propuesta para generar pensamiento crítico desde la perspectiva de

PROPUESTA PARA GENERAR PENSAMIENTO CRÍTICO DESDE LA
PERSPECTIVA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA Y AMBIENTES DE
APRENDIZAJE USANDO COMO CONTEXTO EL CRECIMIENTO
BACTERIOLÓGICO EN AGUAS ESTANCADAS.
DANIEL ALFONSO PINEDA PÉREZ
ROBINSON ARNOLDO MARÍN SANTAMARÍA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN
MATEMÁTICAS
BOGOTÁ – COLOMBIA
2015
PROPUESTA PARA GENERAR PENSAMIENTO CRÍTICO DESDE LA
PERSPECTIVA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA Y AMBIENTES DE
APRENDIZAJE USANDO COMO CONTEXTO EL CRECIMIENTO
BACTERIOLÓGICO EN AGUAS ESTANCADAS.
DANIEL ALFONSO PINEDA PÉREZ
20091145031
ROBINSON ARNOLDO MARÍN SANTAMARÍA
20092145062
Proyecto Trabajo de Grado en modalidad de Monografía para optar al título
de Licenciado en educación básica con énfasis en matemática
Director
GABRIEL MANCERA ORTIZ
M.Sc en Docencia de las Matemáticas
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN
MATEMÁTICAS
BOGOTÁ – COLOMBIA
2015
Tabla de contenido
pág.
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................ 8
JUSTIFICACIÓN ....................................................................................................................................... 10
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................................................... 12
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA .................................................................................................................14
OBJETIVOS .................................................................................................................................................14
GENERAL ...............................................................................................................................................14
ESPECÍFICOS ..........................................................................................................................................14
ANTECEDENTES ...................................................................................................................................... 15
TRABAJOS EN RELACIÓN CON EL PENSAMIENTO CRÍTICO ....................................................................15
EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA, AMBIENTES DE APRENDIZAJES ...................................................17
TRABAJOS EN RELACIÓN CON LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ..................................................................18
MARCO DE REFERENCIA ......................................................................................................................... 19
MARCO CONCEPTUAL ...............................................................................................................................19
EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA (EMC) Y AMBIENTES DE APRENDIZAJE ........................................19
PENSAMIENTO CRÍTICO ........................................................................................................................24
REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN .......................................................................................................26
MARCO METODOLÓGICO ..........................................................................................................................27
INVESTIGACIÓN ACCIÓN .......................................................................................................................28
ANÁLISIS................................................................................................................................................. 33
CONTEXTO .................................................................................................................................................33
MACRO CONTEXTO ...............................................................................................................................33
MICRO CONTEXTO ................................................................................................................................36
AMBIENTE DE APRENDIZAJE ......................................................................................................................37
1. SENSIBILIZACIÓN ...............................................................................................................................38
2. CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO: ...................................................................................39
3. REFLEXIÓN ........................................................................................................................................40
PENSAMIENTO CRÍTICO .............................................................................................................................40
INTERPRETACIÓN ..................................................................................................................................40
3
ANÁLISIS ................................................................................................................................................45
EVALUACIÓN .........................................................................................................................................46
INFERENCIA ...........................................................................................................................................49
EXPLICACIÓN .........................................................................................................................................52
AUTORREGULACIÓN .............................................................................................................................54
REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN ............................................................................................................56
TABLA DE VALORES ...............................................................................................................................57
GRÁFICAS CARTESIANAS .......................................................................................................................62
FÓRMULAS O ECUACIONES MATEMÁTICAS .........................................................................................66
DESCRIPCIÓN VERBAL ...........................................................................................................................68
CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 70
EN RELACIÓN CON LOS OBJETIVOS ............................................................................................................70
EN RELACIÓN CON LAS DIFICULTADES Y ACIERTOS ...................................................................................71
APORTES A LA FORMACIÓN CRÍTICA Y DOCENTE ......................................................................................73
BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................................... 75
ANEXOS .................................................................................................................................................. 78
ANEXO 1: ESCENARIO CRECIMIENTO DE BACTERIAS EN AGUAS ESTANCADAS .........................................78
1. SENSIBILIZACIÓN ...................................................................................................................................78
2. CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO: ........................................................................................80
E. COLI ...................................................................................................................................................81
LEPTOSPIRA ...........................................................................................................................................84
BACTERIAS POSITIVAS ...........................................................................................................................87
REFLEXIÓN .................................................................................................................................................89
LOS COMIC TAMBIÉN ENSEÑAN ...........................................................................................................89
ANEXO 2: CD ADJUNTO..............................................................................................................................96
4
Lista de Figuras
Figura 1 Ambientes de aprendizaje. Tomado de ............................................................... 21
Figura 2 Relaciones entre tipos de representación de la noción de función. .................... 27
Figura 3 Proceso de investigación acción ......................................................................... 29
Figura 4 Inmediaciones de la Institución Educativa ......................................................... 34
Figura 5 Problemática basuras inmediaciones de la institución educativa ....................... 35
Figura 6 ¿Qué sentimientos les dejo el video Retrospectiva Rio Tunjuelito? .................. 37
Figura 7 ¿Cómo se ve afectada la comunidad que habita cerca al rio por las problemáticas
de este? .......................................................................................................................................... 42
Figura 8 Interpretación y representación de la forma en cómo se reproduce la bacteria E.
Coli................................................................................................................................................ 43
Figura 9 ¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento bacteriológico?..... 44
Figura 10 Posibles repercusiones que podrían tener nuestras propias acciones contra el
medio ambiente ............................................................................................................................. 46
Figura 11 Reflexiones ....................................................................................................... 48
Figura 12 Opinión de los estudiantes sobre las aguas estancadas ..................................... 50
Figura 13 ¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento bacteriológico?
Justifica tu respuesta ..................................................................................................................... 50
Figura 14 Evidencias 1, 2 y 3 ............................................................................................ 51
Figura 15 Primera impresión video Retrospectiva Rio Tunjuelito ................................... 53
Figura 16 La función exponencial para argumentar la reproducción acelerada de las
bacterias en sus historietas ............................................................................................................ 53
Figura 17 Mensaje de concientización .............................................................................. 54
Figura 18 Historietas para concientizar acerca de la problemática ambiental ................. 55
Figura 19 Representación matemáticamente el comportamiento de una bacteria (E. Coli)
que se dividía una vez cada 20 minutos durante 11 horas ............................................................ 57
Figura 20 Representación del crecimiento de 20 (veinte) bacterias de Leptospira en un
lapso de 30 días ............................................................................................................................. 58
Figura 21 ........................................................................................................................... 60
5
Figura 22 ........................................................................................................................... 61
Figura 23 ........................................................................................................................... 62
Figura 24 ........................................................................................................................... 62
Figura 25 ........................................................................................................................... 63
Figura 26 ........................................................................................................................... 64
Figura 27 ........................................................................................................................... 65
Figura 28 ........................................................................................................................... 67
Figura 29 ........................................................................................................................... 68
Figura 30 ........................................................................................................................... 86
Figura 31 ........................................................................................................................... 95
6
Lista de tablas
Tabla 1............................................................................................................................... 60
Tabla 2............................................................................................................................... 66
Tabla 3............................................................................................................................... 69
Tabla 4............................................................................................................................... 83
Tabla 5............................................................................................................................... 88
Tabla 6............................................................................................................................... 88
Tabla 7............................................................................................................................... 89
7
INTRODUCCIÓN
Enmarcado dentro de la propuesta de Skovsmose (2000) sobre escenarios de
investigación en relación a la educación matemática crítica, la presente propuesta de trabajo
sobre el aprendizaje, procuró generar en los estudiantes de grado undécimo pensamiento crítico,
teniendo como contexto la noción de función exponencial. Para ello se propuso el diseño de un
escenario de aprendizaje que contempla algunas problemáticas sociales y ambientales que se
generan alrededor del crecimiento de bacterias en aguas estancadas.
El desarrollo de la propuesta contempla el planteamiento del problema, el marco de
referencia, la metodología, el análisis de resultados y las conclusiones. En relación con el
planteamiento del problema, se muestra la necesidad, la pertinencia y la importancia, que tiene
éste trabajo en el estudio de un problema ambiental desde la perspectiva de la Educación
Matemática Crítica (EMC) tomando la función exponencial como objeto matemático a
desarrollar.
Además, se esbozan otras propuestas en esta misma línea de investigación que
fundamentan tanto el marco teórico como el metodológico. En relación con el primero, se
exponen las ideas de la EMC, que para la presente propuesta es el medio para llevar a los
estudiantes hacia la noción de la función exponencial, teniendo en cuenta la problemática social:
crecimiento bacteriológico en aguas estancadas. En este sentido Blanco (2008), muestra la falta
de aspectos políticos y sociales en la escuela y en particular en la clase de matemáticas, donde se
advierten que tradicionalmente se hace énfasis en el interés por el desarrollo de habilidades
cognitivas, dejando a un lado que a partir de la clase de matemáticas los estudiantes puedan
vislumbrarla como una herramienta que sirve para el desenvolvimiento en la sociedad.
El desarrollo de la metodología, se circunscribe dentro de las ideas propuestas por Pérez
(1988), siendo una investigación de corte cualitativo, interpretativo, descriptivo y propositivo, la
propuesta se desarrolla en diferentes momentos metodológicos o fases que permiten conocer el
contexto de la institución y de los estudiantes, relacionar la función exponencial con las aguas
estancadas, comparar y evidenciar los avances que los estudiantes presentaron a partir del
pensamiento crítico, entre otros aspectos.
8
Igualmente, se presenta el análisis de resultados y las conclusiones a las que se llegaron
una vez aplicada la propuesta, para tal fin, se comparan los resultados obtenidos a partir de las
apreciaciones hechas por los estudiantes en las clases con lo afirmado por los distintos autores,
quienes mencionan conceptos y preconceptos para alcanzar determinado conocimiento y/o
destrezas necesarias para realizar cierto tipo de actividades, asimismo se tuvo en cuenta el
contexto de los estudiantes que los llevó a interesarse o no en el proceso de enseñanza, por esta
razón el análisis se ha dividido en varias fases en relación con el contexto de los estudiantes: el
pensamiento crítico, los ambientes de aprendizaje (AA) y la función exponencial.
Por último se hace una apreciación de resultados, en la cual se evidencia un análisis de
los logros y las fallas en la planeación de la presente propuesta, este análisis se realiza por medio
de fotos y videos, los cuales tienen en cuenta aspectos importantes como lo son los
comportamientos, las actitudes de los estudiantes durante la actividad y los aportes que ayudan a
identificar y sensibilizar la sociedad actual en torno a las problemáticas ambientales.
9
JUSTIFICACIÓN
La presente propuesta se diseñó con el fin de mostrar una alternativa para el aprendizaje
de la noción de función exponencial desde una perspectiva crítica, usando como contexto el
crecimiento bacteriológico de aguas estancadas, dicha propuesta se implementó en la Institución
Educativa Distrital Republica de Colombia, ya que presenta algunas problemáticas de
contaminación ambiental, lo que pudo influenciar en los intereses de sus estudiantes alrededor de
dichas circunstancias, además de esto, fue pertinente la participación de algunos miembros de la
institución para difundir algunas de las posibles consecuencias causadas por la problemática, ya
que éstas pueden generar enfermedades en las personas tal y como lo afirma Fernández (1994),
al considerar que el contacto directo de dichas aguas con humanos, causa –por ejemplo–
enfermedades en la piel como la dermatitis, entre otras.
Lo anterior se presenta teniendo en cuenta que se quiere adoptar una postura crítica frente
a los procesos tanto de enseñanza como de aprendizaje y las prácticas educativas tradicionales,
en donde se involucre escenarios de investigación, en el sentido de Skovsmose (2000), como una
alternativa. Además de tener en cuenta el contexto de los estudiantes para desarrollar
competencias de carácter cognitivo, cultural y social, y tomando como objeto matemático de
estudio a la noción función exponencial.
Esto debido a que uno de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas, que cada
vez toma más importancia, es la falta de interés y motivación por parte del estudiantado; por otra
parte “desde instancias sociales y políticas se le reclama hoy que el proyecto en la educación
básica forme para participar en la comprensión y transformación de la sociedad” (Camelo,
García, Mancera y Romero et al. 2008 citando a Skovsmose, 1999) algo a lo que se pueden dar
solución mediante la posibilidad de ofrecer a estudiantes y profesores razones del por qué y para
qué del proceso educativo, “permitiendo trascender la dimensión cognitiva, y situarlos como
sujetos (social, cognitivo, afectivo, político) esta dimensión comienza a develar las múltiples y
complejas relaciones con sus vidas sociales. (Familia, clase, colegio, barrio, y con el mundo)” (Camelo
et al. 2008).
10
Con las actividades presentadas a los estudiantes se procuró ir más allá de una simple
transmisión de conocimientos, ya que el objetivo fue fomentar en cada uno de ellos la noción de
función exponencial desde la perspectiva crítica, usando como contexto primordial el
crecimiento bacteriológico de aguas estancadas, las cuales generan enfermedades en la población
cercana, en esta medida la problemática ambiental puede ser analizada a partir de procesos
matemáticos como lo es la función exponencial, además las posibles interpretaciones de esta
noción y sus distintas estrategias de solución, e indirectamente lograr una sensibilización
respecto a dicha problemática.
11
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Cuando se da a la tarea de reflexionar sobre una sociedad colombiana como la actual, no
se puede negar que ésta se encuentra sumergida en una serie de conflictos sociales, económicos,
políticos y ambientales que generan miseria, hambre, desigualdad, guerras, represión, entre otras
muchas cosas que degradan al hombre, como lo afirma Carrizosa (2003).
Negar estos hechos seria como negar los 5,19 millones de desplazados por la violencia
desde 1985 (EFE, 2011), los 56.000 damnificados por la ola invernal del 2012, los 2084
desempleados en septiembre de 2013 (Colombia. Banco de la Republica, 2013), o negar el 34.1
% de incidencia de pobreza en Colombia en el 2011 según lo informa el DANE (2013).
Por si fuera poco, Bogotá es una de las ciudades más contaminadas del mundo, ocupando
el trigésimo séptimo puesto entre las 110 ciudades que conforman el globo terráqueo según un
estudio realizado por el Banco Mundial en el 2011, puesto al que se hace acreedor debido a
diferentes factores como lo son los altos niveles de hollín, humo y polvo que circulan en el aire
(Gómez, 2012), sin olvidar el alto grado de contaminación del rio Bogotá y las 6200 toneladas de
basura que se producen diariamente, de las cuales, cerca de 25185 toneladas anuales terminan en
este rio provenientes de 26 municipios, quienes arrojan productos químicos y físicos
contribuyendo a la aniquilación de especies nativas, gracias a los 318 kg de cromo, 278 kg de
plomo, 140 ton de hierro, 1,11 ton de detergentes y 835 ton de sólidos en superposición (envases
y demás basuras plásticas), propiciando que el agua no sea utilizable para el consumo humano ni
para la agricultura, todas estas condiciones terminan por afectar de manera considerable el medio
ambiente. Problemáticas como las anteriores Skovsmose (1999), las denomina como crisis: “(…)
represión, conflicto, contradicción, miseria, desigualdad, devastación ecológica y explotación”
(Skovsmose, 1999), expresión que describe tanto a las crisis de hecho como a las potenciales.
Además de lo anterior Skovsmose (1999), utiliza la palabra crisis, para referirse al tipo de
consecuencias que pueden llegar a generar algunas problemáticas a nivel social, político, cultural
y económico de las cuales Colombia no se encuentra exenta.
12
Un ejemplo claro lo encontramos en las continuas precipitaciones durante los últimos
años que han dejado considerables pérdidas a lo largo del territorio nacional, donde una de las
ciudades más afectadas fue Bogotá, dejando cerca de 9.000 damnificados en el 2011, cuyas
causas se deben a diversas índoles como lo son las inundaciones, los deslizamientos y los malos
olores, entre otro factores a causa de la temporada invernal, que terminaron por afectar la calidad
de vida de los bogotanos.
Al tener Bogotá un clima frío, Granai y Sjogren (1981) aseguran que este clima mejora
las condiciones de vida de las bacterias y la nutrición favorable de éstas, además que en época de
verano, el incremento de la temperatura aumenta la actividad y disminuyen el tiempo de
generación de estas bacterias, pero también aumenta la acción toxica y se acelera la autolisis,
generando enfermedades que pueden llegar a ser letales si no se tratan rápidamente. Aunque
existe tratamiento para estas enfermedades, Fernández (1994), dice que las bacterias inmersas en
los ríos ubicados dentro de ciudades de clima frío (como Bogotá) son un peligro latente para sus
habitantes, ya que existen bacterias que al contacto directo con humanos causan enfermedades en
la piel, como por ejemplo la dermatitis. Por lo anterior es importante la atención del gobierno
local a esta problemática ya que al estar estos ríos dentro de las ciudades son más propensos a
adquirir basuras que son aprovechadas por las bacterias para su expansión, generando problemas
a los habitantes de sus riveras.
Pero tal vez, nos preguntemos ¿qué tiene que ver la problemática ambiental,
específicamente el crecimiento bacteriano en los ríos de Bogotá, con educación?, y aunque la
respuesta no es inmediata, podríamos encontrar una salida a este dilema
en el artículo
“Erziehungnach Auschwitz” (la educación después de Auschwitz) escrito por Theodor W.
(1966, citado por Skovsmose, 1999) quien ha resalado “la educación, no sólo como un esfuerzo
por entregar información, sino también como parte de un conflicto cultural y político”
(Skovsmose, 1999, p.11), lo anterior se pretende evidenciar con el problema de las aguas
estancadas.
13
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
Como se mencionó, Colombia presenta diferentes conflictos sociales, económicos,
políticos y ambientales que pueden afectar de una u otra manera a la comunidad en general,
siendo la educación un actor importante para analizar y proponer soluciones a diferentes
problemáticas por ello se buscó una manera en la que ésta pudiese contribuir a generar un
cambio en la forma como los estudiantes identifican comprenden y actúan frente a este tipo de
problemáticas, especialmente el crecimiento bacteriológico en aguas estancadas, por esta razón
se proyectó potenciar el pensamiento crítico en los estudiantes a través de la EMC y los AA
como una alternativa a la educación tradicional por medio de un escenario de aprendizaje.
OBJETIVOS
GENERAL
Generar en los estudiantes de grado undécimo pensamiento crítico a partir de la idea de
ambientes de aprendizaje propuesta por Skovsmose (2000), en torno a la noción de función
exponencial y el crecimiento bacteriológico en aguas estancadas.
ESPECÍFICOS
 Aportar herramientas conceptuales en torno a la función exponencial a estudiantes de
grado undécimo por medio de algunos ambientes de aprendizaje.
 Crear conciencia sobre la importancia y las implicaciones del actuar de la sociedad en el
medio ambiente, para así crear una postura crítica en los estudiantes permitiendo potenciar la
EMC como medio de investigación.
 Generar en los estudiantes pensamiento crítico a partir de un escenario de aprendizaje, en
el cual se identifique, comprenda, y de solución una situación crítica.
14
ANTECEDENTES
Dado que el propósito de este trabajo implica el diseño de una propuesta que generé
pensamiento crítico alrededor del crecimiento bacteriológico en aguas estancadas, se han tomado
múltiples referentes que han contribuido a la estructura y desarrollo de este documento, por ello
en este apartado se esbozan documentos en relación con:

