CINEMATICA - aulafqjmondemina

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TEMA 1
CINEMÁTICA
1- INTRODUCCIÓN
La cinemática, es la parte de la física que estudia el movimiento de los
cuerpos, sin tener en cuenta la causa que los produce.
Se define el movimiento, como el cambio en la posición de un cuerpo, a lo
largo del tiempo, respecto de un sistema de referencia fijo. (A todo
cuerpo en movimiento le llamaremos móvil)
1.1 -Sistema de referencia: un S. de R. está formado, por un conjunto de
ejes de coordenadas y un punto llamado origen de coordenadas (punto 0)
S. de R. unidimensional: formado por un solo eje de coordenadas (eje X )
y un punto origen. Se utiliza para estudiar movimientos en una sola
dimensión: es el caso de los movimientos rectilíneos. Ej: un coche que se
mueve por una carretera recta.

v
O
S.
de
R.
X
bidimensional: formado por dos ejes de coordenadas
perpendiculares entre sí (ejes X e Y) y el punto origen. Se utiliza para
estudiar movimientos en dos dimensiones. Ej: el movimiento de una mosca
sobre la superficie de un cristal.
2
S. de R. tridimensional: formado por tres ejes perpendiculares entre sí
(ejes X, Y, Z) y el punto origen. Se utiliza para estudiar movimientos en
tres dimensiones. Ej: el vuelo de una mosca
Y
Y
O
X
O
X
Z
1.2- Magnitudes escalares y vectoriales: una magnitud es escalar,
cuando podemos expresar su valor, mediante un número y sus unidades.
Son magnitudes escalares, la masa (5 kg), el volumen (3 m3), la longitud
(6,7 m), el tiempo (4 s) etc.
Una magnitud es vectorial, cuando para definirla, necesitamos indicar
además de un número que indica su valor, una dirección y un sentido. Son
magnitudes vectoriales, la velocidad, la aceleración, el peso etc.
Una magnitud vectorial se
representa mediante un vector (segmento
orientado) y se simboliza con una letra con una flecha encima

v
( ).
Un
vector presenta las siguientes características:
- Módulo o intensidad: viene dado por la longitud del vector y nos
indica el valor de la magnitud. Dado el vector
simboliza como

v,


v , o simplemente v . Es decir, v  v
su módulo se
- Punto de aplicación: punto donde se aplica el vector.
- Dirección: viene dada por la dirección de la recta que contiene el
vector.
3
- Sentido: viene dado por una punta de flecha en uno de los extremos.

v
Punto de
aplicación
Dirección
Vector
velocidad
Sentido
V: módulo
2- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO
2.1- Relatividad del movimiento: el movimiento es relativo, es decir,
dependiendo del sistema que se tome como referencia, las cosas se mueven
o no, y las trayectorias adoptan unas formas u otras.
Así, cuando circulamos en un coche y decimos: “Estamos en reposo
respecto al coche “, es cierto, y cuando decimos: “Nos movemos respecto
de la carretera “, también es cierto, ya que desde un punto de vista físico
no hay un sistema de referencia que sea mejor que otro. En la práctica se
elige el S. de R. que haga los cálculos más sencillos.
2.2- Trayectoria: es la línea que resulta de unir los sucesivos puntos, por
los que pasa el cuerpo en su movimiento.
En función de la trayectoria, los movimientos se clasifican en:
- Rectilíneos: la trayectoria es una línea recta.
- Curvilíneos: la trayectoria es una línea curva. Pueden ser circulares,
elípticos, parabólicos o de curvatura irregular.
2.3- Posición: es el lugar que ocupa el móvil en cada instante de tiempo,
respecto del origen del S.de R. Es una magnitud vectorial, y viene dada por
el vector que une el origen del S.de R. y un punto sobre la trayectoria.
4
El vector posición se simboliza como


r .El módulo de r , es decir r , es la
distancia entre el origen del S. de R. y un punto sobre la trayectoria.

