Notas 2 - Estadística e Investigación Operativa

Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Universidad de Valladolid
Notas sobre el programa AMPL
(Notas 2: dirigidas a los alumnos de 2º curso)
Índice
Parte I: Conjuntos.
1. Conjuntos simples e índices.
2. Conjuntos de pares ordenados.
3. Algunas formas de dar una matriz.
4. Conjuntos de n-uplas.
5. Expresiones.
6. Ejercicios.

Del problema del transporte.

Del problema de la dieta.

Del problema de producción.

Del problema de flujo con coste mínimo.

Del problema del camino más corto.

Del problema de flujo máximo.
Parte II. Otros comandos.
1. El comando LET.
2. El comando FOR.
3. Ejercicios.

Del problema del CPM.

Del problema del PERT.
4. Otros ejercicios.
Parte III. El problema del transporte. Algunas alternativas.
Parte IV: El problema del transporte con cotas
Parte V: El problema de flujo con coste mínimo.
Parte VI: El problema de la mochila.
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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Parte I: Conjuntos.
Para lo que sigue puede ser útil disponer de ficheros en los que se dan ejemplos de modelos concretos
ya elaborados. En la página de www.ampl.com se dispone de algunos ejemplos en “Examples from the
AMPL book”. Para descargarlos, seguir uno de los siguientes procedimientos:
A. Primero:
 En la parte alta pinchar en BOOK.
 El la columna de la izquierda pinchar en examples.
 Pinchar en by filename.
B. Segundo de búsqueda:
 En la parte alta pinchar en EXAMPLES.
 En el apartado “Examples from the AMPL book” pinchar en by filename.
Nota: Para las explicaciones que siguen es útil repasar el Problema del transporte ya que se adapta
muy bien a las necesidades asociadas.
1. Conjuntos simples e índices.
A. Conjuntos simples definidos explícitamente.
El tipo más sencillo de conjunto está definido explícitamente mediante sus elementos como
sucesión de caracteres. Así podemos definir en el archivo .mod dos conjuntos mediante las
declaraciones:
set ORIGENES;
set DESTINOS;
y en el archivo de datos ( xxx.dat) especificar sus elementos del siguiente modo:
set ORIGENES:= orig1 orig2 orig3 ;
set DESTINOS:= dest1,dest2,dest3,dest4;
Esta forma de definición de conjuntos suele hacerse sólo para conjuntos pequeños, donde,
además, se quiere conservar el nombre de los elementos.
(Nota: En este caso, la especificación de los datos también puede hacerse en el fichero .mod).
B. Conjuntos simples definidos implícitamente. Índices.
Los tipos de conjuntos más utilizados son los conjuntos de números, y generalmente van a
corresponder a los conjuntos de índices de un modelo. Por ejemplo, para definir un conjunto
de 12 elementos con nombre orígenes, basta declarar:
set ORIGENES:= 1..12;
Aunque la anterior declaración es válida, es más conveniente declarar en el modelo de la
forma:
param m;
set ORIGENES:= 1..m;
y en el fichero de datos especificar:
param m:=12;
De esta forma se logra una separación más efectiva entre el modelo y los datos.
(Nota: En este caso, la especificación de los datos también puede hacerse en el fichero .mod).
Nota: Cuando en la definición de un conjunto interviene un periodo distinto de 1, esto puede
indicarse mediante la cláusula by, indicando el periodo. Por ejemplo, en lugar de poner:
set QUINQUENIOS:={1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020};
es más conveniente poner:
set QUINQUENIOS:=1990..2020 by 5;
2. Conjuntos de pares ordenados.
A partir de conjuntos simples es posible formar conjuntos compuestos. El más sencillo de todos
ellos es el producto cartesiano o conjunto de pares ordenados. Es útil para manejar matrices de
datos como cij o variables con dos índices como xij. Hay varias formas de manejar tales
situaciones.
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A. Forma implícita completa sin nombre (se consideran todos los pares ordenados): no se
da nombre explícitamente al nuevo conjunto, pero se definen parámetros o variables sobre
dicho conjunto. Por ejemplo:
param coste {ORIGENES,DESTINOS}>=0; # indica el coste unitario del transporte
var flujo {ORIGENES,DESTINOS}>=0; # indica la cantidad a transportar
Este método se usa en el ejemplo que más adelante veremos.
B. Forma explícita completa con nombre (se consideran todos los pares ordenados): se da
nombre explícitamente al nuevo conjunto y, en su caso, se definen parámetros o variables
sobre dicho conjunto. Por ejemplo:
set RUTAS:={ORIGENES, DESTINOS};
param coste {RUTAS}>=0; # indica el coste unitario del transporte
var flujo {RUTAS}>=0;
# indica la cantidad a transportar
C. Forma explícita incompleta (no se consideran todos los pares ordenados): se da nombre
explícitamente al nuevo conjunto y, en su caso, se definen parámetros o variables sobre dicho
conjunto. Por ejemplo:
set RUTAS within {ORIGENES, DESTINOS};
param coste {RUTAS}>=0; # indica el coste unitario del transporte
var flujo {RUTAS}>=0;
# indica la cantidad a transportar
Más adelante, en el fichero de datos se explicitará quienes son los elementos del conjunto
RUTAS.
3. Algunas formas de dar una matriz.
A. Usando A del apartado anterior y el formato1.
# fichero matriz_sin_f1.mod
# usamos el formato 1
param m;
param n;
set FILAS:=1..m;
set COLUMNAS:=1..n;
param valores_matriz{FILAS,COLUMNAS};
# fichero matriz_sin_f1.dat
param m:=3;
param n:=4;
param
1
1 5
2 5
3 6
valores_matriz:
2 3 4:=
2 3 8
8 9 11
7 3 12;
# fichero matriz_sin_f1.run
# include D:\users\redes\matriz_sin_f11.run;
reset;
model D:\users\redes\matriz-sin_f1.mod;
data D:\users\redes\matriz_sin_f1.dat;
option solver cplex;
solve;
display valores_matriz;
Resultado
valores_matriz :=
11 5
12 2
13 3
14 8
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24
31
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;
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5
8
9
11
6
7
3
12
B. Usando A del apartado anterior y el formato2.
# fichero matriz_sin_f2.mod
# usamos el formato 2
set FILAS;
set COLUMNAS;
param valores_matriz{FILAS,COLUMNAS};
# fichero matriz_sin_f2.dat
# usamos el formato 2
set FILAS:=
fila1
fila2
fila3;
set COLUMNAS:=
col1
col2
col3
col4;
param valores_matriz:
col1 col2 col3 col4:=
fila1 5
2
3
8
fila2 5
8
9
11
fila3 6
7
3
12;
# fichero matriz_sin_f2.run
# usamos el formato 2
# include D:\users\redes\matriz_sin_f2.run;
reset;
model D:\users\redes\matriz_sin_f2.mod;
data D:\users\redes\matriz_sin_f2.dat;
option solver cplex;
solve;
display valores_matriz;
Resultado
valores_matriz :=
valores_matriz :=
fila1 col1 5
fila1 col2 2
fila1 col3 3
fila1 col4 8
fila2 col1 5
fila2 col2 8
fila2 col3 9
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fila2 col4
fila3 col1
fila3 col2
fila3 col3
fila3 col4
;
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11
6
7
3
12
C. Usando B del apartado anterior y el formato1.
# fichero matriz_con_f1.mod
# usamos el formato 1
param m;
