Tesis - Dirección General de Servicios Telemáticos

UNIVERSIDAD DE COLIMA
DOCTORADO EN CIENCIAS, ÁREA: BIOTECNOLOGÍA
MODELO ESTOCÁSTICO DE TRANSMISIÓN DEL DENGUE
EN POBLACIONES ESTRUCTURADAS
TESIS
Que para obtener el grado de
Doctor en Ciencias, Área: Biotecnología
Presenta:
Juan Ruíz Ramírez
Director de Tesis:
Dr. Carlos Moisés Hernández Suárez
Tecomán, Colima, México. Marzo de 2004
AGRADECIMIENTOS
Al Programa de Mejoramiento al Profesorado (PROMEP), por el apoyo brindado
durante mis estudios doctorales.
A la Universidad Veracruzana, por las facilidades otorgadas para concluir
satisfactoriamente mis estudios.
A la Universidad de Colima, por brindarme los conocimientos y el apoyo requerido
durante el periodo de mis estudios.
Al Dr. Carlos Moisés Hernández Suárez, por su eficiente y acertada dirección al
presente trabajo. Además, por su calidéz humana, por brindarme su amistad y los
apoyos necesarios para concluir satisfactoriamente esta investigación.
A los Doctores: Jaime Molina Ochoa, Alfonso Pescador Rubio, Francisco Espinoza
Gómez, Rafaél José Coll Cárdenas, por sus valiosas observaciones realizadas en
este trabajo.
Al Cuerpo Académico del área de Control Biológico, por su valiosa participación en
mi formación académica.
A la Lic. Eunice Pérez Luna y al Dr. Ramón Zulueta Rodríguez, por la revisión y
edición de esta tesis.
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DEDICATORIA
A mi familia: Albertina, Iván e Ivón, por apoyarme y estar conmigo en todo momento.
A mi mamá, Paula y mis hermanos Raymundo y Raúl por su apoyo moral y
motivación.
Al Dr. Victor A. Arredondo, Rector de la Universidad Veracruzana, por sus finas
atenciones y por haber estado pendiente de mí en momentos críticos.
Al Mtro. Raúl Arias Lovillo, Secretario Académico de la Universidad Veracruzana, por
su compromiso como amigo y autoridad.
A mis amigos (as) y compañeros (as) que se han mostrado solidarios conmigo:
Mtros. Arturo Méndez, Melesio Rodríguez, Artemio Calin, Luis Miguél Pavón, Jesús
Romero, Jesús Arguelles, Marco Antonio Méndez (padre e hijo), Rey Acosta,
Fernándo Velasco Luna, Julian Felipe Díaz Camacho, Carmen Gutiérrez, María
Elena Guadarrama, Aurora Montano, Alma Rosa García Gaona, Oscar Aguilar y
Gabriel May.
ii
CONTENIDO
RESUMEN
SUMMARY
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Antecedentes del dengue
1.2. Enfermedad del dengue
1.2.1. El virus
1.2.2. Mosquito vector
1.2.2.1. Alimentación
1.2.2.2. Reproducción
1.2.3. Factores que influyen en la oviposición
1.2.3.1. Control del Ae. aegypti en etapa larval
1.2.3.2. Control del Ae. aegypti en etapa adulta
1.2.4. El hospedero
1.2.5. Manifestaciones clínicas
1.2.6. Medio Ambiente
1.2.7. Índices y tasas de infección
1.2.7.1. Índices larvarios
1.2.7.2.Tasas de infección
1.3. Modelos matemáticos
1.4. Topologías de redes
1.4.1. Representación de los sitios de reunión
1.4.2. Propiedades de las redes
1.5. Problema
1.6. Objetivos
1.6.1.Objetivo General
1.6.2. Objetivos específicos
2. METODOLOGÍA
2.1. Topología de red
2.1.1. Cálculo del tamaño de la red
2.1.2. Cálculo del coeficiente de agrupación
2.1.3. Cálculo de L y C de la red generalizada
2.2. Modelos matemáticos
2.2.1. Supuestos del modelo
2.2.2. Modelo estocástico S-I-R
2.2.3. Simulaciones
3. RESULTADOS
3.1. Parámetros de la red
4.2. Tamaño de la epidemia
4.2.1. Distribución del tamaño de la epidemia
4.2.2. Tamaño de la familia
4.2.3. Relación de las redes del Mundo pequeño
generalizada y aleatoria
4. DISCUSIÓN
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5. CONCLUSIONES
6. ANEXOS
6.1. ANEXO 1. Programas en MATLAB: Red.m y Pasos.m
6.2 ANEXO 2. Programa computacional que simula una red
del mundo pequeño con un sitio de reunión
7. LITERATURA CITADA
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iv
INDICE DE FIGURAS
Figura 1. Aedes aegypti (L.), principal agente transmisor de la
enfermedad del dengue
Figura 2. Transmisión del dengue
Figura 3. Distribución del Ae. aegypti (L.), en los años 1930, 1962 y
1997
Figura 4. Distribución del número de reproducción básica y la
proporción estimada de infectados cuando se asumen
muestras homogéneas y contactos efectivos
Figura 5. Red regular
Figura 6. Red aleatoria
Figura 7. Red del Mundo Pequeño
Figura 8. Red con sitios de reunión
Figura 9. Número total de ligas posibles entre vértices que se
conectan con el vértice 1
Figura 10. Número total de ligas entre los vértices que se conectan
con el vértice 1, en una red regular
Figura 11. Número total de ligas posibles entre vértices que se
conectan con el vértice 1. Esta red representa los sitios de
reunión
Figura 12. Comportamiento del tamaño de la red con 2 y 4 ligas por
vértice, con diferente número de familias conectadas
Figura 13. Comportamiento del coeficiente de agrupación con 2 y 4
ligas por vértice con diferente número de familias conectadas
Figura 14. Comportamiento del tamaño de la epidemia y el número
de familias conectadas en una red del Mundo pequeño
generalizada
Figura 15. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión,
con 50 familias y tres integrantes
Figura 16. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión,
con 50 familias y cinco integrantes
Figura 17. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión,
con 50 familias y siete integrantes
Figura 18. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión,
con 50 familias y nueve integrantes
Figura 19. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de
agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al
número de familias conectadas, para una población de 300
personas con 100 familias de tamaño tres
Figura 20. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de
agrupación (C) y proporción de epidemias (Vr) con respecto al
número de familias conectadas, para una población de 300
personas con 60 familias de tamaño cinco
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(Continúa índice de figuras)
Figura 21. Relación de la proporción de infectados al interaccionar las
50 familias de tamaño tres, cinco, siete y nueve personas con
diferentes valores de R0.
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ÍNDICE DE CUADROS
Cuadro 1. Parámetros utilizados para generar resultados de 1000
simulaciones de una población formada con 40 familias con cinco
integrantes
Cuadro 2. Estadísticas descriptivas del tamaño de la red y el
coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice
Cuadro 3. Tamaño de la epidemia de las familias conectadas a un
sitio de reunión con R0 igual a siete, con 40 familias de tamaño cinco
Cuadro 4. Tamaño de la epidemia promedio como resultado de 1000
simulaciones en una población con 40 familias con cinco integrantes
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RESUMEN
La mayoría de los modelos matemáticos en epidemiología desconocen la estructura
de interacción entre los individuos de una población. Es común asumir que éstos se
mezclan homogéneamente, por lo cual todos los individuos susceptibles tienen el
mismo riesgo de adquirir una infección. Este supuesto se ha considerado
injustificado, porque las interacciones entre los individuos son más limitadas. En este
estudio se analizó la velocidad de transmisión de la enfermedad del dengue, en una
población con una estructura de interacción particular, donde se incluyeron dos
factores: uno en el que los individuos interactúan entre sí en un grupo reducido, y
otro en el que algunos de los individuos de la población comparten lugares en
común. Este último elemento equivale a compartir espacios esporádicamente, como
ocurre comúnmente en escuelas, sitios de trabajo, parques, cines, etc. Para conocer
el efecto de estos sitios comunes, se estudió el tamaño de la epidemia mediante
simulaciones estocásticas de epidemias del tipo Susceptible – Infectado – Removido,
con cantidades diferentes de individuos que compartían estos sitios. El tamaño de
epidemia fue el factor a comparar contra el esperado en poblaciones con mezcla
homogénea. El estudio demostró una relación casi lineal entre el tamaño de la
epidemia y el número de individuos compartiendo los sitios de reunión.
1
SUMMARY
Most mathematical models ignore the structure of contacts among individuals in a
population. Instead, they assume random mixing, implying all suceptibles are equally
likely to become the next infectious case. In this study we analyze the transmission of
dengue fever in a population were contacts occur according a “small world” model of
interaction. In this model, we assume that individuals have contacts with neighbors
but also present sporadic contacts with other individuals. This is an attempt to
account for individuals sharing common places from time to time. We used an SIR
Stochastic epidemic model on the network, and compare the resulting epidemic size
varying R0 and the intensity of contacts in the common places. For low Ro-values, we
found an almost linear relationship between the size of the epidemic and the number
of individuals having sporadic contacts.
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1. INTRODUCCIÓN
Los modelos de transmisión de enfermedades infecciosas asumen generalmente
que todos los individuos de la población son igualmente susceptibles a infectarse. En
este trabajo se estudia cómo la estructura de la población influye en la transmisión de
la enfermedad del dengue.
En una población, las personas susceptibles a una enfermedad infecciosa
comúnmente se dividen en pequeños grupos que interactúan más estrechamente,
por ejemplo familias. Al considerar que las personas permanecen cierta parte del
tiempo en sus casas y al interaccionar entre sí, se incrementa la tasa de contactos
entre los miembros de las familias. Los miembros de un grupo interactúan con uno ó
mas miembros de otros grupos, por ejemplo mediante la escuela, el cine, el trabajo,
los centros de diversión, etc. permitiendo así que la enfermedad trascienda entre los
grupos y avance en la población.
La estructura de la población se representa a través de una topología de red,
donde los grupos son las familias y se incluye la interacción entre individuos dentro y
fuera de las familias. Con esta topología, iniciamos una epidemia de acuerdo al
modelo epidemiológico Susceptible-Infeccioso-Removido, y observamos mediante
simulaciones el efecto de las diferentes topologías sobre el tamaño de la epidemia.
Así, es posible comparar este resultado contra el esperado bajo condiciones de
mezcla aleatoria de la población.
A continuación se describirá la enfermedad del dengue, los modelos matemáticos
y las topologías de redes.
3
1.1. Antecedentes del dengue
Las enfermedades infecciosas son un problema global en Salud Pública, debido a
que causan aproximadamente 13 millones de muertes cada año (Cohen, 2000).
Estas enfermedades son la principal causa de mortalidad a nivel mundial y la tercera
en Estados Unidos (Binder et al., 1999). Según Kay (2003), la Organización Mundial
de la Salud (OMS) indica que las enfermedades infecciosas causaron 14.7 millones
de muertes en el año de 2001, 26% de la mortalidad global. Entre ellas el síndrome
de inmunodeficiencia adquirida, tuberculosis y malaria, las cuales causaron el 38%
de las defunciones en ese año. O sea 2.9, 1.6 y 1.1 millones de decesos,
respectivamente.
Aunado a lo anterior, hubo decesos por infecciones respiratorias (3.9 millones) y
enfermedades diarreicas (1.9 millones) de tal manera que la mortandad de estas
cinco enfermedades equivalen a cerca del 78% del total de fallecimientos registrados
a escala mundial (Binder et al., 1999).
En la actualidad, se dispone de medicinas y vacunas que pueden ayudar a
prevenir muchas muertes ocasionadas por enfermedades infecciosas. Por ejemplo, si
se evitara comer y beber agua con contaminación fecal, se prevendrían
aproximadamente dos millones de muertes (Kay, 2003). En general, las
enfermedades infecciosas son más fáciles de prevenir que curar.
Existen enfermedades como el dengue (Kay, 2003), cuyas pérdidas económicas
son similares a las de cualquiera de las enfermedades siguientes: Las consideradas
en el grupo pediátrico (polio, sarampión, tosferina, difteria y tétanos) junto con la
meningitis, hepatitis y malaria. Se tiene la misma magnitud con la tuberculosis y las
enfermedades transmitidas sexualmente (excluyendo el virus de la inmunodeficiencia
adquirida), también las del grupo de las enfermedades tropicales (enfermedad de
chagas y leismaniasis) y de parásitos intestinales (Meltzer et al., 1998).
4
El dengue es la principal causa de morbilidad en las áreas tropicales y
subtropicales del mundo. Se estima que 100 millones de personas se infectan
anualmente con la fiebre del dengue clásico (DF) y entre 250,000 y 500,000 con el
dengue severo, que puede ser la fiebre del dengue hemorrágico (DHF) o con el
síndrome de Shock del dengue (DSS). De estos casos, fallecen aproximadamente
25,000 personas (Halstead 1988; Rigau-Pérez et al., 1999; Velzing et al., 1999).
Anualmente, dos billones de personas se encuentran en riesgo de padecer el
dengue clásico y de 10 a 40 millones la fiebre del dengue hemorrágico (Gubler
Dwight, citado por McConnell, 1994).
El dengue ha sido reconocido desde hace mas de 200 años, su manifestación
grave, la fiebre del dengue hemorrágico (FHD) apareció a finales del siglo pasado
(Pinheiro y Corber, 1997; Cardosa, 1998).
La primera epidemia del dengue ocurrió en Filadelfia en 1780 (Rigau-Pérez,
1998); aunque existe la versión de que el dengue epidémico en el hemisferio
americano ha sido reportado desde 1827 (Dantes et al., 1988).
Inicialmente, se manifestaron las epidemias cada una o dos décadas, y se
incrementaron mas rápidamente a partir de las décadas de 1970, 1980 y 1990, cada
dos o cinco años. En la década de los 1950’s la fiebre hemorrágica del dengue fue
reconocida por primera vez como problema de salud, y actualmente es la principal
causa de muerte en niños en algunos países Asiáticos y de las Américas donde han
ocurrido epidemias. Estas se han incrementado en varias regiones del mundo,
principalmente en Asia, Africa, el Pacífico y Las Américas (Halstead 1988; Cobra et
al., 1995; Ramos et al., 1993; Wei-June et al., 1996; Kautner et al., 1997).
En los últimos 20 años se ha incrementado significativamente la actividad
epidémica del dengue, expandiéndose su distribución geográfica con la presencia
continua de los cuatro serotipos del dengue, y de la emergencia de la DHF en áreas
5
previamente no afectadas (Dietz et al., 1990; Fagbami et al., 1995; Chambers et al.,
1997).
1.2. Enfermedad del dengue
El dengue es la más importante infección viral de los humanos transmitida por
artrópodos, siendo Aedes aegypti (Linnaeus) (diptera: culicidae), el mosquito vector y
el principal agente transmisor de las enfermedades del dengue y de la fiebre amarilla.
Los virus del dengue son flavivirus identificados como los serotipos DEN-1, DEN-2,
DEN-3 y DEN-4, que pueden producir manifestaciones leves, identificados como DF
o quebrantahuesos; y en sus casos graves, DHF y DSS, que al no ser tratados a
tiempo pueden provocar la muerte en menos de 48 horas (Herrera-Basto et al., 1992;
Chambers et al., 1997; Edman et al., 1997; McBride et al., 1998; Rawlings et al.,
1998; Rigau-Pérez et al., 1998).
El Ae. aegypti (Figura 1) se localiza en áreas urbanas, comúnmente a una altitud
menor de 1200 msnm. (Organización Panamericana de la Salud, 1989; Panamerican
Health Organization, 1997; Barreau et al., 1997; Zheng, 1997; Rigau-Pérez et al.,
1998). Sin embargo, el incremento de áreas urbanas densas con temperaturas altas
y la presencia del Ae. aegypti, por arriba de esta altura, como la ciudad de Taxco,
Guerrero, México localizada a una altitud de 1700 msnm donde ocurrió un brote en
junio de 1988, motivan a la reflexión acerca de esta suposición (Herrera-Basto et al.,
1992). Actualmente el Ae. Aegypti está diseminado en Asia, El Pacífico y Las
Américas (Borio, et al., 2003).
6
Figura 1. Aedes aegypti (L.), principal agente transmisor de la enfermedad del
dengue
Los elementos que participan en la transmisión de las enfermedades infecciosas
por vectores son: el virus, el que se le conoce como agente etiológico o causal, el
hombre, identificado como hospedero de la enfermedad, y el agente transmisor es el
mosquito, que disemina enfermedades infecciosas por vía hemática, interaccionando
entre ellos mismos y con los factores que influyen en la emergencia y reemergencia
de enfermedades infecciosas. Estas son las características necesarias a considerar
para desarrollar metodologías y estrategias del control del las mismas (Dantes et al.,
1988; Halstead,1988; Ko y Che, 1992; Focks et al., 1995; Fernández-Salas y FloresLeal, 1995; Watve y Jog, 1997; Esteva, 1998).
1.2.1. El virus
El virus del dengue es un flavivirus del género Togaviridae, que ocurre con cuatro
serotipos distintos (y varios “biotipos” pueden ser diferenciados), estos son
biológicamente transmitidos de un humano infectado a un susceptible a través de la
picadura de la hembra mosquito vector Ae. aegypti (Figura 2). La diseminación de la
enfermedad está influenciada por el desplazamiento del humano infectado, como
7
ocurre con los viajeros o turistas y a su rápida transportación en los aviones, de un
lugar a otro endémico (Halstead, 1982; Dantes, et al. 1988; Focks et al., 1995;
Kautner et al., 1997; Watve y Jog, 1997; Esteva, 1998; Binder, et al., 1999).
Figura 2. Transmisión del dengue
El virus del dengue centra su replicación de vida en células del sistema
hematopoyiético
y
reticuloendotelial
(pagocite
monomolecular).
La
infección
indirectamente daña el tejido hematopoyético y endotelial, resultando una fiebre
benigna hemorrágica viral (fiebre del dengue) y un severo síndrome de choque viral
(Halstead, 1982).
El virus del dengue interactúa con anticuerpos específicos y posiblemente con
otros elementos de la respuesta inmune, todos en el detrimento del hospedero. La
primera infección con cualquier serotipo de dengue, es llamada infección primaria, y
la posterior con otro diferente es una infección secundaria (Halstead, 1982).
El dengue hemorrágico frecuentemente ocurre en personas que previamente
tuvieron dengue (Csillag, 1997). La infección con uno de los cuatro serotipos del
dengue, produce una inmunidad permanente contra ése virus, pero no a los otros
(Halstead, 1982; Kautner, et al., 1997; Rico-Hesse et al., 1998; Rigau-Pérez et al.,
1998).
