GUÍA : Hidrodinámica. (Aplicaciones)

CONCEPTOS PREVIOS DE HIDRODINÁMICA
FLUJO O DESCARGA DE UN FLUIDO :(Q) cuando un fluido que llena un tubo y corre a lo largo de
este tubo con velocidad promedio v , el flujo o descarga está dado por:
𝑄 = 𝐴𝑣
Donde A corresponde al área de la sección transversal del tubo y v es la velocidad promedio a la
que se movería una partícula del fluido al interior del tubo. Algunas veces es también llamado
rapidez de flujo, descarga o gasto.
Las unidades del flujo son
𝑚3
𝑠
,
𝑝𝑖𝑒𝑠3
𝑠
;
𝑙𝑡𝑠
𝑠
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD: Suponiendo un flujo incompresible (densidad constante) que llena
un tubo y fluye a través de él. Suponiendo además que el área de la sección transversal del tubo
es 𝐴1 en un punto y 𝐴2 en otro. Ya que el flujo en 𝐴1 debe ser igual en 𝐴2 . Entonces:
𝑄 = 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 , Ecuación de Euler.
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣1 𝑦 𝑣2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝐴1 𝑦 𝐴2 Respectivamente.
LA RAZÓN DE CORTE: De un fluido es la razón con la cual la deformación de corte está cambiando
dentro del mismo. Puesto que la deformación no tiene unidades, en el sistema internacional SI la
unidad para la razón de corte es 𝑠 −1 .
LA VISCOSIDAD: (𝜂 ) Es la mediad del esfuerzo cortante requerido para producir una unidad de
razón de corte.
Sus unidades están definidas como el esfuerzo por unidad de razón de corte, es decir Pa .s en el
SI.
𝑁.𝑠
Otra unidad en el SI es el 𝑚2 , llamado Poiseuilli (Pl), de donde 1Pl= 1pa.s
Otras unidades son el Poise (P9 donde 1P=0,1Pl , y el centi poise cP, donde 1cP= 10−3 𝑃𝑙
Un fluido viscoso como el alquitrán, tiene una viscosidad muy grande.
LEY DE POISEUILLI: El flujo o descarga de un fluido que corre a través de un tubo cilíndrico de
longitud L y sección transversal de radio R , está dado por:
𝑄=
∆𝑝𝜋𝑅4
ç
8𝜂𝐿
Donde ∆𝑝 corresponde a la diferencia de presión entre los extremos del tubo o extremos del largo
L.
EL TRABAJO REALIZADO POR UN PISTÓN en forzar un volumen V de fluido dentro de un cilindro
contra una presión opuesta p está dado por pV.
El trabajo efectuado por una presión “p” que actúa sobre una superficie de área A de tal forma
que las superficie se mueve una distancia normal a esta está dada por:
𝑊 = 𝑝𝐴∆𝑥 = 𝑝∆𝑉
Es decir se desplaza un volumen
𝐴∆𝑥 = ∆𝑉
ECUACIÓN DE BERNOULLI: para un flujo estacionario de una corriente continua de fluido:
considerando dos puntos diferentes a lo largo de la trayectoria de la corriente. Si consideramos el
punto (1) a una altura ℎ1 y sean 𝑣1 𝑦 𝜌1 𝑦 𝑝1 , la velocidad, la densidad y la presión del fluido en el
punto (1). De igual forma denotaremos por ℎ2 y sean 𝑣2 𝑦 𝜌2 𝑦 𝑝2 , la altura , velocidad , densidad
y presión del fluido en el punto (2) .
Entonces suponiendo que el fluido es incompresible y que su viscosidad es despreciable. Se puede
la ecuación de conservación de energía como:
1
1
𝑝1 + 𝜌1 𝑣12 + ℎ1 𝜌1 𝑔 = 𝑝2 + 𝜌2 𝑣22 + ℎ2 𝜌2 𝑔
2
2
Donde “g” corresponde a la aceleración de gravedad.
Es importante hacer notar que en general un fluido se descarga normalmente manteniendo
constante la densidad.
TEOREMA DE TORRICELLI: Suponemos que un estanque contiene líquido y está abierto a la
atmosfera en su parte superior.
