Práctica 2 - Pedro Fortuny Ayuso

Práctica 2:
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Campanas de Gaus
2
exp(-x 2)
1.8
1.6
Eje de ordenadas
1.4
2*exp(-x 2)
ALUMNO, GRUPO G
EPIGIJON. Uniovi
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
Eje de abscisas
1
2
3
Asignatura: CÁLCULO
Titulación: GRADO EN INGENIERÍA
Curso 2010- 2011
PROFESORES: Mª CRISTINA SUAREZ RIESTRA
PEDRO FORTUNY AYUSO
2
Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG
Práctica 2: FUNCIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Curso 2010-11
PRÁCTICA 2:
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.1. CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS.
Dada una función, en MATLAB se puede trabajar con ella de diversas formas, en este epígrafe sólo se hará
de forma simbólica y numérica, punto a punto.
2.1.1.- DECALARACIÓN DE VARIABLES Y CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES.
FORMA SIMBÓLICA:
o
Para su definición se necesitan definir las variables que se utilicen como simbólicas, por medio
de la declaración correspondiente syms x, o alternativamente sym(‘x’)
Ejemplo 2.1.>> syms x y lav pepe % no da ninguna salida por pantalla, las guarda en memoria
>> whos % variables declaradas
Name
Size
Bytes Class
lav
1x1
60
sym
pepe
1x1
60
sym
x
1x1
60
sym
y
1x1
60
sym
Attributes
>> z=sym('z') % definida correctamente la z como variable simbólica
z=
z
>> sym('u') % definida incorrectamente la u como variable simbólica
ans =
u
>> whos % nos da la salida de las variables en uso por orden alfabético
3
Name
ans
z
Size
Bytes Class
1x1
Attributes
60 sym
1x1
60 sym
o
La función se construye directamente f = x^2, g = sin(x), etc…
o
Se ha de utilizar la sustitución simbólica subs(función, objeto, nuevo_valor) en casos que se
deseen conocer valores numéricos
Ejemplo 2.2>> syms x % declaramos las variables simbólicas para la expresión
>> f= (x+1)^2- x^3 % construimos la expresión simbólica
f=
(x + y)^2 - x^3
>> subs(f, x, 1) % sustituimos el valor de la variable x por 1 en la f definida
ans =
3
o
O alternativamente a lo anterior, construyendo funciones objeto en línea, utilizando variables
string (que son cadenas de caracteres simbólicos), como se ejemplifica a continuación.
Ejemplo 2.3.>> % ejemplos de funciones declaradas inline, que no necesitan declaración previa de variables, pero se
>> % introducen con las 'comillas'
>> la_f = inline('t^2')
la_f =
Inline function:
la_f(t) = t^2
>> la_f(2) % Función la_f evaluada en x= 2
ans =
4
>> la_g = inline('sin(2*pi*x + y)') % función de dos variables x e y
la_g =
Inline function:
la_g(x,y) = sin(2*pi*x + y)
>> la_h = inline('sin(2*pi*u + v)', 'u', 'v') % función de dos variables u y v
la_h =
4
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Curso 2010-11
Inline function:
la_h(u,v) = sin(2*pi*u + v)
La declaración de estas funciones se puede hacer utilizando el punto antes de las operaciones que lo
requieran consiguiendo así, que tenga más versatilidad la definición, en caso de que se quieran usar de forma
vectorial. Téngase en cuenta.
Ejercicio 2.1.- Defínase la función f(x) = √x + x + x10, sin necesidad de declaración previa de las variables y
calcúlese el valor de f(1/2).
(Sol: 807/668)
Ejercicio 2.2.- Dadas las funciones siguientes, constrúyanse las funciones compuestas f○g en cada caso, téngase en
cuenta que si las variables de declaran como simbólicas, es aconsejable ir borrando las anteriores para no confundir
al programa. Recuérdese que f○g(x) = f (g (x) ). Para la composición se puede utilizar el comando compose(f, g) o
el compose (g, f) con funciones definidas directamente previa declaración de variables syms, según el orden en que
se quieran componer, y también se puede hacer con funtool escribiendo directamente dicha orden en la ventana de
MATLAB sin previa declaración de nada.