param n;
set FILAS:=1..m;
set COLUMNAS:=1..n;
set MATRIZ:={FILA, COLUMNAS};
param valores_matriz{MATRIZ};
Los ficheros .dat y punto run son los dados en A de este apartado.
D. Usando B del apartado anterior y el formato2.
# fichero matriz_con_f1.mod
# usamos el formato 1
set FILAS;
set COLUMNAS;
set MATRIZ:={FILA, COLUMNAS};
param valores_matriz{FILAS,COLUMNAS};
Los ficheros .dat y punto run son los dados en B de este apartado.
E. Usando una descripción de la matriz como un conjunto de filas, donde cada columna es un
parámetro sobre el conjunto de las filas.
# fichero matriz3.mod
set FILAS;
param colum1{FILAS};
param colum2{FILAS};
param colum3{FILAS};
param colum4{FILAS};
# fichero matriz3.dat
param:
FILAS:
fila1
fila2
fila3
colum1
5
5
6
colum2
2
8
7
colum3
3
9
3
colum4:=
8
11
12;
# fichero matriz3.run
# include D:\users\redes\matriz3.run;
reset;
model D:\users\redes\matriz3.mod;
data D:\users\redes\matriz3.dat;
# option solver cplex;
# solve;
printf"\n";
display colum1, colum2, colum3, colum4;
Resultado
:
fila1
fila2
fila3
colum1
5
5
6
colum2
2
8
7
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colum3
3
9
3
colum4
8
11
12;
:=
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F. Usando una descripción de la matriz como un conjunto de columnas donde cada fila es un
parámetro sobre el conjunto de las columnas.
# fichero matriz4.mod
set COLUMNAS;
param fila1{COLUMNAS };
param fila2{ COLUMNAS };
param fila3{ COLUMNAS };
# fichero matriz4.dat
param:
COLUMNAS:
colum1
colum2
colum3
colum4
fila1
5
2
3
8
fila2
5
8
9
11
fila3:=
6
7
3
12;
# fichero matriz4.run
# include D:\users\redes\matriz4.run;
reset;
model D:\users\redes\matriz4.mod;
data D:\users\redes\matriz4.dat;
# option solver cplex;
# solve;
printf"\n";
display fila1, fila2, fila3;
Resultado
:
fila1
colum1 5
colum2 2
colum3 3
colum4 8
;
fila2
5
8
9
11
fila3 :=
6
7
3
12
4. Conjuntos de n-uplas.
De la misma forma que para pares, pueden definirse parámetros y variables con tres o más
índices, definiendo primero los conjuntos simples y después el producto cartesiano. Así, por
ejemplo, si se han definido tres conjuntos con nombres PRODUCTOS, PERIODOS y
METODOS, y queremos definir una variable con tres índices xijk basta poner:
var x {PRODUCTOS, PERIODOS,METODOS,}>=0;
y del mismo modo para los parámetros.
5. Parámetros y expresiones.
Los datos de un modelo se introducen en este mediante su declaración como parámetros. Son
posibles varias situaciones:
A. Parámetros unidimensionales. Basta una declaración del tipo:
param m;
B. Parámetros vectoriales. Se asocian a conjuntos simples. Si DESTINOS es un conjunto
simple, basta una declaración del tipo:
param demanda {DESTINOS};
Una alternativa válida es poner:
param demanda {i in DESTINOS};
C. Parámetros matriciales. Se asocian a conjuntos de pares ordenados. Si RUTAS es un conjunto
de pares ordenados, basta una declaración del tipo:
param coste {RUTAS};
Alternativas válidas son:
param coste {(i,j) in RUTAS};
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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param coste {i in ORIGENES , j in DESTINOS};
En este último caso se supone que ORIGENES y DESTINOS son conjuntos simples.
Restricciones sobre parámetros.
Cuando se declara un parámetro pueden añadirse restricciones sobre el mismo para que AMPL
rechace valores inadecuados que puedan asignársele. Así, pueden declararse parámetros de la
forma:
param N>1, integer;
param demanda {DESTINOS}>=0;
param cota_sup{i in ORIGENES, j in DESTINOS}>=cota_inferior[i,j];
(en este último caso se supone que ya se conoce el parámetro cota_inferior declarado sobre el
producto cartesiano {ORIGENES, DESTINOS}).
Parámetros calculados.
Normalmente, los parámetros son datos cuyos valores son especificados en el archivo de
datos (es decir, en el archivo .dat) mediante el símbolo :=. Sin embargo, en algunas
ocasiones hay parámetros que son calculados en el mismo modelo a partir de otros
parámetros. Así, por ejemplo, si conocemos ya los datos asociados a dem[j] para cada
valor de j en el conjunto PRODUCTOS, podemos declarar el nuevo parámetro:
param suma_total := sum{j in PRODUCTOS} dem[j];
Expresiones.
Para la construcción de modelos de optimización un operador muy utilizado es sum, que suma
cierta expresión cuando se recorre los elementos de un conjunto, y corresponde a los sumatorios
en modelos matemáticos. Así se pueden usar expresiones del tipo:
sum {i in ORIGENES} oferta[i];
sum {j in DESTINOS} demanda [j];
sum {(i,j) in RUTAS} coste[i,j];
sum {i in ORIGENES, j in DESTINOS} coste[i,j];
Dos puntos (ver libro de AMPL (1993, p. 141, lin. -11).
Detrás del comando param se ponen dos puntos para indicar:
(i) que a continuación se van a varios parámetros (más de uno).
(ii) el nombre de un conjunto. En este caso, detrás del nombre del conjunto se ponen dos puntos
para indicar que detrás van los parámetros.
Detrás de un parámetro matricial se ponen dos puntos (ver el problema del transporte).
6. Ejercicios sobre la teoría anterior.
Ver:
A. El problema del transporte (Winston(n) p. 360).
B. El problema de la dieta (Winston p. ¿79?).
C. El problema de flujo con coste mínimo (Winston(n) p. 450 y 466).
D. El problema del camino más corto (Winston(n) p. 414).
E. El problema de flujo máximo (Winston(n) p. 419).
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Parte II: Otros comandos
1. El comando LET.
A. Sirve para asignar o cambiar el valor de un parámetro ya declarado.
B. Ejemplo para un parámetro simple.
param a;
let a:=5;
display a;
let a:=10;
C. Ejemplo para un parámetro vectorial. Supongamos que se tiene declarado el conjunto
DESTINOS y sobe el mismo los parametros oferta y demanda. Conocido este último,
podemos poner:
let {i in DESTINOS} ofera[i]:=demanda[i];
2. El comando FOR.
A. Sirve para ejecutar repetidamente una serie de comandos (bucle) que se escribe entre llaves,
es decir, en la forma {serie de comandos}.
B. Ejemplo sencillo.
for {i in 1..n} {serie de comandos}.
C. Ejemplo si se tiene un conjunto simple cualquiera, llamémosle CONTADOR.
for {i in CONTADOR} {serie de comandos}.
D. Ejemplo más complejo. Supongamos que en un modelo hay un parámetro llamado tasa y
queremos resolver el modelo para los siguientes valores de tasa: 8, 9, 10, 11 y 12. Puede
hacerse lo siguiente:
set VALORES:= 8 9 10 11 12;
for {t in VALORES}
{let tasa:=t;
solve;
display;
}
3. Ejercicios.
En la página Web del profesor pueden verse ejemplos sobre el problema del CPM y del PERT.
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Parte III: El problema del transporte. Algunas alternativas.
Algunas alternativas para expresar el problema del transporte por medio de cambios en
los ficheros .mod y .dat, sin cambios significativos en los ficheros .run.
El problema del transporte (ver Winston(n) p. 360).
m
Minimizar
z 
n
 c x
ij ij
i 1 j 1
n
sujeta a :
x

