sin β + ctg γ. ca · 1 sin β = sin

Megoldás. Három esetet kell vizsgálnunk: a hegyesszög¶, a derékszög¶ és
a tompaszög¶ háromszög esetét. Jelöljük az új háromszög súsait
A1 , B1
C1 -gyel.
Az A1 B1 C1
ABC
háromszög mindhárom esetben hasonló az eredeti
és
há-
romszöghöz, mert szögeik egyenl®ek (mer®leges szárú szögpárok). Legyen a két
háromszög hasonlóságának aránya
λ.
1. Ha a háromszög hegyesszög¶ (1.
λ=
a
BCC1
ábra ):
B1 C1
a1
K
=
= ,
BC
a
k
háromszögben
ctg γ =
BC1
,
a
az
a1 = B1 B + BC1 ,
ABB1
háromszögben
sin β =
c
.
BB1
1. ábra
Ezek alapján:
a1
B1 B
BC1
c
=
+
=
+ ctg γ.
a
a
a
a · sin β
A szinusztétel alapján az els® tag:
sin 180◦ − (α + β)
c
1
sin γ
1
sin α · cos β + cos α · sin β
·
=
·
=
=
=
a sin β
sin α sin β
sin α · sin β
sin α · sin β
=
vagyis
cos β
cos α
+
= ctg β + ctg α,
sin β
sin α
K
a1
= ctg α + ctg β + ctg γ = .
a
k
1
2. Derékszög¶ háromszögben (2.
λ=
az
ABB1
ábra ):
B1 C1
a1
K
=
= ,
BC
a
k
háromszögben
sin β =
c
,
a1
vagyis
a1
c
=
.
a
a · sin β
2. ábra
Az el®z® esethez hasonlóan belátható, hogy
c
= ctg β + ctg α.
a · sin β
Mivel
γ = 90◦ ,
azért
ctg γ = 0,
így
K
a1
= ctg α + ctg β + ctg γ = .
a
k
3. Tompaszög¶ háromszögben (3.
ábra ):
a1
K
B1 C1
=
= , a1 = B1 B − BC1 ,
BC
a
k
c
ABB1 háromszögben sin β =
, a BCC1 háromszögben
B1 B
λ=
az
ctg (180◦ − γ) =
amib®l
BC1
= − ctg γ,
a
B1 B
BC1
c
a1
=
−
=
− ctg (180◦ − γ).
a
a
a
a · sin β
2
Hasonlóan az 1. esethez:
c
= ctg β + ctg α,
a · sin β
vagyis összegezve
K
a1
= ctg α + ctg β + ctg γ = .
a
k
3. ábra
Az állítást mindhárom esetben beláttuk, így az bármely háromszögben igaz.
3