CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

Circunferencia y Círculo
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar los elementos primarios de Círculo y
Circunferencia.
• Calcular área y perímetro del sector y segmento
circular.
Contenidos
1. Definición
1.1 Circunferencia
1.2 Círculo
2. Elementos de la Circunferencia y del
Círculo
2.1 Radio
2.2 Cuerda
2.3 Diámetro
2.4 Secante
2.5 Tangente
2.6 Sagita y Apotema
2.7 Arco de circunferencia
2.8 Sector Circular
2.9 Segmento Circular
3. Áreas y Perímetros
3.1 Área del Círculo
3.2 Perímetro de la Circunferencia
3.3 Medida de un arco de circunferencia
3.4 Área y Perímetro de un sector circular
3.5 Perímetro de un segmento circular
1. Definición
1.1 Circunferencia
Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan
(igual distancia) de un punto fijo llamado centro.
•o
1.2 Círculo
Región del plano limitado por una circunferencia
Círculo
•o
Circunferencia
2. Elementos de la
Circunferencia y del Círculo
2.1 Radio (r)
Segmento que une el centro de la circunferencia con
cualquier punto de la circunferencia.
o
r
A
O: centro de la circunferencia
OA: radio = r
2.2 Cuerda
Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
A
B
AB: Cuerda
2.3 Diámetro (d)
Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Corresponde a la cuerda de mayor longitud.
O: centro de la circunferencia
A
r
O
•
r
AB: diámetro = d = 2r
B
d
El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias
iguales, es decir, Arco AB = Arco BA
2.4 Secante
Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos,
formando una cuerda.
A •
AB: Cuerda
•
B
AB: Secante
2.5 Tangente
Recta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia.
Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto
tangencial”.
O: centro de la circunferencia
OA: radio
O
A: Punto de tangencia
r
A
OA ┴ L
L
2.6 Sagita y Apotema
Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos
segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al
radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.
C
•
sagita
A
O: centro de la circunferencia
OA: radio
•P
O
•
D
OP: apotema
PA: sagita
En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en
su punto medio P.
CP=PD
2.7 Arco de circunferencia
Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en
sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).
B•
AB : arco de circunferencia
•A
Los puntos A y B de la circunferencia,
determinan el arco AB.
2.8 Sector Circular
Corresponde a una fracción del área del círculo
determinada por un ángulo del centro (a). Su perímetro
corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de
circunferencia.
O: centro de la circunferencia
r : radio
B
AB : arco de circunferencia
Sector circular
A
2.9 Segmento Circular
Es una parte del área del círculo, determinada por una
cuerda y un arco de la circunferencia.
O : centro de la circunferencia
AB : cuerda
B
AB : arco de circunferencia
Segmento circular
A
3. Áreas y Perímetros
3.1 Área del Círculo
Si r es el radio, entonces:
Área
círculo
=
p ∙ r2
Ejemplo:
Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.
Solución:
Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.
Luego, el área del círculo es:
A=
p ∙ 102

A = 100p cm2
3.2 Perímetro de la circunferencia
Si r es el radio y d el diámetro, entonces:
Perímetro = 2p∙r
ó
Perímetro =
p∙d
Ejemplo:
Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio
mide 15 cm.
Solución:
P = 2p∙15

P = 30
p cm.
3.3 Medida de un Arco de Circunferencia
AB :arco de circunferencia
O:centro de la circunferencia
r :radio
Arco = 2pr ∙ a
360°
=a
Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una
fracción del perímetro (2pr) o del arco completo (360°). En ambos
casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina (a).
3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular
A
B
A
sector
2
= a ∙ pr
360°
Psector =
+ 2r
Psector = 2pr ∙ a + 2r
360°
O: centro de la circunferencia
r : radio
AB : arco de circunferencia
3.5 Perímetro de un Segmento Circular
Psegmento =
B
Psegmento = 2pr ∙ a + AB
360°
a
A
+ AB
Segmento circular
O : centro de la circunferencia
AB : cuerda
AB : arco de circunferencia
Ejemplo de aplicación:
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.
O: centro de la circunferencia.
Solución:
A
Sector
2
= 80∙p∙4
360°
A
Sector
= 2∙p∙16
9
A
Sector
= 32p
9
Psector = 2p4 ∙80+ 2∙4
360°
Psector = 16p + 8
9