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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
SOBRE EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO Y LA MODELIZACIÓN
FINANCIERO-ACTUARIAL
Julio García Villalón
Departamento Economía Aplicada (Matemáticas)
Universidad de Valladolid.
Palabras claves: Procesos estocásticos; filtración; cadena de Markov; martingala;
Matemática Financiera; operaciones de seguros; integral estocástica; ecuación diferencial
estocástica e integración de Itô.
359
Villalón J. G.
INTRODUCCIÓN
Se trata de considerar los modelos estocásticos para ilustrar cómo la Teoría de la
Probabilidad y otras Teorías Matemáticas se pueden aplicar al campo financieroactuarial. Los procesos estocásticos son de gran utilidad no solamente porque conducen
a Matemáticas más avanzadas, sino también porque constituyen el lenguaje actual de los
especialistas en estas materias que coinciden con la ciencia financiero-actuarial.
Precisamente, porque la mayor parte de los riesgos financiero-actuariales
implican situaciones que se desarrollan a lo largo del tiempo es por lo que los modelos
basados en los procesos estocásticos resultan ser los más adecuados. No tratamos de dar
definiciones o deducciones rigurosas sino que nuestro objetivo es el de introducir un
vocabulario y un breve resumen de algunas aplicaciones de los modelos estocásticos al
campo financiero-actuarial.
1.- LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS
La teoría de los procesos estocásticos, integra la dimensión temporal en el análisis
de los fenómenos aleatorios. Son adecuados para formalizar la evolución de un sistema
dinámico cuando esta evolución no puede ser prevista con certidumbre a partir del
estado inicial del sistema y una ecuación de evolución. En el marco de la modelización
financiero-actuarial, intervienen desde el momento en que se aborda la gestión dinámica
de una cartera, elección del consumo intertemporal, etc.
Los procesos estocásticos más utilizados son los procesos markovianos y, en el
campo continuo, los procesos de difusión. Las "martingalas", veremos tienen gran
importancia en el campo financiero-actuarial, por ejemplo, en el tema de "arbitraje".
También son muy interesantes los procesos estocásticos en tiempo continuo y
particularmente la construcción del proceso de Wiener, de gran interés para la
modelización de los rendimientos de activos financieros.
Un "proceso estocástico" es una sucesión o familia de variables aleatorias
indizadas {Xt,t∈T} sobre el espacio de probabilidad (Ω, ℑ,P). Los puntos del "índice" o
"conjunto paramétrico" T, generalmente están asociados al tiempo.
360
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Si T es numerable, {X n}n =1 , es un proceso estocástico "temporalmente
∞
discreto", (proceso de parámetro discreto) y si T=R, o bien, T=[a,b], para a y b números
reales, o bien, T=[0,∞], no numerable
{X }
t t≥0
,es un proceso estocástico temporalmente
continuo, es decir, un proceso estocástico de parámetro continuo.
Una "trayectoria o realización muestral" de un proceso estocástico {Xt, t∈T}
ordenado mediante cierto conjunto temporal T=[0,∞), es el conjunto de realizaciones de
la variable aleatoria {Xt (ω),t∈T} para un resultado ω∈Ω.
Ω, es el espacio muestral y para un determinado ω∈Ω, Xt(ω)=X(⋅,ω) para t ∈T,
se llama función muestral o trayectoria muestral correspondiente a ω.
Evidentemente, para un determinado t∈T, Xt(ω)=X(t, ⋅), es una variable
aleatoria. Generalmente el espacio de los estados es la recta real R y Xt se denomina
proceso estocástico real, o simplemente, proceso estocástico.
En general, una "información" en un determinado momento t es una σ-álgebra Ft
que contiene aquellos sucesos que, en el momento t, sabemos han acontecido o no.
Una "filtración", es un conjunto de σ-álgebras {ℑt}, donde ℑt ⊆ℑr, para todo
t<r. De este modo tenemos una sucesión de cantidades de información crecientes donde
cada miembro ℑt contiene toda la información de los miembros anteriores.
Generalmente, ℑt contiene toda la información disponible hasta el momento t, es
decir, no suprime nada de nuestra información. Entonces, en un momento posterior r,
tenemos más información ℑr, debido a que añadimos a la información original la
información que hemos obtenido entre los momentos t y r. En este caso ℑt puede
considerarse como la historia del proceso hasta e inclusive en el momento t.
Más rigurosamente, si (Ω,ℑ,P), es un espacio de probabilidad. Se llama
"filtración" a una sucesión {ℑ (t), t ∈T}de sub-σ-álgebras tal que ℑ (t) está incluida en ℑ
(R) si r <t.
Una "cadena de Markov" es un proceso estocástico {Xt} en el que
P(Xt=x/Fr)=P(Xt=x/Xr) para todo r ≤t
Estamos interesados en la probabilidad de que un proceso estocástico tenga un
cierto valor en el futuro. Podemos disponer de la información con respecto a los valores
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Villalón J. G.
del proceso estocástico en momentos ciertos en el pasado y esta información puede
afectar a la probabilidad del resultado futuro. Sin embargo, para una cadena de Markov
la única información relevante es el valor conocido más reciente del proceso estocástico.
Cualquier información adicional anterior al valor más reciente no cambiará la
probabilidad. Una consecuencia de esta propiedad es que si
{X }
∞
n n =1
es una cadena de
Markov y ℑn =σ(X1, X2,..., Xn), entonces:
E[Xn+m/ℑn]=E[Xn+m/ X1, X2,.., Xn] =E[Xn+m/ Xn]
Ley fundamental de las esperanzas condicionadas
Sea {ℑn } t∈T, una filtración de un proceso {Xt}.
La "Ley fundamental de las esperanzas condicionadas", nos indica que para
k ≤ m ≤ n:
E[E[Xn/ℑm]/ ℑk]=E[Xn/ℑk]
Es decir, supongamos que en el momento k queremos calcular la E[Xn/ℑk].
Podríamos hacerlo directamente (como se indica en el segundo miembro de la
expresión anterior) o indirectamente, condicionando la historia del proceso hasta cierto
momento futuro m(como se indica en el primer miembro). La ley fundamental nos indica
que obtenemos el mismo resultado.
Tiempos o momentos de parada.
Una variable aleatoria T es un "momento de parada" de un proceso estocástico si
constituye una regla para parar este proceso tal que la decisión de parar en el momento t
se puede tomar solamente en base a la información disponible en el momento t. por
ejemplo sea Xt el precio de una determinada acción en el momento t y consideremos las
dos definiciones siguientes:
a)
T, es el primer momento del proceso {Xt} en el que toma el valor 150
y
b)
T, es el momento en el que el proceso {Xt} toma su valor máximo.
La definición a), define un momento de parada para el proceso porque la decisión
de establecer T=t, significa que el proceso toma el valor 150 por primera vez en el
momento t, y esta información debería conocerse en el momento t.