>> funtool % La figura que sigue son las tres ventanas que se abren en MATLAB al evocar dicho simulador
Pruébese con todos los procedimientos descritos la composición de las funciones, para las funciones dadas a
continuación.
5
a)
f(x) = sen(x)
y g(x) = 1 - x2 b) f(u) =
y g(u) =
c ) f(v) =
y g(v) = tg(v)
FORMA NUMÉRICA:
Según cómo y para qué se desee utilizar una función, es aconsejable esta otra forma de manejarlas en
MATLAB. Así:
-
Construyendo en primer lugar el conjunto de valores de la variable independiente x usando las órdenes
linspace(valor de inicio, valor final, numero de valores).
>> x = linspace(x1, x2) % Se genera un vector fila del 100 valores equidistantes entre x1 and x2.
>> x = linspace(x1, x2, N ) % Se generan N puntos equidistantes entre x1 and x2. Para N < 2, linspace dará
sólo x2.
-
Calculando, posteriormente los valores de la función, teniendo en cuenta que se trabaja elemento a
elemento, por lo que es necesario usar el punto previo a las operaciones que no se hagan así de forma
habitual, producto, potencia y cociente. Es decir:
>> y= x.^2; % a partir de lo calculado en x se tiene el vector de valores de y, es necesario utilizar el
punto en las operaciones para indicarle al programa, que las operaciones se hacen elemento a elemento.
-
Esta forma es muy útil, sencilla e intuitiva, para poder, una vez construidas las tablas de valores,
representar gráficamente las funciones.
2.1.2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EN R2
Si se utiliza la FORMA SIMBÓLICA para su definición se utilizará un procedimiento concreto para
representarlas, como sigue:
6
-
Usando ezplot es una forma fácil de representar funciones según las tenemos definidas como simbólicas
habiendo utilizado la orden inline o escribiéndolas directamente entre comillas.
-
Para ello se emplea el comando ezplot(la_funcion), con él se dibuja la función definida inline
la_funcion(x) en el rango por defecto para x, [-2*pi 2*pi].
-
Para dar valores al dominio de representación gráfica de forma distinta al que se tiene por defecto se
escribe ezplot(f,[xmin xmax]), siendo éstos, xmin y xmax los valores del rango de x que se van a elegir. Es
decir, si se desea cambiar el rango -2*pi < x < 2*pi, se utiliza la orden modificada así: ezplot(fun, [a, b])
con ella se dibujará la fun(x) en el rango a < x < b.
-
Si la función está dada de forma implícita, se utilizará ezplot(fun2) la cual dibuja la función implícita
fun2(x, y) = 0 sobre un dominio dado por defecto -2*pi < x < 2*pi and -2*pi < y < 2*pi (Obsérvese que no
se le pone el signo igual ni el cero)
-
Si se desea cambiar el rango de valoresde dominio e imagen se escribirá: ezplot(f,[xmin, xmax, ymin,
ymax]) dibujará f(x, y) = 0 en el rango xmin < x < xmax ; ymin < y < ymax.
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Curso 2010-11
-
Si se desean representar varias funciones en la misma figura se deberá de utilizar la orden hold on detrás
del primer plot, esta orden es común para todos los tipos de representación.
-
Si se desean representar varias funciones en la misma figura, pero en varias ventanas diferentes se utilizará
la orden subplot(a, b, i) colocada previamente a cada plot, lo que significa que la ventana gráfica se
dividirá en a×b ventanas y cada gráfica irá en la posición i, que es el único elemento de ese comando que
irá variando.
-
Si se desea que la ejecución del programa se detenga en cada gráfica se le incluirá en la línea de comandos
pause, que dejará de hacer efecto cuando se le presione la tecla return.
NOTA: Consúltese help ezplot si se desean conocer más variaciones y detalles del comando que se utiliza.
Ejemplo 2.4.- Las líneas de comandos escritas a continuación nos permitirán, dibujar las funciones f y g siguientes:
f(x) = x3 + 3x +1
y g(x) = ex – x
en la misma figura, pero en recuadros diferentes, se emplea la construcción de funciones inline. Compruébese.
