Apuntes

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Tema 6
$
Espacio afı́n
Álgebra Lineal y Geometrı́a, Curso 2015-2016
Profesor: Miguel Sánchez Caja
&
1.
%
Primeras definiciones
~
Definición 1 Un espacio afı́n es un conjunto A junto con un espacio vectorial V = A
~
sobre el cuerpo K = R ó C (llamado espacio director) y una aplicación ϕ : A × A → A,
−−→
(P, Q) 7→ P Q que cumpla:
−→
~ Q 7→ −
(A1) Para cada P ∈ A, la aplicación ϕP : A → A,
P Q, es biyectiva.
−−→ −−→ −→
(A2) Para cada P, Q, R ∈ A, P Q + QR = P R.
~
La dimensión n de A se define como la dimensión de A.
−−→
A menudo se le llama al par (P, Q) ∈ A × A vector ligado de origen P y extremo Q y a P Q
su correspondiente vector libre. Cuando no haya posibilidad de confusión, abusaremos de
~ y la
la nomenclatura llamando espacio afı́n a A (en lugar de a la terna formada por A, A
−
−
→
~ Obsérvese además que escribiremos siempre P Q en lugar de la
aplicación ϕ : A × A → A)
notación más aparatosa ϕ(P, Q).
~ existe un único P ∈ A tal que
Observación. Fijado un punto O ∈ A, para cada v ∈ A,
−−→
OP = v. Esto se escribirá:
P =O+v
pero el signo + debe interpretarse, más que como una “sumaçomo una notación (o bien como
~ → A). En
una ley de composición externa de A sobre V , esto es, una aplicación A × A
cualquier caso, obsérvese que del axioma (A2) se sigue una propiedad pseudoasociativa, a
saber: P + (v + w) = (P + v) + w.
Proposición 1 Sea A un espacio afı́n.
−−→
1. P Q = 0 si, y sólo si, P = Q.
−−→
−−→
2. P Q = −QP .
−−→ −→
−→ −→
3. Identidad afı́n del paralelogramo: Si P Q = RS, entonces P R = QS.
−−−−−−−−−−−−→ −−→
4. (P + v), (Q + w) = P Q + (w − v).
−−→ −−→ −−→
Demostración. 1. (⇐). Úsese P P = P P + P P por el axioma (A2). (⇒). Por la implicación
−1
anterior, ϕ−1
P (P ) = 0(= ϕP (Q)) por lo que P = Q se deduce de la inyectividad de ϕP
impuesta por (A1).
−−→ −−→ −−→
2. P Q + QP = P P = 0, la última igualdad por el punto anterior.
−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→
3. P R = P Q + QR = RS + QR = QS.
1
2
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−−−−−−−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→
−−−−−−→ −−→ −−−−−−→
−−→
4. (P + v)(Q + w) = (P + v)P +P (Q + w) = −P (P + v)+P Q+Q(Q + w) = −v+P Q+w.
2
Como un ejemplo obvio, todo espacio vectorial V puede verse un espacio afı́n, con A =
−→
−−→
~ ϕ : A×A → V , −
V (= A)),
P Q = Q − P (ahora el signo + en Q = P + P Q puede considerarse
no sólo como notación, sino también como la suma en V ).
También se puede dotar de estructura de espacio afı́n a cualquier plano Π de R3 , aunque
no pase por el origen (o, con más generalidad, al conjunto de soluciones de cualquier sistema
lineal compatible no homogéneo de ecuaciones). Para eso se toma como conjunto de puntos
~ = Π0 , donde Π0 es el plano vectorial paralelo
A = Π y se considera como espacio director A
a Π que pasa por el origen (Π0 es un subespacio vectorial de R3 y, por tanto, un espacio
−−→
vectorial). Dados P, Q ∈ Π, se define entonces P Q = Q − P . (Este ejemplo se formula con
más precisión considerando R3 como espacio afı́n y a Π como un subespacio afı́n en el sentido
de la siguiente sección). 1
2.
Subespacios afines
Definición 2 Sea A un espacio afı́n. Un subespacio afı́n (o subvariedad lineal) S es
un subconjunto (no vacı́o) de A para el que existe un punto P ∈ S, tal que el conjunto
−−→
~ el cual se denominará (sub)espacio
S~ = {P Q : Q ∈ S} es un subespacio vectorial de A,
~ Si dim S = 1, lo llamaremos recta
director de S. Escribiremos entonces S = P + S.
afı́n. Si dim S = 2, lo llamaremos plano afı́n. Si dim S = n − 1 (y n < ∞), lo llamaremos
hiperplano afı́n.
De la siguiente proposición se seguirá que el punto P que se escoja resulta irrelevante tanto
para comprobar si S es un subespacio afı́n como, en caso afirmativo, calcular su espacio
~
director S.
Proposición 2 Sea A un espacio afı́n.
~ entonces P + W = {p + w : w ∈ W }
1. Dados P ∈ A y un subespacio vectorial W de A,
~y
es un subespacio afı́n de espacio vectorial director W . Si W 0 es un subconjunto de A
0
0
P + W = P + W entonces W = W (en particular, fijado P , el subespacio director es
único).
1
Como un ejemplo proviniente de la Fı́sica, al espacio fı́sico ordinario E se le asigna una estructura de
espacio afı́n de dimensión 3.
Para ello, se postula que, desde un punto de vista operacional, se puede dotar, usando construcciones con
paralelogramos, una suma de vectores ligados con el mismo origen, esto es, tiene sentido escribir (P, Q) +
(P, R) = (P, S) donde S se calcula construyendo fı́sicamente un paralelogramo con vértices P, Q, R (siendo S
su cuarto vértice); asimismo se construye un producto por escalares reales de un modo natural (haciéndolo
primero para naturales y enteros y extendiéndolo luego a racionales e irracionales).
A continuación, se establece la relación de equipolencia entre vectores ligados mediante (P, Q) ∼ (P 0 , Q0 )
si y sólo si (P, Q) + (P, P 0 ) = (P, Q0 ). Se postula entonces que ésta es una relación de equivalencia y que su
~ o espacio vectorial de los vectores libres del espacio ordinario, hereda de manera natural
espacio cociente E,
las operaciones y estructura de espacio vectorial.
Esto último significa que, por ejemplo, la suma de dos de tales clases [(P, Q)], [(R, S)] se define tomando
vectores ligados que representen ambas clases con el mismo origen (digamos, T , esto es, tomando (T, Q0 ) ∈
[(P, Q)] y (T, S 0 ) ∈ [(R, S)]) y definiendo la suma de clases a partir de la suma de esos representantes ([(P, Q)]+
[(R, S)] = [(T, Q0 ) + (T, S 0 )]), la cual se postula que está bien definida (esto es, resulta independiente del origen
T ∈ E escogido) y, por tanto, hereda las propiedades necesarias para la estructura de espacio vectorial.
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~ es un subespacio vectorial de A
~ y P 0 ∈ P + S~ entonces P 0 + S~ = P + S~ (en particular,
2. Si S
tanto la definición de subespacio afı́n como el subespacio director son independientes del
punto P escogido).
~ T = Q + T~ dos subespacios afines de A. Entonces:
3. Sean S = P + S,
−→
~ ⊂ T~ y −
S⊂T ⇔ S
P Q ∈ T~ .
Demostración. 1. Inmediato
−−→ de las definiciones.
2. Necesariamente P P 0 ∈ S~ ∩ S~ 0 , lo que produce fácilmente ambas inclusiones.
−−→
3. (⇒) Claramente P Q ∈ T~ , y escribiendo T = P + T~ , la inclusión resulta inmediata.