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La definición b), no define un momento de parada para el proceso porque para en
T=t, requiere el conocimiento de los valores del proceso antes y después del momento t.
Más rigurosamente, la variable aleatoria T que transforma Ω en el conjunto índice
temporal T es un momento de parada si {ω:T(ω)=t}∈ℑt
para todo t ∈T.
2. LAS MARTINGALAS
Sea {ℑt}
t ∈T
una filtración. Una Martingala con respecto a {ℑt}
t ≥0
, es un
proceso estocástico {Xt} que goza de las propiedades siguientes:
a)
E(|Xt|)< ∞ para todo t;
b)
E(Xt|ℑr) =Xr para todo r < t
Una consecuencia de la b) es que:
E[Xt]=E[Xr]
para todo t y r
El Teorema de la parada óptima
Una propiedad muy útil de las martingalas es que la esperanza es invariable si
reemplazamos t por un momento de parada T para el proceso, de modo que:
E[XT]=E[Xr] para cualquier r.
Las martingalas están relacionadas con el concepto de juegos equitativos. Por
ejemplo, sea Xt el montante de los fondos de un jugador en el momento t. Dada la
información ℑt-1 sabemos que el montante de los fondos del jugador en el momento t-1,
son Xt-1. Para un juego equitativo ( beneficio esperado nulo ) el montante de los fondos
después de la última vuelta ( jugada ) del juego en el momento t sería igual a Xt-1.
El estudio de las martingalas es de gran importancia en la Teoría de la
Probabilidad. En el campo financiero-actuarial, la noción de martingala ha adquirido gran
importancia a partir de los trabajos de Ross ( 1976-1978 ) y sobre todo los de Harrisson
y Kreps ( 1979 ) sobre la valoración mediante arbitraje. Recientemente, Ross decía que el
elemento clave de la economía era la igualdad de la oferta y la demanda mientras que el
elemento clave en el campo financiero es la ausencia de oportunidades de arbitraje.
Una contribución esencial en este aspecto es la de Harrison y Kreps que ha
consistido en demostrar que cuando los activos pueden valorarse " mediante arbitraje " el
proceso de los precios es una martingala con respecto a una probabilidad particular.
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Villalón J. G.
3.- ALGUNAS APLICACIONES A LAS OPERACIONES DE SEGUROS
Se trata de formular algunas operaciones financiero-actuariales mediante el uso
de los procesos estocásticos.
El suceso mas simple es el acaecimiento del fallecimiento y precisamente debido a
su sencillez se puede modelizar de forma sencilla sin recurrir a los procesos estacásticos.
Ahora bien, existen otros sucesos que no son tan simples y es preciso recurrir a otros
modelos. Por tanto, los procesos estocásticos constituyen un buen punto de partida.
Consideremos un ejemplo sencillo representado de forma intuitiva mediante dos
estados:
µx
0 = activo
1 = fallecido
Figura 1: Un modelo bi-estados de supervivencia
Por supuesto este es un caso muy sencillo y, en principio, no ofrece nada nuevo,
pero veamos cuando el modelo se complica.
a)
Todos los instrumentos desarrollados en el caso de este proceso simple
conducen a procesos complicados tales como son los necesitados para
modelizar la enfermedad o invalidez a largo plazo.
b)
Se necesitan instrumentos que también se utilizan en el campo
financiero. En particular las "integrales estocásticas"
y las " esperanzas
condicionadas " constituyen las ideas clave. De tal forma que en lugar de
adquirir dos herramientas diferentes, una valdría para ambas.
La diferencia principal entre las Matemáticas Financieras y las Matemáticas
del Seguro de vida es que las primeras se basan en procesos con trayectorias continuas,
mientras que las otras están basadas en procesos con saltos, es decir, en las Matemáticas
Financieras, los ejemplos sencillos se proporcionan mediante procesos con trayectorias
continuas, y las discontinuidades hacen que las matemáticas sean mas complicadas como
sucede con las matemáticas del seguro de vida. Los instrumentos fundamentales en las
matemáticas de seguro de vida son los procesos estocásticos denominados " procesos
numerables ".
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Los procesos estocásticos numerables
La fig. 1 representa un proceso de Markov con dos estados, con " intensidad de
transición µx " ( tanto instantáneo de fallecimiento ) µx que depende de la edad x. Por
conveniencia, asociamos el 0 al estado activo y el 1 al estado fallecido. Una trayectoria
muestral típica de este proceso se representa en la fig. 2 donde el acaecimiento del
fallecimiento es a los 60 años. La trayectoria muestral es una función del tiempo que
denotamos por N01 ( t ). N01 ( t ) indica si el fallecimiento ha acaecido. Estrictamente
hablando, el espacio muestral Ω es el espacio de todas las funciones como la fig. 2 que
comienza en 0 y salta a 1 en un cierto momento y la trayectoria muestral particular en la
fig. es un punto ω∈Ω. Por tanto, N01 ( t ) representa el número de sucesos que han
acontecido hasta inclusive t. No pensemos que porque solamente puede acaecer un tipo
de suceso y solamente una vez, esta interpretación de " numerable " es trivial: todo lo
contrario. Esto es lo que define un proceso numerable.
Ahora consideremos los incrementos de la trayectoria muestral N01 ( t ). Es muy
sencillo. Si el proceso no salta en el momento t, el incremento es 0, y escribimos esto
como dN01(t) = 0. Si el proceso salta en el momento t el incremento es 1 y lo expresamos
como dN01(t) = 1. [ También se puede expresar de la forma ∆N01 ( t ) en lugar de dN01 (
t ) ].
Los incremento discretos como dN01 ( t ) son para los procesos numerables, lo
que es la primera derivada d/dx para los procesos en
trayectorias muestrales
diferenciables. Lo mismo que cuando una trayectoria muestral es diferenciable se puede
reconstruir partiendo de su derivada ( mediante integración ), un proceso numerable se
puede reconstruir en base a sus incrementos ( también mediante integración ). Esto nos
conduce a la integral estocástica.
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1,5
1,0
0,5
0,0
0
20
40
60
80
100
Fig.2. Una trayectoria muestral N01(t) de un proceso numerable: fallecido a los 60 años.
La integral estocástica
La construcción de la integral estocástica que proponemos es de tipo práctico no
de rigor matemático. Se trata de dar la intuición de los problemas planteados cuando se
desea integrar un proceso con respecto a un proceso de Wiener.
La construcción rigurosa de la integral estocástica se puede ver en una de las
numerosas publicaciones relativas al cálculo estocástico y ecuaciones diferenciales
estocásticas (Karatzas-Shreve, 1998, Elliott 1982). Por otra parte, es conveniente
observar que la teoría de la integración se puede abordar de forma mucho mas general
que lo hacemos nosotros aquí (la teoría general de las martingalas y de la integral
estocástica se denomina frecuentemente " Escuela de Strasburgo ").
