CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1

CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
2.1- Definición y propiedades.
2.1.1-Definición: espacio vectorial.
Sea
un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es
necesario preocuparse demasiado con preguntas como qué es un cuerpo ya que normalmente
trabajaremos con o .
Sea
un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por
Diremos que
es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
1) Existe una ley interna en
que llamaremos suma y que denotaremos originalmente por +,
respecto de la cual se verifican las siguientes propiedades:
a)
se tiene que
b)
se tiene que
c)
se tiene que
d)
existe un elemento de
e)
existe un elemento de
que denotaremos por 0 (elemento neutro) tal que
que denotaremos por
(elemento opuesto) tal que
.
2) Existe una ley de composición externa sobre
denotaremos (también originalmente) por
a)
se tiene que
b)
se tiene que
c)
se tiene que
d)
que denominaremos producto y a la que
respecto de la cual se verifica:
se tiene que 1
Veamos algunos ejemplos:
matrices de orden
es un espacio vectorial sobre el cuerpo
es un espacio vectorial sobre el cuerpo
polinomios de grado menor o igual que
. El conjunto de
El conjunto de
con las operaciones suma de polinomios y producto
por un escarlar es un espacio vectorial sobre el cuerpo
- Observación: no hay que preocuparse demasiado con esta definición, lo importante en los
exámenes es saber si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial de un espacio vectorial
dado. Esto lo veremos más adelante y es más intuitivo (basta con aplicar teoremas).
Pedro_CC
1
2.1.2- Propiedades
Dado un espacio vectorial
a)
se tiene que 0
b)
se tiene que
se verifican las siguientes propiedades:
c)
si se tiene que
d)
se tiene que
entonces necesariamente
o
2.1.3- Sistemas de vectores
Denominaremos sistema de vectores a un conjunto de vectores que supondremos finito:
Un ejemplo de sistema de vectores en
es
2.1.4-Combinación lineal
Sea
un vector de . Diremos que
vectores
es combinación lineal de los vectores de
y escalares
si existen
tales que:
2.1.5- Sistemas libres y ligados.
Un sistema
independientes,
es libre si los vectores del mismo son linealmente
es
decir,
si
los
únicos
son
que
verifican
que
.
Si un sistema no es libre decimos que es ligado.
Ejemplo: estudiar si el sistema
es libre o ligado.
2.1.6- Propiedades de los sistemas libres y ligados.
a)
con
se tiene que
b) Si
, entonces es ligado.
es libre.
c) Si un sistema es libre entonces cualquier sistema
d) Si un sistema es ligado entonces cualquier sistema
e) Si un sistema
es libre.
es ligado.
es ligado entonces al menos uno de los vectores del sistema es combinación
lineal de los demás.
Pedro_CC
2
f) Si un sistema
es libre y el sistema
es ligado entonces
es combinación lineal
de los vectores de .
2.1.7- Definición
al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de .
Se denomina
entonces
Ejemplo: si
.
2.1.8- Sistemas equivalentes.
Dos sistemas
y
son equivalentes si
. Para obtener sistemas equivalentes
podemos realizar las siguientes operaciones:
a) Añadir al sistema un vector que sea combinación lineal de los vectores del sistema.
b) Cambiar el orden de los vectores del sistema
c) Multiplicar un vector por un escalar
d) Sumar a un vector una combinación lineal del resto de vectores del sistema.
Con estas propiedades podemos triangular un sistema, lo cual es particularmente importante
al trabajar con sistemas de ecuaciones.
- Ejemplo: dado el sistema
, estudiar si es libre o
ligado.
2.2- Subespacios vectoriales
2.2.1- Definición
Sea
un espacio vectorial sobre un cuerpo
y sea
un subconjunto
de
que tenga
estructura de espacio vectorial.
Entonces, diremos que
es un subespacio vectorial de .
En la práctica, lo que se usa para ver si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial es el
apartado siguiente:
2.2.2- Teorema de caracterización de subespacios vectoriales.
La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto
de
sea un subespacio
vectorial es que:
se tiene que
En realidad, es suficiente con ver que
y que
.
Ambas formas son igualmente válidas para ver que “algo” es subespacio vectorial. En concreto,
de aquí se deduce que el vector nulo está en cualquier subespacio vectorial de .