−−→
(⇐) Como P Q ∈ T~ necesariamente P ∈ T y el resultado es entonces inmediato. 2
~ T = Q + T~ dos subespacios afines de A. Entonces:
Ejercicio 1 Sean S = P + S,
−→ ~
~ = T~ y −
1. S = T ⇔ S
P Q ∈ S.
2. En el caso dimT < ∞, si S ⊂ T y dim S = dim T ⇒ S = T .
3.
Independencia afı́n y sistemas de referencia
−−→
−−−→
~ = L{−
Sean k+1 puntos {P0 , P1 , . . . , Pk }, k ≥ 0, de un espacio afı́n A, y sea S
P0 , P1 , . . . , P0 , Pk }.
~ verifica:
Lema 1 el subespacio afı́n P0 + S
~ contiene todos los puntos {P0 , P1 , . . . , Pk }.
1. P0 + S
~
2. Cualquier otro subespacio afı́n T que contenga a {P0 , P1 , . . . , Pk } contiene a P0 + S.
−−→ −−→
−−−−→ −−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
3. L{P0 P1 , . . . , P0 Pk } = L{Pi P0 , Pi P2 . . . , Pi Pi−1 , Pi Pi+1 . . . , Pi , Pk } para todo i = 1, . . . , k.
−−→
4. Si {P0 Pi : i = 2, . . . , k} es linealmente independiente, entonces, para cada j ∈ {1, . . . , k},
−−→
el conjunto {Pj Pi /i ∈ {0, . . . , k}\{j}} es linealmente independiente.
Demostración. 1. Inmediato.
2. Inmediato (recuérdese la Proposición 2).
3. Véase la Observación debajo de la Proposición 2.
4. Inmediato del punto anterior. 2
Observación. La primera y segunda propiedad anteriores se pueden resumir diciendo que
~ es el menor subespacio afı́n que contiene {P0 , P1 , . . . , Pk }. A este subespacio se le suele
P0 + S
denotar < P0 , P1 , . . . , Pk >.
Definición 3 Sea A un espacio afı́n. Un conjunto de k + 1 puntos de A, {P0 , . . . , Pk }, se
−−→
dice que es afı́nmente independientes si los vectores {P0 Pi : i = 1, . . . , k} son linealmente
independientes. En caso contrario, el conjunto es afı́nmente independiente.
Ejercicio 2 Sean P, Q ∈ A. Demostrar:
Si P 6= Q, entonces < P, Q > es un subespacio afı́n de dimensión 1, salvo que P = Q,
y es el único subespacio afı́n de dimensión 1 que los contiene.
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< P, Q >=< Q, P >.
Si R ∈< P, Q > es distinto de P y de Q ⇒ < P, R >=< P, Q >.
−→ −−→
Si A, B, C ∈< P, Q > ⇒ AC, AB son linealmente dependientes.
Observación. El último punto del Lema 1 asegura la consistencia de la definición 3, al ser
el subespacio obtenido independiente del punto escogido como P0 .
En particular, si la dimensión n de A es finita y se tienen n + 1 puntos independientes,
fijado uno de ellos se genera una base del espacio vectorial director, lo que motiva la siguiente
definición.
Definición 4 Sea A un espacio afı́n con dim A = n(< ∞). Llamaremos sistema de referencia afı́n R a un conjunto ordenado (O, P1 , . . . , Pn ) de n + 1 puntos afı́nmente independientes o, equivalentemente, al par que denotaremos (O, B), formado por el primer punto O
~ relacionados por la
(llamado origen de coordenadas) y la base B = (v1 , . . . , vn ) de A,
igualdad Pi = O + vi , i = 1, . . . , n. Para cada punto Q ∈ A, a la única n-upla de escalares
 
λ1
n
−−→ X −−→
 .. 
n
PR =  .  ∈ R
tal que
OQ =
λi OPi
i=1
λn
se le llama coordenadas afines de Q respecto del sistema de referencia R.
Ası́, resultados conocidos de soluciones de sistemas (no necesariamente homogeneos) de
ecuaciones lineales pueden reformularse fácilmente en el ambiente más general de espacios
afines como sigue.
Proposición 3 Ecuaciones de un subespacio afı́n. Se considera un sistema de referencia
afı́n R = (O, P1 , . . . , Pn ) de un espacio afı́n A.
1. Dada una matriz M ∈ Mm×n (R) con m < n y rango(M ) = m, y un vector (columna)
b ∈ Rm , existe un único subespacio afı́n S = {P ∈ A : M PR = b}; además, dim S =
n − m.
2. Dado un subespacio afı́n S de A, con dim S = k, existen una matriz M ∈ Mm×n (R) con
m = n−k < n y rango(M ) = m, y un vector b ∈ Rm tales que S = {P ∈ A : M PR = b}.
3. En cualquiera de los dos casos anteriores, las ecuaciones implı́citas del subespacio di−−→
−−→
rector, respecto de la base (OP 1 , . . . , OP n ) son M PR = 0.
4.
Intersección y suma de subespacios afines
Proposición 4 Si S, T son subespacios afines de A y S ∩ T 6= Ø, entonces S ∩ T es un
−−−→ ~ ~
subespacio afı́n de A, con S ∩ T = S
∩ T.
~ ∩ (P + T~ ) = P + (S
~ ∩ T~ ) (al última
Demostración. Sea P ∈ S ∩ T ⇒ S ∩ T = (P + S)
igualdad de comprobación inmediata). 2
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Luego la intersección de dos subespacios afines, o es vacı́a (lo que resultaba imposible para
subespacios vectoriales), o es un subespacio afı́n (obsérvese que en la definicón de espacio
afı́n está implicito que no puede ser vacı́o, aunque sı́ pueda tener dimensión 0). ¿Cuándo es
S ∩ T 6= Ø?
Lema 2 Si S, T son subespacios afines de A, equivalen:
1. S ∩ T 6= Ø
−−→ ~ ~
2. Para todo P ∈ S, Q ∈ T se tiene P Q ∈ S
+ T.
−−→ ~ ~
3. Existen P ∈ S, Q ∈ T tales que P Q ∈ S
+ T.
−−→ −→ −→ ~ ~
Demostración. (1 ⇒ 2) Dado R ∈ S ∩ T , se sigue P Q = P R + RS ∈ S
+ T.
−−→
~ y v ∈ T~ , definimos R = P + u ∈ S. Como
(2 ⇒ 3) Escribiendo P Q = u + v con u ∈ S
−−→
R = P + (P Q − v) = Q − v, entonces R ∈ T . 2
La Proposición 4 y su demostración se extienden sin dificultad a intersecciones de un
conjunto arbitrario de subespacios afines con intersección de todos ellos no vacı́a. Con más
precisión, se tiene el siguiente ejercicio.
Ejercicio 3 Sea {Sα : α ∈ I} un conjunto arbitrario de subespacios afines de A (I es cualquier conjunto no vacı́o de ı́ndices) tal que ∩α∈I Sα 6= ∅. Entonces ∩α∈I Sα es un subespacio
~α .
afı́n de subespacio director ∩α∈I S
Ası́, generalizando la definición de subespacio generado por un númeor finito de puntos,
dado cualquier subconjunto no vacı́o C ⊂ A el subespacio afı́n generado por C (que se denota
< C >) es el menor subespacio afı́n que contiene a C, esto es, la intersección de todos los
subespacios afines de A que contienen C.