Con referencia a la integral estocástica y al Lema de Itô, la referencia original es
el artículo de Itô ( 1994 ). Estos trabajos cuyo precursor fue Wiener, se han desarrollado
considerablemente después en el marco
de una teoría general de los procesos
estocásticos en particular por Meyer ( 1976 ), Dellacherie ( 1974 ) y Dellacherie y Meyer
( 1978, 1982 ).
Comenzamos con un proceso numerable tiempo-discreto, por ejemplo, uno que
puede saltar solamente en momentos enteros.
Entonces, por definición dN01(t) = 0 en todos los momentos no enteros y
dN01(t) = 1 en solamente un momento entero.
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¿ Podemos reconstruir N01(t) en base a sus incrementos dN01(t) ? Es decir,
¿ podemos obtener N01(T) ? ( T, no necesita ser entero ).
Sea S ( T ) el conjunto de todos los posibles saltos hasta e inclusive T.
( Es decir, todos los enteros ≤ T), entonces:
N01(t) =
∑ d N01(T)
(1)
t∈S (T )
Supongamos que N01(t) está en tiempo discreto, pero puede saltar en mas puntos:
por ejemplo, al final de cada mes. De nuevo definimos S ( T ) como el conjunto de todos
los posibles saltos hasta e incluido T y la ecuación (1) sigue siendo válida. Esto se
verifica para cualquier conjunto discreto de posibles saltos por mucho que se refine
( años, meses, días, minutos,...) ¿qué sucede en el límite ?
a)
El proceso numerable se convierte en la versión tiempo continuo con
el que comenzamos.
b)
El conjunto de momentos de salto posible S( T ) se convierte en el
intervalo ( 0, T ]; y
c)
El sumatorio para N01(t) se convierte en la integral:
N01(t) =
∫( d) N01(t) = ∫
T
0
t ∈S T
d N01(t)
(2)
La integral general de la ecuación (2) es una "integral estocástica" ya que las
trayectorias muestrales del proceso estocástico N01(t) están implicadas en sus
definiciones. Dada la trayectoria muestral N01(t), estas integrales se construyen de la
misma forma que sus análogas deterministas. Las integrales estocásticaas utilizadas en la
Matemática Financiera, llamadas integrales de Itô, son muy diferentes.
Considerada como una función de T, es un proceso estocástico.
Esta idea es muy interesante ya que nos permite escribir a continuación los
valores de los seguros y de las rentas.
4.- ALGUNAS EXPRESIONES DE LAS OPERACIONES DE SEGUROS Y DE
LAS RENTAS
Consideremos una operación de seguro de vida entera unitaria, es decir, que la
prestación es de 1 u, m en el momento del fallecimiento.
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¿Cuál será su valor actuarial X a la edad x?
Para ello, definimos la variable aleatoria x asociada a la esperanza de vida de una
persona de edad x, entonces el valor actuarial de la operación de seguros será
X = vTx = e-dTx según la notación internacional.
También podemos escribir esto como una "integral estocástica". El valor
actuarial de 1.u.m.pagadera en el momento t será vt. Si la persona no fallece en el
momento t, el incremento del proceso numerable N será dN01(t)=0 y el valor actuarial de
la prestación será vt dN01(t)=0. Si la persona fallece en el momento t, el incremento de N
será dN01(t)=1 y el valor actuarial del pago será vt dN01(t)=vt . Integrando obtenemos
X= ∫
∞
vt dN01(t)
0
(3)
Las rentas también se pueden expresar como integrales estocásticas. Para ello,
consideremos una renta vitalicia unitaria en el campo continuo y sea Y su valor acuarial.
Definimos un proceso estocástico I0(t) de la forma siguiente: I0(t)=1, si la persona
supervive en el momento t e I0(t)=0 en otro caso.
Este es un proceso indicatriz, es decir, toma el valor 1 o 0, dependiendo de si o
no se cumple una determinada condición. Entonces:
Y= ∫
∞
0
t
vI
0
(4)
(t )dt
Dada la trayectoria muestral, esta es una integral ordinaria, pero puesto que la
trayectoria muestral es aleatoria, también lo es Y. Entonces, definiendo X(T) e Y(T)
como el valor actuarial de las prestaciones hasta el momento T, podemos escribir los
procesos estocásticos:
X(T)=
T
∫
0
vt dN01(t)
e
Y(T)=
∞
∫ vI
t
0
0
(t )dt
(5)
4.1.- Las operaciones del seguro de vida. En base a lo establecido anteriormente,
podemos escribir los elementos de la Matemática del Seguro de vida en función de los
procesos numerables, véanse Hoem-Aalen (1978) y Norberg (1990).
Comenzaremos por las funciones de pago (prestaciones):
a)
Si N=0 en el momento t [la persona de edad x, denotada(x), supervive]
una renta es pagadera al tanto anual c0(t) y
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b)
Si N salta , (pasa) de 0 a 1 en el momento t [(x) fallece], se paga un
montante de C01(t).
Obviamente, las primas se pueden considerar como una renta negativa y estas
definiciones se pueden extender a cualquier modelo multi-estados. También, se pueden
considerar sin dificultad pagos en el campo discontinuo o capitales de supervivencia.
Las cantidades c0(t) y C01(t) son funciones del tiempo, pero no necesitan ser
procesos estocásticos. Éstas definen prestaciones que se realizarán, dependiendo de los
acontecimientos, pero no representan los sucesos en sí. En el caso de una operación de
seguros sin participación en beneficios, serán funciones deterministas de la edad. Los
pagos realmente realizados se expresarán como un tanto, dL(t):
(6)
dL(t)=C01(t)dN01(t)+c0(t)I0(t)dt
Esto nos da el tanto de pago neto "durante" el intervalo de tiempo t a t +dt,
dependiente de los acontecimientos. Supongamos que no se realiza ningún pago después
del momento T (T podría ser ∞). Entonces, el montante del pago sería:
T
L= ∫ dL (t ) =
0
∫
T
0
C 01 (t ) d
N 01 (t ) + ∫
T
0
(7)
c 0 (t ) I 0 (t ) dt
Y el valor del montante de pago en el momento 0, denotado V0(t) será:
V0(t)=
T
T
∫ v dL (t ) = ∫ v t C
t
0
0
01
(t ) d
N
01
(t ) + ∫
T
0
t
v c (t ) I
0
0
(t ) dt
(8)
Este montante es el principal objetivo de estudio.
Este es un proceso estocástico, como función de T, puesto que representa los
pagos realizados dependientes de lo sucedido de forma particular(esta es la trayectoria
muestral de N01(t)).
También hacemos uso del montante o valor actuarial de los pagos en cualquier
momento r, denotado V(r):
V(r)=
1
T
1
T
∫ v dL(t) = ∫ vtC (t)d N
v
v
r
0
t
r 0
01
369
01
(t) +
1
T
∫ vt c (t) I
r 0
v
0
0
(t)dt
(9)
Villalón J. G.