Si en el estanque existe un orificio /abertura) a una distancia “h” debajo de la capa más alta de
líquido, entonces la velocidad de salida o descarga de este por la abertura está dada por :
𝑣 = √2𝑔ℎ
EL NÚMERO DE REYNOLDS ( 𝑁𝑅 ) es un numero adimensional que sae aplica a un fluido de
viscosidad 𝛈 y de densidad 𝜌 y que corre con una velocidad “v” de descarga a través de un
tubo( o pasando un obstáculo) con diámetro D:
𝑁𝑅 =
𝜌𝑣𝐷
𝜂
Para sistemas con las mismas simetrías y flujos que pueden ser considerados similares, los
números de Reynolds son muy cercanos. Los flujos turbulentos se presentan cuando este número
es mayor que 2000 para un tubo y mayor que 10 para aun obstáculo.
Problemas propuestos.
1.- A través de un tubo de 8cm de diámetro fluye aceite a una velocidad de 4m7s ¿Cuál es el flujo?
𝑚3
𝑠
(0,020
,)
2.- Experimentalmente ase encuentra que por un tubo cuyo diámetro interno es 7mm salen
259mL en un tiempo de 41s. ¿Cuál es la velocidad del fluido en el tubo?
(0,158m/s)
3.- Un acueducto de º14 cm de diámetro interno, surte agua a través de una cañería al tubo de la
llave de 1,00 cm de diámetro interno. Si su velocidad promedio en el tubo de la llave es de 3cm/s
¿Cuál será la velocidad promedio en el acueducto?
(0,0153cm/s)
4.- ¿Cuánta agua fluirá en 30 s por un tubo capilar de 200 mm de longitud y 1,5 mm de diámetro
interno , si la diferencia de presiones a lo largo del tubo es de 5 cm de Hg. La viscosidad del agua
𝑘𝑔
es de 0,801 cP y la densidad del mercurio es de 13.600 𝑚3
(155mL)
5.- La arteria de una persona se reduce a la mitad de su diámetro inicial por depósitos grasos en la
parte interior. ¿Cuál será el factor que disminuirá el flujo de sangre a través de la arteria si la
diferencia de presión a lo largo de ella permanece constante?
(0,0625)
6.- Bajo la misma diferencia de presión, compare el flujo de agua a través de un tubo con el aceite
SAE Nº 10. Si se sabe que la viscosidad para el agua es de 0,801cP y la viscosidad para este tipo de
aceite es de 200cP.
(250)
7.- Calcule la potencia de salida del corazón si por cada latido bombea 75mL de sangre con una
presión promedio de 100mmHg. Considere que se tiene 65 latidos por minuto. (1,08Watts)
8.-La velocidad de la glicerina en un tubo de 5cm de diámetro interno es de 0,54m/s. Encuentre la
velocidad en un tubo de 3cm de diámetro interno que se une a él. El fluido llena ambos tubos.
(1,5 m/s)
9.- Cierto plástico fundido fluye hacia el exterior de un tubo de 8 cm de largo a razón de
3
13𝑐𝑚 ⁄𝑚𝑖𝑛 , cuando la diferencia de presión entre los dos extremos del tubo es de 18cm de Hg.
Encuentre la viscosidad del plástico, considerando que el diámetro interior del tubo es de 1,30
mm.
( 97cP)
10.- En un sistema horizontal de tubos, uno de ellos cuyo diámetro interior es de 4mm y de 20cm
de largo, se conecta en línea con otro de diámetro interior de 5mm y de 30cm de largo. Cuando a
un fluido viscoso se le aplica una presión a régimen estable o estacionario. ¿Cuál es la relación de
la caída de presión a través el tubo de 20cm en relación al tubo de 30cm?
(1,63)
11.- Una aguja hipodérmica de 3cm de longitud e de diámetro interior de 0,45mm se utiliza para
extraer sangre (viscosidad de 4mPl) . Supongamos que la diferencia de presión en la aguja es de
80cm de hg. ¿Cuánto tiempo tomara sacar 15mL de sangre?
(16,8s)
12.- En una transfusión de sangre, esta fluye desde la botella a presión atmosférica hasta el
interior de la vena de un paciente donde la presión es de 20mm de Hg superior a la atmosférica. la
botella está a 95cm más arriba que la vena , en la cual se encuentra la aguja que tiene una longitud
de 3cm y un diámetro interno de 0,45mm.¿Qué cantidad de sangre fluye al interior de la vena por
𝑘𝑔
minuto?(para la sangre la viscosidad es de 0,004Pa.s y la densidad es de 1005 𝑚3 )
(3.37𝑐𝑚3 )