Unidad 11

UNIDAD TEMÁTICA XI
INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACION
XII.1 INTRODUCCIÓN
Desde un punto de vista general, se puede decir que la teoría de la optimización,
constituye un conjunto de resultados matemáticos y métodos numéricos para la
búsqueda e identificación de la mejor alternativa, a partir de un conjunto numeroso de
ellas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente cada una de las alternativas.
Desde un punto de vista ingenieril podemos decir que la optimización constituye la raíz
o esencia de la ingeniería, ya que la función clásica del ingeniero es diseñar sistemas
nuevos, mejores, más eficientes y mas baratos, así como también desarrollar planes y
procedimientos que permitan mejorar la operación de sistemas existentes.
Esta gran ventaja de la teoría de la optimización, que permite seleccionar la mejor
opción sin tener que evaluarlas a todas, requiere solo de un modesto nivel de
matemática, además del uso de métodos numéricos mediante una determinada
secuencia de calculo implementada en algoritmos. En resumen solo necesitamos un
manejo primario de matrices y vectores, álgebra lineal, cálculo y algo de análisis real, y
por sobre todas las cosas un adecuado conocimiento y criterio ingenieríl que nos
permita modelar el problema en estudio y posteriormente interpretar los resultados
obtenidos de la optimización.
XII.2 REQUERIMIENTOS BÁSICOS PARA LA APLICACIÓN DE UN MÉTODO DE
OPTIMIZACIÓN
Los elementos básicos requeridos para la aplicación de un método de optimización a
un determinado problema o situación son los siguientes:
1. Definir los límites del sistema ingenieril a optimizar
2. Definir un criterio cuantitativo que permita establecer un ranking de alternativas a
fin de seleccionar la mejor
3. Seleccionar las variables del sistema que permiten caracterizar o definir
explícitamente al mismo
4. Definir un modelo que interrelacione las variables a fin de describir el sistema en
estudio
Estas cuatro actividades constituyen lo que se denomina “Formulación del Problema
de Optimización Ingenieril”, y define en gran parte el éxito o fracaso de un estudio de
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optimización. No existen formulas matemáticas para desarrollar cada una de estas
actividades, y su aprendizaje solo se adquiere a través de la práctica y la experiencia
de resolver innumerables problemas en diferentes situaciones, es por ello que se dice
que la etapa de formulación del problema de optimización es mas ARTE que TÉCNICA.
Veamos algunos conceptos referidos a cada etapa.
Definición de los Limites del Sistema
Previo a optimizar cualquier tipo de sistema en ingeniería es preciso conocer con
precisión sus limites así como también el universo que lo rodea, a fin de poder tener en
cuenta las posibles interacciones entre ambos.
Bajo este contexto se entiende por sistema al concepto termodinámico del mismo, o
sea la porción restringida del universo bajo consideración. Ello nos permite aislar el
sistema en estudio de sus alrededores, a fin de poder estudiarlo, evitando así la
influencia de interacciones desde los alrededores. Esto no siempre es posible, y
muchas veces las interacciones con los alrededores son inevitables, por ende es
necesario extender los limites del sistema, a fin de realizar una optimización realista.
Por lo general en la práctica es muy común encontrar situaciones donde una primera
definición de los limites del sistema resulta muy restrictiva y debido a las interacciones
de los alrededores es necesario luego ampliar los limites. Ello permite incorporar otros
subsistemas que influencian fuertemente al sistema en estudio.
Así por ejemplo supongamos que queremos optimizar la operación de una línea de
pintado de partes terminadas de un determinado producto, que se producen en otra
línea de producción de la fabrica. En una primera aproximación podríamos tentarnos a
estudiar la línea de pintado en forma aislada del resto, sin embargo veremos que el
tamaño óptimo de las bachadas de pintado y la secuencia de colores que debemos
definir están fuertemente influenciadas por la operación de la línea de producción de
partes. En este caso deberemos ampliar los limites de nuestro sistema, a fin de incluir
la línea de fabricación de partes. Ello nos permitirá seguramente una mejor
optimización de la línea de pintado. Obviamente esto contradice en cierta forma un
principio ingenieril de descomposición del problema en subproblemas para su mejor
estudio. Sin embargo en este caso dicho principio puede conducir a una simplificación
poco realista para abordar la optimización del sistema.
