al
hacerlo independiente del software del computador en
el control de los dispositivos. Además de minimizar la
utilización de componentes y circuitería externa encapsulándola a un nivel de software.
Como segundo paso, está la confección del
software generador del mapa de entorno (SGME), cuya
área de trabajo se mostró en la Figura 3, donde se siguió los pasos del desarrollo de software. Destacando
que para la representación se utiliza el lenguaje de modelado unificado (UML), y al Delphi [11] como lenguaje de programación; ya en Alfonsi y colaboradores
[4] se utilizan éstas herramientas, desde el punto de
vista de adquisición de datos, sin intervención de un
microcontrolador como dispositivo con capacidad de
procesamiento y control, ya que el proceso lo realiza
un PC.
Para su implementación se requiere del sistema
operativo Windows 98 o superior, y que el computador
donde se ejecutará la aplicación, posea entre otras,
las siguientes características mínimas de hardware:
Procesador Pentium o Celeron de 366 MHz o
(a) Módulo de Ultrasonido
(b) Vista de la Tarjeta PIC
(c) Vista Frontal del módulo de sensor ultrasonido
Figura 9. Componentes del hardware
96 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
mayor, 32 Mb de memoria RAM, disponibilidad del
puerto paralelo bidireccional. unidad de disco duro,
monitor de 14 pulgadas SVGA, fuente de voltaje de 5
voltios, 1 amperio, un cable para puerto paralelo de
unos 5 metros.
Los resultados experimentales que se describen
a continuación fueron realizados en un escenario como se muestra en la Figura 10. El dispositivo es
colocado y accionado en cuatro posiciones diferentes a
lo largo y ancho del escenario que abarca un área de
3 m2, donde se ubicaron objetos de diferentes características en forma vertical, entre ellos dos botellas de
vidrio (diámetro de 8 cm y altura de 40 cm), una botella de plástico (diámetro de 6 cm y altura de 30 cm),
palo de escoba (diámetro de 2,5 cm y 1m de alto), una
lámina de hierro (60 cm x 75 cm), dos cajas de cartón
(60 cm x 50 cm).
Posición del sensor
Palo de escoba
0Lámina de hierro
Botella de vidrio
Botella de plástico
Cajas de cartón
Figura 10. Escenario de pruebas experimentales
En la Figura 11 muestra como se va generando
el mapa de acumulación en las diferentes posiciones
donde es colocado el sensor. Observándose, como se
van delimitando los diferentes objetos presentes en el
entorno. A su vez, las celdas que corresponden con
objetos ven como va aumentando su CPO (se intensifica el color negro), a medida que se van realizando más
medidas sobre la zona del espacio que ocupan. Las
falsas medidas desaparecen del mapa con el paso del
tiempo, y las correctas inducen un aumento en la CPO
de la celda correspondiente.
La utilización de sensores replicados, mejora la
confianza del sistema al hacerlo tolerable a un número
determinado de fallas, ya que las lecturas ofrecidas por
los dispositivos son a menudo dispares, y ésta
característica es precisamente la que lo hace atractivo
Campos, Doré y Alfonsi
(a) Primera Lectura
( b) Segunda Lectura
obtener la medida de la temperatura del aire y de ésta
manera corregir los valores de la velocidad del sonido
que se ven poco afectados por la misma.
4. CONCLUSIONES
(c) Tercera Lectura
( d) Cuarta Lectura
Figura 11. Generación del mapa y variación en las
diferentes posiciones
al combinarla con técnicas de fusión de datos. No obstante, siguen teniendo un área geográfica de acción
limitada, por tal motivo Blanes y colaboradores [3],
atacan la construcción de un sistema, incorporándole
métodos de interpolación para lograr una alta resolución angular, utilizando para ello cuatro transductores.
En el procesamiento de los datos crudos se debe
resaltar que el uso del mapa de entorno constituido
por celdas que indican la CPO, se consigue una mejora notable en la disminución de los errores y comprensión de las diversas fuentes de incertidumbre que influyen en el proceso de adquisición y generación del
mapa. Además, las superficies lisas dejan de ser un
elemento peligroso y prácticamente invisible para el
sistema de ultrasonido, teniendo por lo general, algún
tipo de irregularidad que hace posible su localización.
Por otro lado, si el eje del transductor es perpendicular
a la superficie, éste será detectada sin problemas, es
decir, a pesar que el número de lecturas de los sensores no detecte este tipo de elementos, algunas medidas
si reflejarán sobre el mapa su posición.
Como futuro desarrollo, se incorporarán técnicamente sensores dispares, con la finalidad de que
un sensor compense las deficiencias del otro, aumentando la confiabilidad y la tolerancia a fallos, mejorando la detección o eliminación del ruido. Y la incorporación de un sensor de temperatura que permita
Se desarrolló un sistema inteligente basado en
el uso de sensores de ultrasonido, para el muestreo de
un escenario, que permite su representación en mapa
cartesiano. Se logró el propósito al utilizar dos sensores de ultrasonido replicados, esto para complementar
las deficiencias y errores, en busca de redundancia. La
información recibida por los sensores en forma individual, se integra con algoritmos de fusión de datos utilizando el teorema de Bayes, permitiendo un preprocesamiento de la señal que suministra información
suficiente para la construcción del mapa de entrono.
La reconstrucción del escenario a través de un mapa
ayuda a determinar la presencia de objetos dentro de
un espacio muestral limitado, proporcionando la distancia en donde está ubicado el mismo, con respecto
al punto de referencia (ubicación del sensor). Se elaboró el software utilizando los procedimientos que
brinda la metodología de la Ingeniería de software,
sumado con las herramientas proporcionadas por el
UML.
Como siguiente paso, se hará la integración del
dispositivo como nodo en una red de área local de
tiempo real, como parte del sistema de navegación de
un robot.
AGRADECIMIENTO
Los autores quieren agradecer a los profesores
Zulirais García y José Guevara, del departamento de
computación y sistemas de la Universidad de Oriente,
por las observaciones en la metodología empleada a
nivel de Software.
REFERENCIAS
[1] Bennet G., Albadejo J., Rodas A. and Gil P.
(1992): “An intelligent sensor for ranging in an
industrial distributed control system”, In: Proc.
Symposium on intelligent components and instruments for control applications, Málaga, pp. 47-52.
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
97
Dispositivo inteligente de ultrasonido
[2] Dahlkemper J. and Langen A. (1994): “Sensor based solutions for automation”, In: CAN in Automation e.V. Proc. 1er. International CAN Conference, Erlangen, pp. 11-2-11-9.
[3] Blanes F., Bennet G., Simó J. and Pérez P.
(1999): “Enhancing the real-time response of on
ultrasonic sensor for map building task”. In: Int
Symposium Intelligent E, Bled, pp. 225-230.
[4] Alfonsi A., Binoto L. y García J. (2000): “Sistema
de instrumentación virtual para el procesamiento y
generación de señales”. In: Troyani N & Cerrolaza
M (ed). V Cong. Int. de Métodos Numéricos en
Ingeniería y Cs. Aplicadas, Puerto La Cruz, Venezuela, pp. EC-11 – EC-19.
[5] Pressman R. (2002): “Ingeniería del software”.
McGraw-Hill. 5ta. ed., Madrid.
[6] Rumbaugh J., Jacobson I. y Booch G. (2000): “El
lenguaje Unificado de Modelado”. Addinson Wes-
98 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
ley, Madrid.
[7] Elfes A. (1989): “Using occupancy grids for mobile robot perception and navigation”, Proc. IEEE
Computer, Málaga.
[8] ACROMED INC (2001): “The Devanthech SRF04
Ultrasonic Range Finder”. ACROMED INC, USA.
[9] Microchip Technology Inc (2002):
“Microcontroller PIC”. 05 de mayo 2002. http://
www.microchip.com/1010/picmicro/category/
digictrl/.
[10] Ritcher J. (1997): “Programación Avanzada en
Windows”. McGraw Hill, Madrid.
[11] Joyanes L. (1999): “Borland Delphi. Iniciación y
Referencia”. McGraw Hill, Madrid
[12] Pérez A. (1996): “Técnicas de graficación de superficies”. Rep. Interno Dpto. Computación y
Sistemas, UDO, Barcelona.
REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 99-114, 2003
Diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples
dominios acotados con el método de factorización
Francisco J. Arteaga B.(1), Marco A. Contramaestre A.(1), Mayra A. Vizcaya N.(1), Guy O. Beale(2), Atilio Morillo(3)
(1)
Unidad de Investigación en Automatización Industrial, Escuela de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela
(2)
Electrical and Computer Engineering, George Mason University, Fairfax, Virginia, U.S.A.
(3)
Centro de Investigación de Matemática Aplicada, División de Postgrado de Ingeniería, Universidad del Zulia,
Maracaibo, Venezuela
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
Este trabajo presenta el diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples dominios
acotados de estabilidad. El método utilizado es una extensión del enfoque basado en la factorización coprima para
el caso de dominios acotados. Las condiciones específicas de Di-estabilidad para dos y tres plantas, la extensión
de la propiedad de paridad interlazada y la parametrización de los compensadores Di-estabilizantes se aplican en
el desarrollo de los algoritmos. Los sistemas asociados para dos plantas y los sistemas asociados y auxiliares para
el caso de tres plantas fueron derivados. Se presenta como ejemplo el caso de un sistema con dos modelos de
planta lineales y de primer orden. A partir de los resultados obtenidos, se establece que el compensador calculado
estabiliza satisfactoriamente en forma simultánea los dos modelos, cumpliendo con los criterios de diseño del
sistema. Estos algoritmos pueden ser extendidos al caso de un número mayor de tres modelos de planta.
Palabras clave: Estabilización simultánea, dominios acotados, factorización coprima, diseño de algoritmos.
Algorithms design for simultaneous stabilization with multiple bounded
domains using factorization approach
Abstract
This work presents the design of algorithms for simultaneous stabilization with multiple bounded domains
of stability. The method used is an extension of the coprime factorization approach for the case of bounded
regions. Specific conditions for Di-stability for two and three plants, the extension of the parity interlacing
property and the parametrization of the Di-stabilizing compensators are applied in the algorithm development. The
associated systems for two plants and the associated and auxiliary systems for the case of three plants were
derived. A case study of two first order linear plants is presented. Based on the obtained results, it is determined
that the designed compensator stabilizes simultaneously and satisfactorily both models, meeting the performance
system
requirements. These algorithms can be extended to the case of more than three plant models.
Keywords: Simultaneous stabilization, bounded domains, coprime factorization, software design.