El pensamiento crítico

La Educación Matemática Crítica, ambientes de aprendizajes

La Función exponencial
TRABAJOS EN RELACIÓN CON EL PENSAMIENTO CRÍTICO
Acerca del desarrollo del pensamiento crítico se ha tomado como referencia el trabajo
realizado por Campos (2007), ya que en este documento se define lo que es pensamiento crítico,
sus características y algunas estrategias que se deben tener a la hora de formar un pensador
crítico, todo esto sustentado desde la mirada y la teoría de diferentes autores, siendo uno de ellos
(Facione, 1998) quien propone unas categorías específicas que debe tener un pensador crítico,
encontrando la
interpretación, el análisis, la evaluación, la inferencia, la explicación y la
autorregulación. Aportando, de esta manera, categorías de análisis para el desarrollo del presente
documento.
Debe tenerse en cuenta que ninguna de estas definiciones relaciona el pensamiento crítico
con la matemática, es por esto que se implementaron las estrategias propuestas por Campos
(2007) entre ellas la discusión grupal, la participación activa de los estudiantes en las
problemáticas planteadas, el uso de trabajos escritos y algunos procedimientos propuestos, para
que de esta forma se pueda adquirir conceptos y competencias matemáticos.
Pulido y Amaya (2012) han desarrollado una propuesta de aprendizaje basados en el
desarrollo del pensamiento crítico, para lo cual ponen como pretexto la enseñanza de la
estadística como instrumento matemático para lograr este propósito ya que entre las líneas del
documento se considera que el pensamiento crítico “permite poner en acción o en uso diferentes
15
habilidades para abordar situaciones problema del contexto de los estudiantes, en pro de la
reflexión, actuación, cambio y transformación de la realidad”, además de esto, se toman como
referentes
las categorías propuestas por
Facione (1998, citado en Campos, 2007)
(interpretación, análisis, evaluación, inferencia, explicación y autorregulación) quienes hacen uso
de ellas para la elaboración de los ambientes de aprendizaje, lo cual fue de utilidad para
establecer los propósitos que se quieren cumplir con los ambientes de aprendizaje y para la
elaboración de las categorías de análisis como se había mencionado en el párrafo anterior.
Arias y Clavijo (2013) elaboran una propuesta de aula para estudiantes de noveno de la
educación básica cuyo propósito consistía en fomentar el pensamiento crítico mediante la
construcción de unos ambientes de aprendizaje, para ello, se basan en la “investigación acción
participativa” para desarrollar su propuesta siendo está un tipo de investigación cualitativa que
de acuerdo con Durston & Miranda (2002, citado en Arias y Clavijo 2013, p. 43) sus propósitos
están encaminados a:

Promover la producción colectiva del conocimiento rompiendo el monopolio del
saber y la información.

Promover el análisis colectivo en el ordenamiento de la información y en la
utilización que de ella puede hacerse.

Promover el análisis crítico utilizando la información ordenada y clasificada a fin
de determinar las raíces y causas de los problemas, y las vías de solución para los mismos.

Establecer relaciones entre los problemas individuales y colectivos, funcionales y
estructurales, como parte de la búsqueda de soluciones colectivas a los problemas
enfrentados.(Pág. 10-11)
Además de lo anterior, se hacen uso de algunas categorías de análisis como;
interpretación, análisis, evaluación e inferencia para identificar que nociones estadísticas fueron
alcanzadas por los estudiantes durante el desarrollo de su investigación, de esta forma se
evidenció que el objetivo de fomentar pensadores críticos mediante la construcción de los 7
ambientes de aprendizaje divididos en 4 etapas se alcanzó, permitiendo desarrollar habilidades
16
cognitivas y disposiciones propias del pensamiento crítico (interpretación, análisis, evaluación,
inferencia, búsqueda de la verdad, confianza en el razonamiento y mente abierta).
EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA, AMBIENTES DE APRENDIZAJES
Bajo esta categoría se tomará como referencia el trabajo Hacia una filosofía de la
educación matemática crítica (Skovsmose, 1999), donde se proponen ambientes de aprendizajes
en escenarios de investigación. Este antecedente servirá para formular reflexiones acerca del
aprendizaje en colectivo y sus implicaciones en la sociedad actual, planteando ambientes de
aprendizajes enmarcados en el trabajo con escenarios de investigación.
Cortés (2013), en su estudio con estudiantes de grado sexto indican el cómo se da el
aprendizaje dialógico como aspecto de la cultura de una clase de matemáticas pensada desde la
perspectiva de la Educación Matemática Crítica, para ello utilizan una metodología de acción en
donde se promueve la investigación, acción y reflexión sobre las prácticas educativas con la
intención de mejorar dichas prácticas.
Esta autora subraya que la metodología de investigación utilizada constituye una
potencialidad en tanto permite un accionar acorde a las necesidades del proyecto, unos tiempos
variables relacionados al proceso y un análisis cíclico que permite profundizar en cada acción
investigativa. Para el caso particular, se accionó mediante la instauración de un seminario de
discusión y reflexión frecuente entre el equipo de trabajo, permitiendo accionar paso a paso las
decisiones y la organización de los análisis cuyo insumo importante fue este trabajo. Este
antecedente permite orientar y conocer más acerca de la investigación acción, la cual será parte
de la metodología que se utilizó en este trabajo.
Fonseca (2012), en su trabajo con estudiantes de grado noveno, analizan las
implicaciones enmarcadas en la EMC, desde la identificación de las contribuciones al desarrollo
del Pensamiento Crítico mediante la implementación de Ambientes de Aprendizaje, en torno a la
estadística descriptiva. Para ello utilizan como metodología la investigación acción tomando
como base las fases planteadas por Carr & Kemmis (1988, citado por Pérez 1994),)
Planificación, Acción, Observación, Reflexión.
17
En el trabajo anteriormente mencionado se logró llegar a reflexionar socialmente, ya que
por medio de éste fue posible evidenciar las problemáticas inmersas en la cotidianidad de los
estudiantes, tales como el embarazo a temprana edad, las barras bravas, la falta de reciclaje, la
inseguridad y la drogadicción; además permitió la relación de dichas problemáticas con la
estadística descriptiva. Este antecedente nos muestra un posible camino desde la EMC, en donde
se observa cómo se relaciona el contexto de los estudiantes con la matemática, haciéndola
participe de su cotidianidad.
TRABAJOS EN RELACIÓN CON LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Vellojin (2011), en su estudio “ideas de los estudiantes de secundaria acerca de la
variación Exponencial ” elabora un instrumento diagnóstico que dé cuenta de: 1) fenómenos
asociados a la función exponencial que favorecen o no el estudio del comportamiento variacional
de esta función; 2) sistemas de representación que facilitan la identificación y reconocimiento de
un comportamiento variacional de tipo exponencial; 3) existencia o no de dificultades en la
traducción entre sistemas de representación de la función exponencial y 4) características del
comportamiento variacional de la función exponencial.
En el estudio anteriormente mencionado se trabajó sobre el paso de un sistema de
representación a otro; este antecedente permite orientar y conocer más acerca de la
representación de las funciones y de la enseñanza de la función exponencial, la cual será el
objeto matemático que se desarrollará en esta propuesta.
18
MARCO DE REFERENCIA
A continuación se presentan los soportes conceptuales y metodológicos que fundamentan
está propuesta, los cuales buscan servir de base para diseñar e implementar un ambiente que
permita el aprendizaje de la noción exponencial desde la EMC, usando como contexto el
crecimiento bacteriológico de aguas estancadas del rio Tunjuelito. Para ello el marco de
referencia se ha dividido en dos partes (marco teórico y marco metodológico). El primero de
estos comprende la teoría de la EMC, el contexto en educación matemática, los ambientes de
aprendizaje, la función exponencial y el pensamiento crítico y en el segundo marco
encontraremos los tipos de investigación acción que posibilitan el actuar del profesor dentro del
aula de clase.
MARCO CONCEPTUAL
Con respecto a éste marco como ya se ha mencionado encontraremos la teoría de la EMC
abordando los planteamientos de Skovsmose (1999); el contexto en educación matemática de
acuerdo con los aportes de Valero (2002) quien le da gran importancia al Contexto sociopolítico
de la Educación Matemática; los ambientes de aprendizaje siguiendo las ideas propuestas por
Skovsmose (2000), la función exponencial desde la perspectiva de los tipos de representación de
la función propuesta por Azcarate y Deulofeu (1996) y finalmente se abordan las ideas de
Facione (1998) con respecto al pensamiento crítico.
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
CRÍTICA
(EMC)
Y
AMBIENTES
DE
APRENDIZAJE
La Educación Matemática Crítica (EMC) tiene sus inicios en la Escuela de Frankfurt y en
el pensamiento crítico de Freire (1972), con el fin de luchar por la democratización de la
educación y verla como un derecho, que no sólo formará personas en conocimiento científico,
sino que además, reflejará la capacidad de racionar, reflexionar, investigar y convertir la
realidad. Según Guerrero (2007), al utilizar la realidad social como medio para la reflexión y la
19
crítica, la EMC busca generar en los estudiantes participación democrática, siendo entes activos
en la sociedad en la que están inmersos.
Desde esta perspectiva de la EMC, Guerrero afirma que:
[…] es necesario que los implicados en el aprendizaje y la enseñanza de la
matemática asuman una actitud de autorreflexión, de crítica, y a la vez puedan
descubrir y transformar las relaciones de poder subyacentes en las prácticas
matemáticas y en las prácticas pedagógicas, tanto de alumnos y alumnas como de
docentes e instituciones educativas. (Guerrero, 2007, p. 56)
Para lograr lo anterior, debe reconocerse que el estudiante no sólo es un receptor de
información, sino que también está en la capacidad de cuestionar y de construir conocimiento.
La perspectiva de la EMC presenta una alternativa a las formas tradicionales de
enseñanza (el manejo mecánico de algoritmos, la ejercitación de procedimientos y en el que no
se tiene en cuenta el desarrollo social del individuo dentro de su comunidad).
Dentro de esta perspectiva, Skovsmose (2000) denomina “el paradigma del ejercicio” a
las formas de enseñanza en las que se desarrolla una enseñanza tradicional; en donde también se
deja de lado el contexto social, político y cultural de los estudiantes.
Para contrarrestar el paradigma del ejercicio, Skovsmose (2000) utiliza lo que él llama “el
paradigma del enfoque investigativo”, el cual busca destacar el trabajo en la clase de
matemáticas a través de proyectos, este trabajo se organiza dentro de un “escenario de
investigación” que ofrece posibilidades para realizar investigaciones y representa un ambiente de
aprendizaje diferente al del paradigma del ejercicio.
Un escenario de investigación según Skovsmose (2000), es una situación que incentiva y
causa en los estudiantes un trabajo investigativo, en otras palabras es una práctica educativa
donde los estudiantes y profesores se hacen participantes activos de la misma.
Skovsmose (2000) señala que para lograr llegar y relacionar las prácticas educativas con
el contexto, se generan tres tipos de referencias; matemática pura, semi-realidad y realidad, que
20
al ser combinadas con los dos paradigmas de las prácticas en el salón de clase (paradigma del
ejercicio y escenarios de investigación) se originan seis tipos de ambientes de aprendizaje y al
ser explorados pueden ayudar a dar un nuevo significado a las actividades de los estudiantes. De
acuerdo con estos ambientes se quiere empezar con la realización del enfoque hacia el medio del
estudiante, para así dar una visión más clara sobre las matemáticas en el entorno del estudiante.
Figura 1 Ambientes de aprendizaje. Tomado de …
La Figura 1 muestra los ambientes de aprendizaje, en el ítem (1) se relaciona la
matemática pura y el paradigma del ejercicio, mostrando las actividades que se basan en
ejercicios memorísticos y algorítmicos dejando a un lado el contexto de los estudiantes; en el
ítem (2) en donde se relaciona la matemática pura con los escenarios de investigación, se busca
que las actividades tengan diferentes caminos de soluciones; en el ítem (3) se relaciona la semirealidad con el paradigma del ejercicio, poniendo situaciones enmarcadas en contextos reales
pero no cercanos a los estudiantes; en el ítem (4) se relaciona la semi-realidad con el paradigma
del ejercicio, haciendo que los estudiantes sean partícipes de la construcción y desarrollo de la
actividad; en el ítem (5) entra en relación las situaciones de la vida real con el paradigma del
ejercicio, en donde los estudiantes pueden llegar más allá del problema y adicionarle cuestiones
ya que éste está enmarcado en su contexto; para finalizar el ítem (6) relaciona las situaciones de
la vida real con los escenarios de investigación, haciendo que los estudiantes den soluciones a los
problemas reflexionando acerca de su pertinencia y sobre la valides de las soluciones.
21
CONTEXTO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Valero (2002) hace mención que hay 4 tipos de contextos en la educación matemática (el
contexto de un problema, el contexto de interacción, el situacional y el contexto sociopolítico de
la educación matemática) que de una u otra manera han sido tenidos en cuenta en las prácticas
educativas. Sin embargo, para esta autora uno de los más importantes es aquel que investigue
sobre la dimensión sociopolítica de la educación matemática ya que éste no está aislado de la
percepción de los procesos educativos de matemáticas en la escuela y en el aula, de esta forma
los tipos de contextos infieren en:

Contexto de un problema: El contexto de un problema puede referirse a dos
interpretaciones fundamentales, una de ellas como (…) “al campo de nociones y procedimientos
matemáticos dentro de los cuales se ubica un problema, o bien a las referencias que la
formulación de un problema evoca en el estudiante” (Valero 2002, p. 50), este tipo de contexto
es importante ya que involucra al estudiante en una construcción activa del conocimiento,
permitiéndole establecer conexiones entre las aplicaciones y procedimientos matemáticos con lo
que ya conoce.