En particular, si S y S 0 son dos subespacios afines, su suma S + S 0 se define como el
subespacio afı́n generado por S ∪ S 0 . O, si se prefiere:
Definición 5 Sean S, T subespacios afines de A. Se define la suma de S y T como
S + T := ∩α∈I Lα ,
donde la intersección se hace en todos los subespacios afines de A que contienen a S ∪ T (esto
es, S + T es el menor subespacio afı́n de A que contiene a S y a T ).
Obsérvese que la anterior definición tiene sentido porque siempre existe un subespacio afı́n de
A (el propio A) que contiene a S ∪T . Desde el punto de vista práctico, la siguiente proposición
caracteriza estos subespacios.
Proposición 5 Si S, T son subespacios afines de A, entonces S + T es un subespacio afı́n de
−−−→ ~ ~
−−→
A, con espacio vectorial director: S + T = S
+ T + L({P Q}), donde P ∈ S y Q ∈ T .
Demostración. Sea P ∈ S y Q ∈ T . El resultado se sgue si comprobamos que2
−→
~ + T~ + L({−
S + T = P + (S
P Q}).
2
(1)
Con independencia del Ejercicio 3, se demuestra ası́ que S + T sea un subespacio afı́n escribiéndolo como
un punto suyo más un espacio director.
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−→
~ + T~ + L({−
~ ası́ que
Claramente, P ∈ S ⊂ S + T , y S
P Q} es subespacio vectorial de V = A,
basta comprobar (1) por doble inclusión.
−→
~ T~ +L({−
~⊂
⊆ P +(S+
P Q}) es un subespacio afı́n de A, que contiene a S (porque S = P +S
−
−
→
−
−
→
−
−
→
~ + T~ + L({P Q})) y a T (porque T = Q + T~ = P + T~ + P Q ⊂ P + (S
~ + T~ + L({P Q})).
P + (S
−
−
→
~ + T~ + L({P Q}) contiene a S + T .
Por tanto, P + (S
~ + T~ +
⊇ Sea L un subespacio afı́n de A que contiene a S ∪ T . Queda ver que P + (S
−−→
−
−
→
~ + T~ + L({P Q}) ⊂ L,
~ lo cual es
L({P Q}) ⊂ L: Como P ∈ S ⊂ L, basta comprobar que S
evidente. 2
Corolario 1 Si S, T son subespacios afines de A, entonces:
~ + T~ ) + 1 (= dim S
~ + dim T~ − dim(S
~ ∩ T~ ) + 1)
1. Si S ∩ T = Ø ⇒ dim(S + T ) = dim(S
~ + T~ ) (= dim S + dim T − dim(S ∩ T )).
2. Si S ∩ T 6= Ø ⇒ dim(S + T ) = dim(S
(la última igualdad de cada caso en dimensión finita).
Demostración. Para el apartado 1, supongamos que S ∩ T = Ø. Por el Lema 2, existen P ∈ S
−−→ ~ ~
y Q ∈ T tales que P Q ∈
/ S + T . Por tanto,
−−−→ (Prop. 5)
−→
~ + T~ + L({−
~ + T~ ) + 1.
dim(S + T ) = dim S + T
=
dim[S
P Q})] = dim(S
Para el apartado 2, escójase P = Q y razónese análogamente. 2
5.
Paralelismo
Definición 6 Sea A un espacio afı́n. Sean S y S 0 dos subespacios afines de A. Se dice que S
es paralelo a S 0 si el subespacio director de S está incluido en el subespacio director de S 0 . Si
los subespacios directores son iguales, se dice que S y S 0 son paralelos y se escribe SkS 0 .
Si ni S es paralelo a S 0 ni S 0 es paralelo a S, diremos que los subespacios son secantes
(o se cortan) si S ∩ S 0 6= ∅ y que se cruzan en caso contrario.
Proposición 6 Sea A un espacio afı́n. Sean S y S 0 dos subespacios afines de A.
1. Si S es paralelo a S 0 , entonces o bien S ⊂ S 0 o bien S ∩ S 0 = ∅.
2. Si SkS 0 , entonces o bien S = S 0 o bien S ∩ S 0 = ∅.
3. (Quinto postulado de Euclides). Sea P ∈ A\S. Entonces, existe un único subespacio afı́n S 0 que pasa por P tal que SkS 0 .
Demostración. 1. Aplı́quese la Proposición 2, punto 3.
2. Aplı́quese el apartado anterior dos veces.
3. Inmediato. 2
El resto de esta sección se puede completar como un ejercicio sencillo para demostrar un
teorema clásico.
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Definición 7 Sean A1 , A2 , A3 ∈ A tres puntos que caen sobre una misma recta afı́n tales
que A1 6= A2 . La razón simple (A1 A2 A3 ) ∈ K se define como el único escalar tal que
−−−→
−−−→
A1 A3 = (A1 A2 A3 )A1 A2 .
Lema 3 En un espacio afı́n de dimensión n(< ∞), todo hiperplano (de dimensión n − 1) y
toda recta no paralela al hiperplano se cortan exactamente en un punto.
Teorema 4 (de Thales de las paralelas). Sea A un espacio afı́n de dimensión finita, y
sean H1 , H2 y H3 tres hiperplanos distintos y paralelos. Sean r1 y r2 dos rectas no paralelas
a H1 con los puntos de intersección {Ai } = r1 ∩ Hi , Bi = r2 ∩ Hi , i = 1, 2, 3. Entonces,
(A1 A2 A3 ) = (B1 B2 B3 )
Nota: en el ambiente algebraico introducido, la demostración de este teorema clásico (uno de
−−−→
los dos tradicionalmente atribuidos a Thales) se reduce a probar B1 + (A1 A2 A3 )B1 B2 ∈ H3 .
6.
Aplicaciones afines
6.1.
Propiedades generales
Lema 4 Sean A, A0 dos espacios afines, con espacios vectoriales asociados V, V 0 . Sea f : A →
A0 una aplicación. Fijado P ∈ A, definimos fP : V → V 0 mediante
−−−−−−−−−−→
−
→
fP (v) = f (P )f (P + v),
∀v ∈ V.
(2)
−
→
−
→ −
→
Si fP es lineal entonces fP = fQ , ∀Q ∈ A.
Demostración. Primero observemos que de (2) se deducen
−
→
f (P + v) = f (P ) + fP (v),
−−−−−−→
−
→ −−→
fP (P Q) = f (P )f (Q),
∀v ∈ V.
(3)
∀P, Q ∈ A.
(4)
Ahora podemos probar el lema. Sea v ∈ V .
−−−−−−→ −
→
−
→
−−→
(3)
f (P ) + f (P )f (Q) + fQ (v) = f (Q) + fQ (v) = f (Q + v) = f (P + P Q + v)
−−−−−−→ −
−
→ −
→ −−→
→ −−→
−
→ (4)
(?)
= f (P ) + fP (P Q + v) = f (P ) + fP (P Q) + fP (v) = f (P ) + f (P )f (Q) + fP (v)
−−−−−−→ −
→
= f (P ) + f (P )f (Q) + fP (v).
(3)
−
→
donde en (?) hemos usado que fP es lineal.
2
Definición 8 Sean A, A0 dos espacios afines, con espacios vectoriales asociados V, V 0 . Una
−
→
aplicación f : A → A0 se dice afı́n si existe P ∈ A tal que fP : V → V 0 es lineal. Por el lema
−
→
anterior, podemos denotar fP = f~. A f~ se le llama la aplicación lineal asociada a f , y se
cumplen
−−−−−−−−−−→
f~(v) = f (P )f (P + v), ∀v ∈ V.
(5)
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f (P + v) = f (P ) + f~(v), ∀v ∈ V.