Pedro_CC
3
Otra forma de ver que
que verifica
es un subespacio vectorial es calcular el sistema de vectores libre
puesto que dado un sistema de vectores
siempre se verifica que
es subespacio vectorial.
Para ver que un
que nos dan no es subespacio vectorial lo primero que se mira es si
Si esto no se cumple entonces
no es un subespacio vectorial ya que
subespacio vectorial. Si a pesar de todo tenemos
.
pertenece a todo
se suelen buscar dos vectores
tales que alguna combinación lineal de ellos no pertenezca a
lo que implicaría que
no es
subespacio vectorial por el teorema de caracterización de subespacios vectoriales.
- Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de
es un subespacio vectorial:
con
Es inmediato ver que el cero está contenido en , por lo que parece que es un subespacio
vectorial (además las ecuaciones que aparecen en la definición de
son lineales). Podemos
usar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales para ver que, efectivamente, es
un subespacio vectorial (se aconseja hacerlo) aunque es más sencillo ver que:
que claramente es de la forma
y por tanto esto prueba que
es subespacio
vectorial.
- Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de
es un subespacio vectorial:
Es inmediato ver que el cero está contenido en . Sin embargo, en este caso la ecuación que
aparece en la definición de
no es lineal lo que lleva a pensar que
vectorial. En efecto, si tomamos
pertenecen a
y
y sin embargo
no es subespacio
tenemos que ambos vectores
por lo que se deduce del teorema de
caracterización de subespacios vectoriales que
no puede ser un subespacio vectorial.
2.2.3- Sistema de generadores
Diremos que un sistema es un sistema de generadores de
si
.
Ver que un sistema
es un sistema de generadores para un subespacio
que todo vector
se puede expresar como combinación lineal de los vectores de .
equivale a ver
2.2.4- Base de un espacio vectorial.
Una base de un espacio vectorial
Por ejemplo, la base canónica de
es todo sistema libre de generadores de .
viene dada por
Todo espacio vectorial admite, al menos, una base.
Pedro_CC
4
Si un espacio vectorial admite un número finito de generadores se dice que es finito o
finitamente generado.
Veamos algunos ejemplos:
Una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que
Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 (
(
) es:
) es:
Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2 ( ) es:
2.2.5- Teorema
En un espacio vectorial finito todas las bases son finitas y tienen el mismo número de
elementos.
2.2.6- Dimensión
Al número de elementos de una base de un espacio vectorial se le denomina dimensión del
espacio y se denota por
. Algunos ejemplos son:
siendo
el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a ,
vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden
y
el espacio
el espacio vectorial de las
matrices cuadradas antisimétricas de orden . Se aconseja intentar demostrar las dos últimas
igualdades.
2.2.7- Coordenadas de un vector en una base.
Las coordenadas de un vector dependen de la base. Un vector tiene tantas coordenadas como
el número de elementos de una base.
Pedro_CC
5
Diremos que
son las coordenadas de
si respecto a la base
si
se verifica
- Ejemplo: respecto de la base
el vector
tiene como
coordenadas (1,2,0).
2.2.8- Rango de un sistema
El rango de un sistema
es la dimensión de
, pues todos los vectores de
son
combinación lineal de los vectores de y supondremos que es libre.
2.2.9- Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio.
Las ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial son la relación
(paramétrica e implícita) que deben verificar las coordenadas de un vector para pertenecer a
un subespacio.
Si tenemos un subespacio vectorial
se verifica que:
número de ecuaciones implícitas de
en
- Ejemplo: consideremos el subespacio vectorial
de
independientes.
. Respecto de la base
podemos poner
por lo que unas
ecuaciones paramétricas vendrán dadas por
. Si despejamos el
parámetro obtenemos que las ecuaciones implícitas de
consideramos
como subespacio vectorial de
son
. Nótese que si
las ecuaciones paramétricas e implícitas son
diferentes.
- Ejemplo: vamos a obtener unas ecuaciones paramétricas e implícitas respecto de la base
canónica de
para el subespacio vectorial
.