En los movimientos en una dimensión (rectilíneos), el vector posición r
viene dado por el vector

x , cuyo módulo es el valor de la coordenada x
si

el movimiento es horizontal; es decir r  x ; o por el vector y , cuyo
módulo es la coordenada y , si el movimiento es vertical; es decir r  y
 
r x
O
En los movimientos en dos dimensiones,


X
X


r viene dado por dos coordenadas
x e y. Es decir, r  x  y
En los movimientos en tres dimensiones,
   
coordenadas x, y, z. Es decir, r  x  y  z

y
(x,y,z)

y
X

r viene
dado por tres
y

r
(x,y)

r

x

z
y
o

x
x
z
En este curso estudiaremos los movimientos rectilíneos (es decir en una
dimensión), en los que la posición del móvil viene dada por el valor de la
coordenada x, en el movimiento horizontal, y por la coordenada y en el
movimiento vertical.
Criterio de signos para la posición: en el movimiento horizontal, para
valores a la derecha del origen, x positivo; para valores a la izquierda del
origen x negativo. En el movimiento vertical, para valores por encima del
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origen, y positivo; para valores por debajo del origen, y negativo.
2.4- Distancia recorrida y desplazamiento:
Distancia recorrida: es la longitud de la trayectoria descrita por el móvil.
Se representa con la letra s.
En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida, viene dada por la
diferencia entre la posición final (x) y la posición inicial (x0), en valor
absoluto, (a esta diferencia entre posiciones también se le llama variación
en la posición, y se representa por Δx). (La letra griega Δ significa
variación o incremento).
s   x  x  x0
s

v
X0
O
X
X

Desplazamiento: es una magnitud vectorial. Es el vector  r , que une la
posición inicial

r0




con la posición final r . Se cumple que: r  r  r0
En el movimiento rectilíneo sería:
  
x  x  x0
En los movimientos rectilíneos el módulo del vector desplazamiento, x
coincide con la distancia recorrida s; es decir x  s ; (en los movimientos
curvilíneos no coincide)
6

x
O

x0
X0

x
Y
X
s

x0

x

x
O
X
Actividades:
1- ¿Se podría estudiar el movimiento de un cuerpo, sin elegir previamente
un S.de R?
2- Un ciclista recorre una curva semicircular de 50 m de radio. ¿Cuál es la
distancia recorrida s, y el desplazamiento x ? ¿Valen lo mismo? ¿Por qué?
Dibújalo.
3- La pizarra está en reposo respecto a la pared, pero se mueve respecto a
la Luna. ¿Realmente se mueve o no?
4- Un móvil pasa de la posición inicial de -400 m, hasta la posición final de
13 km, siguiendo una trayectoria rectilínea. ¿Cuál es el espacio recorrido?
Dibuja el vector desplazamiento.
7
3- LA VELOCIDAD
La velocidad

v,
es una magnitud vectorial. Se define como el cociente

entre el vector desplazamiento x y el tiempo transcurrido t .
  
 x x  x0
x x  x0 x  x0
v



El módulo de la velocidad es: v 
t
t  t0
t t  t0
t
t 0  0 , pues tomamos el origen del tiempo en x0
Para intervalos de tiempo grandes se trata de una velocidad media. Cuando
el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a cero) tenemos la
velocidad instantánea, en cada punto de la trayectoria.
En el movimiento rectilíneo la dirección de

v tiene la dirección de la recta.
En el movimiento curvilíneo la velocidad tiene la dirección de la tangente a
la curva en cada punto.

v

v
0
y

v

v
x
0
x
Definimos la rapidez o celeridad de un móvil como el cociente entre la
distancia recorrida y el tiempo empleado. Es una magnitud escalar.
Rapidez( m) 
x  x0
x  x0
s