1. INTRODUCCIÓN
El problema de Estabilización Simultánea puede visualizarse como un caso muy particular e importante dentro del contexto del campo de control robusto. El enfoque en control robusto es analizar y diseñar
un sistema de control que trabaje con un buen grado
de precisión en el cumplimiento de los requerimientos
(sobreimpulso, tiempo de establecimiento, etc.) ante la
presencia de incertidumbres de la planta. En estabilización simultánea las incertidumbres se derivan de la
dinámica de la planta y son expresadas en un número
discreto ó finito de modelos de planta [1, 2]. El proceso se representa mediante r +1 modelos de planta p0,
p1, p2,…, pr donde p0 es el modelo en condiciones nominales, y p1, p2,…, pr son los modelos planta ante la
presencia de perturbaciones, fallas, etc. Entonces, si
la familia de plantas puede ser estabilizada por un
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
99
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
compensador c, en caso de fallas se mantiene la
estabilidad del sistema. Algunas de las aplicaciones
del concepto de estabilización simultánea consideran
el diseño de control confiable, sistemas no-lineales, y
control robusto [3, 4]. En el diseño de control confiable, el problema consiste en estabilizar simultáneamente una planta nominal y perturbaciones discretas
de la planta provenientes de fallas de componentes
del sistema, o cambios estructurales en la planta. En
el diseño de un compensador para un sistema nolineal, modelos linealizados de la planta son derivados para diferentes condiciones de operación de la
planta, y el compensador es diseñado para estabilizar
simultáneamente los diferentes modelos de planta. En
control robusto, el propósito del compensador es estabilizar el sistema de lazo-cerrado bajo perturbaciones
continúas resultantes de incertidumbres en la modelación del sistema nominal [3-6].
En el estudio de control de procesos es importante visualizar previamente el comportamiento
del sistema durante su funcionamiento normal ó
cuando ocurren irregularidades, de modo que se
hace necesario llevar esta teoría de estabilización
simultanea al computador, mediante el desarrollo de
un software que permita simular de manera representativa y dinámica el comportamiento de la planta
durante sus diferentes condiciones, y de esta manera
se puede comprobar que un compensador satisface
de modo eficaz los requerimientos para cada uno de
los procesos a estabilizar.
ción de transferencia p0 (planta operando en condiciones nominales), y p1, p2, p3,…, pr representan la
descripción de la planta en la presencia de varias
fallas, tales como la pérdida de sensores, actuadores,
transductores, etc. Si la familia de plantas p0, p1, p2,
p3, …, pr puede ser estabilizada por un compensador
común c, entonces en el caso de tener una falla, c
mantiene la estabilidad del sistema, un dominio de
estabilidad es la región del plano s donde deben estar todos los polos de cadena cerrada de un sistema
compensado. El caso en el que las plantas se asumen
que tienen el mismo dominio de estabilidad D, es
llamado el problema convencional de estabilidad
simultánea y la forma del dominio se muestra en la
Figura 1, un dominio de estabilidad es la región del
plano s donde deben estar todos los polos de cadena
cerrada de un sistema compensado.
.
Im s
−σ
θ
Re s
......
D
Figura 1. Dominio generalizado de estabilidad.
2. MOTIVACIÓN DE ESTA
INVESTIGACIÓN
Una de las razones para implementar estos
algoritmos basado en la estabilización simultánea es
proporcionar una herramienta para el diseño de sistemas de control confiables en presencia de fallas en
sensores y actuadores así como para la enseñanza de
estabilización simultánea de manera interactiva con
el usuario. La estabilización confiable está relacionada con la situación donde el objetivo es mantener
la estabilidad de lazo-cerrado en presencia de fallas
de la planta y/o controlador. Estos problemas corresponden a lo que se ha referido como la síntesis de
sistemas de control con integridad [3 ,7, 8]. La descripción de la planta puede representarse por la fun100 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
El análisis del problema generalizado nos lleva
a la posibilidad de tener el caso de diferentes conjuntos de requerimientos de funcionamiento para cada
modelo pi. En el caso que el sistema nominal falle, se
tiene que tratar como un sistema diferente del comportamiento de operación nominal. Cada modelo de
falla puede resultar en diferente funcionamiento, conllevando a diferentes polos de lazo cerrado dentro de
un subconjunto Di, de D (el semiplano-s izquierdo
abierto) con el fin de cumplir objetivos adicionales
tales como sobreimpulso, tiempo de establecimiento,
etc.
El beneficio de usar múltiples dominios en vez
de usar solamente el dominio más pequeño D0 radica
en que se puede estar interesado en estabilizar cada
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
planta pi (i= 1, 2,…, r) en alguna región de Di que no
es parte de D0. En este caso, la estabilización simultánea se realiza con respecto a cada uno de los dominios
específicos para cada planta. Este es un problema
menos limitativo que considerar el mismo dominio D0
para todas las plantas, y también más real. Las plantas
pi (i= 0, 1, 2,…, r) pueden ser simultáneamente
estabilizables con respecto a cada Di aún cuando no lo
sean con respecto al más pequeño dominio común D0.
puede utilizarse para representar el conjunto de todas
las posibles funciones de transferencia, incluyendo
los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Existe
un subconjunto de R(s) llamado S conformado por
todas las funciones racionales estables y propias. En
S, estas funciones racionales estables y propias no
son acotadas y todos sus polos tienen parte real negativa. En particular, S es un dominio Euclideano
propio y R(s) es un subconjunto de R[s] y S.
La motivación para el uso de dominios acotados radica en el hecho de que existen
limitaciones físicas en el compensador, los actuadores y otros instrumentos (sensores, transductores)
presentes en el sistema [3, 7, 8]. Esto resulta en una
cota superior en la magnitud de la parte real negativa de los polos de lazo-cerrado. La forma para estos
dominios acotados se muestra en la Figura 2.
3.2 Factorización coprima para dominios
acotados
Se asume un dominio dado de estabilidad D
en el plano s, y una función f ∈ R(s), donde f puede
escribirse como la relación:
f=
P1 (s)
P2 (s)
Im s
con P1(s), P2(s) ∈ R[s], y P1, P2 coprimos en SD
(ningún cero común en Dc). n expresa el máximo grado entre P1 y P2, es decir, n = max[deg(P1, P2)], y se
define:
Re s
− σ+
− σ−
......
......
f1 ( s) =
D
Figura 2. Dominio acotado de estabilidad.
3. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
3.1 Terminología de conceptos utilizados
El término C+ representa el semiplano derecho
cerrado, es decir, s: Re s ≥ 0, C- representa todo el
semiplano izquierdo, es decir, s: Re s < 0, y el término C+e representa el semiplano derecho extendido
del plano complejo s, es decir, C+e abarca C+ más el
infinito (∞).
El conjunto de los polinomios en el plano s
con coeficientes reales se representa como R[s] y el
conjunto de las funciones racionales con coeficientes
reales se representa como R(s). Por lo tanto, R(s)
P1 (s)
(s+γ ) n
,
f 2 (s) =
P2 (s)
(s+γ ) n
(1)
donde σ i− < γ < σ i+ y γ ∈ R. Las nuevas funciones
f1(s), f2(s) ∈ SD y son coprimas en SD, y ahora f
puede escribirse como:
f ( s) =
f1 (s)
f 2 (s)
la cual se refiere a la factorización coprima de f (s) en
el conjunto SD. Las funciones f1(s) y f2(s) son propias
y estable en SD y no tiene ningún cero común en Dc+e.
El concepto de factorización coprima permite determinar la existencia de un compensador c ∈ R(s) que
D-estabiliza a una planta dada p ∈ R(s). Primero, la
planta p se factoriza como una relación:
p(s) =
n(s)
d (s)
donde n, d ∈ SD y son coprimas en SD. Entonces, puede decirse que c es un compensador que D-estabiliza a
la planta p si y sólo si c puede factorizarse como la
relación:
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
101
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
xn + yd =1
..
(2)
..
Esta expresión es llamada la identidad de
Bezout (o el teorema de Bezout) [3, 9, 10].
variar en todo el conjunto S . La expresión (4) es una
extensión del resultado presentado como un teorema
para un dominio acotado D en [3]. El conjunto S es
un dominio Euclideano propio válido y cada p ∈ R(s)
puede factorizarse como una relación de dos funciones en S , n y d las cuales también son coprimas en S .
Para el caso que el dominio de estabilidad D es acotado, estos dos hechos garantizan la validez de expresión (4) para el conjunto SD(p) de todos los compensadores D-estabilizantes para la planta p. Una prueba de
esta presentación para un dominio no acotado D puede encontrarse en [3]. Esta prueba también es válida
para el dominio D que ha sido acotado.
D
D
D
3.3 Propiedad de paridad interlazada
Teorema 1: (Estabilización Fuerte) Una planta p es
fuertemente estabilizable si y sólo si el número de
polos de p(s) entre cada par de ceros reales, incluyendo el infinito (∞), en Re(s) ≥ 0 (es decir C+e) es par.
La condición descrita por el Teorema 1
[3, 10, 11] ha sido llamada propiedad de paridad interlazada. La estabilización fuerte de una planta p puede
determinarse ahora en términos de la Propiedad de
Paridad Interlazada “PIP”. Este y otros teoremas relacionados con el concepto de estabilización fuerte y el
PIP son ampliados para el caso de la región de estabilidad siendo un dominio acotado D en el semiplano
izquierdo del plano s.
D
Teorema 2: (Estabilización Simultánea) Dadas las
plantas SISO p0,…, pk, se define:
a = y d +xn,
0i
0
i
0
b = d n −dn
i
0i
0
i
i
0
para i = 1,…, k. Entonces p0,…, pk, pueden ser simultáneamente estabilizadas sí y sólo sí existe un m0 ∈
SDi tal que:
a +mb
3.4 Parametrización de los compensadores
D-estabilizantes
sea una unidad para i = 1,…, k [3, 9]
Se asume una planta dada p ∈ R(s) y factorizada como:
El Teorema 2 plantea que p0, …, pk, pueden ser
simultáneamente estabilizadas sí y sólo sí las plantas
asociadas:
p=
n
d
0i
x
d
donde x, y ∈ SD y son coprimos en S . Entonces, una
solución particular de la Identidad de Bezout se
obtiene así:
D
xn + yd = 1
..
0
0i
p =b /a
con n, d ∈ SD y coprimos en SD. También se propone
que el compensador c puede factorizarse como:
c=
0i
(3)
..
Bajo estas asunciones, el conjunto de todos los
compensadores D-estabilizantes para la planta p puede expresarse de la siguiente manera:
0i
0i
para i = 1,…, k, son fuertemente estabilizables y pueden ser simultáneamente estabilizadas por un compensador estable. Podría entenderse que si existe más de
una planta asociada (es decir más de dos plantas originales), la estabilización fuerte de cada una de las plantas asociadas es una condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilización simultánea de las plantas
originales [12, 13].
3.5 Extensión de la propiedad de paridad
interlazada para dominios acotados
⎧
⎫
x + rd
S ( p) = ⎨ c =
: r ∈ S , y + rn ≠ 0 ⎬ (4)
y + rn
⎩
⎭
Una extensión de la propiedad de paridad interlazada ha sido desarrollada en [5] donde se considera
el caso de un Dominio acotado D de estabilidad como
se ilustra en la Figura 2. En este tipo de dominio, Dc
representa el complemento de D y Dc+e representa el
complemento extendido de D.
donde r es un parámetro “libre”, es decir, r puede
Teorema 3: Sea D un dominio acotado de estabilidad
D
D
102 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
y Dc+e el complemento extendido de D. Ahora supongamos a p ∈ R(s) y que z1,…, zk son los ceros reales
de p en Dc+e. Si en cada uno de los intervalos (zi, zi+1)
Im s
∈ Dc+e con i = 1,…, k, hay un número par de
polos reales pi de p(s), entonces allí existe un
compensador c(s) estable con respecto a D tal que el
sistema de lazo-cerrado (p, c) es estable con respecto
a D.
