UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA IZTAPALAPA -<' LUIS FERNANDO HOYOS REYES g' presenta la Tesis: SIMULACION DE ,PROCESOS RIESGO Y ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE RUINA // para obtener el grado debMaestria en Matemáticas -* %it Marzo 1 9 9 3 . 1 Asesor: Dr. WOJCIECH SZATZSCHNEIDER Agradezco a mi familia y al Dr. Szatzschneider su apoyo incondicional. INTRODUCCION CAPITULO I 1.1 HIPOTESIS 1.2 DEFINICIONES 1.3 RESULTADOS PRELIMINARES Prop. 1.31 Ejemplo 1.1 0 . . 1 ... 2 ... 3 ...3 ... 5 ... 5 0.. g Prop. 1.32 ... g Prop. 1.33 ***lo Ejemplo 1.2 **.11 Ejemplo 1.3 * e * Prop. 1.34 * * e CAPITULO I1 2.1 DEFINICIONES 2.2 DESCRIPCION Ejemplo 2.1 Ejemplo 2.2 Ejemplo 2.3 2.3 PRESTAMO BAJO RUINA Ejemplo 2.4 Ejemplo 2.5 12 13 2.4 SIMULACION DE RIESGO EN AMBIENTE MARKOVIAN0 Ejemplo 2.6 CAPITULO 111 3.1 PRELIMINARES Prop. 3.1 1 Def. 3.12 Prop. 3.13 Prop. 3.14 Prop. 3.15 Prop. 3.16 3.2 DESCRIPCION Teo. 3.21 Ejemplo 3.1 Ejemplo 3.2 Ejemplo 3.3 CONCLUSIONES APENDICE BIBLIOGRAFIA 23 **a26 INTRODUCCION El problema fundamental en esta tesis consiste en calcular aproximaciones a la probabilidad de ruina, tantoen tiempo finito Y(u,T), como infinito "(u), haciendo énfasis enel modelaje. Aunque existen estimaciones teóricas en algunos modelos como el clásico Poisson-Exponencial para Y(u,T), la expresión explícita carece de interpretación y la evaluación numérica es muy dificil y para muchos otros modelos la estimación es un problema abierto [1,2]. Este trabajo ilustra técnicas de simulación de procesos de riesgo con el fin de encontrar unaaproximación a la probabilidad de queen un intervalo de tiempo [O,T]cierto proceso, digamos {U(t)} alcance por primera vez un conjunto especificado por el capital inicial u. En el primer capítulo se revisan el planteamiento del problema y una serie de resultados preliminares. El segundo capítulo examina la simulación cruda y se resuelven algunos ejemplos, así como una perspectiva a modelos de préstamo bajo ruina y riesgo en ambiente markoviano. El tercer y último capítulo ilustra técnicas de procesos conjugados para estimar Y(u)y Y(u,T) desarrolladas por Asmussen [1,2,3]. AI final se anexa un apéndice con los listados de los programas empleados en las simulaciones. CAPITULO I RESULTADOS PRELIMINARES. 3 l. 1 HIPOTESIS 1.11 El proceso de ambo de reclamaciones {N(t) : t20} es un proceso de Poisson con tasa de llegada h y tiempos entre reclamaciones { T(i) i2l}. 1.12 El proceso del monto de las reclamaciones {X(i) : i>l} es i.i.d. con distribución F, tal que F(O)=O y p=EX < -J. l . 13 {N(t) : t>O} y {X(i) : i2l } son independientes. 1.14 El proceso de ingreso es determinista: u + ct , con u el capital inicial y 00 la tasa de ingresos. 1.2 DEFINICIONES 1.21 Definimos el proceso acumulado de reclamaciones como: 1.22 Definimos el proceso de riesgo como: u,=u+ct-2, , t20 También se define U,= u + (1+p)E(Z, ) - 2, C esdecir p=--1="AP C-Ap , t2O ; a p se le llama factor de recargo. L.I-1 1.23 La ruina ocurre si 3t E [O, T ] 3 U, < O para el caso de horizonte finito y si 3t 2 O 3 U, < O en el caso infinito. A la probabilidad de ruina la denotamos como 'Y(u)=P{ 3t20: U, <O} y cuando el horizonte es finito 'Y(u,T)=P{ 3 te [O, TI:U, < O } . 4 Imaginemos un proceso de riesgo de la siguiente manera: En el intervalo [O,t] ocurre un número aleatorio k de reclamaciones (N,=k) y la i-ésima reclamación tiene un monto aleatorio Xi , I l i a , por tanto tenemos k que pagar X,, en el instante t. Pero existe una tasa de ingresos constante c fl=O y un capital inicial u, por lo que al momento t el capital acumulado es k 11+ct - x, 1t=O Una forma de fijarun valor adecuado para c consiste en observar que el monto de las primas debe ser mayor que la esperanza de 2, si queremos evitar la ruina (claro que estano es una condición suficiente), es decir ct > E(Z, ) = Apt digamos ct = (l+p)E(Z, ) > E(2, ) cuando p>O , donde se observa el significado fisico del factor de recargo Tenemos entoncesvarios problemas: ¿Cómo encontrar valores de p que aseguren U,20 , para el horizonte de tiempo dado y que simultáneamente el pago de la prima continúe atrayendo clientes (si c crece demasiado, nadie se asegura)? Dados p>O y T>O , fijos. ¿Es posible encontrar expresiones para calcular y/o aproximar Y(u) y Y(u,T) ? Este trabajo tratará solamenteel segundo problema * 5 1.3 RESULTADOS PRELIMINARES Nuestro estudio de la probabilidad de ruina comienza analizando una serie de resultados clásicos, donde esposible obtener una expresión para calcularde manera exacta "(u) cuando u=O, o bien cuando las reclamaciones se distribuyen exponencialmente. También encontraremos un resultado asintótico para "(u) cuando u++- y por último, bajo ciertas condiciones obtendremos una cota para la probabilidad de ruina. Asumiremos el conjunto de hipótesis 1.1a menos que se especifique lo contrario. Prop. 1.31 Sea U , un proceso de riesgo Y(0) == AP ~ c 1 =cuando l+p ohp Dem. Sea @(u) = 1-'€'(u) la probababilidad de no ruina. @(u) = E(@(u I X , , I;)) con T, la v.a. que describe el tiempo transcurrido hasta la primera reclamación y X , la v.a. del monto de la primera reclamación, :. E(@(u 1 X,, q))= E(@(u+cT - X,)) como la ruina no puede ocurrir en [O, T,) y tenemos un proceso de Poisson compuesto: E(@(u+c7; -X,)) = +" -Y pero U+(< Ae"'" Q(u+ct-x)dF(x)dt -m y X , son v.a. positivas, luego @(u)=JD '" I o O(u+ct-x)dF(x)dt 6 haciendo el cambio de variable Supongamos que Sea g(s,u) j: S = u+ct tenemos @(S-x)dF(x) existe y es continua en %. A -A(s-u)’cj: @(S-x)dF(x) = -e C y G(r,u) = jmS(S,u)ds * @(u) = G(u,u) Q(s-x)dF(x)ds)-j” O @(u-x)dF(x)) luego@*(u) = A -@(u)--j c A C 1‘ @(u-x)dF(x) . . . O (’ integrando sobre (0,z) O(z) - @(O) = = -SAc : @(u)du-Aj’r c o o -df l. Q(u)du + C 0 -IA ?I” C O O @(u-x)dF(x)du @(u-x)d( 1-F(x))du integrando por partes j,’ @(u-x)d( 1-F(x)) = @(O)( 1-F(u)) - @(u)( 1-F(O)) + I,” @’(u-x)( 1-F(x))dx sustituyendo @(z) - @(O) = -IA : c o @(u)du + A I,: j: +C A : -j0 @(O)( 1-F(u))du C @’ (u-x)( 1-F(x))dxdu - -S, #(u)du A : C . .. 7 Cambiando el orden de integración @(z) - @(O) = A -1' = -j; A @(O)( 1-F(u))du + c o @(O)( 1-F(u))du C + cP'(u-x)( 1-F(x))dudx a 5' + - (I - F ( x ) ) r c o (u-x)dudx QT' 1-F(u))du + - C @(z) = @(O) c o x A joz(1 - F ( x))(cP(z-x)-@(O))dx A ji @(O)( =- 3 A -p C -S'h QT(z-x)(1-F(x))dx C 0 A mayor capital inicial, mayor será la probabilidad de no ruina (*) @(u) I @(u+h) I 1, h>O. Sea { u , , } una sucesión creciente no acotada de números reales. Sea .f;,W (1-F(x)) I[O,Zl,,) = @(u,-x) Como @( . ) es diferenciable j@( . ) es continua por (*) .t,(x)2 f,+,(x) VnE N , XE j@( . ) es medible, [O,-) Además l i r n . f ; > ( s ) = @ ( ~ r , - s ) ( l - F ( s ) ) / [ O , u , , ) PI+" = O(-) (I-F(x)) I[@,-) = f(x) VXE[O,-) por el teo. deconvergencia monótona f es medible y :. lim@(z) = lim( @(O) + :--- = @(O) + -aSom C -Sa @(=)(1-F(x))dx . . . O A a(-) = @(O) + -@(-).p c z @(z-x)( 1-F(x))dx ) c o ya que EX = p De la ley firerte degrandesnúmeros: 1 t k=l l i m - x X k = hp r")m C.S. a N, Luego lim- I+=- ct - z, - lim t I +- k=l =c-kp t :. como c = (l+p)hp , si p>O a o h p Entonces 3 T v.a. 3 ct - Z, > O Sea p , ( t ) = P(N, = k ) . C.S. C.S. c-hpo Vt>T Consideremos el intervalo [O,At] P(N, I 2)= o(At) m pero P ( N , 2 2) = z p , ( A r ) k =? 