t
t  t0
t
Para intervalos de tiempo grandes
tenemos la rapidez media. Si el intervalo de tiempo se hace muy pequeño
(tiende a cero), tenemos la rapidez instantánea, en cada punto de la
trayectoria.
8
En el movimiento rectilíneo el módulo de la velocidad (media o instantánea)
coincide con la rapidez (media o instantánea). En el movimiento curvilíneo
solo coinciden el módulo de la velocidad y la rapidez instantáneas, pero no
la velocidad y la rapidez medias.
Criterio de signos para la velocidad: si el vector velocidad apunta hacia la
derecha o hacia arriba la velocidad es positiva y si apunta hacia la
izquierda o hacia abajo velocidad negativa.
y
V (+)
V (+)
V (-)
0
V (-)
X
Unidades de velocidad: la unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Otra
unidad muy utilizada es el km/h.
Actividades:
1- Realiza las siguientes transformaciones: 80
km
m
m
km
 ;15 
h
s
s
h
2- Una bicicleta recorre 20 km en media hora. ¿Cuál es su rapidez media
en unidades del S.I.?
3- Juan, que está sentado en el vagón de una noria, describe la
circunferencia con una rapidez media de 1 m/s en 2 minutos. ¿Cuánto vale
dicha circunferencia? ¿Qué altura tiene la noria?
9
4- En un laberinto, cuyos pasillos son todos lados de cuadrados de 3
metros de lado, Rosa ha descrito la trayectoria que se muestra en la
figura:
a) Si se tardan 1,2 segundos en recorrer cada
uno de los lados. ¿Cuánto tarda en recorrer
todo el laberinto?
b) Calcula, la rapidez media y la velocidad media
4- CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS SEGÚN LA VELOCIDAD
Según la velocidad, los movimientos se clasifican en:
- Movimientos
uniformes: son aquellos cuya velocidad permanece
constante. Como la velocidad es un vector ha de permanecer constante:
* Su módulo: es decir no varía su rapidez.
* Su dirección: por tanto, la trayectoria ha de ser una línea recta.
* Su sentido: el móvil no puede darse la vuelta.
- Movimientos variados (o acelerados): son aquellos cuya velocidad es
variable. De la velocidad puede variar:
* Su módulo: es el caso de móviles que se mueven aumentando o
disminuyendo su rapidez. Ej: el movimiento de caída libre.
* Su dirección: es el caso de los movimientos circulares y en los
curvilíneos en general.
10
* Su sentido: es el caso de los movimientos vibratorios de los cuerpos
elásticos.
5- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
En este movimiento la velocidad se mantiene constante, por lo que no
puede variar ni el módulo (rapidez), ni la dirección, ni el sentido del
movimiento. La trayectoria por tanto es una línea recta.
El módulo de la velocidad viene dado por:
v
x  x0
 x  x0  v  t  t0   x  x0  v  t  x  x0  v  t
t  t0
Ecuación del M.R.U.: nos permite calcular la posición del móvil x, en
cualquier instante, t conocidas la posición inicial xo y la velocidad v.
5.1- Representación gráfica del M.U.:
- Gráfica velocidad- tiempo (v-t): al ser la velocidad constante, la gráfica
v-t será una recta paralela al eje de los tiempos.
V (m/s)
V = constante
0
t (s)
11
- Gráfica posición-tiempo (x-t): resulta de representar la ecuación del
x  x0  v  t ,
movimiento
donde las variables son la posición final, x y el
tiempo, t. Se obtiene una recta que corta al eje de ordenadas (eje
vertical) en el punto x0 La pendiente de la recta nos da la velocidad v.
x (m)
Pendiente v 
x
x  x0
t
X0
Actividades:0
1-
t
t (s)
Representa la gráfica v-t que corresponde a un movimiento con
velocidad constante de 15 m/s
2- Representa la gráfica x-t que corresponde a la ecuación de movimiento
x  10  15  t
3- Un ciclista describe un M.R.U. con v = 5 m/s.
a) Si el cronómetro se pone en marcha, cuando pasa por la posición x =
200m, escribe la ecuación del movimiento del ciclista. b) ¿Cuál es su
posición cuando han transcurrido 25 segundos desde que se empezó a
medir el tiempo?
4- La ecuación de movimiento de un esquiador que desciende por una
pendiente es x  250  4  t , donde x se mide en metros y t en segundos: a)
¿Cuáles son su posición inicial y su velocidad. b) ¿Cuánto tiempo tarda en
llegar a la meta, que está en x = 1000 m?
5- Un autobús se desplaza por una carretera recta con una velocidad de
90 km/h. En el instante inicial se encuentra en el kilómetro 70: a) Escribe
12
la ecuación de su movimiento. b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de
media hora?
6- Se han medido las distintas posiciones de un atleta en distintos
instantes de tiempo. Los valores obtenidos se indican en la tabla:
x (m) 10 30 50 70 90 110 130 150
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
Representa gráficamente la posición frente al tiempo y determina
gráficamente la velocidad del corredor.
7- Un galgo se desplaza en línea recta con una velocidad de 90 km/h. Si en
el instante inicial su posición es 100 m y la carrera dura 20 s: a) Escribe la
ecuación del movimiento en unidades S.I. b) Calcula las posiciones
sucesivas que ocupa el galgo cada 4 segundos y rellena la tabla siguiente
con los valores obtenidos:
x (m)
t (s)
c) Representa gráficamente la posición frente al tiempo.
8- ¿En qué lugar se encontrará un móvil a los 25 minutos si su posición
inicial es de 3 km y su velocidad de 90 km/h? ¿Qué espacio habrá
recorrido en ese tiempo?
9- Indica las diferencias y semejanzas entre estos dos movimientos.
¿Podrías determinar la ecuación de cada uno?
x(m)
10
13
5
3
6
t(s)
10- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución
una moto a 108 Km/h. ¿Dónde y cuándo lo alcanzará?
11- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid.
Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus
velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que ambos coches salen
al mismo tiempo, calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué
distancia de Bilbao lo hacen?
6- LA ACELERACIÓN
Los movimientos acelerados son aquellos, en los que varía la velocidad.
Ej: el movimiento de caída libre de los cuerpos, el de un balón al golpearlo,
el movimiento de la Luna etc.
La aceleración es por tanto, la magnitud responsable de que se produzcan
cambios en la velocidad de los cuerpos. Se trata de una magnitud
vectorial, y se simboliza por,

