Ondas Elásticas Sagitales en arreglos multicapa tipo

Capítulo IV
Ondas Elásticas Sagitales en arreglos multicapa tipo
Fibonacci
Utilizamos el método de balance de energía para estudiar los estados de polarización de las ondas
sagitales en estructuras cuasi - periódicas del tipo Fibonacci. Complementariamente a lo hecho en
el caso periódico en donde el estado de polarización se obtiene promediando las energías
longitudinal y transversal en una celda unitaria (para el caso periódico), y en una super- celda
(para el caso periódico con defecto), aquí evaluaremos la polarización de las ondas elásticas en
placas con arreglos de diferentes niveles u órdenes Fibonacci. Es decir, evaluaremos el promedio
de energía longitudinal/transversal en la placa Fibonacci. Los resultados se comparan con
espectros de transmisión. Efectos tales como la preservación de polarización y gaps en diferentes
niveles Fibonacci son observados. También algunos efectos no vistos en estructuras periódicas
como es el efecto espejo y el desdoblamiento de modos mixtos, son reportados
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IV.1 Introducción.
En este Capítulo extendemos el estudio de los estados de polarización de las ondas
sagitales a estructuras multicapas cuasi-periódicas. Lo haremos sólo para arreglos tipo Fibonacci.
Como sabemos este tipo de arreglos ha sido ampliamente estudiado para el caso fotónico.29-31
Nosotros detallaremos nuevos resultados para el caso fonónico que tienen que ver con la
polarización de las ondas con desplazamiento elástico en el plano sagital.
Un arreglo multicapa con secuencia tipo Fibonacci (MF) de componentes A y B está
basado en un esquema de la j-ésima generación Fibonacci S j
definiciones de la secuencia cero, S 0
B y la secuencia uno, S1
nivel
de
Fibonacci
S1 S 0 S1 S1 S 0 S1 S 0 S1
n
=
5
se
ve
la
forma
S5
S4 S3
S j 1 S j 2 , con n
2 y las
A. Entonces, por ejemplo, el
S 3 S 2 S 2 S1
S 2 S1 S 2 S 2 S1
ABAABABA.
Estudios teóricos de polarización de ondas sagitales en superredes Fibonacci fueron
presentados por B. Djafari-Rouani et al32 en 1983, y Bria et al33 en 1999. La estructura de
bandas refleja la aparición de regiones con modos ya sean longitudinales o transversales. Otro
trabajo en esta dirección es el de El Hassouani et al34 En superredes finitas estudian los estados
confinados en la superficie. Tamura et al35 fueron de los primeros en reportar espectros de
transmisión y curvas de dispersión de fonones acústicos en MFs utilizando capas de GaAs y
AlAs. Para sus cálculos emplearon el método de Matriz de Transferencia. Concluyen que el
comportamiento fonónico en arreglos cuasi-cristalinos mantiene rasgos característicos de los
obtenidos en sistemas estrictamente periódicos. Inclusive hablan de reflexiones fonónicas tipoBragg. Por otro lado Fernández et al36 empleando una extensión del método de Funciones de
Superficie de Green comparan las soluciones de una MF con fronteras libres con aquellas de una
superred infinita formada de la repetición periódica de la misma MF. Analizando el ancho de los
gaps encontrados en ambos sistemas concluyen que la MF aislada presenta gaps más anchos.
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Por otro lado, A-Li Chen et al37 Realizan un estudio mediante el método de la matriz de
transferencia y el factor de localización para caracterizar
bandas
de energía en arreglos
periódicos y cuasi-periódicos. Ellos obtienen la longitud de localización y comparan sus
resultados con los espectros de transmisión de energía.
El
objetivo
de
estudio
en
este
capítulo
es
la
polarización
(contribución
longitudinal/transversal) de ondas sagitales en MFs usando el método de balance de energía que
ya ha probado su validez en arreglos periódicos. Los resultados que aquí presentamos son
nuevos, es decir, en la literatura existente para multicapas que siguen una secuencia Fibonacci, no
hemos encontrado estudios o resultados similares. Los métodos de cálculo son esencialmente los
mismos descritos en los capítulos anteriores y por tanto no los volveremos a discutir aquí.
IV.2 Modos elásticos sagitales en una placa Fibonacci.
En esta Sección presentamos los modos elásticos de una placa multicapa en donde el
arreglo de las capas sigue alguna secuencia Fibonacci. La placa tiene una anchura Lj que por
supuesto depende del orden j. Los medios externos, que definiremos como de incidencia y
transmisión, son seleccionados de tal manera que numéricamente son fácil de simular.