>> f = inline('x^3+3*x+1')
>> g =inline('exp(x) – x')
>> subplot(1, 2, 1) % división de la ventana de la figura en 2 subventanas, usando la 1
>> ezplot(f)
>> hold on
>> subplot(1, 2, 2) % división de la ventana de la figura en 2 subventanas, usando la 2
>> ezplot(g)
Hay formas alternativas para usar el comando de representación gráfica ezplot que son:
a)
Escribiendo directamente ezplot, ejemplo ezplot('x^3+3*x+1')
b) Escribiendo primero la declaración de las variables simbólicas que se vayan a utilizar y luego escribirlo
sin comillas. Ejemplo: syms x, ezplot(x^3)
NOTA: Si estas órdenes de trabajo, se escriben en un fichero ejecutable, deberán de contener la
principio del mismo las órdenes: clf (borrado de la ventana gráfica de operaciones anteriores); clc
(limpieza de la ventana de comandos) y clear all (borrado de las variables para no producir posibles errores
de ejecución)
Ejercicio 2.3: Háganse las cuatro gráficas siguientes en la misma figura, en cuatro ventanas diferentes, siguiendo las
indicaciones de cada apartado, empleando la definición de variables inline o las comillas directamente y el
comando de representación ezplot. Vayan aplicándose los recursos que se van introduciendo, para la elaboración de
los programas.
a) Considérese la función f(x) = x4 – 6 x2 + 8x. Represéntese gráficamente en el intervalo [-8, 8].
b) Considérese la función g(x) = x3 atan(x)/(x-1)2. Represéntese gráficamente.
c) Considérese la función h(x) = x2 sen(1/x)+ 3 cos(x) + x. Represéntese gráficamente en el intervalo [-10, 10]
7
d) Considérese la función implícita x2 + y2 - 9 = 0. Represéntese en el rango [-4, 4] x [-4, 4]
Si se utiliza la FORMA NUMÉRICA:
-
Construyendo el conjunto de valores de la variable independiente x que se desee, usando una de las
órdenes:
a) x = linspace(valor de inicio, valor final, numero de valores)
b) x = valor de inicio: paso: valor final
-
Calculando los valores de la función, teniendo en cuenta que se trabaja elemento a elemento, por lo que es
necesario usar el punto previo a las operaciones que no se hagan elemento a elemento: producto, potencia
y cociente.
>> x = linspace(1, 20, 300); % se generan 300 valores entre 1 y 20 para x
>> y = 2.* x+ x.^2 – 1./x ; % se obtienen los 300 valores de y dada por esa expresión
-
Usando la orden plot(x, y, 'color', 'tipo de línea') se consigue representar a la función.
-
Se pueden usar más opciones como, por ejemplo, ponerle título a la gráfica con la orden title('gráfica de la
función'), etc….
NOTA: Consúltese help plot, para conocer más variaciones y detalles de la orden que se utiliza.
Ejemplo 2. 5.- Representemos gráficamente en el intervalo [-10, 10], dando 200 valores intermedios, la función
f(x) = x2 sen(1/x)+ 3 cos(x) + x, en color verde, con una línea de 5 puntos de ancho.
>> x = linspace(-10, 10, 200); % generando un conjunto de 200 valores en el rango deseado
>> y=x.^2.*sin(1./x)+ 3.*cos(x) + x; % construyendo los valores de la función, trabajando elemento a elemento
>> plot(x, y, '-g','LineWidth',5) % usando el comando plot y los atributos que se deseen línea sólida verde de 5
puntos de ancho
>> title('Gráfica de la función: f(x) = x2 sen(1/x)+ 3 cos(x) + x ') % se le pone título
Gráfica de la función: f(x) = x2 sen(1/x)+ 3 cos(x) + x
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ejercicio 2.4.- Háganse las 3 gráficas siguientes en la misma figura, en subventanas diferentes trabajando de forma
numérica, con tantos datos como se considere necesario para ver la representación y sus características
perfectamente. Hágase limpieza de la ventana de comandos, de la memoria y de las ventanas gráficas utilizadas
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Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG
Práctica 2: FUNCIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. LÍMITES Y CONTINUIDAD
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anteriormente con los comandos clc, clear all y clf y en cada apartado téngase especial cuidado con los nombres
de las variables, ya que en la memoria se conservan los valores y tamaño sobre todo de las mismas si son
reutilizadas.
a) Considérese la función f(x) = x4 – 6 x2 + 8x. Represéntese gráficamente en el intervalo [-8, 8].
b) Considérese la función f(x) = x3 atan(x)/(x-1)2. Represéntese gráficamente en el intervalo [-2.1 , 2.1]
c) Considérese la función f(x) = ex +1 –tg(x). Represéntese gráficamente en el intervalo [-3, 3]
Ejercicio 2. 5.- Represéntese la función f(x) = cos(x2) – x sen(x2) en el intervalo [-2π, 2π], con la línea de color
verde. Píntense sobre ella 5 puntos equidistantes, de color negro con asteriscos y 5 puntos aleatorios (véase help
rand) de color rojo, con “ o “. (Recuérdese usar clc, clf y clear all.