El Criterio de Perfomance
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Una vez definidos los limites del sistema, es necesario establecer un criterio o medida
de perfomance que nos permita evaluar cada alternativa posible del sistema, a fin de
decidir cual de todas es la mejor.
La selección de tal criterio estará regida por el objetivo previsto en nuestro estudio de
optimización, que puede ser de tipo económico o técnico. Así por ejemplo, en el diseño
de sistemas ingenieriles es muy común que dicho objetivo sea económico, por lo tanto
el Criterio de Perfomance será una medida de bondad económica del sistema, como
por ejemplo costo total de capital, costo total anual, rentabilidad anual neta, retorno
sobre la inversión, relación costo beneficio, valor presente neto, etc. En el caso de
objetivos técnicos podemos encontrar criterios del tipo: mínimo tiempo de producción,
máxima tasa de producción, mínimo consumo de energía, mínimo peso, máxima
resistencia, etc. En este contexto siempre el sistema, operación o diseño optimo es
aquel que maximiza o minimiza el criterio de perfomance o función objetivo
previamente definido.
También es importante aclarar que como ya hemos visto anteriormente el diseño actual
en ingeniería requiere por lo general satisfacer mas de un criterio, por lo tanto nuestro
problema de optimización se transforma en Multiobjetivo. Si bien actualmente existen
algunos avances en optimización multiobjetivo, no es menos cierto que su aplicación
esta aún muy lejos de lo deseado. Por ello tales problemas se abordan sobre la base
de un solo objetivo, dejando el resto de los objetivos como restricciones o limites
deseables en el planteo del problema.
Variables Independientes del Sistema
El tercer elemento de relevancia en la Formulación del Problema de Optimización es la
selección de las variables independientes, o variables que definen y caracterizan el
sistema. De manera tal que una vez fijadas las mismas, puedan caracterizar el sistema
y su criterio de perfomance, o función objetivo.
Es importante poder distinguir entre aquellas variables cuyos valores se puedan
cambiar y aquellas variables cuyos valores están fijados por factores externos al
sistema. (Por ejemplo: caudal de ingreso a un intercambiador de calor, esta fijado por
condiciones externas, no así el numero de tubos o la disposición de los mismos dentro
de la carcaza).
También es importante diferenciar aquellos valores que se pueden tomar como fijos, de
aquellos que están fijados por factores externos. Pero por sobre todo es importante
definir las variables que influencian la operación o el diseño del sistema en estudio. Su
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no-consideración puede conducir a obtener soluciones suboptimas, y muchas veces es
necesario ampliar el sistema primario a fin de obtener un optimo global.
Finalmente es importante considerar un adecuado nivel de detalle en la descripción del
sistema. El mismo no debe ser tal que su tratamiento entorpezca el análisis del
sistema, conduciendo a soluciones que no aportan mejoras sustantivas. Por ejemplo en
el diseño preliminar de un proceso, los equipos deben ser considerados con un bajo
nivel de detalle, y ser caracterizados por pocos parámetros de diseño que los definan,
tales como áreas, volúmenes, potencias etc. Una buena regla del arte es seleccionar
como variables independientes solo aquellas que tengan un impacto significativo sobre
el criterio de perfomance o función objetivo.
El Modelo del Sistema
Luego de definir los limites del sistema, establecer el criterio de perfomance o Función
Objetivo, y determinar cuales son las variables independientes del sistema, la próxima
etapa en la formulación del problema es encontrar el modelo que describe el sistema.
O sea encontrar la manera en la cual se interrelacionan las variables, y la forma en que
ellas influencian la función objetivo (FO de ahora en más).
El Modelo es una representación matemática simplificada del sistema, que permite el
diseño, análisis y verificación de sistemas reales, sin tener que recurrir a costosas
experimentaciones. Ellos permiten estudiar la influencia de cambios en las variables de
diseño, y su influencia sobre la FO.