Contexto de interacción: Otro tipo de contexto que menciona Valero (2002) es el
contexto de interacción en el cual no sólo se tienen en cuenta problemas matemáticos sino como
estos son abordados en el aula, a través de la cooperación entre los estudiantes cuyo objetivo
radica en negociar significados y soluciones, permitiendo establecer el funcionamiento de la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas dentro del aula de clase.

Contexto situacional: En este tipo de contexto se presenta una serie de relaciones
históricas, sociales políticas, culturales y psicológicas que “… están presentes y constituyen el
aprendizaje, las formas de usar y las maneras de llegar a conocer las matemáticas (Wedeje,
1999)” (Valero, 2002, p. 52) en las cuales se involucran estudiantes y profesores dentro de un
aprendizaje matemático, considerándose procesos mentales, intercambio entre los participantes y
características constitutivas de las situaciones mismas.
Por último encontramos el contexto sociopolítico de la educación matemática que será
tenido en cuenta para el desarrollo de la presente propuesta de enseñanza.
22
 Contexto sociopolítico de la Educación Matemática: De acuerdo con Valero (2002),
este contexto es el que más llama la atención debido a su relación política, social y cultural con
la escuela, asemejándose a los intereses de la EMC, por ello se dará una definición más precisa
de este concepto ya que será tenido en cuenta para esta investigación.
En términos sociopolíticos la noción de contexto ha surgido como vínculo entre lo que
sucede en el aula con respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y las
estructuras económicas, sociales, políticas y los procesos históricos que le han dado significado a
esos fenómenos. Con base en lo anterior, algunos autores como Ernest (1991, citado por Valero,
2002, p.54) afirman que “… es posible establecer una relación entre diversas ideologías
sociales y políticas y concepciones sobre las matemáticas y la educación matemática”.
La anterior base teórica se sustenta en las formas particulares de enseñar matemáticas, al
relacionarse con ideologías sociales determinadas, siempre que se preste atención a la
interpretación del micro contexto del aula y al macro contexto de la escuela.
Por otra parte, las reformas actuales de la enseñanza y las investigaciones en educación
matemática han creado la imagen de un estudiante como sujeto cognitivo cuya acción sucede
principalmente en el mundo mental, sin embargo, mantener esta imagen dentro de un enfoque
sociopolítico es bastante complejo, ya que no basta solo con pensar en lo interesante de sus
procesos de razonamiento dado que se estaría dejando de lado la naturaleza social de cada
individuo, como sus sentimientos que le permiten tener múltiples razones para involucrarse o no
en el aprendizaje de las matemáticas debido a que su vida trasciende los límites de la escuela,
cuyas motivaciones chocan con la matemática.
Una vez que se ha logrado ver al estudiante como sujeto político en vez de sujeto
cognitivo, se podría reconocer la naturaleza intrínseca del ser humano como un ser actuante y
generador de sus condiciones sociales y materiales de la vida”, un sujeto político no solo actúa
en el mundo desde una dimensión cognitiva - psicológica sino que participan en un mundo
social, político. Económico, histórico, cultural y a través de esta participación piensan, conocen y
producen y se involucran en el mundo, logrando generar una imagen integral de nuestros
23
estudiantes que también incluye el acto de aprender matemáticas, lo cual se asocia con la noción
de contexto sociopolítico.
La preocupación por la formación ciudadana a través de la enseñanza de las matemáticas
consiste en reconocer la manera como el aula de matemáticas, como un espacio de acción social
en el que se pone en contacto al profesor con los estudiantes y su contexto.
PENSAMIENTO CRÍTICO
Dado que la crítica se refiere tanto a la actividad de juzgar como salir de un dilema;
donde se asocian algunos términos como, análisis, juicio, evaluación, valoración y acción.
Skovsmose, (1999) infiere que ser crítico requiere prestar atención a una situación crítica,
identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar ante ella, y es aquí donde se justifica
el uso de la crítica tanto a nivel educativo como en la presente propuesta, ya que “Mientras
crítica y educación se mantengan separadas, la segunda fácilmente puede tomar la forma de una
entrega de información” (Skovsmose, 1999, p. 11) y al encontrarse éste término directamente
relacionado con la EMC el presente apartado tiene como finalidad exponer lo que se entiende por
pensamiento crítico y algunas estrategias para lograr un pensamiento crítico en los estudiantes.
Para el desarrollo de este trabajo es importante definir qué se entiende por pensamiento
crítico, aunque esto resulta un poco complejo debido a los diversos significados que puede tomar
esta terminología. Por tal motivo se validarán, en este documento, las definiciones que proponen
algunos autores como Dewey, Scriven y Paul, Ennis citados en Campos (2007), quien considera
el pensamiento crítico como una combinación de habilidades intelectuales que se usan con fines
determinados.
Algunas de las definiciones más influyentes son las que proponen autores como Dewey
(1911) quien es considerado como uno de los pioneros sobre este tema, afirmando que el
pensamiento crítico es “… una consideración activa, persistente y cuidadosa de una creencia o
forma supuesta del conocimiento a la luz de los fundamentos que lo sustentan y a las
conclusiones a las que se dirige” (Campos, 2007, p.19), otra gran contribución al pensamiento
crítico proviene de Scriven y Paul (1992), quienes afirman que el pensamiento crítico es el
proceso creativo, hábil y disciplinado de contextualización y evaluación de síntesis, pero la que
24
se considera como la definición más precisa en la actualidad es la de Ennis (1992), quien la
define como el proceso reflexivo dirigido a tomar decisiones razonadas acerca del creer o hacer.
La estructura del pensamiento crítico ha sido materia de interés de muchos autores siendo
uno de ellos Facione (1998), quien propone habilidades intelectuales que configuran el
pensamiento crítico, siento éstas la interpretación, el análisis, la evaluación, la inferencia, la
explicación y la autorregulación que se definen como:

Interpretación: implica comprender y expresar el significado de una variedad de
experiencias, situaciones, datos, eventos, juicios, convenciones, creencias, reglas u/o
procedimientos.

Análisis: capacidad para identificar relaciones inferenciales propuestas en los enunciados,
preguntas, conceptos, u otras formas de representación dirigidas a expresar creencias, juicio,
experiencias, razones, información y/u opinión.

Evaluación: implica valorar la credibilidad de un enunciado o cualquier otra
representación que presenta o describe la percepción, experiencia, situación, juicio, creencia, u
opinión de una persona. Asimismo, valora la fortaleza de relaciones inferenciales actuales, o
previstas entre enunciados, descripciones, preguntas u otras formas de representación.

Inferencia: capacidad para identificar y asegurar elementos necesarios para derivar
razonables conclusiones, para considerar información relevante y deducir las consecuencias que
fluyen de los datos, enunciados, principios, evidencias juicios, creencias, opiniones, conceptos
descripciones, preguntas u otras formas de representación.

Explicación: implica denunciar los resultados como consecuencia del razonamiento
personal, justificarlo, en términos de consideraciones conceptuales, metodológicas de criterios y
de evidencias.

Autorregulación: es considerada por algunos autores como meta cognición, ésta implica
el monitoreo frecuente de las propias actividades cognitivas, los elementos usados en dichas
actividades y los resultados derivados como consecuencia de la aplicación de habilidades en el
25
análisis y evaluación de los juicios inferenciales, en vista de validar o corregir tanto el
razonamiento como sus resultados.
Teniendo en cuenta que los intereses del presente trabajo buscaba generar en los
estudiantes de grado undécimo pensamiento crítico a partir de la idea de ambientes de
aprendizaje propuesta por Skovsmose (2000), en torno al crecimiento bacteriológico en aguas
estancadas; consideramos relevantes las habilidades intelectuales que configuran el pensamiento
crítico dadas por Facione (1998) anteriormente.
REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Dado que en esta propuesta se busca generar en los estudiantes de grado undécimo
pensamiento crítico a partir de la idea de ambientes de aprendizaje, en torno al crecimiento
bacteriológico en aguas estancadas, el escenario de aprendizaje planteado va a desarrollar la idea
de función exponencial vista desde las representaciones de la función, para esto tomaremos las
ideas de Azcárate y Deulofeu 1996.
En el mundo actual y especialmente en los medios de comunicación es frecuente
encontrar investigaciones sobre diversos fenómenos de cambio, información que se presenta
especialmente por medio de tablas y gráficas, sin embargo existen otras dos formas de
representación como la verbal y la algebraica que son menos frecuentes, pero no menos
importantes, por esta razón un objetivo de las matemáticas en la escuela secundaria es capacitar a
los estudiantes para la lectura e interpretación de dicha información (Azcárate y Deulofeu 1996).
Según Azcárate (1996) las representaciones que intervienen en el aprendizaje de la
noción de función son el modelo físico o simulación, descripción verbal, tabla de valores,
fórmula o ecuación, y gráfica, y que cada una de estas representaciones permite expresar un
fenómeno de cambio, una dependencia entre variables.
Azcarate (1996) afirma que al utilizar la descripción verbal, ésta brinda una visión
descriptiva y generalmente cualitativa de la relación funcional que permite interpretar un nivel
simbólico mayor, posteriormente a esto, en un grado mayor de abstracción se encuentra la tabla
de valores que otorga una visión cuantitativa desde una óptica de correspondencia que por lo
26
general es insuficiente dado que no se pueden visualizar las características generales de la
función, luego se encuentran las gráficas y las expresiones algebraicas que requieren de un
lenguaje mayor de abstracción a las dos interpretaciones anteriores dado que estas dos últimas
interpretaciones permiten obtener una visión general y completa de la función estudiada tanto
cuantitativa como cualitativamente, aunque las gráficas solo permiten aproximaciones mientras
que las expresiones algebraicas permiten determinar valores más precisos.
Para pasar de una representación a otra, autores como Duval (1995) señalan que algo
particular que ocurre con los registros de representación es, que son referentes a un sistema
particular de signos y que al ser cambiados a otro tipo de registros de representación, entre
ambos contienen características equivalentes del objeto, situación o información que se
representa, sin embargo, para el sujeto que utiliza los dos sistemas puede tomar significaciones
distintas.
En la siguiente imagen se muestran algunas de las relaciones entre tipos de representación
de la noción de función.
Figura 2 Relaciones entre tipos de representación de la noción de función.
MARCO METODOLÓGICO
Este trabajo procuraba generar pensamiento crítico alrededor del crecimiento
bacteriológico en aguas estancadas a partir de la idea de ambientes de aprendizaje propuesta por
Skovsmose (2000). Por ello, se estudiaron los tipos de investigación y se identificó el más
27
propicio para cumplir con los objetivos propuestos. A partir de esto, se analizan dos tipos de
investigación: investigación pura e investigación aplicada, la primera de estas, busca aumentar la
teoría teniendo como objetivo “(…) el estudio de un problema destinado exclusivamente al
progreso, o a la simple búsqueda del conocimiento” (Pardinas, 2005) y en la segunda, se
desprenden la investigación fundamental y la investigación acción, cuyos propósitos se centran
en el aumento de información teórica y en transformar el contexto de la realidad estudiada
respectivamente.
Por lo anterior y teniendo en cuenta el enfoque crítico de esta propuesta se consideró que
la metodología más pertinente seria la investigación acción. De esta forma se tomaron las ideas
de Pérez (1994) para orientar la presente propuesta, las cuales muestran los pasos a seguir en una
investigación acción.
INVESTIGACIÓN ACCIÓN
La investigación acción es vista por Kemmis y Carr (1988, citado por Pérez 1994), como
una forma de indagación auto reflexiva, emprendida por participantes en situaciones sociales con
objeto de mejorar la racionalidad y justicia de sus prácticas sociales y educativas, así como una
comprensión de esas prácticas y de las situaciones en la que tienen lugar. De esta forma la
investigación-acción se muestra como un instrumento que genera cambio social y conocimiento
educativo sobre la realidad social y/o educativa, proporciona autonomía y da poder a quienes la
realizan.
Pérez (1994), muestra los pasos del camino que se deben seguir en la investigaciónacción, el cual se caracteriza por ser cíclico y dialéctico, ya que exige avanzar y retroceder en un
proceso constante de aprendizaje abierto. Para sintetizar lo anterior, esta autora plantea el
siguiente gráfico:
28
Figura 3 Proceso de investigación acción
De lo anterior se destacan 4 pasos que se mostrarán a continuación:
Primer paso: diagnosticar y descubrir una preocupación temática:
Este empieza cuando se tiene idea de algo que no funciona o que puede ser mejorado.
Aunque algunas veces la idea no es clara, la primera fase consiste en diagnosticar y descubrir el
problema, su origen, causas y por qué ocurre. En este sentido Polanyi (1970, citado por Pérez,
1994), señala “no hay reglas que pueden indicar la forma en la que se encuentra una buena idea
para comenzar una investigación”,
Por lo ya expuesto, se decidió estudiar el macro contexto y el micro contexto de los
estudiantes de grado undécimo del colegio Republica de Colombia, identificando algunas
problemáticas ambientales que los afectan como las basuras, el ruido y las aguas estancadas en
épocas de lluvia a través de algunas preguntas realizadas en clase, donde se decide, que el
crecimiento bacteriológico en aguas estancadas es una problemática ambiental con múltiples
repercusiones en la salud de las personas, propiciando de esta forma, interés en este tema por
29
parte de los estudiantes. Por lo tanto se determina trabajar la noción de función exponencial (ya
que este objeto matemático permite modelar el crecimiento de las bacterias) y a partir de ésta
generar pensamiento crítico en los estudiantes.
Segundo paso: construcción del plan
Esta fase se orienta hacia la acción, ya que al tener el problema y la hipótesis de acción,
debe preguntarse ¿qué debe hacerse?, ¿por parte de quién?, ¿dónde hay que actuar para producir
el mayor efecto?, ¿cuándo y cómo hacerlo? El planear implica tener una actitud flexible y abierta
al cambio, para esto los investigadores deben tener en cuenta, el pensar, decidir y planear.
Con base en lo obtenido en la primera fase, se diseñó un escenario para los estudiantes de
grado undécimo de la institución educativa Republica de Colombia, basado en la idea de
Ambientes de aprendizaje propuesto por Skovsmose (2000), en el cual se relacionan el
paradigma del ejercicio y los escenarios de investigación con la matemática pura, la semirealidad y las situaciones de la vida real, permitiendo potenciar el pensamiento crítico en los
estudiantes, siendo esto posible gracias a las diferentes actividades previamente construidas
encaminadas a desarrollar la noción de función exponencial.
Tercer paso: puesta en práctica del plan y observación de su funcionamiento
En este paso se desarrolla lo planeado en los dos pasos anteriores, con el fin de tener
elementos de juicio que permitan buscar una alternativa para explorar el problema. Según Pérez
(1994) algunas veces las cosas que se tienen planeadas cambian respecto a las circunstancias, lo
que genera revisión y retroalimentación.
Después de diseñar los ambientes de aprendizaje basados en las ideas de Skovsmose
(2000), se aplicó la propuesta a los estudiantes de grado undécimo del colegio Republica de
Colombia, iniciando con un video foro, en el cual debían responder algunas preguntas alrededor
del video “Retrospectiva Rio Tunjuelito” con el fin de contextualizar a los estudiantes acerca
de lo que se había planeado para las clases y despertar el interés de los mismos, posteriormente,
se trabaja alrededor del objeto matemático y las posibles consecuencias de ser contagiados con
30
bacterias como la Leptospira y la E. Coli cuyo objetivo consistió en relacionar aquellas
situaciones de la vida cotidiana que los afecta, con las matemáticas, para así, crear una postura
crítica sobre las posibles repercusiones que podría tener esto en la salud de la comunidad.
Finalmente se pidió a los estudiantes crear una historieta en la cual plasmaran lo que habían
aprendido en el transcurso de las clases, con la condición que ésta debía dejar un mensaje
reflexivo a quien la leyera, el propósito de la misma se basó en las ideas de Skovsmose (1999) ya
que este autor afirma que para ser crítico se debe “prestar atención a una situación crítica,
identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar ante ella” siendo esto último el
objetivo de esta actividad.
Para cumplir con estos propósitos se utilizaron diferentes herramientas técnicas e
instrumentos para recolectar los datos obtenidos una vez aplicada la propuesta. Por tal razón en
este trabajo se utilizaron:
 Grabación en audio y video: Planas (2008) muestra la importancia de la grabación
de audio y video en la recolección de datos en una investigación, mostrando pasos a seguir
para el análisis de éstos como la observación o el trabajo de campo, la comprensión que a su
vez implica lo vivenciado y finalmente, la reflexión que en definitiva es un trabajo de
comparación de procesos dados.

Notas de clases: son un destacado
instrumento de estudio, pues en ellas se registran las ideas o información más importante que
exponen una persona o un grupo; además, permiten recordar con precisión el contenido y
valor de lo que se hizo. Para lograr tener buenas notas de clase, no se debe perder ningún
detalle de lo que ocurre a nuestro alrededor.