si
para i  1,..., m
x
 dj
para j  1,..., n
ij
j 1
m
ij
i 1
xij

0
para i  1,..., m, j  i,..., n
ALTERNATIVA 1 (formato 1).
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. No se da nombre explícitamente al conjunto derivado (producto cartesiano).
1. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos usando el comando param.
Fichero trans1.mod
param m;
param n;
# m es el número de orígenes
# n es el número de destinos
set ORIGENES:=1..m;
set DESTINOS:=1..n;
param oferta{ORIGENES}>=0;
param demanda{DESTINOS}>=0;
param coste{ORIGENES,DESTINOS}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
var flujo{ORIGENES,DESTINOS}>=0;
# flujo es la matriz de variables de decisión (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total: sum {i in ORIGENES,j in DESTINOS} coste[i,j]*flujo[i,j]; # función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
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Fichero trans1.dat
param m:=3;
param n:=4;
param oferta:=
1 35
2 50
3 40;
param demanda:=
1 45
2 20
3 30
4 30;
param coste:
1 2
1 8 6
2 9 12
3 14 9
3
10
13
16
4:=
9
7
5;
ALTERNATIVA para param coste:
param coste:=
1 1 8
1 2 6
1 3 10
1 4 9
2 1 9
2 2 12
2 3 13
2 4 7
3 1 14
3 2 9
3 3 16
3 4 5;
Fichero trans1.run
reset;
model D:\trans1.mod;
data D:\trans1.dat;
option solver cplex;
solve;
display coste_total;
display flujo;
NOTA: Todos los ficheros . run necesarios para las alternativas que siguen son análogos al trans1.run cambiando
coherentemente los ficheros .mod y .dat.
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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ALTERNATIVA 2 (formato 2).
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. No se da nombre explícitamente al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres literarios a los elementos de los conjuntos primitivos.
Fichero trans2.mod
set ORIGENES;
set DESTINOS;
param oferta{ORIGENES}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
param demanda{DESTINOS}>=0;
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
param coste{ORIGENES,DESTINOS}>=0; # costes es la matriz de costes unitarios (cij)
var flujo{ORIGENES,DESTINOS}>=0;
# flujo es la matriz de variables de decisión n (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total: sum {i in ORIGENES,j in DESTINOS} coste[i,j]*flujo[i,j]; # función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
Fichero trans2.dat
#datos del problema de Winston p. 337
param: ORIGENES: oferta:=
oporto 35
lisboa
50
faro 40;
param: DESTINOS: demanda:=
barcelona
45
valencia
20
murcia
30
almeria
30;
param coste:
barcelona
valencia
murcia
oporto 8
6
10
lisboa
9
12
13
faro
14
9
16
almeria :=
9
7
5;
ALTERNATIVA para param coste:
param coste:=
oporto barcelona
8
oporto valencia
6
oporto murcia
10
oporto almeria
9
lisboa barcelona
9
lisboa valencia
12
lisboa murcia
13
lisboa almeria
7
faro barcelona
14
faro valencia
9
faro murcia
16
faro almeria
5;
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ALTERNATIVA 3
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. No se da nombre explícitamente al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos sin usar el comando param.
Fichero trans3.mod
Es igual al fichero trans2.mod.
Fichero trans3.dat
param: ORIGENES: oferta:=
1 35
2 50
3 40;
param: DESTINOS: demanda:=
1 45
2 20
3 30
4 30;
param coste:
1 2 3 4:=
1 8 6 10 9
2 9 12 13 7
3 14 9 16 5;
ALTERNATIVA 4
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. Se da nombre literario al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos usando el comando param.
Fichero trans4.mod
param m;
# m es el número de orígenes
param n;
# n es el número de destinos
set ORIGENES:=1..m;
set DESTINOS:=1..n;
set RUTAS:={ORIGENES,DESTINOS};
# alternativa set RUTAS:=ORIGENES cross DESTINOS ;
param oferta{ORIGENES}>=0;
param demanda{DESTINOS}>=0;
param coste{RUTAS}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
var flujo{RUTAS}>=0;
# flujo es la matriz de variables de decisión (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total:
sum {(i,j) in RUTAS} coste[i,j]*flujo[i,j];
# función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
Fichero trans4.dat
Es iguala al fichero trans1.dat
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ALTERNATIVA 5.
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. Se da nombre literario al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres literarios a los elementos de los conjuntos primitivos.
Fichero trans5.mod
set ORIGENES;
set DESTINOS;
set RUTAS:={ORIGENES,DESTINOS};
# alternativa set RUTAS:=ORIGENES cross DESTINOS ;
param oferta{ORIGENES}>=0;
param demanda{DESTINOS}>=0;
param coste{RUTAS}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
var flujo{RUTAS}>=0;
# flujo es la matriz de variables de decisión n (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total:
sum {(i,j) in RUTAS} coste[i,j]*flujo[i,j];
# función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
Fichero trans5.dat
Es igual al fichero trans2.dat
ALTERNATIVA 6.
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. Se da nombre literario al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos sin usar el param.
Fichero trans6.mod
Es igual al fichero trans2.mod.
Fichero trans6.dat
Es igual al fichero trans3.dat.
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ALTERNATIVA 7
Nota:
1. Se dan directamente nombres numéricos a los conjuntos primitivo.
2. Se da directamente nombre numérico al conjunto primitivo.
3. Se usan los parámetros m y n para expresar directamente los elementos de los conjuntos primitivos
4. Se usan los parámetros m y n para expresar directamente los elementos del conjunto derivado (producto
cartesiano).
Fichero trans7.mod
param m;
param n;
# m es el número de orígenes
# n es el número de destinos
param oferta{1..m}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
param demanda{1..n}>=0;
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
param coste{1..m,1..n}>=0;
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
var flujo{1..m,1..n}>=0;
# flujo es la matriz de variables de decisión n (xij)
check: sum{i in 1..m} oferta[i] >= sum {j in 1..n} demanda[j] ;
minimize coste_total:
sum {(i,j) in {1..m,1..n}} coste[i,j]*flujo[i,j];
# función objetivo
# alternativa sum {i in 1..m, j in 1..n} coste[i,j]*flujo[i,j]; # función objetivo
subject to res_oferta{i in 1..m}:
sum{j in 1..n}flujo[i,j] <= oferta[i]; # restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in 1..n}:
sum{i in 1..m}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
# Nota: en lugar de {i in 1..m} o {j in 1..n} vale {i in {1..m}} o {j in {1..n}}
Fichero trans7.dat
Es igual al fichero trans3.dat
Fichero trans7.run
Es análogo al trans1.run cambiando coherentemente los ficheros .mod y .dat.
RESUMEN
1
2
3
4
5
6
7
¿Se dan nombres literarios a los
conjuntos primitivos?
SI
SI
SI
SI
SI
SI
NO
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
¿Se da nombre literario al
conjunto derivado?
NO
NO
NO
SI
SI
SI
NO
Los elementos de los
conjuntos primitivos son
Numéricos usando param
Literarios
Numéricos sin usar param
Numéricos sin param
Numéricos con param
Numéricos usando param
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Universidad de Valladolid
Parte IV: El problema del transporte con cotas
m
Minimizar
z