3 lim pk( A t )= O es decir, la probabilidad de que en un intervalo [O,At] k+m ocurra un número infinito de reclamaciones es cero :. sólo puede haber un número finito de reclamaciones antes de T con probabilidad l . Luego inf{ct - z,} es finito C.S. y entonces al crecer el capital inicial la I >o probabilidad de no ruina se acerca más a 1, es decir <S(-) Al sustituir <S(-) = = 1. 1 en O tenemos: 1 = @(O) AC1 +c @(O) = 1" AP C Y ( 0 ) = 1-@(O) AP = -= - c (l+p)&f 1 cuando o h p l+p " - y(0) no depende de la forma funcional de la distribución de las reclamaciones sino sólo de EX. Ahora veamos un ejemplo. 9 Ejemplo 1.1 Sea N, - Poisson(O.5) y X-- 1 -4 3 2 +-e 3 Tomemos c = 1 + 0.5(0.7)= 1 + 7/20 para que o h p / / L W I -por la Prop. 1.31 Y(0) = ___ - 0.26 - 271 20 27 es decir si el capital inicial es cero, hay aproximadamente un 26% de probabilidad de ruina considerando un horizonte de tiempo infinito y un factor de recargo p = 2017. Prop. 1.32 Si p>O y X - E X:p(1/p) + "(u) 1 '+P = --exp(- pz'> N + P> Dem. Hacemos el cambio de variable y = u - x en O como g(y,u) = @(y)exp( 21 - y -~ ) es continua en [O,-)x[O,-) P Y también lo es D , g ( ~ ~ ,=-@(y)--u) exp(-(u -y ) / p) P a @'(u) es diferenciable en [O,-) 10 y @"(u) a a C CP = --@('u)--( 1 . cP(u)---j @(y)exp( -(u-y)/p)dy ) P o A a la C CP P. c = -~yu)""(u)+"("(u)~'(u)) @"(u) = - (1+ P)P @'(u) :. l a solución debeserde PI4 @(u) = c, - c2exp( - ___- la forma: ) P(1+P) Para p 0 contamos con 2 condiciones: luego @(m)= y @(O) = 1-c2 = 1 " "(u) 1 = __ exp( - P> I+ P c, = 1 c, -0 1 1+P =. L',=- 1 1+P pL ) Prop. 1.33 Aproximacibn de Cramér-Lundberg Si 3k>O 3 A - -Jo elCT ( 1- F ( x))& = 1 { c Condición exponencial ) 11 Dem. En realidad es un corolario del Teo.2 Cap. 1 1 de Feller [ 9 ] , basta observar que al sustituir @(O) = 1- - en O tenemos: C & +A :J @(u-x)( 1-F(x))dx @(U)= 1- c c renovación de la forma @(u) = 1- L- + jam con L la distribución defectuosa L(y) = -S A que es una ecuación de @(u-y)L(dy) Y c o (1- F(x))dx .: L, AP =c Aplicando el teorema antes mencionado: l-<D(u) L, = ___ e -ku cuando u++m kl i.e. Y(u) 1 1- -)e-ku & = -( kji c cuando u++- LO que concuerda con la intuición, mientras el capital inicial sea "grande" la probabilidad de ruina es pequeña. Ejemplo I .2 X - Exp( 14). Observando la Prop. 1.32 un candidatopara k = N :. + Se cumple la condición exponencial para el valor k propuesto. P) >o 12 Para la segunda condición tenemos: Integrando por partes Para "recuperar" la Prop. 1.32 P.D. 1 --(I lip --)Ap = ___ 1 c l+p Ejen~plo1.3 Las distribuciones donde ex crece más rápidamente de lo que 1-F(x) decae, son candidatas a no cumplir la condición exponencial, en estos casos la distribución F tendría una cola "pesada" es decir, 1 -F(x) es "grande" cuando x es %'ande a diferencia del ejemplo anterior. Tomemos X - Pareto(a,b) h" F ( s )= (1 --)I xu ' ' b>O, a>l (paraque 3 EX) 13 La distribución Pareto no cumple con la condición exponencial, por lo que no podemos aplicar la Prop. 1.33. Embrechts [7,8] desarrollo una técnica para este tipo de distribuciones llamado caso subexponencial. Prop. 1.34 Si la condición exponencial se cumple a Y(u)le-k" VUE9 3 . Dem. Sea Y,,( 1 1 ) la probabilidad de que la ruina ocurra antes o durante la n-ésima reclamación. Claro que "(u) = lim Y,l( u ) 17+- Usando inducción demostraremos que Y12 (21) 5 e-ku VUE3. Si U<O Yo( II ) = 1 :. Si u20 Y(,( 2 1 ) = O .: si U<O 1I e+* si u20 O 5 e+', luego Y(, (21) 5 2 ' ' VUE %. Supongamos Y,,-, ( 1 1 ) 5 e-kuVUG%. Si u<O es obvio que Y?: (11) = 1 I Sea X, Consideremos u20 la v.a. que describe el monto de la primera reclamación, T, la v.a. que describe el tempo que transcurre antes de la primera reclamación, Yll= ~ ( ~ ~ ( ~ 4 ~ ~ , , ~ ) ) = ~ ( ~ l , - , ( Z 4 + c ~ - X , ) ) +m +n =I,, J"Y,7-,b+cf-s);k""L¿F(K)dt Por la condición exponencial 3k>0 3 s,i eks(1 .. ' - F ( .x))& o C =- a C' k k 14 Luego la condiciónexponencial implica I, kc+d e d F ( x )= ___ .. O la a Simplificando O Y,(#)5 1O ~ ~ ( - A - " " ' ~ - ~ ~ O ~ e ~ ~ F ( ~ ) ~ ~ Sustituyendo O CAPITULO I1 SIMULACION CRUDA. 16 El objetivo en este capítuloconsiste en ilustrar una técnica de simulación que llamaremos cruda para estimar Y(u,T), introduciremos el concepto deinsolvencia y nos extenderemos a modelos de préstamo bajo ruina y riesgo en ambiente markoviano. 2.1 DEFINICIONES Sea R, = U+p)W OltlT. A R, le llamamos el proceso de solvencia. De acuerdo con la directiva 73/239/EEC de la Comunidad Económica Europea hay insolvencia si 3 tE[O,T] 3 R, < 0.18 [8]. L a idea de insolvencia es establecer una barrera de alerta de tal modo que una compañia permanezca operativa, sólo cuando esté por arriba de dicha barrera. A una secuencia de realizaciones de v.a.i.i.d.con distribución F, la llamamos secuencia de números aleatorios con distribución F. Debido a que los métodos para generar dichos números son deterministas, es decir generan la misma secuencia de números dada la misma semilla, también se les denomina pseudoaleatorios. Para las simulaciones se empleó el generador de números aleatorios de Turbo Pascal versión 4.0 y una computadora PC-compatible i486DX a 33MHz. Los listados de los programas se anexan en un apéndice al final del texto. 17 2.2 DESCRIPCION Bajo las hipótesis 1.1simularemos una realización del proceos de riesgo U,, t e [O,T] aplicando técnicas de MonteCarlo para estimar Y(u,T). Simularemos las v.a. de lostiempos de arribo de reclamaciones T,-Exp(h). También los montos X,, X,, ., .,X,*correspondientes a cadareclamación, de acuerdo con la distribución F. Cuando U , < O o cuando la suma de los tiempos de arribo sea igual o exceda el horizonte de tiempo T, termina la simulación del proceso de riesgo. Así obtendremos una secuencia U ’ ,U 2 ,..., (1,‘ de N realizaciones de U , . 1 ” Fv( x )= - N Ir,,,(--,x] es la distribución empírica de las U’ :. F,(O) es el I=I número de veces que U, < O en las N simulaciones. De hecho el teorema de Glivenko-Cantelli [6] garantiza que F , ( . ) + prob. 1 cuando n+m. ( F F(.)uniformemente en 3,con es la distribución de U{) Y(u,T) = F,.(O) para N suficientemente grande. 3 El algoritmo para efectuar N simulaciones es: O Cont 1 Haz N veces: 2 Y=O,t=O 3 Generamos un tiempo de arribo W = O reclamación. 