4.2.- Algunos valores actuariales
En función de los modelos de probabilidad hemos definido los que en cierta medida
son los elementos del espacio muestral Ω [las trayectorias muestrales N0(t)] y algunas
funciones relacionadas tales como L y V(r). No hemos introducido ni σ-álgebras ni
filtraciones o medidas de probabilidad, ni hemos realizado ningún cálculo probabilista, tal
como esperanzas. Ahora vamos a considerar éstas:
a)
Nuestra filtración es la filtración natural generada por el proceso N01(t),
que se describe fácilmente. En el momento t, los valores anteriores N01(r), (r≤t) son
todos conocidos, y los valores futuros N01(r), (r>t) son desconocidos (a menos que
N01(t)=1, en cuyo caso nada más puede acontecer). Esta información se recoge
mediante la σ-álgebra ℑt.
Para representar esta filtración, cubramos la fig.2 con la mano, y luego lentamente
revelemos la historia de la vida. Antes de los sesenta años, todas las historias
vitalicias futuras posibles están ocultas por la mano; la información ℑt, es la
combinación de la historia vitalicia revelada y todas estas posibilidades ocultas.
b)
Nuestra σ-álgebra "total" ℑ es la unión de todas las ℑt.
c)
La medida de la probabilidad corresponde a las bases de mortalidad.
Como es bien sabido, el actuario elegirá una base de mortalidad diferente para
propósitos diferentes, y supondremos que la naturaleza elige las bases de
mortalidad reales. Es decir, el espacio muestral y la filtración no determinan la
elección de la medida de la probabilidad, ni es la elección de la medida de
probabilidad siempre un intento para encontrar las probabilidades reales de la
naturaleza (este es el problema de la estimación). Este punto es incluso de mayor
importancia en la Matemática Financiera, donde frecuentemente es mal comprendido.
Todos los cálculos concretos dependen de la elección de la medida de la probabilidad
(bases de mortalidad). Veamos esto utilizando los valores actuariales. Supongamos
que el actuario ha elegido una medida de probabilidad P (equivalente a las
probabilidades de las tablas de mortalidad, tpx).Tomando como ejemplo la prestación
del seguro vida entera, para por ejemplo (x) (asegurado de edad x) Ep[x] tenemos:
Ep  ∫
 0
∞
t
vdN
(t ) = ∫
01
 0
∞
v E [d N
t
p
]
(t ) = ∫
01
∞
0
370
v P[d N
t
]
(t ) = 1 = ∫
01
∞
0
vtpµ
t
x
x+t
dt ( 10 )
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
µ
01
x
0 = activo
1 = inválido
µ
10
µ
02
x
µ
12
x
x
2 = fallecido
Fig.3: Un módulo de invalidez-fallecimiento
el cual es bien conocido (supervivencia y fallecimiento). Si el actuario eligiese una
medida diferente P*, digamos (equivalente a las probabilidades de la tabla de mortalidad
diferentes tpx obtendría un valor actuarial diferente:
EP*[X]= ∫
∞
0
t
v t px
*
µ *x + t dt
( 11 )
Los valores actuariales de las rentas se expresan fácilmente:
EP[Y]= ∫
∞
0
v
t
t
px
dt
( 12 )
4.3.- Algunos ejemplos de procesos numerables
La fig.3, muestra el modelo muy conocido de invalidez y fallecimiento.
Una formulación precisa comienza con el estado S(t) ocupado en el momento t;
un proceso estocástico.
La fig.4, muestra una sencilla trayectoria muestral de S(t): (x) que tiene una corta
enfermedad a los 50 años, se recupera a los 54, luego tiene una más larga, y últimamente
, una fatal enfermedad a los 60. En el modelo de mortalidad de 2-estados, el proceso
estocástico S(t), que representa el estado en que se encuentra coincide con el proceso
numerable N01(t) que representa el número de sucesos [no introducimos S(t) en el
modelo de 2-estados: ahora procedemos así porque es lo mismo que N01(t)]. En efecto,
podemos definir cuatro procesos numerables, uno por cada transición, por ejemplo:
N01(t) = nº de transiciones activo a invalido
371
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N02(t) = nº de transiciones activo a fallecido
N10(t) = nº de transiciones invalido a activo
N12(t) = nº de transiciones invalido a fallecido
Es decir, considerándoles como un objeto, tener un proceso numerable
multivariante con 4 componentes. También, podemos definir los procesos estocásticos
indicando la presencia en cada estado, Ij(t) de las funciones de pago de la renta cj(t) para
cada estado y el montante de las funciones aseguradas para cada transición posible,
Cjk(t). Entonces toda la Matemática del Seguro de vida del modelo de 2-estados se
puede deducir con solamente cambios notacionales.
2,50
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
20
40
60
80
100
Fig.4:Una trayectoria muestral de un proceso invalidez-muerte S(t)=0= válido; 1= inválido; 2= fallecido
4.4.- Las martingalas asociadas a los procesos numerables
La noción de martingala ha tomado gran importancia en la modelización
financiera con los trabajos de Ross (1976-1978) y sobre todo de Harrison y Kreps
(1979) sobre la valoración mediante arbitraje.
Ross (1979), esquematizaba esta situación diciendo que el elemento clave de la
economía era la igualdad entre la oferta y la demanda mientras que el elemento clave en
financiera era la ausencia de oportunidades de arbitraje. La contribución esencial de
Harrison y Kreps ha consistido en mostrar que cuando los activos pueden valorarse
"mediante arbitraje" el proceso del precio es una martingala con respecto a una
determinada probabilidad.
372
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Hasta ahora, no hemos mencionado ninguna martingala asociada a los procesos
numerables, pero es muy sencillo e importante tanto en el análisis de los datos como en
sus aplicaciones. En el módulo de dos estados la martingala es:
t
∫ I
M01(t) = N01(t) -
0
0
(r)
µ
r
( 13 )
dr
M01(t), se denomina proceso numerable compensado y la integral del segundo
miembro se denomina compensador de N01(t). Es fácil ver que M01(t) es una martingala
de sus incrementos:
d M01(t) = d N01(t) - I0(t)µtdt
( 14 )
Ep[d M01(t)] = Ep[d N01(t)] - Ep[I0(t)µtdt]=0
( 15 )
Es muy conveniente especificar la medida de probabilidad P en la esperanza pues
así cambiamos la medida, por ejemplo a P* correspondiente a las probabilidades tp*x,
obtendríamos una martingala diferente:
M*01(t) = N01(t) -
t
∫ I
0
0
(r)µ
*
r
dr
( 16 )
Y EP*[ d M*01(t)]=0. Alternativamente, dado un tanto instantáneo µ*t, podemos
encontrar una medida de probabilidad P* tal que M*01(t) es una P*-martingala; P* es
simplemente dado por las probabilidades tp*x = exp( −
∫
t
0
µ
*
x + r
dr
).