Consideraremos las siguientes situaciones: a) fronteras de la placa fijas y b) fronteras de la placa
libres. Al hacer combinaciones de ellas podremos estudiar sistemas de fronteras fija-fija, fijalibre, libre-fija y libre-libre. En general estas cuatro condiciones nos llevan a resultados distintos.
Físicamente una frontera fija indica que el medio externo es de impedancia elástica
mucho mayor que aquella de la última capa, la capa con que hace contacto. Por otro lado, una
frontera libre está asociada con medios externos de impedancia muy baja; el caso límite es el
vacío. Para los cálculos utilizamos una multicapa Al/Pb con espesores a / b = 0.04 cm / 0.06 cm.
Las respectivas impedancias longitudinal y transversal de esto dos materiales son ( 106): 1.6 /
2.8 y 0.8 / 1.5. Ahora, un medio externo de impedancia alta podría ser el tungsteno, por ejemplo,
cuyas impedancias longitudinal y transversal son ( 106) 10.0 y 5.5, respectivamente. Por otro
lado como medio de impedancia baja tomaremos al Epoxi. Sus impedancias longitudinal y
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transversal son ( 106) 0.3 y 0.14, respectivamente. Probaremos a continuación que la respuesta
elástica de una placa Fibonacci que involucra a estos cuatro materiales es consistente con los
modos de la misma placa en la aproximación de fronteras fijas y libres.
Utilizamos el método de la super - celda para calcular los modos elásticos de la placa. Ya
ha sido discutido en la literatura la forma de aproximar el “medio” vacío cuyas impedancias
longitudinal y transversal tienden a cero. Por otro lado, para obtener la condición de frontera fija
introducimos un material artificial cuyas impedancias tienden al infinito. En la práctica estas dos
condiciones se alcanzan llevando las impedancias tan abajo y tan arriba como numéricamente
podamos, hasta obtener soluciones convergidas.
Como ejemplo consideramos una placa Fibonacci en secuencia n = 6. El sistema entonces
se ve de la siguiente forma:
Medio de incidencia ABAABABAAB AAB Medio de Transmisión
Siguiendo el criterio de balance de energía, la energía promedio se toma sobre toda la placa
Fibonacci. Los resultados se muestran en la Fig. 4.1. Con los cuatro paneles de esta figura
barremos las cuatro posibilidades para las fronteras (ver el pie de Figura). En general las cuatro
situaciones llevan a modos de polarización prácticamente bien definida para vectores de onda
pequeños paralelos a las placas. Esto se entiende pues es la condición cercana a la propagación
perpendicular a las capas en las cual las ondas son estrictamente longitudinales o transversales,
no mixtas. Para el caso en que ambas fronteras son libres, panel (a) en la Figura 4.1, al
incrementar el vector de onda todas las curvas de dispersión tienden a hacerse fuertemente
mixtas. Esto significa que una placa Fibonacci de componentes sólidas delimitada por medios
sólidos de impedancias muy bajas e iguales soporta modos principalmente mixtos los cuales
pueden excitarse con ondas incidentes a ángulos relativamente grandes. El comportamiento es
diferente cuando las fronteras son fijas [panel (b) en la Fig. 4.1]. Al incrementar el vector de
onda la mayoría de las curvas de dispersión se hacen mixtas pero sólo en un corto tramo. Las de
frecuencias bajas en general tienden a ser cuasi-longitudinales. En frecuencias altas la
polarización tiende a ser estable sólo en dos o tres de las curvas. Finalmente cuando las fronteras
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son libre-fija y fija-libre las soluciones son relativamente similares. En frecuencias bajas las
curvas tienden a ser cuasi-longitudinales en ambos casos.
Nótese que en las tres situaciones en que fronteras fijas son consideradas, paneles (b), (c)
y (d) en la Fig. 4.1, existen dos curvas inferiores que son muy mixtas. Su comportamiento es un
tanto irregular. Es posible que se estén originando por el método de cálculo y por tanto son
curvas de modos espurios. Estamos realizando más trabajo para determinar su origen y la razón
de su comportamiento.
Fig. 4.1. Modos elásticos permitidos y polarización de ondas sagitales para un arreglo fibonacci n
= 6 y f = 0.5 con medios externos. La escala es rojo (transversal), azul (longitudinal): (a). LibreLibre, (b). Fijo-Fijo, (c). Fijo-Libre y (d). Libre-Fijo.