NOTA: Si se desea que el programa pida, por ejemplo un dato por teclado, nos lo deberá de pedir, eso se
consigue con la orden input. En el ejemplo anterior nos podría pedir nuestro nombre, para escribirlo en la
gráfica (utilizando gtext) e identificar así a su autor. Esto se podría hacer como se indica a continuación.
Pruébese.
>> nombre= input(‘¿Cuál es su nombre? Introdúzcalo entre comillas por favor’)
>> gtext(nombre)
2.2. CALCULO DE LÍMITES
El cálculo de límites se hace en MATLAB por medio del comando limit(… ) haciéndolo actuar sobre una
expresión simbólica determinada:
limit(f, x, a) % calcula el límite de la expresión simbólica f cuando x → a.
>> syms x
>> % se le introduce la expresión simbólica directamente previa declaración de la variable
>> limit((1+x)/(1-x), x , inf)
ans =
-1
Con limit(f , a) % utiliza la variable simbólica que tenga f, sobre la que calcula el limite.
>> syms y
>> limit((1+y)/(1-y), inf)
ans =
-1
limit(f) % utiliza por defecto, el 0 como punto al que tiende el valor de la variable simbólica
>> limit((1+y)/(1-y))
ans =
9
1
limit(f, x, a,'right') o limit(f, x, a, 'left') % especifican la dirección correspondiente del límite lateral.
Ejemplo 2. 6.- Compruébense los límites que se calculan a continuación, dándose cuenta de qué funciones se
manejan y la necesidad de DECLARAR LAS VARIABLES SIMBÓLICAS QUE SE USEN con syms var
A = limit(sin(x)/x)
Sol: 1
B = limit((x-2)/(x^2-4), 2)
Sol: 1/4
C = limit((1+2*t/x)^(3*x), x, inf)
Sol: exp(6*t)
D = limit(1/x, x, 0,'right')
Sol: inf
E = limit(1/x, x, 0, 'left')
Sol: -inf
F= limit((sin(x+h) - sin(x))/h, h, 0)
Sol: cos(x)
Si v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];
limit(v, x, inf, 'left')
Sol: [exp(a), 0]
Ejercicio 2. 6.- Calcúlense los siguientes límites (Recuérdese que es necesario declarar todas las variables que se
utilicen y la cotg(x) en MATLAB se escribe cot(x) )
a)
lim
( lim
)
$% *
b) lim
d) lim
+
cosx$%&'
√
con n∈N - {0}
(Sol: a) 12/π
π ; b) e-1/2; c) – ∞; y d) 1/n)
2.3. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES.
NOTA: Será conveniente hacer gráficas y calcular límites completos y/o laterales, para analizar
resultados tratando de obtener conclusiones correctas.
Ejercicio 2. 7.- Estúdiese la continuidad de la función f : R+ ∪ {0} → R definida como f(x) = x Ln(x) si x ≠ 0 y
f(0) = 0 en su dominio.
( Sol: La función es continua en su dominio, si x → 0 ,el límite lateral
coincide con el valor de la función en 0)
Las funciones no siempre están definidas de forma única (una sola expresión del tipo que sea) en su dominio,
hay ocasiones en que según qué parte del dominio se esté se tiene una definición ú otra. Nuestro objetivo en el
presente apartado es la representación gráfica y estudio del comportamiento y propiedades de algunas funciones;
por consiguiente se tendrá que tener en cuenta este tipo de funciones, las definidas a trozos. Se pueden representar
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de muchas formas. Si se busca la más sencilla, podría consistir en hacer las gráficas poco a poco, en los intervalos de
definición de la función. Por ejemplo, trataríamos de representar las funciones:
a)
|x| . 2
f(x) = ,
4 . x*
si |x| 0 2 3
si . 2 2 x 2 2
x.2
4 . x*
b) f(x) = 4
*
si x 0 2
si . 2 2 x 2 23
si x 5 .2
8
10
7
6
5
5
0
4
3
-5
2
-10
1
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Fig. 1. Gráfica de las funciones dadas en a) y b) respectivamente.