 c x
ij
i 1
sujeta a :
n
ij
j 1
n
x

si
para i  1,..., m
x
 dj
para j  1,..., n
xij
 uij
para i  1,..., m, j  i,..., n
ij
j 1
m
ij
i 1
lij

ALTERNATIVA 1 (paralela a la Alternativa 3 de la Parte III).
Fichero trans-c1.mod
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. Se da nombre literarios al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos y se usa la instrucción param.
4. Las cotas se definen como restricciones funcionales sobre las variables.
param m;
# m es el número de orígenes
param n;
# n es el número de destinos
set ORIGENES:=1..m;
set DESTINOS=1..n;
set RUTAS:={ORIGENES,DESTINOS};
# alternativa set RUTAS:=ORIGENES cross DESTINOS ;
param oferta{ORIGENES}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
param demanda{DESTINOS}>=0;
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
param coste{RUTAS}>=0;
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
param cota_inf{RUTAS};
# cota inferior de la variable flujo (lij <= xij)
param cota_sup{RUTAS};
# cota superior de la variable flujo (xij <= uij)
var flujo{RUTAS};
# flujo es la matriz de variables de decisión (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total:
sum {(i,j) in RUTAS} coste[i,j]*flujo[i,j];
# función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
subject to res_cotas{(i,j) in RUTAS}:
cota_inf[i,j] <= flujo[i,j]<=cota_sup[i,j] ;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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Fichero trans-c1.dat
#datos del problema de Winston p. 337
param m:=3;
param n:=4;
param oferta:=
1 35
2 50
3 40;
param demanda:=
1 45
2 20
3 30
4 30;
param coste:
1 2 3 4:=
1 8 6 10 9
2 9 12 13 7
3 14 9 16 5;
param cota_inf:
1 2
1 0 0
2 0 0
3 0 0
3
0
0
0
4:=
0
0
0;
param cota_sup:
1 2
1 50 50
2 50 50
3 50 50
3
50
50
50
4:=
50
50
50;
ALTERNATIVA para param coste cota_inf y cota_sup
param: coste
1 1 8
1 2 6
1 3 10
1 4 9
2 1 9
2 2 12
2 3 13
2 4 7
3 1 14
3 2 9
3 3 16
3 4 5
cota_inf cota_sup :=
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50
0 50;
Nota: con ligeros cambios es posible obtener otras 6 alternativas paralelas a las dadas en la Parte III.
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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ALTERNATIVA 2 (paralela a la Alternativa 3 de la Parte III).
Fichero trans-c2.mod
Nota:
1. Se dan nombres literarios a los conjuntos primitivos.
2. Se da nombre literarios al conjunto derivado (producto cartesiano).
3. Se dan nombres numéricos a los elementos de los conjuntos primitivos y se usa la instrucción param.
4. Las cotas se definen directamente sobre las variables.
param m;
# m es el número de orígenes
param n;
# n es el número de destinos
set ORIGENES:=1..m;
set DESTINOS=1..n;
set RUTAS:={ORIGENES,DESTINOS};
# alternativa set RUTAS:=ORIGENES cross DESTINOS ;
param oferta{ORIGENES}>=0;
# ofertas es el vector de ofertas o disponibilidades (si).
param demanda{DESTINOS}>=0;
# demandas es el vector de demandas o requerimientos (dj)
param coste{RUTAS}>=0;
# costes es la matriz de costes unitarios (cij)
param cota_inf{RUTAS};
# cota inferior de la variable flujo (lij <= xij)
param cota_sup{RUTAS};
# cota superior de la variable flujo (xij <= uij)
# alternativa más completa
# param cota_sup{ (i,j) in RUTAS} >= cota_inf[i,j] ;
var flujo{(i,j) in RUTAS}>= cota_inf[i,j], <= cota_sup[i,j]; # flujo es la matriz de variables de decisión (xij)
check: sum{i in ORIGENES} oferta[i] >= sum {j in DESTINOS} demanda[j] ;
minimize coste_total:
sum {(i,j) in RUTAS} coste[i,j]*flujo[i,j];
# función objetivo
subject to res_oferta{i in ORIGENES}:
sum{j in DESTINOS}flujo[i,j] <= oferta[i];
# restricciones asociadas a la oferta en cada origen
subject to res_demanda{j in DESTINOS}:
sum{i in ORIGENES}flujo[i,j] >= demanda[j]; # restricciones asociadas a la demanda en cada destino
Fichero trans-c2.dat
Es igual al fichero Fichero trans-c1.dat
Nota: con ligeros cambios es posible obtener otras 6 alternativas paralelas a las dadas en la Parte III.
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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Parte V: El problema de flujo con coste mínimo.
Problema de flujo con coste mínimo (PFCM).
Ver Winston edición (2005) página 466 Fig. 66.
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Teniendo en cuenta las referencias anteriores, se considera la red de la Figura 1 con:
(i) Ofertas sobre los nodos dadas en la Tabla 1.
(ii) Costes y cotas superiores dados en la Tabla 2.
Se pide:
(a) Formular el correspondiente problema de flujo con coste mínimo.
(b) Usando AMPL resolver el problema formulado.
Figura 1
4
2
7
1
5
8
3
6
Tabla 1
Nodos
1
2
3
4
5
6
7
8
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
Demandas
100
0
0
0
0
0
-25
-75
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Tabla 2
Arcos
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,5)
(3,6)
(4,7)
(4,5)
(5,7)
(5,8)
(6,7)
(6,8)
(7,8)
Costes
($)
15
10
5
10
10
5
25
8
45
30
10
10
30
15
45
Cotas
75
50
40
30
50
30
40
60
100
60
40
40
50
80
100
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA

Variables de decisión:
xij = número de unidades de flujo enviadas desde el nodo i al nodo j a través del arco (i,j).