Re s
− σ0
La propiedad descrita en el Teorema 3 es llamada la Extensión de la Propiedad de Paridad Interlazada
“EPIP”. Entonces se dice que una planta es Dfuertemente estabilizable si y sólo si cumple con el
“EPIP”, lo que es una condición necesaria y suficiente
para la D-estabilización fuerte de una planta p. Una
prueba de este Teorema se encuentra en Arteaga [5].
4. RESULTADOS TEORICOS
En esta sección se desarrollan los procedimientos para la solución de la estabilización simultánea de
dos y tres modelos de plantas, donde las plantas dadas
solamente pueden ser estabilizadas simultáneamente
sí el sistema final (planta auxiliar) puede ser estabilizado por un compensador estable, es decir, la planta
auxiliar es fuertemente estabilizable.
4.1 Di-estabilización simultánea de dos plantas
con dominios acotados de estabilidad
Se asume dos modelos de plantas p0 y p1 con
sus correspondientes dominios acotados de estabilidad
D0 y D1, además, se tiene que D0 ∩ D1 ≠ φ , tal como
se muestra en la Figura 3.
Los modelos dados se descomponen de la
forma:
p = n /d
i
i
i
donde ni, di ∈ SDi y coprimas en SDi, i = 1, 2.
Además se tiene a SDi (pi) que denota el conjunto de todos los compensadores que Di-estabilizan a pi,
se asume que allí existe una solución particular c i ∈
SDi(pi) para todo pi, donde:
c =x /y
i
i
i
será factorización coprima de c i en SDi.
+
− σ 0 − σ1+
−
−
− σ1
......
......
......
......
D0
D1
Figura 3. Dominios acotados de estabilidad D0 y D1
asociados con las plantas p0 y p1.
La parametrización de todos los compensadores Diestabilizantes para pi está dada por:
⎧
⎫
x + rd
: r ∈S ,con y − rn ≠ 0 ⎬ (5)
S (p ) = ⎨ c =
y + rn
⎩
⎭
D. i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
D. i
i
i
i
Igualando la parametrización de los controladores para p0 y p1 (c0 = c1) y resolviendo para r1 en término de r0 resulta que:
r=
1
x y − x y + r (d y + n x )
y d + x n + r (d n − d n )
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1|
0
con: a01 = y0 d1 + x0 n1
(6)
b = d n −d n
y
01
0
1
1
0
se reorganiza la ecuación (6) de la siguiente forma:
r=
1
x y − x y + r (d y + n x )
a + rb
0
1
1
0
0
01
0
0
1
0
1
(7)
01
Sí r1 ∈ SD1, este r1 hace que c1 ∈ SD1(p1), y
también hace que c1 = c0 ∈ SD0 (p0) para el r0 específico usado; por lo que c0 ∈ {SD0 (p0)∩SD1 (p1)}.
Ahora, r1 ∈
S
D .i
sí y solo sí
a + r b = u ∈ u( S )
01
0
01
01
D.i
(8)
donde: a01 = y0 d1 + x0 n1 , b01 = d 0 n1 − d1n0
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
103
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
y a01 , b01 ∈ SD1 , y coprimos en SD1 . La expresión
(8) representa el sistema asociado para las plantas p0 y
p 1.
= u01
Corolario 1: Dado el sistema asociado a01 + rb
0 01
donde u01 ∈ u ( S Di ) y a01 , b01∈ SD1, el compensador estabilizante para la planta asociada p01 = b01 / a01
es r0.
Sí p01 =b01 / a01 y es fuertemente D1-estabilizable,
r0∈SD1 puede encontrarse siempre que u01 ∈ u ( S D1 ) .
Ya que r0 es un parámetro del conjunto SD0 (p0), r0
además pertenece a SD0 . Sí se denota por r 0 a el parámetro requerido que pertenece a SD0, la existencia de
r 0 está sujeta a las condiciones presentadas en los
siguientes Teoremas:
4. Sí p01 es fuertemente D1-estabilizable y sí existe allí
una solución particular r 0 ∈ SD0 tal que:
a +r b =u
01
0
01
∈ u(S )
01
(13)
D1
entonces p 0 y
Di-estabilizables.
p1
son
simultáneamente
Entonces las condiciones para la
Di-estabilización simultánea de p0 y p1 están dadas por
las suposiciones hechas en la declaración del Teorema
5. Tales condiciones son:
p01 es fuertemente D1-estabilizable:
r =
0
u −a
b
01
∈ S
01
D0
01
Teorema 4: Dado p0 y p1 como los modelos de plantas con sus respectivos dominios acotados de estabilidad D0 y D1, y se tiene que D0∩D1 ≠ 0, tal como se
muestra en la Figura 3. Dado el modelo p0 como p0 = n0 / d 0 , donde n0, d0 ∈ SD0 y coprimo en SD0,
y al modelo p1 como p1 = n1 / d1 , donde n1, d1 ∈ SD1
y coprimo en SD1. Existe un c 0 = x0 / y0 , donde x0, y0
∈ SD0 y coprimo en SD0 , como una solución particular
(que siempre puede ser encontrada) de:
x n + y d = u ∈ u(S )
0
0
0
0
0
(9)
D0
dado p0 = b01 / a01 como el sistema asociado formado
de p0 y p1, donde:
a = yd +xn
01
0
1
0
y
1
b = d n −d n
01
0
1
1
0
Decimos que p01 es fuertemente D1-estabilizable y que
r0 ∈ SD1 estabiliza a p01. Sí ∃ r01 ∈ SD1 tal que:
(1 − r b )
01
r =
0
∈ u(S )
01
D1
r +r a
1− r b
0
(10)
01
01
01
∈ S
(11)
D0
01
Ahora que el caso de la estabilización simultánea para dos modelos de plantas ha sido analizado y
discutido, el siguiente paso es considerar adicionar un
modelo de planta más y estudiar el caso de la Diestabilización simultánea de tres modelos de plantas
con sus respectivos dominios acotados de estabilidad.
4.2 Di-estabilización simultánea de tres plantas
con dominios acotados de estabilidad
Se asume que el modelo de planta dado para
p3 como p3 = n3 / d 3 y su dominio correspondiente
D3, donde n3, d3 ∈ SD3, y coprimo en SD3 . Los modelos de plantas p0 y p1 dados como en la sección 4.1 , y
los dominios relacionados por la condición
D0 ⊆ (D1∩D2), tal como se muestra en la Figura 4.
Igualando la parametrización de los controladores
para p0 y p2 y resolviendo se tiene una solución para r2
dada por:
r =
2
(x y
(y d
0
2
0
2
− x y )+r' (y d + x n
+ x n ) + r ' (d n − d n
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
2
2
0
a +r b =u
01
0
01
01
∈ u(S )
D1
(12)
Teorema 5: Asumiendo toda la notación del Teorema
104 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(14)
y el sistema asociado para las plantas p0 y p2 está definido por:
a +r' b =u
entonces:
)
)
012
0
02
02
(15)
donde a0 2 = y0 d 2 + x0 n2 , b0 2 = d 0 n2 − d 2 n0 , y a0 2 , b0 2
∈ SD2 y coprimos en SD2.
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
⎧
⎫
r +r a
SD1 (P01 ) = ⎨c01 = 0 01 01 : r01 ∈ SD1, 1− r01b01 ≠ 0⎬ (16)
1− r01b01
⎩
⎭
Ims
Res
D0
y de manera similar para la planta asociada p02, se denomina a SD2(p02) como el conjunto de todos los compensadores que D2-estabilizan a p02,
⎧
⎫
r '+ r a
SD2 (P02 ) = ⎨c02 = 0 02 02 : r02 ∈ SD2 , 1− r02b02 ≠ 0⎬ (17)
1− r02b02
⎩
⎭
D2
D1
Figura 4. Dominios acotados de estabilidad D0, D1, y D2
asociados con las plantas p0, p1 y p2.
= u01
Corolario 2: Dado los sistemas asociados a01 + rb
0 01
y a0 2 + r0 ' b02 = u02 donde u01, u02 ∈ u(SD1 ) y u(SD2 ) respectivamente y a01, b01, a02, b02 ∈ SD1 y SD2 respectivamente, así como r0 ∈ SD1 y r0 ' ∈ SD2, los compensadores estabilizantes para las plantas asociadas
p01 = b01 / a01 y p02 = b02 / a02 son r0 y r0 ' , respectivamente.
Sí la planta auxiliar ó sistema asociado p02 =b02 / a02
es fuertemente D2-estabilizable, r0 ' ∈ SD2 puede encontrarse siempre que u02 ∈ u(SD2 ) . Ya que r0 ' es un
parámetro para el conjunto SD0(p0), r0 ' también pertenece a SD0. La existencia de una solución r0 ' ∈ SD0 está
sujeta a las condiciones presentadas en el Teorema 4
(considerando a las plantas p0 y p2 en este Teorema).
Así, las condiciones para la Di-estabilización simultánea de p0 y p2 son:
Sí p02 es fuertemente D2-estabilizable, y
r '=
0
u −a
b
02
02
∈ S
D0
donde r01∈ SD1 y r02 ∈ SD2 son los parámetros libres en
la parametrización. Estas parametrizaciones representan todos los compensadores estabilizantes para las
plantas asociadas. La prueba del Teorema 6 se encuentra desarrollada en (Ammeen 1.994) [13].
El siguiente paso es igualar a las parametrizaciones de los controladores para p01 y p02, y formar el
próximo nivel del sistema, es decir, el sistema auxiliar
(Aux1). Hay dos alternativas igualmente válidas para
formar el sistema auxiliar (Aux1) para p01 y p02. La
primera de ellas es resolviendo para r02 en términos de
r01, y el sistema que se obtiene se llama sistema auxiliar (Aux1a). La segunda alternativa se hace resolviendo para r01 en términos de r02 sistema auxiliar (Aux1b),
Formación del sistema auxiliar (Aux1a)
que:
r02 =
Resolviendo para r02 en términos de r01 se tiene
( r0 − r0 ' ) + r01 ( a01 + r0 ' b01 )
( a02 + r0 ' b02 ) + r01 ( a01b02 − a02 b01 )
(18)
El parámetro r02 ∈ SD2 sí y sólo sí:
02
Si los parámetros r0 y r0 ' son iguales, las tres
plantas pueden ser Di-estabilizadas simultáneamente.
Este parámetro común puede ser determinado (sí este
existe) realizando un parametrización de todos los
compensadores que estabilizan a las plantas asociadas
p01 y p02 en los dominios D1 y D2, respectivamente.
donde a012= a02 + r0 'b02, b012= a01b02 - a02b01, y a012,
b012 ∈ SD2 y coprimos en SD2. La expresión (19) define
al Sistema Auxiliar (Aux1a) para las plantas p0, p1, y
p 2.
Teorema 6: Se denota a SD1 (p01) como el conjunto de
todos los compensadores que D1-estabilizan a p01,
Sí la planta auxiliar p012 = b012 / a012 es fuertemente D2-estabilizable, entonces r01 ∈ SD2 puede ser
a012 + r01b012 = u 012 ∈ u ( S D 2 )
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(19)
105
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
encontrado si existe u012 ∈ u(SD2 ). El parámetro r01
debe pertenecer a SD1 , ya que r01 es también un parámetro en el conjunto SD1 (p01), y esto es posible debido a que D1 ∩D2 ≠ 0.