8
Cuba tuvo su primera epidemia en 1977, donde un estudio serológico indicó que
el 44.6% de esta población tuvo la infección primaria con el serotipo DEN-1;
posteriormente en 1981, se presentó la segunda la epidemia con el DEN-2,
ocurriendo la DHF, es por ello que en Las Américas se le considera como la primera
epidemia más importante con el DFH/DSS. En esta epidemia, muchos niños que aún
no habían nacido, al infectarse con el serotipo DEN-2 en 1981, fue para ellos una
infección primaria o fiebre del dengue (Emerging infectious disease, 1998).
Por la secuencia de infección de los cubanos con DEN-1 y luego con DEN-2, se
podría pensar que es la mas efectiva para enfermarse con DHF; sin embargo,
estudios realizados con los cuatro serotipos, encontraron que cualquier combinación
produce el DHF. Las razones para el cambio de una simple epidemia de DF a
DSH/DSS no es bien conocida (Kautner et al., 1997).
Desafortunadamente, el mecanismo exacto de eliminación de células de dengue
infectadas aún no han sido identificadas en el hombre. Muchos de los mas
importantes eventos patogénicos pueden ser monitoreados por estudios en sangre y
tejido hematopoyético (Halstead, 1982).
1.2.2. Mosquito vector
El agente causal de la enfermedad del dengue es el mosquito Ae. aegypti que
durante siglos fue conocido como el mosquito de la fiebre amarilla (Koella y Agnew,
1997; Barreau et al., 1996; Ibrahim et al., 1996).
La distribución de los géneros Aedes son: Ae. (Stegomyia) aegypti (L.), es
cosmotropical localizado dentro de los 20º isotermas (el Ae. aegypti se localiza en
todas las áreas de Las Américas, excepto Canadá, Chile y las Bermudas); Ae. (S.)
albopictus (Skuse), (sureste del continente asiático, sureste de Asia, oriente de Norte
América y sureste de Brasil); Ae. (Gymnometopa) mediovittatus (Coquillett) (Cuenca
del Caribe); Ae. (S.) africanus (Theobald) y Ae. (S.) leuteocephalus (Newstead)
9
(África Tropical); Ae. (Finlaya) niveus (Ludlow) complex (sureste de Asia; y Ae. (S.)
polynesiensis marks (sureste del Pacífico) (Focks et al. 1993; Pinheiro y Corber,
1997).
El Ae. mediovittatus, es un nuevo vector, que ha estado ocupando los lugares que
dejó el Ae. aegypti cuando se le ha combatido en Cuba. Por ser un nuevo factor, se
debe considerar por los países de Las Américas en la lucha contra el dengue
(Fuentes et al., 1992).
Las actividades para erradicar el dengue se han enfocado al control del Ae.
aegypti, es por ello que se describirá su alimentación, reproducción, factores que
influyen en la oviposición, control del Ae. aegypti, y el hospedero (Fernández-Salas y
Flores-Leal, 1995).
1.2.2.1. Alimentación
El Ae. aegypti hembra se alimenta de sangre de mamíferos, roedores y aves
(hematófago), también de los néctares de las flores que se encuentran en el hábitat
del hombre. Como se alimenta de sangre del hospedero (antropófago), el mosquito
prefiere realizar las actividades alrededor del hombre, ya que dispone del alimento, el
sitio para descansar durante el día y los criaderos para ovipositar, que son los
contenedores artificiales que produce el hombre (antropolífico). El Ae. aegypti macho
se alimenta de néctares de las flores que se encuentran en su alrededor (RigauPérez et al., 1998).
Las hembras de los mosquitos necesitan alimentarse de sangre para lograr la
maduración de sus huevecillos y de esta manera se puedan reproducir (Méndez et
al., 1994). La nutrición empleada o consumida en la producción de huevos debe ser
considerada en la transmisión de la enfermedad (Liles y Delong, 1960).
10
1.2.2.2. Reproducción
El Ae. aegypti se reprodujo en el transcurso del año en todos los poblados
estudiados en Puerto Rico en 1973 (Moore et al., 1978). El apareamiento se realiza
cuando la hembra busca alimentarse. El ruido que emiten sus alas al volar, hace que
el macho sea atraído; entonces la intercepta, la copula y la insemina de por vida,
haciendo que el esperma que lleva la hembra, le sea suficiente para la fecundación
de todos los huevecillos que produce en cada reproducción, no aceptando otra
inseminación, así tenga contacto con machos.
El análisis del ciclo de oviposición puede contribuir para estimar la tasa de
sobrevivencia. Este ciclo de oviposición puede ser determinado sin realizar
experimentos de captura y recaptura (Holmes y Birley, 1987).
El mosquito Ae. aegypti pica silenciosamente, preferentemente a mujeres y niños;
realizándolo en el día, aunque las principales horas pico son cuando existe poca
intensidad de luz solar, es decir a las pocas horas del amanecer (6:00 a 8:00 hrs.), y
en el atardecer (17:00 a 19:00 hrs.); encontrándose en el día en lugares frescos
dentro de las casas, como en las cortinas de los baños, los closets, debajo de la
cama, etc.
El mosquito al picar a una persona enferma del dengue, puede transmitir la
enfermedad inmediatamente después de 8 a 10 días, tiempo en el cual se multiplica
el virus en sus glándulas salivales (Ramos, 1989; Kautner et al., 1997).
Los sitios donde generalmente el Ae. aegypti tiene los criaderos son las casas,
las escuelas, los panteones, alrededor de las vulcanizadoras etc.; debido a que se
dejan a la intemperie los recipientes en los que se almacena agua limpia o clara, o se
recolecta de la lluvia, haciendo los sitios preferidos de las hembras Ae. aegypti, para
ovipositar sus huevecillos. Los contenedores mas comunes en Nueva Orleans, L.A.
son: las llantas, cubetas de un galón, botes de bebidas; mientras que en Bangkok,
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Tailandia son: jarras, platos hondos de floreros y trampas de hormigas (Focks et al.,
1993).
Otros sitios adicionales donde se han encontrado larvas son los contenedores
artificiales que pueden retener agua, tales como cubetas, chapoteaderos, platos
hondos con agua para animales, floreros y depósitos para captar agua de las lluvias
(Halstead, 1982; Lloyd et al., 1992; Rawlings et al., 1998; Rigau-Pérez et al., 1998).
Los criaderos ideales son los que contienen agua limpia, que están bajo sombra, y
tienen buena calidad de materia orgánica, sin que ésta sea excesiva ya que
provocaría que el agua se descomponga rápidamente.
La hembra del Ae. aegypti, una vez fecundada y alimentada, vuela a los sitios de
oviposición, donde los recipientes contienen agua limpia, y en ellos coloca los
huevecillos uno a uno, a una altura de 1 o 2 centímetros arriba del nivel del agua.
Para asegurar la sobrevivencia de esta especie, ella oviposita en tres criaderos. La
cantidad estimada de huevos que deposita por oviposición son 100, de los cuales, al
llegar a su etapa adulta, el 5O% de ellas son hembras, que son las que pican al
hombre.
El ciclo de vida del Ae. aegypti está dividido en: huevo, larva, pupa y adulto
(Fernández-Salas y Flores-Leal, 1995). Estas formas evolutivas corresponden a dos
etapas que son la acuática y la aérea (primeras tres y la última, respectivamente). La
fase acuática se le conoce también como larvaria o de estados inmaduros y la etapa
adulta corresponde al mosquito que vuela.
Los huevecillos miden no más de un mm de longitud y el tiempo promedio de
maduración es de uno a tres días cuando están húmedos y a temperaturas de 25oC
y 30oC. El período acuático tiene una duración promedio de siete a diez días, pero
puede prolongarse a más del doble de tiempo cuando la temperatura disminuye o los
alimentos son escasos, o puede reducirse hasta cinco días cuando hay alimento y la
temperatura oscila entre los 25oC y 34oC. (Méndez et al., 1994).
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Una vez que los mosquitos han emergido, la primera alimentación la realizan
entre la 20 y las 72 horas posteriores. Las alimentaciones subsecuentes las realiza
cada tres días, que es cuando completa su ciclo gonotrófico. El Ae. aegypti pica o se
alimenta varias veces por uno o más hospederos hasta saciar sus necesidades
alimenticias. En la etapa adulta, el mosquito se especializa en la alimentación,
reproducción y dispersión (Méndez et al., 1994).
El mosquito adulto en condiciones naturales sobrevive un promedio entre 15 y 30
días, alimentándose cada tres días. Las condiciones ambientales (de temperatura,
humedad, y la latitud), las de reposo, de sitios de reproducción, y de las fuentes de
su alimentación, pueden influir en los rangos de su ciclo de vida. A temperaturas
inferiores a 4oC o superiores a 40oC, generalmente no sobreviven los mosquitos
(Méndez et al., 1994).
El Ae. aegypti vuela una distancia promedio de 100 metros, aunque en estudios
se recomienda considerar un radio de distancia de 150 metros, de sus sitios de
descanso (Ramos, 1989).
1.2.3. Factores que influyen en la oviposición
En condiciones ambientales favorables, las larvas producen un componente que
induce a las hembras a ovipositar en esas aguas, y cuando las larvas están bajo
stress, producen un repelente potente para futuras oviposiciones (Zahiri y Rau,
1998).
La densidad larval afecta el atractivo de los sitios de oviposición potencial para las
hembras en estado de gravidez, ya que estas compiten por los alimentos. Se ha
encontrado que a mayor densidad de Aedes, menor es el tamaño de ellas, y
viceversa. También se reporta en estudios, que las larvas criadas con baja dieta
larval, éstas reducen sus reservas metabólicas, y al sumergirse en el agua al
responder a estímulos de la luz externa, provoca que reduzcan rápidamente sus
reservas para emerger como adultos y para reproducirse (Zahiri y Rau, 1998).
13
La repelencia al sitio de oviposición de las hembras de los sitios cercanos a la
habitación humana, puede ser un método efectivo en el control del mosquito y a la
enfermedad transmitida por ellos (Zahiri y Rau, 1998).
1.2.3.1. Control del Ae. aegypti en etapa larval
Al mosquito se le combe en sus etapas larval o adulta. El control del Ae. aegypti
se debe de realizar desde los sitios de producción larval (Lloyd et al., 1992). Para
controlar las larvas de Ae. albopictus, mosquito selvático, se aplicó 2g de ALTOSID®
a pequeños tazones o jícaras (22 x 5 cm), siendo eficiente en un 100% en el control
de estas, y con un efecto duradero del producto por seis meses. Este producto es
eficiente, ya que se probó en plantas, encontrándose que granulado o en bola, podría
proveer una manera efectiva y económica para controlar el Ae. aegypti y
potencializarse a otros mosquitos que ovipositen en tanques, o en las axilas de las
plantas bromeliasis, donde se almacena el agua de lluvia y pueden servir de
criaderos de mosquitos.
Existen pocos reportes en la literatura de estudios en las modalidades de la
transmisión del virus del mosquito. En muchos casos se reporta la transmisión
horizontal y transovárica. La transmisión horizontal larva a larva ocurre por ingestión
de larvas muertas infectadas o de agua contaminada y podría alcanzar al 90% de
mortalidad acumulada a los 10 días de la post-infección cuando la larva fue infectada
en el primer instar y de los que llegan a adultos, el 30% están infectados (Barreau et
al., 1997).
1.2.3.2. Control del Ae. aegypti en etapa adulta
Los insectos llevan microbios y parásitos que afectan a los humanos, animales y
plantas. En este caso el mosquito Aedes, transporta el virus del dengue e infecta a
humanos. El uso de insecticidas es costoso y conduce a efectos ecológicos que se
dejan de lado. Dada la importancia de los enormes nichos ecológicos ocupados por
14
los insectos, no es claro que la reducción o eliminación de ellos sea deseable. Una
alternativa podría ser al reducir o eliminar la habilidad de los insectos al producir
organismos que los enferme, para disminuir la competencia del vector (Conte Jr.,
1997).
El costo total de los daños provocados por los insectos y enfermedades no es
medible, pero probablemente sea de muchos millones de dólares anuales en el
mundo (Conte Jr., 1997).
En la epidemia con el serotipo 1 en la Polinesia Francesa, ocurrida de 1988 a
1989, se utilizó el spray de volumen ultra bajo (ULV) en las áreas urbanas utilizando
malathion, para controlar el vector en su etapa adulta (Chunge et al., 1992). El
control químico con la aplicación de malathion y de otros insecticidas, utilizando
vehículos o aviones no han sido eficientes en el control. Los métodos de control
biológico pueden ser prometedores (Leontsini et al., 1993).
El Ae. aegypti tiene preferencias para descansar en algunos sitios, en particular,
dentro de las habitaciones; este conocimiento de su comportamiento no ha sido
explotado para diseñar estrategias de control. El desarrollo de cajas de descanso
facilitan la colecta y captura de este importante vector, reduciendo las tasas de éste;
y ofrece una forma rápida de muestreo (Edman et al., 1997).
Las cajas de descanso forradas con paño e impregnadas con un repelente como
el piretroide (deltametrin), podrían servir en una comunidad para prevenir o suprimir
la transmisión del dengue durante períodos epidémicos (Edman et al., 1997).
1.2.4. El hospedero
El hospedero, es el humano que recibe las picaduras del mosquito. Este es más
susceptible cuando es de raza blanca, de sexo femenino y menor de 15 años. El
mosquito lo pica en silencio y preferentemente en los tobillos, codos, parte superior
15
de rodillas y del cuello (Halstead, 1982; Ramos, 1989).
El humano es el principal reservorio del virus del dengue. No es claro que si los
primates no humanos pueden servir de reservorio del virus del dengue humano bajo
ciertas condiciones. Por lo anterior se realizó un estudio en Polonnruwa, Sri Lanka,
para caracterizar el patrón de infección entre Macacos (Macaca sinica). Al estar
expuestos a la población de las villas rurales con el dengue, se encontró en las
muestras de sangre analizadas con la prueba de Elisa, que los macacos en 1996,
tuvieron un resultado positivo el 12% (2 de 12 animales), y en 1987 se tuvieron
infectados con el dengue el 93% (41 de 44 macacos). Estos animales no parecen
tener serios problemas con la enfermedad. Para estudios futuros se requiere aislar el
virus del dengue de los macacos para determinar su relación con la infectividad
humana (De Silva et al., 1999).
El ácido láctico-L normalmente es expulsado por la piel del humano y aunque su
mayor concentración se tiene en la boca, por ser húmeda, esta no funciona como
repelente para el mosquito Ae. aegypti; en cambio, la secreción por la piel del
humano, preferentemente de la mano, tiene un efecto de atrayente apropiado para
este mosquito (Smith et al., 1970).
Los mosquitos pican siempre a cualquier hospedero al que ellos se sientan
atraídos. Estos factores pueden ser la humedad, el dióxido de carbono y la
temperatura de la piel (Smith et al., 1970).
La típica duración de la viremia en pacientes es de 4 a 5 días, persistiendo más
en las infecciones primarias que en las secundarias. La transmisión del dengue no se
realiza por la comunicación de persona a persona, por lo que se hace raro que una
enfermera se haya infectado al atender a un paciente-viajero con dengue.
Los patrones de interacciones entre diferentes grupos de individuos en una
población estructurada es un factor importante que afecta el fácil establecimiento de
16
una enfermedad y su tasa de dispersión en la población (Sattenspiel, 1987).
Se recomienda que futuros estudios sobre la viremia del dengue, puedan incluir la
estratificación por grupos étnicos, ya que se sospecha que la raza blanca atrae al
vector del dengue, como se reportó en muchos casos en Cuba en la epidemia
ocurrida en 1981 (Vaughn et al., 1996).
Las muertes por el DHF y DSS, ocurren principalmente en niños con edades
entre 5 y 15 años; aunque el DHF se da en mujeres bien alimentadas con edades
que fluctúan entre 7 y 12 años. El DHF es raro que ocurra en hospederos mayores
de 15 años (Kautner et al., 1997).
1.2.5. Manifestaciones clínicas
La infección del virus del dengue puede ser asintomática, como ocurre a los
niños, o presentar manifestaciones clínicas que lo pueden llevar hasta la muerte. El
período de incubación es de siete días, aunque el rango es de tres a catorce días
(Rigau-Pérez et al., 1998). El tratamiento a tiempo de los síntomas puede salvar
vidas de personas que padecen la fiebre hemorrágica del dengue (Laferl, 1997).
Existen manifestaciones inusuales de la infección del dengue, como la fiebre del
dengue con severa hemorragia, daño hepático, derrame pulmonar, falla cardiaca
congestiva y encefalopatía (Thong, 1998). Los estudios en Cuba sugieren que los
factores de riesgo para adquirir el DHF son las enfermedades crónicas tales como el
asma bronquial, diabetes mellitus y anémico; además, el DHF/DSS es mas
prevalente en la raza blanca que en la negra (Pinheiro y Corber, 1997).
Un caso de dengue es definido como un paciente quien presenta la enfermedad
febril repentinamente con dos de los siguientes síntomas: dolor de cabeza, mialgia,
dolor de huesos, vómito, salpullido y manifestaciones hemorrágicas (Herrera-Basto et
al., 1992; Chunge et al., 1992; Trofa et al., 1997; Rawlings et al., 1998). La fiebre no
se debe de considerar como la única sintomatología para identificar el dengue clásico
(DF), ya que en algunos estudios de enfermedades febriles, sólo el 30 por ciento o
17
menos son casos de DF (Trofa et al., 1997).
Un estudio llevado a cabo en Tailandia, encontró que los indicadores clínicos y de
laboratorio sirven de ayuda en la identificación al inicio de la enfermedad del dengue
hemorrágico.
Estos
fueron:
la
prueba
del
torniquete
positivo,
leucopenia,
monocitopenia y altos niveles de plasma.
En la epidemia de la Polinesia Francesa en 1988 y 1989; se aplicaron
cuestionarios y al analizarlos se encontró que el 75.9% de los pacientes consultaron
a un médico en los primeros cuatro días de la enfermedad. En esta fase febril, se les
tomaron muestras de sangre confirmando a tiempo por el laboratorio, su
correspondiente resultado. Es importante que se realice el diagnóstico temprano para
su correspondiente tratamiento y el control de la enfermedad (Chunge et al., 1992).
En el brote de dengue clásico ocurrido en Taxco, Guerrero, los síntomas mas
frecuentes fueron: dolor de cabeza (100%), fiebre (99%), y mialgias y artralgias
(95%), con dolor retroocular (61%), y el 54% de los casos fueron con salpullido
(Herrera-Basto et al., 1992). Resultados similares se obtuvieron en la vigilancia del
dengue en Texas en 1995 (Rawlings et al., 1998). De 28 pacientes con dengue
clásico, diagnosticado por pruebas de laboratorio, se tuvieron las manifestaciones de
fiebre (93%), dolor de cabeza (61%), mialgia (57%), salpullido (57%) y artralgia
(18%).