Sean
las coordenadas de un elemento de
en cuenta la definición de
respecto de la base canónica. Teniendo
se debe verificar que:
por lo que las ecuaciones paramétricas en dicha base serán
y como ya tenemos despejados los parámetros
ecuaciones implícitas de
en las ecuaciones de
en la base canónica serán {
se sigue que las
}
Para encontrar unas ecuaciones paramétricas teniendo las implícitas es suficiente con resolver
el sistema (normalmente compatible determinado), y las variables que pasan a la columna de
términos independientes son los parámetros.
Ejemplo: encontrar las ecuaciones paramétricas del subespacio:
Pedro_CC
6
Sustituyendo
tenemos que los elementos de
serán de la forma
, o lo que es lo mismo:
por lo que las ecuaciones paramétricas que buscamos vendrán dadas por:
Para encontrar unas ecuaciones implícitas a partir de las paramétricas se resuelve el sistema y
se sustituyen las coordenadas de las ecuaciones sin usar.
Ejemplo: calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial cuyas ecuaciones
paramétricas son
Despejando en las dos últimas ecuaciones resulta
y sustituyendo
en las dos primeras se obtienen las ecuaciones implícitas
.
Nótese que en este caso resulta que las tres últimas ecuaciones paramétricas son linealmente
dependientes (podemos obtener la segunda ecuación multiplicando por dos la segunda y
restándole la tercera) y por eso obtenemos dos ecuaciones implícitas. Si todas las ecuaciones
de tres de ellas y
fueran linealmente independientes despejaríamos los parámetros
los sustituiríamos en la otra obteniendo una única ecuación paramétrica.
2.2.10- Intersección de subespacios vectoriales
Si
y
son dos subespacios vectoriales se define su intersección como
y
.
se denota por
siempre es subespacio vectorial si lo son
vectoriales no podemos afirmar a priori que
y
. Si
o
no son subespacios
no sea subespacio vectorial, ya que podría
serlo.
La forma más sencilla de calcular la intersección entre dos subespacios vectoriales es sustituir
las ecuaciones paramétricas de uno en las ecuaciones implícitas del otro y calcular las
relaciones que deben verificar los parámetros. También se puede calcular la intersección
resolviendo el sistema de ecuaciones que verifican las ecuaciones implícitas de ambos
subespacios vectoriales.
-Ejemplo:
calcular
la
intersección
de
y
.
Unas ecuaciones implícitas de
paramétricas
de
y unas ecuaciones
son
Sustituyendo las paramétricas de
Pedro_CC
son
.
en las implícitas de
obtenemos
y
por
7
lo que sustituyendo la primera ecuación en las paramétricas de
dice nada) obtenemos que
(la segunda ecuación no nos
por lo que la intersección tiene dimensión
uno.
2.2.11- Suma de subespacios vectoriales.
Si
y
son dos subespacios vectoriales se define su suma como:
con
y se denota por
es un subespacio vectorial formado por los vectores que son suma de vectores de
. El subespacio
de
.
Si
y
está formado por la unión de un sistema de generadores de
verifican
y
y otro
entonces su suma se denomina suma directa y se denota por
. Si además se verifica que
se dice que
y
son complementarios o
suplementarios.
-Ejemplo:
Ejemplo:
calcular
la
suma
de
y
.
Un sistema de generadores de
será
.
Sin embargo, el cuarto vector es combinación lineal de los otros tres (comprobarlo!) por lo que
será
y la suma tiene dimensión 3.
2.2.12- Teorema
Si un espacio vectorial
es suma directa de
y
entonces todo vector de
descomponer de forma única como suma de una vector de
y otro
se puede
.
2.2.13- Teorema (fórmula de Grassmann)
Si
y
son dos subespacios vectoriales se verifica que:
2.2.14- Subespacios vectoriales y matrices
2.2.14.1- Rango de una matriz.
Se denomina rango de una matriz al número de filas o columnas linealmente independientes
de dicha matriz. Dadas dos matrices A y B se verifica que:
2.2.14.2- Matrices de cambio de base.
Pedro_CC
8
Sea
un espacio vectorial de dimensión n y
bases tales que
respecto de
,
tiene como coordenadas
dos
respecto de
y
.