Esta solución r01 es usada en la parametrización de c01, y este c01 debe ser D0-estable (c01∈ SD0) ya
que se usa en lugar de r0 en la parametrización de c0:
x +c d
c0 = o 01 0 , c01 ∈ S D 0
yo − c01n0
(20)
donde
c01 =
ro + r01a01
, ∈ S D0
1 − r01b01
(21)
Formación del Sistema Auxiliar (Aux1b)
que:
r01 =
(22)
Los parámetros de r01 ∈ SD1 sí y sólo sí:
a021 + r02b021 = u021 ∈ u ( S D1 )
r0 '+ r02 a02
, ∈ SD0
1 − r02b02
(23)
Teorema 7: Asumiendo todas las notaciones
del Teorema 4, y el Teorema 5 y las presentadas en
esta sección.
SI
[ p01 es fuertemente D1-estabilizable y ∃ r 0
tal que a01 + r 0b01 = u 01 ∈ u ( S D1 ) ], Y
c0 =
xo + c02 d 0
, c02 ∈ S D 0
yo − c02 n0
(24)
donde
106 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
= c01 ∈ SD0
r 0 ' = c02 ∈ SD0
[ p02 es fuertemente D2-estabilizable y
tal que a01 + r '0 b02 = u 02 ∈ u ( S D 2 ) ],Y
∃ r01 ∈SD1tal que
r +r a
a012 + r01b012 = u012 ∈ u ( S D 2 ) Yc01 = 0 01 01 , ∈SD0 ],
1−r01b01
ó
[p021 es fuertemente D1-estabilizable y ∃ r02 ∈SD2
que a021 + r02 b021 = u 021 ∈ u ( S D1 ) y
c02 =
tal
r '0 + r02 a02
, ∈ S D 0 ]}
1 − r02 b02
Entonces
p0, p1, y p2 son simultáneamente Di-Estabilizables. La
prueba de este Teorema sigue de la explicación dada
acerca del caso de tres plantas con sus respectivos
dominios acotados de estabilidad [5-7].
donde a021= a01 + r0 ' b01, b021= a02b01 - a01b02, y a021,
b021 ∈ SD1, y coprimos en SD1 . La expresión (22) define al Sistema Auxiliar (Aux1b) para las plantas p0, p1,
y p2. Sí la planta auxiliar ó asociada P021=b021/a021
es fuertemente D1-estabilizable, entonces r02 ∈ SD1
puede encontrarse si se encuentra u021 ∈ u(SD1 ). El
parámetro r02 debe pertenecer a SD2, ya que r02 también es un parámetro en el conjunto SD2(p02), y esto es
posible porque D1∩D2 ≠ 0.
Este r02 es usado en la parametrización de c02, y
este c02 debe ser D0-estable ( c02 ∈ SD0 ) ya que es usado en lugar de r0 en la parametrización de c0:
(25)
En la Figura 5 se muestra un esquema de las
tres plantas con la formación del sistema asociado y
los sistemas auxiliares
{[ p012 es fuertemente D2-estabilizable y
Resolviendo para r01 en términos de r02 se tiene
( r0 '− ro ) + r02 ( a 02 + r0 b02 )
( a 01 + r0 ' b01 ) + r02 ( a 02 b01 − a 01b02 )
c02 =
Nivel de Sistemas Asociados
Nivel de Sistemas Auxiliares
Aux1a ó Aux1b
Figura 5. Sistemas asociados y auxiliares para las plantas
p0, p1 y p2.
4.3 Desarrollo de algoritmos
4.3.1 Procedimiento para dos modelos de plantas
Se Asumime que los modelos de plantas p0 y p1
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
son dados y son factorizados como relaciones de funciones de transferencias coprimas. Las plantas pueden
estar relacionadas de alguna manera, por ejemplo, ellas
pueden ser linealizaciones de una ecuación no lineal en
varios puntos de operación; ó puede que no exista relación alguna entre ellas. Las plantas dadas pueden ser ó
no fuertemente estabilizables, ya que un compensador
estabilizable para cada una de ellas puede ser encontrado siempre, además se asume que cada planta es estabilizada por su correspondiente compensador particular c0 y c1. El objetivo de este procedimiento es determinar y diseñar, siempre que sea posible, la existencia
de un compensador sencillo que estabilice a todas las
plantas simultáneamente. Los pasos para el procedimiento son los siguientes :
Paso 1. Formar el Sistema Asociado a01 + r0b01 = u01 por
la parametrización de la solución particular c0 tal como
indica el Teorema 2.
Paso 2. Verificar la D1-estabilización fuerte para la
planta asociada p01 = b01 / a01 usando los resultados
del Teorema 1 y el Teorema 3. Si la planta es fuertemente D1-estabilizable, entonces determinar a r0 ∈ SD1,
tal que, u01∈ u(SD1). Note que si la planta asociada es
fuertemente D1-estabilizable, se garantiza la existencia
de un r0 ∈ SD1 tal que u01 ∈ u(SD1). Si la planta p01 no
es fuertemente D1-estabilizable, entonces se deben obtener otros compensadores particulares c0 y c1 correspondiente a cada modelo original.
Paso 3. Con el r0 calculado, siendo éste el compensador estabilizante para el sistema asociado p01 (del
Corolario 1), determinar el compensador común css
que Di-estabiliza simultáneamente a las plantas p0 y p1,
de acuerdo a la expresión del conjunto de todos los
compensadores Di- estabilizantes.
Paso 4. Realizar el lazo-cerrado entre el compensador
común obtenido en el paso anterior con cada uno de
los modelos de las plantas y comprobar la
Di-estabilización simultánea de ellas. Sí css no
Di-estabiliza simultáneamente a las plantas p0 y p1,
volver al Paso 2.
4.3.2 Procedimiento para tres modelos de
plantas
El objetivo de este procedimiento es determinar
y diseñar, siempre que sea posible, la existencia de un
compensador sencillo que estabilice a todas las plantas
simultáneamente. Los pasos para el procedimiento son
los siguientes:
Paso 1. Formar los sistemas Asociados a01 + r0b01 = u01
y a02 + r '0 b02 = u 02 por la parametrización de la soluciones particulares c i , con i = 0, 1, 2 tal como indica
el Teorema 2.
Paso 2. Verificar la Di-Estabilización fuerte (i = 1, 2)
para cada una de las plantas asociadas p01 = b01 / a01
y p02 = b02 / a02 usando los resultados del Teorema 1
y el Teorema 3. Si las plantas asociadas son fuertemente Di-estabilizable, entonces determinar a r0 ∈ SD1 y a
∈ SD2, tal que, u01 ∈ u(SD1 ) y u02 ∈ u(SD2). Note que
si las plantas asociadas son fuertemente Diestabilizables, se garantiza la existencia de un r0 ∈ SD1
tal que u01 ∈ u(SD1) y un r0 ' ∈ SD2 tal que u02 ∈ u(SD2).
Paso 3. Con r0 y r0 ' calculados anteriormente, siendo
estos los compensadores estabilizantes para los sistemas asociados p01 y p02 (del Corolario 2), determinar
los compensadores Di-estabilizantes para las plantas tal
como se enuncia en el Teorema 6, y formar el nivel de
Sistemas Asociados Aux1 con cualquiera de las alternativas (Aux1a ó Aux1b) de acuerdo a las expresiones
(18) ó (22).
Paso 4a. Verificar la estabilización fuerte de la planta
p012 = b012 / a012 (ó p021 = b021 / a021 ) del nivel auxiliar Aux1. Si la planta p012 es fuertemente
D 2estabilizable, entonces determine r01 que pertenece a
SD2 tal que u012 ∈ u(SD2).
Paso 4b. Determinar si el r01 ∈ SD2 obtenido en el Paso 4a produce un compensador c01 ∈ SD0. Si se logra,
continuar con el Paso 5. Si no, regrese al Paso 4a.
Paso 5. Determinar el compensador estable c01 que
estabiliza simultáneamente a las plantas asociadas p01
y p02 sustituyendo r01 en la expresión dada en el Teorema 6.
Paso 6. Reemplazar r0 ' con c01 como el parámetro
libre en la parametrización del compensador estabilizante para la planta p0. Este es el compensador que Diestabiliza simultáneamente a las plantas p0, p1 y p2.
Paso 7. Realizar el lazo-cerrado entre el compensador
común obtenido en el paso anterior con cada uno de
los modelos de las plantas y comprobar la Diestabilización simultánea de ellas.
4.4 Descripción del Software
Esta sección expone la realización del software
para el diseño de controladores basados en estabilización simultánea con múltiples dominios acotados de
estabilidad, aprovechando los recursos ofrecidos por el
lenguaje de computación MATLAB para la elaboración de una interfaz gráfica amigable para el usuario
[14].
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
107
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
El SSMBDC fue creado pensando en el diseñador. La presentación y la disposición de las pantallas
hacen del SSMBDC. un programa fácil de usar, debido a que presenta un sistema de navegación amigable e intuitiva, ofreciendo un formato estructurado
para el diseño de controladores basados en estabilización simultánea con múltiples dominios acotados de
estabilidad. La ventana ó pantalla principal del
SSMBDC. presenta un botón único para el inicio del
programa, además se tiene una barra de opciones de
menú en donde se pueden acceder a los diversos archivos constitutivos del software, así como una ayuda
del mismo en un formato pdf en donde el usuario obtiene información detallada referente al software diseñado, como también los fundamentos teóricos utilizados para el diseño del mismo.
5.1 Estabilización simultánea de dos modelos
de plantas P0 y P1 de 1er orden sin retardo.
En esta sección se presenta la solución de la
Estabilización Simultánea de dos modelos de plantas
p0 y p1 sin tiempo de retardo y sus correspondientes
dominios de estabilidad se muestran en la Figura 6.
D0 = {s : −7 < Re( s) < −2, Im( s) ≤ 0.952 Re( s) } (27)
.
D1 = {s : −6 < Re( s) < −1, Im(s) ≤ 1.395 Re( s) } (28)
.
−
La factorización coprima para las plantas p0 en
D0 y p1 en D1 están dadas por:
N n0
k0
5
(s + γ 0 )
Dn 0
n
( s + 4)
=
p0 =
=
= 0
( s + a0 )
Nd0
( s + 2)
d0
( s + 4)
(s + γ 0 )
Dd 0
(29)
N n1
k1
10
Dn1
(s + γ 1 )
n
( s + 3)
=
p1 =
=
= 1
( s + a1 )
N d1
( s − 6)
d1
( s + 3)
(s + γ 1 )
Dd 1
(30)
Eje Imaginario
donde n0, d0 ∈ SD0 y son coprimos en SD0, n1, d1 ∈ SD1
y son coprimos en SD1, γ0 = 4 ∈ D01 (o región intersección entre D0 y D1) , γ1 = 3 ∈ D1.