Para ello, se podría trabajar o bien de forma numérica o simbólica, el resultado habría de ser la gráfica que
se muestra en la anterior figura, para las funciones de los apartados a) y b). Utilizaríamos hold on y en varios pasos
haríamos la gráfica que interesara. Resaltando propiedades o demás.
Ejercicio 2. 8 .- Represéntese gráficamente la función definida como f(x) = ,
e
Ln1 ; x * si 0 2 x 5 1 3
si x < 1
Determinar el tipo de discontinuidad que presenta en x = 1.
60
50
40
30
20
10
0
Solución:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Una segunda forma podría consistir en utilizar operadores lógicos para tratar de representar la función de
una sola vez. Comentemos este punto. Construyamos un vector de componentes 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
>> x=1:7 % si no se pone paso, por defecto lo hace de uno en uno
x=
1
2
3
4
5
6
7
Analicemos cuantas componentes hay mayores que 4. Se escribirá:
>> x > 4
ans =
0
0
0
0
1
1
1
Ante el resultado comprobamos lo que a simple vista se sabía, el 5 el 6 y el 7 son mayores que 4, luego la
respuesta es que de las componentes del vector, hay 4 que son menores y nos da como respuesta 0 y 3 que sin
mayores y nos da como respuesta 1. Ya que esta desigualdad nos da la valoración de todas y cada una de las
11
componentes del vector. En el tema 1, hemos visto que hay varios operadores relacionales y otros llamados lógicos,
y su funcionalidad nos será útil en este tema.
El operador & significa y, así que si se quiere saber cuántas de las componentes son mayores que 2 y
menores o iguales que 6 en el vector x =1:7 escribiremos:
>> (x>2)&(x<=6)
Obteniendo como respuesta:
ans =
0 0
1
1
1
1
0
Ejercicio 2.9.- Utilizando estas propiedades de los operadores lógicos, supongamos que se quiere REPRESENTAR
GRÁFICAMENTE la función:
x*
f(x) = = 1
.x ; 2
si
si
si
x50
0 2x51 3
x <1
1º) Se generará una tabla de 3000 valores desde -2 hasta +2 que parece suficiente:
>> x = linspace(-2, 2 ,3000);
2º) Se define la función, multiplicando cada trozo por el índice lógico que describa el lugar donde se quiere
dibujar, para ello se utilizarán los valores de x y los valores lógicos del siguiente modo:
>> y = (x.^2).*(x < 0) + 1.*((0 < = x) & (x < 1))+ (-x + 2).* (1 < = x);
3º) Una vez que se tienen los valores de x e y, se puede ya representar la función, usando plot(x, y). Como no se
desea que se unan todos los puntos si no hay continuidad y dado que hay un salto en las imágenes de la función, se
elegirán para su representación – muchos puntos- no un trazo contínuo, es decir plot (x, y,’.’), véase el resultado
en la siguiente figura:
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4º) Se le pone grid on para captar mejor los valores de la función. Se puede enriquecer con todas las
particularidades que se desee.
Ejercicio 2. 10.- Estúdiese la continuidad de la función en su dominio, f : R - {1} → R, estando definida en él
como f(x) = arctg . Analícese su comportamiento en x = 1, en - ∞ y en +∞. ¿Tiene alguna asíntota?
( Sol: La función es continua en su dominio, los límites laterales
hacia 1 no coinciden ( valen ± π/2 ), tiene una discontinuidad de salto finito, en x =1.
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Práctica 2: FUNCIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Curso 2010-11
Los límites en el infinito coinciden y valen ambos - π/4,
la recta y = - π/4 es una asíntota horizontal para nuestra función)
Ejercicio 2.11.a)
Constrúyase la gráfica de la función f(x) = 4
lógicos.
x.2
4 . x*
*
si x 0 2
si . 2 2 x 2 23 utilizando operadores
si x 5 .2
b) Estúdiese la continuidad de la misma y dígase si puede ser evitable la discontinuidad
Una tercera forma (alternativa y voluntaria) quizás más precisa de representar gráficamente funciones
definidas a trozos es haciendo un pequeño programa que utilice ciclos for … end y sentencias if… else… end.