Función objetivo:
Minimizar z = 15x12 + 10 x13 + 5 x23 + 10 x24 + 10 x25 + 5 x26 + 25x35 + 8x36 + 30 x45 + 45 x47 +
10 x57 + 40 x58 + 30 x67 + 15 x68 + 45 x78
Esto es, minimizar el gasto total en el proceso de trasladar las unidades de flujo a través de cada
arco (i,j).

Restricciones asociadas a los arcos:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x12  75
x13 50
x23  40
x24  30
x25  50
x26  30
x35  40
x36  60
x45  60
x47  100
x57  40
x58  40
x67  50
Arco (1,2)
Arco (1,3)
Arco (2,3)
Arco (2,4)
Arco (2,5)
Arco (2,6)
Arco (3,5)
Arco (3,6)
Arco (4,5)
Arco (4,7)
Arco (5,7)
Arco (5,8)
Arco (6,7)
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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0  x68  80
0  x78  100
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Arco (6,8)
Arco (7,8)
Restricciones asociadas a los nodos: {lo que sale}  {entra} = hay
x12 + x13=100
x23 + x24 + x25 + x26  x12 = 0
x35 + x36  x13  x23 = 0
x45 + x47  x24 = 0
x57 + x58  x25  x35  x45 = 0
x67 + x68  x26  x36 = 0
x78  x47  x57  x67=  25
x58 x68=  75
(Nodo 1)
(Nodo 2)
(Nodo 3)
(Nodo 4)
(Nodo 5)
(Nodo 6)
(Nodo 7)
(Nodo 8)
O, de un modo más resumido:
Minimizar
Sujeta a:
x
kj
j :( k , j ) ARCOS

c x
ij ij
( i , j )ARCOS
x
ik
i:( i , k ) ARCOS
 bk para cada nodo k.
0  xij  uij para cada arco (i,j).
PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 0.
Modelo explicito donde el fichero .mod incluye simultáneamente el modelo y los datos.
Fichero W466-66-f0-(2010).mod
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 0
# Fichero W466-66-f0-(2009).mod
# Variables de decision
var x12>=0, <=75;
var x13>=0, <=50;
var x23>=0, <= 40;
var x24>=0, <= 30;
var x25>=0, <= 50;
var x26>=0, <= 30;
var x35>=0, <= 40;
var x36>=0, <= 60;
var x45>=0, <= 60;
var x47>=0, <= 100;
var x57>=0, <= 40;
var x58>=0, <= 40;
var x67>=0, <= 50;
var x68>=0, <= 80;
var x78>=0, <= 100;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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# Funcion objetivo
minimize objetivo: 15*x12 + 10*x13 + 5*x23 + 10*x24 + 10*x25 + 5*x26 + 25*x35 + 8*x36 + 30*x45 +
45*x47 + 10*x57 + 10*x58 + 30*x67 + 15*x68 + 45*x78;
# Restricciones asociadas a los nodos, es decir: {sale}-{entra}=hay
subject to res_1: x12+ x13 = 100 ;
# nodo 1
subject to res_2: x23 + x24 + x25 + x26 -x12 = 0 ; # nodo 2
subject to res_3: x35 + x36 - x13 - x23 = 0 ;
# nodo 3
subject to res_4: x45 + x47 - x24 = 0 ;
# nodo 4
subject to res_5: x57 + x58 - x25 - x35 - x45 = 0 ; # nodo 5
subject to res_6: x67 + x68 - x26 - x36 = 0 ;
# nodo 6
subject to res_7: x78 - x47 - x57 - x67 = -25;
# nodo 7
subject to res_8: -x58 - x68= -75;
# nodo 8
Instrucciones a introducir en AMPL:
sw: ampl
ampl: reset;
ampl: model D:\users\redes\W337-01-f0-(2010).mod;
ampl: option solver cplex;
ampl: show;
ampl: expand;
ampl: solve;
ampl: printf"\n flujo \n";
ampl: display {i in 1.._nvars} (_varname[i], _var[i]);
ampl: printf"\n valor objetivo \n";
ampl: display objetivo;
Solución:
CPLEX 7.1.0: optimal solution; objective 3400
6 simplex iterations (3 in phase I)
objetivo = 3400
Arco
X12
X13
X23
X24
X25
X26
X35
X36
X45
X47
X57
X58
X67
X68
X78
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
Número de unidades
50
50
0
0
50
0
0
50
0
0
25
25
0
50
0
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PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 1.
Formato 1 significa usar los parámetros m y n asociados al número de plantas (orígenes) y
ciudades (destinos), respectivamente y, por tanto, nombrar las plantas y las ciudades usando
números.
Fichero W466-66-f1-(2010).mod
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 1
# Fichero W466-66-f1-(2010).mod
param m;
set NODOS:=1..m;
set ARCOS within {NODOS,NODOS};
param oferta{NODOS};
param coste{ARCOS}>=0;
param cota_sup{ARCOS}>=0;
var x {(i,j) in ARCOS}>=0,<=cota_sup[i,j];
# Funcion objetivo
minimize objetivo:
sum{(i,j) in ARCOS}coste[i,j]*x[i,j];
# Las resctricciones
subject to res_nodos{k in NODOS}:
(sum{(k,j)in ARCOS}x[k,j]-sum{(i,k)in ARCOS}x[i,k])=oferta[k];
Fichero W466-66-f1-(2010).dat