4 Y = Y + X - ctw= ,t + W 5 Si (Y%) y (t<T) regresa a 3 6 Si ( Y x ) 7 FIN {Haz} Cont = Cont +1 - Exp(h) y X - F monto de la 18 El algoritmo está dominadopor los tiempos de generación de las v.a. W y X, por lo que los procesos de riesgo con tiempos de arribo "pequeños" tardarán más en efectuarse. Ejemplo 2.1 Resulta esencial saber que tan cerca estamos de los resultados exactos y lo Único que tenemos para comparar son los resultados del primer capítulo. Este ejemplo en su primera parte, nos da una idea del comportamiento de la simulación cruda con respecto a los resultados asintóticos del capítulo anterior. Caso P/E. N,- Poisson( 1 O), X -- Exp( 1/10), Se hicieron N = lO3 simulaciones en cada caso. "(u, T ) es la estimación u p T \fi(zr,T) 2.1.1 O 0.1 50 0.901 0.909 2.1.2 O O. 1 100 0.911 0.909 2.1.3 O 0.2 SO 0.833 0.834 2.1.4 O 0.5 50 0.667 0.666 2.1.5 1 0.1 50 0.903 0.900 2.1.6 11 0.1 "(u) 50 0.822 0.819 Sabemos que para T suficientemente grande Y ( u , T ) = "(u), lo que en efecto sucede en los casos 2.1.1-2.1.6.( T = 50 es un horizonte de tiempo grande, considerando un escaso o nulo capital inicial, Embrechts y Wouters [7,8] trabajan con T = 25 o T = 30.) Si > 7; Y(O,7;) I Y ( 0 ,T,) que concuerda con 2.1.1 y 2.1.2. 19 Si consideramos p grande y un capital inicial escaso o nulo, como en los casos 2.1.3 y 2.1.4, la probabilidad de ruina a tiempo finito será muy parecida a "(u), ya que los eventos de ruina ocurren en los primeros momentos de la simulación y por ende la importancia del horizonte T diminuye. En general se observa unatendencia a sobreestimar la probabilidad de ruina, claro que nuestro algoritmo garantizaba \P(u, T) = Y(u,T), no necesariamente Y(u,T)--'@(u, T ) 2 O, y las diferencias de la estimación con YT(u)(cota superior) 1 Y(u)-'@(u,T) I son del orden de En los casos 2.1.5 y 2.1.6 se trabaja con 00, comparándose las estimaciones con el resultado asintótico de la Prop. 1.32, de nuevo los resultados concuerdan con la intuición: mayor capital inicial, menor probabilidad de ruina. En la segunda parte del ejemplo, estimaremos la probabilidad de insolvencia ,. Y[(11, T ) , ejercicio de interés práctico, pues una compañía se enfrenta antes al peligro de l a insolvencia financiera que a la ruina. El horizonte T = 30. N & = 5000 simulaciones. u P P +,04,n 2.1.7 0.25 757.5 0.01 10 0.335 2.1.8 0.30 100 0.013 9900 0.1 Ejemplo 2.2 Veamos que sucede si X - Pareto(a,P), es decir al considerar una distribución que no cumple con la condición exponencial. ,\', - Poisson( 1 O). T = 30. N = 5000 simulaciones. 20 Se seleccionó un capital inicial de 1500 (2.2.1y 2.2.2) y de 300 (2.2.3)por ser el 50% de la esperanza de Z T , es decir U P p a EZT 11 = -. 2 +,(U,T) +W) 2.2.1 1500 O. 1 2.143 11.429 0.033 0.009 2.2.2 1500 0.2 11.429 2.143 0.026 0.008 2.2.3 300 0.1 2 2 0.016 0.043 Es evidente que al estar la barrera de insolvencia por encima de la barrera de ruina, la probabilidad de insolvencia es mayor que la de ruina. Por otra parte, al aumentar el factor de recargo p diminuyen las probabilidades de ruina y de insolvencia. (casos 2.2.1y 2.2.2) Ejemplo 2.3 Hemos trabajado con X distribuida Exponencial o Pareto, ahora tomaremos una combinación lineal convexa F ( x ) = 3/F;(x)+ (1 - y)F, ( x ) con: F, una distribución Pareto(a,P) y FL Exponencial(O.1). T = 30. N = 5000 simulaciones. %ups p y T ) +(24T) 2.3.1 0.36 1200 0.1 2.143 11.429 0.75 0.063 0.013 2.3.2 0.39 1200 0.01 2.143 11.429 0.4 0.056 0.008 0.133 0.006 2.3.3 0.34 380 0.05 2 1 0.7 Al efectuarse el promedio pesado, la probabilidad de ruina disminuyó tanto,que hubo necesidad de reducir el capital inicial (2.3.1y 2.3.2) con respecto al ejemplo anterior (2.2.1 y 2.2.2) para poder obtener una estimación. .41reducir y las probabilidades de ruina e insolvencia disminuyen, a pesar de considerar un factor de recargo menor como compensación.(2.3.1 y 2.3.2) 21 2.3 PRESTAMO BAJO RUINA La necesidad de mantener una empresa operativa a pesar de la ruina, por medio de un préstamo motivó el estudio de estosmodelos. Cuando U,< O para algún TE [O,T] se pide un préstamo -r = -U,con una tasa de interés 6. Definimos una nueva "constante" deingresos, que en realidad es fbnción del préstamo r: c(r) =c + F.r-I(r<O) Construimos entonces un nuevo modelo U,fi= r + c(r)t - 2, tE [r,T] , sustituyendo simplemente c por c(r). Si existe V E (r,T] 3 Up < O repetimos el mismo' proceso anterior Como l a tasa de interés 6 es la misma para cada préstamo, pagamos cuando alcanzamos el horizonte T y por lo tanto no sumamos el préstamo -r a [J: en cada momento de ruina T, resulta trivial comprobar que esto es equivalente a ajustar U t = O y pagar en el momento T, la suma de todos los préstamos que se nos otorgaron x-); I 22 Observamos que c(r) permanece contante entre reclamaciones y conforme r es menor (el préstamo es más grande) c(r) disminuye. La ruina absoluta ocurre cuando ya no es viable un préstamo -r porque c(r)50, es decir ya no podemos pagar dicho préstamo. C = inf { t E [O, TI:U: I - Definimos el momento de la ruina absoluta rubs 6 } Dassios y Embrechts (1989) demostraron que YUbs(u) = kY(u) con O<k<l para el caso P/E con horizonte infinito. Ejemplo 2.4 N, - Poisson(l0). u X - Pareto(a,lJ). T = 30. N p 6 P a +ubs(14, 2.4.1 100 0.2 O. 1 2.143 1 1 429 0.075 2.4.2 300 0.1 0.07 2 O. 006 2 = 5000 T) El factor de recargoen 2.4.1 es 0.2 para compensar la tasa e interés EZ,. En el segundo caso 6 es cercano a p, pero con capital inicial grande: 2 Ejemplo 2.5 N,- Poisson(l0). T = 30. F; = Paretc(a,/3). X - yF; + (l-y)&. u N p l i c 2.5.1 180 2.143 0.1 0.2 11.429 0.75 0.045 2.5.2 50 0.15 0.1 x 2 = 5000. F, =Exp(O.l). P Y +ob*(%T) 1 0.053 0.7 Se aumentó el capital inicial en 2.5.1 con respecto a 2.4.1, para compensar el promedio pesado con l a distribución exponencial. 23 2.4 SLMULACION DE RIESGO EN AMBIENTE MARKOVIAN0 Una forma de generalizar un proceso de riesgo consiste en considerar { Y, = 2, - ct },, con la propiedad de que la tasa de arribo de {N,},2o y la distribución F de X, no están fijas en el tiempo, sino que dependen del estado de un proceso de salto markoviano subyacente {S,},,,, es decir F= < cuando A = A, y S, = i , t2O. A esto se le llama Modulación Markoviana Resulta útil para modelar ciertas clases de epidemias en seguros de salud y en seguros de automóvil, donde el clima puede ser un factor determinante en accidentes. Sea E el conjunto de estados de {S,}, trabajaremos con E finito. Supongamos E = { 1,2 1, de tal modo que si S, = 1 ocurren muchas reclamaciones pequeñas y Si x, = 2 hay pocas { y } tiene deriva positiva reclamaciones (pero grandes) y { r] } tiene deriva negativa El proceso se ve dela siguiente manera: Sr 1 1 2 1 I 1 2 I 1 I 2 ... 24 Supondremos que {S,) es ergódico, lo que significa que existe una distribución estacionaria TC como c * = ( 1 + p ) ~ n 8 A l E , , pY=, IEE c C y A F -I es el margen de seguridad. es decir G(r + t) = G(r).G(t) , r, t > O *G tiene que ser de la forma G(t) = e-"", con t, a, > O A G la llamamos densidad de transición desde el estado i y a, es la tasa de transición correspondiente. Observamos que los tiempos de espera de cambio de estado tienen distribución ExP( al). 