Estabilización de la planta p0 en D0
Una solución particular c0 que estabilice a la
planta p0 en SD0 se puede expresar como un compensador proporcional puro dado por:
D0
D1
Eje Real
Figura 6. Dominios acotados de estabilidad D0 y D1 para
dos plantas P0 y P1 de 1er orden sin retardo.
Dadas las plantas p0 y p1 de la siguiente forma:
p0 =
+
donde los valores reales dados por σ i y σ i (con
i = 0 y 1) quedan establecidos por el rango de valores
de Tiempos de Establecimientos (Ts) especificados
según el criterio del 2%, y la pendiente de la recta es
representada por la tangente del ángulo que determina
el arcoseno del Factor de Amortiguamiento (ζ ) con el
eje real del semi-plano izquierdo.
k0
s + a0
y
p1 =
k1
s + a1
(26)
donde k0 = 5, a0 = 2, k1 = 10 y a1 = -6. Los correspondientes dominios D0 y D1 están definidos como:
108 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
c0 =
N x0
N y0
N x0
Dx 0
x
=
= 0 = kc
N y0
y0
Dy 0
(31)
donde x0 y y0 ∈ SD0 y son coprimos en D0, Dx0 = Dy0 =
1, Nx0 = x0 = kc ∈ R, y Ny0 = y0 = 1. Para esta solución
particular c0 , la identidad de Bezout está dada por:
x 0 n0 + y 0 d 0 = u 0 ∈ u ( S D 0 )
(32)
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
Entonces la expresión para la planta asociada resulta:
sustituyendo los términos respectivos se tiene que:
p01 =
k0
( s + a0 )
Nu0
kc
+ 1
= u0 =
(s + γ 0 )
(s + γ 0 )
Du 0
Para ubicar los polos de lazo cerrado en s = -y0= -4,
tenemos que u0 = 1, por lo que el compensador se obtiene de la siguiente manera:
c 0 = kc =
γ 0 − a0
k0
= 4
(33)
b01
s (k1 − k 0 ) + (a0 k1 − a1k 0 )
=
a01
( s + γ 0 )( s + ( a1 + k c k1 ))
(40)
y sustituyendo los valores correspondientes a cada
variable:
p01 =
m s + m0
N b 01
5s + 50
= 2 1
=
N a 01
s + 2s − 8
s + q1 s + q0
2
(41)
La ecuación característica del par (p0, c0 ). Esta dada
por:
(34)
∆CL0 = ( s + 4)
La planta asociada p01 está dada por la siguiente
expresión:
p01 =
b01
d n −d n
= 0 1 1 0
a01
y0 d1 + x0 n1
Eje Imaginario
Formación y solución del sistema asociado
para las plantas p0 y p1
(35)
D0
donde las expresiones para a01 y b01 se calculan a
partir de las factorizaciones coprima de las plantas p0
y p1 y con c0 .
Cálculo de a01
a01 = y0 d1 + x0 n1 =
s + (a1 + kc k1 ) (s + γ 0 )
(s + γ 1 ) (s + γ 0 )
(36)
s(k1 − k0 ) + (a0 k1 − a1k0 )
(s + γ 0 )(s + γ 1 )
(37)
Cálculo de b01
b01 = d0 n1 − d1n0 =
Sustituyendo los valores dados de a0, k0, a1, k1,
kc, γ0, y γ1 en las ecuaciones obtenidas (36) y (37),
queda:
D1
Eje Real
Figura 7. Ubicación de los polos y ceros de lazo-abierto de
la planta p01.
En la Figura 7 se observa que la planta asociada p01
dada por (41) es fuertemente estabilizable en D1, ya
que no existen polos en el intervalo descrito por los
a01 = N a 01 / Da 01,
ceros s = -10 y s = ∞.
Si
b01 = N b 01 / Db 01 , r0 = N r 0 / Dr 0 , y u01 = Nu 01 / Du01,
son las factorizaciones coprima de a01, b01, r0 y u01 en
sus dominios correspondientes, y Na01, Da01, Nb01,
Db01, Nr0, Dr0, Nu0, Du0 ∈ R[s], entonces el Sistema
Asociado se escribe como sigue:
a01 + r0 b01 = u 01 ∈ u ( S D1 )
(42)
Sustituyendo las expresiones correspondientes:
a01 =
s + 2s − 8 N a 01
=
s 2 + 7 s + 12 Da 01
(38)
b01 =
N
5s + 50
= b 01
s + 7 s + 12 Db 01
Na01
N N
D N + Nr0 Nb01
N
+ r0 b01 = r 0 a01
= u01 (43)
Da01
Dr0 Db01
Da01Dr0
Du01
(39)
donde Da01 = Db01 = Dx0Dn1 = (s + γ0)(s + γ1) y
Da01Dr0 = Du01.
2
2
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
109
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
Consideración del orden de r0
Se considera r0 de segundo orden y bipropio.
Con este r0 los polos de lazo cerrado del par (p01, r0)
pueden ser arbitrariamente ubicados en D1, y además
tenemos un grado de libertad. Por lo tanto, r0 = c01 se
expresa de la siguiente forma:
r0 = c01 =
Nr0
c s 2 + c1s + c0
N nc01
= 22
=
Dr 0
s + d1s + d 0
Ddc01
(44)
Para la solución de (43) se requiere que u01 sea
una unidad en SD1, es decir, u01 ∈ u(SD1). Entonces, la
unidad u01 se expresa como:
u01 =
N u 01
=
Du 01
∏
4
i =1
( s + 4)
(45)
( s + α u1 )( s + α u 2 )( s + α u 3 )( s + α u 4 )
=
( s + 4)( s + 3)( s 2 + d1s + d 0 )
2
2
2
∏ i=1(s +αui ) = (s + d1s + d0 )(s + q1s + q0 ) + (c2s + c1s + c0 )(ms
1 + m0 )
(46)
donde los coeficientes q 'i s de Na01, y m'i s de Nb01
son valores conocidos de la ecuación (42), es decir: q1
= 2, q0 = -8, m1 = 5 y m0 = 50.
Todos los s = -αui ∈ D1 y -αui ∈ R, i = 1,…, 4. La ex4
pansión de N u 01 =
( s + α ui ) se escribe usando
i =1
la siguiente notación:
∏
f 1 = α u1 + α u 2
(47)
f 0 = α u1α u 2
( s + α ui )
4
(48)
j =0
donde z4 = 1 y los coeficientes z 'i s , i = 0, …, 3 quedan definidos como:
z4 = 1
(52)
z 3 = f1 + g1
(53)
z 2 = f 0 + g 0 + f 1g 1
z0 =
(54)
f1g 0 + f 0 g1
(55)
f 0g 0
q1 + d1 + c2 m1 = z3
(57)
q0 + d 0 + d1q1 + c2 m0 + c1m1 = z 2
d1q0 + d 0 q1 + c0 m1 + c1m0 = z1
(49)
g 0 = α u 3α u 4
(50)
∏
4
( s + α ui )
Los coeficientes del producto N u 01 =
i =1
se denotan como z 'i s , y estos coeficientes están definidos en base a los coeficientes intermedios f 'i s y g'i s
calculados en las expresiones (47) a la (50). Entonces,
la expresión para Nu01 se convierte en:
110 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
(58)
(69)
d 0 q0 + c0 m0 = z 0
(60)
De este sistema se obtiene 4 ecuaciones (57) a la
(60) con 5 incógnitas, c2, c1, y c0 del numerador de r0,
y d1 y d0 del denominador de r0. Como existe un grado
de libertad, el valor de una de estas variables será asignado arbitrariamente debido a la escogencia de dos
ceros en r0. Para este sistema de ecuaciones la variable
seleccionada es d0 = 15. El sistema de ecuaciones queda expresado en forma matricial como sigue:
⎡c2 ⎤
⎢c ⎥
A ⎢ 1⎥ = W
⎢c0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣d1 ⎥⎦
(61)
..
y además
g1 = α u 3 + α u 4
(51)
(56)
igualando los coeficientes queda el siguientes sistema
de ecuaciones lineales:
donde s = -αui ∈ D1, i = 1,…, 4 para lograr que la planta p01 sea fuertemente estabilizable en D1. De la ecuación (42) igualamos los coeficientes y se sustituyen los
términos correspondientes para obtener:
4
4
i =1
= ∑ z j s j = z 4 s 4 + z3 s 3 + z 2 s 2 + z1s + z0
z1 =
Da 01 Dr 0
∏
N u 01 =
Donde la matriz A y el vector columna W están
definidos como:
⎡ m1
⎢m
A= ⎢ 0
⎢0
⎢
⎣0
0
m1
m0
0
0
0
m1
m0
1⎤
q1 ⎥⎥
q0 ⎥
⎥
0⎦
(62)
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
⎡ z3 − q1 ⎤
⎢z − q − d ⎥
0
0⎥
W= ⎢ 2
⎢ z1 − d 0 q1 ⎥
⎢
⎥
⎣ z 0 − d 0 q0 ⎦
u1
⎡c2 ⎤
⎢c ⎥
⎢ 1 ⎥ = A −1W
⎢ c0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ d1 ⎦
y2
e1
-
(63)
El sistema es resuelto a continuación:
+
Figura 9. Sistema de realimentación con sensitividad
unitaria.
(64)
6. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Polos de lazo cerrado del par (p0, c0)
Los valores α ui ' s utilizados en la resolución de (64),
fueron los siguientes: αu1 = 1.3, αu2 = 1.8, αu3 = 2.2 y
αu4 = 3.0 por lo tanto, el compensador
c01 = r0 =
Nr0
Dr 0
(65)
resulta:
N r 0 0.004s 2 + 0.756s + 2.709
c01 = r0 =
=
Dr 0
s 2 + 6.09s + 15
(66)
Se observa en la Figura 8 que los polos de c01 = r0 ∈
SD0 se encuentran ubicados en D0∩D1. Por lo tanto
podemos afirmar que este compensador c01 = r0 D1estabiliza a la planta asociada p01, es decir, p01 es fuertemente estabilizable en D1.
Partiendo de un sistema de realimentación en
donde intervienen las funciones de transferencias del
compensador común c(s), del modelo de la planta Pi
(s) y función de transferencia unitaria de sensitividad
H(s) tal como se muestra en la Figura 9 se obtienen
los polos de lazo cerrado del sistema. El compensador
común, c = c0 = c1 que Di-estabiliza simultáneamente
a p0 y p1 se obtiene utilizando el parámetro r0 de la
ecuación (72) en la expresión del conjunto de compensadores Di-estabilizantes. El resultado de este
compensador está dado por:
c = c0 = c1 =
c=
x0 + r0 d 0 x1 + r1d1
=
y0 − r0 n0 y1 − r1n1
(67)
(0.444)s 3 + (4.876) s 2 + (19.97)s + (29.49)
(68)
s 3 + (9.88) s 2 + (35.58) s + (46.46)
Eje Imaginario
Los polos de lazo cerrado del par (p0, c) son calculados y sus valores son:
s1 = -4.00
(69)
(70)
s2 = -4.00
(71)
s3 = -3.045 + j2.393
(72)
s4 = -3.045 - j2.393
Se denota ∆CL0 como la ecuación característica de los polos de lazo cerrado del par (p0, c0). Entonces ∆CL0 puede ser expresada como:
∆CL0 = ( s + 4)( s + 4)( s 2 + 6.09 s + 15)
D0
D1
Eje Real
Figura 8. Ubicación de los polos y ceros del
compensador c01.