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 0
# Fichero W466-66-f1-(2010).dat
param m:=8;
param
oferta:=
1
100
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
-25
8
-75;
param: ARCOS : coste
1 2
15
1 3
10
2 3
5
2 4
10
2 5
10
2 6
5
3 5
25
3 6
8
4 5
45
4 7
30
cota_sup :=
75
50
40
30
50
30
40
60
60
100
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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5
5
6
6
7
7
8
7
8
8
10
10
30
15
45
Universidad de Valladolid
40
40
50
80
100;
Fichero W466-66-f1-(2010).run
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 1
# Fichero W466-66-f1-(2010).run
reset;
model D:\users\redes\W466-66-f1-(2010).mod ;
data D:\users\redes\W466-66-f1-(2010).dat;
option solver cplex;
show;
expand;
solve;
display objetivo;
display x;
Solución del problema con AMPL:
Coincide con la dada anteriormente.
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 2.
Formato 2 significa usar los nombres asociados a las plantas y ciudades; por tanto, no se usan los
parámetros m y n asociados al número de plantas (orígenes) y al número de ciudades (destinos),
respectivamente.
Fichero W466-66-f2-(2010).mod
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 1
# Fichero W466-66-f2-(2010).mod
set NODOS;
set ARCOS within {NODOS,NODOS};
param oferta{NODOS};
param coste{ARCOS}>=0;
# Cota superior del flujo en el arco (i,j)
param cota_sup{ARCOS}>=0;
var x {(i,j) in ARCOS}>=0,<=cota_sup[i,j];
# Funcion objetivo
minimize objetivo:
sum{(i,j) in ARCOS}coste[i,j]*x[i,j];
# Restricciones
subject to res_nodos {k in NODOS}:
(sum{(k,j)in ARCOS}x[k,j]-sum{(i,k)in ARCOS}x[i,k])=oferta[k];
Fichero W466-66-f2-(2010).dat
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 0
# Fichero W466-66-f2-(2010).dat
set NODOS:= n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6, n_7, n_8;
param:
n_1
n_2
n_3
n_4
n_5
n_6
n_7
n_8
oferta:=
100
0
0
0
0
0
-25
-75;
param: ARCOS : coste cota_sup:=
n_1 n_2
15
75
n_1 n_3
10
50
n_2 n_3
5
40
n_2 n_4
10
30
n_2 n_5
10
50
n_2 n_6
5
30
n_3 n_5
25
40
n_3 n_6
8
60
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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n_4 n_5
n_4 n_7
n_5 n_7
n_5 n_8
n_6 n_7
n_6 n_8
n_7 n_8
45
30
10
10
30
15
45
Universidad de Valladolid
60
100
40
40
50
80
100;
Fichero W466-66-f2-(2010).run
# Problema del libro de Winston, página 452
# Problema básico de flujo con coste mínimo con formato 1
# Fichero W466-66-f2-(2010).run
reset;
model D:\users\redes\W466-66-f2-(2010).mod;
data D:\users\redes\W466-66-f2-(2010).dat;
option solver cplex;
show;
expand;
solve;
display objetivo;
display x;
Solución del problema con AMPL:
CPLEX 7.1.0: optimal solution; objective 3400
6 simplex iterations (3 in phase I)
objetivo = 3400
Arcos
n_1 n_2
n_1 n_3
n_2 n_3
n_2 n_4
n_2 n_5
n_2 n_6
n_3 n_5
n_3 n_6
n_4 n_5
n_4 n_7
n_5 n_7
n_5 n_8
n_6 n_7
n_6 n_8
n_7 n_8
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
Número de Unidades
50
50
0
0
25
25
0
50
0
0
25
0
0
75
0
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Parte VI: El problema de la mochila.
Problema de la mochila, Winston(n) página 478, problema 1.
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Stockco considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto
(VAN) de 16000 dólares; la inversión 2 un VAN de 22000 dólares; la inversión 3 un VAN de
12000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo
de caja en el momento actual: la inversión 1, 5000 dólares; la inversión 2, 7000 dólares; la
inversión 3, 4000 dólares; y la inversión 4, 3000 dólares respectivamente. Se dispone de
14000 dólares para la inversión. Formular y resolver el correspondiente problema de PE
para maximizar el VAN obtenido de las inversiones 1-4.
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA:
Variables de decisión:
1 si se realiza la inversión i
xi  
0 en caso contrario
Modelo:
Max z  16000 x1  22000 x2  12000 x3  8000 x4
sujeta a : 5000 x1  7000 x2  4000 x3  3000 x4  14000
x j  0,1  j  1, 2, 3,4
De un modo más general, podemos poner:
n
Maximizar
z 
c x
j
a x
j
j
j 1
n
sujeta a :
j