−−−−−−→
−−→
f~(P Q) = f (P )f (Q), ∀P, Q ∈ A.
(6)
(7)
En el caso de que f sea biyectiva, diremos que f es un isomorfismo afı́n y que A, A0 son
(afı́nmente) isomorfos. Si además, A = A0 , f es una afinidad.
Lema 5 Dada una aplicación lineal F : V → V 0 y dos puntos P ∈ A, P 0 ∈ A0 , existe una
única aplicación afı́n f : A → A0 tal que f (P ) = P 0 y f~ = F .
−−→
−−→
Demostración. f (Q) = f (P + P Q) = P 0 + F (P Q).
2
Ejercicio 5 Como resumen de las propiedades anteriores, justifı́quese:
(1) Dos aplicaciones afines f1 , f2 : A → A0 son iguales si y sólo si: (a) f~1 = f~2 y (b)
coinciden en un punto, esto es, f1 (P ) = f2 (P ) para algún P ∈ A.
(2) Si A tiene dimensión n, fijados n + 1 puntos independientes P0 , . . . , Pn ∈ A y n + 1
puntos cualesquiera P00 , . . . , Pn0 ∈ A0 existe una única aplicación afı́n f : A → A0 tal que
f (Pi ) = Pi0 para i = 0, . . . , n.
Algunos ejemplos de aplicaciones afines:
1. Si A es el espacio afı́n naturalmente asociado a un espacio vectorial, entonces:
Toda aplicación lineal es afı́n.
Una aplicación afı́n de A en A es lineal si y sólo si lleva 0 en 0.
2. Las constantes son aplicaciones afines (con f~ = 0).
−
→
3. Las traslaciones Tv : A → A, Tv (P ) = P +v son aplicaciones afines (Tv = 1V ) biyectivas,
con (Tv )−1 = T−v , forman un grupo con la composición, no tienen puntos fijos (salvo
cuando v = 0, que es Tv = 1A ), y toda traslación está determinada por la imagen de un
sólo punto.
−−→
−−→
4. Las homotecias HP,λ : A → A, HP,λ (P ) = P + λP Q son aplicaciones afines (HP,λ =
λ1V ). A P ∈ A se le llama el centro y a λ ∈ R − {0} la razón de la homotecia.
Son biyectivas, con (HP,λ )−1 = HP,1/λ . Las homotecias con el mismo centro, junto
con la identidad, forman un grupo con la composición. Si la razón de una homotecia
es λ = 1 entonces es la identidad; en caso contrario, el centro de la homotecia es
el único punto Q ∈ A tal que f (Q) = Q. Toda homotecia está determinada por la
imagen de dos puntos (si P1 , P2 ∈ A tienen imágenes prescritas Q1 , Q2 ∈ A y buscamos
una homotecia HP,λ que lleve Pi en Qi , i = 1, 2, entonces f~ viene determinada por
−−−−−−−−→ −−−→
−−−→
−−−→
λP1 P2 = f~(P1 P2 ) = f (P1 )f (P2 ) = Q1 Q2 (en particular, P1 , P2 deben generar una recta
paralela a la generada por Q1 , Q2 ). Ahora, f está determinada por f~ y por el Lema 5.
5. Todas las aplicaciones afines f : Rn → Rm son de la forma f (x) = M x + b, donde M ∈
Mm×n (R) y b ∈ Rm . Como veremos más abajo, el resultado es fácilmente generalizable
a la expresión de cualquier aplicacı́ón afı́n en las coordenadas obtenidas fijando sistemas
de referencia (O, B) y (O0 , B 0 ) en A y A0 .
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9
6. Proyecciones. Decimos que A es suma directa de dos subespacios afines S, T ⊂ A (de~ ⊕ T~ . Equivalentemente, A = S + T y S ∩ T es un punto.
notado A = S ⊕ T ) si V = A
Si A = S ⊕ T , se define la proyección de A sobre S paralela a T~ mediante
ΠS : A → A,
ΠS (Q) = S ∩ (Q + T~ )
(esta intersección se reduce a un punto porque S ⊕ (Q + T~ ) = A).
La aplicación lineal asociada a ΠS es ΠS~ (aquı́ ΠS~ , ΠT~ son las correspondientes proyec−−→
−−→
−−→
ciones lineales). De hecho, fijado P ∈ S, descomponemos P Q = ΠS~ (P Q) + ΠT~ (P Q).
Entonces,
−−→
−−→
−−→ −−→
−−→
−−→
P + ΠS~ (P Q) = P + P Q − ΠT~ (P Q) = P + P Q − ΠT~ (P Q) = Q − ΠT~ (P Q).
−−→
−→
~ = S y Q − Π ~ (−
~
Como P + ΠS~ (P Q) ∈ P + S
T P Q) ∈ Q + T , concluimos que ΠS (Q) =
−−→
P + ΠS~ (P Q).
Es de remarcar que la proyección de A sobre S paralela a T~ depende sólo de S y T~
(esto es, resulta independiente de T siempre que su espacio director sea T~ ), por lo que
se considera definida con más generalidad asociada a estos dos elementos.
7. Simetrı́as respecto a subespacios. Si A = S ⊕ T (descomposición en subespacios afines),
se define la simetrı́a de A respecto de S paralela a T~ mediante
σS : A → A,
−−−−−−−→
ΠS (Q) = Q + 2Q(ΠS (Q)).
Dado P ∈ S,
−−−−−−−−−−
−
−→
−−−−−−−→ −−→
−−
→
σS (Q) = Q + 2Q(P iS (Q)) = P + P Q + 2Q(P + ΠS~ (P Q))
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
= P + P Q + 2QP + 2ΠS~ (P Q) = P − P Q + 2ΠS~ (P Q) = P + −1V + 2ΠS~ (P Q)
−−→
−−→
= P + ΠS~ − ΠT~ (P Q) = P + σS~ (P Q),
de donde tenemos que la aplicación lineal asociada a σS es la simetrı́a lineal σS~ de V
~ paralela a T~ .
respecto a S
8. Simetrı́as centrales. Un caso particular del punto anterior es cuando tomamos S = {P }
−−→
−−→
y T = A, en cuyo caso σS (Q) = P + σS~ (P Q) = P − P Q, llamada la simetrı́a central
respecto a P .
Resulta fácil comprobar como ejercicio las siguientes propieddes elementales de las aplicaciones afines.
Proposición 7 (Propiedades de las aplicaciones afines)
(A) La composición de aplicaciones afines es una aplicación afı́n, y la aplicación lineal asociada a la composición es la composición de las aplicaciones lineales asociadas.
(B) Si f : A → A0 es una aplicación afı́n y S ⊂ A es un subespacio afı́n, entonces f (S) es
−−→
~
un subespacio afı́n de A0 , con f (S) = f~(S).
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
10
Tema 6: Espacio afı́n
(C) Si f : A → A0 es una aplicación afı́n y S 0 ⊂ A0 es un subespacio afı́n, entonces f −1 (S 0 )
−−−−−→
es un subespacio afı́n de A, con f −1 (S 0 ) = (f~)−1 (S~ 0 ).
(D) Si f : A → A0 es una aplicación afı́n y S, T ⊂ A son subespacios afines con S paralelo a
T , entonces f (S) es paralelo a f (T ).
(E) Si f : A → A0 es una aplicación afı́n y P0 , . . . , Pk ∈ A, entonces el subespacio afı́n
generado por f (P0 ), . . . , f (Pk ) coincide con la imagen por f del subespacio afı́n generado
por P0 , . . . , Pk .