Por lo general el modelo esta constituido por:
ƒ
Ecuaciones de Balance de Masa y Energía
ƒ
Relaciones de diseño
ƒ
Ecuaciones de propiedades físicas que describen los fenómenos que ocurren en
el sistema
ƒ
Desigualdades que definen rangos de operación permitidos, especifican rangos
mínimos y máximos de perfomance, o fijan limites sobre recursos disponibles
En resumen, el modelo consiste de todos los elementos que normalmente deben
ser considerados para calcular el diseño o predecir el comportamiento de un sistema
ingenieril. Por supuesto la generación de un modelo adecuado requiere de un total
entendimiento de los fenómenos que ocurren en el sistema, y una gran dosis de
experiencia.
A modo de corolario diremos que para que sea posible la aplicación de una
metodología de optimización es necesario que el problema posea:
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ƒ
Un Criterio de Perfomance o Función Objetivo
ƒ
Un conjunto de Variables Independientes
ƒ
Un modelo que interrelacione las variables del sistema
Tales requerimientos son comunes a muy diversos sistemas y problemas, y por lo tanto
la aplicación de la Optimización posee un rango muy amplio de aplicación que va
desde los sistemas sociales, comerciales, militares y organizacionales, hasta los
sistemas ingenieriles, que son los que nos interesan.
Campos de Aplicación:
La aplicación de un estudio de optimización dentro de la empresa moderna puede
circunscribirse a diferentes campos, como ser:
•
La compañía entera
•
Una planta en su totalidad
•
Un proceso
•
Una simple operación unitaria
•
Una parte de un equipo
•
Cualquier sistema intermedio
Obviamente la conveniencia de su aplicación estará dada por la relación costo –
beneficio entre costo del estudio y beneficio esperable.
En el caso de la industria de proceso, la optimización se puede aplicar en las siguientes
áreas:
1. Administración:
•
Evaluación de proyectos
•
Selección de productos
•
Presupuesto corporativo
•
Inversión en Ventas vs. I+D
•
Construcción de nuevas plantas
2. Diseño:
•
Diseño de equipos y especificaciones
•
Selección de un proceso
•
Condición operativa nominal
•
Configuración / estructura de planta
•
Tamaño de unidades individuales o sectores
•
Materiales de construcción
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3. Operación:
•
Control operativo
•
Asignación de materias primas
•
Consumo de servicios
•
Embalaje, transporte y distribución
4. Planeamiento de la operación:
•
Secuenciamiento (scheduling) de procesos
•
Planificación (planning) de la operación (procesos batch)
•
Paradas y arranques de equipos
Jerarquía de las Áreas de Aplicación:
Con relación al impacto probable de un estudio de optimización sobre los costos de la
empresa, resulta indicativo la siguiente jerarquía de áreas en la aplicación de estudios
de optimización. En términos generales la jerarquía indica nivel de impacto sobre los
costos de la empresa, aunque la misma no es taxativa, y depende en gran medida del
tipo y tamaño de la empresa en cuestión.
Jerarquía:
Administración
Planeamiento
Operación
Diseño
Equipos Individuales
Oportunidades para Aplicar Optimización
Del análisis y observación de diferentes datos registrados en distintas áreas de la
empresa, es posible detectar oportunidades de optimización. Por ejemplo en:
•
Ventas limitadas por producción
•
Ventas limitadas por mercado
•
Grandes niveles de producción
•
Alto consumo de materia prima
•
Calidad del producto que excede especificaciones
•
Perdida de compuestos valiosos con los desechos
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•
Alto costo de la Mano de Obra
•
Etc.
Normalmente dichas oportunidades de realizar estudios de optimización pueden
detectarse mediante diversas evaluaciones como:
•
Evaluar registros de Beneficios y Perdidas
•
Evaluar registros de operaciones en forma periódica
•
Etc.
XII.3 APLICACIONES DE OPTIMIZACION EN INGENIERIA
Los métodos de optimización encuentran aplicación en todas las ramas de la
ingeniería, fundamentalmente en las cuatro áreas siguientes:
1. Diseño de componentes o sistemas totales
2. Planificación y análisis de operaciones existentes
3. Análisis ingenieril y reducción de datos
4. Control de sistemas dinámicos
Es muy importante remarcar que la aplicación de los métodos de optimización en
diseño y operación, es una herramienta de significativa importancia, pero constituye
una etapa mas en el proceso global de lograr un diseño optimo o una operación
eficiente.