Producciones de los estudiantes: la
recolección de las producciones de los estudiantes permitirá mostrar evidencia física del
trabajo realizado, esta será la que valide los aciertos y errores tenidos en el diseño e
implementación de la propuesta.
31
Para Pérez (1994), es importante tener clara la metodología que se utilizará, por ello
propone los cuatro pasos que se explican en este apartado, los cuales serán la columna vertebral
de este trabajo.
Cuarto paso: reflexión, interpretación e integración de resultados.
Para analizar los resultados obtenidos no solo debe describirse lo que se va obteniendo,
además se debe pretender comprender la realidad para tratar de mejorarla (reflexionar).
Para construir el informe de análisis se tomará lo dicho por Elliott (1981, citado en Pérez
1994) quien recomienda las siguientes fases para la elaboración de un informe:

Cómo evolucionó la idea general a través del tiempo

Cómo evolucionó la comprensión del problema

Qué medidas se tomará a luz de dicha comprensión

Los efectos que generaron las acciones tomadas

Las técnicas e instrumentos usados para las fases diagnostica y de acción.

Los problemas que se han encontrado.
32
ANÁLISIS
En el siguiente capítulo se mostrarán las reflexiones obtenidas al analizar los
resultados que se generaron al implementar la presente propuesta en estudiantes de grado
undécimo de la IED República de Colombia.
Como primera medida es pertinente recordar que se pretendía generar en los
estudiantes de grado undécimo pensamiento crítico a partir de la idea de ambientes de
aprendizaje propuesta por Skovsmose (2000), en torno al crecimiento bacteriológico, en
aguas estancadas.
Para ello el presente capítulo se ha dividido en cuatro apartados: Contexto,
Ambientes de aprendizaje, Reflexiones en torno al pensamiento crítico y Reflexiones en
torno a la Función exponencial.
CONTEXTO
Con el fin de contextualizar al lector se mostrará el macro-contexto y el microcontexto en el que se inscribió el ambiente de Aprendizaje, el primero de estos Valero
(2002), lo define como aquellos aspectos que tiene que ver con la cultura alrededor del
sujeto y su contexto general, para este trabajo se mirará la ubicación del colegio, algunas
metodologías institucionales y la participación activa de la docente encargada del grupo en
la implementación de la propuesta. Por otra parte el micro-contexto es definido, por esta
misma autora, como el que intenta definir los aspectos individuales del sujeto, sus intereses
evidentes, habilidades, comportamientos con la comunidad, limitaciones, entre otros.
MACRO CONTEXTO
La IED República de Colombia está ubicada en la localidad de Engativá en Bogotá
y se encuentra ubicada en medio de dos barrios de clase media, el barrio la estrada y el
barrio bellavista noroccidental los cuales son estrato 3.
33
La gran mayoría de estudiantes de este colegio viven en dichos barrios y sus
familias cuentan con una estabilidad económica que les permite pensar en una educación
superior. Por esta razón, la institución educativa cuenta con un currículo basado en valores
y en proyectos vida, en donde una de las propulsoras de los proyectos de vida es la
profesora encargada del curso, la cual constantemente recalcaba a los estudiantes la
pertinencia de seguir estudiando ya que el siguiente año se espera que la mayoría del salón
ingrese a la educación superior.
En cuanto a la institución educativa, esta cuenta con una superficie de casi una
manzana, además de un amplio patio con dos canchas de microfútbol, dos de baloncesto,
una de tenis (en cemento), una de voleibol, una pequeña zona verde y un espacio en donde
se intenta recrear algunos aspectos de la biología y la química en la propia institución
denominado “zona huerta”.
También se cuenta con un laboratorio de física y uno de química, así como de dos
salas de sistemas. La inversión en tecnología en esta institución es grande ya que cada salón
cuenta con video beam y algunos salones cuentan con televisores HD y tableros
inteligentes.
Este colegio cuenta con algunas problemáticas ambientales que pueden influir en el
comportamiento e interés de sus estudiantes, algunos de estos están relacionados con el
ruido, el monóxido de carbono, hidrocarburos y óxidos de nitrógeno, estos problemas se
encuentran asociados al tráfico vehicular que se genera en la carrera 68, 69, la calle 68 y la
avenida rojas calzadas que se encuentran en las inmediaciones de la institución educativa
Figura 4 Inmediaciones de la Institución Educativa
34
Un aspecto importante en el contexto de la institución, recae en una de sus esquinas
ya que esta se convirtió en un botadero de basura (principalmente los días martes y jueves
por ser estos los días en que pasa el camión de la basura), esto genera que constantemente
se encuentren escombros y basura, produciendo malos olores y el atascamiento de las
alcantarillas de la carrera 69, las cuales cuando se presenta una fuerte tormenta tienden a
inundarse.
Figura 5 Problemática basuras inmediaciones de la institución educativa
Otro aspecto importante a resaltar fue que se presentaron dificultades de tiempo
para el normal desarrollo de la propuesta, dado que las sesiones de clase eran de 50 minutos
aproximadamente de los cuales solo se podían hacer efectivos alrededor de 30 minutos de
cada clase mientras que los 20 minutos restantes se perdían en la llegada al salón de los
estudiantes, la organización del salón y la explicación de la actividad, esto se debe a que la
institución maneja una metodología en la cual los estudiantes al terminar su clase se
trasladan al salón del profesor con el cual tienen la siguiente clase, por esta razón algunos
puntos de las actividades no podrán ser analizados ya que no se cuenta con evidencia
suficiente para obtener algún tipo de resultados, aparte de esto se perdieron algunas clases
en actividades protocolarias y salidas pedagógicas programadas por la institución.
A pesar de los inconvenientes mencionados anteriormente, consideramos que los
datos obtenidos son suficientes para comparar la teoría, la práctica y las reflexiones
realizadas por los estudiantes para así validar la pertinencia de la presente propuesta.
35
MICRO CONTEXTO
Esta propuesta es aplicada a 40 estudiantes, aunque no siempre se contó con la
totalidad de estos debido a compromisos previos que ya se habían asumido con
anterioridad, como izadas de banderas, ensayo de entregas de insignias, reunión de
personero escolar, actividades académicas por parte de algunos estudiantes que se
encontraban realizando trabajos finales y salidas pedagógicas.
Algunos de los intereses de estos estudiantes corresponden a actividades deportivas,
tecnológicas y sociales, destacándose entre ellas actividades extracurriculares como salidas
pedagógicas. Así mismo se refleja el gusto por el futbol, el manejo de software y
herramientas computacionales y la creación de grafitis, donde se manifiesta que un
estudiante quiere dedicarse y vivir de este oficio, además de ello se evidencia que la
mayoría tienden a interesarse y a manifestar una actitud reflexiva frente a los problemas
sociales que los afectan directa o indirectamente, gracias a alunas preguntas esporádicas
realizadas en clase acerca de la contaminación en las inmediaciones de la institución, y
otras realizadas por la docente en la que se tenía en cuenta la zona sur de Bogotá para
realizar las edificaciones de la capital y la contaminación generada en la misma, con ello se
identifica algunas problemáticas ambientales dentro y fuera de la institución como las
basuras y la contaminación producida por los carros.
Con respecto a lo anterior y algunas respuestas de los estudiantes se puede concluir
que la contaminación es una problemática ambiental que los afecta directa o indirectamente
y les genera distintos sentimientos lo que les permite interesarse en estos temas, dado que
se logra llamar su atención como se puede apreciar en las siguientes respuestas,
respondiendo a la pregunta ¿Qué sentimientos les dejo el video Retrospectiva Rio
Tunjuelito?
36
Figura 6 ¿Qué sentimientos les dejo el video Retrospectiva Rio Tunjuelito?
Skovsmose (2000) afirma que un escenario de investigación solo puede darse si los
estudiantes aceptan la invitación a participar de un proceso de exploración y explicación, y
dado que los estudiantes no son solamente sujetos cognitivos “sino que son seres con una
existencia física y temporal, con sentimientos, con múltiples razones para involucrarse (o
no) en el aprendizaje de las matemáticas, y con una vida que trasciende los límites del aula
y de la escuela” podemos afirmar que se ha logrado motivar a los estudiantes a interesarse y
dar su punto de vista en un proceso sociopolítico, dado que se ha logrado unir su macrocontexto enmarcado por diferentes problemáticas ambientales con algunos de sus interés,
conllevando a que, en términos generales, los estudiantes se preocupen por aquellas malas
decisiones que hemos tomado en contra de la naturaleza.
AMBIENTE DE APRENDIZAJE
El ambiente de aprendizaje se construyó bajo 3 faces fundamentales, denominadas
sensibilización (clase 1), construcción del objeto matemático (clase 2, 3 y 4) y reflexión
(clase 5) y cada una de estas buscó generar una reflexión sobre una problemática ambiental
El crecimiento bacteriológico en aguas estancadas, especialmente en épocas de lluvia.
De acuerdo con lo anterior, el propósito fue analizar dicha problemática tomando
como herramienta a las matemáticas, particularmente al objeto matemático función
exponencial.
37
Cabe señalar que la propuesta se desarrolló con estudiantes de grado undécimo y se
denominó: crecimiento bacteriológico en aguas estancadas.
En cada una de estas fases se realizara un recorrido descriptivo que mostrará los
objetivos que se buscaban a través de los diferentes escenarios planteados. Para lo cual, se
relacionó los aportes teóricos que sustentaron el diseño de los escenarios
Para tal fin el ambiente se desarrolló en tres partes a saber

Sensibilización. En esta parte se buscó construir, con los estudiantes, las
primeras reflexiones acerca de la problemática.

Construcción del objeto matemático. En esta parte se buscó analizar la
problemática (el comportamiento de algunas bacterias en aguas estancadas) desde el objeto
matemático función exponencial.

Reflexión. Finalmente se buscó con los estudiantes, generar un espacio de
reflexión y postura crítica sobre la problemática desarrollada.
1. SENSIBILIZACIÓN
Para esta parte, se consideró una actividad denominada video-foro (ver anexo 1
actividad 1). Cuyo propósito consistía en construir, con los estudiantes, las primeras
reflexiones acerca de la problemática, predisponiéndolos para que aceptasen la invitación a
hacer parte del proceso educativo dado que la educación crítica no se realiza si las personas
involucradas en el no tienen la predisposición y la intención de actuar (skovsmose 1999).
Por lo anterior se presenta un video a los estudiantes mostrándoles algunas
problemáticas sociales que se originan a partir de la contaminación del rio Tunjuelito y de
cómo estas afectan a algunas familias bogotanas a corto mediano y largo plazo, seguido de
algunas preguntas que permitieron vivenciar el interés de los estudiantes por las
problemáticas que afectan la comunidad.
38
2. CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO:
En esta parte, se diseñaron 3 AA, cuyo propósito consistió en lograr que los
estudiantes representaran matemáticamente el crecimiento bacteriológico de algunas
bacterias como la E. Coli y la Leptospira y algunas bacterias positivas, las cuales se
modelan por medio de la función exponencial, así como las posibles repercusiones en
la salud de la comunidad al infectarse con estas bacterias, además de esto, cada uno
de los AA intentaban que los estudiantes pasaran de un tipo de representación de la
función a otro, de acuerdo con las ideas de Azcárate (1996).

E. Coli: esta actividad se desarrolla bajo el ambiente de aprendizaje
tipo 3 relacionando una semi-realidad con el paradigma del ejercicio, de tal forma que
se logra pasar de un tipo de representación de la función como la expresión verbal a
otro tipo de representación como la tabla de valores. En este ambiente se propuso una
lectura que informo a los estudiantes acerca de una bacteria peligrosa para la salud de
los seres humanos como la E. Coli

Leptospira: segundo ambiente tipo 4 y 5 en donde los estudiantes
pasaban de la representación gráfica a la fórmula o ecuación. Para llegar a las
representaciones, en este ambiente los estudiantes tomaron como base una lectura
informativa acerca de la bacteria Leptospira cuyo crecimiento de es de forma
exponencial.

Bacterias positivas: tercer ambiente de tipo 2 y 3 en donde se relaciona
la matemática pura con los escenarios de investigación, en este ambiente los
estudiantes pasan por todas las representaciones propuestas por Azcárate (1996). Para
lograr esto los estudiantes se informaron por medio de una lectura acerca de que
existen bacterias que no son perjudiciales para la salud de los seres humanos, sino que
por el contrario ayudan a combatir las bacterias que si son perjudiciales y las
bacterias buenas para poder combatir a las malas también tienen que tener un
crecimiento exponencial.
39
3. REFLEXIÓN
Por último se diseñó una actividad cuyo propósito fuera reflexionar sobre lo
perjudicial que podrían llegar a ser algunas bacterias que se encuentran en aguas
estancadas, por lo tanto se planteó realizar una historieta en la que se evidenciara una
postura crítica por parte del grupo frente a esta problemática, identificando algunas causas
del porque se dan estos estancamientos y/o consecuencias en la salud de los bogotanos.
El objetivo de esta actividad consistió en proponer distintas estrategias que le
permitieran a los estudiantes actuar frente a una situación crítica dado que para ser críticos
se requiere “prestar atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla,
comprenderla y reaccionar ante ella” (Skovsmose, 1999), siendo esto último lo más
importante de esta actividad permitiendo evidenciar las distintas estrategias que proponen
los estudiantes para solucionar el problema de la contaminación y de las bacterias presentes
en el rio Tunjuelito.
PENSAMIENTO CRÍTICO
A continuación se mostraran algunos registros de los estudiantes, en los cuales se
evidencian algunas de las características que propone Facione (1998) para ser un buen
pensador crítico, siendo estas interpretación, análisis, evaluación, inferencia, explicación y
autorregulación.
INTERPRETACIÓN
Dada la naturaleza de la presente propuesta es importante identificar como los
estudiantes interpretaron las problemáticas generadas por las aguas estancadas que se
originan a partir del desbordamiento del rio Tunjuelito al inundar el barrio Nuevo Muzú en
el 2011 y de cómo estas podrían llegar a afectar la comunidad de acuerdo con el video
Retrospectiva Rio Tunjuelito colocado en clase.
En los siguientes párrafos se evidencio el uso de la interpretación en tres
momentos distintos.
40

En el primero de ellos se comprende y se expresa algunas de las causas de la
contaminación del rio Tunjuelito a partir de sus propias creencias y de algunos datos
presentados durante la clase.

En el segundo momento se analiza los datos entregados por los docentes y se
realiza una interpretación de los mismos, para así poder pasar de un tipo de representación a
otra como la verbal a la tabla de valores.

Por último los estudiantes hicieron uso de su juicio, de sus creencias y/o
conocimientos para interpretar la valides de una gráfica que representaba el crecimiento
bacteriano.
En cada una de las clases los estudiantes comprenden y expresan el significado de
una variedad de experiencias, situaciones, datos, eventos juicios, convicciones, creencias,
reglas u/o procedimientos, siendo esto lo que debería realizar un buen pensador crítico
(Facione 1998) lo cual se sustentara en los siguientes párrafos.
El primer episodio de interpretación se presenta en la primera clase, en el cual se
solicita a los estudiantes responder a las siguientes preguntas teniendo en cuenta el video
Retrospectiva Rio Tunjuelito (ver anexo 1 preguntas 3 y 4 y anexo CD adjunto).

¿Cuáles problemáticas identificas en el rio?

