Ejercicio 1

Unidad 1 - Ejercicios 1
Lugares geométricos básicos
Enviar al Tutor los ejercicios 2, 8, 12 y 15
1–
Se consideran tres puntos A, B, C.
Hallar los puntos de su plano que distan 3 cm. de C y equidistan de A y B.
Indicar el número de soluciones al variar C, manteniéndose A y B fijos.
2–
P y r son un punto y una recta que distan 5 cm. Hallar los puntos de su plano que
distan 3 cm. de r y:
a) 4 cm. de P
b) 2 cm. de P
c) 8 cm. de P
d) 1 cm. de P
e) 10 cm. de P
f) x cm. de P, en este caso indicar número de soluciones para los distintos
valores de x.
3–
r y s son dos rectas coplanares, hallar los puntos de su plano que disten 2 cm. de r
y 3 cm. de s. ¿Qué particularidad deben tener r y s para que no hayan puntos que
cumplan esa condición? ¿Pueden existir infinitos puntos?
NOTA:
En los problemas de construcción, se debe escribir el algoritmo
correspondiente.
4–
Construir un triángulo rectángulo tal que:
a) uno de sus catetos sea de 5 cm. y la hipotenusa 7 cm.
b) la hipotenusa sea de 6 cm. y uno de sus ángulos 60º.
5–
Construir un triángulo:
a) ABC tal que: AB = 5 cm., BC = 7 cm. y h a = 3 cm.
b) DBC que tenga igual área que el anterior y que sea isósceles.
6–
Construir una circunferencia C y dos puntos A y B. Construir una circunferencia
γ que tenga su centro en un punto de la circunferencia C y pase por los puntos A
y B.
7–
Construir un circunferencia C y una recta s. Se considera un segmento r.
Construir una circunferencia γ de radio r, que sea tangente a la recta s y a la
circunferencia C. (Considerar también la circunferencia tangente exterior.)
8–
Dadas tres rectas a, b, c del plano. Investigar si existen circunferencias tangentes
a las tres rectas y cuántas son.
9 – Dado un segmento AB, construir los arcos capaces de los ángulos de 30º, 45º,
60º, 90º y 120º respecto a dicho segmento.
10 – Dada una circunferencia C O, r , calcular en función de r las medidas de las
cuerdas correspondientes a ángulos inscriptos de 30º, 45º, 60º, 90º y 120º.
11 – Q es un punto interior a un segmento PS dado. Construir un punto A tal que los
ángulos PAQ y QAS midan respectivamente 45º y 30º.
12 – Construir un triángulo ABC en el cual AB = 4, ACB = 45º y además:
a) h c = 4,5.
b) m c = 3.
13 – Dado el arco capaz de un ángulo α para un segmento AB, incluído en una
circunferencia C O, r , ubicar con respecto a O, A y B los centros de los arcos
capaces para el segmento AB y ángulos:
a) 1 α
b) 90º – 1 α
c) 90º + 1 α
14 – a) Demostrar que en todo triángulo, la bisectriz de un ángulo y la circunferencia
circunscripta se intersecan en un punto de la mediatriz del lado opuesto.
b) Se considera la familia de triángulos ABC de base AB fija y ángulo opuesto
ACB = γ, constante. Demostrar que al variar el vértice C, la bisectriz del
ángulo ACB pasa por un punto fijo.
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Construir un triángulo ABC sabiendo que la altura h a mide 4, la mediana m a 5
y el segmento de bisectriz v a mide 4,3.
16 – a) Construir las tangentes a una circunferencia C por un punto exterior P.
b) Si A y B son los puntos de tangencia, demostrar que PA = PB
17 – Construir las tangentes comunes a dos circunferencias. Discutir el número de
soluciones, según la posición relativa de las dos circunferencias.