Por lo general el proceso global es un ciclo iterativo que incluye:
1. Síntesis o definición de la estructura de los sistemas
2. Formulación de los modelos
3. Optimización de los parámetros del modelo
4. Análisis de la solución obtenida
Por lo tanto, y sin desconocer el rol predominante que desempeña la optimización en el
diseño de procesos, es necesario remarcar que la misma debe usarse en forma
inteligente y exhaustiva por un ingeniero que posee un total entendimiento de los
fenómenos que ocurren el sistema bajo estudio. Sin el juicio del Ingeniero, de nada
sirve el formalismo matemático y es muy difícil sacar rédito de los resultados obtenidos.
Veamos a continuación ejemplos clásicos de aplicación en el campo de la ingeniería.
Desarrollamos uno de ellos, y el otro será referenciado para consulta del lector.
1. Diseño de un Sistema de Suministro de Oxigeno
2. Análisis y Reducción de Datos
Ejemplos de Aplicación
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1. Diseño de un Sistema de Suministro de Oxigeno:
Venteo
Compresor
Planta de Oxigeno
Horno de
Reducción
Tanque
Se desea diseñar un sistema optimo de suministro de oxigeno, desde una planta
productora de oxigeno a un Horno de Reducción. A fin de compatibilizar la planta de
oxigeno con el horno, se utiliza un Compresor y un tanque de almacenamiento que
actúa como pulmón del sistema.
ƒ
Se conoce que el horno trabaja en forma cíclica
ƒ
Las demanda de oxigeno es cíclica
ƒ
La planta de oxigeno entrega el gas a un caudal fijo
ƒ
Se dispone de compresor, tanque pulmón y sistema de venteo de oxigeno
ƒ
La demanda de oxigeno es la siguiente:
D = D0 para 0 ≤ t ≤ t1
D = D1 para t1 ≤ t ≤ t2
Gráficamente:
Demanda de
O2 (lb/hr
D1
F
D0
0
t1
t2
Tiempo
A partir de las condiciones del problema vemos que tenemos las siguientes
posibilidades de Diseño:
1.
Capacidad de almacenaje máximo = D1. Durante la baja demanda se ventea
el oxigeno
2.
Diseñar la planta para almacenar la cantidad demandada durante el ciclo.
Durante la baja demanda almacenar, para usar durante la alta demanda
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3.
Se pueden usar diseños intermedios
Veamos ahora la Formulación del Problema a fin de encontrar el Diseño Optimo
Formulación:
ƒ
Perfomance: para caracterizar el diseño se considera en la función objetivo
o Costo de producción de oxigeno (fijo y variable)
o Costo del compresor (fijo y variable)
o Costo fijo del tanque de almacenamiento
ƒ
Variables Independientes claves que definen el diseño:
o Producción de la planta de Oxigeno. F(lb O2/hr)
o Capacidad del compresor y tanque de almacenamiento: H (hp), V (ft3)
o Máxima presión del tanque P (psía)
ƒ
Modelo: consiste del conjunto de relaciones que vinculan las variables
independientes claves de diseño
Definimos: Imax = Cantidad máxima de Oxigeno que debe ser almacenada. Por la
Ley de los Gases:
V=
Im ax RT
⋅
⋅z
M
P
De la figura de demanda, la máxima cantidad de oxigeno que debe almacenarse es
el área bajo la curva:
Imax = (D1-F). (t2 – t1)
Sustituyendo:
V=
(D1 - F). (t 2 - t 1 ) RT
.
.z
M
P
El compresor se debe diseñar para manejar un caudal de [(D1-F). (t2 – t1)]/t1 y
comprimir el gas a la máxima presión P.
Suponiendo compresión del gas ideal isotérmico. La capacidad del compresor será
H, y esta dada por:
H=
(D1 − F)(t 2 − t 1 ) RT  P 
.
. ln 
t1
k1k 2  P0 
k1 = Factor de conversión de unidades
k2 = Eficiencia del compresor
P0 = Presión a la cual se entrega el oxigeno al compresor
Además el caudal de oxigeno de la planta (F) debe ser suficiente para satisfacer la
demanda total de oxigeno. Luego:
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F
D0 t 1 + D1.(t 2 − t 1 )
t1
≥
También la máxima presión del tanque (P) debe ser mayor que la presión del
oxigeno entregado por la planta (P0)
P ≥ P0
Para obtener el criterio de perfomance, se deben considerar los siguientes costos:
-
Costo Anual de la Planta de Oxigeno:
C1 ($/año) = a1 + a2 . F
a1 y a2: constantes (combustible, labor, agua, etc.)