¿Cómo se ve afectada la comunidad que habita cerca al rio por las
problemáticas de este?
41
Figura 7 ¿Cómo se ve afectada la comunidad que habita cerca al rio por las problemáticas de este?
Con respecto a lo anterior podemos concluir que se está haciendo uso de la
interpretación dado que se comprende y se infieren las principales causas de contaminación
del rio Tunjuelito dado que concluye que el 10% de los estudiantes afirman que la
corrupción y la mala administración hacen parte de los problemas que enfrenta el rio
Tunjuelito, mientras que el
90% restante identifican la contaminación como una
problemática presente gracias a diferentes factores como las basuras, la minería y las
inundaciones, con un 30%, 15% y 20% respectivamente, así mismo, se destacan otros
factores de riesgo presentes en el rio como los malos olores, las enfermedades, la pérdida
del cauce del rio, los derrumbes y los mosquitos con un 40% y se expresa la relevancia que
tiene esto en la salud de los colombianos al afirmarse que las aguas estancadas generan
enfermedades gracias a los microorganismos y químicos tóxicos presentes en ellas.
Por lo anterior se está interpretando estos sucesos como una crisis, terminología a la
que se asocian significados como represión, conflicto, contradicción, miseria, desigualdad,
devastación ecológica y explotación, lo que los conlleva a mostrar una postura crítica dado
que ser crítico significa “prestar atención a una situación crítica, identificarla, tratar de
captarla, comprenderla y reaccionar ante ella” (Skovsmose, 1999). Si bien no podemos
afirmar que los estudiantes sean críticos, pues crítica se refiere tanto a la actividad de juzgar
42
como de salir de un dilema, podemos inferir que estos cumplen con ciertas nociones o
requerimientos para ser críticos.
El segundo momento de interpretación se presenta en la segunda clase dado que se
pide a los estudiantes representar matemáticamente el comportamiento de una bacteria (E.
Coli) que se dividía una vez cada 20 minutos durante 11 horas, obteniendo como resultado
algunas representaciones como las siguientes, correspondientes al 75% de los estudiantes,
mientras que el 25 % restante no logra representar matemáticamente la información lo que
impide afirmar si se hace o no una correcta interpretación de los datos. Con respecto al
75% de los estudiantes, se evidencia una correcta interpretación y representación de la
forma en cómo se reproduce la bacteria E. Coli en cada lapso de tiempo, de tal forma, que
se está comprendiendo y expresando el significado de los datos tal como debe hacer un
pensador crítico al hacer uso de la interpretación (Facione, 1998).
Figura 8 Interpretación y representación de la forma en cómo se reproduce la bacteria E. Coli
El tercer momento de interpretación se presenta en la tercera clase dado que se pide
a los estudiantes contestar la siguiente pregunta analizando la función
“¿En qué
lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento bactereologico? Justifica tu respuesta
haciendo uso de las matemáticas [0,2], [2,4], [4,5]”
43
Figura 9 ¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento bacteriológico?
Por lo anterior se obtiene el 7.5% de las afirmaciones que representan esta imagen
no utilizan un procedimiento adecuado debido a que no se toman las expresiones dadas
como intervalos ([0,2], [2,4], [4,5]), sino como números racionales ((0,2), (2,4), (4,5)) lo
cual quiere decir que no se realiza una correcta interpretación de las expresiones
matemáticos ya que se debió comprender el significado de estos y su relevancia para
realizar una correcta lectura de los datos (Facione 1998).
Por otra parte el 25% de los estudiantes interpretan e infieren que a mayor tiempo
mayor cantidad de bacterias, mientras que el 37.5% hacen una correcta interpretación de las
expresiones matemáticos gracias a los procedimientos empleados para contestar esta
pregunta, lo cual se puede identificar en el análisis de los tipos de representación de la
función, por último no es posible identificar si el 30% de los estudiantes hacen o no una
correcta interpretación de este punto al no contar con un procedimiento o una correcta
sustentación que avale sus afirmaciones.
En este caso, el correcto análisis de un intervalo es fundamental ya que la correcta
interpretación de una gráfica es una de las actividades más complejas, en la cual se
requiere:
(…) describir la función representada de forma global atendiendo a las
características globales de la gráfica, es decir, a las variaciones que presenta. En lugar de
puntos determinados será necesario considerar intervalos en los que se mantienen o se
modifica de una determinada manera la variación de la función (Azcárate y Deulofeu,
1996, p.69).
44
Por lo anterior se evidencia que más del 50% de los estudiantes al momento de
enfrentarse a diferentes situaciones realizan algún tipo de interpretación, por esta razón
podemos concluir que más de la mitad de los estudiantes antes de enfrentasen a una
situación problema tienden a interpretar los datos o la información que se les brinda para
así dar una respuesta coherente a lo que se les pide.
ANÁLISIS
El análisis es visto por Facione (1998) como la habilidad que implica identificar las
relaciones inferenciales propuestas en los enunciados, preguntas, u otras formas de
representación dirigidas a expresar creencias, juicios y experiencias.
Para esta categoría solo se presentó una situación en el transcurso de toda la
propuesta, evidenciándose en la primera clase “Retrospectiva Rio Tunjuelito” en la cual se
demuestra que tan solo el 10% de los estudiantes mostro esta habilidad, permitiéndoles
expresar su opinión acerca de la pregunta; qué creen que querían decirle los autores del
video. Allí los estudiantes lograron relacionar las posibles repercusiones que podrían tener
nuestras propias acciones contra el medio ambiente, lo cual se evidencia en las dos
primeras imágenes, mientras que en la tercera imagen se intuye que el propósito del mismo
es generar un cambio que ayude a mitigar el daño al medio ambiente.
45
Figura 10 Posibles repercusiones que podrían tener nuestras propias acciones contra el medio ambiente
Como ya se ha mencionado, esta categoría solo se presentó una vez en este proceso
de enseñanza aprendizaje y con una cantidad baja de estudiantes, lo cual quiere decir que
las destrezas de los estudiantes para realizar cierto tipo de análisis inferenciales son algo
limitadas, a partir de esto también se puede concluir que las actividades que buscaban
fortalecer y desarrollar el análisis de los estudiantes fueron insuficientes lo que no les
permitió apropiarse de algunas nociones básicas que les permitiera relacionar algunas
variables cualitativas o cuantitativas.
EVALUACIÓN
Para esta categoría se presentan dos momentos distintos en los cuales se hacen
evidentes algunas destrezas de los estudiantes que les permite realizar una evaluación,
siendo definida por Facione (1998) como la capacidad para valorar la credibilidad de un
enunciado o cualquier otra representación que presenta o describe la percepción,
experiencia, situación, juicio, creencia, u opinión de una persona. Asimismo, valora la
fortaleza de relaciones inferenciales actuales, o previstas entre enunciados, descripciones,
preguntas u otras formas de representación.

En la primera de estas situaciones los estudiantes evaluaron la credibilidad
de una representación matemática realizada por una página web, comparando dicha
modelación con juicios propios y algunas nociones adquiridas acerca de los tipos de
representación de la función exponencial trabajadas con anterioridad, para poder ratificar
dichas afirmaciones.

En la segunda situación los estudiantes consultan fuentes externas para
valorar la credibilidad de lo que se ha trabajado en clase y así poder sacar sus propias
46
conclusiones lo que les permite encontrar algunas relaciones entre el problema de las aguas
estancadas con las enfermedades.
En la tercera clase se pide a los estudiantes analizar una afirmación hecha por una
página web en la cual se tiene en cuenta el crecimiento de la Leptospira modelado por la
función
Figura Análisis del crecimiento de la Leptospira
En estas respuestas tanto los que están de acuerdo con el tipo de representación
empleada como los que no lo están, recurren a evaluar la credibilidad de la página web que
sustenta esta información, para así juzgar si las evidencias que se tienen (
)
concuerdan con las conclusiones a las que se llega (gráfica cartesiana), lo cual quiere decir
que se ha realizado una evaluación de los datos utilizados y la forma en como estos han
sido representados, lo cual es lo que debería realizar un pensador crítico al evaluar un
enunciado, ya que se debe juzgar la credibilidad de quien lo escribe, comparando la
información con interpretaciones alternativas como lo menciona Facione (1998), esto se
puede afirmar ya que el 77.5% de los estudiantes dieron múltiples razones del porque la
gráfica que se empleó para dicha representación no era la más apropiada por el tipo de
variables empleadas.
47
El 22.5% restante no realizaron una correcta interpretación de las variables
utilizadas, por lo que no les fue posible realizar una correcta evaluación de los datos y la
gráfica cartesiana, así mismo no se logra comparar esto con interpretaciones alternas para
sustentar el porqué de sus afirmaciones.
La segunda situación de la categoría de evaluación se presenta en la última clase de
reflexiones donde se pide a los estudiantes construir una historieta que les permitiera dar a
conocer lo que habían aprendido en clase, dejando un mensaje a quien la leyera, por esta
razón algunos grupos como el siguiente publicaron diferentes factores que podrían
contribuir a que las personas previnieran el contagio con la bacteria E. Coli. Por lo anterior
cabe resaltar que durante las clases no se dio a conocer cómo prevenir la enfermedad,
implicando que este grupo investigo por su propia cuenta sobre la bacteria, permitiéndoles
evaluar la credibilidad de la información dada en clase por nosotros sobre lo perjudicial
que podría llegar a ser al infectar a los seres humanos, de esta forma, se evalúa la
información dada en clase y se compara con otras fuentes de información, para así poder
afirmar que la bacteria es perjudicial para el ser humano aunque se podría prevenir su
contagio, este procedimiento fue realizado por el 12.5% de los estudiantes sin embargo el
otro 87.5% restante no evidencian haber consultado otras fuentes de información para
validar si los temas tratados en clase eran verídicos por ello no es posible afirmar si el
87.5% de los estudiantes están verificando la valides de los datos expuestos en clase.
Figura 11 Reflexiones
48
INFERENCIA
Con respecto a esta categoría se encontraron dos situaciones distintas en los que se
puede caracterizar un uso de la inferencia por parte de los estudiantes, la cual es definida
por Facione (1998) como la capacidad para identificar y asegurar elementos necesarios
para derivar conclusiones razonables, considerando la información relevante y deduciendo
las consecuencias que fluyen de los datos, enunciados, principios, evidencias juicios,
creencias, opiniones, conceptos descripciones, preguntas u otras formas de representación.

En la primera situación se identificó la capacidad de los estudiantes para
comprender una problemática como las aguas estancadas que se encuentran presentes en
algunas comunidades y a partir de ello deducir las posibles consecuencias de este tipo de
fenómenos.

En la segunda situación se identifica y se interpreta la información dada en
clase para así deducir algunos resultados con respecto al comportamiento de las bacterias y
la función exponencial.

En la tercera situación se presentó la inferencia con mayor fuerza al
permitirle a los estudiantes identificar datos tanto cualitativos como cuantitativos para dar
algunas conclusiones coherentes con respecto al crecimiento bacteriológico y las aguas
estancadas.
En la primera clase, pregunta 7, se buscaba que los estudiantes dieran su opinión
sobre las aguas estancadas, algunas de las respuestas que llamaron nuestra atención las
presentamos a continuación:
49
Figura 12 Opinión de los estudiantes sobre las aguas estancadas
Con respecto a las anteriores respuestas dadas en clase por parte de los estudiantes
se evidencia una interpretación de lo que para ellos podría ser la consecuencia de mantener
el agua quieta por algún tiempo; siendo evidente en la segunda imagen en la cual se
menciona las bacterias como seres que habitan en las aguas estancadas, de esta manera se
consideró la información más relevante para identificar el problema y así dar algunas
conclusiones coherentes del porque las aguas estancadas son una problemática ambiental
gracias a los mosquitos los malos olores y las bacterias, como se afirma en la tercera
imagen, lo cual es lo que se busca en un pensador crítico.
En esta clase se pide a los estudiantes contestar la siguiente pregunta analizando la
función
“¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento
bacteriológico? Justifica tu respuesta haciendo uso de las matemáticas [0,2], [2,4], [4,5]”
Figura 13 ¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento bacteriológico? Justifica tu respuesta
Si observamos la tercera imagen se puede comprobar que este grupo toma un valor
del intervalo y lo remplaza en la fórmula general, este mismo procedimiento es utilizado
por el 47.5% de los estudiantes para determinar la cantidad de bacterias en ese periodo de
tiempo y así llegar a una conclusión, la cual se desprende de los datos evaluados, por lo que
se está identificando y asegurando los elementos necesarios como lo son; la fórmula del
crecimiento bacteriológico
, los intervalos de crecimiento ([0,2], [2,4],
50
[4,5]) y el número inicial de bacterias (4) y al realizar tal procedimiento, se hace uso de la
inferencia (Facione, 1998).
Figura 14 Evidencias 1, 2 y 3
En las evidencias 1, 2 y 3 observamos un nivel alto de inferencia, esto se da ya que
toman los conocimientos adquiridos en el desarrollo de la propuesta y los integran a sus
historietas es por ello que vemos como representan de forma algebraica la función
exponencial y tratan de explicar el crecimiento de las bacterias en el contexto de su
historieta por medio de la función exponencial, sin embargo en la tercera historieta los
estudiantes a parte de identificar la problemática tratan de plantear una alternativa para
reducir la contaminación concluyendo que hay que dejar de arrojar basura y crear una
bacteria buena que crezca exponencialmente y combata las bacterias malas. Este estudiante
evidencia el proceso llevado en esta propuesta, puesto que toma elementos de cada AA para
51
fortalecer la historieta y mostrar de la manera más completa la problemática que el
identifica, con el fin de generar conciencia en la comunidad de su colegio.
EXPLICACIÓN
Con respecto a esta categoría Facione (1998) la define como la capacidad para
denunciar los resultados a causa de las consecuencias del razonamiento personal,
justificándolo, en términos de consideraciones conceptuales, metodológicas de criterios y
de evidencias, de esta forma durante la propuesta se presentan 3 situaciones distintas en las
cuales se hace presente la explicación.

En la primera y segunda situación los estudiantes identifican algunas
problemáticas presentes en el desbordamiento de los ríos y las aguas estancadas
justificando sus argumentos a partir de las repercusiones que tiene esto en la salud de la
comunidad.