a
Si el cambio se produce en el módulo de la velocidad, la aceleración que

provoca este cambio, se llama aceleración tangencial at . Si el cambio se
produce en la dirección de la velocidad, la aceleración responsable es la

aceleración normal, an
14
Aceleración

tangencial ( a t ): su módulo,
at
es la variación que
experimenta el módulo de la velocidad con el tiempo.
at 
v  v0
t  t0
La aceleración tangencial tiene la dirección del vector
velocidad.
Al igual que con la velocidad, podemos definir una aceleración tangencial
media y una instantánea. Cuando el incremento de tiempo es infinitamente
pequeño tenemos la aceleración instantánea.
La unidad de aceleración en el S.I.es el m/s2
Aceleración normal (o centrípeta)

a
( n ):
en los movimientos rectilíneos
tan solo puede haber aceleración tangencial. Sin embargo cuando la
trayectoria es una curva, aparece la aceleración normal, pues se produce
un cambio en la dirección de la velocidad.
Se define la aceleración normal, como el cambio que experimenta la
dirección de la velocidad en el tiempo.
Se denomina normal, porque es un vector perpendicular (normal) a la
trayectoria, dirigido hacia el centro de curvatura. Su módulo viene dado
por la ecuación:
v2
an 
r
v: módulo de la velocidad; r: radio de giro de la trayectoria
En el movimiento curvilíneo, pueden existir los dos tipos de aceleraciones,
tangencial y normal.

at

v

an

an
15

v

an

an

v
Un ejemplo de movimiento en el que se dan los dos tipos de aceleración,
sería el vuelo de una mosca. Ésta, en su vuelo, va variando tanto el módulo,
como la dirección de la velocidad.
Criterio de signos para la aceleración en los movimientos rectilíneos: si
el vector aceleración apunta hacia la derecha o hacia arriba, es positiva. Si
apunta hacia la izquierda o hacia abajo, negativa.
Y
a (+)
0
X
a (-)
0
a (+)
a (-)
Actividades:
1- Un móvil aumenta de 20 a 25 m/s su velocidad en 2,5 s, y otro de 42 a
57 m/s en 7,5 s. ¿Cuál ha acelerado más?
2- Un coche que circula por una carretera recta a 50 km/h acelera hasta
80 km/h en 5 s, velocidad que mantiene 10 s. A continuación frena y para
en 20 s. Dibuja la gráfica v-t del movimiento, calcula las dos aceleraciones,
y determina el espacio total recorrido.
16
3- Un vehículo toma una curva de 25 m de radio con una velocidad de 80
km/h. ¿Cuál ha sido la aceleración normal?
4- Determina e interpreta la aceleración del movimiento de la figura y
determina el espacio recorrido en los 6 primeros segundos.
v(m/s)
9
6
3
2
4
6
t(s)
7- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
En estos movimientos, varía de forma constante el módulo de la
velocidad, pero no varían ni la dirección ni el sentido (movimiento
rectilíneo). Por tanto la aceleración es constante.
Ecuación de la velocidad:
a
v  v0
 v  v0  a  t  t0  ; Si t0  0  v  v0  a  t 
t  t0
Esta ecuación, me permite calcular la velocidad
v en
v  v0  a  t
cada instante de
tiempo t , conocidas la velocidad inicial, v0 y la aceleración a .
Ecuación de la posición:
Deducción:
vm 
x  x0
 x  x0  v m  t
t
17
vm 
v  v0
v  v0  a  t
1
( Sustituyendo v  v0  a  t )  vm  0
 v0   a  t
2
2
2
1