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Podríamos pensar que las curvas de dispersión de la Fig. 4.1 tienden a agruparse en bandas. Esto
tiene más sentido para vectores de onda grandes. La posición de los gaps varía ligeramente
dependiendo del tipo de frontera. Para kxd = 1.5, el primer gap estaría centrado en promedio en la
frecuencia reducida
=1.52. Por otro lado, el centro del segundo gap sería
= 2.4.
IV.3 Espectros de transmisión de una Placa Fibonacci.
Las curvas de dispersión de las ondas elásticas sagitales en una placa multicapa con
arreglo Fibonacci tienen bastante estructura referente a las componentes longitudinal/transversal
que definen su polarización. En esta sección mostraremos que la respuesta elástica de una placa
Fibonacci delimitada por medios materiales realistas está en acuerdo con lo predicho en el
cálculo de los modos en la aproximación de fronteras libres y fijas.
Una onda elástica longitudinal incidente sobre la placa Fibonacci tiene asociado el
siguiente vector de onda paralelo a las capas: k x
( / cl ) sen(
il
) . Por tanto existe una relación
lineal entre el vector de onda y la frecuencia. Variando el ángulo tendremos diferentes líneas que
definen la condición de incidencia. Al superponer estas líneas con las relaciones de dispersión de
los modos elásticos se obtienen cruces que representan los modos que pueden ser excitados bajo
esa condición de incidencia.
51
Fig. 4.2. Relación de dispersión de los modos elásticos y polarización de ondas sagitales (rojo:
transversal y azul: longitudinal) en una multicapa Fibonacci, n=6, con medios externos Libres
(Ep). Con las líneas de sonido a varios ángulos de incidencia para transmisión de energía.
La Fig. 4.2 presenta las líneas para diferentes ángulos de incidencia cuando los medios de
incidencia y transmisión son Epoxi. Dado que el Epoxi tiene impedancias longitudinal y
transversal muy bajas esperamos que la respuesta sea consistente con las curvas de dispersión de
la placa Fibonacci con fronteras libres. Claramente observamos las intersecciones a las que nos
estamos refiriendo. Con ángulos de incidencia menores que 20° se espera que los picos
longitudinales se exciten más intensamente (la onda incidente es longitudinal). El efecto de
preponderancia de la transmisión longitudinal se mantiene para angulos mayores aunque las
curvas de dispersión sean practicamente mixtas. La razón es que la onda incidente es
longitudinal. La Fig. 4.3 muestra la excitación de las componentes longitudinales de los modos
para ángulos de incidencia de 0° , 10° y 30°. En el primer caso, por supuesto, los modos
transversales no pueden excitarse. En el segundo caso se aprecia ya una mínima excitación de la
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componente transversal (el efecto de conversión permite este hecho). Para
il
= 30° observamos
que la excitación de ondas transversales es ya significativa, principalmente para frecuencias altas.
Fig. 4.3. Energía transmitida de las componentes longitudinal (línea negra) y transversal (línea
roja) de los modos en una multicapa para tres ángulos de incidencia, de la figura 4.2.
Otra forma de presentar los resultados se muestra en la Fig. 4.4. Variando el ángulo de
incidencia de 0° a 90° obtenemos la figura de niveles del panel (b). Observamos con claridad lo
dicho anteriormente: los modos cuasi-transversales no se excitan apreciablemente con una onda
incidente longitudinal. La figura también nos deja ver que no todos los modos fuertemente mixtos
se acoplan a la onda incidente longitudinal de la misma forma. Parecería que sólo los modos
mixtos que tienen un origen longitudinal son los más accesibles. De igual manera, con medio
exterior de impedancia alta encontramos consistencia entre los modos de la multicapa Fibonacci
y el espectro de transmisión.
La Fig. 4.5 muestra los resultados con tungsteno como medio exterior. El panel de onda
transmitida muestra sólo las soluciones a la izquierda de la línea de sonido longitudinal del
tungsteno que define las amplitudes oscilantes.
53
Fig. 4.4. Coincidencia de los modos elásticos dentro de una multicapa Fibonacci Al/Pb n = 6, f =
0.5 con medios externos: (a). Polarización de ondas sagitales [oscilantes y evanescentes]: LibreLibre, (b). Amplitud de ondas longitudinales transmitidas: Ep-Ep.
Fig.4.5. Coincidencia de Modos elásticos en un Arreglo Fibonacci Al/Pb n = 6 y f = 0.5 que tiene
medios externos: (a). Polarización de ondas sagitales [oscilantes y evanescentes]; Fijo-Fijo, (b).
Amplitud de ondas longitudinales oscilantes; tungsteno-tungsteno.