Veremos una explicación breve de ambos para poder aplicarlo a las funciones anteriormente dibujadas.
Ciclos for … end:
sentencia for es:
hacen que se repitan sentencias un número especificado de veces, la forma general de la
for variable = expr, sentencia_1, ..., sentencia_k end
Sentencia if con una alternativa:
if
condición_1
bloque que se quiera utilizar
end
Sentencia if con 2 alternativas:
if
condición_1
bloque que se quiera utilizar
else
bloque que se quiera utilizar
end
Sentencia if con varias alternativas:
if
elseif
elseif
condición_1
bloque que se quiera utilizar
condición_2
bloque que se quiera utilizar
condición_3
bloque que se quiera utilizar
……
……
else
bloque que se quiera utilizar
end
Combinación de ambas para representación gráfica de la función del ejercicio 2.10. Es conveniente además
realizarlo en el editor, haciendo un pequeño programa. Evocamos File/New/Blank M-file y se nos abre el editor
de MATLAB con el fichero en blanco. Se puede guardar eligiendo File/Save as/ejercicio2_10 en nuestra área de
trabajo, para poder ejecutarlo a discreción.
13
Nombre del fichero: ejercicio2_12.m (voluntario, se repite de otra forma el 2.8)
% Ejercicio 2.12
% representar gráficamente la función definida a trozos.
clc % limpia la ventana de comandos
clear all % limpia todas las variables de la memoria
clf % cierra las figuras
x=linspace(0,10,1000); % conjunto de 1000 valores para la variable x
% se ha construido un vector de 1000 elementos
x=linspace(0,10,1000);
for i=x
if i<1
y=exp(3*i+1);
plot(i,y, '*r', 'LineWidth',2) % los de esta condición se pintan de rojo
hold on
else
y=log(1+i^2);
plot(i,y,'*k', 'LineWidth',1) % los de esta condición se pintan de negro
hold on
end
end
title('Función definida a trozos Ejercicio 2.12 igual que el 2.8')
EJERCICIOS
Ejercicio 2. 13.- Sean a y b dos números reales verificando que b < 0 < a; estúdiese el comportamiento en cero de la
función: f(x) = arctg . arctg , ∀x ∈ R – {0}.
B
C
Ejercicio 2. 14.- Represente gráficamente las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) en el intervalo [-4π, 4π].
Utilice las opciones adecuadas para que una sea dibujada una en rojo y la otra en verde, tengan aspecto diferente y
su trazo sea continuo. Háganse en una misma figura.
Ejercicio 2. 15.- En muchas ocasiones aparecen unas funciones en las aplicaciones denominadas funciones
hiperbólicas, que son combinaciones de funciones exponenciales, pero que sus nombres se parecen a los de las
funciones trigonométricas, por la relación que tienen con ellas en el campo complejo. A continuación vamos a
representar algunas de ellas y ver que MATLAB las tiene como predefinidas.
D E D )E
a) Represéntese gráficamente la función f(x) =
en el dominio [-3, 3]. A esta función predefinida en
*
MATLAB se la denomina seno hiperbólico y se simboliza por senh(x), en MATLAB sinh(x).
Compruébese que son la misma.
D E D )E
b) Represéntese gráficamente la función f(x) =
en el dominio [-3, 3]. A esta función predefinida en
*
MATLAB se la denomina coseno hiperbólico y se simboliza por cosh(x), en MATLAB cosh(x).
Compruébese que son la misma.
c)
Investíguese la existencia de otras funciones hiperbólicas.
Ejercicio 2. 16.- Represéntense las dos “ Campanas de Gaus” siguientes: y = e e y = 2 e en el intervalo
real [-3, +3] dando 500 valores a su tabla de valores, en la misma figura, póngase título, etiquetas en los ejes, una
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Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG
Práctica 2: FUNCIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Curso 2010-11
leyenda donde indique cual es cada función y por último escríbase con la orden gtext (‘ texto ‘) el nombre del
autor.
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