-
Costo de Capital del tanque de Almacenamiento:
C2 ($) = b1 Vb2
-
Costo de Capital del Compresor:
C3 ($) = b3 Vb4
El costo del compresor será: (b5. t1 H)
El Costo Anual Total será:
CAT = a1 + a2 .F + d [b1 Vb2 + b3 Vb4 ] + N. b5. t1 H
Donde: N = Numero de ciclos por año
d = Factor de Costo
Luego el Problema completo de Optimización es el siguiente:
Min. CAT (F,V,H, P)
(1)
Sujeto a:
V=
(D1 - F). (t 2 - t 1 ) RT
.z
.
P
M
(2)
H=
(D1 − F)(t 2 − t 1 ) RT  P 
.
. ln 
t1
k1k 2  P0 
(3)
F
≥
D0 t 1 + D1.(t 2 − t 1 )
t1
P ≥ P0
(4)
(5)
La solución estará influenciada también por parámetros de ciclos como: N, D0, D1, t1, t2
; parámetros de costo como: a1, a2, b1, -b5, d; y parámetros físicos como T, P0, k2, z, M.
Alternativamente, se puede resolver eliminando V y H de (2) y (3) en (1), reduciendo el
problema a dos variables.
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Luego graficamos el contorno de (1) en el plano de F vs. P. Imponemos las
desigualdades (restricciones) (4) y (5), y determinamos del grafico el mínimo punto.
Dicha solución es por demás laboriosa, pero lograble.
2. Análisis y Reducción de Datos
Supongamos que una determinada variable (y) es dependiente de otra variable (x),
y ambas están relacionadas entre sí por la siguiente función: y = f(x, θ1, θ2) que
depende de los dos parámetros θ1 y θ2. A fin de determinar los valores correctos de
θ1 y θ2 , corremos una serie de experimentos, mediante los cuales ajustamos la
variable independiente (x), y medimos la variable (y) resultante.
Como resultado de una serie N de experimentos, resultará parar el rango de interés
de x, un conjunto de pares (y, x), cuyos valores serán (yi, xi) con i = 1,.., N. A partir
de estos datos podemos intentar aproximar nuestra función que mejor ajuste los
mismos, mediante la manipulación de θ1 y θ2 hasta lograr un “buen ajuste”. La
medida más común de buen ajuste es el Criterio de Mínimos Cuadrados, que
para este caso lo podemos expresar como:
N
L(θ1 , θ 2 ) = ∑ [y i − f (x i , θ1 , θ 2 )]2
i =1
La diferencia yi - f(xi, θ1, θ2) entre los valores experimentales yi y los predichos f(xi,
θ1, θ2) mide la aproximación del modelo a los datos experimentales, y se denomina
residuo. La suma de los cuadrados de los residuos para todos los valores
experimentales indica la bondad del ajuste. Obviamente si L(θ1, θ2) es igual a cero,
el ajuste será perfecto. De esta forma el problema de aproximación puede ser
planteado como una optimización en la cual L(θ1, θ2) es minimizada mediante una
elección adecuada de θ1, y θ2.
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XII.4 ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
Los ejemplos de aplicación vistos anteriormente poseen un elemento en común, y es el
hecho que los mismos se pueden expresar como la minimización de una Función de
Valor Real f(x) donde x es un vector de parámetros de n componentes: x = (x1,
x2,.....xN), cuyos valores están restringidos a satisfacer un numero de ecuaciones de
valor real hk(x) = 0, un conjunto de desigualdades gi(x) ≥ 0, y los limites de las variables
xiU ≥ xi ≥ xiL. Luego de aquí en adelante denominaremos a cada termino del problema
de optimización como:
•
La función f(x) es la Función Objetivo
•
Las ecuaciones hk(x) son las Restricciones de Igualdad
•
Las ecuaciones gi(x) son las Restricciones de Desigualdad
Luego el Problema General de Optimización posee la siguiente estructura:
Minimice
f(x)
Sujeto a:
hk(x) = 0
k = 1,...., K
gi(x) ≥ 0
j = 1,....., J
xiU ≥ xi ≥ xiL
i = 1,....., N
y se denomina Problema de Optimización Restringido
Cuando el problema no es restringido:
J=K=0
xiU = - xiL = Infinito, para i = 1,....., N
y se denomina Problema de Optimización No Restringido.