25 El algoritmo para la simulación es : O Cont 1 Haz N veces: 2 Y=O,t=O,H=O,S=i 3 Generamos B - Exp(aS) 4 H = H+B 5 Si (H>T) a 6 Generamos X - F, y W - E ~ p ( h , ~ ) 7 Y = Y+X-cw,t 8 Si (Ylu) y (t<H) regresa a 6 9 Si (t>H) t 10 Si ( Y x ) 11 Si (S=i) 12 Si (H<T) regresa a 3 IS FIN. {Haz} =O H =T = t+W =H 9 3 Cont = Cont+l S = j si no S = i Se genera un tiempo de espera en el estado i ( linea 3), obtenemos una realización del proceso dado que estamos en i, en el intervalo de tiempo [t,H) ( líneas 6-8). En las líneas 5 y 9 se ajusta el posible desborde en el horizonte de permanencia en el estado i ( H ) o en el horizonte de tiempo T. A1 terminarse cada tiempo de permanencia, cambiamos de estado ( línea 11) y repetimos el proceso hasta alcanzar T. Hacemos N simulaciones y contamos el número de veces que ocurre la ruina y estimamos Y,( 2 1 , T ) = Y ( u , TI&, = i ) mediante Y l ( u ,T ) = Cont ~ N 26 Ejemplo 2.6 E = { 1,2) Las transiciones de 1+2 ocurren con tasa a. Las transiciones de 2+1 ocurren con tasa 2 a . Si S, = 1 Si S, = 2 - h =Al, x - E X P ( ~ , ) :. h =A,, X - Exp(&) :. 1 pl = - PI p 2 =- 1 P2 La matriz de intensidad A de {S, es: Calculamos la distribucion estacionaria x: nA=O ( n , , n J2a [ - a -2a a )=(-an,+2un,,un,-2rra2~=(0,0~ 1 a an, = 2an, , si hacemos n2 = - tenemos n = 3 Pedimos que A l < PI' c y h2 > p, .c , es decir en el estado 1 {E;}tiene deriva negativa y en el estado 2 deriva positiva Para las simulaciones consideramos A, = 0.45 , h2 = 1.8 que cumplen con la condición arriba mencionada tomando en cuenta el resto de los parámetros de la tabla de resultados. 27 a T u P, P2 c "kI(u,T) '?2(u,T) N 2.6.1 10 3030 1 1 1 0.033 0.033 1000 2.6.2 1 3030 1 1 1 0,010 0.010 5000 30 1 1 1 0.031 0.068 5000 2.6.4 1/64 250 50 1 1 1 0.208 0.394 1000 2.6.5 1/25 100 SO 1 10 7 0.529 0.864 5000 1 10 7 0.434 0.745 5000 2.6.3 1/10 30 2.6.6 1/25 100 100 Se seleccionó c-l (2.6.1-2.6.4)y c=7 (2.6.5, 2.6.6) porque implican que p = O. 11 (un factor de recargodel 1170). El algoritmo está dominadopor los tiempos de espera de cambio de estado, esto significa que cuando a es más grande, el tiempo de ejecución crece por lo que para 2.6.1 se efectuaron 1000 simulaciones. El caso 2.6.4 es diferente: simplemente el horizonte de tiempo T es muy grande Asmussen [4] lo resuelve empleando técnicas de procesos conjugados y obtiene Y l (50,250) = O. 193, (50,250) = 0.399 muy similar a nuestro resultado, aún cuando la técnica desarrollada por Asmussen es muy superior en precisión. En general 1 - puede a ser considerada como una medida del grado de .Modulación Markoviana: entre más grande es a los tiempos de permanencia en un estado serán menores implicando que Yl y Y2son muy parecidas, por otra parte si a es pequeña los tiempos de permanencia se hacen más largos haciéndose significativa la diferencia cualitativa entre los estados, luego resulta importante el estado de origen y las estimaciones lo muestran (2.6.3-2.6.6). 28 El siguiente capítulo resolverá algunas preguntas básicas: ¿Qué tan cerca está nuestraestimación de Y(u,T)? ] que permita ciertas ventajas sobre la ¿Existirá un proceso equivalente a {U, simulación cruda? ¿Será posible estimar adecuadamente Y(u) en un nirmero finito de pasos? CAPITULO 111 PROCESOS C O N J U G A D O S 30 Trabajaremos con una técnica más general, utilizando una familia de procesosasociadaa unafamilia de distribuciones {P,},, 3 la ley de probabilidad Y de nuestro proceso original de riesgo {U, ] sea igual a cierro 8, E Go,para O. Construimosunav.a. RB 3 Y'(u,T)= E,&. Esto nos permite obtener diversas ventajas: i) "(u) puede ser simulada practicamente en un número finito de pasos ii) Las varianzas son pequeiias con respecto a la simulación cruda. Las simulaciones al igual que en el capitulo anterior, se hicieron implementando los algoritmos en Turbo Pascal 4.0, en una i486DX a 33MHz. 3.1 PRELIMINARES = E ( ( E e " ) N ) ya que X,,..., X , 4 : son v.a.i.i.d 31 Def. 3.12 CJna familia { FHItkI-) de distribuciones es llarnada una familia conjugada si las 4 son mutuamente equivalentes con densidades de la forma: y si para algún O,, E O fijo, el conjunto de parámetros O contiene a todos los $E 93 3 O define una distribución, donde k,, Clarotomamos que (e- e,,)= l o g E ~ , P ).U = I O ~ D & I - eo). O = {eke((e- e,,)< -1. (fl-H, Decimos que 2 distribuciones G, H son conjugadas si G, HE {Fe}flE, Definimos Y, = 2, -ct 7 =3 , te [O,m) = inf { t >,O: Y(+ > u > es el momento de la ruina P( S < m) y Y(U,T)= P(T< T ) Po,= P es la ley de probabilidad del proceso y O,< O es la solución de Observe que @o,(.) = @:,(-e,,)= Ac - con @ ,(a) = E@' j,{? Y 3.4 8 5 32 Prop. 3.13 %(PI = @,,(P+ 8-80) 80) 8,8, EO arbitrarios 8 f 8,. esdecir k , ( ~ ) = k ~ o ( p + 8 - 8 0 ) - k , o ( 8 - 8 0 ) Dem. Sean 8,8, E O arbitrarios 8 # 8,. por 3.11 33 = eb.O%(+@dOO(P)-l) Lo que implica que bajo P, 2,es Poisson compuesto con tasa de llegada A, = AQo0 (6- 8,) y reclamaciones con distribución F,. Si sustituimos en la Prop. 3.14 E, por E y empleamos este hecho: Prop. 3.15 Sea Si tE (O,-) fijo, @E O. es doblemente diferenciable en un intervalo I alrededorde a p , = E H y > O cuando 8 > O y Dem. ,uo < O cuando 8< O -eo 34 P,=ibote-s,) 3 Si e > -8, >O tiene un mínimoen Si 8- 8,)> -Bo y como --eo : e < o 8-eo<-8, Escoger Y P,=ioo(-8,)=o p, = 3 (.) escóncava hacia arriba y x;,(e- e,,) > p,, = O p,,=~H,(e-e,)<o -e(,como lo hicimos, nos permite conocer el signo de ,ue siempre que sepamos el signo de 8 Dem. Bajo la ley <,,Z, es Poisson compuesto (Prop. 3.14), donde N,- Poisson(h,) y XI - Fe. De la ley herte de grandes números : i.e. 1 t Iim-(Zl -A,~E,x) =O r+- Basta demostrar que si p < O + Como 6 > O E,(z, - c t ) > O :. p < O. 2, - A,tE,X por ( 4 ) lim:+-- +m - pA,tE,X - t C.S. C.S. cuando t + = -pA,E,X >O - C.S. 35 3.2 DESCRIPCION Necesitamos un teorema que permita plantear el problema original en términos del proceso conjugado. Sea { s , } ,una ~ ~caminata ~ aleatoria a tiempo continuo. Definimos 3, = o(Sr;r I r) y si z es u n tiempo de paro respecto a ( 3 ,},o Teo. 3.21 Identidad Fundamental del Análisis Secuencial. donde 1 xe(P)= -log E,ebYf t Este teorema también se conoce como identidad fimdamental de Wald. Dem. Sean 6,6, E O. Consideremos primero una caminata aleatoria discreta S,, = x , +...+ x,, 36 n [ = exp (e, - m ,- l o g n E , e = exp( (Oo-0).Y i=l (e, - e)s, - n log E , ~ ' ~ O - ~ ) . ~ ) En particular si G E 3, = dX,, ..., X,,) e integramos sobre G tenemos: (e,,- e)S,,- n log E,e Definimos 3; = L S,, ;k = I , . . .,n 1 . Pero I,,-,).,)). /,;l. . . @ { ,YkTjn}es una caminata aleatoria X"(') y tenemos n incrementos,luego discretacon incrementos con f.g.a. -~ rl 3, se genera a partir de las 3;., i.e. 3, = (u$) n=l Sea G E 3, , supongamos que C;c{ z 5 T},posteriormente extenderemos el resultado a Gc{z < -} empleando convergencia monótona. Claro que G E 3, , entonces O implica: ~,~~=~,[(eup((e,,-e)~,.-~~,(e,,-e))).