Entonces sí:
Las ecuaciones de cambio de base (de
a
Es decir, la i-sima columna de la matriz
viene dada por las coordenadas del i-simo elemento
de la base
respecto de la base
) podemos calcular
) serán:
Para obtener el cambio de coordenadas inverso (de
directamente con , o también podemos calcular la matriz cuya i-
sima columna viene dada por las coordenadas del i-simo elemento de la base
base
(que es
respecto de los de
consideremos
a
las
de
y la matriz de cambio de base de
a
viene dado poniendo los
. La regla mnemotécnica sería algo así como:
cambio de
-Ejemplo:
respecto de la
)
En la práctica basta con recordar que el cambio de base de
elementos de
a
↔ elementos de
en
bases
. Entonces la matriz de cambio de base de
a
será
y
a
será:
.
-Resumen capítulo 2
Este tema es el más importante del examen intercuatrimestral y, junto con el tema de la forma
canónica de Jordan, el más importante del primer cuatrimestre. En el examen
intercuatrimestral podéis esperar un par de problemas de unos 3.5 puntos cada uno sobre
subespacios vectoriales de polinomios o matrices y quizás alguna cuestión, y en el examen
cuatrimestral suele caer un problema de 2 o 3 puntos.
Generalmente los enunciados de estos problemas suelen dar varios subespacios vectoriales y
piden calcular sumas, intersecciones, ecuaciones paramétricas e implícitas, valores de ciertos
Pedro_CC
9
parámetros que hacen que “algo” sea un subespacio vectorial,… por lo que se aconseja
encarecidamente tener muy claro todo el apartado 2.2.
Veamos algunos problemas de otros años, que son del estilo de los que podéis esperar:
PROBLEMA 1 (intercuatrimestral octubre 2011, 4 puntos)
En el espacio vectorial
de las matrices cuadradas de orden 2 se considera el subconjunto
y los subespacios vectoriales
Se pide:
a) Demostrar que
es un subespacio vectorial de
b) Calcular unas ecuaciones implícitas de
c) ¿Son
d) ¿Es
y
suplementarios en
un subespacio vectorial de
ecuaciones implícitas de
a) Si
y calcular una base
en la base canónica de
? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular unas
en la base
de
calculada en el primer apartado.
entonces la matriz
poner en la forma
se puede
lo que
es subespacio vectorial y que
b) Las matrices de
.
? Razonar la respuesta.
es una matriz simétrica que verifica
implica que
del mismo.
serán de la forma
por lo que las matrices de
es una base del mismo.
y las matrices de
serán de la forma
de
base canónica
serán de la forma
y en la
unas ecuaciones implícitas de
son:
c) Del apartado anterior se sigue que
como
deduce que
(el espacio
tiene dos ecuaciones implícitas su dimensión es
(pues la base
tiene dimensión
y
) y del apartado a) se
tiene dos matrices). Por la fórmula de Grassmann
tenemos que:
Pedro_CC
10
como la suma de las dimensiones de
y
“cuadra” (notad que si la suma de estas
dimensiones fuese distinta de la dimensión de
ya sabríamos que no pueden ser
suplementarios) la condición necesaria y suficiente para que dichos espacios sean
suplementarios es que su intersección sea nula. Sin embargo, es sencillo ver que la matriz
pertenece a ambos subespacios por lo que su intersección no es nula y no pueden
ser suplementarios (si no vemos esto, lo más fácil sería calcular las ecuaciones paramétricas de
en la base
y sustituir dichas paramétricas en las implícitas de
del apartado b)
para calcular la intersección de ambos subespacios. Os aconsejo que lo hagáis y comprobéis
que la intersección es el subespacio
).
y
d) Tenemos que
subespacio vectorial de
por lo que
. En la base
y
es un
la ecuación implícita de
es
.
PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2009, 3.5 puntos)
En el espacio vectorial
de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes
reales se consideran los siguientes subespacios:
Se pide:
a) Calcular una base y una ecuaciones implícitas en le base canónica
de
y
de
.
b) Calcular unas ecuaciones paramétricas y una base de
a ? ¿Y a
. ¿Pertenece el polinomio
? En caso afirmativo calcular sus coordenadas en las bases de
y
calculadas anteriormente.
c) Encontrar una base de un subespacio suplementario
implícitas de
en
como suma de un polinomio de y otro de
el polinomio
d) ¿Puede ser
de
un subespacio vectorial de
en la base de
y descomponer
.