(F) Si f : A → A0 es una aplicación afı́n y P, Q, R ∈ A son tres puntos alineados, entonces
f (P ), f (Q), f (R) están alineados.
(G) Una aplicación afı́n es inyectiva (resp. sobreyectiva, biyectiva) si y sólo si su aplicación
lineal asociada es inyectiva (resp. sobreyectiva, biyectiva).
(H) Una aplicación afı́n es una traslación o una homotecia si y sólo si ∀S ⊂ A subespacio
afı́n, S y f (S) son paralelos.
6.2.
Expresión matricial de una aplicación afı́n
Sean A y A0 dos espacios afines de dimensiones finitas, con referencias afines R = (O; v1 , . . . , vn ),
0 ), resp., y sea f : A → A0 una afinidad. De la relación f (X) = f (O) +
R0 = (O0 ; v10 , . . . , vm
−
−
→
f~(OX) se sigue, para las coordenadas x, x0 de X y f (X), consideradas como columnas:
x0 = b + M x
donde b es la columna de las coordenadas de f (O) en R0 y M es la matriz de f~ en las bases
B, B 0 . En forma más compacta, escribiremos:
0 M b
x
x
=
1
1
0 1
Nota. Con esta notación, la composición de aplicaciones afines se relaciona con el producto
de matrices de manera natural, análoga a la de las aplicaciones lineales.
6.3.
Afinidades y grupo afı́n
Nos restringimos a continuación al caso de afinidades (A = A0 y f~4 biyectiva. Estas
aplicaciones, que incluyen traslaciones, homotecias y simetrı́as, resultan el análogo de los
isomorfismos (lineales) para espacios vectoriales.
Definición 9 Dada una afinidad f de un espacio afı́n A, diremos que P ∈ A es un punto
fijo de f si f (P ) = P , que C ⊂ A es invariante por f si f (C) = C. Al conjunto (posiblemente
vacı́o) de los puntos fijos de f se le denota por Pf .
Nota. Claramente, si C está formado por puntos fijos entonces es invariante, pero el recı́proco
no es cierto.
Proposición 8 Sea f : Rn → Rn , f (x) = Ax + b una aplicación afı́n. Entonces, son equivalentes:
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Tema 6: Espacio afı́n
11
1. Pf 6= Ø.
2. El rango de (A − In ) coincide con el de la mariz ampliada (A − In |b).
Si cualquiera de las condiciones anteriores se verifica, entonces Pf es un subespacio afı́n de
Rn con variedad de dirección V1 (f~) = {v ∈ V | f~(v) = v} (entendiéndose V1 (f~) = {0} si 1
no es un autovalor de f~).
Demostración. x ∈ Pf si y sólo si Ax + b = x, es decir, (A − In )x = b. El resto es consecuencia
del teorema de Rouché-Frobenius.
2
Ejercicio 6 Fijando una referencia afı́n, formúlese una versión de la proposición anterior
para afinidades de cualquier espacio afı́n.
Resulta inmediato comprobar
Proposición 9 Dado un espacio afı́n A, sus afinidades forman un grupo con la composición.
Si la dimensión n es finita, este grupo es isomorfo al de afinidades del espacio afı́n Kn .
Definición 10 El grupo afı́n de dimensión n ∈ N, denotado GA(n), es el grupo de las
afinidades de Kn . De manera natural, este grupo se identifica con
M b
n
: M ∈ GL(n), b ∈ K
0 1
siendo GL(n) el grupo de matrices regulares (o lineal general) de orden n, el cual a su vez era
identificable naturalmente con el grupo de isomorfismos vectoriales de Kn .
Nota. De manera natural, GL(n) y (Kn , +) pueden verse como subgrupos de GA(n), y este
grupo es, algebraicamente, lo que se llama el producto semidirecto de los dos subgrupos
anteriores.
Como repaso, puede comprobarse que los siguientes modos alternativos de definir homotecias y simetrı́as son equivalentes a los anteriores, ası́ como las propiedades que se enuncian.
Ejercicio 7 A una afinidad f : A → A tal que f~ = rId con r 6= 0, 1 se le llama homotecia
de razón r (obsérvese que r = 0 se corresponde con la aplicación afı́n cuya imagen es un
solo punto, y r = 1 con una traslación). Una homotecia tiene un único punto fijo, O ∈ A (que
se suele tomar como origen de coordenadas), el cual puede calcularse escogiendo un punto
aunxiliar P ∈ A y usando:
−−→
−−→
−−→
−−→ −−−−→
−−→
O = f (O) = f (P + P O) = f (P ) + f~(P O) = f (P ) + rP O ⇔ P O = P f (P ) + rP O ⇔
−−→
1 −−−−→
1 −−−−→
⇔ P O = 1−r
P f (P ) ⇔ O = P + 1−r
P f (P )
Ejercicio 8 Sea A un espacio afı́n de dimensión n ∈ N. A una afinidad f : A → A tal que
f~2 = Id, f 6=Id se le llama simetrı́a.
En el caso f~ = −Id entonces f es también una homotecia de razón r = −1, por lo que deja
un único punto fijo O, y a la simetrı́a se le llama simetrı́a central o inversión respecto
a O.
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12
Tema 6: Espacio afı́n
~ = V1 ⊕ V−1 , donde V1 y V−1 son los
En caso contrario, f~ es diagonalizable y, de hecho, A
subespacios propios de autovalores 1 y −1, resp.
−−−−→
Además: (a) el punto medio entre cualquier punto y su imagen P + P f (P )/2 es un punto
fijo, y (b) escogido un punto fijo O, el conjunto de los puntos fijos es O + V1 .
Si dimV1 = 1 entonces los puntos fijos de f forman una recta s o eje de simetrı́a, y se
dice que f es una simetrı́a (afı́n) axial respecto a la recta s.
Si dimV1 = n − 1 entonces los puntos fijos de f forman un hiperplano de simetrı́a H,
y f es una simetrı́a (afı́n) especular respecto al hiperplano H.
7.
Espacio afı́n euclı́deo
Definición 11 Sea A un espacio afı́n con espacio vectorial asociado V . Supongamos que en
V tenemos una métrica euclı́dea g. Diremos entonces que (A, V, g) es un espacio afı́n euclı́deo.
A veces diremos simplemente que A es un espacio afı́n euclı́deo, si se sobreentiende la métrica
sobre V . En un espacio afı́n euclı́deo (A, V, g), se definen múltiples elementos que repsonden
a nuestra intuición de Geometrı́a elemental:
−−→
1. La distancia en A es la aplicación d : A × A → [0, ∞) dada por d(P, Q) = kP Qk. Es
inmediato comprobar que d satisface todas las propiedades que definen una distancia
abstracta.
2. Dados P ∈ A y S subespacio afı́n de A, la distancia de P a S es d(P, S) = ı́nf{d(P, Q) | Q ∈
S}.
3. Dados S, T ⊂ A subespacios afines de A, la distancia de S a T es d(P, S) = ı́nf{d(P, Q) | P ∈
S, Q ∈ T }.
4. Dos subespacios afines S, T de A se dicen ortogonales si lo son sus subespacios de
~ ⊂ (T~ )⊥ . Esta propiedad se denotará S ⊥ T . Obsérvese que dada
dirección, es decir S
un subespacio afı́n S y P ∈ A, existe un único subespacio afı́n S 0 tal que P ∈ S 0 , S ⊥ S 0
y dim S + dim S 0 = dim A. A este subespacio afı́n S 0 se le llama suplemento ortogonal
de S que pasa por P .