~,;] 37 entonces (*) = 1 ... pH~ = ~ , , [ e x p ( ( e , - ~ ) ~ , - ~ x , ( e , - 8 ) ) . 1 , ] Para extender el resultado a G c { T < m} consideramos { c } una sucesión creciente no acotada de números reales. G, = G n { r < T , ) ~ 3 ~ ~ Sean y .f, = e x p m , , -@S, - -e>).IGk limf, =exp((8,-0)S,-rx,(8,-0)).IG = f k -+" luego por convergencia monótona E,j ; Aplicando el Teo. 3.21 al proceso + E,f cuando k+m. {y} y tomando z = inf { t 2 O: > U} 38 Y ( u , T ) = EBRO ~,=exp((e,-e)y~-r~,(e,-e))./{.r<~}, donde Entonces basta con simular Re como en el capítulo I1 y aproximar la esperanza por la media muestral. Observemos que si e = 8, y tE [O,T ] R,, = I(Z< T} Si consideramos horizonte infinito y 8 > O por la Prop. 3.16 { T < -} luego es suficiente en este caso considerar R, = exp( (O, C.S. - @Y, - q,( 8, - O)) al calcular EHRH. Bajo la ley PHla ruina ocurre tarde o temprano excepto en un conjunto de medida cero, por lo que podemos simular Re y terminar la ejecución de cada simulaciór- en el momento de ruina 7, entonces es posible estimar "(u) en un número finito de pasos También se simplifica R, para otros valores de 6 , en particular para 8, = y + 8,) donde y > O es la solución de la ecuación de Lundberg x, ( y ) = O . A 8, ( es trivial ver que 8, E O) le llamamos el valor de Lundberg y al proceso asociado, proceso de Lundberg. Como xe,(O) = O y X,, es cóncava hacia arriba, la solución y>O tiene que ser única, si es que existe. Por 0 capítulo I, el exponente de Lundberg k de la condición exponencial (Prop. 1.33), es la solución de la ecuación de Lundberg. Ahora bien, la Prop. 3.13 implica: ~,,~~~~-~~~=~~,~~~~,-e,~+e,-~,,~-~, -Xe,,(O)-Xe,(el-e,)=O-X,,(Y)=O - :. R,, = e x p ( ( e , - e , ) ~ , ) . ~ { r < ~ } = e x p ( - y ~ , ) . 1 ( 2T.]< 39 Cuando T = - y 8 = 6, > O {z< -} C.S. :. Y(u) = Eo,exp(-yY,) Definimos B(u) = Y, - 14 el sobredisparo del proceso de riesgo, esta v.a. será de importancia en el cálculo de vol . De hecho en el caso P/E para 8 > O 40 Ejemplo 3.1 Consideremos el caso P E , con p = EX= 1, A = 0.8, p = O. 1 y T = OO. Sea "(u) = 0.05. Calculamos el capital inicial 21, empleando la Prop. 1.32 : [0 ) exp -~ =O.O5(1+p) u = -~ ('+p)10g(0.05(l+p))= 31.904 Despejando P c=(l+p)Ap=(1.1)(0.8)=0.88 Ahora resolvemos para 7 la ecuación de Lundberg. (Prop. 3.14) Xe,(~)=A(@,(y)-l)-cy=O y( c y + cA - c) = 0 1 = O es la solución trivial. y= L'~ A A = 0. 0909 Compararenlos las varianzas de la simulación de Lundberg Rol y de la simulación cruda Re,, = E e o I ' { ~m<} - ES l { ~-}< ="(U) - Y2(14) = 0.05 - (0.05)z = 0.0475 v,, = Vare, R 0, - e - 2 ~ u . varele-@(") = Vark,e-Y'.7 = Vur.,,e- y ( u + n ( u ) ) - 41 1 .*. E,, X = - esto implica R(zr) - Exp( 1-7) I-Y = ( 1-[)y e-"clx = 1- y =: 3.025~10"(0.8333-0.8264) =: 2.08 X < \loo Es notable ladiferencia entre las varianzas lo que significa que la y simulación del proceso de Lundberg es más precisa 'I'[ El error en la estimación de la media es Considerando Neo = 1 .-. en nuestro ejemplo: N,,es decir, el mismo número de simulaciones para cada valor 3e 6. También se observa quepara obtener con la simulación cruda un error similar al del proceso de Lundberg, son necesarias muchas más simulaciones, lo que se traduce en eficiencia de cómputo. 42 Además podemos calcular intervalos de confianza : Supongamos un intervalo de confianza del 90% y N,, = 100 z,.? = z,,,,, = 1.645 el intervalo de confianza es (0.05 - 7.5 x 104,0. 05 + 7.5 X 10-j ) El algoritmo para estimar "(u) a partir de 1 N, simulaciones, es el siguiente: Calculamos -8", escogemos 8 > O. Si tomamos O , , resolvemos la ecuación de Lundberg 2 y-t=0 3 Generamos X - F, y W - Exp( A@," ( 8 - O, )) 4 Y==Y+X-cw S Si (Y I u) regresa a 3 si no Rh = exp( (O, 6 FIN Hacemos E,$ 7 - O)Y - ?X,( = --x I " N, i=l RA FIN A continuación algunos ejemplos O,, - O ) ) , 1 I i 5 N, 43 Ejemplo 3.2 Implementación del ejemplo 3.1., caso P/E conp = 1, A = 0.8, p = O. 1, c = 0.88 Por 3.12 y 3.14 N , ( t ) - Poisson( c ) y X, - Exp(A / c). Además y = 0.0909,8, = -0.0488, 8, = 0.042 1 . u T N,, Y(u) @(u,T) lo2 31.9 3.2.1 3.2.2 00 E , ES 0.0498 4 . 5 ~ 1 0 ~ 5x10" 0.05 31.9 A &,y 4~10-~ 0.0499 1 . 4 ~ 1 0 "1 . 4 ~ 1 0 2X10-3 ~ lo3 0.05 3.2.3 31.9 200 lo3 - 0.0173 - 7 . 5 ~ 1 0 ~- 3.2.4 31.9 500 IO3 - 0.0392 - 6.6~10" 3.2.5 16.7 00 200 103 - 3.2.7 16.7 500 lo3 - Donde E , es ~ estándar, 0.1997 5 . 7 ~ 1 0 ~ 5 . 9 ~ 1 01.5X10-3 " lo3 0.20 3.2.6 16.7 - O. 142 - 2.9~10-~- o. 184 - 1.7~10-~ - el error en la estimación de la media, también llamado error c.j es la estimación del error estándar E,< = I y E, es el error relativo: Y(2 1 ) " Y'(14) Observe que la estimación en 3.2.1 está en el intervalo de confianza del 90% calculado en el ejemplo anterior: Y(31.9046)=0.0498~(0.05-7.5~10-',0.05+7.5X10") En 3.2.2 incrementamos el número de simulaciones N,,= 1000, lo que causa una mayor precisión, ~,,g, y E, son menores que en 3.2.l . El intervalo de confianza del 90% también es más chico: Y(31.9046)=0.0499~(0.05-2.3x10~,0.55+2.3x10~j 44 En los casos 3.2.3 y 3.2.4 se consideró horizonte finito T = 200 y T = 500 respectivamente, notamos que i., disminuye conforme T aumenta, lo que también se observa en los casos 3.25, 3.26 y 3.27. R,, = e-''? . I { z < T) :. en las simulaciones donde no ocurre la ruina 4,= O esto ocurre un mayor número de veces conforme más pequeño es el horizonte de tiempo para el mismo capital inicial u, generando una varianza y por ende, un error estandar mayor. Para 3.2.5 también se cumple: +(16.6554) = 0 . 1 9 9 7 ~ ( 0 . 2 - 9 . 4 9 ~ 1 0 4 7 0 . 2 +lo4) 9.49~ Ejemplo 3.3 Sea X - U(0, I ) , N,- Poisson( 1) Calculemos FH: Ahora bien, A, = m y m - e o ) 45 Resolvemos @:y c (-6,) = - A En el ejemplo 3.2 obtuvimos diversas estimaciones variando T y u, en este ejemplo, trabajaremos con diversos valores de 8 = e,( 1+A), buscando la mejor ,. estimación Y(u , T ) para cada uno de los dos casos: T = 00 y T = 1000. Se hicieron 100 simulaciones de cada caso, tomando u = 30. A 3.3.1 1.0 3.3.2 1.0 3.3.3 o. 1 3 . 3 .4 0.1 7 1 0.05 3.3.5 T 00 IO3 IO3 00 lo3 0.05 3.3.6 3.3.7 0.0 3.3.8 0.0 00 lo3 Y(u,T) ,. ,. VR &.S 0.199 1.5~10" 1.2X10-' 0.041 3 . 6 ~ 1 0 - ~6 . 0 ~ 1 0 - ~ 0.223 6 . 22~. 51 ~0 1" 0 - ~ 0.053 8.2~10" 0.2200 9 . 9 ~9 1. 80 ~" 1 0 " 0.047 7 . 8 ~ 0.2200 4.2~ 2 .100~"1 0 " 0.049 8 . 4 ~9 1. 10 ~" 1 0 - ~ 9.1~10" 8 . 8 10" ~ 46 Se observa que conforme A-O el error estándar estimado 2 , se hace más pequeño para '?