Esto se verifica para cualquier tanto instantáneo de mortalidad (que se comporta
bien), no precisamente elegida la naturaleza del tanto instantáneo de mortalidad.
Una idea de la utilidad de M01(t) se puede obtener de la ecuación (13). Si
consideramos un pequeño intervalo de edad en el que un tanto instantáneo de transición
constante µ es una aproximación razonable, esto se convierte en:
M01(t) = N01(t) - µ
t
∫ I
0
0
( r ) dr
( 17 )
Pero las dos cantidades del segundo miembro son el nº de fallecimientos N01(t) y
el tiempo total utilizado en el riesgo
t
∫ I
0
0
( r ) dr , mas conocido como el central
expuesto al riesgo. Todas las probabilidades del estimador máximo verosímil de µ,
basadas en estos dos estadísticos (sumado respecto a muchos individuos independientes)
son consecuencia de que M01(t) sea una martingala (véase Mcdonald 1996)
373
Villalón J. G.
Para modelos más complicados obtenemos un conjunto de martingalas, una para
cada posible transición (del estado j al k) de la forma Mjk(t) = Njk(t) -
t
∫I
0
j
( r ) µ rjk dr ( 18 )
que tienen todas las mismas propiedades
4.5.- Los valores actuariales de las reservas por los métodos prospectivo y
retrospectivo
Partiendo de la ecuación (9)
V(r)=v-r
T
∫ v
t
0
dL ( t )
Recordemos que la prima es la parte de función de pago c0(t); estableciendo la
prima de acuerdo con el principio de equivalencia actuarial lo que significa establecer
EP[V(0)]=0 y resolver en c0(t), donde P es la medida de probabilidad correspondiente a
la base prima;
En general, se utiliza la misma base (medida) para las primas y reservas.
Las reservas se deducen cuando consideramos la evolución de la función valor V
a lo largo del tiempo, cuando se hace uso de la información. Partiendo de la esperanza
condicionada para r<T :
EP[V(r)|ℑr]=EP[
= EP [
1
v
r
r
∫ v
0
t
1
v
T
r
∫ v
0
t
( 19 )
dL ( t ) / ℑ r ]
dL ( t ) / ℑ r ]+EP[
1
vt
T
∫ v dL ( t ) / ℑ
0
t
r
]
( 20 )
El 2º término del 2º miembro son las reservas prospectivas en el momento r.
Si la información ℑr es la historia vitalicia completa hasta el momento r es lo
mismo que las reservas prospectivas. Sin embargo esta definición es más general; por
ejemplo, en un seguro al 2º fallecimiento vida conjunta, el primer fallecimiento puede no
estar informado, de modo que ℑr represente información incompleta, también esto no
depende de la naturaleza probabilista del proceso que genera la historia vitalicia; no es
necesario suponer que el proceso sea de Markov, por ejemplo. Si el proceso es de
Markov, (como frecuentemente sucede) el condicionamiento sobre ℑr
374
simplemente
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
significa condicionamiento sobre el estado ocupado en el momento r, lo cual es muy
conveniente en la práctica.
El primer término del 2º miembro es menos las Reservas Retrospectivas.
Esta definición de las Reservas Retrospectivas es nueva (Norberg 1991) y no es
equivalente a la definición "clásica". Esto es un logro obtenido mediante el enfoque de
los procesos estocásticos: por comodidad, también consideramos algunas de las nociones
de Reservas Retrospectivas que han precedido:
a)
La reserva retrospectiva "clásica" [por ejemplo, C.W.Jordan (1967)]
depende de una generación de personas que participan de un fondo entre
supervivientes al final del plazo. Ahora bien, esto evidencia la debilidad del
modelo determinista: dado un colectivo de individuos en el origen denotado
lx, el número de supervivientes algo más tarde, lxpx generalmente no es un
entero. Considerado prospectivamente ésto, puede suponerse: como una
forma adecuada de pensar respecto a los valores esperados, pero
considerado retrospectivamente no es permisible.
b)
Hoen (1969) supuso que tanto el número de supervivientes como el
fondo compartido entre los supervivientes, fueran aleatorios, y demostró que
las Reservas Retrospectivas clásicas se obtenían en el límite cuando el
número de supervivientes tendía a infinito.
c)
Quizá sorprendentemente, la noción "clásica" de la Reserva
Retrospectiva no conduce a una especificación única de lo que debería ser la
reserva en cada estado en un modelo general de Markov, conduciendo a
varias
definiciones
alternativas
(Hoen,
1988;
Wolthius-
Hoen,1998;Wolthius,1992) en las cuales las Reservas Retrospectivas y
Prospectivas en el estado inicial fueran iguales por definición.
d)
Finalmente, Norberg (1991), indicó que las Reservas Retrospectivas
"clásicas" eran " ... más bien una fórmula retrospectiva de las Reservas
Prospectivas..."
e introdujo la definición en la ecuación (20). Esto es
adecuadamente definido para los elementos individuales y depende de la
información conocida ℑr . Si ℑr es la historia de la vida completa, la
esperanza condicionada desaparece y :
375
Villalón J. G.
La Reserva Retrospectiva =
− 1
v
r
∫
r
0
v t dL ( t )
( 21 )
que es más semejante a una cuota parte sobre la base de una póliza individual. Si ℑr
representa la información más elemental, por ejemplo, datos agregados con respecto a
una generación de pólizas, la Reserva Retrospectiva es análoga a una acción
mancomunada respecto a los costes de mortalidad.
Hemos dedicado algún tiempo a las Reservas Retrospectivas, porque es un
ejemplo de la mayor claridad según una formulación matemática cuidadosa del proceso
que se está modelizando, en este caso la historia vitalicia.
4.6.- Las ecuaciones diferenciales
Los instrumentos de cálculo más interesantes asociados a los modelos de
múltiple-estados son las Ecuaciónes Diferenciales Ordinarias (EDO). Veamos tres
sistemas útiles:
a)
Las
ecuaciones
"forward"
(progresivas)
de
Kolmogorov
denominadas así porque implican la derivación con respecto a momentos
posteriores a t, se pueden encontrar en los libros de texto sobre procesos de
Markov (por ejemplo, Kulkarni (1995)). Nos permiten calcular las
probabilidades de transición en un proceso de Markov, dadas las intensidades
de transición, que es exactamente lo que necesitamos puesto que las
intensidades son las cantidades más fácilmente estimadas a partir de los
datos. Veamos un ejemplo, el más simple de todos los modelos con dos
estados:
∂ (tp x )
= −tp
∂t
b)
x
µ
( 22 )
x+t
La ecuación de Thiele rige el desarrollo de la Reserva Prospectiva.
Por ejemplo, si tVx es la reserva correspondiente a un seguro vida entera
unitario, la ecuación de Thiele sería:
d/dt tVx = δ tVx + Px - ( 1- tVx ) µx+t
( 23 )
que tiene una interpretación muy intuitiva. En efecto, es el equivalente en tiempo
continuo a la fórmula de las Reservas Recurrentes para los actuarios.