54
IV.4 Efectos particulares de la respuesta elástica de Multicapas
Fibonacci.
Al realizar el estudio de las propiedades elásticas de las multicapas Fibonacci se ha
encontrado varios resultados que pueden ser de importancia para posibles aplicaciones. Estos
efectos tienen que ver con la cuasi-periodicidad y no estamos enterados de que resultados
similares hayan sido obtenidos para estructuras periódicas. A continuación presentamos dos de
estos efectos.
IV.4.1 Espejo de ondas longitudinales.
Desde el punto de vista experimental, en ocasiones es conveniente que los medios de
incidencia y transmisión se formen al extender la primera y última capas de la multicapa
Fibonacci. Es decir, los medios de incidencia y transmisión se forman de los materiales que
definen la primera y última capa del arreglo cuasi-periódico. A estos sistemas les llamaremos
estructuras Fibonacci truncadas. Por ejemplo, la secuencia 4 de Fibonacci truncada estaría dada
por el sistema A-BAA-B en donde la primera A y la última B tienen extensión semi-infinita.
La figura 4.7 muestra la energía longitudinal reflejada en función de la frecuencia angular
normalizada y el ángulo de incidencia para un arreglo Fibonacci truncado Pt-ZnPtPt-Zn. La onda
incidente es longitudinal. La tonalidad roja está asociada a máximos de reflexión. Se ha
encontrado que la formación islas rojas depende del factor de llenado a/b.
55
Figura 4.6. Grafica de Reflectancia de una multicapa Pt-Zn/Pt/Pt-Zn f = 0.4 con incidencia
Longitudinal. El color rojo indica máxima reflexión longitudinal [lR (~1)] decayendo hasta el
color azul (ausencia de lR).
Haciendo una búsqueda de los picos de reflexión nos encontramos con un espejo mono-angular
de frecuencia
d / clPt
2 . A esta frecuencia la reflectividad de desplazamiento longitudinal es
igual a 1, lo cual indica que las otras tres intensidades reflejadas y transmitidas toman el valor
cero. La figura 4.7 muestra en detalle las cuatro intensidades. Notamos que el pico de reflexión se
encuentra a la derecha del ángulo crítico (~51º) de la onda longitudinal transmitida (la amplitud
longitudinal transmitida es evanescente). O sea, el efecto se da a la derecha de la línea de sonido
longitudinal del Zn. Podemos pensar que justo en el ángulo
il
61.62 ° se cumple una condición
tipo Brewster para las dos ondas transversales.
El punto interesante es que este efecto se mantiene al aumentar el nivel Fibonacci pero el
ángulo del espejo se mueve a valores superiores. Para el nivel 5 el ángulo es
Fig. 4.8).
56
il
64.88 (ver la
Figura 4.7. Espectros de Energía transmitida y reflejada del sistema Pt-Zn/Pt/Pt-Zn de la figura
4.6, que muestra la aparición del espejo, a una frecuencia normalizada de 2 y la caída de las 3
ondas restantes [tR,tT,lT], justo después de la caída de la transmisión longitudinal (línea negra).
Figura 4.8. Espectros de Energía transmitida y reflejada en el sistema Pt-Zn/Pt/Pt/Zn/Pt/Zn-Pt,
que muestra la aparición del espejo, a una frecuencia normalizada de 2 y la caída de las 3 ondas
restantes, justo después ángulo c 51.2o .
57
La explicación completa de la física involucrada en la formación del espejo no la
podemos dar todavía. El fenómeno aún lo mantenemos bajo estudio. Lo que es un hecho es que
cuando los medios de incidencia y transmisión son diferentes la primera condición para que el
espejo ocurra es que el ángulo de incidencia sea mayor al ángulo crítico de la onda longitudinal
transmitida. Esto asegura que una componente oscilatoria longitudinal existe sólo en la reflexión.
Lo que se torna un tanto difícil de explicar es el hecho de que las dos componentes transversales,
de transmisión y de reflexión, se anulen simultáneamente para el mismo ángulo de incidencia.
Además cuando los medios de incidencia y transmisión son iguales no hay ángulo crítico y
también la onda longitudinal transmitida se hace cero en el ángulo del espejo (ver Fig. 4.8). Por
un lado, si el origen de este comportamiento fuera estructural, podría cumplirse la condición de
onda estacionaria para ondas transversales kd = n , pero esto implicaría reflexión finita de onda
transversal. Por otro lado, si se satisface la condición de Brewster para cada interface de la
multicapa, entonces la transmisión de onda transversal debería ser finita. El fenómeno entonces
no admite una explicación sencilla y no hay duda de que el efecto de conversión de modos
participa en esto.