La tasa de infección anual en zonas endémicas es del 10 por ciento, por lo que es
clasificada como baja (Halstead, 1988); aunque ha provocado epidemias en Cuba y
Venezuela. Las tasas de mortalidad de pacientes hospitalizados con DHF en áreas
epidémicas de dengue, fluctúa en rangos de menos del 1 por ciento, hasta del 40 por
ciento. (Ramos, 1989; Ko et al.,1992; Koopman et al., 1991; Vaughn et al., 1997;
Rigau-Pérez, 1998).
Los criterios para clasificar a los pacientes con la enfermedad del dengue, pueden
ser clínicos o de laboratorio. En el caso clínico, las manifestaciones son: 1) fiebre, 2)
18
manifestaciones hemorrágicas (prueba positiva del torniquete), 3) agrandamiento
hepático, 4) choque (pulso alto y baja presión del pulso, menor o igual a 20 mmHg o
hipotensión). En los estudios de laboratorio, se utilizan muestras de sangre y se
miden los diferentes niveles de concentración de: 1) trombocipenia (menor o igual a
100,000/mm3), y 2) hemoconcentración (incremento de hematocritos, mayor o igual
al 20 por ciento). La trombocipenia con altos niveles de hematocritos diferencía al
dengue clásico del dengue hemorrágico (Kautner et al., 1997; Velzing et al., 1999).
El tratamiento debe ser correcto y oportuno contra la enfermedad del dengue
hemorrágico (Laferl, 1997). Para el tratamiento a pacientes con la enfermedad del
dengue clásico se recomienda descanso en cama y tomar abundantes líquidos. Para
controlar la fiebre o dolor se toman antipiréticos y analgésicos (paracetamol). El uso
de aspirinas está contraindicado, ya que incrementa la tendencia de sangrado
(Kautner et al., 1997).
Las estrategias en el control y/o erradicación del dengue se enfocan a la
eliminación del mosquito, principalmente en las etapas larvaria y adulto, mediante la
aplicación de productos químicos y biológicos o a través de acciones de saneamiento
en sitios donde ovipositan, mediante la descacharrización o eliminación de depósitos
(Koopman, et al., 1991; Chunge et al., 1992; Ko y Chen,1992).
La vigilancia y las estrategias de control han fallado para reconocer que los tipos
de contenedores claves, que son las llantas y los tambos o barriles, correspondieron
del 10 al 20% del total de contenedores y fueron responsables de que en ellos se
reprodujeran del 82.6 al 99.1% del Ae. aegypti; haciendo que se maximice el costo
de la efectividad del control. Para generar un nuevo índice larval, se requiere mas
evaluación; ya que en los poblados de Charters Towers y Mingela/Ravenswood, los
tanques para almacenar agua comprendió del 13.5 al 29.6% de los contenedores
positivos que se colectaron en ellos del 60.4 al 63% de larvas de Ae. aegypti (Tun-Lin
et al., 1995).
19
Se han elaborado vacunas contra los serotipos del dengue y a nivel experimental
se tiene una vacuna tetravalente (Chamberts et al., 1997), pero hasta la fecha no se
dispone de una vacuna que proporcione inmunidad contra los cuatro serotipos del
dengue (Bhamarapravati y Sutee, 2000).
En la Universidad de Mahidol, Tailandia, hicieron una vacuna tetravalente tratada
en adultos clínicamente, confirmó la seguridad e inmunología de formulaciones
monovalente y polivalente moderada (Chamberts et al., 1997).
A pesar de los esfuerzos por crear vacunas atenuadas (vacuna de la primera
generación), con biología molecular (vacunas de segunda generación) y con ácidos
nucleicos (vacunas de la tercera generación), se estima que en la primera década del
siglo actual se podrá contar con un inmunógeno (vacuna) del dengue (Guzmán,
1998).
En períodos de baja transmisión del dengue, las personas y las autoridades del
Sector Salud pierden el interés en el control del Ae. aegypti, por lo que las
densidades del vector tienden a incrementarse (Esteva, 1998). En la Figura 3, se
muestra la distribución del Ae. aegypti en diferentes años: 1930; 1962, cuando se
realizó el control del mosquito, y 1997 al reinfestarse las áreas con este vector, sin
estrategias de control (Pinheiro y Corber, 1997).
20
Figura 3. Distribución del Ae. aegypti (L.), en los años 1930, 1962 y 1997.
El hospedero, para protegerse, utiliza repelentes contra mosquitos, pero esto no
contribuye al control del mismo. Se sugiere que las casas cuenten con mosquiteros
en las puertas y ventanas, para evitar que el mosquito entre a las casas a descansar.
1.2.6. Medio Ambiente
Al haber una baja infección del dengue en mosquitos, se observa que la
dispersión del vector se presenta en la estación húmeda, esto podría proveer un
mecanismo eficiente para la dispersión del virus a comunidades cercanas (Edman et
al., 1998).
El efecto de inusuales aguaceros estacionales, puede ser determinado después
de 5 o más de 10 años de observación. Tales datos no están disponibles en Puerto
Rico ni en Las Américas (Moore et al., 1978).
El rango de índice de casa y de Bretau fue mayor durante la estación de lluvia en
el sur de la costa de Puerto Rico, donde se tiene mas pronunciada su estación de
secas. En la costa norte, dónde las estaciones de lluvias y secas no son tan
marcadas, la densidad de población larval del Ae. aegypti fue igualmente distribuida
21
a través del año. Un programa combinado de la reducción de las fuentes de
reproducción en la estación seca y un temprano control de insecticida en la estación
húmeda, podría ser suficiente para mantener los índices por debajo de los niveles
críticos. Otra opción sería un control complementario (es decir, aplicar larvicidas
focales peridomésticos) puede ser llevado a las áreas de fuerte reproducción (Moore
et al., 1978).
En un estudio que se realizó en la división de Miri, Sarawak, Malasia, en el
periodo de 1991 a 1994, en el que se eliminó el bosque para establecer una
plantación de árboles de hule; aunado a la migración de la población y al tener
deficiencias de servicios de agua y de drenaje, así como el incremento de sitios
artificiales de reproducción de los mosquitos, hizo que se confirmaron casos de
malaria y de dengue hemorrágico. Un total de 759 casos de dengue/dengue
hemorrágico reportados durante 1993-1994 y la mitad de ellos (427) ocurrieron en la
división de Miri, con tasa de mortalidad de 86.2 por 100,000. Lo novedoso fue que se
capturaran mas mosquitos del Ae. albopictus en el área cercana a las domésticas
que selváticas (Chang et al., 1997).
Hales y Colaboradores. (1997) presentaron datos que no asocian la oscilación del
sur (conocida como el Niño) y la fiebre del dengue, en un período de 1970 a 1996;
debido a que el Niño es responsable de las fluctuaciones en el clima.
Al tener las temperaturas ideales para la reproducción y desarrollo del Ae.
aegypti, causaría un incremento en el riesgo de la infección en los hospederos
susceptibles; aunado al incremento de la lluvia, la cual podría suceder durante la
Oscilación del Niño, permitiría incrementar los sitios de reproducción para los
mosquitos y ampliaría la sobrevivencia de los adultos. Esto no sorprendería que se
incremente el dengue durante ése período (Sehgal, 1997).
La alta temperatura puede influenciar las epidemias del dengue, como ocurrió en
Taxco, Guerrero México, en un verano caliente en 1988; favoreciéndose con los
22
contenedores para almacenar agua, que sirvieron de criaderos para el Ae. aegypti,
haciendo que se tuviera un brote a una altitud de 1700 metros (Herrera-Basto et al.,
1992).
La temperatura tiende afectar la dinámica de transmisión del dengue. Las altas
temperaturas reducen el tamaño larval del Ae. aegypti afectando su tamaño adulto.
En adición, el desarrollo viral es alterado cuando se incrementa la temperatura. El
período extrínseco de incubación (PEI) se acorta con las altas temperaturas, por
ejemplo, el PEI para el virus del dengue tipo 2 es de 12 días a la temperatura de
30oC y es de 7 días a 32-35oC.
Los climatólogos han estimado que la temperatura mundial tendrá un incremento
de 2.0oC para el año 2100. Los cambios pueden afectar la introducción y
diseminación de muchas e importantes enfermedades infecciosas, tales como la
malaria, el dengue, etc. (Patz et al., 1996). Sin embargo, Paul Reiter dijo a la revista
Lancet, que está en desacuerdo de que al aumentar el calentamiento global, las
enfermedades como la malaria, dengue y fiebre amarilla, éstas invadirán las áreas
templadas, por la simple razón de que esas enfermedades son comunes en tales
regiones, pero que han desaparecido debido a los factores tales como al
mejoramiento del saneamiento de las casas (Morris, 1997).
Para analizar el papel del clima en la emergencia de enfermedades infecciosas
de humanos, así para el cuidado de la salud, se requiere la cooperación
interdisciplinaria entre médicos, climatólogos, biólogos, y científicos sociales. Para
incrementar la vigilancia de la enfermedad, se requieren modelos integrados y el uso
de sistemas geográficos, para que tomen medidas oportunas la comunidad médica
(Patz et al., 1996). Un ejemplo de la participación de científicos y técnicos, ocurrió
cuando controlaron la emergencia de la enfermedad de la influenza en 1976, y se
realizó la vacunación nacional en Estados Unidos (Hilleman, 1996).
23
1.2.7. Índices y tasas de infección
Los índices y tasas de infección, son estimadores que permiten conocer la
magnitud de la enfermedad. Los métodos estadísticos comúnmente utilizados para
analizar la información de estudios serológicos del dengue son: Regresión logística y
Regresión logística con stepwise (Koopman et al., 1991). En los últimos 20 años se
han efectuado muchas encuestas serológicas sobre el dengue en Las Américas; sin
embargo, la mayor parte de ellas adolecen de problemas de metodología
relacionados con la aleatoriedad y la determinación del tamaño de muestra.
1.2.7.1. Índices larvarios
Los índices de la población larval del Ae. aegypti utilizados por Moore y
colaboradores (1978), cuando midieron los determinantes de la abundancia larval y
la relación de la transmisión del virus del dengue, utilizaron los siguientes índices:
•
índice de casa = porcentaje de casas positivas.
•
índice de Bretau = índice de contenedores positivos por cien casas.
•
Índice de contenedor = porcentaje de contenedores llenos de agua y positivos
con larvas.
Al tener un índice de Bretau menor que 5, clasificado por la Organización Mundial
de la Salud, no se tiene riesgo de la transmisión de fiebre amarilla. Esta clasificación
es ampliamente aplicada al dengue (Tun-Lin et al., 1995).
Para los tres años del estudio realizado en Puerto Rico en 1973, la transmisión
del dengue fue mayor cuando el índice de Bretau promedio se incrementó por arriba
de 20 (Moore et al., 1978). Sin embargo, al aplicar el índice de Bretau, éste no es un
estimador confiable (Espinoza, 2002).
En un estudio llevado a cabo en Honduras para evaluar la participación
comunitaria, se utilizó la prueba estadística de rangos de Wilcoxon y no hubo
diferencia estadística significativa para los índices de Bretau de los sitios intervenidos
24
y no intervenidos (Leontsini et al., 1993).
1.2.7.2.Tasas de infección
La tasa de sobrevivencia diaria del Ae. aegypti no puede ser determinada
(Holmes y Birley, 1987). También se reporta que existe poca información específica
publicada sobre la tasa de embrionación como una función de la temperatura en Ae.
aegypti. Además, no existen datos sobre la predación de hormigas en el campo
(Focks et al., 1993).
La estimación exacta de la tasa de sobrevivencia y frecuencia de picadura
constituye un problema importante para la ecología de insectos cuantitativa.
Se pueden elaborar tablas de vida del Ae. aegypti, en condiciones favorables,
estos tienen del 75% al 90% de sobrevivencia diaria. La tasa de sobrevivencia diaria
del mosquito en su etapa adulta es estimada por el modelo CIMSiM, ésta es del 89%
durante el período de un año (Méndez et al., 1994; Focks et al., 1995).
Una idea aproximada de la tasa de infección sería considerar estos indicadores,
más el período virémico del hospedero, la densidad de población de mosquitos y el
tiempo que transcurre entre cada ciclo gonotrófico, para estimar la cantidad de
hospederos a infectarse (Méndez et al., 1994).
La tasa de casos de muertes (TCM) por la fiebre del dengue en Las Américas es
de 1.4%; sin embargo existen variaciones que fluctúan de 8.3% en Puerto Rico a
0.8% en Venezuela (Pinheiro y Corber, 1997).
Un estudio serológico prospectivo con ELISA utilizando IgM e IgG2, realizado a
personas susceptibles, menores de 21 años de edad, al estudiar la evolución en
tiempo de la enfermedad del dengue, se demostró las tasas de prevalencia o
incidencia están relacionadas al tiempo de exposición y consecuentemente con la
edad. Al realizar comparaciones de la incidencia o prevalencia del dengue entre
25
poblaciones, se requiere previamente que las tasas se ajusten por edad de los
hospederos, situación que no ocurre en la mayoría de los estudios similares, que
comparan tasas (Chunge et al., 1992; Deparis et al., 1998).
Los estudios prospectivos deben tomar en cuenta el tiempo de exposición al
dengue, siendo necesarios estos estudios para confirmar la hipótesis de la infección
secuencial (Deparis et al., 1998).
En un estudio serológico realizado a nivel nacional en México en 1986, se
encontró que la tasa de la enfermedad del dengue fue de 1.9 (Koopman et al., 1991).
En la epidemia del dengue con el serotipo 1, que ocurrió en la Polinesia Fancesa
(en el sur del Pacífico), en 1988 y 1989, se encontró que la proporción de la
población infectada en 1990 fue aproximadamente del 70%; aunque el dengue
confirmado virológicamente y/o serológicamente en 701 casos documentados fue el
40% (Chunge et al., 1992).
Algunos factores que afectan la tasa reproductiva pueden ser la abundancia de
hospederos, sitios de oviposición y la abundancia de los mismos insectos (Holmes y
Birley, 1987).
En condiciones favorables, los mosquitos Ae. aegypti tienen una tasa de
sobrevivencia diaria del 75% al 90%. La tasa de sobrevivencia diaria del 89% fué
estimada por el modelo CIMSiM en la etapa adulta del mosquito durante el período
de un año (Méndez et al., 1994; Focks et al., 1995).
La tasa de casos de muertes (TCM) por la fiebre del dengue en Las Américas es
de 1.4%; sin embargo existen variaciones que fluctúan de 8.3% en Puerto Rico a
0.8% en Venezuela (Pinheiro y Corber, 1997).
26
La tasa de infección anual en zonas endémicas es del 10 por ciento, por lo que es
clasificada como baja; aunque ha provocado epidemias como en Cuba y Venezuela.
Las tasas de mortalidad de pacientes hospitalizados con DHF en áreas epidémicas
de dengue, fluctúa en rangos de menos del 1 por ciento, hasta del 40 por ciento.
(Ramos, 1989; Koopman et al., 1991; Ko y Chen, 1992; Vaughn et al., 1997; RigauPérez, 1998).
La tasa de mortalidad del dengue hemorrágico varía en los rangos del 1% al 30%,
dependiendo de la disponibilidad y del cuidado mantenido en el control de la
enfermedad (Kautner et al., 1997).
Se realizó un seromuestreo en México, de marzo a octubre de 1986, para
examinar los efectos de las familias y los factores ecológicos sobre la
seroprevalencia dentro de comunidades. También se tuvo como objetivo construir un
modelo que pueda ser usado para predecir el riesgo de epidemias severas del
dengue a nivel nacional. El análisis estadístico determinó la asociación de
seroprevalencia en una localidad con la prevalencia de varios factores de riesgo de
esa localidad (Koopman, et al., 1991).
Al ser un problema el control y/o erradicación de la enfermedad del dengue, se
sugiere elaborar modelos matemáticos, de utilidad en evaluación y predicción de
epidemias (Fernández-Salas I., y Flores-Leal A., 1995).
1.3. Modelos matemáticos
El objetivo de los modelos matemáticos aplicados a la epidemiología es
proporcionar información útil en la toma de decisiones, para establecer estrategias
operativas en el control y/o erradicación de una enfermedad infecciosa (Altman,
1995; Heesterbeek, 1996; Wallinga et al., 1999; Allen y Burgin, 2000).
27
El uso de los modelos epidemiológicos han cobrado gran impulso en los últimos
años (Nåsell, 2002; Ball y Lyne, 2002), debido a que se utilizan para describir el
comportamiento de una enfermedad infecciosa, en la cual, al modificar los
parámetros del modelo se pueden representar situaciones que difícilmente se
pueden obtener mediante experimentación (Becker, 1979).
Por citar un ejemplo de las aplicaciones iniciales, en 1911, Sir Ronald Ross
recibió el premio Nóbel de Medicina por descubrir que la especie Plasmodium causa
la malaria, transmitida de persona a persona a través del mosquito; además,
mediante de un modelo matemático sencillo, indicó que con una densidad baja de
mosquitos, la enfermedad se mantuvo a niveles controlados en la población sin
convertirse en una epidemia (Goodman, 1994; Heesterbeek, 1996).
Recientemente, los modelos matemáticos se han utilizado en el establecimiento
de políticas de vacunación (Ball y Lyne, 2002), para describir adecuadamente las
características de las epidemias, al vacunar a una parte de una comunidad de
personas expuestas a una enfermedad infecciosa (Becker, 1979).
Se han realizado modelos matemáticos determinísticos para representar la
dinámica del Ae. aegypti, a través del modelo de simulación de los contenedores,
donde oviposita el mosquito (CIMSiM), para ofrecer información entomológica de
utilidad en modelos aplicados a la transmisión del dengue (Focks, et al., 1993). Este
modelo incluye el modelo epidémico SEIR para las personas susceptibles y el
modelo SIR para los mosquitos.
Tanto los modelos determinísticos y estocásticos aplicados en la transmisión de
la enfermedad del dengue, se han enfocado generalmente al estudio del mosquito
(Focks et al., 1995), ignorando la estructura de la población susceptible a esta
enfermedad, factor importante en su diseminación. Un ejemplo muestra que, a través
de los viajeros se ha propagado la enfermedad a nuevas áreas no infectadas con el
dengue y en ellos se han creado nuevos focos de infección.
28
Los modelos se pueden clasificar en determinísticos y estocásticos, los primeros
son relativamente sencillos, resultan de representar un fenómeno biológico a través
de la presentación y resolución de ecuaciones diferenciales. Los modelos
estocásticos involucran el término aleatorio de diversas formas. (Altman, 1995).