(73)
∆CL0 = ∆CL0 Dn 0 Dr 0
(74)
donde ∆CL0 = (s + 4) es la ecuación característica de
la solución particular c 0 de la planta p0, Dn0 = (s+4)
es el factor usado en la factorización coprima de p0, y
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
111
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
el polinomio de segundo grado Dr0 es el denominador
de c01 = r0. La expresión (70) nos muestra la relación
entre ∆CL0 y ∆CL0 (solución con c0 ), demostrada
teóricamente por Beale [15].
En resumen, el compensador c = c0 D0estabiliza a la planta p0 y a continuación se muestra en
la Figura 10 que representa las respuesta en el tiempo
ante una entrada de escalón unitario de las raíces del
par (p0, c).
Respuesta ante un Escalón
∆CL1 = ∆CL10
(80)
En resumen, el compensador c=c1 D1-Estabiliza
a la planta p1 y a continuación se muestran la Figuras
13 que representan las respuesta en el tiempo ante una
entrada de escalón unitario del par (p1, c).
En definitiva se concluye que el compensador bipropio c = c0 = c1 dado por (67) estabiliza
simultáneamente a p0 en D0 y a p1 en D1 ya que ubica a
los polos de lazo-cerrado para cada modelo de planta
en sus correspondientes dominios, tal como se muestran las Figuras 12 y 13.
Amplitud
Amplitud
Respuesta ante un Escalón
Tiempo (s)
Figura 10. Respuesta temporal ante una entrada de escalón
unitario del par (p0, c).
Tiempo (s)
De igual manera para la obtención de los polos
de lazo cerrado se parte del sistema realimentado de la
Figura 8. Los polos de lazo cerrado del par (p1, c1) se
obtienen utilizando el mismo compensador común calculado en (67), es decir que dichos polos se pueden
obtener con el par (p1, c0), y sus valores son:
(75)
s1 = -1.3 ∈ D1, ∉ D0
(76)
s2 = -1.8 ∈ D1, ∉ D0
s3 = -2.2 ∈ D1, ∈ D0
(77)
(78)
s4 = -3.0 ∈ D1, ∈ D0
Figura 11. Respuesta temporal ante una entrada de escalón
unitario del par (p1, c).
Eje Imaginario
Polos de lazo cerrado del par (p1, c1)
La ecuación característica resultante del par
(p1, c1) = (p1, c0) puede ser expresada como:
∆CL1 = (s 4 + 8.3s 3 + 25.06s 2 + 32.63s + 15.44) (79)
Es decir, los polos del par (p1, c1) son los mismos del par (p01, c01). Recordando que estos polos fueron escogidos arbitrariamente para la solución de la
ecuación (64), por lo que:
112 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
D0
D1
Eje Real
Figura 12. Ubicación de los polos y ceros de lazo-cerrado
del par (p0, c).
Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo
Para la selección de los Factores Coprimos γ0 y
γ1 es necesario hacer un análisis de la expresión (42).
Como los valores a01 y b01
a01 =
s + ( a1 + k c k1 ) ( s + γ 0 )
(s + γ 1 )
(s + γ 0 )
b01 =
s ( k1 − k 0 ) + ( a0 k1 − a1k 0 )
( s + γ 0 )( s + γ 1 )
pertenecen a SD1 y son Coprimos en SD1, se deduce
que γ0 también debe pertenecer a D1, es decir, pertenece a la región común D01. Para la selección de γ1 no se
presenta mayor restricción, sino aquella en que solo
basta que pertenezca a D1.
El compensador c01, bipropio y de segundo
orden dado por (65) proporciona cuatro ecuaciones
lineales con cinco incógnitas, obteniéndose un grado
de libertad necesario y suficiente para lograr la ubicación arbitraria de los polos de lazo cerrado del par
(p01, c01)
(86)
estabilizantes y de las condiciones que deben satisfacerse para la estabilización simultánea de dos y tres
modelos de plantas han sido mostrados. Estas condiciones están expresadas en términos de la estabilización fuerte de sistemas asociados y auxiliares, y en
requerimientos de interpolación para dos y tres plantas. Se establece también la relación existente entre la
ecuación característica de lazo cerrado y la ecuación
característica de la solución particular para cada
modelo de planta. En base a los resultados obtenidos,
puede concluirse que los procedimientos desarrollados permiten la obtención del compensador estabilizante de dos y tres modelos de plantas lineales de
primer orden, cumpliendo con los criterios de diseño
del sistema en forma satisfactoria. Los algoritmos
fueron desarrollados y programados en Matlab y
permiten al usuario diseñar sistemas de control, en
forma interactiva con el computador, aplicando la
teoría de la estabilización simultánea para el caso de
regiones acotadas de estabilidad. Estos algoritmos
pueden ser también extendidos para el caso de cuatro
o más modelos de planta, y para el caso de sistemas
de segundo orden.
AGRADECIMIENTOS
Eje Imaginario
Los autores expresan su reconocimiento al Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la
Universidad de Carabobo CDCD-UC por el financiamiento otorgado al proyecto de investigación
N° 97-016.
REFERENCIAS
D0
D1
Eje Real
Figura 13. Ubicación de los polos y ceros de lazo-cerrado
del par (p1, c).
7. CONCLUSIONES
En este trabajo se han presentado algoritmos
para el diseño y simulación de compensadores basados en estabilización simultánea con múltiples dominios acotados de estabilidad. Aspectos teóricos y prácticos de la parametrización de compensadores Di-
[1] Peter Dorato. Robust Control. IEEE Press, New
York, 1987.
[2] Vincent Blondel. Simultaneous Stabilization of
Linear System, Lecture Notes in Control and
Information Sciences, volume 191. SprigerVerlag, Berlin, 1994.
[3] M. Vidyasagar. Control System Synthesis: A
Factorization Approach. MIT Press, 1985.
[4] K. D. Minto. Towards simultaneous performance:
Application of simultaneous stabilization
techniques to helicopter engine control. Proceed.
American Control Conference, 2:852–859, 1988.
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113
Diseño de Software para la Estabilización Simultánea
[5]
Arteaga Bravo. Francisco J. Simultaneous
Stabilization with Multiple Bounded Stability
Domains. Phd dissertation, George Mason
University, Fairfax, Virginia, USA, February 1995.
[6] F. J. Arteaga and G. O. Beale. Simultaneous
stabilization with multiple bounded stability
domains
in chemical process control. In
Proceedings of
IECON’95-21 Annual
Conference of the IEEE Industrial Electronics
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(SICE), Orlando, Florida, November 6-10 1995.
[7] G. O. Beale and F. J. Arteaga. Simultaneous
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domains. (KoREMA) Automatika, 37 (1996)(34):91– 98, May 1997.
[8] M. Vidyasagar. Some results on simultaneous
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[10] A. R. Tannenbaum J. C. Doyle, B. A. Francis.
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[11] Jr. D. C. Youla, J. J. Bongiorno and C. N. Lu.
Single-loop feedback stabilization of linear
multivariable dynamical plants. Automatika,
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[13] E. Ammeen. A New Simultaneous Stabilization
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System Models for the Design of Robust Control
Algorithms. Phd dissertation, George Mason
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[14] Vizcaya Mayra y Contramaestre Marco. Desarrollo de Software para el diseño de controladores
basados en Estabilización Simultánea con múltiples dominios acotados de estabilidad en
MATLAB-Simulink. Valencia, Venezuela, Octubre 2003.
[15] Guy O. Beale. Special Topics in Robust Control:
Simultaneous Stabilization, Lecture Notes.
George Mason University, Fairfax, Virginia,
September 1993.
REVISTA INGENIERÍA UC
Índice de números anteriores
Vol. 1, NÚMERO 1, Junio 1992 (Agotado)
-
Valdivieso E. y Homer J. Análisis de los tiempos
de relajación Espinred (T1,R.M.N.) en Soluciones.
Correa, N. y Guevara E. Periodicidades
Plurianules de una Serie de Escurrimientos.
Coronado M., Guerra J., Silva R., Ramones M. y
Da Prat G. Modelo Matemático para analizar
pruebas de Presión en Pozos Horizontales.
Guevara E., Métodos Hidrológicos para el análisis
de sequías.
Montilva M. Flujo Laminar en la Región de Entrada en un tubo Recto Precedido por una Tubería
Curva.
Vilchez N. Algunas Implicaciones de las Características de los Problemas.
Castellanos D. Algunos Métodos para Obtener
Series de Fourier.
Avellán A. Incubadora con Alternativa Solar.
-
Vol. 4, NÚMERO 1, Junio 1995 (Agotado)
-
-
-
Cordido A., Guerra A., Pérez S., Martínez F., Caraballo E. y Chávez A. Modelaje de los principales equipos de la unidad de alquilación de la refinería El Palito.
Muñoz R., García R. y González S. Diseño de un
"Simulador Elipsometrico" para estudiar la exactitud de las mediciones de las constantes ópticas de
películas ultrafinas.
Guevara E. Selección de Funciones de Distribución para el Análisis de Frecuencia de Caudales
Máximos.
Valdivieso E. y Homer J. Estudios de Tiempos de
Relajación Espin Red (T1) de Protones (1H) de
Mesetileno en Mezcla con Ciclohexano TMS.