b
j 1
xj
 {0,1} j  1,..., n
PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 0.
Formato 0 quiere decir usar un modelo explicito donde el fichero .mod incluye simultáneamente
el modelo y los datos.
01. Fichero .mod (para variables binarias)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila1.mod
# Variables de decision
var x1 binary;
var x2 binary;
var x3 binary;
var x4 binary;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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# Función objetivo
maximize objetivo: 16000*x1 + 22000*x2 + 12000*x3 + 8000*x4 ;
# Restricción
subject to res: 5000*x1 + 7000*x2 + 4000*x3 + 3000*x4 <= 14000;
Ahora podemos resolver el problema de dos formas distintas:
(a) Tecleando directamente los comandos de ejecución en el fichero sw.exe.
sw: ampl
ampl: reset;
ampl: model D:\users\redes\mochila1.mod;
ampl: option solver cplex;
ampl: show;
ampl: expand;
ampl: solve;
ampl: display x1, x2, x3, x4 ;
ampl: display objetivo;
(b) Escribiendo los comandos anteriores en un fichero .run y ejecutándole en AMPL.
# Problema del libro de Winston, página 478
# Fichero W478.run
# Include D:\users\redes\mochila1.run;
ampl: reset;
model D:\users\redes\mochila1.mod;
option solver cplex;
show;
expand;
solve;
display x1, x2, x3, x4 ;
(c) Alternativa para sacar a pantalla los resultados.
En lugar de
display x1, x2, x3, x4 ;
poner una de las dos siguientes líneas.
for{i in 1.._nvars} display _varname[i], _var[i];
display{i in 1.._nvars} (_varname[i], _var[i]);
Solución obtenida con el programa AMPL:
CPLEX 8.0.0: optimal integer solution; objective 42000
1 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
objetivo = 42000
Inversión 1
Inversión 2
Inversión 3
Inversión 4
Total invertido
0
1
1
1
42000
Nota: Además, podemos resolver el mismo problema si las variables son todas continuas no
negativas y si son todas enteras no negativas.
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02. Fichero .mod (para variables continuas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila2.mod
# Variables de decision
var x1 >=0;
var x2 >=0;
var x3 >=0;
var x4 >=0;
# Función objetivo
maximize objetivo: 16000*x1+22000*x2+12000*x3+8000*x4;
# Restricción
subject to res: 5000*x1+7000*x2+4000*x3+3000*x4<=14000;
Solución obtenida con el programa AMPL:
CPLEX 11.0.1: optimal solution; objective 44800
0 dual simplex iterations (0 in phase I)
ampl: display x1,x2,x3,x4;
x1 = 2.8
x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
03. Fichero .mod (para variables enteras)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila3.mod
# Variables de decision
var x1 >=0, integer;
var x2 >=0, integer;
var x3 >=0, integer;
var x4 >=0, integer;
# Función objetivo
maximize objetivo: 16000*x1+22000*x2+12000*x3+8000*x4;
# Restricción
subject to res: 5000*x1+7000*x2+4000*x3+3000*x4<=14000;
Solución obtenida con el programa AMPL:
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 44000
1 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
1 Gomory cut
1 mixed-integer rounding cut
ampl: display x1, x2, x3, x4;
x1 = 2
x2 = 0
x3 = 1
x4 = 0
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04. Fichero .mod (para variables acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila4.mod
# Variables de decision
var x1 >=0, <=1;
var x2 >=0, <=1;
var x3 >=0, <=1;
var x4 >=0, <=1;
# Función objetivo
maximize objetivo: 16000*x1+22000*x2+12000*x3+8000*x4;
# Restricción
subject to res: 5000*x1+7000*x2+4000*x3+3000*x4<=14000;
Solución obtenida con el programa AMPL:
CPLEX 10.1.0: optimal solution; objective 44000
1 dual simplex iterations (0 in phase I)
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0.5
x4 = 0
objetivo = 44000
Formas alternativas de sacar en pantalla los resultados de las variables de decisión
usando nuevos comandos en el fichero .run:
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila_F0.run
# include D:\users\redes\DorianAuto.run;
reset;
model D:\users\redes\DorianAuto.mod;
option solver cplex;
solve;
display objetivo;
display x1,x2,x3,y1,y2,y3;
for{i in 1.._nvars} display _varname[i], _var[i];
display{i in 1.._nvars} (_varname[i], _var[i]);
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PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 1.
Formato 1 quiere decir usar un fichero .mod, un fichero .dat, un fichero .run, y de modo que los
elementos de los conjuntos simples aparezcan numerados secuencialmente como 1,2,…,n usando
un parámetro n (u otro cualquiera válido).
11. Fichero .mod (para variables binarias, continuas, enteras y acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila_f1.mod
param n;
# n es el número de INVERSIONES
set INVERSIONES:=1..n;
param valor{INVERSIONES};
# valor es el vector de cantidades = coeficientes de la función
objetivo (cj)
param flujo_caja{INVERSIONES}; # flujo de caja = coeficientes de la restricción (aj)
param cantidad_disponible;
# cantidad disponible para la inversion (b)
# Sólo 1 de las 4 líneas siguientes puede estar activa. Para ello, ponemos # en los casos que no
queramos utilizar y, en caso contrario, la quitamos
var x{INVERSIONES} binary;
# Alternativa para el caso binario
# var x{INVERSIONES} >=0;
# Alternativa para el caso continuo
# var x{INVERSIONES} >=0 , integer;
# Alternativa para el caso entero
# var x{INVERSIONES} >=0 , <=1;
# Alternativa para el caso acotado
# Función objetivo
maximize objetivo: sum{i in INVERSIONES} valor [i]*x[i];
# Restriccion asociada a la cantidad invertida
subject to res_cantidad:
sum {i in INVERSIONES} flujo_caja[i]*x[i]<= cantidad_disponible;
Fichero .dat: (es el mismo para los 4 tipos de variables: binarias, continuas, enteras y
acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila_f1.dat;
param n:=4;
param valor:=
1 16000
2 22000
3 12000
4 8000;
param flujo_caja:=
1 5000
2 7000
3 4000
4 3000;
param cantidad_disponible:=14000;
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Fichero .run: (es el mismo para los 4 tipos de variables: binarias, continuas, enteras y
acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478
# Fichero mochila_f1.run;
# include D:\users\redes\mochila_f1.run;
reset;
model D:\users\redes\mochila_f1.mod;
data D:\users\redes\mochila_f1.dat;
option solver cplex;
solve;
display objetivo;
display x;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso binario) :
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 42000
1 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
ampl: display x;
x [*] :=
1 0
2 1
3 1
4 1;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso continuo) :
CPLEX 10.1.0: optimal solution; objective 44800
0 dual simplex iterations (0 in phase I)
x [*] :=
1 2.8
2 0
3 0
4 0;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso entero) :
CPLEX 10.1.0: optimal integer solution; objective 44000
0 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
x [*] :=
1 2
2 0
3 1
4 0;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso acotado) :
CPLEX 10.1.0: optimal solution; objective 44000
1 dual simplex iterations (0 in phase I)
x [*] :=
1 1
2 1
3 0.5
4 0;
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PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 2.
Formato 2 quiere decir usar un fichero .mod, un fichero .dat, un fichero .run y de modo que los
elementos de los conjuntos simples aparezcan dados explícitamente en forma literal, es decir,
cada elemento tiene un nombre propio.
21. Fichero .mod (para variables binarias, continuas, enteras y acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila_f2.mod
set INVERSIONES;
param valor{INVERSIONES};
# valor es el vector de cantidades = coeficientes de la función
objetivo (cj)
param flujo_caja{INVERSIONES}; # flujo de caja = coeficientes de la restricción (aj)
param cantidad_disponible;
# cantidad disponible para la inversion (b)
# Sólo 1 de las 4 líneas siguientes puede estar activa. Para ello, ponemos # en los casos que no
queramos utilizar y, en caso contrario, la quitamos
var x{INVERSIONES} binary;
# var x{INVERSIONES} >=0;
# var x{INVERSIONES} >=0 , integer;
# var x{INVERSIONES} >=0 , <=1;
# Alternativa para el caso binario
# Alternativa para el caso continuo
# Alternativa para el caso entero
# Alternativa para el caso acotado
# Función objetivo
maximize objetivo: sum{i in INVERSIONES} valor [i]*x[i];