376
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Se ha generalizado a un modelo de Markov por Hoem (1969)
c)
Norberg (1995b) generalizó las ecuaciones de Kolmogorov para los
valores de pólizas prospectivas (es decir, momentos de primer orden de
losvalores actuariales) a momentos de segundo
y ordenes superiores. No
demostramos estas ecuaciones, pero observamos que se obtuvieron a partir de
las propiedades de las martingalas de procesos numerables.
La mayor parte de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
no admiten soluciones explícitas y tienen que ser resueltos numéricamente. Por
tanto, mientras que las soluciones explícitas son buenas, no son demasiado
importantes y es mejor tratar las ecuaciones diferenciales ordinarias que son
relevantes para el problema, mejor que resolverlas explícitamente.
4.7.- Algunas ventajas del enfoque mediante los procesos numerables
a)
Ante todo, los procesos numerables representan las historias de la vida
completa. En la practica no toda esta información puede ser disponible o
utilizable, sino que es mejor comenzar con un modelo que representa los
procesos subyacentes y luego hacer todo lo posible por lograr
aproximaciones que se pudieran necesitar para satisfacer las circunstancias.
b)
Las Matemáticas de los procesos numerables y de los modelos multiestados se introducen fácilmente por lo que se refiere al modelo de
mortalidad dos estados, pero conduce a un modelo más complicado para
resolver problemas en los que fracasan los métodos de la tabla de mortalidad.
Esto es bastante importante en la práctica, cuando se introducen nuevos
seguros.
c)
Se han obtenido resultados completamente nuevos, tales como una
definición operativa de las Reservas Retrospectivas y las ecuaciones
diferenciales de Norberg.
d)
Los instrumentos que usamos son exactamente los que son esenciales
en las Matemáticas Financieros modernas, en particular las integrales
estocásticas y las esperanzas condicionadas. Un enfoque alternativo en el que
los tantos de rendimiento así como los vitalicios se modelan mediante
377
Villalón J. G.
procesos de Markov, se ha desarrollado por Norberg (1995) generalizando
ampliamente el objetivo del material aquí considerado.
e)
No hemos discutido el análisis de los datos. Ahora bien, los estudios de la
mortalidad están crecientemente conducidos hacia los instrumentos de procesos
numerables, por la misma razón que en el apartado a).
5.- Los Procesos Estocásticos en el campo financiero
En
esta sección vamos a ilustrar cómo se pueden utilizar los procesos
estocásticos para valorar los “derivados financieros”.
Un derivado financiero es un título cuyo valor depende los valores de otro más
básico subyacente. Por ejemplo, una opción call Europea sobre una acción da al
poseedor , el derecho, no la obligación de comprar la acción en la fecha del ejercicio T al
precio del ejercicio K. Si el precio de la acción en el momento T, S T, es menor que K
entonces no se ejercita la opción y expirará sin ningún valor. Si ST es mayor que K
entonces el poseedor ejercerá la opción y obtendrá un beneficio ST-K. Por tanto, el
resultado (payoff) en T, es el max {ST-K,0}.
5.1- Los modelos de los precios de los activos
Muchas de las Matemáticas Financieras deben estar basadas en modelos
explícitos de los precios de activos y los resultados dependen de los modelos que
decidamos utilizar. En esta sección nos centraremos en dos modelos para los precios de
las acciones: Un modelo binomial sencillo que nos conducirá a resultados importantes y
en el “Movimiento Browniano geométrico”. Haremos las hipótesis generales (que se
pueden flexibilizar) siguientes:
a)Utilizamos St como precio del título que no para dividendo en el momento
t (t = 0,1,2,-.-). Para t>0, St es aleatorio.
b)A parte de en el "título", podemos invertir en una obligación o en una cuenta
corriente que tiene de valor Bt en el momento t por unidad invertida en el momento 0.
Esta cuenta se supone que no tiene riesgo y que produce intereses al tanto r anual
capitalizado de forma continua libre de riesgo. Por tanto, Bt = exp(rt). (En tiempo
discreto, "libre de riesgo" significa que sabemos en t-1 cual será el valor de la inversión
378
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
libre - de riesgo en el momento t . En este sencillo ejemplo, el valor de la inversión libre
de riesgo en cualquier momento t se conoce en el momento 0).
c) En cualquier momento podemos adquirir cantidades arbitrariamente grandes
(positivas o negativas) del título o dinero.
El principio de ausencia de arbitraje
Veamos que entendemos por “arbitraje”.
Supongamos disponemos de un conjunto de activos en los que podemos invertir
(con posesiones que pueden ser positivas o negativas). Consideremos una cartera
particular que comienza con valor cero en el momento 0 (de modo que tenemos ciertas
posesiones positivas y alguna negativa ).Con esta cartera se sabe que hay cierto
momento T en el futuro en el que su valor será no-negativo con certidumbre y
estrictamente positivo con probabilidad mayor que cero. Esto se denomina oportunidad
de arbitraje. Para explotar esto podríamos multiplicar todas las cantidades por mil o un
millón y obtener beneficios interesantes sin ningún coste o riesgo.
En Matemática Financiera
y valoración de derivados, hacemos la hipótesis
fundamentalmente de que las oportunidades de arbitraje no existen (o al menos de que sí
existen , desaparecen rápidamente al ser utilizadas).
5.2.- Comparación de los enfoques Económico - Financiero y Actuarial
El enfoque actuarial de la valoración de este contrato daría:
V
a
0
= e-δ Ep [C(S1)] = e-δ [pCu + (1-p)Cd]
donde δ es el tanto instantáneo de actualización con riesgo actuarial.
Comparemos esto con el precio calculado usando los principios de economía financiera
anteriores:
V
0
= e-r EQ [C(S1)] = e-r [qCu + (1-q)Cd]
a
a
Si se están negociando futuros a V 0 , donde V 0 >V 0 , entonces podemos vender
un derivado al precio actuarial y utilizar una cantidad V 0 para construir la cartera (A,B)
en el momento 0.
379
Villalón J. G.
La cartera contrapartida asegura que tenemos derecho a la cantidad de dinero en
el momento t = 1 para pagar al poseedor del contrato de derivado.
a
La diferencia entre V 0 y V 0 es el beneficio garantizado sin ningún riesgo.
a
Análogamente, si V 0 <V 0 , podemos obtener beneficios mediante arbitraje.