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REVISTA INGENIERÍA UC
Índice de Autores (Author Index)
Volumen 10 (1, 2 y 3) 2003
Alba, Enrique, N° 3, 80
Alfonsi, Alfonso, N° 3, 90
Aljibes D., Pascual, N° 2, 7
Alvarez S., Mario, N° 1, 52
Angarita, César, N° 3, 28
Arteaga B., Francisco J., N° 1, 21
Arteaga B., Francisco J., N° 1, 52
Arteaga B., Francisco J., N° 1, 57
Arteaga B., Francisco J., N° 2, 30
Arteaga B., Francisco J., N° 2, 79
Arteaga B., Francisco J., N° 3, 50
Arteaga B., Francisco J., N° 3, 99
Bertran, Eduard, N° 1, 38
Campos, Victor, N° 3, 90
Caralli D’A., Antonino, N° 1, 16
Cira, Lidia, N° 2, 70
Colombo, Gabriella, N° 2, 26
Contramaestre A., Marco A., N° 3, 99
Contreras, José R., N° 2, 79
Cortez M., Trina G., N° 3, 49
De Mercato, Giovanni, N° 1, 16
Delgado B., Neyla Y., N° 1, 29
Díaz P., José Gregorio, N° 1, 57
Díaz, José A., N° 3, 7
Doré, Leonardo, N° 3, 90
Escalona G., Luis W., N° 1, 21
España, Leonard, N° 2, 18
Ferrera, Arquímedes J., N° 1, 21
Franco N., Pablo A., N° 2, 30
Fuguet, Frine, N° 2, 26
García S., Francisco, N° 1, 16
Guevara P., Edilberto, N° 1, 47
Jiménez, Carlos J., N° 1, 21
Koslow, Wasilio, N° 2, 43
Laguna, Manuel, N° 3, 80
Lanza S., Freddy J., N° 3, 59
Larrazábal, Germán, N° 2, 55
León S., Antonio E., N° 2, 43
Loyo De S., Jaqueline, N° 2, 60
Maneiro M., Ninoska, N° 2, 60
Maneiro M., Ninoska, N° 2, 70
Martí, Rafael, N° 3, 80
Martínez R., César E., N° 1, 52
Martino, Lucia, N° 2, 43
Méndez, Raymundo, N° 2, 30
Mendoza M., Onexi L., N° 1, 57
Michielli O., Luis A., N° 3, 67
Moewis, Philippe, N° 3, 28
Morillo P., Atilio, N° 3, 50
Morillo P., Atilio, N° 3, 99
Natour, Yaser, N° 3, 7
O. Beale, Guy, N° 2, 30
O. Beale, Guy, N° 3, 99
Obediente, Luis, N° 3, 50
Peña T., Eliana, N° 2, 7
Pérez R., Aída, N° 2, 7
Puentes M., Scarlet H., N° 3, 59
Riera G., Verónica L., N° 1, 29
Romero M., Asdrúbal, N° 3, 17
Rothman, Howard B., N° 3, 7
Saenz, Laura, N° 2, 26
Sáenz, Laura, N° 3, 28
Salguero S., Antonio R., N° 3, 67
Sapienza, Christine, N° 3, 7
Serrato, Carlos, N° 2, 18
Sevilla H., Doris E., N° 2, 30
Silva O., Ramón, N° 1, 7
Sira R., Hebertt, N° 1, 7
Terán T., María A., N° 1, 57
Vallés D., Luis E., N° 1, 29
Vallés D., Luis E., N° 2, 18
Vallés D., Luis E., N° 2, 43
Vallés D., Luis E., N° 3, 37
Válles D., Luis E., N° 3, 67
Villalobos Fernando, N° 3, 59
Vizcaya N., Mayra A., N° 3, 99
Yllada G., Ruth A., N° 2, 70
Zozaya, Alfonso, N° 1, 38
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
119
REVISTA INGENIERÍA UC
Índice de Materias
Volumen 10 (1, 2 y 3) 2003
Acero microaleado, N° 2, 26
Acero microaleado, N° 3, 28
Algoritmo de aprendizaje, N° 1, 52
Algoritmo evolutivo, N° 2, 70
Algoritmo PID, N° 2, 7
Algoritmos evolutivos, N° 2, 60
Amplificadores de potencia, N° 1, 38
Análisis AAD, N° 1, 47
Análisis de tormentas, N° 1, 47
Backprogagation, N° 2, 30
Backtracking, N° 2, 60
Bioimpedancia, N° 1, 16
Bomba centrífuga, N° 2, 18
Bomba centrífuga, N° 2, 43
Bomba centrífuga, N° 3, 37
Búsqueda dispersa, N° 3, 80
Cilindro neumático de doble efecto, N° 1, 57
Códigos sísmicos, N° 3, 59
Comportamiento mecánico, N° 3, 28
Conductividad eléctrica, N° 1, 16
Control de matriz dinámica, N° 2, 79
Control de modo deslizante, N° 1, 7
Control PI Generalizado, N° 1, 7
Control predictivo basado en modelo, N° 2, 79
Control, N° 1, 52
Corte basal, N° 3, 59
Desalineación, N° 1, 29
Desgaste, N° 2, 18
Desgaste, N° 3, 37
Desgaste, N° 3, 67
Diseño de software, N° 3, 99
Dominio de estabilidad, N° 2, 30
Dominios acotados, N° 3, 99
Espectrograma, N° 3, 7
Estabilización simultánea, N° 2, 30
Estabilización simultánea, N° 3, 99
Factor de pérdida dieléctrica, N° 1, 16
Factor de utilización, N° 2, 18
Factorización coprima, N° 3, 99
Falla por fatiga, N° 1, 29
Fases de operación, N° 2, 7
Frecuencia de defecto, N° 1, 29
Frecuencia fundamental, N° 3, 7
Fricción, N° 3, 67
Función objetivo, N° 2, 30
Fusión de datos, N° 3, 90
Identificación de sistemas, N° 2, 79
120 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
Impulsor, N° 2, 18
Laminación y recocido, N° 3, 28
Linealización exacta, N° 3, 50
Linealización, N° 1, 38
Localización de facilidades, N° 2, 70
Lógica difusa, N° 1, 21
Mantenimiento centrado en confiabilidad, N° 1, 21
Mapa de entorno, N° 3, 90
Metodología estructurada, N° 3, 90
Métodos evolutivos, N° 3, 80
Métodos iterativos, N° 2, 55
Microcontrolador, N° 3, 90
Modelo matemático dinámico, N° 1, 57
Modelo no lineal, N° 2, 7
Moduladores delta, N° 1, 7
Norma sismorresistente venezolana, N° 3, 59
Paralelismo, N° 2, 55
Parámetros sísmicos de diseño, N° 2, 59
Pared arterial, N° 1, 16
Pasivización, N° 3, 50
Perceptron, N° 1, 52
Permitividad eléctrica, N° 1, 16
Planta de compresión, N° 1, 21
Prealimentación, N° 1, 38
Predistorsión, N° 1, 38
Procesamiento de voz, N° 3, 7
Proceso de endulzamiento de gas, N° 2, 79
Reactor químico, N° 2, 7
Realimentación, N° 1, 38
Red neuronal, N° 1, 52
Redes neuronales, N° 2, 30
Reducción de la lluvia puntual, N° 1, 47
Re-encadenamiento de trayectorias, N° 3, 80
Rendimiento, N° 3, 37
Resonancia, N° 1, 29
Sello mecánico, N° 3, 67
Sensor de ultrasonido, N° 3, 90
Sensores, N° 1, 52
Simulación en Matlab–Simulink, N° 2, 7
Sistema de suspensión magnética, N° 3, 50
Sistema viga y esfera, N° 1, 57
Sistemas lineales, N° 2, 55
Válvula proporcional, N° 1, 57
Vibraciones, N° 1, 29
Virtual, N° 2, 43
Visualización, N° 2, 43
REVISTA INGENIERÍA UC
Subject Index
Volume 10 (1, 2 and 3) 2003
Backpropagation, N° 2, 30
Backtracking, N° 2, 60
Beam and sphere system, N° 1, 57
Bioimpedance, N° 1, 16
Bounded domains, N° 3, 99
Casing efficiency, N° 3, 37
Centrifugal pump, N° 2, 18
Centrifugal pump, N° 2, 43
Centrifugal pump, N° 3, 37
Chemical reactor, N° 2, 7
Cold deformation, N° 3, 28
Compression plant, N° 1, 21
Control, N° 1, 52
Coprime factorization, N° 3, 99
Data fusion, N° 3, 90
Defect frequency, N° 1, 29
Delta-Modulatror, N° 1, 7
Disalignment, N° 1, 29
Dynamic head, N° 3, 37
Dynamic mathematical model, N° 1, 57
Dynamic matrix control, N° 2, 79
Electric conductivity, N° 1, 16
Electric permitivity, N° 1, 16
Environment map, N° 3, 90
Evolutionary algorithms, N° 2, 60
Evolutionary algorithms, N° 2, 70
Evolutionary algorithms, N° 3, 80
Exact linealization, N° 3, 50
Facility layout, N° 2, 70
Factor of loss dielectric, N° 1, 16
Fatigue failure, N° 1, 29
Feedback, N° 1, 38
Feedforward, N° 1, 38
Friction, N° 3, 67
Fundamental frequency, N° 3, 7
Fuzzy logic, N° 1, 21
Gas sweetening process. N° 2, 79
Generalized PI Control, N° 1, 7
Height-Area-Duration analysis, N° 1, 47
Iterative methods N° 2, 55
Lateral seismic shear, N° 1, 59
Learning algorithm, N° 1, 52
Linear systems, N° 2, 55
Linearization power amplifiers, N° 1, 38
Magnetic suspension system, N° 3, 50
Matlab–Simulink simulation, N° 2, 7
Mechanical behavior, N° 3, 28
Mechanical seal, N° 3, 67
Microalloyed steel, N° 2, 26
Microalloyed steel, N° 3, 28
Microcontroller, N° 3, 90
Model predictive control, N° 2, 79
Neural networks, N° 1, 52
Neural networks, N° 2, 30
Non linear model, N° 2, 7
Objective function, N° 2, 30
Operation phases, N° 2, 7
Parallelism, N° 2, 55
Passivization, N° 3, 50
Path relinking, N° 3, 80
Perceptron, N° 1, 52
PID algorithm, N° 2, 7
Pneumatic cylinder of double effect, N° 1, 57
Predistortion, N° 1, 38
Proportional valve, N° 1, 57
Recovery, N° 3, 28
Reduction of point rainfall, N° 1, 47
Reliability centered maintenance, N° 1, 21
Resonance, N° 1, 29
Scatter search, N° 3, 80
Seismic codes, N° 3, 59
Seismic design parameter, N° 3, 59
Sensors, N° 1, 52
Simultaneous stabilization, N° 2, 30
Simultaneous stabilization, N° 3, 99
Sliding mode control, N° 1, 7
Software design, N° 3, 99
Spectrogram, N° 3, 7
Speech processing, N° 3, 7
Stability domain, N° 2, 30
Storm analysis, N° 1, 47
Structured methodology, N° 3, 90
System identification, N° 2, 79
Thermal treatment, N° 2, 26
Ultrasound sensor, N° 3, 90
Used factor, N° 2, 18
Useful life, N° 2, 18
Useful life, N° 3, 67
Venezuelan seismic code, N° 3, 59
Vibrations, N° 1, 29
Virtual reality, N° 2, 43
Visualization, N° 2, 43
Wear, N° 2, 18
Wear, N° 3, 37
Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003
121
REVISTA INGENIERÍA UC
Programa de Postgrado
La Dirección de Estudios para Graduados de la Facultad de Ingeniería (DEPG-FI) ofrece los siguientes
estudios de postgrado:
Maestría en Ingeniería Industrial
Maestría en Ingeniería Ambiental
Maestría en Ingeniería Mecánica
Maestría en Ingeniería Eléctrica, General y Telecomunicaciones
Maestría en Ingeniería de Procesos
Maestría en Gerencia de la Construcción
Maestría en Matemáticas y Computación
Especialidad en Ingeniería Industrial
Actualmente, las Comisiones Coordinadoras de los Programas están trabajando en la acreditación de los
mismos ante el CNU y en la elaboración de nuevos programas.
La DEPG-FI, además ha sometido a la consideración del Consejo de Postgrado el Proyecto de Doctorado
en Ingeniería bajo un esquema individualizado.
Normas para la presentación de artículos
1. Generales
1.1
1.2
1.3
Revista INGENIERÍA UC, considerará para su difusión
trabajos relacionados con las ramas de la Ingeniería así como
las Ciencias Aplicadas a la misma.
Tipos de Trabajos
a) Artículos de investigación inéditos con un máximo de
doce (12) páginas.
b) Notas Técnicas con un máximo de cinco (5) páginas.
c) Artículos de Actualización Científica que resuman el
“Estado del Arte” de un área específica de la Ingeniería
con un máximo de doce (12) páginas.
d) Artículos de invitados especiales con un máximo de cinco (5) páginas.
e) Cartas al Editor.