Focks y colaboradores (1995) desarrollaron un par de modelos de simulación
estocásticos, en los que describen la dinámica diaria de la transmisión del dengue en
el medio ambiente urbano, a través del estudio del Ae. aegypti, sin considerar la
dinámica de la población humana.
Es importante estudiar la estructura de la población a través de las familias,
debido a que en Teroma, en el Pacífico, la dispersión de la enfermedad del dengue
ocurrió principalmente en las casas, por lo cual las campañas del vector se pueden
enfocar al uso de insecticidas en las casas (Deparis et al., 1998).
En el estudio de la enfermedad del sarampión, las familias y las escuelas
comúnmente no se incluyen en los modelos estocásticos y pueden influir en la
sobreestimación de la incidencia, (número de nuevos casos (Newton y Reiter 1992))
de esta enfermedad (Keeling y Grenfell, 1977).
Otra situación se presentó cuando Ball y Lyne (2002) estudiaron a las familias a
través de modelos matemáticos en la estrategia de vacunación contra la influenza.
La estrategia óptima fue vacunar a todos los integrantes de las familias de tamaño 4,
5, 6 y 7 y es menos eficiente la vacunación en familias de tamaño pequeño, esto se
observó al aplicar dos dosis a familias de tamaño 3, una dosis a familias de tamaño 2
y ninguna a familias de tamaño 1. En esta aplicación se observa que el tamaño de la
familia es importante en las estrategias de inmunización.
En la vida cotidiana, algunos integrantes de las familias asisten a su trabajo,
escuela, al cine o algún evento social, considerados como sitios de reunión, y esto
29
influye en la dispersión de la enfermedad. Las interacciones con elementos de otras
familias ocurren de manera aleatoria, realizándose el contacto global o a distancia y
su tasa de contacto es menor que la de contacto local (Becker et al., 1995; Becker y
Dietz, 1995; Ball y Neal, 2002). En este tipo de contactos se recomienda el empleo
de los modelos estocásticos.
Un ejemplo de la importancia de los sitios de reunión lo presentaron Longini y
Koopman (1982) al aplicar modelos matemáticos, determinaron que las escuelas
sirvieron como foco de infección para la enfermedad de influenza. Esta información la
utilizó Hong Kong para inmunizar contra la influenza a niños de escuelas y mostró
eficacia en el control de la enfermedad.
En los modelos matemáticos se utiliza un parámetro importante: la tasa de
reproducción básica (R0), ésta se define como el número promedio de contactos
efectivos, realizados por una persona infectada durante su período completo de
infección, cuando se introduce a una población de susceptibles. El valor de éste
parámetro proporciona información acerca del tamaño de un brote epidemiológico
(Wallinga et al., 1999) y se utiliza para conocer el umbral de la epidemia. R0 está
asociado con el número de infectados al terminar una epidemia, lo que se conoce
como el tamaño final de la epidemia. (Newton y Reiter, 1992; Ball, 1999; Allen y
Burgin, 2000; Chick et al., 2000; Duerr y Dietz, 2000; Hyman y Li, 2000; Müller, et al.,
2000).
En la Figura 4, se presenta la relación de la proporción de personas infectadas
con respecto a los valores de R0; esto ocurre cuando se tienen mezclas homogéneas
y todos los contactos son efectivos. En esta figura se observa la dependencia entre
la proporción de infectados y R0.
30
Figura 4. Distribución del número de reproducción básica y la proporción estimada de
infectados cuando se asumen muestras homogéneas y contactos efectivos.
(Fuente: Koopman et al., 1991).
La diferencia entre un modelo determinístico y uno estocástico se manifiesta en el
efecto de R0 en el modelo: en un modelo determinístico, si R0 es menor a uno, la
enfermedad es endémica y tiende a desaparecer, pero si excede de uno, entonces
se presenta una epidemia. En cambio, en el modelo estocástico, si R0 es mayor a
uno, todavía existe probabilidad de que ocurra una epidemia (Ball y Neal, 2002).
En la dispersión del virus de inmunodeficiencia adquirida y de otras
enfermedades por contacto, realizadas entre dos personas o vértices en una red
compleja, Lloyd y May (2001) dan una fórmula para calcular el número reproductivo
básico. Éste es R0 = ρ0 [1+(CV)2], donde ρ0 = βDk, β es la tasa de infección, una vez
que se realizó en contacto con un nodo infectado; D es el tiempo promedio de
recuperación del nodo infectado a recuperado; k es el número de ligas necesarias
para conectar un vértice con otros vértices; CV es el coeficiente de variación que se
obtiene al dividir la desviación estándar entre el promedio de la distribución de los
nodos en la red. Entonces, si existe mucha variabilidad en la red, es decir, se tiene
31
heterogeneidad en la red, el CV es mayor y se incrementa R0. Los epidemiólogos
pueden llamar ρ0 al “número reproductivo básico”.
Para el dengue, se deben considerar los valores de R0, asociados con las
densidades del vector en el sitio donde se transmite la enfermedad. Cuando se tiene
baja densidad del Ae. aegypti, el valor de R0 es menor de uno, pero si la densidad es
alta, los valores de R0 son mayores de 3 (Koopman et al., 1991). Un indicador de la
densidad de mosquitos es el índice de Bretau. Si el índice es mayor a 20, entonces la
densidad de mosquitos es alta (Fernández-Salas, 1999).
Esteva y Vargas (2000) utilizaron un modelo determinístico para la transmisión de
la fiebre del dengue; en él consideraron constante a la población humana y variable
la población del vector; además estudiaron la transmisión transovárica del dengue.
Encontraron que al incrementarse la tasa mortalidad del Ae. aegypti, se reduce el
valor de R0.
Al utilizar la tasa de mortalidad del vector, si ésta es igual a 0.25, 0.50 ó 0.90
entonces R0 es igual a 1.61, 0.8 y 0.45, respectivamente. Estos resultados se
obtuvieron a través de 1250 simulaciones (Esteva y Vargas, 2000). Las anteriores
tasas de mortalidad no coinciden con las complementarias a las tasas de
sobrevivencia diaria del Ae. aegypti, bajo condiciones favorables, estas son del 75%
al 90%.
La tasa de sobrevivencia diaria del mosquito estimada con el modelo CIMSiM, fue
del 89% (Focks et al., 1995). Estas estimaciones indican que se tienen tasas de
mortalidad desde un 10 hasta un 25% y son relativamente pequeñas en comparación
a las utilizadas para calcular el valor de R0 (Esteva y Vargas, 2000).
En la estimación de R0, se utilizó un modelo que involucra tanto la dinámica del
vector como del hospedero. La siguiente expresión permite hacer esta estimación.
R0= (Nv/Nh)(CvhChv)(T1h)/( T1h+Tiit)( T1h)/( T1h+Tid)(T21v/T1v+Teit)Tid
32
Donde:
Nv = Número de personas (valor inicial: 10,000)
Nh = Número de mosquitos (valor inicial: 20,000)
Cvh = tasa de contacto efectivo del vector al hospedero (0.375)
Chv = tasa de contacto efectivo del hospedero al vector (0.75)
T1h = período de vida del hospedero (25,000 días, 68.5 años)
Tiit = tiempo de incubación intrínseco (5 días)
Tid = duración de infección del hospedero (3 días)
T1v = período de vida del vector de cuatro días correspondientes a la probabilidad de
sobrevivencia diaria de 0.78.
Teit = tiempo de incubación extrínseco (5 días)
Se obtuvo R0 igual a 1.928 y se puede aproximar a través de la expresión
R0a = -ln(s)/(1-s), donde s = 0.244 es la proporción de susceptibles al terminar la
epidemia (R0a = 1.866). Esto indica que no es necesario conocer todos los aspectos
que participan en la transmisión de la enfermedad del dengue. Para ello se debe
considerar que al terminar una epidemia, comúnmente se reporta la incidencia de la
enfermedad, es por ello que se puede calcular la proporción de susceptibles y por
consecuencia, R0. Debe de tenerse precaución en la utilización de esta fórmula en
otras enfermedades infecciosas, como la malaria, debido a que a diferencia del
dengue, ésta provoca mayor duración de infectividad en humanos y R0 no es un
buen estimador para esta enfermedad (Newton y Reiter 1992).
La dinámica de la transmisión de las enfermedades infecciosas se representa a
través de los principales modelos epidemiológicos: Susceptible-Infeccioso (S-I),
Susceptible-Infeccioso-Susceptible (S-I-S), Susceptible-Infeccioso-Removido (S-I-R),
Susceptible-Infeccioso-Removido-Susceptible (S-I-R-S) (Kuperman y Abramson,
2001; Ball y Lyne, 2002).
En el modelo S-I, una persona es susceptible cuando no padece la enfermedad,
pero está propenso a adquirirla, y se encuentra en el estado infectivo cuando pasó
del estado susceptible al infeccioso, una vez que adquirió la enfermedad. Este
modelo es útil en las enfermedades en las que la persona infectada no se recupera,
por ejemplo, VIH, hepatitis B y C.
33
En el modelo S-I-S, la población tiene los estados siguientes: S, I. Un proceso
inicia al considerar todos los elementos susceptibles, posteriormente alguno se
infecta al tener un contacto efectivo con una persona que se encuentra en período
infeccioso y al recuperarse vuelve a ser susceptible a la enfermedad. Este modelo se
utiliza para representar enfermedades infecciosas, en las que una vez padecida la
enfermedad se puede volver a infectar al no adquirirse inmunidad sobre ella, como
ocurre con la tuberculósis. También se utiliza en la transmisión de virus en las
computadoras y después de infectarse se aplica un antivirus y nuevamente se
vuelven susceptibles (Lloyd y May, 2001).
El modelo S-I-R se utiliza en enfermedades infecciosas de ciclo corto en las que
se adquiere inmunidad permanente después de padecer la infección (Lefèbre y
Picard, 1996), como ocurre con la rubéola, sarampión varicela, infecciones virales y
con el dengue al obtenerse inmunidad contra el serotipo, con el cual fue infectada la
persona.
El modelo S-I-R sin demografía se le conoce como el modelo epidémico general
(Becker, 1979), se utiliza cuando se estudian brotes epidémicos y el modelo SIR con
demografía describe el modelo endémico general (Nåsell, 2002). El modelo
epidémico general, se puede aplicar en los procesos de propagación de un rumor. La
población de N elementos, se encuentra en alguno de los siguientes estados: S
elementos no escuchan el rumor, I
elementos escucharon el rumor y pueden
transmitirlo, y R elementos no tienen interés en el rumor y no lo transmiten. Una
aplicación reciente se puede observar con Zanette (2001).
El modelo S-I-R-S es útil cuando se adquiere
inmunidad temporal hacia la
enfermedad y después se vuelve susceptible, como ocurre con la gripe e infecciones
de vías urinarias por bacterias.
Cómo se mencionó anteriormente, en la mayoría de los modelos matemáticos se
ignora la estructura de la población, factor importante en la diseminación de la
enfermedad infecciosa (Watts, 1999). La importancia de estudiar la estructura de la
34
población, es que si se encuentra muy conectada, se incrementa el riesgo de
transmitir enfermedades virulentas y parasitarias (Boots y Sasaki, 1999).
1.4. Topologías de redes
Las redes son útiles para estudiar la dinámica en la transmisión de un mensaje,
señal, rumor, un líquido, una moda o una enfermedad infecciosa (Watts y Strogatz,
1998; Xin-She, 2001), se aplican en la Ecología en la distribución de comida
(Montoya y Solé, 2002); en la genética y en la bioquímica, al estudiar el metabolismo
y desarrollo de programas de células vivientes (Bilke y Peterson, 2001); en la Internet
al ser un medio de comunicación entre usuarios de todo el mundo (Tu, 2000). En la
oncología se utilizan redes neurales para el pronóstico y clasificación del diagnóstico.
También se utilizan estas redes para estudiar la complejidad de los sistemas
nerviosos, etc. (Koch 1999; Albert, et al., 2000; Dassow et al., 2000; Gardner y
Collins, 2000; Helmlinger et al., 2000; Newman, 2001; Tu, 2000; Wang, 2000).
Strogatz (2001) menciona que las topologías de redes en la actualidad tienen
gran importancia, debido a su estructura. Este autor cita la página electrónica
http://www.wscc.com,
en la que indica cómo una falla en la red siempre afecta sus
funciones, como ocurrió el 10 de agosto de 1996, cuando dos líneas de electricidad
en Oregón, Estados Unidos, dejaron de funcionar y provocaron una falla en cascada
en 11 estados de esa nación y dos provincias canadienses, dejaron a 7 millones de
usuarios sin este servicio por más de 16 horas y causaron pérdidas millonarias de
dólares. Otra situación similar ocurrió cuando el virus computacional “Love Bug
Worm” se diseminó en la Internet el 4 de mayo de 2000 y provocó daños en la red,
cuantificados en billones de dólares.
Existen redes sociales (Krestzschmar y Morris, 1996), económicas (Tu, 2000),
neuronales (Whitfield, 2001), computacionales (Jasch y Blumen, 2001), de sistemas
eléctricos, por citar algunos ejemplos, en los cuales, los nodos o vértices se
representan en un círculo a través de puntos equidistantes, éstos son los elementos
del sistema (personas o amigos, empresas, neuronas, terminales de computadoras,
35
plantas generadoras de electricidad) y las ligas que los unen representan las
interacciones entre ellos, por ejemplo, amistades, transacciones comerciales,
nervios, redes que comunican a las computadoras, cables de energía eléctrica
(Latora y Marchiori, 2001; Newman, 2001).
En las redes se describe la dinámica de la población a través de los patrones de
contacto. La importancia de estudiar los patrones de contacto en una población de
susceptibles a una enfermedad infecciosa se debe al hecho de que determina el
riesgo de contraer una infección (Wallinga et al., 1999). Estos influyen de manera
importante en la dispersión de una enfermedad infecciosa, para ello se considera que
los contactos se realizan de manera local y a distancia (Krestzschmar y Morris, 1996;
Lloyd y May, 2001; Koopman et al., 2002).
En la representación gráfica de los contactos dentro de las familias (contacto
local), los vértices son las N personas de la población y cada vértice se conecta a
través de k ligas (Tu, 2000), éstas representan los contactos entre ellos y una
infección sólo se puede diseminar a través de las ligas (Kuperman y Abramson,
2001) que unen a cada vértice con sus k/2 vértices vecinos, localizados a los lados
de él. Esta red se le conoce como red regular y en la Figura 5 se ilustra la conexión
entre los vértices, por ejemplo el vértice 4 está unido con los vértices 2, 3 y 5, 6.
Figura 5. Red regular
36
En la red aleatoria, los vértices se conectan con todos los demás, similar a una
mezcla homogénea (Figura 6). Las redes regulares y aleatorias son poco comunes
en la realidad (Kuperman y Abramson, 2001), como ocurre en la representación del
metabolismo en general (Fell y Wagner, 2000). Una red intermedia entre ellas es
aquella en la que se desconecta a algún nodo de su vecino cercano, para conectarlo
con otro nodo de manera aleatoria y se encuentre relativamente cerca de él (Watts y
Strogatz, 1998). Esta red se conoce como red del Mundo pequeño (Figura 7), en ella,
Hong y colaboradores (2002), indican que “... el número total de cortes en la red es
dado por NPk, para un N suficientemente grande”, P es la proporción de cortes o
nodos desconectados en la red para reconectarse con otros vértices de manera
aleatoria.
En las redes regular y del Mundo pequeño, el número de vértices permanece
constante (Barabási y Albert, 1999), lo mismo ocurre con las ligas. En las redes del
mundo real se incrementa el número de ligas, debido a la inclusión de una nueva
amistad de la misma población. Es casi improbable que una persona (vértice) pierda
una amistad (liga) para obtener una nueva amistad con otra persona.
Existe la teoría de redes del Mundo pequeño basado en que para establecer
contacto con otras personas en la transmisión de una enfermedad infecciosa,
mensaje o señal, no es necesario conocer a todos los miembros de la población,
pero se requiere interacción eficiente entre ellos (Collins y Chow, 1998; Watts y
Strogatz, 1998; Kleinberg, 2000; Kim et al., 2001; Hong, et al., 2002).
La interrogante que plantean Fell y Wagner (2000) es ¿Cómo las redes que son
grandes y dispersas pueden, a pesar de eso, ser recorridas en muy pocas etapas o
con muy pocas ligas?. Al respecto, Watts y Strogatz (1998) determinaron que la red
del Mundo pequeño es extremadamente eficiente, la cual origina rápida respuesta a
perturbaciones que pueden afectar a una gran proporción de elementos de la red
(Montoya y Solé, 2002). Estas redes, comúnmente encuentran la ruta más corta
entre cualquier par de vértices (Ball, 2001).
37
Figura 6. Red aleatoria
Figura 7. Red del Mundo Pequeño
Al observar la red de la Figura 7, se podría considerar ineficiente, al existir poca
interacción entre los vértices; sin embargo, los resultados en este tipo de redes
indican lo contrario (Watts y Strogatz, 1998).
1.4.1. Representación de los sitios de reunión
En la representación de los contactos a nivel local y global, se utiliza una red
regular (contactos locales) y se incluyen ligas adicionales para unir parejas de
vértices de manera aleatoria. Comúnmente, se agrega una baja proporción de ligas y
se espera que el tamaño de la red disminuya drásticamente (Jasch y Blumen, 2001).
Estas ligas adicionales representan los contactos en los sitios de reunión (contacto
global). En esta red, a diferencia de la presentada en la Figura 7, no se realizan
cortes para desconectar a un nodo de su vecino mas cercano (Jasch y Blumen,
2001). Las ligas adicionales utilizadas para representar el contacto global, pueden
unir aleatoriamente tanto a nodos cercanos como lejanos (Figura 8).
38
Figura 8. Red con sitios de reunión
1.4.2. Propiedades de las redes
En las topologías de redes presentadas en las Figuras 5, 6, 7 y 8, se consideran
dos propiedades, el promedio mínimo de las ligas necesarias para conectar
aleatoriamente a cualquier par de vértices, a lo que se le conoce como el tamaño de
la red (L) (Kuperman y Abramson, 2001; Montoya y Solé, 2002). L es mucho mas
pequeño que el número total de vértices de la red (Kleinberg, 2000) y k es mucho
menor que el número de vértices (Kirillova, 2001). El coeficiente de agrupación (C) se
refiere a la proporción de amistades de una persona (vértice), que se conocen entre
ellas y están unidas a través de ligas (Montoya y Solé, 2002).
En una red aleatoria se espera que C sea igual a uno, al hacer la analogía con las
mezclas homogéneas. Una red es eficiente cuando L es pequeño, aproximadamente
menor o igual a cuatro; aunque se han encontrado valores que fluctúan entre cuatro
y nueve (Newman, 2001). Esto indica que se requieren en promedio cuatro ligas para
unir de manera aleatoria cualquier par de vértices. Los valores de C reportados son
aproximadamente de 0.5.