Evidentemente, ninguna de estas situaciones podría persistir durante algún tiempo
debido a que la demanda para tales contratos que se negocian a
precio hacia
V
V
a
0
, impulsarían el
rápidamente. Este es el principio fundamental de la economía
0
financiera: es decir, los precios no deben admitir oportunidades de arbitraje. Si existiera,
entonces el mercado eliminaría rápidamente cualquier oportunidad y el exceso resultante
de la oferta o la demanda eliminaría la oportunidad de arbitraje antes de que se pudieran
obtener beneficios sustanciales. Es decir, la oportunidad de arbitraje podría existir
durante periodos de tiempo muy cortos en la práctica, en tanto el mercado se libere de
arbitraje durante la gran mayoría de tiempo y ciertamente en cualquier momento donde
se realizarán grandes transacciones financieras. Por supuesto, no tendríamos problema en
comprar tal contrato si ofreciéramos un precio
V
0
V
a
0
al vendedor, si este fuera mayor que
, pero no podríamos vender a tal precio. Análogamente, podríamos fácilmente vender
una cantidad si
a
V <V
0
0
, pero no podríamos comprar a aquel precio. En ambos casos,
nos quedaríamos en una posición en la que tendríamos que mantener una cartera
arriesgada en orden a tener la posibilidad de un beneficio puesto que el arbitraje
produciría una pérdida garantizada.
Para que tenga sentido razonable V 0 , debemos establecer δ de tal forma que V 0
a
sea igual a
V
0
a
. Es decir, la elección subjetiva de δ en el campo actuarial es lo mismo
que la selección objetiva de la medida de probabilidad Q neutral frente al riego.
380
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Eligiendo δ para igualar
V
a
0
y V 0 lo que no sucede en la práctica y, aunque δ
se establezca con respecto al nivel de riesgo según el contrato derivado, el elemento
a
subjetivo en esta elección significa que no hay garantía de que V 0 sea igual a V 0 .
Por tanto, en general, el enfoque actuarial, en este aspecto, no es el apropiado
para utilizar en la valoración de derivados. Cuando los modelos se generalizan y las
hipótesis se suavizan de tal forma que no sea posible construir estrategias de arbitraje
que reproduzcan exactamente los resultados, entonces existe una regla para una
combinación de enfoque económico - financiero y actuariales.
5.3- Retículos Binomiales
Ahora vamos a ver como podríamos valorar un contrato de derivados en un
modelo multiperiodo con n periodos de tiempo.
Sea c(x) el resultado del derivado si la acción tiene un precio de x en la fecha de
vencimiento n. Por ejemplo, para una opción call europea nosotros tenemos c(x)= max
{x-k,0}, donde k es el precio de ejercicio.
Ahora, supongamos que en cada periodo de tiempo el precio de la acción puede
subir por un factor u o bajar por un factor d= 1/u: es decir, para todo t, St+1 es igual a
Stu, o bien, Std. Esto significa que el efecto movimientos sucesivos de "ascenso y
descenso" es el mismo que el movimiento de "bajada y subida". Además, el tanto de
interés libre de riesgo constante e igual a r, con d < er <u. Entonces, tenemos St = S0 uNt
dt-Nt
Donde Nt es el número de ascensos entre 0 y t (en este sentido, Nt también puede
considerarse como un proceso numerable tiempo - discreto). Esto significa que tenemos
(n+1) estados posibles en el momento n. Vemos que el valor del precio del título en el
momento t depende solamente del número de subidas y bajadas, no del orden en que
acaecen. Debido a esta propiedad el modelo se denomina retículo binomial (ver Fig.6)
381
Villalón J. G.
S0u4
S0u3
S0u2
S0u2d
S0u
S0
S0u3d
S0u2d2
S0ud
S0ud2
S0d
S0ud3
S0d2
S0d3
S0d4
Figura 6: Retículo Binomial
El espacio muestral para este modelo Ω es el conjunto de todas las trayectorias
muestrales desde el momento 0 al momento n. Este se denomina modelo de trayectoria
aleatoria. Hay 2n trayectorias muestrales puesto que hay dos resultados posibles en cada
periodo de tiempo. La información ℑ es la σ-álgebra generada por todas las trayectorias
muestrales desde el momento 0 al n mientras que las filtraciones ℑb están generadas por
todas las trayectorias muestrales hasta el momento t. (Dado el espacio muestral Ω cada
trayectoria muestral hasta el momento t es equivalente a 2n-t elementos del espacio
muestral, cada elemento siendo el mismo en el periodo de 0 a t. Nt y St son variables
aleatorias que son funciones del espacio muestral.)
En este modelo, todos los periodos tienen la misma probabilidad de un ascenso y
los ascensos en cada periodo temporal son independientes entre sí. Por tanto, el número
de ascensos hasta el momento t, Nt, tiene según Q una distribución binomial con
parámetros t y q. Además para 0<t<n, Nt es independiente de Nn-Nt y Nn-Nt tiene una
distribución binomial con parámetros n-t y q.
382
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Vamos a generalizar la notación. Sea Vt(j) el valor equitativo del derivado en el
momento t dado Nt=j para j = 0,...,t. Asimismo, sea Vn(j) = c(S0vjdn-j ). Finalmente
escribimos Vt= Vt(Nt) como valor aleatorio en cierto momento futuro t .
Con el fin de calcular el valor en el momento 0, V(0),debemos operar
retrospectivamente un periodo a veces desde el momento n haciendo uso del modelo
binomial uni-periódico como sigue.
En 1er lugar, consideremos el periodo n-1 a n. Supongamos que Nn-1 = j.
Luego por analogía en el modelo uni-periodo, tenemos :
Vn-1 (j)= e-r [q Vn(j+1)+ (1-q) Vn(j)] = e-r EQ [Vn | ℑn-1]
= e-r EQ [c(Sn)| Nn-1=j ] = e-r EQ [c(Sn)| ℑn-1]
donde q = er-d / u-d;
Análogamente, podemos escribir esto de la forma Vn-1 = e-r EQ [c(Sn)| ℑn-1].
Cuando operamos retrospectivamente, tenemos
Vt-1 = e-r EQ [Vt| ℑt-1] = e-r EQ [e-r EQ (Vt+1 | ℑt)| ℑt-1
= e-2r EQ [Vt+1| ℑt-1].
(utilizando la Ley Fundamental)
= e-(n-t+1) r EQ [Vn| ℑt-1] = e-(n-t+1) r EQ [c(Sn)| ℑt-1].
Finalmente obtenemos:
V0 = e-nr EQ [c(Sn)| ℑ0] = e-nr EQ [c(Sn)| S0]
El precio en el momento t del derivado dependiente de la trayectoria es por tanto:
Vt = e-r(n-t) EQ [c(StuNn -Nt d(n-t)-(Nn-Nt))| Nt]
= e-r(n-t)
n −t
∑c
(Stu k dn-t-k)
k =0
(n − t )!
qk (1-q)n-t-k
k!(n − t − k )
Hemos observado antes que EQ ( S1 ) = S0 er da entrada al uso del nombre
"medida neutral del riesgo” para Q . Análogamente, en el modelo n-periodo, tenemos
[haciendo c(r) = r ];
EQ [St| ℑ0] = S0 ert
Por tanto el uso de la expresión ,"medida neutral de riesgo” para Q es también
válida. Alternativamente podemos escribir:
EQ [e-rtSt| ℑt] = e-rtSt
Es decir, el proceso valor del activo actualizado Dt = e-rt St, es una martingala
según Q. Esto da lugar a otro nombre para Q: "medida de la martingala equivalente".