x  x0  v m  t  x0   v0   a  t   t 
2


1
x  x0  v0  t   a  t 2
2
Esta ecuación, nos permite calcular la posición del móvil, en un instante t,
conocida su posición inicial, su velocidad inicial, y la aceleración.
Combinando matemáticamente las ecuaciones de velocidad y de la posición,
obtenemos una tercera ecuación del movimiento:
v2  v0  2  a  ( x  x0 )
2
7.1-Representación gráfica del M.R.U.A
- Gráfica aceleración-tiempo (a-t): como la aceleración es constante, se
obtiene una recta horizontal.
a(m/s2)
t(s)
18
- Gráfica velocidad-tiempo (v-t): es una recta con cierta pendiente, que
puede pasar o no por el origen. El valor de la pendiente de la recta es igual
a la aceleración.
v(m/s)
Pendiente a 
v
v  v0
t
V0
t(s)
- Gráfica posición-tiempo (x-t): es un tramo de parábola.
x(m)
t(s)
7.2- tipos especiales de M.R.U.A.: la caida libre y el lanzamiento
vertical
19
- La caída libre: es el movimiento de un cuerpo que se abandona a cierta
altura, sobre la superficie de la Tierra. Su velocidad inicial es nula. La

aceleración es la aceleración de la gravedad, g que es siempre un vector
dirigido hacia el centro de la tierra de módulo 9,8 m/s2. Como es un vector
dirigido hacia abajo, según el criterio de signos establecido se toma con
signo negativo, es decir g = - 9.8 m/s2
- El lanzamiento vertical: cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia
arriba, su velocidad inicial elevada, irá disminuyendo hasta detenerse (v =
0), para empezar a caer. La aceleración es la de la gravedad g = - 9,8 m/s2
Para ambos movimientos, tomamos como sistema de referencia un eje
vertical (eje Y) y como origen un punto en el suelo.

v  0; y  h
Y

g
h
h

v

g
v0 ; y0  0
y0
0
Caída libre
v  g t
1
0  h   g t2
2
v 2  2  g  0  h 
0
Lanzamiento vertical
0  v0  g  t
1
h  v0  t   g  t 2
2
2
0  v0  2  g  h
20
Actividades:
1-
¿Cuál es el valor de la aceleración de un corredor que aumenta su
velocidad de 10 m/s a 20 m/s en 10 s?
2- Un niño está sentado en un tiovivo moviéndose con velocidad de 15 m/s.
Si su distancia al eje del tiovivo es de 3 m, ¿cuál es su aceleración normal?
3-
Un vehículo que se desplaza a una velocidad de 33 m/s por una
autopista recta, ve un obstáculo y comienza a frenar. La gráfica v-t es la
siguiente:
a) ¿Cuál es su aceleración?
v(m/s)
33
b) ¿Qué distancia recorre hasta
detenerse?
4- Un coche arranca con una aceleración de 2 m/s2. ¿Qué velocidad habrá
13 t(s)15 s? Calcula la distancia que habrá recorrido en
alcanzado transcurridos
ese tiempo.
5- La ecuación de velocidad de un objeto que se mueve con M.R.U.A.es,
v  12  3  t (en unidades del S.I.). Calcula: a) la velocidad inicial. b) la
aceleración. c) la velocidad al cabo de 8 s. c) ¿en que instante la velocidad
es de 27 m/s? d) haz la gráfica v-t.
6- Un coche pasa de 0 a 100 km/h en 12 s. ¿Cuál es su aceleración? ¿Qqué
distancia habrá recorrido? Haz las gráficas a-t, v-t y x-t.
7-
Dada la ecuación del movimiento, x  5  2  t  3  t 2 Calcula la posición
inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Dibuja las gráficas v-t y x-t.
8- Se deja caer un objeto de 2 kg desde una cierta altura. Calcula la
velocidad y el espacio que habrá recorrido cuando hayan pasado 1, 2 y 3
segundos. Dibuja las gráficas a-t, v-t e y-t.
21
9- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
de 60 m/s. Calcula su velocidad a los 5 s y el tiempo que tardará en llegar a
su altura máxima.
8- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
El movimiento circular es el más sencillo de los movimientos curvilíneos.
El M.C.U. es el movimiento de un móvil, que recorre una trayectoria
circular con rapidez constante (recuerda que la rapidez es igual al módulo
de la velocidad). Sin embargo, sí varían la dirección y el sentido del vector

v
velocidad.
SB

v
SA
A
B

v

v
22
En la figura, tenemos un disco que hacemos girar con rapidez constante, en
el que hemos marcado dos puntos A y B. Cuando el disco efectúa un cuarto
de giro, el punto A recorre el arco SA y el punto B el arco mayor SB. Como
el tiempo transcurrido para cada punto en recorrer su arco es el mismo, la
velocidad lineal del punto B es mayor que la del punto A.
vA 
SA
S
; v B  B ; com o, S B  S A  v B  v A
t
t
Por tanto para un cuerpo que gira la velocidad lineal de sus puntos varía
según la distancia al centro de giro. A mayor distancia del centro de giro
mayor velocidad lineal y viceversa.
¿Cómo expresar entonces la velocidad de giro del disco?
Para ello se introduce la velocidad angular ω, que se define como el ángulo
barrido en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el rad/s. También
se suele utilizar como unidad, revoluciones/minuto ó r.p.m.