En la tercera situación los estudiantes hacen referencia a un tipo de
modelación matemática para justificar por qué el crecimiento bacteriológico representa una
problemática para la comunidad.
La explicación se evidenció en el estudiante 4 (transcripción video Retrospectiva
Rio Tunjuelito) cuando este afirma que el desbordamiento de los ríos si es un problema, y
defiende su posición al justificar que este puede generar aguas estancadas las cuales
producen virus y enfermedades. Esta habilidad es una de las más recurrentes en el
desarrollo del ambiente ya que los estudiantes intentan decir lo que piensan basándose en
ejemplos y en implicaciones que puedan dar credibilidad a su opinión.
La primera pregunta de la clase de sensibilización se buscaba que los estudiantes
plasmaran la primera impresión que les dejo el video, algunas de las respuestas de los
estudiantes fueron las siguientes:
52
Figura 15 Primera impresión video Retrospectiva Rio Tunjuelito
La explicación, es vista en la tercera imagen, ya que en ésta se identifica y expresa
su juicio personal al culpar al gobierno por la problemática del rio Tunjuelito lo cual no es
evidente en las dos primeras respuestas. Sin embargo en la cuarta imagen los estudiantes
además de identificar la problemática intentan platear una solución tomando conciencia de
algunos aspectos que podría hacer la población para que se manejen mejor las basuras y
estas no contaminen los ríos, así como la importancia de que las industrias tengan cuidado
al manejar los recursos naturales. Por lo anterior es evidente el uso de la explicación al
considerar algunos conceptos que podría mitigar el problema de la contaminación, de esta
forma se razona en sus orígenes y en las posibles soluciones.
Figura 16 La función exponencial para argumentar la reproducción acelerada de las bacterias en sus
historietas
En esta última clase llamada reflexiones se presenta lo que Facione (1998)
denomina explicación, esto lo vemos en el momento que los estudiantes utilizan la función
exponencial para argumentar la reproducción acelerada de las bacterias en sus historietas,
fortaleciendo su argumento con una representación de la función exponencial, también se
evidencia una fuerte tendencia a dar solución a los problemas que causan las bacterias en
53
sus historietas, como se evidencia en las siguientes dos escenas en donde aparte de dar
solución, los estudiantes tratan de dejar un mensaje de concientización para que en la vida
real no sucedan los problemas que están sucediendo en su historieta.
Figura 17 Mensaje de concientización
AUTORREGULACIÓN
La auto-regulación vista por Facione (1998) como la habilidad que implica el
monitoreo consistente de las propias actividades cognitivas, los elementos usados en dichas
actividades y los resultados derivados como consecuencia de la aplicación de habilidades
en el análisis y evaluación de los juicios inferenciales, en vista de validar o corregir tanto el
razonamiento como sus resultados. De esta forma se evidencia el uso de la autorregulación
en toda la actividad de reflexiones en el momento que los estudiantes reflexionan sobre lo
perjudicial que pueden llegar a ser sus acciones contra el medio ambiente.
En el caso de los estudiantes de grado 11 se reflejó esta habilidad al momento de
tratar de dar un mensaje de concientización a sus compañeros de colegio, acerca de la
problemática vista en este trabajo, ya que en algunas historietas se resalta la importancia
que tuvo esta propuesta; la cual según algunas historietas ayudo a concientizar a un grupo
de estudiantes acerca de una problemática latente en la ciudad de Bogotá y tratar de darle
solución a esta, tomando la función exponencial como medio para entenderla. Además en
las historietas se evidenció la auto-regulación, en el momento que los estudiantes detectan
errores en algunos hábitos de su vida cotidiana que favorecen a una problemática que puede
54
ser dañina para su comunidad e intentan concientizar a sus compañeros para que cambien
esos hábitos cotidianos y ayuden a combatir una problemática ambiental que perjudica a su
comunidad.
Figura 18 Historietas para concientizar acerca de la problemática ambiental
A pesar que la mayoría de grupos presentaron un nivel alto de inferencia, no todos
los estudiantes ostentaron la misma característica como se puede apreciar en la siguiente
imagen en la que claramente se trató de explicar el crecimiento de un ejército por medio de
la función exponencial, cometiendo errores al momento de tomar las consideraciones
conceptuales, ya que se evidencia que considera una ecuación igual a una función; este
55
error es repetido por varios estudiantes los cuales representan una función únicamente con
una ecuación truncando el concepto real de función el cual implica considerar otras
temáticas como proporcionalidad, variables dependientes e independientes, entre otros. De
esta forma se presentó un nivel bajo de inferencia por parte del grupo de estudiantes, la cual
implica identificar y asegurar elementos necesarios para derivar conclusiones razonables,
ya que la función que represento no es consecuente con los datos evidenciados, puesto que
el estudiante afirma que “cada soldado que ellos tenían se reproducía cada uno por dos en
dos horas”, esto demuestra que no especifica la variable independiente para la situación que
él propone, ya que en esta la variable
debe tener una característica especifica al no
pertenecer al conjunto de los números naturales, puesto él toma que las bacterias se
reproducen cada dos horas.
REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN
A continuación se mostrarán algunos registros de los estudiantes, en los cuales se
evidencian en manejo que se le dan a cada una de las representaciones de la función
propuestas por Azcárate y Deulofeu 1996 (tabla de valores, graficas cartesianas, formulas o
ecuaciones matemáticas y descripción verbal).
56
TABLA DE VALORES
La tabla de valores ofrece una visión cuantitativa que es fácilmente interpretable por
parte del estudiantado dado que una de sus características corresponde a una interpretación
de pares de valores, aunque en la mayoría de casos la información es parcial e insuficiente,
no se puede garantizar una correcta extracción de las características globales de una función
(Azcárate y Deulofeu 1996).
Al pedirles a los estudiantes en la segunda clase que representaran
matemáticamente el comportamiento de una bacteria (E. Coli) que se dividía una vez cada
20 minutos durante 11 horas, algunos utilizaron tablas de valores para representar dicha
correspondencia.
Figura 19 Representación matemáticamente el comportamiento de una bacteria (E. Coli) que se dividía una
vez cada 20 minutos durante 11 horas
En la imagen de la izquierda podemos apreciar que un grupo de estudiantes
representa el tiempo por medio de intervalos, el primer de estos dura 20 minutos mientras
que los siguientes tan solo 19 minutos, lo cual no representa con exactitud lo planteado en
clase, a pesar de ello, podemos resaltar que se hace una correcta interpretación del número
total de bacterias al finalizar cada periodo de tiempo (aunque este no este correctamente
representado).
57
Con respecto a la imagen de la derecha en la parte izquierda de esta, podemos
identificar un bosquejo que representa tanto el número total de bacterias como el tiempo
trascurrido, al realizar dicho procedimiento este grupo de estudiantes identifica que para
tener el total de bacterias de una nueva generación, hay que multiplicar el total de bacterias
de la generación inmediatamente anterior por dos, sin embargo no se logra relacionar (en la
tabla de la derecha) el tiempo transcurrido con el total de generaciones de la E. Coli,
impidiendo que se realice una correcta representación de la función exponencial por medio
de una tabla de valores, este tipo de circunstancias es común en la mayoría de los
estudiantes, quienes encuentran una ley que relaciona dos variables siendo incapaces de
representarla en un sistema de símbolos algebraicos aceptables tal como lo afirma Azcárate
y Deulofeu 1996.
En la tercera clase se pide a los estudiantes elaborar un tabla que modele el
crecimiento de 20 (veinte) bacterias de Leptospira en un lapso de 30 días, para lo cual se
da a conocer la fórmula general de dicha bacteria siendo esta
total de bacterias en determinado tiempo,
donde
el número inicial de bacterias y
es el
el número
de generaciones de la Leptospira o tiempo de reproducción, para obtener los valores de la
tabla, era necesario que los estudiantes remplazaran
por 20 y
por los días
transcurridos (0, 1, 2,…,n), sin embargo observamos que algunos de los estudiantes no
interpretaron de una forma adecuada las variables expuestas en la función dada.
Figura 20 Representación del crecimiento de 20 (veinte) bacterias de Leptospira en un lapso de 30 días
Esto se puede afirmar dado que en la imagen de la izquierda hay 20 bacterias en el
día 1, sin embargo esto no es posible dado que al remplazar 1 en la fórmula el total de
58
bacterias seria 40 y no 20
, además de esto podemos observar que al
momento de llagar a una generalización los estudiantes confunden las variables utilizadas
remplazando
por
lo cual no es posible dado que
es una letra evaluada y
es una variable.
Por otro lado podemos apreciar que se hace una correcta interpretación por parte de
unos grupos de estudiantes de las variables utilizadas en la fórmula, dado que se logra
identificar que la Leptospira inicia con un cultivo de 20 bacterias cuando el tiempo de
reproducción todavía no ha iniciado, es decir cuando
forma se logra identificar
como una constante y
, de esta
como una variable
Tanto en la segunda como en la tercera clase se les presentó algunas dificultades a
los estudiantes que no les permitió pasar de un tipo de representación como el lenguaje
natural a otro tipo de representación como el tabular dado que en la segunda clase el 15%
de los estudiantes no lograron relacionar las bacterias en función del tiempo transcurrido a
pesar de haber identificado correctamente la primera de estas variables, algo similar ocurrió
en la tercera clase dado que el 5% presento este mismo inconveniente, mientras que otro
5% presento inconvenientes al no poder representar el tiempo transcurrido con la totalidad
de bacterias, para un total del 10% de estudiantes que presentaron dificultades. Este tipo de
actividades fueron pertinentes ya que se logró pasar de un tipo de representación a otro sin
que la mayoría de estudiantes presentaran mayores inconvenientes en estos procedimientos
puesto que el 85% y el 90% realizaron un buen trabajo en la segunda y tercera clase
respectivamente y dado que este tipo de actividades son perfectamente abordables
permitieron trabajar situaciones semi-reales que sirven como soporte para la comprensión
del concepto (Azcárate y Deulofeu 1996).
59
COMPLETAR TABLAS
En la segunda clase se les pidió a los estudiantes completar la siguiente tabla de
valores basándose en el crecimiento bacteriológico de la E. Coli, para ello se les da a
entender la forma en cómo se reproduce la bacteria, a partir de la lectura “CONOZCAMOS A
LA E. COLI”
(anexo 1, actividad 2).
Tabla 1
De la misma manera se solicita a los estuantes contestar algunas preguntas teniendo
en cuenta la siguiente información:

“Un grupo de científicos observó que el número de bacterias E. Coli
aumenta con el transcurso del tiempo. Se ha hallado que si el número inicial de
bacterias es 3 pasada 1 hora, a las dos horas habrá 9, y a las 3 horas siguientes habrá
81, y así sucesivamente”.
De acuerdo con esta información se ha solicitado a los estudiantes que identifiquen
cuantas bacterias de E. Coli habría al cabo de 8 y 120 horas.
Figura 21
En esta imagen podemos identificar que se trata de realizar una representación de la
cantidad de bacterias y el tiempo trascurrido en horas aunque no se hace de la manera
correcta, dado que el cultivo inicial es de 3 bacterias y luego de 1 hora el cultivo haciende a
9, de esta forma al pasar 4 horas en total habrían 81 bacterias, por esta razón la relación
60
entre ambas variables no es correcta a pesar de esto se logra identificar que el crecimiento
bacteriológico en este caso está dado por potencias de 3.
Figura 22
Con respecto al punto de completar las tablas, todos los grupos coincidieron en que
la imagen de 2 es 9 cuando la función es
, de esta misma forma no se presentaron
inconvenientes al interpretar que la contra imagen de 81 es 4 para esta misma función, sin
embargo dos grupos presentaron inconvenientes al hallar la imagen cuando
(segunda
imagen), dado que no tuvieron en cuenta que la tabla no presentaba valores continuos como
es el caso del número 5 que no se encuentra presente en los valores de ,
supusieron que la imagen cuando
era
en vez de
por esta razón
.
Tanto en el primer punto como en el segundo no se presentan mayores
inconvenientes al momento de determinar la cantidad de bacterias luego de un proceso
reproductivo, aunque no sucede lo mismo con el tiempo transcurrido, siendo este el que
mayores problemas presenta a los estudiantes, al no lograr representar adecuadamente la
cantidad de bacterias en función del tiempo. Este tipo de ejercicios son convenientes dado
que les permite a los estudiantes a partir de un par de valores dados de las variables
independientes llegar a otros valores de las variables dependientes y viceversa o plantear
una ecuación general para todo el modelo, como lo menciona Azcárate y Deulofeu (1996),
autores quienes indagaron este mismo tema obteniendo como resultado que un 59% de
estudiantes completan correctamente los espacios faltantes en la tabla de valores, un poco
diferente a los resultados obtenidos por parte de los estudiantes de 11 del colegio Republica
de Colombia con un 80% de asertividad, lo que indica que fue pertinente darles a conocer a
los estudiantes algunas de las características de las bacterias, aunque no es posible
garantizar que tengan este mismo desempeño al completar otras tablas con otro tipo de
funciones.
61
GRÁFICAS CARTESIANAS
En esta clase (3) se pide a los estudiantes analizar el comportamiento de la siguiente
gráfica, de tal forma que argumenten la valides de dicha representación teniendo en cuenta
que ésta corresponde al crecimiento bacteriológico de la Leptospira que se encuentra
modelado por la función
.
Figura 23
Algunas de las respuestas más comunes dadas por los estudiantes, resaltan la forma
de cómo estos interpretaron los datos presentes en esta representación.
Figura 24
En estas afirmaciones dadas por dos grupos de estudiantes podemos apreciar que no
se está de acuerdo en cómo se representan los datos, dado que en ambas apreciaciones se
está abogando por la idea de variables discretas, esto se puede denotar claramente en la
respuesta de la derecha, mientras que en la de la izquierda no son tan precisos en mencionar
variables discretas, a pesar de ello podemos observar que se hace referencia a la
reproducción de las bacterias las cuales corresponden a la variable dependiente y dado que
las bacterias se reproducen por bipartición no podemos hablar de ellas como si fueran
62
variables continuas, que es lo que nos tratan de decir los integrantes del grupo de la
izquierda al afirmar que “no podemos dividir una bacteria en medio día” dado que una
bacteria se divide al completar el día completo según la información dada en la guía.
Figura 25
En las anteriores imágenes se puede denotar que algunos grupos afirman que el
número inicial de un cultivo de bacterias es igual a 1 de acuerdo con la interpretación que
se le da a la gráfica modelada por la función
, esto es posible dado que cuando
lo cual era visible en la guía, a pesar que esto es intuitivo en la gráfica un
grupo opto por hacer uso de la fórmula
y remplazar las variables
comparando ambos resultados como se manifiesta en la segunda imagen dado que cuando
lo que comprueba que
, aunque el procedimiento y es correcto en la
segunda imagen este grupo de estudiantes no tienen en cuenta que las variables son de tipo
discreto y no continuo al afirmar que están de acuerdo con la representación de la gráfica
cartesiana.
Con el fin que los estudiantes lograran pasar de un tipo de representación a otro en
esta misma clase se le solicita que representen la información o los datos de la gráfica del
punto (a) por medio de una tabla de valores, sin embargo algunos de los grupos no
entendieron lo que había que hacer y realizaron una gráfica teniendo en cuenta estos
mismos valores a excepción del grupo de la derecha (2º imagen) quien realizo la tabla de
valores y la gráfica cartesiana al mismo tiempo.
63
Figura 26
En estas dos representaciones se presentan algunos inconvenientes con el tipo de
representación y el tipo de escala que se está manejando. En la primera imagen la escala del
eje (y) debería comenzar en 20 dejando un espacio prudente al punto coordenado (0,0), y el
siguiente punto en el eje (y) debería ser 40 y no 335544320, con respecto a la segunda
imagen se presenta un error similar ya que la unidad de medida es igual para todas las
potencias de 2, la presencia de estos errores en el aula de clase son frecuentes
especialmente con estudiantes entre los 12 y 14 años aunque pueden presentarse en edades
más avanzadas siendo los más comunes la inversión en el orden de las coordenadas,
representación de puntos coordenados con números racionales, concepción discreta de los
puntos de una recta y errores en la graduación de los ejes (Azcárate y Deulofeu 1996)
siendo este último el único inconveniente que se presentó durante las clases como ya se ha
mencionado.
Tanto las gráficas como las representaciones tabulares nos ofrecen características
distintas de una función, dado que la primera nos ofrece una mirada cuantitativa y
cualitativa mientras que la segunda de estas nos da una visión cuantitativa (Azcárate y
Deulofeu 1996). La importancia de una de una o de otra depende de las características de la
función que se quieran representar y como en este caso se quería pasar de lo gráfico a lo
tabular se requería de una comprensión e interpretación de la gráfica, lo cual no es posible
analizar al no tener un registro de la representación tabular en la primera imagen.
64
Intervalos
Otro punto que pretendía que los estudiantes analizaran el comportamiento de las
variables a partir del análisis de una gráfica correspondía a la siguiente pregunta, teniendo
en cuenta que la gráfica correspondía a la función

