Ngj/v2008 1.2 Aritmética 1 Matemáticas Discretas Tc1003

Matemáticas Discretas
Tc1003
Conceptos Fundamentales
1.2 Aritmética
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
I Conceptos Fundamentales
1.2 Aritmética
1.2.1 Los números
1.2.2 Propiedades de los números
1.2.3 Operaciones con los números
• Conocer la clasificación de los números,
o Naturales,
o Enteros,
o Reales,
o Racionales,
o Irracionales,
o Complejos,
• Conocer, aprender y aplicar las propiedades de los
números con el objetivo de contar:
o Cerradura
o Neutro
o Inverso
o Conmutativa
o Asociativa
o Distributiva
• Conocer y aprender las operaciones que se realizan con los
números
o Suma,
o multiplicación,
o divisibilidad,
o números primos
o Valor absoluto
o Números simétricos
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1.2 Aritmética
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Conceptos Fundamentales
1.2.1 Los números
La aritmética es la parte de la ciencia matemática que estudia los números,
sus propiedades y las operaciones que pueden llevarse a cabo con ellos.
El concepto de número surge de la intuición humana de unidad, base
fundamental de todo sistema que tenga en cuenta los números. El inicio de la
aritmética está en la necesidad, que el hombre tiene desde siempre, de concebir un
procedimiento capaz de contar y medir los objetos y agrupaciones de objetos que se
encuentran a su alrededor.
La extensión y complejidad que progresivamente caracteriza la noción de
número es un factor esencial para la evolución de la aritmética como rama de las
matemáticas. Un ejemplo de esto son los números naturales, definidos por
intuición, son la base de los números enteros. Los números enteros se definieron
para que tuvieran sentido las ecuaciones y las operaciones cuyos resultados no
estaban dentro de los naturales.
Para poder realizar operaciones con fracciones, el siguiente paso fue el
desarrollo de la idea de números racionales (de ración, proporción). Después, para
dar sentido a algunos resultados de radicales, fue necesario introducir la idea de los
números reales y finalmente, a partir de los trabajos de Gauss, la de los números
complejos.
Con el apoyo del Álgebra y la Teoría del Conjuntos, la Aritmética se
transforma en una ciencia profunda y precisa.
The numerals from al-Sizji's treatise of 969
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al-Banna al-Marrakushi's form of the numerals
Clasificación de los números3
Un número es un símbolo que representa una cantidad. Es también una
entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números más conocidos
son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los
números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los
números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con
decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a
éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números
necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Entre los reales, existen
números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el
nombre de transcendentales o irracionales. El ejemplo más famoso de estos
números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los
logaritmos naturales.
Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de
números:
1)
Número primo
Números compuestos
Número perfectos
Números naturales
Pares
2) Números enteros
Impares
3) Números reales
irracionales
algebraicos
Trascendentes
4) Números racionales
5) Números complejos
6) Cuaterniones
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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
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Número
Descripción
Elementos
Natural
Todo número entero positivo (1, 2, 3,4,...) o como todo número
entero no negativo (0, 1, 2, 3, 4,...). Algunos matemáticos
(especialmente los de Teoría de Números) prefieren no
reconocer el cero como un número natural, mientras que otros,
especialmente los de Teoría de Conjuntos, Lógica e Informática,
tienen la postura opuesta. Nota: En este curso, tomaremos el
cero como número natural.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Entero
Son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los
naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Real
Los números reales se definen de manera intuitiva como el
conjunto de números que se encuentran en una recta infinita: la
recta numérica. El conjunto de los números reales se expresa por
. El nombre de "número real" se propuso como
la letra
antónimo de "número imaginario".
El concepto de número real se originó cuando se constató la
existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los
números reales se origina como la unión del conjunto de los
números racionales y el conjunto de los irracionales. Igualmente,
incluye también los números naturales y los números enteros.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o
irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos,
o nulos.
Racional
Todo aquel número que puede ser expresado en forma de
fracción (como resultado de la división de dos números enteros,
con el divisor distinto de 0). El conjunto de los racionales se nota
por "quotient", o sea "cociente" en varios idiomas europeos.
Estos números contienen los números enteros, números
decimales. Los números racionales cumplen la propiedad
arquimediana, esto es, para cualquier pareja de números
racionales existe otro número racional situado entre ellos.
Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal
(en cualquier base de numeración), cuya expresión puede ser de
tres tipos:
Exacta: en la cual, la parte decimal tiene un número finito de
cifras. Ej. 8/5 = 1.6;
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ej.1/7 = 0,.142857 142857...;
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ej.1/60 =
0.01 6 6...
En efecto, al dividir un entero por otro, (ejemplo 1 por 7) sólo
existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión
de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos
posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual.
Complejos
Los Números Complejos son una extensión de los números
. Los números complejos
reales, cumpliéndose que
tienen la capacidad de representar todas las raíces de los
polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una
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a
b
Cada complejo se representa en
forma binomial como:
z = a + ib
a es la parte real del número
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unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las
operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay
que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe
trabajarse en forma independiente.
Cuaterniones
complejo z, y
b es su parte imaginaria.
Son una extensión de los números reales, similar a la de los
números complejos. Mientras que los números complejos son
una extensión de los reales por la adición de la unidad
imaginaria i, tal que i2 = − 1, los cuaterniones son una extensión
generada de manera análoga añadiendo las unidades
imaginarias: i, j y k a los números reales y tal que i2 = j2 = k2 = i j
k = − 1.
El acercamiento al concepto de número se lleva a cabo desde el conocimiento
generado por tres teorías.