(u), es decir la mejor estimación ocurre cuando A = O (3.3.7). No ocurre lo mismo en el caso de horizonte finito T = 1000, donde el error estimado menor ocurre cuandoA = 0.05 (3.3.6). Sin embargo, la peor estimación ocurre cuando A = 1, es decir para el valor más grande de A que consideramos en el ejemplo. Resulta natural preguntar por la existencia de un A Óptimo, en el sentido que el error estimado y el tiempo de cómputo sean lo más pequeños posibles, ¡.e. si i,, es el tiempo promedio de una simulación R,, buscamos A 3 f(A ) = io . ,v sea m i n i m a Empleando tkcnicas de difusión Asmussen [2,3] minimiza . f ' ( A ) ,demostrando optimalidad asintcitica en el caso T = 03, para el valor de Lundberg 8, (A = O) y encontrancfo que para horizonte finito A = O, no es óptimo. Lo que concuerda con el comportamiento de los casos T = 00 y T =IO00 en nuestro ejemplo ( con el valor de Lundberg no se obtuvo el menor error para el caso de horizonte finito). ... CONCLUSIONES Los resultados puramente teóricos nos proporcionaron una herramienta limitada de cálculo, pero una base sólida para el desarrollo de técnicas fundamentadas además enla simulación y métodos de Monte Carlo. La simulación cruda abarca un amplio panorama de modelos como préstamo bajo ruina y modulación markoviana, además de liberarnos del yugo de la condición exponencial para la distribución de los montos de las reclamaciones, sin embargo su pocaeficiencia computacional y numérica la hacen interesante sólo bajo la perspectiva de una técnica más elegante y depurada, la simulación de procesos conjugados. Aunque resentimos de nuevo la reducción de distibuciones admisibles para S , resolvimos entre otros, el problemil d e estimar Y(u) en un número finito d e pasos, imposible en la simulación crrtda. Resulta natural pensar en la aplicación de procesos conjugados a modulación markoviana [4] o el debilitamiento del conjunto de hipótesis 1.1 (considerar N(t) un proceso de renovación [12] por ej.), sin dejar a un lado las aproximaciones por difusión [1,2,3], la construcción directa de martingalas [lo] o modelos deterministas a trozos [7]. Existe pues, un camino de investigación bastante amplio. APENDICE LISTADO DE PROGRAMAS. 49 PARA SIMULAR V.A. CON UNA DISTRIBUCION PARTICULAR EL METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA [13,14,15,16]. SE EMPLEO Program POISSON-EXP; (** (** (** (** ESTE PROGRAMA FUE EMPLEADO EN EL EJEMPLO 2.1 EN LOS CASOS 2.1.1-2.1.6 ESTIMA LA PROBABILIDAD DE RUINA CUANDO X SE DISTRIBUYE EXP(E) . **) **) **) ** 1 VAR X,R,E,T,HT,PROB,U,L,RltR2:RERt; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITELN('DAME EL Nu" DE SIM.'); READLN (N) ; WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN(L); WRITELN('CAP1TAL INICIAL:'); READLN ( U ); WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN (R) ; WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:'); READLN ( E ) ; WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO'); READLN(HT); CONT: = o ; RANDOM1 ZE; FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x:=o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN R1: =RANDOM; R2 :=RANDOM; T:=T-(LN(Rl)/L); (*SE INCREMENTA EL TIEMPO*) X:=X+((l+R)*LN(Rl)-LN(RZ))/E; (*SE ACTUALIZA EL PROCESO*) IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5); corn:=coNT+1; END; END;(*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END;(*FOR*) PROB:=CONT/N; WRITEW('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:4); END.(*POISSON-EXP*) 50 Program INSOLV; ( * * ESTE PROGRAMA FUE EMPLEADO ENEL EJEMPLO 2.1 * * ) ( * * EN LOS CASOS 2.1.7 Y 2.1.8 **) ( * * ESTIMA LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA C u m * * ) . ( * * X SE DISTRIBUYE EXP(E) **) VAR X,R,E,T,HT,PROB,U,L,Rl,R2,SOLV,CT:REAL; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITELN('DAME EL NU". DE SIM. ' ) ; READLN (N) ; WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); R E A D W (L); WRITEW('CAP1TAL INICIAL:'); READLN (U); WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN ; (R) WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:'); READLN (E); WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO'); R E A D W (HT); corn :=o ; CT:=(l+R)*L*HT/E; RANDOMIZE; FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x: =o; T:= O ; SOLV:=U/CT; WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN R1 :=RANDOM; R2 :=RANDOM; T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+((l+R)*LN(Rl)-LN(R2))/E; SOLV:=(U-X)/CT; IF (SOLV<O.l8)AND(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,'INSOLV. % FINAL:',SOLV:2:5,' T=',T:2:5); CONT:=coNT+ ; 1 END; END; (*WHILE*) WRITELN('SOLV.FINAL:',SOLV:2:5, ' CAPITAL FINAL: ',U-X); END; (*FOR*) PROB:=CONT/N; WRITELN('LA PROB DE INSOLV. ES:',PROB:1:3); END.(*INSOLV*) 51 Program PARETO-RUINA; (** ESTE PROGRAMA FUE UTILIZADO EN EL EJEMPLO 2 . 2 * * ) ( * * PARA ESTIMAR L A PROBABILIDAD DE RUINA CUANDO * * ) ( * * X SE DISTRIBUYE PARETO(k,a) ** 1 VAR X,R,T,BT,PROB,U,L,Rl,R2,M,K,A,Y,ESP:REAL; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITELN( 'DAME EL NUM. DE SIM. ' ) ; READLN (N); WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN(L) ; WRITELN('CAP1TAL INICIAL:'); READLN (U); WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN(R) ; WRITELN('D1ST. PARETO(k,a). TECLEE k>l'); READLN (K); WRITELN('TECLEE A>O'); READLN(A) ; WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO'); READLN ( HT ) ; corn :=o ; M:=((K*A/(K-1))-A)*(l+R); ESP:=(K*A/(K-1))-~; READLN ; RANDG2.II2 E ; FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x:=o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN R1: =RANDOM; R2 :=RANDOM; Y:=(A/EXP((LN(R2))/K))-A; T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+Y+(M*LN(Rl)); IF (X>U)and(T<=HT) TEEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',X:7:5,' CONT :=corn+ ; 1 END; END; (*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END; (*FOR*) PROB:=CONT/N; WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:3); END.(*PARETO -RUINA*) T=',T:2:5); 52 Program INSOLPAR; ( * * ESTE PROGRAMA SE UTILIZO EN EL EJEMPLO 2.2 * * ) ( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA * * ) ( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE PARETO(k,a) **) VAR XrR,T,HT,PROB,U,L,R1,R2,MrK,A,Y,SOLV:REA; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITEW('DAME EL NUM. DE SIM.'); READLN (N); WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN(L) ; WRITEW('CAP1TAL INICIAL:'); READLN (U); WRITEW('SAFETY LOADING:'); READLN (R) ; WRITELN('D1ST. PARETO(k,a). TECLEE k>l'); READLN (K); WRITELN('TECLEE A>O'); READLN ( A ) ; WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO'); READLN (HT) ; CONT :=o ; M:=((K*A/(K-1))-A)*(l+R); RANDOMIZE; FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x :=o; T:=O; SOLV:=U/(HT*L*M); WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN R1: =RANDOM; R2 :=RANDOM; Y:=(A/EXP((LN(R2))/K))-A; T:=T-(LN(R~)/L); X:=X+Y+(M*LN(Rl)); SOLV:=(U-x)/(BT*L*M); IF (SOLV<O.l8)AND(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,' INSOLV. SOLV.FINAL:',SOLV:2:5,' T=',T:2:5); CONT:=coNT+ ; 1 END; END; (*WHILE*) WRITELN('SOLVENC1A FINAL: ',SOLV:2:5); END; ( *FOR*) PROB:=CONT/N; WRITELN('LA PROB DE INSOLVENCIA ES:',PROB:1:3); END.