“¿En qué lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento de
bacterias? Justifica tu respuesta haciendo uso de las matemáticas [0,2], [2,4], [4,5]”
Figura 27
Estas imágenes representan las respuestas dadas por los grupos de trabajo, donde se
resalta que el mayor crecimiento bacteriológico se da en el intervalo cerrado [4,5],
correspondiente al 100% de las respuestas, aunque los procedimientos y los argumentos son
distintos. En la primera imagen (de izquierda a derecha) se afirma que hay un mayor
crecimiento en el intervalo ([4,5]) sin dar ninguna justificación lo que representa el 30% de
las respuestas obtenidas, en cambio, un 25% asevera que a mayor tiempo habrá una mayor
cantidad de bacterias, lo cual es correcto, dado que la función exponencial siempre es de
carácter creciente, a pesar que esta afirmación es correcta no se utiliza ningún
procedimiento para llegar a esta conclusión, por lo que es probable que dicha afirmación se
halla originado a partir del análisis de la gráfica presentada en clase, esto lo podemos
apreciar en la segunda imagen mientras que en la tercera y cuarta los dos grupos de
estudiantes utilizan la fórmula que se les había dado del crecimiento bacteriológico de la
Leptospira para determinar la cantidad de bacterias en un determinado tiempo, sin embargo,
65
no tienen en cuenta las condiciones de la gráfica, ya que en esta el cultivo inicial es de 1
bacteria y en la de estos dos grupos es de 4 y 10 bacterias respectivamente, este tipo de
procedimientos fue similar en el 37.5% de los estudiantes.
FÓRMULAS O ECUACIONES MATEMÁTICAS
Para lograr una generalización por parte de los estudiantes, se les invita a determinar
la cantidad de bacterias al cabo de 8, 15 y 30 días tomando como referencia la siguiente
tabla de valores y a partir de la misma encontrar un modelo matemático que expresase la
relación funcional entre las horas transcurridas y el total de bacterias.
Tabla 2
Al solucionar este punto un grupo de estudiantes realizó una regla de tres para
determinar a qué equivalían 8 horas en términos de un día, para así poder determinar la
cantidad de bacterias, lo cual es una buena estrategia que permite hallar la cantidad de horas
que han trascurrido al cabo de 8, 15, 120 días, sin embargo este procedimiento no se
efectuó correctamente, como podemos visualizar en las siguiente imagen, puesto que se
multiplican días por días/horas y el resultado daría en términos de días sobre horas y no
horas como el grupo pretendía, a pesar que este procedimiento es incorrecto se puede
denotar que el grupo reconoce la cantidad de bacterias al iniciar el cultivo que es tres, la
cantidad de veces que se divide una bacteria por tiempo transcurrido, lo cual se modela con
el número 2 al ser por bipartición y la variable que determina la cantidad de veces que se
duplica una bacteria en un tiempo determinado (n).
66
Figura 28
“Tanto la obtención de un modelo en general como la obtención de una fórmula que
exprese una relación funcional presentan importantes dificultades de aprendizaje”, donde se
requiere abstraer lo esencial de la función estudiada (Azcárate y Deulofeu, 1996, p.82), lo
cual no presentó mayores inconvenientes en los estudiantes dado que estos identifican que
el crecimiento bacteriológico está dado por la función
identificando No
como el número inicial de bacterias, 2 como el tipo de reproducción que es por bipartición
y
como el tiempo transcurrido, donde cada uno de estos factores representan lo esencial
de la función permitiéndoles comprender una relación funcional entre el cultivo de
bacterias y el tiempo de reproducción de las mismas.
Dependencia entre variables
Uno de los propósitos que se plantearon en estas actividades consistía en analizar e
interpretar algunas de las características de las funciones exponenciales, entre ellas las
relacionadas con la utilización de las variables dado que establecer la fórmula de una
función requiere de abstraer la regla que da la dependencia entre dos variables implicando
el conocimiento del lenguaje algebraico (Azcárate & Deulofeu, 1996), por esta razón
algunos de los puntos de las guías pretendían que los estudiantes comprendieran la
importancia de las variables utilizadas en la reproducción de los cultivos de bacterias como
veremos a continuación.
Para esto se da a conocer lo siguiente “si se sabe que el número inicial de un cultivo
de bacterias de Leptospira es 20, y que cada día hay una nueva generación, determine
¿cuantas veces se divide una bacteria por día, si el cultivo dura 30 días?”
67
Figura 29
Los procedimientos en estas gráficas son similares a excepción de la primera
imagen en la que los estudiantes confunden el tiempo de reproducción y anotan 20 en vez
de 30 sin embargo el resultado es correcto, probablemente este error se originó por una
desatención al escribir, dado que los estudiantes hacen uso de la fórmula
para determinar la cantidad de bacterias que se generaron al finalizar los 30 días de
reproducción, de tal forma que toman la cantidad de bacterias antes de iniciar la
reproducción que es igual a 20
y lo remplazan en la fórmula, posteriormente toman
los días transcurridos como la variable independiente
, para así determinar el total de
bacterias luego de finalizar el tiempo de reproducción.
A pesar que estos procedimientos fueron realizados de una forma correcta los
estudiantes no lograron dar respuesta a la pregunta que se les planteaba la cual era
“¿cuántas veces se divide una bacteria por día, si el cultivo dura 30 días?”, para lo cual se
necesitaba comparar el cultivo de bacterias al finalizar el día con la cantidad de bacterias al
iniciar el día, de tal forma que interpretaran que el cultivo de bacterias siempre aumentaría
el doble que el día anterior, por esta razón una bacteria se dividiría una vez por día.
DESCRIPCIÓN VERBAL
En la tercera clase se pide a los estudiantes plantear una situación problema en la
cual se tuviera en cuenta el crecimiento de una bacteria durante 4 días, para lo cual se da la
siguiente tabla de valores con el fin que los estudiantes lograrán describir verbalmente la
relación entre las variables dependiente e independiente.
68
Tabla 3
De lo anterior no se puede concluir nada ya que el tiempo de la clase no fue
suficiente para que los estudiantes lograrán completar esta actividad, por lo tanto no es
posible concluir si los estudiantes utilizan un lenguaje común para dar una visión
descriptiva y cualitativa de dicha relación funcional que es lo que se debe hacer en la
descripción verbal para representar una función.
A pesar que no se puede concluir que los estudiantes representan una función por
medio de la descripción verbal se puede afirmar que éstos logran pasar de la representación
verbal a la algebraica, de la verbal a la gráfica y de la verbal a la tabla de valores como se
pudo apreciar en los anteriores apartados dado que en la mayoría de clases se entregaba una
situación problema describiendo el crecimiento bacteriológico de algunas bacterias que
habitan en las aguas estancadas.
69
CONCLUSIONES
En este apartado se muestran las conclusiones obtenidas a partir del diseño e
implementación de la propuesta de aprendizaje (anteriormente plasmada) aplicada a
estudiantes de grado undécimo en torno al crecimiento bacteriológico de aguas estancadas.
Para lo anterior empezaremos contrastando los objetivos planteados con los resultados
obtenidos. Además y como parte de la reflexión en la realización de este trabajo se
mostrarán dificultades y aciertos adquiridos en el desarrollo de la propuesta, para finalizar
con los aportes obtenidos a nuestra formación crítica y docente.
EN RELACIÓN CON LOS OBJETIVOS
En el caso de los objetivos, se puede concluir que éstos fueron parcialmente
alcanzados, gracias a los ambientes de aprendizajes diseñados y planteados. Teniendo en
cuenta que en el macro contexto y micro contexto, se logró que los estudiantes tomarán
conciencia en torno a la contaminación en los ríos y las aguas estancadas, fomentando así el
pensamiento crítico. Esto se dio gracias a que los escenarios permitieron que los estudiantes
de grado once de la IED República de Colombia evidenciaran algunas características que
constituyen un pensador crítico, siendo éstas según Facione (1998), la interpretación, el
análisis, la evaluación, la inferencia, la explicación y la autorregulación.
En la interpretación la cual implica comprender y expresar el significado de una
variedad de experiencias, situaciones, datos, eventos, juicios, convenciones, creencias,
reglas u/o procedimientos. Podemos afirmar según el análisis presentado en el capítulo
anterior que los estudiantes en su gran mayoría tienen un buen desempeño en esta categoría
ya que a través de los AA los estudiantes logran interpretar lógicamente el ambiente y
ajustarlo a su contexto.
En cuanto a la característica de análisis los estudiantes tuvieron un buen desempeño
en esta ya que lograron identificar las relaciones inferenciales propuestas y las actuales en
los enunciados, preguntas, conceptos, u otras formas de representación dirigidas a expresar
creencias, juicios, experiencias, razones, u opiniones. Esto se vio reflejado al momento de
70
comprender las problemáticas planteadas en los AA y de plasmar su punto de vista en las
respuestas a las preguntas que permitían reflexionar sobre el contexto de la problemática.
La característica de evaluación nos permitió afirmar que, en su mayoría, los
estudiantes lograron presentar conclusiones con juicios de valor argumentados, respecto a
la validez de los valores mostrados en las diferentes representaciones de la función, ya que
pudieron extraer argumentos necesarios para establecer el grado de validez de las
representaciones y reconocer cuáles de las representaciones correspondían a cada AA.
Para la inferencia y la explicación, se puede afirmar que los estudiantes, al final del
proceso, pudieron deducir, elaborar y comprobar conjeturas o hipótesis, a partir de los
aspectos matemáticos inmersos en la problemática de aguas estancadas, esto se evidenció,
especialmente en el último AA, en el cual realizaron una historieta con una postura crítica
frente a la problemática de las aguas estancadas.
EN RELACIÓN CON LAS DIFICULTADES Y ACIERTOS
En cuanto a la construcción de la propuesta, se puede afirmar que los AA que se
plantearon en ésta, resultan ser un buen espacio para potenciar características y
disposiciones propias del pensamiento crítico; no obstante, la implementación y el análisis
de dichos ambientes derivó en algunos puntos posibles para reforzar, pues se hallaron
algunos AA con resultados especiales, por ejemplo: en la presentación y posterior reflexión
del video(Retrospectiva Rio Tunjuelito) se evidenció que éste fue el único que tiene un
nivel bajo con respecto a la inferencia, los AA uno(E. Coli) , dos (Leptospira) y tres
(bacterias positivas) requieren más tiempo del presupuestado en la propuesta y en la última
fase de reflexiones se requiere de una participación más activa de toda la institución
educativa.
Por lo anterior a continuación se describen los Ambientes de Aprendizaje que
configuraron esta propuesta de enseñanza y aprendizaje considerando las modificaciones
que se realizaron después de la implementación de éstos en el aula.

Primer fase sensibilización
71
En esta fase el AA diseñado tiene la intención de reconocer las interacciones entre
los estudiantes, hacia el docente y hacia las matemáticas, reconocer la problemática del
micro contexto y macro contexto de los estudiantes, acercar a los estudiantes a la
problemática y a la noción de función exponencial que se pueden abordar desde dicha
problemática.
Por lo anterior en este paso se tomó como referencia el macro y micro contexto de
los estudiantes así como de las concepciones que tiene el estudiante en torno a la
problemática, esto fue pertinente para la propuesta aunque cabe resaltar que el ambiente
diseñado en este paso refuerza la interpretación pero deja la inferencia a un lado, esto se
podría arreglar formulando preguntas que lleven a los estudiantes a tener niveles más altos
de análisis e inferencia.

Segunda fase construcción del objeto matemático
En esta fase se construyeron tres AA, los cuales les permitieron a los estudiantes
abordar y/o dar solución a la problemática, en este momento se evidenció la necesidad de
hacer uso de saberes matemáticos (función exponencial) así como su utilidad en situaciones
cotidianas. En esta etapa es en la que más podrán emerger Ambientes de Aprendizaje de
todos los tipos, según la caracterización realizada por Skovsmose (2000), puesto que es allí
en donde se puede relacionar la matemática pura, la semi-realidad y las situaciones de la
vida real con el paradigma del ejercicio y los escenarios de investigación.
Para esta fase, partiendo de la necesidad de que los estudiantes se concienticen de la
problemática e intenten querer conocer más acerca de esta, se plantean tres Ambientes de
Aprendizaje que encapsulan las nociones de función exponencial, de la siguiente manera:
AA 2: E. Coli, AA 3: Leptospira
y AA 4: baterías positivas. Estos tres AA fueron
pertinentes para cumplir los objetivos propuestos aunque cabe resaltar que estos demandan
más tiempo del planeado en esta propuesta; ya que cada AA permite trabajar a profundidad
algunas de las formas de representar el objeto matemático desarrollado (función
exponencial).

Tercera fase reflexión
72
Es en esta etapa en donde los estudiantes aterrizarán sus propuestas, proyectos,
estrategias y soluciones, mostrando las posibles soluciones a la problemática después de
haber entendido ésta, con ayuda del objeto matemático (función exponencial).
Busca que a través de una historieta plasmen su postura crítica en torno a la
problemática de las aguas estancadas y muestren el objeto matemático inmerso en ésta,
sumado a esto se sugiere que luego de la socialización de sus producciones se dé un
momento en el que los estudiantes debatan sus diferentes puntos de vista, con el fin de que
complementen su trabajo y concluyan el ciclo de aprendizaje con esta propuesta de AA.
Cabe resaltar que las propuestas de enseñanza y aprendizaje de la noción de función
exponencial a través del enfoque de la Educación Matemática Crítica son poco usuales en
las aulas de clase, por lo que se buscó a través de esta propuesta dar un aporte a la
implementación de Ambientes de Aprendizaje en la enseñanza de la función exponencial,
propósito que se logró, viéndose reflejado en la actitud de la docente de la institución, quien
se mostró gratamente admirada e interesada por este tipo de trabajos, manifestando su
interés en conocer acerca de esta teoría ya que consideraba que ésta motiva a los
estudiantes a indagar por problemas de su contexto viendo las matemáticas como una
necesidad para entender algunos aspectos del mismo. Además la docente señaló que le
causaba asombro y felicidad ver que al final de esta propuesta los estudiantes se vieron más
interesados en los problemas de contaminación, en las aguas estancadas, en la explotación
de recursos sin darse cuenta que allí trabajaron las matemáticas implícitamente.
APORTES A LA FORMACIÓN CRÍTICA Y DOCENTE
Esta propuesta nos permitió, como futuros docentes aprender una forma de
enseñanza de las matemáticas diferente a las tradicionales, ya que la educación matemática
crítica resalta las interacciones presentes en el aula y permite desarrollar tanto en
estudiantes como en docentes un interés por conocer y actuar frente a las problemáticas del
contexto; además permite ver a los estudiantes no como sujetos pasivos, sino como suejetos
activos y transformadores de su realidad, y es ahí en donde como docentes se adquiere una
73
gran responsabilidad con la sociedad por ser los mediadores que les posibilitan a los
estudiantes comprender el mundo en el que se encuentran para tomar una postura crítica
frente a los sucesos en los que están inmersos.
Esperamos en esta propuesta contribuir a la educación matemática crítica, ya que
este trabajo servirá como antecedente para futuros investigadores que quieran conocer
formas de enseñar diferentes a las tradicionales, esperamos que este trabajo motive a
compañeros del proyecto curricular LEBEM que van a empezar a realizar su trabajo de
grado, para que se inclinen por esta línea. (Arias & Clavijo , 2013)
74
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77
ANEXOS
ANEXO 1: ESCENARIO CRECIMIENTO DE BACTERIAS EN
AGUAS ESTANCADAS
A continuación se presenta el escenario que será desarrollado con los estudiantes de
grado undécimo. Dicho escenario busca generar una reflexión sobre una problemática
ambiental como lo son las aguas estancadas generadas por los desbordamientos de los ríos
en época de lluvias. El propósito es analizar dicha problemática tomando como herramienta
a las matemáticas, particularmente al objeto matemático función exponencial.
Para tal fin el escenario se desarrollará en tres partes a saber

Sensibilización. En esta parte se busca construir, con los estudiantes, las
primeras reflexiones acerca de la problemática.

Construcción del objeto matemático. En esta parte se busca analizar la
problemática (el comportamiento de algunas bacterias en aguas estancadas) desde el
objeto matemático función exponencial.

Reflexión. Finalmente se busca generar un espacio con los estudiantes de
reflexión y postura crítica sobre la problemática desarrollada.
1. SENSIBILIZACIÓN
Para esta parte, se ha considerado una actividad denominada video-foro. El
propósito de esta actividad es construir, con los estudiantes, las primeras reflexiones acerca
de la problemática
VIDEO –FORO.
Descripción
Para esta unidad se hará un video-foro que permita al estudiante generar las
primeras reflexiones sobre el problema de las aguas estancadas, sus consecuencias e
78
implicaciones en la salud de los bogotanos que transitan por los alrededores del rio
Tunjuelito y de esta forma captar la atención de los estudiantes para que se interesen en el
trabajo a realizar.
Objetivos

Construir las primeras reflexiones acerca de la problemática del rio
Tunjuelito.

Captar la atención de los estudiantes por medio del video acerca de la
importancia del trabajo a realizar.
Momentos:
Primer momento:
Se iniciará con la presentación de los docentes y la explicación del trabajo que se
quiere realizar con los estudiantes, además se buscará conocer a los estudiantes con el fin
de entablar una buena relación, que permita realizar un trabajo ameno en donde los
docentes y estudiantes interactúen en torno a la problemática.
Segundo momento:
Se mostrará un video en el cual se espera la completa atención de los estudiantes,
con el fin de tener insumos para hablar en torno a la problemática presentada. Dicho video
se realizó tomando ideas de los videos “Problemática del rio Tunjuelito” y del video “río
Tunjuelito”. El video se puede encontrar en el anexo 2, CD adjunto.
El video comenzará con una presentación del rio Tunjuelito, en donde se mostrará
su nacimiento en el embalse de Chisacá, su recorrido por Bogotá y la importancia de este a
través de la historia de la ciudad. Después se mostrarán algunas problemáticas que tiene
este rio en la actualidad como lo son la minería, las aguas estancadas, la contaminación y el
desbordamiento.
Tercer momento:
Se comenzará el foro tomando como base las siguientes preguntas, las cuales tienen
como fin guiar las discusiones en torno a la problemática del rio Tunjuelito.
79
En algunas páginas web (https://www.youtube.com/watch?v=epSDlfIAybQ), puede
encontrarse que un video foro es una manera de hacer uso de la imagen audiovisual para
generar procesos de aprendizaje en un colectivo de trabajo académico, además se plantean
siete pautas que se deben tener en cuenta a la hora de realizar el video foro.
1. acuerdo previo para la realización del video, es decir escoger el video de acuerdo a
los objetivos que regulan el video foro.
2. Considerar la población, es decir tener en cuenta el contexto de los estudiantes de tal
forma que el video no produzca un impacto negativo en ellos.
3. Presentación del video, tomando en cuenta que al inicio del video se debe realizar
una pequeña síntesis de este dando a conocer datos como duración trama y objetivo.
4. Tomar un receso si el video es extenso
5. Al terminar el video utilizar un instrumento previamente planeado (oral o escrito),
para evaluar la comprensión del video por parte de los estudiantes.
6. La actividad debe estar dirigida por un moderador
7. Deben lograrse conclusiones en torno al video
Por lo anterior se plantearon las siguientes preguntas que guiarán la discusión en
torno a las problemáticas planteada en el video.







