Porcentajes, Progresiones Geométricas y Matemática Financiera

T.6: Porcentajes, Progresiones Geométricas y Matemática Financiera
6.1 Porcentajes. Aumentos y disminuciones.
 Expresiones de la parte respecto del total: se pueden expresar en forma de fracción, tanto por uno o
porcentaje.
Ejemplo: Lo que suponen 250 euros respecto de un total de 800 euros.
Como fracción:
Como tanto por uno:
Como porcentaje:

Porcentajes: expresan la razón entre dos magnitudes , indicando la cantidad que le corresponde a una
de ellas cuando la otra es 100 exactamente.
Ejemplo: Si el 32% de los alumnos estudian francés, significa que por cada 100 alumnos 32
estudian francés.
Para calcular el porcentaje x% de una cantidad C se realizará la operación:
Ejemplo: El 4% de 12600 será:

Aumentos porcentuales: Para aumentar una cantidad C en un x% se suma a dicha cantidad el
resultado del porcentaje:
Ejemplo: Si queremos aumentar un 5% la cantidad de 600:

Cantidades iniciales: Para calcular la cantidad inicial
a la que le hemos aumentado un x%,
conociendo la cantidad final , despejaremos de la fórmula anterior:
→
Ejemplo: Sabemos que el precio con IVA de un producto ha sido 387,2 euros y que el IVA
ascendía al 21%, ¿cuánto era el precio sin IVA?.
y el IVA ha ascendido a

Disminuciones porcentuales: Para disminuir una cantidad C en un x% se resta a dicha cantidad el
resultado del porcentaje:
Ejemplo: Si queremos disminuir un 4% la cantidad de 500:

Cantidades iniciales: Para calcular la cantidad inicial
a la que le hemos disminuido un x%,
conociendo la cantidad final , despejaremos de la fórmula anterior:
→
Ejemplo: Sabemos que el beneficio después de impuestos ha sido 530 y que el impuesto ha
sido del 20%, ¿cuánto era el beneficio antes de impuestos?.
y el impuesto ha ascendido a

Ejercicio 1:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcula el 2,5% de la cantidad 3700
Aumenta un 6% la cantidad de 12125.
Disminuye un 42% la cantidad de 2100.
Si hemos aumentado un 5% una cantidad y tenemos 208650, ¿cuál era la cantidad inicial?
Si hemos disminuido un 3,5% una cantidad y tenemos 38500, ¿cuál era la cantidad inicial?
6.2 Progresión geométrica
 Progresión geométrica: es una sucesión en la que cada término es igual al anterior multiplicado por
una cantidad fija, que llamamos razón de la progresión.
Ejemplo:
es una progresión geométrica con
y
Para hallar no tenemos más que dividir un término entre el anterior:

Término general: La fórmula para poder hallar cualquier término es:
Ejemplo:
y
el término

Suma de los n primeros términos:
Ejemplo:

y
Halla
Ejercicio 2:
Escribe tres números positivos comprendidos entre
y
para que los cinco estén en progresión
geométrica. Halla la suma de los 6 primeros términos de esta progresión.
6.3 Interés Simple
Si una cantidad está colocada a interés simple, los intereses producidos en cada período no se suman al capital
y, por tanto, no generan intereses en el siguiente período, es decir, los intereses no son productivos.
Denominaremos:
o
: Al capital inicial.
o : A los intereses, que son los beneficios producidos al final del plazo.
o
: Es el tipo de interés en %, o sea, el interés que producirían 100 euros.
o
: Al capital final, y es la suma del capital inicial más los intereses.
Un capital inicial colocado a un interés simple anual durante un periodo de años consigue el siguiente capital
final:

Ejercicio 3:
Se coloca un capital de 2000 euros a un interés simple anual del 5% durante 4 años. ¿Qué intereses se
generarán? ¿Cuál será el capital final?

Ejercicio 4:
Un capital colocado a un interés simple durante seis años ha pasado de 3500 euros a 4445 euros. ¿A
qué tipo de interés anual ha estado generando los intereses?
6.4 Interés Compuesto

Cuando una cantidad se deposita a interés compuesto, cada cierto período, llamado período de capitalización,
los intereses se incorporan automáticamente al capital y generan nuevos intereses.
Período de capitalización de un año: El capital final generado será:

Período de capitalización diferente al año: El capital final generado por un interés compuesto con capitalización
k veces al año durante t años será:

Ejercicio 5:
Se depositan 7500 euros a un interés compuesto del 4% anual durante 3 años. Calcula el capital final si
el período de capitalización es de: a) un año b) un trimestre c) un mes

Ejercicio 6:
Un capital colocado al 4,25% anual de interés compuesto se ha convertido en seis años en 6418,39
euros. ¿De qué capital se trata?