La Teoría analítica explica todos los tipos de números a partir de la
noción de número natural. Según esta teoría, todas las clases de números, definidas
como pares creados en un conjunto a partir de una relación precisa, los números
enteros pueden ser vistos como pares de números naturales y los números
racionales, como pares de las distintas clases de números enteros.
La Teoría sintética define las operaciones aritméticas como imágenes de
las operaciones que se pueden llevar a cabo entre los conjuntos. Esta aproximación
se basa en la introducción de la noción de conjuntos.
Una definición rigurosa y precisa del concepto de número natural se lleva a
cabo entre los siglos XIX y XX, con la Teoría axiomática del número natural,
porque toma su base de las operaciones con números naturales. Esta teoría dice
que en el conjunto de los números naturales existen un elemento –se llama uno o 1que es el primero de una sucesión y del cual no existen elementos predecesores.
Tomando el elemento 1 como punto de partida, se obtienen todos los demás, que se
construyen por medio del recurso de añadir una unidad al elemento predecesor.
1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1
Cuaterniones
Representación Polar del Número Complejo
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1.2.3 Propiedades de los números4
Propiedad
Operación
Cerradura o Suma
clausura
Multiplicación
Existencia del Suma
neutro
Multiplicación
Existencia del Suma
inverso
Multiplicación
Conmutativa Suma
Asociativa
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Distributiva
4
Definición
a+b = c
a×b = c
a+0= a
a ×1 = a
a + (−a) = 0
a × 1a = 1
a+b =b+a
a×b = b×a
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a × (b × c ) = (a × b ) × c
a × (b + c ) = a × b + a × c
Descripción
Cuando el resultado
numérico de una
operación, pertenece
a la misma
clasificación de los
números se dice que
es una operación
cerrada.
Un número se dice
que es neutro de una
operación definida
cuando no altera el
valor de la operación.
El cero es el número
neutro de la suma. El
uno es el número
neutro de la
multiplicación.
Un número es el
inverso del otro
cuando al efectuar
una operación entre
ambos, el resultado
es el elemento neutro
de la operación.
El orden al sumar o
multiplicar reales no
cambia el resultado.
Puedes hacer
diferentes
asociaciones al sumar
o multiplicar reales y
no cambia el
resultado.
El factor se distribuye
a cada sumando.
Ejemplos
4+3= 7
5.1 + 3.2 = 8.3
5+0 = 5
6 ×1 = 6
5 + (−5) = 0
3 × 13 = 1
3+ 4 = 4+3 = 7
3 × 4 = 4 × 3 = 12
1 + (2 + 3) = (1 + 2 ) + 3 = 6
2 × (3 × 4 ) = (2 × 3) × 4 = 24
4 × (3 + 2 ) = 4 × 3 + 4 × 2
Fuenlabra, Aritmética y Álgebra, McGraw-Hill, México, 2000.
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1.2.3 Operaciones de los números
Operaciones con los números naturales
• Las operaciones fundamentales con los números naturales son la suma y la
multiplicación. La suma se expresa a + b y la multiplicación a × b .
• La divisibilidad es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que
deben reunir dos números para que uno de ellos sea dividido de manera exacta
entre el otro. Estas condiciones se llaman criterios de divisibilidad.
o Todo número es divisible entre uno.
o Todo número terminado en cero o cifra par es divisible entre 2.
o Si la suma de los dígitos que forman un número es divisible entre 3,
entonces el número es múltiplo de 3, esto es, divisible entre 3.
o Si la suma de los dígitos que forman un número es divisible entre 4,
entonces el número es divisible entre 4.
o Todo número terminado en cero o 5 es divisible entre 5.
o Si la suma de los dígitos de un número es divisible entre 9 entonces el
número es divisible entre nueve.
Los números primos
• Los números Naturales que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad se
llaman números primos. Los números que nos son primos se llaman
compuestos. Los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 21,
37, …
•
Un número es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos
cuyo cuadrado sea menor que dicho número. Ejemplo, para determinar si el
número 107 es primo:
22 = 4
32 = 9
5 2 = 25
107 no es divisible entre 2, 3, 5 y 7 por lo tanto es primo
7 = 49
2
112 = 121
•
Primos relativos son aquellos cuyo máximo común divisor es el uno. Ejemplo, el
4 y el 9 son primos relativos, el 6 y el 7 también.
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Teorema fundamental de la aritmética
Todo número compuesto (que no es primo) puede expresarse como un
producto de factores primos de forma única.
Para encontrar los factores primos se de divide el número entre el menor
número posible (2, 3, 5), el cociente obtenido se divide entre el menor divisor
primo posible y se repite la operación hasta obtener un cociente igual a la unidad.
24 2
12 2
6
2
3
1
3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
= 23 × 3
Operaciones con los números enteros
Operación binaria: Es una operación en donde a partir de dos números se
a
obtiene un resultado numérico. Ejemplos: a + b , a × b , , a − b .
b
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el valor que tiene el número
cuando prescinde del signo. Ejemplos: − 3 = 3 , 3 = 3 .
Números simétricos
Números simétricos u opuestos son aquellos que tienen el mismo valor
absoluto y signo diferente. Ejemplo: 7 y -7.
Operaciones:
o Adición y sustracción: la adición es una operación binaria, cerrada,
con inverso aditivo y elemento neutro; es asociativa y conmutativa. La
sustracción es la operación inversa de la adición
o Multiplicación: es una operación binaria, cerrada, existe elemento
neutro; es asociativa y distributiva.
o División: es la operación inversa de la multiplicación.
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