5. Dado un subespacio afı́n S de A, la proyección ortogonal de A sobre S es la proyección
~ ⊥ , y la simetrı́a ortogonal de A respecto a S como la
ΠS paralela al subespacio (S)
~ ⊥.
simetrı́a σS paralela al subespacio (S)
−−→
6. El segmento de extremos P, Q ∈ A es P Q = {P + λP Q | λ ∈ [0, 1]}. El punto medio de
−−→
P Q es M = P + 21 P Q.
7. El ángulo (no orientado) ∠(lr) que forman dos rectas afines l, r ⊂ A es el ángulo que
forman un vector director de l y un vector director de r. En particular, si dos rectas
forman un ángulo recto, son ortogonales o perpendiculares.
8. Tres puntos P1 , P2 , P3 ∈ A afı́nmente independientes forman un triángulo en A, con
lados Pi Pi+1 , i = 1, 2, 3. Los elementos notables de un triángulo son:
Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los lados que dividen a éstos en partes
iguales. El circuncentro es el punto en el que se encuentran las tres mediatrices.
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Tema 6: Espacio afı́n
13
Bisectrices: son las rectas que dividen a los ángulos en partes iguales. Las bisectrices
se encuentran en el incentro.
Circunferencia circunscrita: es la circunferencia que contiene a los tres vértices. Su
centro es el circuncentro del triángulo.
Circunferencia inscrita: es la circunferencia tangente a los tres lados. Su centro es
el incentro del triángulo.
Bases: son los segmentos que unen los puntos medios de los lados del triángulo.
Medianas: son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de los
lados opuestos. Las medianas se encuentran en el baricentro.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a los lados (o a la prolongación de
éstos) que tienen su otro extremo en el vértice opuesto. Las alturas se cortan en el
ortocentro.
9. Cuatro puntos P1 , P2 , P3 , P4 ∈ A afı́nmente independientes forman un cuadrilátero en
A. Un caso particular es el paralelogramo, cuando dos a dos los lados son paralelos. En
cualquier paralelogramo, las longitudes de lados opuestos coinciden. Un rectángulo es un
paralelogramo cuyos lados contiguos son perpendiculares. Un cuadrado es un rectángulo
cuyos lados tienen todos la misma longitud.
Merece especial mención la cuestión relativa a al distancia entre subespacios afines. De hecho,
se tiene el siguiente resultado.
Proposición 10 Si P ∈ A y S ⊂ A es un subespacio afı́n, entonces d(P, S) = d(P, ΠS (P )).
~ ⊥ , luego d(P, S) ≤ d(P, ΠS (P )).
Demostración. ΠS (P ) = S ∩ P + (S)
−−−−−−→
−−−−−→
−→
~ ⊥ y −
~ tenemos d(P, Q)2 = k−
Sea Q ∈ S. Como P, ΠS (P ) ∈ (S)
ΠS (P ), Q ∈ S,
P Qk2 =
−−−−−−→ −−−−−−→ 2
−−−−−−→ 2
−−−−−−→ 2
−
−
−
−
−
−
→
kP, ΠS (P ) + ΠS (P ), Qk = kP, ΠS (P )k + kΠS (P ), Qk = d(P, ΠS (P ))2 + kΠS (P ), Qk2 ≥
d(P, ΠS (P ))2 , de donde d(P, Q) ≥ d(P, ΠS (P ))2 . Tomando ı́nfimos en Q ∈ S se tiene d(P, S) ≥
d(P, ΠS (P )).
2
~ g), un sistema de referencia cartesiano
Definición 12 En un espacio afı́n euclı́deo, (A, A,
(u ortonormal) R = {O, P1 , . . . , Pn } es un sistema de referencia afı́n tal que la base
−−→
−−→
(OP 1 , . . . , OP n ) es una base ortonormal. Las rectas hO, Pi i se denominan ejes cartesianos. Las coordenadas afines respecto de un sistema de referencia cartesiano se denominan
coordenadas cartesianas.
Los siguientes ejercicios, aparte de permitir ejercitarse con los conceptos introducidos,
permiten formalizar conceptos clásicos y proporcionan fórmulas útiles desde un punto de
vista práctico. Se supone simpre que se se trabaja en un espacio afı́n euclı́deo.
Ejercicio 9 Demostrar que si r y s son dos rectas distintas paralelas y t es otra recta secante
a las anteriores, entonces, los ángulos ∠(rt) y ∠(st) son iguales, y que esta propiedad se
mantiene para ángulos orientados (en el orden en que se han escrito las rectas) una vez se
escoja una orientación del espacio director del plano.
Justificar que en todo plano afı́n euclı́deo los ángulos de un triángulo suman π.
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14
Tema 6: Espacio afı́n
Ejercicio 10 (Teorema de Pitágoras). Sean tres puntos P, Q, R de un espacio afı́n euclı́deo
−→ −−→
~ g) tales que g(−
(A, A,
P Q, QR) = 0. Demostrar que la distancia asociada d verifica:
d(P, Q)2 + d(Q, R)2 = d(P, R)2 .
~ g), existen
Justificar a partir de este teorema que, dados dos subespacios afines S, S 0 de (A, A,
P0 ∈ S, P00 ∈ S 0 tales que d(P0 , P00 ) = d(S, S 0 ) y P0 , P00 deben caer en una recta ortogonal a
ambos subespacios.
Ejercicio 11 Se consideran un punto P y un hiperplano H de un un espacio afı́n euclı́deo
~ g). Si X ∈ H es un punto cualquiera y u ∈ A
~ es un vector unitario ortogonal a H:
~
(A, A,
−−→
d(P, H) = |g(P X, u)|.
Más aún, si en un sistema de referencia cartesiano las coordenadas de P son (λ1 , . . . , q
λn ) y la
P
~ de coordenadas (a1 , . . . , an )/ P a2
ecuación de H es i ai xi +b = 0 entonces el vector u ∈ H
i i
~
es unitario y ortogonal a H y se verifica:
d(P, H) =
|a1 λ1 + · · · + an λn + b|
p
.
a21 + · · · + a2n
En particular, si P ∈ H compruébese que de la última igualdad d(P, H) = 0. Úsense os vectores ortogonales a hiperplanos afines para definir y calcular el ángulo entro los dos hiperplanos,
de manera obvia.
En este último ejercicio nos restringimos a espacios que modelan nuestra intuición sobre
el espacio fı́sico tridimensional.
~ g) un espacio afı́n euclı́deo real de dimensión 3. Se considera el
Ejercicio 12 Sea (A3 , A,
~ y el correspondiente
tensor determinante det fijado por g y una de las orientaciones de A,
3
producto vectorial ×. Sea un punto P0 ∈ A y sean r1 = P1 + hv1 iR , r2 = P2 + hv2 iR dos
rectas de A3 que se cruzan. Entonces:
−−−→
k P0 P1 × v1 k
d(P0 , r1 ) =
k v1 k
−−−→
|det(v1 , v2 , P1 P2 )|
d(r1 , r2 ) =
k v1 × v2 k
Nota. La primera de estas dos expresiones es también útil para calcular la distancia entre dos
rectas paralelas.
8.
8.1.
Movimientos rı́gidos del plano y del espacio
Movimientos rı́gidos de espacios afines euclı́deos
Consideramos en adelante nuevo el caso de un espacio afı́n euclı́deo (real).
~ g) un espacio afı́n euclı́deo y f : A → A una aplicación. Se dice
Definición 13 Sea (A, A,
que f es un movimiento (rı́gido) de A si
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Tema 6: Espacio afı́n
15
1. f es una aplicación afı́n.
~ g).