Las limitantes de las redes son: En red regular se tienen valores grandes de L y
C. En cambio en la red aleatoria, L es muy pequeño y C es insignificante. La red del
39
Mundo pequeño tiene un valor pequeño de L y alto el valor de C; esto indica alta
interacción en la red (Xin-She, 2001; Davidsen et al., 2002).
Actualmente, existen pocos estudios que realicen el análisis comparativo entre las
topologías de las redes regular, aleatoria y del Mundo pequeño. Sin embargo, esta
última estructura de red proporciona mejores resultados (Lago-Fernández et al.,
2000) o se aproxima en eficiencia a la red aleatoria (Mathias y Gopal, 2001; Sun y
Ouyang, 2001).
1.5. Problema
En el estudio de la diseminación de la enfermedad del dengue, no se dispone de
un modelo estocástico que incluya la dinámica de la población y represente el efecto
de los sitios de reunión en la eficiencia de la red y en el tamaño de la epidemia.
La pregunta que se plantea es:
¿Cómo la estructura de la población influye en la diseminación de la enfermedad
del dengue?
Hipótesis
El efecto de los sitios de reunión en una población estructurada incrementa la
interconexión de la red y la incidencia de la enfermedad del dengue.
1.6. Objetivos
1.6.1.Objetivo General
Proponer y analizar un modelo estocástico que muestre cómo afecta la estructura
de la población al tamaño final de la epidemia de la enfermedad del dengue.
40
1.6.2. Objetivos específicos
1. Determinar el tamaño de la red cuando se considera la inclusión de
ligas adicionales entre grupos.
2. Calcular numéricamente el tamaño final de la epidemia para la
enfermedad del dengue, en función de la topología de la red.
41
2. METODOLOGÍA
En la unidad I se planteó la necesidad de elaborar un modelo estocástico que
muestre cómo la incidencia del dengue se incrementa al considerar el efecto de los
sitios de reunión en la estructura de la población.
Para alcanzar el objetivo, se analizó la estructura de la población a través de la
topología de redes, en la cual se representaron los contactos de las personas dentro
y entre las familias (Wallinga et al., 1999). Esta topología se denominó Mundo
pequeño generalizada (MPG).
Una vez seleccionada la red MPG, se utilizó el modelo epidemiológico
Susceptible-Infeccioso-Removido (Watts, 1999), para representar la transmisión de la
enfermedad del dengue (Esteva, 1998). Posteriormente, se elaboró un modelo
estocástico y a través de simulaciones se obtuvieron resultados del número de
personas infectadas con el dengue.
Otros factores importantes adicionales fueron: el tamaño de las familias (f) y R0.
El primero influyó en el tamaño de la red y ambos en la incidencia de la enfermedad
del dengue.
La red MPG se relacionó con una red completamente aleatoria. El modelo
matemático que considera los contactos a nivel local y global se relacionó con el
modelo de mezclas completamente homogéneas en los que se realizan contactos
efectivos.
Para conocer la incidencia de la enfermedad del dengue, se realizó un análisis
descriptivo de la información. A continuación se detalla la metodología propuesta.
2.1. Topología de red
Para mostrar la importancia de los sitios de reunión, se consideró en la red
regular, la inclusión de i ligas; éstas unieron aleatoriamente a i parejas de vértices
42
(Jasch y Blumen, 2001). En el modelo matemático, se representó la interacción entre
las i familias, equivalente a las ligas adicionales en las redes.
La población de susceptibles se representó en una red. En un círculo se
distribuyeron equidistantemente los n vértices y cada uno se conectó con sus k
vecinos cercanos, localizados a sus lados (Watts y Strogatz, 1998; Mathias y Gopal,
2001). Si k es igual a cuatro, cada vértice se conecta con sus dos vecinos más
cercanos y con los dos siguientes vecinos más cercanos (Barabási y Albert, 1999);
es decir, un individuo se conecta a sus k/2 vecinos adyacentes, por lo que k siempre
es par en nuestro modelo.
El tamaño de cada familia es f = k+1 y el número de familias es nf = n / f, así se
obtiene la representación gráfica de una red regular. En esta red se ilustran los
contactos homogéneos realizados dentro de las familias que generalmente
representan el comportamiento de una población y al conectar vértices de manera
aleatoria se realizaron los contactos entre familias; además, las redes regulares son
mas fáciles de investigar (Whitfield, 2001).
Esta representación gráfica es una topología de red del Mundo pequeño, debido a
que cada vértice requiere pocas ligas para interactuar con otros vértices; a pesar de
ello, la transmisión de mensajes, señales y enfermedades infecciosas, es muy
acelerada en este tipo de redes (Waltts y Strogatz, 1998).
Los supuestos en las redes del Mundo pequeño son los siguientes:
a)
La interacción entre las personas o vértices en la red es en ambos
sentidos; es decir, están conectados ambos vértices por una sola
liga, por ello la transmisión se realiza recíprocamente entre dos
vértices adyacentes (Kretzschmar y Morris, 1996; Kirillova, 2001;
Montoya y Solé, 2002).
b)
La población es cerrada y se tienen prohibidas conexiones a sí
mismo y múltiples conexiones con los demás vértices (Kuperman y
Abramson, 2001).
43
c)
Cada vértice está conectado con un número fijo de ligas o amistades
y no se considera la eliminación o incremento de ligas o nodos
(Pandit y Amritkar, 2001).
La eficiencia de la red, se conoce al estimar los valores del tamaño de la red y del
coeficiente de agrupación.
2.1.1. Cálculo del tamaño de la red
El tamaño de la red se define como el promedio de la distancia entre todos los
pares de puntos posibles en la red, tomando en cuenta que entre dos puntos se usa
la mínima distancia (Watts y Strogatz, 1998, Sapozhenko, 2001).
En la red regular, se tienen en total nk/2 ligas y L ≈ n/2k. Esta expresión se puede
verificar al conectar un vértice con el más lejano, localizado a una distancia máxima
de n/k ligas; los vértices que le siguen en distancia se encuentran a (n/k) –1, (n/k)-2,
..., 2, 1 ligas. Al calcular el promedio de estas distancias se obtiene el valor de L, el
cual se representa con la siguiente expresión:
L= [(n/k) + (n/k)-1 + (n/k) –2 + ... + 2+1]/(n/k)
L=
1 n/k
∑i
n / k i =1
En una red aleatoria L ≈ ln(n)/ln(k) (Watts y Strogatz, 1998; Davidsen et al., 2002).
2.1.2. Cálculo del coeficiente de agrupación
En el cálculo del coeficiente de agrupación se considera que si un vértice i tiene
conexiones a v vértices, cuando cada uno de éstos se conecta a los otros v-1,
entonces el valor de Ci es máximo.
En el cálculo de Ci, se obtuvo la proporción de ligas que unen a vértices comunes
a uno en particular, en relación al número total de ligas que unen esos vértices
(Kirillova, 2001). Ci está dado por la siguiente expresión:
44
Ci =
número de ligas entre los vértices vecinos del vértice i
número máximo permitido de ligas entre los vecinos del vértice i
En la Figura 9 se representa el número máximo de ligas existentes entre los
vértices que están conectados con uno en particular, en este caso con el vértice 1,
pero que se desconectaron de él, lo cual resulta de las combinaciones (k,2), donde
(k,2)=k!/(k-2)!2! = k(k-1)/2; k! = k(k-1)(k-2)...(2)(1) (Mathias y Gopal, 2001; Davidsen
et al., 2002). Esta situación es similar a una red aleatoria, en la que existen contactos
homogéneos.
Figura 9. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el vértice
1.
En la Figura 10 se ilustra la conexión dentro de una familia, equivalente a una red
regular, en donde se observó el número total de ligas que unieron los vértices
comunes al vértice 1, pero que temporalmente se desconectaron de él. En esta
situación, C1=3/6= 0.5.
45
Figura 10. Número total de ligas entre los vértices que se conectan con el vértice 1,
en una red regular
Una red con ligas adicionales incrementa el número total de ligas en relación a las
obtenidas en la Figura 10. En la Figura 11 se agregaron dos ligas que unieron los
vértices: el 2 con el 7 y el 3 con el 8.
Figura 11. Número total de ligas posibles entre vértices que se conectan con el
vértice 1. Esta red representa los sitios de reunión
Al calcular el valor de C1 utilizando las ligas de la Figura 11 (con dos ligas
adicionales), en relación al número máximo de ligas permitidas (Figura 9), C1 = 5/6.
De esta manera, se calculan los valores Ci con cada uno de los vértices etiquetados
como 2,3, ..., n.
El coeficiente de agrupación se obtuvo del promedio de los valores de Ci. Una
manera de calcular Ci es dividir el número de ligas de las Figuras 10 ó 11 entre el
46
número de ligas de la Figura 9. Entonces C, es el promedio de los Ci. El coeficiente
de agrupación puede tomar valores cercanos a 0.5.
En las redes del Mundo pequeño, C es mayor al de las redes aleatorias, en donde
C≈ k/n (Montoya y Solé, 2002). Esta expresión se utiliza cuando la proporción de
desconexión y reconexión aleatoria de los vértices es p>0.5; entonces la estructura
de las redes es del Mundo grande o de redes aleatorias (Kirillova, 2001).
2.1.3. Cálculo de L y C de la red generalizada
Para calcular los valores de L y C de la red MPG, se realizaron dos programas
computacionales en MATLAB (Etter, 1996), identificados como pasos.m y red.m
(Anexo 1). El primero calcula la matriz de contactos (P) que representa la conexión
de los vértices en la red. Donde Pi,j = 1 si los vértices i, j están conectados y es cero
de otra manera (Jasch y Blumen, 2001; Kim, et al., 2001; Latora y Marchiori, 2001;
Montoya y Solé, 2002).
La matriz de contactos es la siguiente:
P =
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
En la matriz P, aún no se considera la adición de ligas, que representan la
conexión aleatoria entre familias.
47
Para calcular Pr se multiplica r veces la matriz P (con r =1,2,..., nf familias). Al
obtener P2, presenta algunos vértices que antes estaban desconectados (Pi,,j=0) y
ahora es lo contrario (Pi,,j=1); esto se realizó en dos pasos; es decir, dos ligas para
conectar esos vértices. De manera análoga, se conectaron otros vértices, pero
requirieron cierto número de ligas o pasos. Una vez conectados un par de vértices,
aunque el exponente de P se incremente, estos vértices siguen conectados, por lo
que fue necesario identificar el exponente r de Pi,j cuando Pi,j fue igual a uno por
primera vez.
Sea li,j la mínima potencia de Pi,j en la cual cada elemento pi,j tiene valor de uno.
li,j, se calculó del número mínimo de pasos o ligas (r) requeridas para conectar un
vértice con otro. Entonces L = promedio de li,j.
Al hacer una analogía de la matriz de contactos con una de transición o de
probabilidades, cada elemento de un renglón se dividió entre la suma de los
elementos del mismo renglón para obtener una matriz de probabilidades. En esta
matriz se tuvieron valores de cero o de 1/k (Bilke y Peterson, 2001). Al obtener Pr
(r=1,2,...,nf), algunos elementos tendrán valores de cero al utilizar r etapas y aún no
se han conectado esos vértices, en otros se tendrán probabilidades mayores de cero
al conectarse dos vértices en r etapas (Pandit y Amritkar, 2001). En la matriz Pr se
observaron algunos vértices con más alta probabilidad de conectarse, aunque ésta
no es la finalidad de este estudio.
2.2. Modelos matemáticos
El modelo epidemiológico Susceptible-Infeccioso-Removido (Zanette, 2001)
representa la dinámica de la enfermedad del dengue (Esteva y Vargas, 2000).
Debido a la estructura de red en la que se representaron los contactos aleatorios
entre familias, se consideró utilizar el modelo estocástico.
48
2.2.1. Supuestos del modelo
Los supuestos considerados en el modelo matemático propuesto en el estudio de
la dispersión de la enfermedad del dengue son:
1. Población cerrada. Se asume que la población estudiada es cerrada, es decir,
permanece estable al existir equilibrio entre los nacimientos y muertes, así
como entre personas que se integran o alejan de la población. Esto es válido
para estudios de enfermedades de corta duración y con limitados efectos en la
mortalidad, y ocurre con la enfermedad del dengue (Busenberg y Driessche,
1990; Mena-Lorca y Hethcote, 1992; Esteva y Vargas, 1999; Nåsell, 2002).
2. Mezclas homogéneas dentro de cada familia. Cada elemento tiene la misma
probabilidad de contactarse con los demás, debido a los frecuentes contactos
dentro de cada familia (Boots y Sasaki, 1999; Wallinga et al., 1999). En
relación a la transmisión del dengue, los mosquitos Ae. aegypti tienen igual
probabilidad de picar a cualquier integrante de la familia (Newton y Reiter,
1992).
3. Nivel de inmunidad constante. Los elementos de la población tienen el mismo
nivel de inmunidad a la enfermedad infecciosa.
4. Tamaño de familia fijo. No se tienen familias con un tamaño fijo K, pero el
interés en este estudio es mostrar cómo el tamaño promedio de las familias
influye en el tamaño de la epidemia (Becker, 1979).
2.2.2. Modelo estocástico S-I-R
En el modelo estocástico S-I-R, cada individuo infeccioso tiene contactos con
otros seleccionados aleatoriamente, con una tasa λ. El objetivo de un contacto es
cualquier actividad que resulta en la infección de un susceptible a través de un
individuo infeccioso (Hernández-Suárez y Castillo-Chávez, 1999).
49
Una vez que un individuo permanece infectado, se recupera con una tasa µ.
Ambos parámetros λ y µ, se asumen como parámetros de distribuciones
exponenciales, lo cual puede representarse por medio de un proceso de Poisson
para ambos eventos: Infeccioso y Recuperado.
En este trabajo se asume una población de tamaño constante N, entonces
N=I+S+R. Los estados de un proceso en el tiempo t pueden identificarse por X(t)={I,
R}; esto es, el número de individuos infectados y recuperados en el tiempo t. Cuando
hay I infectados y S susceptibles, la tasa de infección es λIS/N y la de recuperación
es µI. Definimos:
Pi,j;k,m(s,t)=P(I(t)=k, R(t)=m / I(s)=i, R(s)=j)
Donde: I(t) y R(t) son variables aleatorias que denotan el número de individuos
infectados y recuperados en el tiempo t, respectivamente. Sea {k,m}, {i,,j}ЄΩ; 0≤s≤t.
Las tasas de transición son dadas por:
Pk,m;k+1,m(t,t+δ)= λ δk(N-k-m)/N+oδ,
Pk,m;k-1,m+1(t,t+δ)= µδk+ oδ
El principal parámetro epidémico es el número reproductivo básico, R0. La
definición que utilizamos fue propuesta por Hernández–Suárez y Castillo-Chávez
(1999), y se presenta enseguida en términos de contactos en lugar de infecciones.
Definición: R0 es el número esperado de contactos que un individuo infeccioso tiene
durante su completo período infeccioso; un contacto es cualquier acto que cause la
infección de un susceptible.
50
Una revisión sobre R0, sus propiedades y reglas generales para su cálculo las
presenta Hernández-Suárez (2002). El cálculo de R0 es más complicado para
modelos estocásticos. Entre algunas propiedades importantes, se puede mostrar que
la variable aleatoria X, se define como “El número de contactos que realiza un
individuo infectivo durante su completa vida infecciosa”. X es una variable aleatoria
con parámetros µ /λ+µ, esto es:
P(X=k)= (λ/λ+ µ)k (µ/λ +µ), k=0,1,2, …
(1)
con valor esperado λ/µ. En términos de R0, la función de masa de probabilidad del
número de infectados puede ser escrito como:
P(X=k)= (R0/ 1+ R0)k (1+ R0)-1, k=0,1,2,…
En un modelo S-I-R, la epidemia se detiene cuando hay dos clases de individuos
en la población: los recuperados o inmunes y los susceptibles. El número de
individuos infectados se denomina el tamaño final de la epidemia o simplemente, el
tamaño de la epidemia. Este puede ser aproximado (Hernández-Suárez, 2002, Ball,
2003) con la solución de:
x= N(1-e-x R0/N)
(2)
Al sustituir en la expresión anterior, los valores de R0 y el tamaño de la población
N, se estimó a través del programa Mathematica, el tamaño final de la población bajo
el supuesto de mezclas homogéneas y contactos efectivos.
2.2.3. Simulaciones
La simulación se aplica en estudios para representar el comportamiento de una
enfermedad infecciosa, utilizando el mínimo número de factores o variables que
participan en la dinámica de la enfermedad. La finalidad es elaborar programas
sencillos y estimar el tamaño de la epidemia, al modificar algún parámetro , lo cual
comúnmente no se puede observar en la realidad.
51
Los resultados obtenidos por simulación son diferentes a los experimentales. En
una población de elementos susceptibles a una enfermedad infecciosa, se introduce
una persona infectiva, el resultado es diferente si la primera persona contactada es
infectada, ya que puede influir en el curso de la transmisión de la enfermedad; en
cambio, en los diseños experimentales, al repetirse el experimento bajo las mismas
condiciones, el resultado obtenido es el mismo con un margen de error α.
Para estimar el tamaño de la epidemia, se elaboró el programa SIMULAMPG en
el lenguaje de programación C, el cual utilizó el modelo estocástico que consideró la
topología de red del Mundo pequeño generalizada y el modelo SIR.
En la simulación o representación de una epidemia se procesa o “corre” el
programa SIMULAMPG, para conocer el número promedio de infectados una vez
que la epidemia concluyó. La mayoría de las corridas fluctúan entre 30 y 5,000
(Jasch y Blumen, 2001; Mathias y Gopal, 2001). En este trabajo se realizaron 1000
simulaciones, equivalentes a 1000 epidemias (Shonkwiller y Thompson, 1986; Watve
y Jog, 1997).
En la ejecución del programa de simulación, se da un click en el ícono
SIMULAMPG y éste requiere la siguiente información:
•
número de familias
•
número de integrantes
•
valor del parámetro µ
•
valor del parámetro λ
•
número de simulaciones
•
nombre del archivo para almacenar en él los resultados.
Al multiplicar nf familias y f número de integrantes, se obtuvo el tamaño de la
población N. Al proponer diferentes valores de f, se estudió el efecto del tamaño de la
familia en la diseminación de la enfermedad infecciosa. En este trabajo se estimó R0
52
mediante el cociente λ/µ = tasa de recuperación / tasa de infección (Boots y Sasaki,
1999).