    0    0


   0    t
t
t  t0
t
;
  Ángulo barrido: su unidad
en el S.I. es el radián (rad). Definimos el radián como el ángulo cuyo arco
es igual al radio. El ángulo también se mide en grados sexagesimales. La
equivalencia entre grados y radianes es:
Relación entre el ángulo barrido, el arco y el radio:
 
S 2   R

 2   rad ; una circunferencia completa, que es un ángulo
R
R
de 360 son 2π rad. Por tanto, 1 rad 
0
3600
 5701744
2 
Relación entre la velocidad lineal (v) y la velocidad angular (w):
Angulo 
Arco
S
    S  R  
Radio
R
23
Como , v 
S
R  
v
 v  Rw
t
t
Periodo (T): es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta completa.
Su unidad S.I. es el segundo.
Frecuencia (f): es el número de vueltas que da el móvil en un segundo. Su
unidad S.I. es el hercio (Hz) ;
vueltas ciclo

 Hz
s
s
Periodo y frecuencia se relacionan por la fórmula: f 
1
T
Aceleración centrípeta (o normal): hemos visto que en el movimiento
circular varía la dirección de la velocidad. El responsable de esta variación,
es una aceleración llamada aceleración centrípeta (o normal). Se trata de
un vector perpendicular a la trayectoria, dirigido hacia el centro de la
circunferencia. Su módulo viene dado por:
v2
 2  R2
ac 
 ac 
 ac   2  R
R
R
Actividades:
1- Realiza las transformaciones:
45r. p.m.  45
28
45 r. p.m. 
rad
rad
; 28
 r. p.m.
s
s
rev
rev 2rad 1 min 45  2 rad
rad
 45



