PR´ACTICO 4 Clases: 27/9, 29/9, 2/10, 4/10. Ejercicio 1. Sea U un

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
SEGUNDO CUATRIMESTRE 2013
PRÁCTICO 4
Clases: 27/9, 29/9, 2/10, 4/10.
Ejercicio 1. Sea U un conjunto no vacı́o. Sea S el conjunto de todos los subconjuntos de U . Para A, B ∈ S
definimos:
A + B := (A − B) ∪ (B − A)
y
AB := A ∩ B.
Entonces S es un anillo. ¿Es conmutativo?
Ejercicio 2. Un anillo de Boole es un anillo R tal que a2 = a, para todo a ∈ R. Probar que todo anillo de
Boole es conmutativo y a + a = 0, para todo a ∈ R. Un ejemplo de este tipo de anillos es el
anillo dado en el Ejercicio 1.
Ejercicio 3. Si A es el grupo abeliano Z ⊕ Z, entonces End(A) es un anillo no conmutativo.
Ejercicio 4. Sea G un grupo abeliano. Mostrar que G tiene estructura de Z-módulo con la acción dada por
n · g = g + · · · + g (n veces).
Ejercicio 5. Sea S un anillo.
(i) Sea R subanillo de S. Mostrar que S es un R-módulo con la acción dada por r · a = ra (la
multiplicación en S), para todo r ∈ R, a ∈ S.
(ii) Mostrar que S[x1 , . . . , xn ] y S[[x]] son S-módulos.
Ejercicio 6. Sea R anillo e I ideal a izquierda en R. Probar que:
(i) I es un R-módulo con la acción dada por r · x = rx (la multiplicación en R).
(ii) El grupo cociente R/I es un R-módulo con la acción dada por r · (s + I) = rs + I.
Ejercicio 7. Sea R un anillo. Si existe n ∈ N tal que nr = 0 para todo r ∈ R se define la caracterı́stica de R
como char(R) = min{j ∈ N : j.r = 0 ∀ r ∈ R}. Caso contrario se dice que char(R) = 0. Probar:
(i) Si char(R) = n, con n > 0, entonces n = min{j ∈ N : j · 1R = 0}.
(ii) Si R no tiene divisores de cero y char(R) > 0, entonces char(R) es primo.
n
n
n
(iii) Si R es conmutativo y char(R) = p, con p primo, entonces (a ± b)p = ap ± bp , para todo
n ∈ N, a, b ∈ R.
Ejercicio 8. Sea R un anillo conmutativo.
(i) Sean a, b ∈ R son elementos nilpotentes. Probar que a + b es nilpotente.
1
2
(ii) Mostrar que este resultado puede ser falso si R no es conmutativo.
(iii) El conjunto de todos los elementos nilpotentes en un anillo conmutativo es un ideal. Este
ideal se denomina el nilradical N ilRad(R) de R.
(iv) Demostrar que R/N ilRad(R) es un anillo sin elementos nilpotentes excepto el elemento
nulo. Es decir, N ilRad(R/N ilRad(R)) = 0.
Ejercicio 9. Sea R un anillo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero.
(ii) si a ∈ R y a2 = 0, entonces a = 0.
Ejercicio 10. Sea R un anillo y a ∈ R. Mostrar que J := {r ∈ R : ra = 0} es un ideal a izquierda de R y
que K := {r ∈ R : ar = 0} es un ideal a derecha de R.
Ejercicio 11. Sea I un ideal en un anillo R. Definimos [R : I] := {r ∈ R : xr ∈ I, para todo x ∈ R}. Probar
que [R : I] es un ideal en R que contiene a I.
Ejercicio 12. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos, I ideal en R y J ideal en S.
(i) Probar que f −1 (J) es un ideal en R que contiene a ker f .
(ii) Si f es suryectivo, entonces f (I) es un ideal en S. ¿Vale si f no es suryectivo?
Ejercicio 13. Sea M un R-módulo y f : M → M un homomorfismo de R-módulos tal que f ◦ f = f . Probar
que M = ker f ⊕ Im f .
Ejercicio 14. Sea R un anillo, M un R-módulo a izquierda.
(i) Mostrar que HomR (M, R) es un R-módulo a derecha con (f · r)(m) = f (m)r. Con esta
estructura, HomR (M, R) es llamado el módulo dual de M y se denota por M ∗ .
(ii) Si N es un R-módulo a derecha, definir el R-módulo dual (a izquierda) N ∗ .
(iii) El módulo dual del Z-módulo Zm es trivial, o sea Z∗m = 0.
(iv) Z∗m ∼
= Zm como Zmk -módulos.
(v) Mostrar que existe un morfismo de R-módulos a izquierda M → M ∗∗ .
Ejercicio 15. Sea ϕ : R → S un homomorfismo de anillos. Probar que si M es un S-módulo, entonces M es
un R-módulo con la acción dada por r · x := ϕ(r)x.
Ejercicio 16. Sea A un grupo abeliano y End(A) su anillo de endomorfismos. Mostrar que A tiene estructura
de End(A)-módulo con la acción dada por f · a := f (a).
Ejercicio 17. Sean R anillo y M un R-módulo. Probar que:
3
P
(i) Si I es ideal a izquierda en R y S ⊆ M , S 6= ∅, entonces IS := { ni=1 ri xi | ri ∈ I, xi ∈
S, n ∈ N} es un submódulo de M .
(ii) Si I es un ideal en R, entonces M/IM es un R/I-módulo con (r + I) · (x + IM ) = rx + IM .
Ejercicio 18. Sea R un anillo. Probar que todo R-módulo cı́clico es isomorfo a un R-módulo de la forma R/J,
donde J es un ideal a izquierda de R.
Ejercicio 19. Sean R anillo y A, B R-módulos. Probar que:
(i) El conjunto de homomorfismos de R-módulos HomR (A, B) es un grupo abeliano con la
operación suma dada por (f + g)(a) := f (a) + g(a), para todo a ∈ A, f , g ∈ HomR (A, B).
(ii) EndR (A) := HomR (A, A) es un anillo, donde la multiplicación es la composición de funciones. EndR (A) se llama el anillo de endomorfismos de A.
(iii) A es un EndR (A)-módulo a izquierda con f · a = f (a).