2. f~ es una isometrı́a lineal de (A,
Además, en dimensión finita se dice que el movimiento es directo (propio) o inverso
(impropio) según lo sea la isometrı́a lineal asociada f~ tenga, resp., determinante 1 ó -1.
~ g) de dimensión finita n es un
Proposición 11 Una afinidad f de un espacio afı́n (A, A,
movimiento rı́gido si y sólo, para una (y, por tanto toda) referencia cartesiana (O; B) la
matriz de f~ en B pertenece a O(n).
Propiedades.
1. Toda traslación y toda inversión con respecto a un punto son movimientos rı́gidos.
2. Excepto en el caso de las inversiones, las homotecias no son movimientos rı́gidos.
3. Las simetrı́as son movimientos rı́gidos si y sólo si V1 y V−1 son ortogonales.
8.2.
Movimientos rı́gidos del plano afı́n euclı́deo
Como estudio preliminar, consideremos el caso de una recta afı́n euclı́dea. Si f : A1 →
es un movimiento de un espacio afı́n euclı́deo de dimensión 1, entonces necesariamente
~
f = ±Id. Teniendo en cuenta el estudio anterior de traslaciones e inversiones afines se tiene
el siguiente resultado.
A1
Teorema 13 Un movimiento rı́gido f : A1 → A1 de una recta euclı́dea A1 es necesariamente
de uno de los siguientes tipos:
(a) El movimiento es propio (directo), lo cual ocurre si y sólo si f~ =Id. En este caso, o f
~1 \{0}. Escogido un sistema
es la identidad o f es una traslación a lo largo de un vector v ∈ A
de referencia (O; B) con una orientación adecuada en B, la ecuación de f en coordenadas
es3 :
x0 = x + ||v||
(b) El movimiento es impropio (inverso), lo cual ocurre si y sólo si f~ = −Id. En este caso,
f es una simetrı́a central (inversión) cuyo origen O puede calcularse como el punto medio de
cualquier punto y su imagen. Tomando una referencia afı́n con origen en O, la ecuación de
f es:
x0 = −x
Consideremos ahora el caso de un movimiento f : A2 → A2 de un espacio afı́n euclı́deo de
dimensión 2. Distingamos los casos de transformaciones propias e impropias.
Caso propio (detf~ = 1). La matriz de f~ en cualquier base ortonormal B es entonces:
cos θ −senθ
R(θ) =
senθ
cos θ
3
(8)
En el caso muy particular de dimensión 1 no es necesario que el sistema de referenca sea cartesiano, y
dependiendo de la orientación de B se tendrá x0 = x ± ||v||.
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
16
Tema 6: Espacio afı́n
para un θ ∈ (−π, π] determinado unı́vocamente salvo signo (el cual puede fijarse escogiendo
~2 ). Ls ecuación de f en un sistema cartesiano (O, B) es:
una orientación en A
0 x
x
b1
= R(θ)
+
.
(9)
y0
y
b2
Nota: cos θ se puede calcular como (trf~)/2, y esa traza como la de la matriz de f~ en cualquier
base, sea ésta ortonormal o no.
Si cos θ = 1 entonces f~ =Id y, o bien f es la identidad en A2 , o bien f es una traslación a lo
~2 \{0}.
largo de un vector v ∈ A
Si cos θ 6= 1 entonces f~ no admite 1 como autovalor. En consecuencia f admite un único
punto fijo calculable explı́citamente imponiendo x0 = x, y 0 = y en las ecuaciones (9), esto es,
resolviendo:
x0
b1
(I2 − R(θ))
=
y0
b2
Si se escoge este punto P0 como origen de coordenadas, la ecuación de f se simplifica en:
0 x
x
,
= R(θ)
y
y0
donde θ 6= 0. Si además cos θ 6= −1 (esto es, θ ∈ (−π, π)\{0}) se dice que f es un giro de
~2 , tomando
ángulo |θ| (|θ| ∈ (0, π)). En el caso de que se haya escogido una orientación en A
la base B positivamente orientada, se dice que el giro tiene un ángulo orientado para el
correspondiente valor de θ (θ ∈ (−π, π)\{0}). Finalmente, si cos θ = −1 (esto es, θ = π), f es
una simetrı́a central (inversión) respecto al punto fijo calculado.
Caso impropio (detf~ = −1). Se sabe entonces que f~ es diagonalizable, con autovalores 1 y
−1, y subespacios propios ortogonales. Ası́, escogiendo una referencia afı́n (O; B) donde B =
(e1 , e2 ) en un base convenientemente ordenada de vectores propios (necesariamente ortogonal),
el sistema de ecuaciones de f es:
0 x
c1
1
0
x
+
.
=
y
c2
0 −1
y0
Al calcular los puntos fijos (esto es, resolver la ecuación obtenida al imponer x0 = x, y 0 =
y) se obtiene, si c1 = 0, un sistema compatible e indeterminado y, si c1 6= 0, un sistema
incompatible.
En el primer caso, el conjunto de puntos fijos es la recta y = c2 /2. Si se escoge un punto
P0 de esta recta como origen del sistema de referencia cartesiano, las ecuaciones de f se
simplifican en:
x0 =
x
y 0 = −y
Ası́, el conjunto de puntos fijos forma la recta r = P0 + he1 iR y f es una reflexión (o
simetrı́a axial) respecto a r.
Si no hay puntos fijos, la ecuación de f en el sistema de referencia cartesiano (O, (e1 , e2 ))
(para cualquier origen O) resultaba ser
x0 =
x + c1
y 0 = −y + c2
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Tema 6: Espacio afı́n
17
con c1 6= 0. La recta y = c2 /2 es ahora solo invariante por f y, escogido un punto P0 sobre
ella como origen del sistema de referencia, las ecuaciones de f se simplifican en:
x0 =
x + c1
0
y = −y
Este movimiento rı́gido es la composición de una reflexión (simetrı́a axial) con eje r = P0 +
he1 iR y una traslación Tv paralela al eje r de vector v = c1 e1 , por lo que se le llama reflexión
(o simetrı́a axial) con deslizamiento. Esta composición es conmutativa, en el sentido de
que se obtendrı́a el mismo movimiento si se compone primero la traslación y luego la reflexión.
Resumen. El siguiente teorema sintetiza los resultados obtenidos.
Teorema 14 Todo movimiento rı́gido de de un plano afı́n euclı́deo cae en uno de los siguientes casos excluyentes:
Propias
Impropias
Con puntos fijos
Identidad
Giro (|θ| ∈ (0, π))
Simetrı́a central
Reflexión (sim. axial)
Sin puntos fijos
Traslación Tv (v 6= 0)
Reflexión (sim. axial) con deslizamiento
Es de remarcar que los casos lı́mite θ = 0, π de giro incluyen a la identidad y la simetrı́a
central, mientras que la reflexión serı́a el caso lı́mite v = 0 de la reflexión con deslizamiento.
Desde un punto de vista práctico, las siguientes consideraciones resultan útiles para ca~2 , g). Se considera una afinidad f de A2
racterizar los movimientos rı́gidos del plano (A2 , A
expresada en coordenadas
x0 = M x + b
(10)
para una referencia afı́n R = (O, B) no necesariamente ortonormal. La aplicación f es un
movimiento rı́gidosi y sólo si la matriz M verifica
M t · MB (g) · M = MB (g)
(M t · M = I2 cuando B es ortonormal).