 1,5
min
min 1rev
60s
60
s
s
rad 60s 1rev
28  60 rev
rev



 840
 840r. p.m.
s 1 min 2rad
2 min
min
24
2- Una rueda gira a 0,5 rad/s ¿Qué ángulo habrá girado en 1 min? Expresa
el valor de w en r.p.m.
3- Una rueda gira a razón de 50 r.p.m. ¿Cuál será su w en rad/s? ¿Cuál
será la velocidad lineal de un punto de su periferia situado a 20 cm del eje
de giro?
4- Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación y la velocidad
lineal de un punto del ecuador. (Dato: la Tierra da una vuelta completa en
24 horas. Radio de la Tierra =
5- El radio de las ruedes de un coche que circula a 108 km/h es 15,9 cm.
¿Cuántas vueltas dará una rueda en 1 km? Calcula la w de las ruedas en
r.p.m. y en rad/s
6-
Las aspas de un ventilador, de radio 25cm giran con w =600 r.p.m.
Calcula: a) la distancia angular que habrán recorrido en 1 min, y los metros
que habrá recorrido un punto del extremo de una pala. b) la velocidad lineal
de un punto a 5 cm del eje de giro. c) el periodo y la frecuencia del
movimiento de las aspas.
25
PROBLEMAS – CINEMÁTICA
A- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
1. Pasar de unidades las siguientes velocidades:
a) 36 km/h a m/s.
b) 10 m/s a km/h.
c) 30 km/min a cm/s.
d) 50 m/min a km/h.
2- Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con
una velocidad media de 90 Km/h. ¿A qué hora llegará a su destino?
Sol: a las dos de la tarde.
3- Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad. b) ¿Cuántos
kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?
Sol: a) 13,6 m/s; b) 147 km
4- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h
para recorrer una distancia de 25.000 m?
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Sol: 20 min
5- En una prueba de 3000 metros obstáculos, el vencedor invirtió en el
recorrido 6 minutos y 40 segundos. El último clasificado cruzó la meta 23
segundos después. Calcula la velocidad media del primer y último
clasificado.
Sol: vm1=7,5 m/s; vm2=7,09 m/s
6- Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía,
¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de
330 m/s?
Sol: 6,2 s
7- La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000
km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador.
a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?
b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?
Sol: a) la luz b) 151,5149 s
8- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la
luz es de 300.000 km/s y el Sol se encuentra a 150.000.000 km de
distancia.
Sol: 500 s
9- Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del
observador y de la pared, se hace un disparo; ¿al cabo de cuántos segundos
percibirá el observador: a) el sonido directo; b) el eco? Velocidad del
sonido 340 m/s.
Sol: el sonido directo a 0,75 s, y el del eco a 2,25 s.
10- Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad
constante. En el tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son
x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular: a) ¿a qué velocidad se desplaza el auto?
b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?
Sol: a) 40 m/s b) 120 m
27
11- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la
luz es de 300.000 km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de
distancia. Sol: 8,3 min
12- Dos ciudades distan entre sí 5 km. y las une una carretera totalmente
recta. Si de la primera ciudad parte un ciclista con una velocidad de 36
km/h y de la otra ciudad y al encuentro del primer ciclista parte otro
ciclista con una velocidad de900 m/min. Calcular:
a) El tiempo que tardan en encontrarse los ciclistas.
b) La distancia entre el punto de encuentro y la primera ciudad.
13- Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que
lo ve, sale detrás de él tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de
cuánto tiempo lo alcanzará?
Sol: 30 minutos.
14- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid.
Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus
velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao
salió hora y media más tarde, calcular: a) Tiempo que tardan en
encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen?
Sol: tardan en encontrarse 2,5 horas; a 195 km de Bilbao.
B- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
15- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar
en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué
espacio recorrió en esos 30 s?
Sol: a) 19,6 m/s2; b) 8820 m
16- Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante
hasta alcanzar una velocidad de 36 km / h en 10 s. a) ¿Cuánto vale la
aceleración?; b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?
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Sol: a) 1 m/s2; b) 50 m
17- Un coche está parado en un semáforo, cuando se pone el semáforo en
verde inicia el movimiento con una aceleración constante de 1 m/s2
durante 6 s. Suponiendo que su trayectoria es recta. Calcular:
a) El espacio recorrido por el coche en ese tiempo.
b) La velocidad que adquiere el coche después de ese tiempo.
18- Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos
durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
Sol: a) v0=32 m/s; b) a=-1,28 m/s2
19- Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que
puedan despegar con una velocidad de 72 m / s. Estos aviones pueden
acelerar uniformemente a razón de 4 m / s2. a) ¿Cuánto tiempo tardarán
los aviones en adquirir la velocidad de despegue? b) ¿Cuál debe ser la
longitud mínima de la pista de despegue?
Sol: a) 18 s; b) 648 m
120- La aceleración de un móvil es constante y tiene como valor 40 cm/s2.
Si en un cierto instante el valor de la velocidad es de 6 m/s, ¿cuál es su
valor 2 minutos después?
Sol: v=2886 m/s
21- Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al
aterrizar. Suponiendo que la deceleración es constante, calcular:
a) la deceleración de la pista si aterriza a 100 km/h;
b) el tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó;
c) el espacio que recorre en los 10 primeros segundos.
Sol: a) a = - 0,32 m/s2; b) t = 86,8 s; c) x = 261,8 m
22- La velocidad de un móvil viene dada en m/s por la ecuación v=225-5t
con el tiempo t en segundos. Determinar:
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a) la velocidad en el momento en que empieza a contar el tiempo.
b) la velocidad que lleva en t=5 s.
c) el momento en que la velocidad es nula.
Sol: a) v (t=0) = 225 m/s b), v (t=5) = 200 m/s, c) t=45 s
23- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de
50 m/s. Calcular:
a) la altura máxima alcanzada.
b) el tiempo que tarda en alcanzar esa altura.
c) la velocidad que tiene al llegar al suelo y el tiempo que tarda en caer (se
desprecia la resistencia del aíre).
Sol: a) 127,55 m; b) 5,1 s; c) v=-50 m/s; t=10,2 s
24- Desde la azotea de un edificio de 42 metros de altura, dejamos caer
un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con
la que lo hace.
Sol: t=2,93 s v=-28,7 m/s
25- Una piedra cae libremente en el vacío. Calcula:
a) La distancia recorrida por la piedra durante los primeros 5 segundos de
caída. b) La distancia recorrida por la piedra durante los 5 segundos
siguientes.
Sol: a) 122,5 m b) 367,5 m
26- Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial
de 7 m/s.
a) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo
alcanzará el suelo?
e) ¿Con qué velocidad lo hará?
Sol: a) 37 m/s b) 66 m c) 18,14 m/s d) 5,7 s e) 63,63 m/s
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27- Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la
altura máxima?
Sol: 2,5 s
28- Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcula:
a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó?
Sol: a) 10 m/s b) 5 m
29- Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una
velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s?
b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
Sol: a) 75 m/s b) 280 m
30- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de
25 m/s, ¿qué altura alcanzará? Sol: 31,25 m
31- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira un objeto
hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del
aire. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad que
posee al llegar al suelo.
32- Un alumno se encuentra en una ventana de la segunda plata del Colegio
que se encuentra situada a 8 m sobre el patio. Un alumno lanza una pelota
desde el patio y hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Si se desprecia
la resistencia del aire. Calcular:
a) La altura máxima que alcanza la pelota, medida desde el patio.
b) El tiempo que tarda, el alumno, en ver pasar la pelota, por delante de la
ventana, contado desde el momento del lanzamiento.
c) La velocidad que tendrá la pelota en el momento que el alumno la ver
pasar por delante de la ventana.
C- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
31
33- Calcula la velocidad angular de una rueda que gira describiendo un
ángulo de 2 rad en 10 s. ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de la
rueda situado a 30 cm de su eje de giro?
34- Una rueda gira describiendo un ángulo de 900 en 1 min. Calcula su
velocidad angular. Si el radio de la rueda es de 15 cm calcula la velocidad
lineal de un punto de su periferia.
35- Calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta un móvil que se
mueve con M.C.U. con w = 10 rad/s. ¿Cuántas vueltas completas habrá
dado en 35 s?
36- Un cochecito da vueltas por una pista circular, de forma que recorre
1m de pista en 10s. El radio de la pista es de 50cm. Calcula: a) ¿Cuál es su
velocidad lineal?, b) ¿Cuál es la velocidad angular?, c) ¿Cuántas vueltas da
en 1 min?
37- Calcula el período y la frecuencia de un objeto que describe un M.C.U.
con una w = 500 r.p.m
38- Una rueda de un coche, de 35 cm de radio, gira con una frecuencia de
15Hz. Calcula: a) la velocidad angular de la rueda, b) ¿Cuánto tiempo tarda
la rueda en dar una vuelta completa?, c) ¿A qué velocidad lineal se desplaza
el coche?
Opcionales:
1- Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde
arranca con aceleración constante de 2 m / s2. En el momento de arrancar
es adelantado por un camión que se mueve con velocidad constante de 54
km / h. Calcula:
a) ¿A qué distancia del semáforo alcanzará el coche al camión?
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b) ¿Qué velocidad posee el coche en ese momento?
2- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira un objeto
hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del
aire. Calcular:
a) La velocidad del objeto cuando se encuentre 30 m sobre el suelo.
b) La posición del objeto cuando este lleve una velocidad de - 40 m/s
3- Jorge y María están disfrutando de una agradable tarde en el campo.
La distracción favorita de Jorge es arrojar piedras al aire sin un blanco
definido. En un momento determinado María, que está pensando en la clase
de física, dice a su compañero: “Lanza una piedra verticalmente hacia
arriba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado con un
cronómetro”. Lanza Jorge la piedra y María observa en su cronómetro que
tarda 8 s desde que la piedra es lanzada y vuelve al suelo.
a) ¿Con qué velocidad lanzó Jorge la piedra?
b) ¿Qué altura alcanzó ésta?
4- Desde el borde de un acantilado de una determinada altura sobre el
nivel del mar se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 50 m / s y se observa que tarda 12 s en caer al agua.
a) ¿Qué altura tiene el acantilado?
b) ¿Qué altura máxima alcanza la piedra respecto del nivel del mar?
c) ¿Con qué velocidad llega a la superficie del agua?
5- Un coche va a 108 Km/h. El conductor observa a una distancia de 200
metros una señal que limita la velocidad a 50 Km/h. Frena con una
aceleración de 2 m/s2. ¿Cuando llegue a la señal, cumplirá el requisito?
6- La publicidad de un modelo de automóvil dice que es capaz de alcanzar
la velocidad de 100 km/h, partiendo de reposo, en 7,2 s. Calcular el espacio
que recorre el automóvil en tal maniobra.
7- Demostrar que un cuerpo que se lanza verticalmente y hacia arriba con
una velocidad llega al suelo con la misma velocidad pero de signa contrario.
33
2
8- Demuestra que la siguiente expresión: v  v0  2  a  x  x0 
2
combinación de las fórmulas
uniformemente variado.
conocidas
del
movimiento
es una
rectilíneo
9- Un objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0'2 segundas.
Determinar la altura desde la que cayó.