(*INSOLPAR*) 53 Program POISPAR; ( * * ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.3 ( * * PAWL ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA ( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE s P 1 + (l-~)F2 ( * * DONDE F1 ES PARETO(a,b) Y F2 ES EXP(E) **) **) **) **) VAR X,R,T,EiT,PROB,U,L,Rl,R2,R3,M,B,A,Y,ESP,S,E:mrn; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITELN('DAME ELNu" DE SIM.'); READLN (N) ; WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN (L) ; WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN ( R) ; WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO'); READLN (HT); WRITELN('LA DIST. DE RECLAMCIONES ES S*Fl(x)+(l-S)*FZ(X)'); WRITELN('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l'); READLN(a); WRITEW('TECLEE b>O'); READW (b ) ; WRITELN('F2(x)=EXPONENCIAL(E). TECLEE E>O'); READLN( E) ; WRITELN('TECLEE LA CONSTANTE DE CONVEXIDAD o<S<1'); READLN ( S ) ; CONT: = o ; M:=(l+R)'(((l-S)/E)+(S*B/(A-1)); ESP:=L*HT*M/(l+R); WRITELN('LA ESPERANZA DEL PROCESO ES:',ESP); WRITEW('CAP1TAL INICIAL SUGERIDO:', ESP/2); WRITELN('TECLEE EL CAPITAL INICIAL'); READLN(U) ; RANDOMIZE; FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x: =o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN R3 :=RANDOM; R1: =RANDOM; R2 :=RANDOM; IF (R3<S) THEN Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B ELSE Y:=-LN(RZ)/E; 54 T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+Y+(M*LN(Rl)); IF (X>U)and(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',X:7:5,' coNT:=coNT+1; END; END; (*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END; (*FOR*) PROB:=CONT/N; WITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:3); END.(*POISPAR*) T=',T:2:5); 55 Program INSOLVCONVEX; ( * * ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.3 ( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA ( * * CUANDO LA DISTRIBUCION DE X ES DE L A FORMA: (** P = 8Fl + (1-8)F2 ( * * DONDE F 1 ES PAREM(a,b) Y P2 ES EXP(E) **) **) **) **) **) VAR X,R,T,HT,PR0B,U,L,R1,R2,R3,M,B,A,Y,ESP,S,E,S0~~~RE~~ CONT,I,N:INTEGER; BEG I N WRITELN('DAME EL NUM. DE SIM.'); READLN (N) ; WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN( L) ; WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN (R) ; WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO'); READLN (HT); WRITELN('LA DIST. DE RECLAMACIONES ES S*Fl(x)+(l-S)*FZ(X)'); WRITEW('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l'); READLN ( a ) ; WRITELN('TECLEE b>O'); READLN (b) ; WRITELN('F2(x)=EXPONENCIAL(E). TECLEE E>O'); READLN ( E ); WRITELN('TECLEE L A CONSTANTE DE CONVEXIDAD O < S < 1 ' ) ; READLN(S); CONT:=o ; M:=(l+R)*(((l-S)/E)+(S*B/(A-1)); ESP: =L*EiT*M/ (1+R); WRITELN('LA ESPERANZADEL PROCESO ES:',ESP); WRITELN('CAP1TAL INICIALSUGERIDO:', ESP/2); WRITELN('TECLEE EL CAPITAL INICIAL'); READLN (U); RANDOMIZE; FOR I : = 1 TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x: =o; T:=O; SOLV:=U/(HT*L*M); WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN R3 := R A N D O M ; R1 :=RANDOM; R2 :=RANDOM; IF (R3<S) THEN Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B ELSE Y:=-LN(R2)/E; 56 T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+Y+(M*LN(Rl)); SOL~:=(U-X)/(HT*L*M); IF (SOLV<O.l8)and(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1; INSOLV. SOLV.FINAL:',SOLV:3:6,'T=',T:2:5); CONT :=corn+ 1; END; END;(*WHILE*) WRITELN('SOLVENC1A FINAL: ',SOLV:3:6); END; ( *FOR* ) PROB:=CONT/N; WRITELN('LA PROB DE INSOLVENCIA ES:',PROB:1:3); END.(*INSOLVCONVEX*) 57 Program PRESTAMO; ( * * ESTE PROGRAMASE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2 . 4 * * ) ( * * PARA ESTIMAR L A PROB. DE RUINA ABSOLUTA ( * * CUANDO X ES PARETO(a,b), EN UN MODELO DE ( * * PRESTAMO BAJO RUINA. **) **) **1 VAR X,R,T,Br,PROB,U,L,Rl,RZ,B,A,Y,ESP,D,RO,L; CONT,I,N:INTEGER; BEGIN WRITELN('DAME EL HUM. DE SIM.'); READLN (N); WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN (L); WRITELN('CAP1TAL INICIAL:'); READLN(U) ; WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN (R); WRITELN('D1ST. PARETO(a,b). TECLEE a>l'); READLN(a) ; WRITELN('TECLEE b>O'); READLN(b) ; WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO'); READLN (HT) ; WRITELN('TASA DE INTERES'); READLN ( D ); CONT :=o ; ESP:=B/(A-l); RO :=R; LIM:=L*(~+RO)*ESP/D; RANDOMIZE; FOR I:=l TO N Do BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x: =o; T:=O; WHILE (T<HT)JWD(X<U+LIM) DO BEGIN R1 : = R A N D O M ; R2 :=RANDOM; Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B; T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+Y+(ESP*LN(Rl)*(l+R)); I F (X>U)and(T<=HT) THEN R:=RO+(U-X)*D/(L*ESP); IF (X>=U+LIM) THEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA ABS. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5); CONT:=CONT+l; END; END;(*WBILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END;(*FOR*) PROB:=CONT/N; WRITELN('LA PROBDE RUINA ES:',PROB:1:3); END. ( *PRESTAMO*) Program PRESTPOISPAR; ( * * ESTE PROGRAMA SE UTILIZO EN EL EJEMPLO 2 . 5 **) ( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA ABSOLUTA * * ) ( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE6Fl + (1-~)F2 **) ( * * CONSIDERANDO PRESTAMO BAJO RUINA. **) . VAR XlR,T,HT,PROB,U,L,R1,R2,R3,M,B,A,Y,ESPlS,ElLIMlROlD:RE~~ CONT,I,N:INTEOER; BEQIN WRITELN('DAME EL NUM. DE SIM.'); READLN (N); WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN (L); WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN (R) ; WRITELN('BORIZ0NTE DE TIEMPO'); READLN ( AT) ; WRITELN('LA DIST. DE RECLAMACIONES ES S*F~(X)+(~-S)*F~(%)'); WRITELN('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l'); READLN(a) ; WRITELN('TECLEE b>O'); READLN(b) ; WRITELN('FZ(x)=EXPONENCIAL(E). READLN ( E ) ; TECLEE E>O'); WRITELN('TECLEE LA CONSTANTE DE CONVEXIDAD O<S<l'); READLN(S) ; WRITELN('TASA DE INTERES:'); READLN (D) ; RO :=R; CONT :=o ; M:=((~-s)/E)+(s*B/(A-~)); ESP:=L*HT*M; LIM:=L*M*(l+R)/D; WRITELN('LA ESPERANZADEL PROCESO ES:',ESP); WRITELN('TECLEE EL CAPITAL INICIAL'); READLN (U); WRITELN('LA BARRERA DE RUINA RANDOM1 ZE; FOR I:=l TO N DO BEGIN ES:',-LIM); WRITEL,N('SIMULACION:',I); x: =o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<U+LIM) DO BEGIN R3 :=RANDOM; R1: = R A N D O M ; R2 :=RANDOM; 59 5 IF (R3<S) THEN Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B ELSE Y:=-LN(RZ)/E; T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+Y+((~+R)*W*LN(R~)); IF (X>U)AHD(T<=HT) THEN R:=RO+(U-X)*D/(L*M); IF (X>=U+LIM)and(T<=HT) THEN BEGIN m I T E U ( 1 , ' RUINA ABS. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5); CONT :=cow+1 ; END; END; (*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END;(*FOR*) PROB: =CONT/N; WRITELN('LA PROB DE END.