El cálculo de R0 se facilitó con los valores de λ y µ, descritos en el Cuadro 1. Se
incluyeron los valores de R0 menores de uno, para representar una baja de densidad
de mosquitos Ae. aegypti y una tasa baja de transmisión de la enfermedad. Cuando
se tiene alta densidad de mosquitos, se obtiene mayor tasa de picadura y los valores
de R0 son mayores de tres (Koopman y Longini, 1994).
Cuadro 1. Parámetros utilizados para generar resultados de 1000 simulaciones de una
población formada con 40 familias con cinco integrantes
µ
λ
R0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.80
1.00
1.25
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
0.80
1.00
1.25
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
El último dato requerido por el programa es el nombre del archivo, precedido por
la unidad en la que se almacenarán los datos de las 1000 simulaciones. El archivo
utiliza el formato ASCII, el cual puede leerse por la mayoría de los editores de textos.
En la ejecución del programa, aparecen los siguientes mensajes en la pantalla:
Familias conectadas 0
Familias conectadas 2
y así sucesivamente, hasta Familias conectadas nf
Esto indicó la interacción de cero familias (no se contactó ninguna familia en un
sitio de reunión), 2 familias, y así sucesivamente hasta que todas las familias se
contactaron de manera aleatoria y los tamaños de la epidemia se almacenaron en el
53
archivo correspondiente.
Debido a la gran cantidad de información generada (número de familias por
número de simulaciones realizadas), se obtuvo una matriz de datos de orden nf por
mil. Cada dato correspondió al tamaño de la epidemia, asociado al número de
familias conectadas y su correspondiente número de simulación. Esa gran
información, dificultó conocer el comportamiento o tendencia del tamaño de la
epidemia, por ello se realizó lo siguiente:
•
El archivo de los resultados del modelo de simulación produjo una matriz de
datos, que se leyó en el programa MATLAB y generó la matriz transpuesta,
creando un nuevo archivo en formato ASCII, con la finalidad de tener una matriz
con 1000 renglones y nf columnas. Esto facilitó su análisis.
•
En el programa computacional Statistica para Windows, versión 6.0 (McCallum,
1999) se importó el archivo en formato ASCII y se generó uno nuevo. Se utilizó el
módulo de Estadística Descriptiva para calcular el tamaño promedio de la
epidemia, a través de la media aritmética y mediante gráficos se describió la
tendencia de las epidemias que permitieron compararla a través de diferentes
valores de R0, del número de familias conectadas y con diferentes tamaños de
familias (Shonkwiler y Thompson, 1986).
En el programa SIMULAMPG se obtuvo el tamaño de la epidemia esperado
cuando r familias fueron conectadas, mediante el promedio de 1000 simulaciones; en
cada simulación se conectaron aleatoriamente a r familias, para evitar el efecto de
una topología fija, como es el caso de una red regular.
Para comparar el tamaño de la epidemia esperado, cuando r familias son
conectadas, en relación a mezclas aleatorias, obtenidas por la ecuación (2), se
obtuvo el índice Vr, donde:
Vr =
Tamaño de la epidemia esperado cuando r familias son conectadas
Tamaño de la epidemia esperado bajo mezclas homogéneas
54
3. RESULTADOS
Los cuadros y figuras que se presentan a continuación, fueron obtenidos a través
de los programas Pasos.m y Red.m. En la red Generalizada del mundo pequeño, se
determinó el tamaño de la red y el coeficiente de agrupación. Asimismo se calculó el
tamaño final de la epidemia al realizar 1000 simulaciones con el programa
SIMULAMPG. Estos resultados correspondieron a diferentes valores de R0 y número
de familias conectadas por el efecto de los sitios de reunión.
Los resultados más relevantes que se obtuvieron, corresponden a la topología de
red y del tamaño final de la epidemia, con el fin de mostrar cómo los sitios de reunión
influyen en la eficiencia de la red (Latora y Marchiori, 2001) y en la diseminación de
una enfermedad infecciosa (Wallinga et al., 1999). A continuación se presentan los
resultados más relevantes de la topología de red y del tamaño final de la epidemia
obtenidos en este estudio.
3.1. Parámetros de la red
Para ejemplificar el cálculo del tamaño de la red regular, se consideró una
población (n) de 300 vértices, cada uno se conectó con sus k vecinos más cercanos.
Al utilizar cuatro ligas (k=4), se formaron en total nk/2 = 300x4/2 = 600 ligas. La
distancia máxima entre dos vértices utiliza a lo más n/k = 300/4 = 75 ligas. Esto
muestra que la distancia mínima promedio está dada por:
L=(75+74+…+1)/75= 38,
lo cual indica que los valores obtenidos a través de un programa computacional en
MATLAB, L= 37.9 y el de L ≈ 37.5 (L ≈ n/2k), son buenas estimaciones del valor real,
L=38.0.
En una red aleatoria, L ≈ ln(n)/ln(k) = ln(300)/ln(4) = 4.1144, expresa que se
necesitan cuatro ligas en promedio para conectar cualquier par de vértices
55
seleccionados aleatoriamente; aunque se esperaría que si la red es aleatoria, se
presentaran mezclas homogéneas, entonces el tamaño de L fuera igual a 1.
En el cálculo del coeficiente de agrupación, se consideró el número total de ligas
de un vértice y de las ligas de los k vértices vecinos que se conectan con él y entre
ellos. En el ejemplo de K = 4, en total se tienen las combinaciones de k en 2, su
notación es: (k,2) = k!/(k-2)!2!= 6 ligas. El mínimo número total de ligas entre los
vértices que son vecinos de uno de ellos son (k,2)/2= 3, ligas cuando no se tienen
ligas adicionales.
Al definir, C = número de ligas entre los vértices vecinos/ el número total de ligas
entre el vértice y sus amistades, se obtuvo C = 3/6 = 0.50, si no existen ligas
adicionales entre ellos. Si al agregar dos ligas, se obtiene el valor de C = 5/6= 0.83, o
si se agrega una liga, entonces C = 4/6= 0.66.
Al analizar los resultados de L y C, se encontró a través de la prueba de Kurtosis,
que el comportamiento de los datos es asimétrico y es por ello que se utilizó la
mediana. Esta fue igual a 0.54, para C en una red con k = 4 vértices (Cuadro 2).
Una analogía de las ligas que tienen un vértice para conectarse con sus vecinos
cercanos, k = 2, 4, equivale a tener familias de tamaño f = 3 y 5 (f = k+1). Los
resultados correspondientes de L y C se resumen en el Cuadro 2.
Cuadro 2. Estadísticas descriptivas del tamaño de la red y el coeficiente de
agrupación con 2 y 4 ligas por vértice
Parámetros de la red
L_K2N100
L_K4N60
C_K2N100
C_K4N60
N
Mediana
Valor Mínimo
Valor Máximo
100
60
100
60
6.030946
5.765085
0.181121
0.535278
3.358676
3.567516
0.000000
.497252
75.25084
37.87625
0.39773
.59665
56
En el Cuadro 2 se muestran los valores de la mediana de L y C. Se obtuvieron
valores menores de L y mayores de C, cuando k = 4, por lo cual la red está mejor
conectada en contraste cuando k = 2.
En la Figura 12 se observa un comportamiento similar cuando k es igual a 2 ó 4
ligas por vértice.
Figura 12. Comportamiento del tamaño de la red con 2 y 4 ligas por vértice, con
diferente número de familias conectadas
Los valores del tamaño de la red fueron menores cuando se tuvieron cuatro ligas
por vértice. A medida que se conectan de manera aleatoria más familias por efecto
de los sitios de reunión, el tamaño de la red decrece. Estos resultados son similares
a los presentados en el Cuadro 2, en él se mostró que la mediana de L es más
pequeña cuando k = 4.
En la Figura 13 se observa que el coeficiente de agrupación es mayor cuando el
número de ligas es igual a cuatro en relación a cuando se tienen dos ligas.
57
Figura 13. Comportamiento del coeficiente de agrupación con 2 y 4 ligas por vértice
con diferente número de familias conectadas
Otro factor importante que incrementó C, fue la adición de ligas, lo que representó
el número de familias conectadas.
En resumen, el incremento del tamaño de la familia y el número de familias
conectadas por los sitios de reunión, hicieron mas eficiente la red, al obtenerse
valores mas pequeños de L y valores más grandes de C, propiedades importantes de
las redes del Mundo pequeño.
4.2. Tamaño de la epidemia
El tamaño final de la epidemia se obtuvo de una población de 200 personas con
40 familias de tamaño 5. Se realizaron 1000 simulaciones con familias sin
conexiones entre ellas porque no asistieron a un sitio de reunión; también se
conectaron 2, 3, …, 40 familias de manera aleatoria. En el Cuadro 3 se presentan los
resultados cuando R0 fue igual a siete.
58
Cuadro 3. Tamaño de la epidemia de las familias conectadas a un sitio de reunión
con R0 igual a siete, con 40 familias de tamaño cinco
Simulaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
.
.
.
996
997
998
999
1000
0
184
117
100
24
45
188
6
7
64
12
1
.
.
.
47
23
9
16
151
Número de familias conectadas
2
3
...
20
21 22
94 138 . . .
163 130 135
122 184 . . .
81
1 90
55
74 . . .
3
2 107
1
20 . . .
2 128 159
33 130 . . .
123 175 145
10
46 . . .
1 146 118
54 119 . . .
125 76 87
6
1 ...
148
1 146
24
41 . . .
102 92
1
8 188 . . .
71 94 138
56 139 . . .
115 129 148
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
8 ...
128 134 141
140 164 . . .
98 140 72
186
15 . . .
9 12 96
5
65 . . .
120
1 132
12 151 . . .
8 78 121
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
38
148
1
137
1
119
159
1
150
96
88
146
.
.
.
140
4
104
110
127
39
2
108
1
1
138
87
131
2
123
121
147
.
.
.
133
133
121
123
127
40
133
2
140
2
126
105
95
117
108
112
1
.
.
.
122
126
117
108
126
El número de infectados fluctuó entre cero y 200, es decir, cuando el tamaño de la
epidemia es cero, ninguna persona se infectó, y cuando se infectan las 200
personas, equivale al total de la población. Esto último ocurre cuando se tienen
mezclas homogéneas.
En el Cuadro 3, se muestra el tamaño de la epidemia cuando ninguna familia se
encontró en un sitio de reunión (segunda columna). En la primera simulación se
observan 184 personas infectadas; en la segunda y onceava 117 y 1 personas,
respectivamente. También se mostraron los tamaños de la epidemia asociados con
el número de familias conectadas a un sitio de reunión.
Cuando el número de familias conectadas fue igual a dos, se seleccionó
aleatoriamente un elemento de cada una de ellas, de las 40 estudiadas. De manera
59
similar ocurrió con tres, cuatro, etc. familias conectadas.
El tener toda la información similar a la del Cuadro 3, dificulta contrastar la
tendencia del tamaño de la epidemia entre las familias conectadas a un sitio de
reunión. Una opción fue presentarla a nivel promedio como se muestra en el Cuadro
4, donde se observa que el aumento del valor de R0, incrementó el tamaño de la
epidemia. Otro factor que influyó en este resultado fue la interacción entre más
familias, al contactarse en los sitios de reunión.
Al comparar los resultados de R0=1.0 con los de R0=2.0, en promedio se duplica
el tamaño de la epidemia. Conforme aumenta R0, la epidemia crece rápidamente, ver
Cuadro 4.
60
Cuadro 4. Tamaño de la epidemia promedio como resultado de 1000 simulaciones en
una población con 40 familias con cinco integrantes
R0
FAMILIAS
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
61
2.069
2.174
2.086
2.046
2.164
2.138
2.083
2.185
2.169
2.175
2.108
2.130
2.162
2.234
2.287
2.281
2.160
2.260
2.103
2.303
2.253
2.223
2.377
2.418
2.317
2.345
2.261
2.335
2.408
2.381
2.461
2.413
2.495
2.439
2.493
2.472
2.454
2.328
2.476
2.709
1.0
1.25
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Conectadas 0.80
7.0
2.391
2.409
2.429
2.566
2.449
2.593
2.378
2.487
2.533
2.570
2.412
2.627
2.721
2.604
2.715
2.619
2.747
2.913
2.723
2.825
2.971
2.929
3.065
3.117
2.908
3.113
3.205
3.170
3.104
3.174
3.269
3.493
3.354
3.357
3.551
3.309
3.171
3.327
3.547
3.351
2.804
2.942
2.867
2.918
2.903
2.967
3.232
3.019
3.129
3.221
3.135
3.453
3.357
3.262
3.380
3.356
3.589
3.608
3.613
3.661
4.010
3.811
4.041
4.144
3.803
3.947
4.167
4.518
4.201
4.441
4.681
4.991
4.846
5.010
4.958
4.957
4.815
5.630
4.987
5.629
4.713
4.975
4.843
4.979
4.892
5.018
5.587
5.508
5.705
6.175
5.880
6.546
6.922
6.875
7.436
7.264
8.089
7.726
8.078
9.327
9.562
9.167
9.319
10.206
9.647
10.992
11.365
12.249
12.623
12.987
13.790
13.539
14.381
14.294
15.169
15.659
14.700
15.343
16.695
15.568
7.434
7.681
8.341
8.952
8.919
10.166
10.030
10.138
10.645
12.306
13.913
13.513
14.584
14.658
17.111
18.119
19.555
20.406
19.333
19.715
22.782
20.877
21.373
25.833
26.167
25.688
26.580
27.400
28.874
28.913
30.728
32.281
33.088
33.179
32.294
34.854
34.827
35.372
37.941
37.175
13.366
12.837
14.670
16.044
16.541
17.970
18.327
19.613
22.168
22.702
25.520
27.907
28.870
29.596
31.046
33.524
36.914
36.089
38.872
38.374
39.314
39.274
42.124
43.995
44.484
45.516
45.754
46.666
47.158
49.836
50.446
49.456
49.492
51.473
52.846
54.400
56.057
54.139
53.248
55.385
21.234
20.108
22.980
21.878
26.474
27.983
28.193
33.398
36.811
35.960
39.146
42.928
41.217
42.088
46.704
49.241
51.775
50.666
51.650
55.487
56.674
55.405
63.356
58.690
61.504
60.349
62.581
63.168
63.254
65.236
64.008
64.144
67.147
66.364
68.905
70.875
69.591
70.648
68.968
72.307
31.734
31.261
35.282
40.344
42.405
45.622
48.647
52.942
54.111
59.050
61.243
64.659
61.389
65.180
64.337
67.706
72.659
71.648
74.347
73.341
76.664
77.616
75.498
78.721
81.223
79.739
82.057
81.588
82.102
84.893
82.927
83.444
83.906
82.998
85.481
87.544
85.473
82.726
86.011
85.819
47.666
50.293
53.104
53.294
58.532
61.851
65.826
64.315
72.866
69.332
76.606
82.463
80.438
84.160
86.536
84.430
84.948
90.135
89.385
91.591
91.126
93.619
96.755
92.897
95.033
91.619
92.868
95.979
97.789
97.736
95.119
100.49
98.884
96.782
94.720
97.961
97.867
97.551
97.429
98.236
4.2.1. Distribución del tamaño de la epidemia
El comportamiento del tamaño de la epidemia, se representa con las figuras
siguientes para diferente número de familias conectadas y diferentes valores de R0
asociados con densidades bajas y altas del Ae. aegypti.
La Figura 14 muestra el comportamiento del tamaño de la epidemia de una
población de 40 familias de tamaño 5 para diferentes valores de R0, contrastando
con el número de familias conectadas a través de un sitio de reunión.
110
RO=7.0
RO=6.0
TAMAÑO DE LA EPIDEMIA
90
RO=5.0
70
R0=4.0
50
R0=3.0
30
R0=2.0
10
RO=1.25
RO=0.8
RO=1.0
-10
0 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940
NÚMERO DE FAMILIAS
Figura 14. Comportamiento del Tamaño de la epidemia y el número de familias
conectadas en una red del Mundo pequeño generalizado
En la figura anterior se observa que cuando R0 tiene valores menores de dos, el
número de contagios efectivos permanece casi constante, sin que influyan de
manera importante los contactos realizados en un sitio de reunión, situación que
ocurre cuando se tiene baja densidad de mosquitos Ae. aegypti, no sucediendo
cuando R0 es mayor que tres; por ello, el tamaño de la epidemia aumenta
rápidamente, al interaccionar familias en un sitio de reunión.
62
4.2.2. Tamaño de la familia
En la red del Mundo pequeño generalizada se observó que al aumentar el
número de ligas por vértice y el tamaño de la familia, la red se hizo más eficiente al
obtenerse valores más pequeños del tamaño de la red y más altos del coeficiente de
agrupación, por ello, en los resultados de simulación se utilizaron 50 familias con
tres, cinco y siete y nueve integrantes, para evaluar el tamaño de la epidemia. Estos
resultados se muestran en las Figuras 15, 16, 17 y 18.
60
Ro=7
50
Ro=6
Tamaño de la epidemia
Ro=5
40
Ro=4
30
Ro=3
20
Ro=2
10
Ro=1.25
0
Ro=0.8
0
3
2
5
4
7
6
9
8
Ro=1
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Familias conectadas
Figura 15. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y
tres integrantes
En la Figura 15 se observó una tendencia ascendente y casi lineal del tamaño de
la epidemia con respecto a las familias conectadas y el valor de R0. La población
estuvo formada por 150 personas, de las cuales se infectaron entre 1 (0.66%) y 53
(35.33%).
63
140
120
Ro=7
Tamaño de la epidemia
100
Ro=6
Ro=5
80
Ro=4
60
Ro=3
40
20
Ro=2
Ro=0.8
Ro=1
Ro=1.25
0
0
3
2
5
4
7
6
9
8
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Familias Conectadas
Figura 16. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y
cinco integrantes
En la Figura 16, se mostró el comportamiento de una epidemia de una población
de 250 personas, cuyo tamaño fluctuó entre 0 (0%) y 115 (46%) personas. Se
aprecia que al aumentar R0 y el número de familias conectadas, se incrementa el
tamaño de la epidemia.
240
Tamaño de la epidemia
Ro=7
200
Ro=6
160
Ro=5
120
Ro=4
80
Ro=3
40
Ro=2
Ro=0.8
0
0
3
2
5
4
7
6
9
8
Ro=1
Ro=1.25
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Familias Conectadas
Figura 17. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y
siete integrantes
64
En la Figura 17 se observa un tamaño de la epidemia de 0 hasta 230 personas
infectadas, lo que equivale al 0% y 65.71%, respectivamente, de una población de
350 personas, inicialmente susceptibles a la enfermedad del dengue. En la Figura 18
se muestra el comportamiento del tamaño de la epidemia cuando la población estuvo
formada por 450 personas, representadas a través de 50 familias con nueve
integrantes cada una.