# Restriccion asociada a la cantidad invertida
subject to res_cantidad:
sum {i in INVERSIONES} flujo_caja[i]*x[i]<= cantidad_disponible;
Fichero .dat: (es el mismo para los 4 tipos de variables: binarias, continuas, enteras y
acotadas)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478.
# Fichero mochila_f2.dat;
param: INVERSIONES: valor
flujo_caja:=
inv1
16000
5000
inv2
22000
7000
inv3
12000
4000
inv4
8000
3000;
param cantidad_disponible:=14000;
Fichero .run:
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 478
# Fichero es: mochila_f2.run;
# include D:\users\redes\mochila_f2.run;
reset;
model D:\users\redes\mochila_f2.mod;
data D:\users\redes\mochila_f2.dat;
option solver cplex;
solve;
display objetivo;
display x;
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Solución obtenida con el programa AMPL(para el caso binario) :
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 42000
1 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
ampl: display x;
x [*] :=
inv1 0
inv2 1
inv3 1
inv4 1 ;
Solución obtenida con el programa AMPL(para el caso continuo) :
CPLEX 10.1.0: optimal solution; objective 44800
0 dual simplex iterations (0 in phase I)
x [*] :=
inv1 2.8
inv2 0
inv3 0
inv4 0;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso entero) :
CPLEX 10.1.0: optimal integer solution; objective 44000
0 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
x [*] :=
inv1 2
inv2 0
inv3 1
inv4 0;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso acotado) :
CPLEX 10.1.0: optimal solution; objective 44000
1 dual simplex iterations (0 in phase I)
x [*] :=
inv1 1
inv2 1
inv3 0.5
inv4 0;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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PROBLEMAS CON RESTRICCIONES LÓGICAS
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Modifique la formulación de Stockco para tener en cuenta cada una de las condiciones
siguientes de forma independiente:
1. Stockco puede invertir como mucho en dos inversiones.
2. Si Stockco invierte en 2, entonces también debe invertir en 1.
3. Si Stackco invierte en 2, no puede invertir en 4.
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA:
Variables de decisión:
1 si se realiza la inversión i
xi  
0 en caso contrario
Modelo:
Max z  16000 x1  22000 x 2  12000 x 3  8000 x 4
sujeta a : 5000 x1  7000 x 2  4000 x3  3000 x 4  14000
x1  x 2  x3  x 4  2
x 2  x1
x 2  x 4  1
xi  0, 1  i  1, 2, 3,4
PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 0.
Formato 0 quiere decir usar un modelo explicito donde el fichero .mod incluye simultáneamente
el modelo y los datos.
Fichero .mod (incluyendo las tres opciones de forma independiente)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 479.
# Fichero mochila_L0.mod
var x1 binary;
var x2 binary;
var x3 binary;
var x4 binary;
maximize objetivo:16000*x1+22000*x2+12000*x3+8000*x4;
subject to res1: 5000*x1+7000*x2+4000*x3+3000*x4<=14000;
# Sólo una de las 3 líneas siguientes puede estar activa
subject to res2: x1+x2+x3+x4<=2;
# subject to res3: x2<=x1;
# subject to res4: x2+x4<=1;
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso x1+x2+x3+x4<=2):
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 38000
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0
x4 = 0
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso 2: x2 <= x1):
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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CPLEX 10.1.0: optimal integer solution; objective 38000
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0
x4 = 0
Solución obtenida con el programa AMPL (para el caso 3: x2 + x4 <= 1):
CPLEX 10.1.0: optimal integer solution; objective 38000
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0
x4 = 0
PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 1.
Formato 1 quiere decir usar un fichero .mod, un fichero .dat, un fichero .run, y de modo que los
elementos de los conjuntos simples aparezcan numerados secuencialmente como 1,2,…,n usando
un parámetro n (u otro cualquiera válido).
Fichero .mod (incluyendo las tres opciones de forma independiente)
### Problemas tipo mochila de Winston (n) p.479.
# Fichero mochila_L1.mod
param n;
set INVERSIONES:=1..n;
param valor{INVERSIONES};
param flujo_caja{INVERSIONES};
param cantidad_disponible;
var x {INVERSIONES} binary;
# Función objetivo;
maximize objetivo: sum{i in INVERSIONES} valor [i]*x[i];
# restricción asociada a la cantidad invertida
subject to res_cantidad: sum{i in INVERSIONES}flujo_caja[i]*x[i]<= cantidad_disponible;
# sólo una de las 3 líneas siguientes puede estar activa
subject to res1: sum{i in INVERSIONES}x[i]<=2;
# subject to res2: x[2]<=x[1];
# obsérvese la forma especial de escribir esta restricción
# subject to res3: x[2]+x[4]<=1;
# obsérvese la forma especial de escribir esta restricción
Fichero .dat: (el mismo para las 3 restricciones: x1+x2+x3+x4<=2 , x2<=x1 , x2+x4<=1)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 479.
# El nombre de este fichero es: mochila_L1.dat
param n:=4;
param valor:=
1 16000
2 22000
3 12000
4 8000;
param flujo_caja:=
1 5000
2 7000
3 4000
4 3000;
param cantidad_disponible:=14000;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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Fichero .run: (el mismo para las 3 restricciones: x1+x2+x3+x4<=2 , x2<=x1 , x2+x4<=1)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 479
reset;
model D:\users\redes\mochila_L1.mod;
data D:\users\redes\mochila_L1.dat;
option solver cplex;
solve;
display objetivo;
display x;
Solución obtenida con el programa AMPL (la misma para los 3 casos) :
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 38000
2 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
ampl: display x;
x [*] :=
1 1
2 1
3 0
4 0
;
Nota: Si queremos sacar a pantalla sólo el valor de una variable de decisión concreta, por ejemplo x2,
debemos poner
display x[2];
PROGRAMACIÓN DEL PROBLEMA EN AMPL USANDO EL FORMATO 2.
Formato 2 quiere decir usar un fichero .mod, un fichero .dat, un fichero .run y de modo que los
elementos de los conjuntos simples aparezcan dados explícitamente en forma literal, es decir,
cada elemento tiene un nombre propio.
Fichero .mod (incluyendo las tres opciones de forma independiente )
### Problemas tipo mochila de Winston (n) p.479.
# Fichero mochila_L2.mod
set INVERSIONES;
param valor{INVERSIONES};
param flujo_caja{INVERSIONES};
param cantidad_disponible;
var x {INVERSIONES} binary;
# Función objetivo;
maximize objetivo: sum{i in INVERSIONES} valor [i]*x[i];
# restricción asociada a la cantidad invertida
subject to res_cantidad: sum{i in INVERSIONES}flujo_caja[i]*x[i]<= cantidad_disponible;
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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# sólo una de las 3 líneas siguientes puede estar activa
subject to res1: sum{i in INVERSIONES}x[i]<=2;
# subject to res2: x['inv2']<=x['inv1']; # obsérvese la forma especial de escribir esta restricción
# subject to res3: x['inv2'] + x['inv4']<=1; # obsérvese la forma especial de escribir esta restricción
Fichero .dat: (el mismo para las 3 restricciones: x1+x2+x3+x4<=2 , x2<=x1 , x2+x4<=1)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 479.
# El nombre de este fichero es: mochila_L2.dat
param:INVERSIONES:
inv1
inv2
inv3
inv4
16000
22000
12000
8000
valor
flujo_caja:=
5000
7000
4000
3000;
param cantidad_disponible:=14000;
Fichero .run: (el mismo para las 3 restricciones: x1+x2+x3+x4<=2 , x2<=x1 , x2+x4<=1)
### Problemas tipo mochila de Winston(n) p. 479
reset;
model D:\users\redes\mochila_L2.mod;
data D:\users\redes\mochila_L2.dat;
option solver cplex;
solve;
display objetivo;
display x;
# Para el caso 1
Solución obtenida con el programa AMPL (la misma para los 3 casos):
CPLEX 11.0.1: optimal integer solution; objective 38000
2 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
ampl: display x;
x [*] :=
inv1 1
inv2 1
inv3 0
inv4 0;
Nota: Si queremos sacar a pantalla sólo el valor de una variable de decisión concreta, por ejemplo x2,
debemos poner
display x['inv2'];
Fichero AMPL-2010-11-02.doc
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