? En caso afirmativo calcular unas ecuaciones
calculada anteriormente.
a) Si tenemos un polinomio de grado menor o igual que tres entonces su derivada será de
grado menor o igual que dos, por lo que en realidad podemos definir
sin pérdida de
generalidad como:
Pedro_CC
11
y si tenemos
una base de
integrando se sigue que
es
y si consideramos la base canónica
ecuaciones implícitas de
en
por lo que
en
son
unas
siendo
coordenadas
.
Por otra parte, si un polinomio verifica
la única posibilidad es que dicho
polinomio sea en realidad una constante. Si no, tendríamos que el grado de
estrictamente mayor que el grado de
lo que implicaría que la igualdad
no se puede dar. Esto implica que una base de
en
son
es
y unas ecuaciones implícitas de
siendo
b) Teniendo en cuenta que
coordenadas en
y
subespacios es el subespacio
, es decir,
.
en
coordenadas en
y unas ecuaciones
son {
} siendo
.
pertenece tanto a
Teniendo en cuenta lo anterior es claro que el polinomio
son
y sus coordenadas en
.
es claro que la intersección de ambos
Esto implica que una base de la intersección es
paramétricas de
es
como a
mientras que su coordenada en
es (1).
podemos tomar
c) Como
(si no veis claro que son
suplementarios comprobar que la intersección es nula y la suma de las dimensiones de ambos
).
subespacios es la dimensión de
por lo que lo hemos descompuesto como la
Tenemos que
y otro elemento de
suma de un elemento de
d) Teniendo en cuenta que
y
es claro que
un subespacio vectorial de . Unas ecuaciones implícitas de
coordenadas en
( .
en
por lo que
son
es
siendo
.
PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2010, 3.5 puntos)
En el espacio vectorial de los polinomios impares de grado menor o igual que 5, es decir,
se consideran los subespacios siguientes:
Pedro_CC
12
Se pide:
a) Está
contenido en
? Razonar la respuesta.
b) Calcular la dimensión de
y una base de
.
c) ¿Son
y
disjuntos? Razonar la respuesta.
d) ¿Son
y
suplementarios en ? Razonar la respuesta.
a) Si
entonces
por verificar
b) Como
, por lo que dicho polinomio también pertenece a
. Esto implica que
se tiene que
dimensión de
y una base de
La condición
está contenido en
y
, por lo que basta con calcular la
.
es una ecuación implícita (podemos poner
y dicha condición nos dará una ecuación con los coeficientes
de
.
será la dimensión de los polinomios impares de
) por lo que la dimensión
menos uno, es decir:
Por otra parte, si un polinomio impar de grado menor o igual que
entonces dicho polinomio
que verifica
también verificará que
por ser impar. Además, toda función impar se anula en el origen (esto deberíais saberlo de
cálculo) por lo que se verificará que
. Esto implica que
es de la forma:
por lo que una base de
será
- Observación: la forma “estándar” de calcular la base de
y obtener dos ecuaciones implícitas de
es tomar el polinomio
haciendo
y
. De dichas ecuaciones implícitas se pasa a las paramétricas y de ahí es inmediato
obtener una base. Así es como lo tenéis hecho en moodle. Esta solución es más rápida, pero
hay que haber hecho unos cuantos problemas de examen para que se os ocurra. Podéis
comprobar multiplicando la expresión
que, como es de
esperar, ambas soluciones dan el mismo resultado.
c) Para que
y
sean disjuntos es necesario y suficiente con que ninguno de los polinomios
pertenezca a
polinomio
verifica
. Sin embargo, es sencillo comprobar que el
por lo que se tiene que
y
ambos espacios no son disjuntos.
Pedro_CC
13
d) Tenemos que
y es fácil ver que
puesto que la condición
es una ecuación implícita por lo que la dimensión de
polinomios impares de
será la dimensión de los
menos uno, es decir:
Por tanto, las dimensiones de ambos subespacios “cuadran” en el sentido de que su suma es
igual a la suma del espacio en el que estamos trabajando y podrían ser suplementarios. En este
caso, los subespacios
y
serán suplementarios si y solo si su intersección es nula. Un
polinomio de
verifica
por tanto
es de la forma
. Veamos si dicho polinomio
:
(la igualdad se tendría que dar para todo
y solo se da para
) por
lo que la intersección de ambos subespacios es nula y son suplementarios.
Pedro_CC
14