Tamaño de la epidemia
400
350
Ro=7
300
Ro=6
Ro=5
250
200
Ro=4
150
Ro=3
100
50
Ro=2
Ro=0.8
0
0
3
2
5
4
7
6
9
8
Ro=1
Ro=1.25
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Familias conectadas
Figura 18. Tamaño de la epidemia al considerar un sitio de reunión, con 50 familias y
nueve integrantes
Al estudiar la diseminación de la enfermedad, ilustrada en la Figura 18, se
observó que se incrementa el tamaño de la epidemia conforme aumenta el valor de
R0 e interaccionan más familias.. Aunque este comportamiento fue similar al
mostrado en las Figuras 15, 16 y 17, se observó que un tamaño mayor de la
población, formada con 50 familias y diferente número de integrantes, incrementó
rápidamente la proporción de infectados.
65
4.2.3. Relación de las redes del Mundo pequeño generalizada y aleatoria
La Figura 19 muestra los resultados de simulaciones para una población de 300
personas que estuvo formada con 100 familias de tamaño tres. La línea que
representa a la variable L, corresponde al eje Y, su escala se localiza a la izquierda;
mientras que para las demás variables corresponde a la derecha de este eje. Estas
variables se muestran como una función del número de familias conectadas.
Se asume que una red es eficiente cuando r familias son conectadas, por lo que
se espera que el tamaño final de la epidemia bajo esta topología sea similar al
tamaño final de la epidemia cuando se tienen mezclas homogéneas. Por lo anterior,
el índice Vr definido en la Metodología, se presenta en la Figura 19, para diferentes
100
0.40
90
0.35
VALORES DE L
80
0.30
70
60
0.25
50
0.20
40
0.15
30
0.10
20
L
C
VrR01p2_3
VrR01p5_3
VrR02_3
VrR05_3
97
89
81
73
65
57
49
41
33
25
0.00
17
0
9
0.05
1
10
PROPORCIONES
valores de R0.
NÚMERO DE FAMILIAS CONECTADAS
Figura 19. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y
proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para
una población de 300 personas con 100 familias de tamaño tres
66
Se observó en la figura anterior que la variable L muestra un decaimiento
exponencial, mientras que C crece linealmente. Para un número de familias mayor
que 20, Vr crece casi siempre linealmente.
En esta topología, L es igual a 3.3587 cuando se tienen 100 ligas adicionales.
Esto ocurre cuando 100 familias se conectaron a través de la asistencia a un sitio de
reunión; esto indica que se agregó un 30% de ligas y el valor aproximado de L para
redes aleatorias fue igual a L≅4.1144. Un valor idéntico a éste último se obtuvo al
agregar 79 ligas, que es equivalente al 26% de ligas adicionales.
Cuando se tiene una población de 300 elementos con 60 familias de tamaño
cinco, el valor de L empieza al 50% que cuando se tienen 100 familias con tres
integrantes, y alcanzó el valor de 4.05 cuando se agregaron 49 ligas, que es
equivalente al 16% de vértices unidos adicionalmente. Esto indica que cuando se
40
0.70
35
0.60
VALORES DE L
30
0.50
25
0.40
20
0.30
15
0.20
10
L
C
VrR01p2_5
VrR01p5_5
VrR02_5
VrR05_5
55
49
43
37
31
25
19
0.00
13
0
7
0.10
1
5
PROPORCIONES
tienen mas integrantes por familia, la red se hace mas eficiente (Figura 20).
NÚMERO DE FAMILIAS CONECTADAS
Figura 20. Comportamiento del tamaño de la red (L), coeficiente de agrupación (C) y
proporción de epidemias (Vr) con respecto al número de familias conectadas, para
una población de 300 personas con 60 familias de tamaño cinco
67
La relación de C con respecto al número de familias conectadas es lineal y
positiva y la proporción de infectados fluctuó desde cero hasta 0.40, como se
observó en la Figura 19, situación contraria a la de la Figura 20 en que el
comportamiento es casi independiente del número de familias conectadas, y C≅0.5.
Para el caso en que la red aleatoria tiene 300 vértices con k=4 ligas, C≅0.013. El
coeficiente de agrupación es muy bajo y se pensaría que esta red no es eficiente,
aunque el valor de L indica lo contrario a medida que se incluyen mas ligas (Mathias
y Gopal, 2001).
El coeficiente Vr representa la proporción del tamaño final de la epidemia de la
red del Mundo pequeño generalizada con respecto a la de mezclas homogéneas,
éste es cercano al 30%. El valor máximo se alcanzó cuando se conectaron todas las
familias con una R0 de cinco, indistintamente si las familias estuvieran formadas por
tres o cinco personas, como se mostró en las Figuras 19 y 20. Se observó que no se
tiene un comportamiento similar de la red del Mundo pequeño generalizada que
cuando se tienen mezclas homogéneas.
68
4. DISCUSIÓN
En la mayoría de los modelos matemáticos que representan la transmisión del
dengue, comúnmente estudian la dinámica de la población del Ae. aegypti (Focks et
al., 1995) y utilizan modelos determinísticos (Esteva y Vargas, 1998) o estocásticos,
ignorando la estructura de la población (Boots y Sasaki, 1999), factor importante en
la diseminación de esta enfermedad.
Al considerar que se realizan los contactos de manera local y a distancia dentro y
entre familias, el tamaño de la epidemia del dengue calculado a través de la
topología de red del mundo pequeño generalizada se aproxima a la de mezclas
homogéneas (Vr), desde un dos hasta un 30%. Este resultado indica que la
suposición de mezclas homogéneas no es correcta, y coincide con las enfermedades
de transmisión sexual, en las que no se realizan mezclas homogéneas (Müller et al.,
2000).
Los valores pequeños de Vr, posiblemente se debieron a la utilización de una red
con mezclas homogéneas, además de considerar una enfermedad altamente
infecciosa, por lo que cada contacto fue efectivo, en contraste a la red MPG aplicada
al dengue en la que se tienen tasas de infección y de recuperación (Becker y Dietz,
1995). Con lo anterior se muestra que es un error considerar que la interacción de las
personas es similar a las mezclas completamente homogéneas (Wallinga et al.,
1999), y esto sólo ocurre si no existe relación entre la tasa de infección y virulencia
(Boots y Sasaki, 1999).
Se utilizó el modelo epidemiológico S-I-R. Este modelo es válido cuando se aplica
a enfermedades infecciosas de corto tiempo de infectividad y además se adquiere
inmunidad permanente contra ese serotipo, después de padecer la infección (Lefèbre
y Picard, 1996). Este modelo es diferente al aplicado por Newton y Reiter (1992),
debido a que ellos utilizaron el modelo Susceptible-Expuesto-Infectado-Removido
69
(S-E-I-R) para el hospedero y el modelo S-I-R, para representar el proceso infeccioso
del mosquito.
El modelo empleado en el programa SIMULAMPG no se consideraron los
aspectos vector-insecto (Koopman y Longini, 1994) y se utilizó como parámetro el
número reproductivo básico (R0). Este se relacionó con la densidad poblacional del
Ae. aegypti (Koopman et al., 1991). Sin embargo, al aplicar el índice de Bretau para
conocer si existe una alta densidad de mosquitos, si esto ocurre, entonces R0 será
mayor de tres, pero éste índice no es un estimador confiable (Espinoza, 2002). Otras
maneras de estimar R0 son a través las tasas de mortalidad del vector (Esteva y
Vargas, 2000) y al utilizar una expresión matemática que incluya los aspectos del
proceso de infección del virus del dengue, en los mosquitos y en humanos. También
se puede emplear una ecuación que sólo utiliza la proporción de susceptibles al
terminar la epidemia (Newton y Reiter, 1992).
Se utilizó la red del Mundo pequeño generalizada para representar la estructura
de la población. Esta red tiene cierta similitud con la red del Mundo pequeño, en la
que inicialmente se propagaba más rápido la información y se obtenía mayor
potencia computacional (Hong et al., 2002). Las variantes fueron: a) no se
desconectaron a los vértices para evitar las mezclas homogéneas dentro de las
familias (Jasch y Blumen, 2001); b) se unieron aleatoriamente los vértices, de
manera que algunos se encontraban cerca o distantes de ellos, lo que comúnmente
ocurre en los sitios de reunión, y c) el modelo empleado fue estocástico en lugar del
determinístico.
En la estimación del tamaño de la red, se obtuvieron resultados similares de los
calculados a través de los programas “Pasos” y “Red”, en relación a los de la fórmula
L ≈ n/2k (Watts y Strogatz, 1998).
La red MPG obtuvo diversos valores, debido a que al incluir más ligas, el tamaño
de la red disminuyó rápidamente y el coeficiente de agrupación se incrementó. Esto
70
ocurre en las redes del Mundo pequeño (Xin-She, 2001; Davidsen et al., 2002), mas
no para las redes aleatorias donde C decrece.
En una población de 100 familias con 2 ligas por vértice, los valores del tamaño
de la red fluctuaron entre 3.36 y 75.25 al incluir 100 ó 0 ligas, respectivamente. El
valor de la mediana, fue de 6.03 (Cuadro 2) lo cual indica que se requieren 6 ligas
para conectar aleatoriamente cualquier pareja de vértices.
La red MPG es mas eficiente cuando el número de ligas por vértice es mayor, por
ejemplo cuatro. Estos resultados se pueden comparar analíticamente con el tamaño
del Internet (W W W), L es igual a 19 ligas, y al incrementarse en un 1000% el
número de sitios en la red en pocos años, el tamaño de la red será igual a 21 (Albert
et al., 1999). En el estudio de redes científicas, se encontró que en la comunidad de
físicos, el tamaño de la red es de 4 (Newman, 2001; Davidsen et al., 2002). En las
redes de científicos computacionales, L=9 (Newman, 2001). En general, el tamaño
de las redes fluctúa entre 4 y 9 (Ball, 2001 a; Bilke y Peterson, 2001; Newman,
2001).
Los resultados del tamaño de la red obtenidos en una red con 60 vértices y cuatro
ligas en promedio, oscilaron entre 3.57 y 37.88. Estos valores correspondieron a las
redes en las que se adicionaron entre 60 y 0 ligas, respectivamente. Entonces, el
valor de la mediana indica que se requieren 5.76 ligas en promedio, para unir
cualquier par de vértices (Cuadro 2). Cuando el número de ligas por vértice se
incrementa, entonces el tamaño de la red decrece (Kirillova, 2001). Esto indica que a
medida que se incrementa el tamaño de la familia (k+1), entonces la red se hace más
eficiente.
Al realizarse modificaciones al mundo pequeño, se puede hacer la red mas
eficiente, lográndose reducir el tiempo de envío de mensajes por correo electrónico,
por teléfonos celulares, localizar mas rápidamente una página electrónica en el
71
Internet, o diseminar un rumor, moda o una enfermedad infecciosa (Collins y Chow,
1998).
El tamaño de la red decreció rápidamente a medida que se conectaron mas
familias y la interacción entre las personas es mas eficiente, por efecto de los sitios
de reunión, como se observó en las Figuras 14, 15, 16, 17 y 18 (Sun y Ouyang,
2001).
El coeficiente de agrupación fue afectado por el número de ligas promedio por
vértices. Al considerar una red con 100 vértices y el número de ligas por vértice fue de
2, y el valor de la mediana para C fue igual a 0.18. En cambio, cuando se tuvieron 60
vértices con 4 ligas cada uno, la mediana de C fue igual a 0.54. Esto indica que existe
poca interacción entre los vértices que son comunes a uno en particular (Cuadro 2 y
Figura 10).
En términos generales, el tamaño de la familia y de la población (Dietz, 1988) son
factores importantes que influyen en la eficiencia de la red (Kirillova, 2001). Esto se
observó en el Cuadro 2 y en la Figura 12. En programas de vacunación, se encontró
que el tamaño de la familia es un factor importante, debido a que se requería vacunar
a todos los integrantes de familias numerosas en lugar de vacunar a algunos
elementos (Becker y Dietz, 1995).
La red del Mundo pequeño generalizada es igual o mas eficiente a la red
completamente aleatoria (Mathias y Gopal, 2001; Sun y Ouyang, 2001), al haberse
obtenido valores de L cercanos a 3.5 y de L ≈ ln(n)/ln(k) = ln(300)/ln(4) = 4.1144,
respectivamente. Aunque era de esperarse que el valor de este último fuera igual a
uno, debido a que se asume que en la red aleatoria se tienen mezclas homogéneas.
Los factores que influyeron en el incremento del tamaño de la epidemia fueron: la
estructura de la población, los valores de R0 y el tamaño de la familia. Para mostrar
esto, se hizo la conexión de las 50 familias a través de un sitio de reunión. Esto
72
propició la diseminación del dengue de manera eficiente, como se observa en la
Figura 21, que muestra el comportamiento de la proporción de riesgo de infección,
asociada con los diferentes tamaños de familia (3,5,7 y 9) y valores de R0 que
fluctuaron desde 0.80 a 7.0.
0.8
PROPORCIÓN DE INFECTADOS
INTEG=9
INTEG=7
0.6
INTEG=5
0.4
INTEG=3
0.2
0.0
0.80
1.00
1.25
2.00
3.00
4.00
5.00
Ro6
Ro7
Ro
Figura 21. Relación de la proporción de infectados al interaccionar las 50 familias de
tamaño tres, cinco, siete y nueve personas con diferentes valores de R0
Se observó que cuando se tienen valores de R0 menores de cuatro, la proporción
de infectados es similar, en relación al tamaño de la familia. Sin embargo, al tener
valores de R0 iguales o mayores a cuatro, la proporción de infectados aumentó hasta
un 40% (Roger y Packer, 1993), principalmente al incrementar los valores de R0 y del
número de integrantes por familia. Estas proporciones fluctuaron aproximadamente
entre el 37% y el 77%, cuando todas las familias se conectaron a través de un sitio
de reunión y al utilizar un valor de R0 de 7.
Al conocer que los sitios de reunión son un factor importante en la diseminación
del dengue, se considera importante localizar la focalidad del Ae. aegypti y el
dengue. Estos se encuentran en todos los centros urbanos en los que se carecen de
los servicios básicos, propiciado generalmente por el crecimiento desordenado de la
población; entre ellos, la carencia de agua potable entubada, aunado a la alta
73
acumulación de cacharros, esta situación se presenta en la mayoría de las viviendas
de la República Mexicana (Fernández-Salas y Flores-Leal, 1995).
Este trabajo es de utilidad a las autoridades del Sector Salud en el planteamiento
de estrategias operativas para el control y/o erradicación del Ae. aegypti y por
consecuencia la enfermedad del dengue. Si las acciones se realizan sólo en las
casas de los hospederos, entonces se tendrá poco impacto en el control del
mosquito-vector, ya que al representar esta situación en la red regular, ésta no es
eficiente y lo mismo ocurre con el tamaño de la epidemia cuando las familias no
interaccionan a través de un sitio de reunión. Otro aspecto importante es el tamaño
de la familia, debido a que al comparar con tres y nueve integrantes por familia, se
incrementa la proporción de infectados hasta en un 40%. Se debe recordar que el
concepto familia se refiere a un pequeño grupo de personas que interaccionan todos
con todos de manera homogénea.
Las estrategias operativas deben realizarse principalmente en las épocas de
lluvias y sequías, en los horarios en los que las personas se encuentran de las 6:00 a
8:00 hrs. y de las 17:00 a 19:00 hrs. que son los principales picos en los que el
mosquito realiza su alimentación. Es por ello que se propone la eliminación de los
criaderos de los mosquitos, y se les combata a través de productos biológicos o
químicos, realizándolos en los sitios de reunión (Longini y Koopman 1982), como son
las escuelas (Endy et al., 2002; Gallay et al., 2002), parques, panteones, lugares de
trabajo, las vulcanizadoras y lotes baldíos, por citar algunos ejemplos, en los que se
puede diseminar la enfermedad hasta llegar a convertirse en epidemias (Gubler,
1989). Lo ideal sería disponer de una vacuna que proporcione inmunidad
permanente contra los cuatro serotipos del dengue.
En este trabajo se consideró fijo el tamaño de la familia, constante el tamaño de
la población con igual nivel de infectividad en las personas, así como la estimación
de R0 a través de la densidad de mosquitos. Todo ello se realizó con el objeto de
controlar varios factores para evitar la confusión de sus efectos en el tamaño de la
74
epidemia. Para estudios posteriores, se sugiere modificar uno de ellos para conocer
su efecto en la incidencia de la enfermedad.
En conclusión, se mostró que los sitios de reunión son un factor importante en la
diseminación de una enfermedad infecciosa y coincide este resultado con las
estrategias realizadas en las escuelas en Hong Kong, en la aplicación de vacunas en
la inmunización contra la influenza. Mas sin embargo, en México no se tienen
reportes sobre ello. Por lo anterior, se recomienda que las estrategias operativas en
el control y/o erradicación de las enfermedades infecciosas se realicen en los sitios
en los que interaccionen las personas por un cierto periodo de tiempo.
75
5. CONCLUSIONES
Basándose en los resultados obtenidos en el presente estudio se llegaron a las
siguientes conclusiones:
1. A través de las propiedades de las redes, se encontró que la topología de red
del Mundo pequeño generalizada fue tan eficiente, casi igual a la red aleatoria,
en la que se asume se realizan mezclas homogéneas, a medida que
interaccionaban más familias a través de los sitios de reunión.
2. El tamaño de la epidemia se incrementó hasta un 400% a medida que
interaccionan mas familias a través de la asistencia a los sitios de reunión.
Otros factores que influyeron en el tamaño de la epidemia fueron el tamaño de
la familia y R0.