Además los problemas de optimización pueden ser clasificados de acuerdo a la
estructura de las funciones: f, hk, gi, y sobre la dimensionalidad de x.
Así, si x es un vector de un componente y no existen restricciones, el problema se
llama “No Restringido en una Variable”, que es el más simple de los problemas y tal
vez uno de los más importantes por la frecuencia con que se presenta.
En problemas restringidos, cuando hk y gi son todas lineales, se llama “Problema
Linealmente Restringido”. Además dentro de esta clase de problemas encontramos los
que tienen f lineal y f no lineal.
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Los problemas donde todas las funciones son lineales y con variables continuas, se
llaman “Programación Lineal”, y cuando las variables son enteras, “Programación
Entera”.
Cuando la Función Objetivo es no lineal y las restricciones lineales, se llaman
“Programas No Lineales Linealmente Restringidos. Además si la F.O. no lineal es
cuadrática, se llama “Programa Cuadrático”. Existen además otras clasificaciones de
acuerdo a la forma y estructura de las funciones objetivo y de las restricciones. Por lo
general los problemas de procesos son del tipo “Continuos No Lineales” y los más
complejos del tipo “Mixto Enteros No Lineales”. No obstante, muchos de los problemas
cotidianos de optimización en procesos pueden abordarse o adecuarse a Programas
Lineales.
XII.5 PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
Una vez formulado el problema de optimización, se debe proceder a la selección del
método más adecuado para resolverlo. Para ello se deben tener en cuenta diversos
factores que, según sus características nos definirán en cierta forma cual es el método
o algoritmo más adecuado para su resolución. Dichos factores son los siguientes:
•
Características de la Función Objetivo:
•
•
Explicita
No explicita
•
•
Lineal
No Lineal
•
•
•
Smooth
No smooth
Naturaleza de las Restricciones:
•
•
Restricciones de Igualdad
•
•
Lineal
Nolineal
•
•
Lineal
Nolineal
Restricciones de Desigualdad
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•
Numero de Variables Independientes:
•
•
Una Variable
Múltiples Variables
A modo de Resumen podemos sintetizar la Etapas en la Resolución de un Problema
de Optimización como:
1.
Analizar el proceso o sistema en sí mismo, de manera tal que las variables,
limites y características de interés sean definidas. Hacer una lista de todas las
variables de interés.
2.
Determinar el criterio de optimización y especificar la función objetivo en termino
de variables y coeficientes. Quedara así un modelo de Perfomance del sistema o
proceso.
3.
Desarrollar mediante expresiones matemáticas un Modelo Valido que relacione
variables de entrada – salida del proceso y coeficientes o datos del proceso.
Incluir igualdades y desigualdades. Usar principios físicos bien conocidos
(Balances de Masa y Energía, Relaciones Empíricas o Fenomenológicas, Leyes
Generales, etc.). Identificar las Variables Independientes y Grados de Libertad.
4.
Si el problema es demasiado grande:
•
Particionarlo en partes más manejables, o
•
Simplificar Función Objetivo y Restricciones
5.
Aplicar una técnica de Optimización adecuada al modelo
6.
Análisis de Sensibilidad de la Solución ante perturbaciones
14
Bibliografía:
•
REKLAITIS, G. V.; RAVINDRAN, A. RAGSDELL, K. M., "Enginnering Optimization.
Methods and Applications", John Wiley & Sons. 1983.
•
EDGAR & HINMENBLAU, "Optimization of Chemical Process", Mc Graw Hill, 1988
•
BIEGLER, L. T.; GROSSMANN, I. E. WESTWRBERG, A.W., "Systematic Methods
of Chemical Process Design", Prentice Hall International Series in Industrial and
Systems Engineering. 1997.
15