Estilo
La redacción de los trabajos puede realizarse en español o
inglés. El trabajo original debe ser redactado empleando el procesador de texto Microsoft WORD y almacenado en disco de 3½”
acompañado de tres copias perfectamente legibles, los artículos
provenientes del exterior del país se aceptarán a través de correo
electrónico. El orden a seguir para la redacción del trabajo es el
siguiente: Portada, Introducción, Metodología o desarrollo de la
investigación, Análisis y Discusión de Resultados y Conclusiones,
y Referencias Bibliográficas.
La Portada debe contener:
• Título del trabajo en español y en inglés.
• Nombre(s) del autor(es) y su dirección (es) institucionales completa(s) (dirección postal, fax, teléfono, correo
electrónico).
• Resumen del trabajo en español y en inglés (Abstract)
con un máximo de ciento cincuenta (150) palabras para
artículo inédito y revisiones, ciento cincuenta (150) palabras para notas técnicas, el “Abstract” debe llevar el
título del trabajo traducido al inglés.
• Al final tanto del resumen como del “Abstract” debe
agregarse entre tres (3) y cinco (5) palabras claves.
Los encabezamientos de cada sección se escribirán en negritas, en mayúsculas centrados en el texto.
Los encabezamientos de las subsecciones se escribirán en
negritas, en mayúsculas y minúsculas a la izquierda del texto.
El papel debe ser tamaño carta y los márgenes superior e
inferior deben ser de 2,5cm, el izquierdo de 2,5cm y el derecho de
1,5cm, el texto debe escribirse en doble columna (8,5cm de ancho
por columna separadas 0,5cm), excepto los títulos, el resumen y el
abstract en una sola columna.
El artículo debe escribirse en estilo Times New Roman tamaño 12 y el título en tamaño 16 con interlineado sencillo, los títulos
de las secciones en tamaño 12 y las subsecciones en tamaño 12.
Debe utilizarse tamaño 10 para las leyendas de las figuras y tablas
así como otros textos subordinados.
Las figuras, fotografías, diagramas y gráficos deben denominarse como figuras.
Las tablas y las figuras, se deben enumerar consecutivamente
y con números arábigos. Además deben ser incluidas dentro del
texto correspondiente (no agrupadas al final del mismo) y con su
respectiva leyenda, en la parte superior si es Tabla y en la parte
inferior si es figura. Las figuras deben ser originales, nítidas y realizadas en impresión de alta resolución. Tanto las figuras como las
fotografías deben enviarse en blanco y negro, bien contrastadas
(brillante) de 17,5cm de ancho máximo.
Los símbolos matemáticos deben ser muy claros y legibles.
Los subíndices y supraíndices deben estar correctamente ubicados.
Todas las ecuaciones deben ir en tamaño 10 enumeradas consecutivamente con números arábigos, colocados entre paréntesis en el
margen derecho.
Las referencias, citadas en el texto, contendrán el nombre del
autor principal seguido de corchetes con el número correspondiente
de la referencia bibliográfica: por Ej. Jhonson [9], o simplemente el
número de la referencia bibliográfica, es decir [7] sin citar autor.
Las referencias bibliográficas se escribirán en orden de citación, deben ser completas y contener: autor(es) (en mayúsculas y
minúsculas), título (entre comillas), revista, volumen, número, año
de publicación (entre paréntesis) y páginas; por ejemplo:
-
Beale G.O, Arteaga F.J. and Black W.M. (1992): "Design
and Evaluation of a Controller for the Process of Microwave
Joining of Ceramics". IEEE Transactions on Industrial
Electronics. Vol. 39. No. 4, pp. 301-312.
En caso de Libros ha de incluirse: Autor(es) (en mayúsculas y
minúsculas), año, título, editorial y lugar de publicación, por ejemplo:
-
Hill J.M. and Dewynne J.N. (1987): “Heat Conduction”.
Blackell Set. Pub., London.
En caso de trabajo en colección editada: Autor(es) (en mayúsculas y minúsculas), título. En: editor, año, título, volumen, editorial, lugar y número de páginas; por ejemplo:
Kalla S. L. and Galué L. (1993): Generalized fractional
Calculus. Global Publishing Company, USA, 145-178.
Se recomienda a los autores tener en cuenta las Normas
Internacionales de Nomenclatura (símbolos, unidades y abreviaturas).
2. Notas finales
Los artículos serán sometidos a arbitraje previa publicación.
Se podrán entregar separatas por tema a solicitud del autor, cuyo
costo será a convenir.
Revista INGENIERIA UC
Facultad de Ingenieria. Universidad de Carabobo
Bárbula-Valencia. Código Postal 2008. Estado Carabobo. Venezuela
Teléfonos: (58-241) - 8666819- 8679331– 8667555 (58-412) 855-6492
Email: [email protected], [email protected]
Página web: www.ing.uc.edu.ve/~farteaga/revista.htm
Information for Authors
1. General
The figures, photographs, diagrams and graphics should all
be considered as figures.
1.1
Revista INGENIERÍA UC will considerer for publication
contributions related with the areas of Engineering and
Applied Science.
1.2
Type of Manuscripts:
Tables and figures should be numbered consecutively
using Arabic numbers. Also, they must be included within the
corresponding text (not placed together at the end of the
article), with the corresponding caption at the bottom for a
Figure and legend at the top for a Table. Figures should be
original, clear and printed in high resolution. Both Figures and
pictures should be sent in black and white, clearly defined, with
maximum width of 17.5 cm.
a)
b)
c)
d)
e)
1.3
Unpublished research articles with a maximum length
of twelve (12) pages.
Technical Notes, with a maximum of five (5) pages.
State of the Art Articles (Update Articles) of a
specific engineering field (maximum of twelve (12)
pages).
Articles sent by invited guests, maximum of five (5)
pages.
Letter to Editor.
Article Style
Articles may be sent either in spanish or english. The
original work should be written using Microsoft WORD and
saved in a 3½” diskette accompanied by three legible copies.
The articles coming from other country are accepted through
electronic mail (email). The writing sequence for the articles
shall have this steps: Title Page, Introduction, Methodology or
Research Development, Analysis and Discussion of Results and
Conclusions, and References.
The Title Page should contain:
• Title of the work in spanish and in english.
• Full name(s) of author(s) with Full Institutional
Address(es) (Address, Telephone, Email).
• Summary of the work in spanish and in english
(Abstract) with a maximum of 150 words for
Unpublished, State of the Art articles and Technical
Notes.
• At the end of the Summary in spanish and Abstract in
english three to five (3-5) Key Words should be
added.
Section headings must be written in bold type, centered in
the text, with caps and lower case.
Sub-section headings shall be writen in bold type, with
caps and lower case on the left.
The typescript should be on letter-sized bond with 2.5 cm
for top and bottom margins, 2.5 cm for the left and 1.5 cm for
the right margin, all Text in doble column (8.5 cm width and
separated by 0.5 cm), except the Titles, Summary in Spanish
and Abstract in single column.
The article should be in Times New Roman 12 and the
Title in 16 points with single space, Titles of sections in 12
points and Titles of subsections in 12 points. For the legends of
figures and tables 10 points size should be used.
Mathematical symbols should be very clear and legible.
Subscripts and superscripts must be properly placed. All
equations should be consecutively numbered with arabic
numerals in 10 points, located in brackets in the right-and
margin.
Text references must contain the name of the main author
followed by the corresponding number of reference; Eg:
Jhonson [9], or simply [9] with no author name.
References will be written in order of citation, complete
and should contain: author(s) (in caps and lower case), full title
in quotes, journal, volume, number, year of publication (in
parenthesis) and pages. For example:
-
Beale G.O, Arteaga F.J. and Black W.M. (1992): "Design
and Evaluation of a Controller for the Process of
Microwave Joining of Ceramics". IEEE Transactions on
Industrial Electronics. Vol. 39. No. 4, pp. 301-312.
In the case of Books: Author(s) (in caps and lower case),
year, title, publisher, place and year of publication should be
included. For example:
-
Hill J.M. and Dewynne J.N. (1987): “Heat Conduction”.
Blackell Set. Pub., London.
Work in an edited collection: Author(s) (in caps and lower
case), title. In: editor, year, title, volumen, publisher, place and
number of pages. For example:
Kalla S. L. and Galué L. (1993): Generalized fractional
Calculus. Global Publishing Company, USA, 145178.
It is recommended to the authors to follow the
International Nomenclature Norms (symbols, units and
abbreviations).
2. Final Notes
Articles will be submitted for the reviewing process
before they can be published.
Offprints can be sent for article with a request from the
author(s). Any charge will be arranged by mutual
agreement.
Revista INGENIERIA UC
Facultad de Ingeniería. Universidad de Carabobo
Bárbula-Valencia. Código Postal 2008. Estado Carabobo. Venezuela
Teléfonos: (58-241) - 8666819- 8679331– 8667555 (58-412) 855-6492
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Web site: www.ing.uc.edu.ve/~farteaga/revista.htm
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
AUTORIDADES UNIVERSITARIAS
Ricardo Maldonado González
Rector
José Miguel Vegas Castejón
Vicerrector Académico
Marfa Olivo de Latouche
Vicerrectora Administrativa
Jessy Divo de Romero
Secretaria
AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA
Víctor Reyes Lanza
Decano
Mario Petrizzelli
Asistente del Decano
María E. González
Directora de Estudios Básicos
Arnoldo Gómez
Director de la Escuela de Ingeniería Civil
Antonio Fedón
Director de la Escuela de Ingeniería Eléctrica
Marisela Giraldo
Directora de la Escuela de Ingeniería Industrial
Edwin Peña
Director de la Escuela de Ingeniería Mecánica
Zulay Niño
Directora de la Escuela de Ingeniería Química
Hyxia Villegas
Directora del Centro de Procesamiento de
Imágenes
Luis Vallés
Director de Investigación
Antonino Caralli
Director de la Estación de Promoción y Desarrollo
Tecnológico
María A. Sandoval
Directora Académica
Laura Sáenz
Directora de Estudios para Graduados
Andrés Jiménez
Director de Extensión
Juan F. Hernández
Director de Administración y Servicios
Alfredo Varela
Director del Centro de Investigaciones Químicas
Demetrio Rey
Director del Instituto de Matemáticas y Cálculo
Aplicado
Revista INGENIERÍA UC
La Revista INGENIERÍA UC, es una publicación periódica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad
de Carabobo, adscrita a la Dirección de Investigación. Es Arbitrada, Indizada en REVENCYT (Venezuela),
Actualidad Iberoamericana (CIT–Chile), IEE/INSPEC (United Kingdom, UK), y está Incluida en
Ulrich’s International Periodicals Directory (USA), de circulación Internacional. Se publica cada
cuatro meses bajo los auspicios del Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad de
Carabobo (CDCH-UC) y de la Estación de Promoción y Desarrollo Tecnológico de la Facultad de Ingeniería
(EPDT). Se aceptan artículos en español e inglés. Todos los artículos son revisados por el Comité Editorial y
arbitrados por el Comité Técnico y por especialistas en la materia.
Dirección Postal: Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo: Bárbula-Valencia, Código Postal 2008,
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