383
Villalón J. G.
En efecto, generalmente usamos este resultado de otra forma, como veremos a
continuación. Es decir lo primero que procede hacer es encontrar la medida de la
martingala equivalente Q y luego la utilizamos inmediatamente para valorar los
derivados.
El proceso de Wiener,
Si X es un proceso estocástico definido sobre un espacio de probabilidad
(Ω,ℑ,Ρ), se dice es un "proceso de Wiener típico" ( estándar ) si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. X (0) = 0;
2. X, es de incrementos independientes; y
3. Para todo par ( r, t ), tal que r≤ t, la variable X ( t )-X( r ) se distribuye según
una normal tipificada y de varianza ( t-r )
Para que Zt sea un Movimiento Browniano Estándar según la medida Ρ, tiene
que cumplir las siguientes propiedades :
1. Zt , tiene trayectorias muestrales continuas que no son diferenciables en
ninguna parte;
2. Z0 = 0;
3. Zt, se distribuye normalmente con media 0 y varianza t.
4. Para 0 < r < t, Zt-Zr, se distribuye normalmente con media 0 y varianza t-r y es
independiente de Zr;
5. Zt, se puede expresar como la integral estocástica
t
∫ dZr
0
donde dZr se puede
considerar como el incremento de Zt en el intervalo ( r, r+dr ] distribuido según la
normal con media 0 y varianza dr y es independiente de Zr
Un proceso de difusión Xt , es un proceso estocástico que, localmente, es como
un movimiento Browniano escalonado con tendencia. Su dinámica está
determinada mediante una ecuación diferencial estocástica:
dXt = m( t, Xt)dt + r(t, Xt)dZt
Con X0 = constante, donde Zt es u proceso de Wiener estándar y se puede
expresar la solución de esta ecuación de la forma:
384
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Xt = X0 +
∫
t
0
m( u, Xu)du
+
∫
t
0
r( u, Xu)dZu
No hay ningún problema en operar mediante el cálculo tradicional la primera
integral del segundo miembro. Ahora bien, no sucede lo mismo con la segunda integral
ya que no es posible considerarla del tipo Riemann-Stieltjes al ser Zu una función
demasiado volátil. (Esto está relacionado con el hecho de que la Zt no es diferenciable ).
La segunda integral se puede estudiar mediante el uso de la integración de Itô, ver
Oksendal ( 1985 )
Describir la integral estocástica no es muy informativo y, si es posible, es más útil
tener una expresión adecuada de Xt. En muchos casos no es posible lograr esto mediante
el uso del Lema de Itô, también llamado "Teorema Fundamental del Cálculo
Estocástico" ya que es el resultado más utilizado en los modelos financieros en tiempo
continuo y permite calcular la diferencial estocástica de un proceso Υt a partir de la de un
proceso Xt donde Xt e Υt están ligados mediante una relación funcional del tipo:
Υt = F(Xt,t)
Entonces, si suponemos que Xt e Υt son procesos de difusión con
dXt = µ( Xt ,t)dt + ρ( Xt ,t)dZt e Υt = f(Xt ,t) para cierta función f(t,r)
dΥt =
∂2 f
∂f
∂f
( Xt ,t)dt +
( Xt ,t)dXt + 1/2 2 ( Xt ,t)ρ ( Xt ,t)2 dt
∂t
∂x
∂x
En el caso particular de que Xt = Zt e Υt = exp(at+bXt) = f(Xt ,t) se tendría que:
∂f
= a exp (at+bx) = a f(t, x)
∂t
∂f
= b f(t, x)
∂x
∂
2
f
∂x
2
= b2 f(t, x)
y, por tanto, por el Lema de Itô:
dΥt =aΥt dt + bΥt dXt +1/2 b2 Υt dt =(a+
385
1 2
b ) Υt dt+bΥt dZt
2
Villalón J. G.
5.4 Un modelo en tiempo continuo ( El modelo de valoración de opciones de BlackScholes )
Ahora, vamos a operar en tiempo continuo.
Sea St el precio de una acción
que no paga dividendo para 0 ≤ t ≤ T.
Supongamos que un derivado paga c ( r ) en el momento T si el precio de la acción en
T es r .
El modelo particular que vamos a considerar para St es del tipo "movimiento
Browniano geométrico": este es, St = S0 exp[(µ-
1
σ)t+σ Zt], donde Zt es un
2
movimiento Browniano estándar según la medida Ρ.
Esto significa que St tiene una distribución log-normal con media S0 exp ( nt ), y
varianza exp ( 2nt ). [exp ( σ2t) –1 ]. Aplicando el Lema de Itô podemos escribir la
“ecuación diferencial estocástica” ( E D E ) para St de la forma siguiente:
dSt = µ Stdt + δStdZt
Es decir, el cambio del título subyacente sigue un movimiento Browniano
geométrico, donde µ y σ son la esperanza y la desviación típica instantáneas de los
rendimientos del título y Zt es un proceso de Wiener estándar.
Por analogía en el momento binomial, hay otra medida de probabilidad Q ( la
medida neutral frente al riesgo, o bien, medida martingala equivalente) según la cual:
a) e-rt St, es una martingala;
b) St, se puede escribir como el movimiento Browniano geométrico
S0 exp[(r-
1 2
σ )t+σZt], donde Zt(t) es un movimiento Browniano estándar según Q.
2
Continuando la analogía con el modelo binomial ( véase Baxter-Rennie ( 1996 ))
también podemos decir que el valor en el momento t del derivado es:
Vt = e-r (T –t ) EQ [ c ( ST) | ℑt ] = e-r ( T-t ) EQ[ c ( ST ) | St ]
Con cierta dificultad también podemos ver que, según este modelo, si invertimos
Vt directamente ( es decir, con una adecuada estrategia de arbitraje ) entonces podemos
reproducir exactamente el resultado en T sin necesidad de más dinero.
Supongamos que consideramos una opción call Europea, de modo que
386
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
c( r ) = max { r-k, 0 }. Entonces, utilizando una propiedad de la distribución log- normal
obtenemos la fórmula de Black-Scholes:
Vt=S1 Φ(d1)-ke-r(T-t) Φ(d2)
donde Φ(y) =
donde
1
2π
y
−r
∫ e
−∞
2
dr , es decir, la distribución normal.
St
1
log
+ (r + σ 2 (T − t )
k
2
d1 =
σ T-t
y
d2 = d1 -σ T − t
Un desarrollo más detallado de la valoración y cobertura de los derivados en tiempo
continuo se puede ver en Mallaris|Brock ( 1995 ).
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