76
6. ANEXOS
6.1. ANEXO 1. Programas en MATLAB: Red.m y Pasos.m
Programa RED.m. que calcula la matriz p.
function p=red(k)
p=zeros(200,200);
for i=1:198
%
p(i,i)=1;
p(i,i+1)=1; p(i+1,i)=1;
p(i,i+2)=1; p(i+2,i)=1;
end;
p(199,200)=1; p(200,199)=1;
p(199,1)=1;p(1,199)=1;
p(200,1)=1;p(1,200)=1;
p(200,2)=1;p(2,200)=1;
r=randperm(200);
if k>0
y=r(1:k);
v=combnk(y,2)
for i=1:size(v,1)
p(v(i,1),v(i,2))=1;
p(v(i,2),v(i,1))=1;
end;
end;
77
Programa PASOS.m que calcula L y C
function dist=pasos(p)
for i=1:200
p(i,i)=1;
end;
q(:,:,1)=p;
for x=2:51
x
q(:,:,x)=q(:,:,x-1)*p;
end;
for i=1:199
for j=i+1:200
dist(i,j)=min(find(q(i,j,:)>0));
dist(j,i)=dist(i,j);
end;
end;
v=sum(dist,2)/199;
L=mean(v)
for i=1:200
p(i,i)=0;
end;
for i=1:200
cont=0;
78
y=find(p(i,:)==1);
kv=length(y);
for j=1:kv-1
for k=j+1:kv
if p(y(j),y(k))==1
cont=cont+1;
end
end;
end;
possibles=kv*(kv-1)/2;
c(i)=cont/possibles;
end;
C=mean(c)
79
6.2. ANEXO 2. Programa computacional que simula una red del
mundo pequeño con un sitio de reunión
#include<stdio.h>
#include<dos.h>
#include<time.h>
#include<dir.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
#include<alloc.h>
struct BYTEX
{
unsigned b0:1;
unsigned b1:1;
unsigned b2:1;
unsigned b3:1;
unsigned b4:1;
unsigned b5:1;
unsigned b6:1;
unsigned b7:1;
};
//estructura de bits
struct infeccion
{
unsigned int individuo;
unsigned int conexiones,libres;
float tasainf,tasaacum;
infeccion *sig;
}sinf;
union BYTES
{
struct BYTEX b;
unsigned char B;
};
//union con un caracter
char BitsUnos[8]= {0x01,0x02,0x04,0x08,
16,32,64,128};
char BitsCeros[8]= {0x0fe,0x0fd,0x0fb,0x0f7,
0x0ef,0x0df,0x0bf,0x07f};
void Asigna(unsigned long int ,unsigned char );
void Conectar (int *,int,int,int);
80
unsigned char Obtener(long );
unsigned char Obtener(unsigned char far *,long int );
void Asigna(unsigned char far *datos,long ,unsigned char );
void AbrirArch(FILE *, char far *,int);
int ObtenerRenglon(int ,int );
void ObtenerUnos(int *,int ,int,int);
int ObtenerNoInf(int *, int ,int ,int, int);
void CrearDiagonal(int,int,int);
unsigned char far
*mat0,*mat1,*mat2,*mat3,*mat4,*mat5,*mat6,*mat7,*mat8,*mat9,*mat10;
unsigned char far *matriz[8],*mat;
unsigned char *inf;
unsigned char *rem;
unsigned long int indice,PosicionDelByte;
unsigned int PosicionDelBit;
void main(void)
{
unsigned int MiemFam,NumFam,i,j,simulaciones,flg;
unsigned long int k;
char op[2],op2,archivo[50];
unsigned long int cuantos,cuantos2,limpieza;
int sims,totales,infectados,nextinf;
float mu,lambda;
int columnas,unos;
struct infeccion *listainf,*puntero,*auxiliar;
double tasainf, tasarem,tasatotal,sumatasa;
float *tasas,*tasaacum,rnd;
int NoUnos,*temp,*Conectadas,FamCon;
//
int *libres,*conexiones;
int aleat,ident;
unsigned long int numbyte;
int recorridos;
//
FILE *fp,*ffin;
fsal=fopen("Salida.dat","w+");
randomize();
//Captura de datos para la matriz
cout <<"\nNumero de familias: "<<endl;
cin >> NumFam;
cout <<"Miembros por familia:"<<endl;
cin >>MiemFam;
while (MiemFam%2==0)
{
cout <<"Miembros por familia debe ser impar"<<endl;
81
cout <<"Miembros por familia:"<<endl;
cin >>MiemFam;
}
//Reservar espacio para la matriz
columnas=(int) (NumFam*MiemFam);
cuantos=columnas / 8;
//
i=0; //por si se ocupa un byte mas
if ((long)(columnas %8))
i++;
inf=(unsigned char *)calloc(cuantos+i,sizeof(char));
rem=(unsigned char *)calloc(cuantos+i,sizeof(char));
totalinf=(int *) calloc(columnas,sizeof(int));
limpieza=cuantos+i;
cuantos=(long) columnas*columnas/8;
if ((long)columnas*columnas % 8)
cuantos++;
//Reservar espacio para la matriz
cuantos2=cuantos;
indice=0;
while (cuantos2>=64000)
{
matriz[indice++]=(unsigned char far *)farcalloc(cuantos2,sizeof(char));
cuantos2=cuantos2-64000;
}
if (cuantos2!=0)
matriz[indice++]=(unsigned char far *)farcalloc(cuantos2,sizeof(char));
//Limpieza de la matriz
if (matriz[indice-1]==NULL)
{
cout <<"Error";
exit(1);
}
cuantos2=cuantos;
indice=0;
while (cuantos2>=64000)
{
mat=matriz[indice];
for (k=0;k<64000;k++)
{
mat[k]=0;
}
cuantos2=cuantos2-64000;
}
if (cuantos2!=0)
82
{
mat=matriz[indice++];
for (i=0;i<cuantos2;i++)
mat[i]=0;
}
//Poner unos en conexiones de miembros
unos=(int)(MiemFam-1)/2;
for (i=0;i<columnas;i++)
{
CrearDiagonal(unos,i+1,columnas);
}
cout <<"mu:\t\t";
scanf ("%f",&mu);
cout <<"Lambda:\t\t";
scanf ("%f",&lambda);
cout <<"Simulaciones:\t";
scanf ("%d",&simulaciones);
//
fprintf(fsal," Fam:%d, Miem:%d, Mu:%d, Lambda:%d,
sims:%d",NumFam,MiemFam,mu,lambda,simulaciones);
flg=0;
do {
cout <<"\nNombre de archivo de salida:"<<endl;
cin.getline(archivo,50);
cout <<"\nNombre de archivo de salida:"<<endl;
cin.getline(archivo,50);
if ((ffin=fopen(archivo,"r"))!=NULL)
{
cout <<"sobreescribir copia de archivo S/N ";
op2=getch();
if ((op2=='S')||(op2=='s'))
if ((ffin=fopen(archivo,"w"))==NULL)
{
cout <<"Error al generar archivo de salida";
flg=1;
exit(1);
}else
{//guardar todo
flg=1;
}
}
else
if ((ffin=fopen(archivo,"w"))==NULL)
{ cout <<"Error al generar archivo de salida";
flg=1;
exit(1);
}else
83
{//guardar todo
flg=1;
}
} while (!flg);
//
cout <<endl<<"Otros"<<getch()<<endl;
//******************
//Conectar Familias
Conectadas=(int *)calloc(NumFam,sizeof(int)); //reservar espacio
i=1;
recorridos=1;
cout <<endl;
while (recorridos<=NumFam)
{
i=recorridos-1;
while (i<recorridos)
{
Conectadas[i]=random(NumFam)+1;
flg=0;
for (j=0;j<i;j++)
{
if (Conectadas[i]==Conectadas[j])
{
flg=1;
}
}
if ((flg==0)||(i==0))
{
i++;
}
}
Conectar(Conectadas,MiemFam,recorridos,columnas);
recorridos++;
for (sims=0;sims<simulaciones;sims++)
{
for(j=0;j<limpieza;j++)
{
inf[j]=0;
rem[j]=0;
}
//fprintf (fsal,"\nSimulacion\n");
//Se infecta un individuo al azar
infectados=1;
totales=1;
84
nextinf=random(columnas)+1;
//
cout <<nextinf;
Asigna(inf,nextinf,1);
//
cout <<"Infectado"<<endl;
//
listainf=new(infeccion);
listainf=(infeccion *) malloc(sizeof(sinf));
listainf->individuo=nextinf;
// cout <<"press";
// getch();
listainf->conexiones=ObtenerRenglon(nextinf,columnas);
//
cout <<listainf->conexiones<<" Totales"<<endl;
//
getch();
listainf->libres=listainf->conexiones;
listainf->sig=NULL;
listainf->tasainf=1;
listainf->tasaacum=1;
//Mientras halla infectados
while(infectados!=0)
{
//
getch();
puntero=listainf;
//
//
cout <<"Salid";
getch();
tasatotal=0L;
while (puntero!=NULL)
//Buscar en todos los elementos
{
//para calcular tasa de infeccion
tasatotal=tasatotal+puntero->tasainf;
printf ("\t Ind<%d>-%f\t",puntero->individuo,puntero-
//
>tasainf);
//
printf (" <%d/%d>",puntero->libres,puntero->conexiones);
//
fprintf (fsal,"\t Ind<%d>-%f\t",puntero>individuo,puntero->tasainf);
//
fprintf (fsal," <%d/%d>",puntero->libres,puntero>conexiones);
puntero=puntero->sig;
}
tasainf=(double)tasatotal*lambda;
tasarem=(double)mu*infectados;
//
printf("inf %f rem %f",tasainf,tasarem);
//
fprintf(fsal,"inf %f rem %f",tasainf,tasarem);
rnd=(float)random(100)/100;
if (rnd<(tasarem/(tasarem+tasainf)))
{
//Remover infeccion de un individuo
aleat=random(infectados);
puntero=listainf;
85
i=0;
auxiliar=listainf;
while (i<aleat)
{
auxiliar=puntero;
puntero=puntero->sig;
i++;
}
if (listainf==puntero)
listainf=listainf->sig;
else
auxiliar->sig=puntero->sig;
ident=puntero->individuo;
Asigna(inf,ident,0); //Quitamos de la lista
Asigna(rem,ident,1);
//agregamos a removidos
//
delete puntero;
//liberamos
espacio
free (puntero);
infectados--;
printf ("\n\t <<%d*%d>>\n",ident,infectados);
fprintf (fsal,"\n\t <<%d*%d>>\n",ident,infectados);
cout <<"Removido";
//
//
//
//
getch();
}else
{
puntero=listainf;
sumatasa=0L;
while (puntero!=NULL)
{
puntero->tasaacum=(float)puntero-
>tasainf/tasatotal+sumatasa;
sumatasa=puntero->tasaacum;
puntero=puntero->sig;
}
do
{
do
{
rnd=(float)random(100)/100;
}while (rnd==0);
i=0;
puntero=listainf;
while ((i<infectados)&&(rnd>puntero>tasainf)&&(puntero->sig!=NULL))
{
i++;
86
puntero=puntero->sig;
//
}
} while (puntero->libres==0);
nextinf=puntero->individuo;
fprintf(fsal,"\t%d-->",nextinf);
aleat=random(puntero->libres);
if ((temp=(int *)calloc(puntero-
>libres,sizeof(int)))==NULL)
{
cout <<"error para regresar lista en
memoria";
exit (1);
}
nextinf=ObtenerNoInf(temp,nextinf,columnas,puntero->conexiones,1);
nextinf=temp[aleat];
//
fprintf(fsal,"%d\n",nextinf);
//
cout <<nextinf<<endl;
Asigna(inf,nextinf,1);
//
if ((auxiliar=new(infeccion))==NULL)
if ((auxiliar=(infeccion
*)malloc(sizeof(sinf)))==NULL)
{
cout <<"Error en asignacion de memoria";
exit(1);
}
auxiliar->sig=listainf;
auxiliar->individuo=nextinf;
auxiliar>conexiones=ObtenerRenglon(nextinf,columnas);
auxiliar>libres=ObtenerNoInf(temp,nextinf,columnas,auxiliar->conexiones,0);
auxiliar->tasainf=(double)auxiliar->libres/auxiliar>conexiones;
listainf=auxiliar;
free (temp);
puntero=listainf->sig;
//Buscar con quien conecta el nuevo infectado
//para disminuir su tasa de infeccion
while (puntero!=NULL)
{
numbyte=(long)(puntero->individuo1)*columnas;
numbyte=(long)numbyte+nextinf;
if (Obtener(numbyte))
{
87
//
>individuo);
fprintf(fsal,"\t~~con%d\n",punteropuntero->libres--;
printf("\t~~con%d\n",puntero->individuo);
puntero->tasainf=(float)puntero-
//
>libres/puntero->conexiones;
}
puntero=puntero->sig;
}
totales++;
infectados++;
fprintf(fsal,"\t%d ",infectados);
printf("\t%d ",infectados);
}
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
}
if (simulaciones >7)
{
if (sims % (simulaciones / 5)==0)
{
cout <<sims<<" Totales: "<<totales<<endl;
fprintf(fsal,"\nTotales %d\n",totales);
}
}
else
{
printf(" Totales: %d\n",totales);
fprintf(fsal,"\nTotales %d\n",totales);
}
getch();
if ((totales<=0)||(totales>2000))
{
cout <<"Erroe";
for (i=0;i<recorridos;i++)
cout <<Conectadas[i]<<" ";
getch();
}
//
//
fprintf(ffin,"%5d",totales);
totalinf[sims]=totales;
totales=0;
fflush(fsal);
}
//***************
//
cout <<"Fin";
// getch();
cout <<"\nFam. Conectadas "<<recorridos-1<<endl;
// fprintf(fsal,"Fam Conectadas %d",recorridos-1);
88
//
//
//
//
for (i=0;i<simulaciones;i++)
{
fprintf(ffin,"%6d",totalinf[i]);
}
fprintf(ffin,"\n");
}
//
//impresion de matriz a archivo
fprintf(fsal,"\n");
cuantos2=cuantos;
indice=0;
while (cuantos2>=64000)
{
farfree(matriz[indice++]);
cuantos2=cuantos2-64000;
}
if (cuantos2!=0)
farfree(matriz[indice]);
free(inf);
free(rem);
//
free(totalinf);
free(Conectadas);
fclose(ffin);
}
void CrearDiagonal(int CuantosUnos,int Fila,int columnas)
{
unsigned long NumBit;
long pos;
int i;
for (i=1;i<=CuantosUnos;i++)
{
if ((Fila-i)<=0)
{
pos=columnas+(Fila-i);
NumBit=pos;
}
else
NumBit=Fila-i;
NumBit =(long)(Fila-1)*columnas+NumBit;
// cout <<'\t'<<NumBit<<endl;
Asigna(NumBit,1);
}
for (i=1;i<=CuantosUnos;i++)
89
{
NumBit=Fila+i;
if (NumBit>columnas)
NumBit=NumBit-columnas;
NumBit=(long)(Fila-1)*columnas+NumBit;
//cout <<NumBit<<endl;
Asigna(NumBit,1);
}
}
void Asigna(unsigned long int p,unsigned char v)
{
union BYTES x;
int NumMat;
PosicionDelByte=(unsigned long)(p-1) / 8;
PosicionDelBit=(p-1) % 8;
NumMat=PosicionDelByte / 64000;
PosicionDelByte =PosicionDelByte%64000;
mat=matriz[NumMat];
x.B=mat[PosicionDelByte];
if (v)
x.B=BitsUnos[PosicionDelBit]|x.B;
else
x.B=BitsCeros[PosicionDelBit]&x.B;
mat[PosicionDelByte]=x.B;
}
void Asigna(unsigned char far *datos,long p,unsigned char v)
{
union BYTES x;
PosicionDelByte=(p-1) / 8;
PosicionDelBit=(p-1) % 8;
x.B=datos[PosicionDelByte];
if (v)
x.B=BitsUnos[PosicionDelBit]|x.B;
else
x.B=BitsCeros[PosicionDelBit]&x.B;
datos[PosicionDelByte]=x.B;
}
unsigned char Obtener(long int p)
{
union BYTES x;
int v,NumMat;
PosicionDelByte=(unsigned long)(p-1) / 8;
90
PosicionDelBit=(p-1) % 8;
NumMat=PosicionDelByte / 64000;
PosicionDelByte =PosicionDelByte%64000;
mat=matriz[NumMat];
x.B=mat[PosicionDelByte];
x.B=x.B&BitsUnos[PosicionDelBit];
if (x.B)
v=1;
else
v=0;
return(v);
}
unsigned char Obtener(unsigned char far *datos,long int p)
{
union BYTES x;
int v;
PosicionDelByte=(p-1) / 8;
PosicionDelBit=(p-1) % 8;
x.B=datos[PosicionDelByte];
x.B=x.B&BitsUnos[PosicionDelBit];
if (x.B)
v=1;
else
v=0;
return(v);
}
int ObtenerRenglon(int fila,int tama)
{
union BYTES x;
unsigned long int i,cont;
unsigned long int indice;
cont=0;
indice= (long) (fila-1)*tama;
//
x.B=datos[indice];
i=indice+1;
//for (i=indice;i<y;i++)
while (i-indice<=tama)
{
if (Obtener(i))
cont++;
i++;
}
return(cont);
91
}
void ObtenerUnos(int *Unos,int fila,int tama,int cuantos)
{
union BYTES x;
unsigned long int i,cont,y;
unsigned long int indice;
indice= (long) (fila-1)*tama;
i=indice+1;
cont=0;
while((cont<cuantos)&&(i-indice<=tama))
{
if (Obtener(i))
{
Unos[cont]=i-indice;
cont++;
}
i++;
}
}
int ObtenerNoInf(int *Unos, int fila,int tama,int cuantos,int flg)
{
union BYTES x;
unsigned long int i,y;
unsigned long int indice;
int susceptibles=0,cont;
indice= (long) (fila-1)*tama;
//
x.B=datos[indice];
i=indice+1;
cont=0;
while (cont<cuantos)
{
if (Obtener(i))
{
if (!Obtener(inf,i-indice))
if (!Obtener(rem,i-indice))
{
if (flg) Unos[susceptibles]=i-indice;
susceptibles++;
}
cont++;
92
}
i++;
}
return(susceptibles);
}
void Conectar(int *Conectadas,int MiemFam,int FamCon,int columnas)
{
int i,j;
unsigned long int indice;
for (i=0;i<FamCon;i++)
{
indice=(long)((Conectadas[i]-1)*MiemFam)+1;
indice=(long)(indice-1)*columnas;
for (j=0;j<FamCon;j++)
if (i!=j)
{
Asigna((unsigned long int)indice+((Conectadas[j]1)*MiemFam+1),1);
}
}
}
/*
void GuardarArch(int *total,int numero)
{ char op;
FILE *fps;
char archivo[50];
int flg=0;
int i;
do {
cout <<"\nNombre de archivo de salida:"<<endl;
cin.getline(archivo,50);
cout <<"\nNombre de archivo de salida:"<<endl;
cin.getline(archivo,50);
if ((fps=fopen(archivo,"r"))!=NULL)
{
cout <<"sobreescribir copia de archivo S/N ";
op=getch();
if ((op=='S')||(op=='s'))
if ((fps=fopen(archivo,"w"))==NULL)
{
cout <<"Error al generar archivo de salida";
flg=1;
93
}else
{//guardar todo
flg=1;
for (i=0;i<numero;i++)
{
fprintf(fps,"%d\n",total[i]);
}
}
}
else
if ((fps=fopen(archivo,"w"))==NULL)
{ cout <<"Error al generar archivo de salida";
flg=1;
}else
{//guardar todo
flg=1;
for (i=0;i<numero;i++)
{
fprintf(fps,"%d\n",total[i]);
}
}
} while (!flg);
fclose(fps);
}
*/
94
7. LITERATURA CITADA
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