¿Qué sensación te ha dejado el video?
¿Qué intentaron decirnos los realizadores de este?
¿Cuáles problemáticas identificas en el rio?
¿Cómo se ve afectada la comunidad que habita cerca al rio por las problemáticas de
este?
¿el desbordamiento del rio es un problema? ¿porque?
¿por qué el agua del rio es mala para la salud de las personas?
¿Qué problema ves con que el agua del rio este quieta en un solo sitio por bastante
tiempo?
2. CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO:
Este apartado comprenderá una situación matemática que incite a los estudiantes a
realizar operaciones y cálculos con mayor comprensión relacionados con el
comportamiento de una función exponencial enmarcada en el contexto del crecimiento
bacteriológico, con el fin de acercar la noción de función exponencial a la problemática
vista anteriormente, haciendo que este objeto matemático sea uno de los factores que
80
permita reflexionar en torno al problema. Para ello se han planteado tres escenarios a saber:
E. Coli, Leptospira y Bacterias positivas.
E. COLI
Descripción de la actividad.
Esta actividad es de carácter informativo, en ella se pretende dar a conocer lo
beneficioso y lo dañino que pueden llegar a ser algunas familias bacterianas como la E.
Coli cuyo patrón de crecimiento es modelado por una función exponencial. Con esto no
solo se proyecta que el estudiante reconozca lo dañino que pueden llegar a ser este tipo de
bacterias, sino que puedan identificar el siclo reproductivo de éstas en un determinado
tiempo y las condiciones necesarias para que se pueda llevar a cabo este proceso, para tal
fin se ha dispuesto de dos actividades que pretenden modelar la fase exponencial de dichas
bacterias, para que el estudiante pueda identificar algunas características matemáticas de
este proceso.
Objetivos:

Informar a los estudiantes acerca de algunos beneficioso y lo dañino que
pueden llegar a ser algunas bacterias como la E. Coli.

Identificar qué tipo de representaciones utilizan los estudiantes para modelar
una función exponencial.

Permitir que el estudiante identifique algunas características matemáticas de
la E. Coli y de la función exponencial.
Momentos
Momento 1:
Inicialmente se formarán grupos de tres estudiantes y se entregará a cada grupo una
lectura argumentativa que pretende enfocar a los estudiantes acerca de las problemáticas y
beneficios de algunas de las bacterias que viven en nuestro ecosistema, también se dará una
81
descripción verbal que modela el crecimiento bacteriano de la E. Coli con el fin que el
estudiante pueda realizar una modelación matemática.
LECTURA
Los microorganismos desempeñan un papel central tanto en las actividades humanas
como en el entramado del conjunto de la vida sobre la Tierra, estos microorganismos realizan
muchos procesos químicos que son necesarios para otros organismos. “Los microorganismos
existieron en la Tierra miles de millones antes de la aparición de las plantas y los animales la
diversidad microbiana supera con mucho a las plantas y animales.”(Mandigan, Martinko, et al.,
2009). A menudo desconocemos la vital relación que hay entre todos los seres que coexisten y
menospreciamos la función de alguno de ellos, e incluso en ocasiones alteramos el equilibrio
natural de los ecosistemas creyendo que de esta manera hacemos lo correcto. La importancia de
las bacterias es fundamental para mantener el equilibrio del que hablamos. Si bien algunas son
responsables de causar enfermedades, la mayoría nos proveen muchos beneficios, ya que
cuando están en perfecto equilibrio, las bacterias fermentan los residuos de nuestra dieta,
transforman la energía, producen ácidos grasos, nos protegen de las bacterias que nos enferman
incluso estimulando nuestras defensas o formando barreras, producen la vitamina B y K y
colaboran evitando la pérdida de minerales en nuestro cuerpo.
Las enterobacterias son una de las familias de bacterias negativas que contiene más de
30 géneros y más de 100 especies que pueden tener morfología de bacilos o cocos. Los
miembros de esta familia forman parte de los microorganismos que se encuentran en el
intestino (llamados coliformes) y de otros órganos del ser humano y de otras especies animales.
Una bacteria de la familia de las enterobacterias es la Escherichia Coli, esta bacteria
que habita normalmente en el intestino de mamíferos y aves, siendo considerada bacteria de
tipo comensal, se hospeda en el estómago donde ayuda a la síntesis de cierto compuesto de
carbono entre otras funciones. Esta bacteria también puede ser considerada de tipo patógena,
este tipo de bacteria puede habitar en ambientes como aguas negras, estiércol y el suelo. (Jan
Dirk van Elsas, Alexander V Semenov, et al., 2011 ISME journal), se caracteriza por su
capacidad de adaptación, lo que la convierte en una bacteria difícil de eliminar para propósitos
de higiene, así que es usada como indicador de contaminación fecal.
En conclusión las bacterias entéricas coliformes (Escherichia, Salmonella y Shigella)
son bacilos negativos, se pueden hallar en heces fecales principalmente pero no son la única
fuente, también se encuentran en aguas estancadas, en ríos y en albercas.
82
CONOZCAMOS A LA E. COLI
En este sentido, el agua estancada proporciona un caldo de cultivo para algunas
bacterias dañinas como la Escherichia Coli (E. Coli) entre otras. Bacteria que puede generar
enfermedades como enteritis o dermatitis. Por ejemplo, una sola bacteria E. Coli, a 37 °C,
puede dividirse una vez cada 20 minutos, repitiendo este proceso durante 11 horas se obtiene
una colonia con casi diez mil millones de bacterias.
¿Podrías representar matemáticamente la información suministrada anteriormente?
Momento 2:
En esta etapa se trabajará en una situación matemática en la cual cada grupo de
estudiantes deberá contestar algunas preguntas acerca del crecimiento bacteriano y así
poder identificar algunas características de la función exponencial.
Como ejercicio a los estudiantes se propone la siguiente situación:
En un estanque de chía, que lleva aproximadamente un año con su agua estancada, un
grupo de científicos observó que el número de bacterias E. Coli aumenta con el transcurso del
tiempo. Se ha hallado que si el número inicial de bacterias es 3 pasada 1 hora, a las dos horas
habrá 9, y a las 3 horas siguientes habrá 81, y así sucesivamente. ¿Cómo representaría esta
información?
a)
b)
c)
d)
¿Qué cantidad de bacterias puede esperarse al cabo de 8 horas?
¿Qué cantidad de bacterias puede esperarse al cabo de 120 horas?
¿Una vez que han pasado 5 ½ horas a cuanto haciende la colonia de E. Coli?
Completa la siguiente tabla
HOR
1
2
3
¿?
6
No.
3
¿?
27
81
¿?
AS
BACTERIAS
Tabla 4
83
Para resolver este tipo de problemas y muchos otros donde los resultados crecen y
las magnitudes no son directamente proporcionales ni inversamente proporcionales, se hace
uso de una función que se llama: función exponencial. Presentan comportamiento
exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia
radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero
colocado a interés compuesto, etc.
LEPTOSPIRA
En este espacio se enfocará en situaciones problema que permitan identificar
algunas de las características de la función exponencial por medio de sus gráficas y así
pueda identificar que una bacteria de Leptospira se divide dos veces en un determinado
tiempo.
Descripción de la actividad
En esta actividad se le dará al estudiante una situación de la vida real, para que
pueda interpretarla y así dar una solución al problema que se le plantea, para ello se dará a
conocer una enfermedad llamada leptospirosis que afecta a animales y humanos
principalmente en épocas de lluvia e inundaciones generando lugares con aguas estancadas,
así mismo se brindara información de lo perjudicial que puede llegar a ser esta bacteria, con
esto no solo se busca generar conciencia en el estudiante sino que también se espera que
identifique que el crecimiento de la bacteria esta modelado por la función exponencial
(
es el total de bacterias en determinado tiempo,
el número inicial de bacterias y
número de generaciones de la Leptospira o tiempo de reproducción ),
el
con ello se busca que el
estudiante reconozca que una bacteria de Leptospira se divide en dos cada cierto tiempo, y
también que este tipo de función siempre será creciente.
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Objetivos:
 Conseguir que el estudiante analice una función de tipo gráfico y de este modo
consiga dar algunas características matemáticas relacionadas con la función
exponencial.
 Lograr que el estudiante comprenda que una bacteria de Leptospira se divide dos
veces cada cierto tiempo bajo las condiciones apropiadas.
 Generar conciencia acerca de lo perjudicial que puede llegar a ser una bacteria de
Leptospira.
Momentos
Momento 1:
Se entregará a cada estudiante una guía con la información necesaria acerca de la
Leptospira, para ello se dará el tiempo necesario para realizar la lectura, posteriormente se
discutirá en la clase la información relevante de este tipo de bacteria, echo esto se dará el
tiempo suficiente para que cada estudiante conteste las preguntas que se encuentran al final
de la hoja.
LECTURA LEPTOSPIROSIS
La Leptospirosis es una enfermedad bacteriana infectocontagiosa que afecta a animales
y a humanos, puede llegar a ser leve o mortal especialmente si afecta el hígado, riñones o
sistema nervioso, sus síntomas comprenden fiebre, dolor muscular en pantorrillas y muslos,
nauseas, vómitos, anorexia, escalofríos, dolores de cabeza, conjuntivitis, infección conjuntival,
hemorragia conjuntival, hemorragias, postración, diarrea, dolor abdominal entre otros. Esta
enfermedad es producida por la bacteria Leptospira que requiere un alto grado de humedad y
una temperatura entre los 7 ºC y 36 ºC para sobrevivir, alcanzando un crecimiento óptimo entre
los 28 ºC y los 30 ºC y puede sobrevivir hasta 180 días.
Se calcula que por cada 100.000 habitantes hay un contagio entre
y
en
climas templados, de esta forma, en el 2013 se reportaron 2263 casos de Leptospirosis en
Colombia.
Este tipo de enfermedad puede ser causado por múltiples factores, aunque “las épocas
de mayor riesgo de la infección son las temporadas de lluvia y de inundaciones debido a las
características de supervivencia de la bacteria, las cuales logran sobrevivir en aguas estancadas,
pantanos, lagunas, estanques y charcos” (MINSALUD)
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El crecimiento bacteriológico de la Leptospira está modela por la función
donde
bacterias y
es el total de bacterias en determinado tiempo,
el número inicial de
el número de generaciones de la Leptospira o tiempo de reproducción.
Momento 2:
En esta etapa se trabajará una guía en la cual el estudiante deberá contestar algunas
preguntas acerca del crecimiento bacteriano y así poder identificar algunas características
de la función exponencial por medio del análisis de gráficas y tablas de valores.
a)
La siguiente imagen modela el crecimiento de la Leptospira en un lapso entre 5 y 6
días. De algunas ideas del número inicial de bacterias. Justifica tu respuesta.
Figura 30
b) Si se sabe que el número inicial de un cultivo de bacterias de Leptospira es 20, y que
cada día hay una nueva generación, determine ¿cuantas veces se divide una bacteria
por día, si el cultivo dura 30 días?
c) Elabore una tabla que represente los días trascurridos y el total de bacterias de
Leptospira con la información del punto (b)
d) Representa la información del punto (a) en una tabla de valores donde se relacione los
días (eje x) y el total de bacterias (eje y).
e) En que lapso de tiempo se presenta un mayor crecimiento de bacterias. Justifica tu
respuesta haciendo uso de las matemáticas.
 [0,2]
 [2,4]
86

[4,5]
BACTERIAS POSITIVAS
Descripción de la actividad
En este espacio se entregará una lectura con la cual se pretende que los estudiantes
identifiquen que no todas las bacterias son perjudiciales para la salud humana sino que
algunas de ellas también son beneficiosas, con esto se pretende que los estudiantes
comprendan que la reproducción bacteriológica se rige bajo el modelo exponencial
Objetivos
 Conseguir que el estudiante pase a representar la función exponencial desde la
tabular a la gráfica y la analítica una función de tipo gráfico y de este modo consiga
dar algunas características matemáticas relacionadas con la función exponencial.
 Lograr que el estudiante reconozca que una existe bacterias positivas que ayudan a
nuestro organismo
Momento 1:
Se entregará a cada grupo de cuatro estudiantes una guía con la información
necesaria acerca de algunas bacterias positivas, para ello se dará el tiempo necesario para
realizar la lectura, posteriormente se discutirá en la clase la información relevante de este
tipo de bacteria, echo esto se dará el tiempo suficiente para que cada grupo de estudiantes
conteste las preguntas que se encuentran al final de la hoja.
Según
(http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/spanish/druginfo/natural/790.html)
el
lactobacilo (Lactobacillus) es un tipo de bacteria. Hay muchas especies diferentes de
lactobacilos. Estos son “bacterias amistosas” que viven normalmente en nuestros sistemas
digestivo, urinario y genital sin causar enfermedades. El lactobacilo también se encuentra en
alimentos como el yogur y en suplementos dietéticos. Los lactobacilos forman parte
importante de la microbiota del ser humano y en cierto modo también lo protegen de
algunas bacterias patógenas como E. Coli.
Un grupo de estudiantes de una universidad nacional autónoma de México cultivaron una
muestra de estas bacterias y encontraron que estas crecen en varias temperaturas, como lo
muestra la siguiente imagen.
Te
Cr
87
mperatura
ecimiento
20°
Si
25°
Si
35°
Si
45°
Si
50°
Si
55°
Si
Tabla 5
Con la información anterior se explica la presencia y resistencia de estos microorganismos
en el cuerpo humano, pues la temperatura en nuestro cuerpo varía mucho, mas no rebasa los
límites que van de 30 °C a 44 °C (estos son los extremos, los cuales son clasificados como
graves), con esto se puede afirmar que los Lactobacillus resisten incluso temperaturas más
elevadas a las que puede sobrevivir un ser humano, explicándonos así la presencia de estos
en la microbiota intestinal (microorganismos que habitan el cuerpo humano y de otras
especies de animales).
El grupo de estudiantes también encontró que cada lactobacilo a una temperatura entre 35
°C a 40 °C, y en un ambiente óptimo para su desarrollo crece de la siguiente forma:
Tiemp
o (horas)
0
1
2
3
4
5
N° de Bacterias en
millones
3
6
12
24
48
96
Tabla 6
Representa de otra manera la información que hay en la anterior tabla
a) ¿Cuántas bacterias encontrarán en 8, 15 y 30 días?
b) Encuentra una expresión matemática que permita hallar el número de bacterias que
habrá en n días.
c) Dada la siguiente tabla plantee una situación problema en la cual describa el
comportamiento de las bacterias (reproducción) en un lapso de 4 días.
88
Tabla 7
d) Elabora una gráfica con la información de la anterior tabla.
e) ¿Qué representa el punto (0,1)
REFLEXIÓN
Esta fase se realizará con el fin de institucionalizar lo aprendido (crecimiento
bacteriológico), viendo la importancia que tiene esto para poder comprender la
problemática de las aguas estancadas del rio Tunjuelito, además se busca que los
estudiantes tomen una postura crítica, buscando soluciones que amenicen o solucionen lo
trabajado.
LOS COMIC TAMBIÉN ENSEÑAN
Descripción de la actividad
Esta actividad tiene como propósito reflexionar sobre lo perjudicial que pueden
llegar a ser algunas bacterias que se encuentran en aguas estancadas del rio Tunjuelito, para
ello se conformarán grupos de trabajo de 4 estudiantes que deberán realizar una historieta
en la que se evidencie una postura crítica por parte del grupo frente a esta problemática.
Con esto se espera que quien la lea pueda identificar algunas causas del porque se dan estos
estancamientos y/o consecuencias en la salud de los bogotanos. Para lograr esto, se darán
algunas pautas para construir dicha historieta, además se mostrará un ejemplo para
incentivar a los estudiantes a construir una propia, así mismo se espera que cada grupo de
trabajo exponga frente a sus compañeros lo realizado y al final crear un muro de
sensibilización.
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Objetivos
 Crear una postura crítica por parte de los estudiantes frente al problema de las aguas
estancadas del rio Tunjuelito.
 Compartir con la comunidad educativa lo aprendido durante el desarrollo de las
actividades.
Momentos
Momento 1:
En este momento se dará a conocer la historieta realizada por profesores y se hará
una socialización de la misma con respecto a lo trabajado a lo largo de las actividades y
sedarán las pautas necesarias para crear las historietas.
HISTORIETA
Teniendo en cuenta la información suministrada por los profesores a lo largo de todas las
actividades y lo aprendido durante las mismas, cree una historieta en la que refleje lo
aprendido, teniendo en cuenta lo siguiente.
 Debe mostrar una postura crítica frente al problema de las aguas estancadas.
 La historieta debe dejar un mensaje a quien la lea acerca de los problemas
trabajadas.
 Debe compartir con sus compañeros este mensaje y con la comunidad educativa lo
realizado, para ello se dispondrá de un muro.
 La historieta debe proponer soluciones que permitan combatir el problema de las
aguas estancadas y el problema bacteriológico en ellas, lo cual deberá ser discutido
por todos los grupos para identificar si estas soluciones son viables.
Momento 2:
En este espacio se harán las socializaciones por parte de los grupos de trabajo con
respecto a la historieta, la cual deberán compartir con los compañeros y con la comunidad
educativa en un muro destinado para ello.
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91
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93
94
Figura 31
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ANEXO 2: CD ADJUNTO
Mirar video en el CD adjunto.
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