Además del efecto de espejo, al aumentar el nivel Fibonacci hemos encontrado estructura
adicional en el espectro de energías reflejada y transmitida. La Fig. 4.9 muestra la aparición de
una resonancia en la vecindad del pico de reflexión en el nivel 6.
Observamos no sólo la aparición de la resonancia sino también el surgimiento de un nuevo
máximo de reflexión de la onda longitudinal. Analizando la estructura multicapa Fibonacci nivel
6, nos damos cuenta de que aumentando el nivel Fibonacci en realidad vamos formando una
superestructura en bloques:
n = 4: ABAAB,
n = 5: ABAAB ABA,
n = 6: ABAAB ABA ABAAB,
n = 7: ABAAB ABA ABAAB ABAAB ABA,
n = 8: ABAAB ABA ABAAB ABAAB ABA ABAAB ABA ABAAB.
58
1.0
0.8
Energia
0.6
lR
0.4
tR
0.2
tT
0.0
lT
56
58
60
62
64
66
68
70
Angulo Incidente (grados)
Figura 4.9. Espectro de energía transmitida y reflejada en la multicapa, tipo Fibonacci Pt/Zn n =
6, donde se muestra la región de espejos. Así como la resonancia, promovida por la excitación de
modos transversales transmitidos.
Nuestros resultados indican que con n = 4 y n = 5 tenemos espejo. Luego con n = 6 se
mantiene el espejo pero también aparece un segundo pico de reflexión. Con n = 7 tenemos tres
máximos de reflexión y una resonancia. Finalmente con n = 8 encontramos 5 máximos de
reflexión y tres resonancias. La conclusión, obtenida en base al análisis de resultados numéricos,
es que el bloque ABAAB genera máximos de reflexión de onda longitudinal (el espejo) y el
sistema ABAAB ABA ABAAB da lugar a una resonancia. En base a este resultado podemos
diseñar un arreglo (no Fibonacci) de repetición de bloques sabiendo anticipadamente el perfil del
espectro de reflexión. Por ejemplo consideremos el sistema ABAAB ABA - ABAAB ABA ABAAB ABA. Esperamos entonces que la respuesta presente tres máximos, uno de ellos espejo,
y dos resonancias. La Fig. 4.10 indica que estamos en lo correcto.
59
1.0
lR
0.8
0.3
0.2
Energia
0.6
0.1
0.0
63.1
0.4
63.2
63.3
63.4
0.2 tT
tR
0.0 lT
56
58
60
62
64
66
Angulo Incidente (grados)
68
70
Figura 4.10. Región del espectro de energía, de una multicapa no fibonacci, que muestra la
región de 3 espejos y dos resonancias, con incidencia oblicua de ondas Longitudinales oblicuas.
IV.4.2 Desdoblamiento de Ondas Sagitales.
Al calcular los espectros de reflexión o transmisión de ondas sagitales en multicapas
periódicas encontramos que, como regla general, los picos de intensidad de ambas componentes,
longitudinal y transversal, coinciden en frecuencia. Es decir, la respuesta elástica de la multicapa
periódica contiene máximos de intensidades longitudinal y transversal a la misma frecuencia.
También al calcular los picos de transmisión debidos a defectos encontramos que las
componentes longitudinal y transversal coinciden en frecuencia.
Al tratar la estructura cuasi-cristalina de Fibonacci hemos encontrado un efecto de
separación de picos de transmisión longitudinal y transversal. El efecto se aprecia mejor a bajas
frecuencias en niveles de Fibonacci altos. La Fig. 4.11para el sistema Fibonacci n = 6 de placas
60
de Pt y Zn muestra que la cuasi periodicidad separa los picos de transmisión dando lugar a un
doblete.
i
= 30
o
Transmision
0.4
0.0
4.0
lT
tT
0.2
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
d/cTPt
Figura 4.11. Desdoblamiento de los modos L y T de un arreglo Fibonacci n = 5 Pt/Zn f = 0.4 con
medio de incidencia Pt y transmitido Zn. Donde se observa frecuencias de salida ωT ≠ ωL.
La cuasi periodicidad introduce un efecto de retardo o adelanto en los picos de transmisión; una
fase temporal que es difícil de determinar cualitativamente y que desaparece en frecuencias altas.
El efecto entonces se resume de la siguiente manera: con una onda incidente longitudinal pueden
generarse dos picos de transmisión separados por un
transversal fuesen independientes.
61
, como si las respuestas longitudinal y