(*PRESTPOISPAR*) RUINA ABSOLUTA ES:',PROB:1:3); 60 Program MARKOVIANO; ( * * ESTE PROORAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.6 ( * * ESTIMA L A PROBABILIDAD DE RUINA EN UN MODELO ( * * DE RIESGO BAJO AMBIENTE MARKOVIAN0 CON DOS ( * * ESTADOS: 1 CON DERIVA NEGATIVA Y 2 CON ( * * POSITIVA. **) **) **) **) **) VAR Tl,T2,Ll,L2,El,E2,U,C,Y,W,R,Rl,R2,T,ET,Pl,P2,ESP,A,P:REAL~ S,N,CONT,I,Sl:INTEOER; PROCEDURE LEE; BEGIN WRITELN('TASA DE TRANSICION DE 1 A 2'); READLN(T1) ; WRITELN('TASA DE TRANSICION DE 2 A 1'); READLN(T2) ; WRITELN('TASA DE ARRIBO DE RECLAMACIONES EN1'); READLN(L1) ; WRITELN('TASA DE ARRIBO DE RECLAMACIONES EN2'); READLN (L2) ; WRITELN('X ES EXP(E1) EN 1.TECLEE EL PARAMETRO El'); READLN(E1); WRITELN('X ES EXP(E2) EN 2.TECLEE E2'); READLN(E2); WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO'); READLN (HT); WRITELN('GR0SS PREMIUM RATE C.); RERDLN ( C ) ; Pl:=T2/(T2+Tl); P2:=Tl*Pl/T2; WRITELN('D1ST. ESTACIONARIA (Pl,P2)=(',P1:1:4,',',P2:1:4,')'); ESP:=(Pl*Ll/El)+(P2*L2/E2); WRITELN('LA ESPERANZA DEL PROCESO Y(t)/t ES:',ESP); WRITELN('CAP1TAL INICIAL'); READLN(U) ; R:=C/ESP-1; WRITELN('SAFETY LOADING=',R:2:5); WRITELN('TECLEE EL ESTADO INICIAL o1 2 ' ) ; READLN ( S ) ; S1 :=S; CONT:=o; RANDOM1 ZE; Rl:=C*El/Ll-l; R2:=C*E2/L2-1; WRITELN('Rl=',R1:3:5,' R2=',R2:3:5); WRITELN ( ' EL NUMERO DE SIMULACIONES' ) ; READLN (N); END; ( *LEE*) 61 PROCEDURE ESTADOl(VAR TO,Tl,X:REAL); VFLR Al ,A2 :REAL; BEGIN WHILE (TO<Tl)AND(X<=U) DO BEGIN Al :=RANDOM; A2 :=RANDOM; TO:=T~-(LN(A~)/L~); IF (TO>Tl) TEEN BEGIN TO:=TO+(LN(Al)/Ll); X:=X-(l+Rl)*Ll*(Tl-TO)/El; TO :=T1; END ELSE X:=X+((l+Rl)*LN(Al)-LN(A2))/El; IF (X>U) THEN BEGIN WRITELN('RU1NA.CAP.FINAL l:',U-X,' T=',TO:3:5); CONT :=corn+1; END; END; (*WHILE*) END;(*ESTADOl*) PROCEDURE ESTADOZ(VAR MO,Ml,XZ:REAL); VAR B1 I B2 :REAL; BEGIN WHILE (MO<Ml)AND(XZ<=U) DO BEGIN B1: =RANDOM; B2 :=RANDOM; MO:=MO-(LN(Bl)/LZ); IF (MOsM1) TEEN BEGIN MO:=MO+(LN(Bl)/LZ); X2:=X2-(1+R2)*L2*(MO-Ml)/E2; M 0 :=M1; END ELSE X2:=X2+((1+R2)*LN(Bl)-LN(B2))/E2; IF (X2>U) TEEN BEGIN WRITELN('RUINA.CAP.FINAL 2:',U-X2,' T=',MO:3:5); coNT:=coNT+1; END; END; (*WHILE*) END;(*ESTAD02*) 62 BEGIN (*COMIENZA PROGRAHA PRINCIPAL*) LEE ; FOR I:=l To N DO BEGIN wRITELN( ' S I ~ C I O N ':,I); Y: =o; T:=O; w: =o; S : =s1; REPEAT A := R A N D O M ; IF (S=l) THEN BEGIN W:=W-(LN(A)/Tl); IF(W>HT) THEN W:=HT; ESTADOl(T,W,Y); END; IF (S=2) THEN BEGIN W:=W-(W(A)/T2); IF(W>ET) TEEN W:=HT; ESTADOZ(T,W,Y); END; IF (S=1) THEN S:=2 ELSE S:=l; UNTIL (W>=HT)OR(Y>U); END; (*FOR*) P: =CONT/N; WRITELN('LA PROBABILIDAD DE RUINA END.(*MARKOVIANO*) ES:',P:1:3); 63 Program (** (** (** (** SIMLUNDBERG; ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 3 . 2 PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA Y EL ERROR ESTANDAR, TANTO A TIEMPO FINITO COMO INFINITO, UTILIZANDO EL VALOR DE LUNDBERO. **) **) **) **) const N=1000; VAR RL:ARRAY[l..N) OF REAL; ERROR,G,C,X,RO,R,EO,E,T,BT,PROB,U,LO,LrRl,R2,Zl,ZO:RE~; VARIANZA,ERMEDIO,V,SUMA:REAL; I :INTEGER; BEG IN WRITELN('EL NUM. DE SIM.:',N); WRITELN('TASA DE LLEGADA:'); READLN (LO) ; WRITELN('CAP1TAL INICIAL:'); READLN ( U ); WRITELN('SAFETY LOADING:'); READLN (RO ); WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:'); READLN ( EO ) ; WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO'); READLN(HT); C:=(l+RO)*LO/EO; L :=c; E:=EO/ ( l + R O ) ; G :=l-E; ZO:=~-SQRT((~+RO)/EO); Zl:=G+ZO; R :=-G VARIANZA:=((1-G)/(l+G)-(l-G)*(l-G))*EXP(-G*2*U); ERMEDIO:=SQRT(VARIANZA/N); WRITELN('BAJ0 EL VALOR DE LUNDBERG X ES EXP(',E,')'); WRITELN('N(t) ES POISSON(',C,')'); WRITELN('RO=',R); WRITELN('LA SOL. DE LA EC. DE LUNDBERG G=',G); WRITELN('ZO=',ZO); WRITELN('EL VALORDE LUNDBERG Zl=',Zl); WRITELN(' VARIANZA=',VARIANZA,' ERROR MEDIO=',ERMEDIO); READLN; RANDOM1ZE : FOR I:=l TO N DO RL[ I] : = o ; 64 FOR I:=l TO N DO BEGIN WRITELN('SIMULACION:',I); x:=o; SUMA: =o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN R1: =RANDOM; R2 := R A N D O M ; T:=T-(LN(Rl)/L); X:=X+((l+R)*LN(Rl)-L(R2))/E; IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5); RL[I]:=EXP(-G*X); WRITELN('RL=',RL[I]); END; END;(*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END; ( *FOR*) FOR I:=l TO N DO SUMA:=SUMA+RL[I]; PROB:=SUMA/N; WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:6); v: =o; FOR 1:=1 TO N DO V:=V+(PROB-R.L[I])*(PROB-=[I]); V: =V/ (N-1) ; ERROR:=SQRT(V/N); WRITELN('VAR1ANZA EST.=',V,' ERROR EST.=',ERROR:2:8); END.(*SIMLUNDBERG*) 65 Program CONJUGADO; (** (** (** (** (** (** (** ESTE PROGRAMAFUE UTILIZADO ENEL EJEMPLO 3 . 3 * * ) PARA ESTIMAR L A PROBABILIDAD DE RUINA, CUANDO * * ) X SE DISTRIBUYE U ( O , l ) , EMPLEANM) PROCESOS **) CONJUGADOS CON DIVERSOS VALORES PARI4 DELTA. **) A L IGUAL QUJ3 EN EL PROQRAMA ANTERIOR SE ESTIMA**) EL ERROR ESTANDAR Y L A VARIANZA. **) LOS UNICOS PARAMETROS QUE EL USUARIO PUEDE **) ( * * CAMBIAR SON: EL CAPITAL INICIAL, EL HORIZONTE **) ( * * DE TIEMPO EL Y VALOR DE DELTA. **1 const N=100; VAR RL:ARRAY[l..N] OF REAL; ESP,ERROR,G,C,X,R,Y,M,T,HT,PROB,U,LO,L,Rl,R2,Zl,ZO:RE~; SUMA,V,K,D,DIF:REAL; I :INTEGER; BEGIN WRITELN('EL NUM. DE SIM.:',N); Lo:=l; WRITELN('TASA DE LLEGADA:',LO:1:2); WRITELN('CAP1TAL INICIAL:'); READLN(U) ; C:=0.50843855; WRITEW('GR0SS PREMIUM RATE c=',C:1:4); WRITELN('X SE DISTRIBUYE UNIFORME(0,l)'); WRITELN('EL VALOR DE LUNDBERG Z1=0.024921'); WRITELN('DAME EL VALOR DE DI); READLN(D) ; G:=O . 0 5 ; 20:=-0.0250781717; 21:=0.0249218282; WRITELN('ZO=-lZl=',Zl*(l+D)); WRITEW('EL HORIZONTE DE TIEMPO'); READIN( HT) ; DIF:=Zl*D+G; M:=EXP(DIF)-l; L:=M/DIF; ESP:=(EXP(DIF)-(EXP(DIF)/DIF)+(l/DIF))/M; R:=c/(EsP*L)-~; WRITELN('BAJO 2 N ( t ) ES POISSON(',L,')'); WRITELN(v~~=*,R); mITELN('LA SOL. DE L A E C . DE LUNDBERG G=',G); ~ITELN('Ex=~,ESP); IF (D=O) THEN K:=O ELSE K:=M/DIF-DIF*c-~; WRITEW('K=',K); READLN; 66 RANDOMIZE; FOR I:=l TO N DO RL[ I] : = o ; FOR 1:=1 TO N DO BEGIN WRITELN( 'SIMULACION:I); I , x: =o; T:=O; WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN R1: =RANDOM; R2 :=RANDOM; Y:=LN(M*R2.+1)/DIF; T:=T-(LN(R~)/L); X:=X+((l+R)*LN(Rl)*ESP+Y); IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN WRITELN(1,' RUINA. X=',X:7:5,' T=',T:2:5); RL[I]:=EXP(-DIF*X+T*K); WRITELN('RL=',RL[I]); END; END; (*WHILE*) WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X); END; (*FOR*) SUMA: =o; FOR I:=l TO N DO SuMA:=SuMA+RL[I]; PROB: =SUMA/N; WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:8); v: =o; FOR I:=l TO N DO V:=V+(PROB-RL[I])*(PROB-RL[I]); V:=V/(N-l); ERROR:=SQRT(V/N); WRITELN('VAR1ANZA EST.=',V,' ERROR EST.=',ERROR); END.(*CONJUGADO*) 67 BIBLIOGRAFIA El] Asmussen Soren ( 1984) Approximations for the Probability of Ruin within Finite Time. Scand. Actuarial J. 3 1-57 [2] Asmussen Soren (1085) Conjugate Processes and the Simulation of Ruin Problerns Stochastic f’rocesses and their Applications 20 2 13-229 [3] Asmussen Soren ( 1987) Applied f’robability and Queues John Wiley R: Sons [ 41 Asmussen Soren ( 1980) Risk ‘l‘hooryi n a Markovian Environment Scand Actuarial J 69- 100 [7] Embrechts Paul ( 1 990) Stochastic 3lodelling i n Insurance CIAPf.31 - I \ ’ I’roceedings [S] Embrechts, P and I, Wouters ( 1 900) Simulating Risk Solvency. 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