(11)
En este caso, detM = ±1 y se distinguen las siguientes posibilidades:
1. Si detM = 1, se toma cos θ = (trM )/2 y se tienen los casos:
a) cos θ = 1 (necesariamente M = I2 ): f es la identidad si b = 0 y una traslación si
b 6= 0.
b) cos θ = −1 (necesariamente M = −I2 ): f es una simetrı́a central, cuyo centro es
el único punto fijo P0 de f . Este (aparte de usando (10) o (9)) se puede computar
−−−−→
como el punto medio P0 = P + (P f (P )/2) entre cualquier punto4 P ∈ A y su
imagen.
c) cos θ 6= ±1: f es una rotación de ángulo θ ∈ (0, π), cuyo centro es el único punto
fijo de f y resulta computable directamente de (10) o (9).
4
Por supuesto, al poder escogerse cualquier punto P se puede tomar el que resulte más sencillo (como, por
ejemplo, uno de coordenadas (0, 0)).
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18
Tema 6: Espacio afı́n
2. Si detM = −1, entonces M es diagonalizable y se puede tomar una base (e1 , e2 ) de
autovectores con autovalores 1 y −1 resp. (necesariamente e1 y e2 serán entonces ortogonales para g).
Además, escogiendo el punto medio P0 entre un punto auxiliar cualquiera P y su imagen
f (P ), se considera la recta afı́n r = P0 + he1 i y se tienen los casos:
a) Si P0 es un punto fijo (P0 = f (P0 )) entonces la recta r está formada por todos los
puntos fijos de f . En este caso, f es una reflexión (simetria axial) de eje r.
b) Si P0 6= f (P0 ) entonces f no admite puntos fijos y, necesariemente f (P0 ) = P0 + v
para algún vector v = c1 e1 con c1 6= 0 (esto es, P0 y f (P0 ) determinan la recta r).
En este caso, f es una reflexión (simetrı́a axial) de eje r con deslizamiento v = c1 e1
a lo largo del eje.
8.3.
Movimientos del espacio afı́n euclı́deo tridimensional
Consideremos ahora el caso de un movimiento rı́gido f : A3 → A3 para un espacio afı́n
euclı́deo de dimensión 3, y distinguimos de nuevo las transformaciones propias e impropias.
Caso propio (detf~ = 1). Se sabe entonces que existe una base ortonormal B = (e1 , e2 , e3 )
~3 , g) (que se puede escoger positivamente orientada, en el caso de que se prefije una
de (A
~3 ) tal que la matriz de f~ en B es:
orientación en A


cos θ −senθ 0
cos θ 0 
Rz (θ) =  senθ
0
0 1
esto es
Rz (θ) =
R(θ) 0
0
1
(Gθ definido en (8)) para algún θ ∈ [0, π] determinado unı́vocamente. Escogido O ∈ A3 , la
ecuación de f en el sistema cartesiano R = (O, B) es entonces:
  
 0 

x
b1
x
 y 0  = Rz (θ)  y  +  b2  .
(12)
z
z0
b3
Nota: cos θ se puede calcular como (trf~ − 1)/2 (y esta traza como la de la matriz de f~ en
cualquier base).
Si cos θ = 1 entonces f~ =Id y, o bien f es la identidad en A3 , o bien f es una traslación a lo
~3 \{0}.
largo de un vector v ∈ A
Si cos θ 6= 1, podemos reescribir (12) como:
0 x
x
b1
=
R(θ)
+
,
y0
y
b2
z 0 = z + b3
(13)
Obsérvese que la primera de estas ecuaciones es equivalente a la del caso bidimensional, por
lo que, imponiendo x0 = x, y 0 = y, se obtiene una única solución (x0 , y0 ) de esa primera
ecuación. Por supuesto, si se impone también z 0 = z existirá una solución a la segunda si y
sólo si b3 = 0 (y, en este caso, la solución es cualquier z ∈ R)). Ası́ f tendrá puntos fijos si y
sólo si b3 = 0.
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Tema 6: Espacio afı́n
19
Escojamos el punto P0 de coordenadas afines (x0 , y0 , 0) (o con cualquier otra coordenada
z) y sea la recta
r := P0 + he3 iR
(obviamente, para R0 = (P0 , B) la recta r se corresponde con el tercer eje de coordenadas).
Se tienen las siguientes posibilidades:
(a) f admite puntos fijos, esto es, b3 = 0. Entonces los puntos fijos de f forman la recta
r. Si θ ∈ (0, π) se dice que f es una rotación de ángulo θ a lo largo del eje r. Si θ = π
entonces f es una simetrı́a axial de eje r.
(b) f no admite puntos fijos, esto es, b3 6= 0. La recta r sigue siendo invariante por f .
Si θ ∈ (0, π) entonces f es la composición de un giro de ángulo θ a lo largo del eje r con
una traslación (deslizamiento) a lo largo del vector b3 e3 o movimiento helicoidal. Esta
composición es conmutativa, esto es, se obtiene igualmente si se aplica primero la traslación y
luego el giro. Si θ = π entonces f es una simetrı́a axial de eje r compuesta (conmutativamente)
con una traslación a lo largo del vector b3 e3 o simetrı́a axial con deslizamiento.
Caso impropio (detf~ = −1). Se sabe de nuevo que existe una base ortonormal B = (e1 , e2 , e3 )
tal que la matriz de f~ en B es:


cos θ −senθ
0
cos θ
0 
Rz (θ) =  senθ
0
0 −1
esto es
Rz (θ) =
R(θ)
0
0
−1
para algún θ ∈ [0, π] determinado unı́vocamente.
Nota: cos θ se puede calcular como (trf~ + 1)/2.
Escogido O ∈ A3 , la ecuación de f en el sistema cartesiano R = (O, B) resulta:
0 b1
x
x
+
= R(θ)
,
z 0 = −z + b3
y
b2
y0
(14)
por lo que el plano Π definido por z = b3 /2 es invariante por f . Distinguimos los siguientes
casos.
Caso cos θ = 1 y existe un punto fijo P0 . De (14) se deduce b1 = b2 = 0 y P0 ∈ Π. Tomando
la referencia cartesiana (P0 , B), las ecuaciones de f se reducen a:
x0 = x,
y0 = y
z 0 = −z.
Por tanto, todos lo puntos de Π son puntos fijos y f es una reflexión (o simetrı́a especular) respecto al plano (de simetrı́a) Π.
Caso cos θ = 1 y no existe ningún punto fijo. Tomamos cualquier P0 ∈ Π y las ecuaciones de
f en la referencia cartesiana (P0 , B) se reducen a:
x0 = x + c1 ,
y 0 = y + c2
z 0 = −z
con c21 + c22 6= 0 (pues no hay puntos fijos). En este caso, f es una composición (conmutativa)
~ (v = c1 e1 + c2 e2 ) y una simetrı́a especular con
de una traslación según un vector v ∈ Π
respecto a Π, o reflexión (simetrı́a especular) con deslizamiento.
Caso cos θ 6= 1. En este caso, de las ecuaciones (14) se deduce que hay un único punto fijo
P1 de Π. Se tiene entonces que f es una reflexión (simetrı́a especular) con giro esto
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20
Tema 6: Espacio afı́n
es, la composición (conmutativa) de una reflexión respecto a Π y de un giro de ángulo θ con
respecto a la recta r = P1 + he3 iR (ortogonal a Π).
Resumen. El siguiente teorema sintetiza los resultados obtenidos.
Teorema 15 Todo movimiento rı́gido de de un espacio afı́n euclı́deo tridimensional cae en
uno de los siguientes casos excluyentes5 :
Propio
Impropio
Con puntos fijos
Identidad
Giro (θ ∈ (0, π))
Simetrı́a axial
Reflexión (sim. espec.)
Reflex. (sim. espec.) con giro θ ∈ (0, π)
Simetrı́a central
Sin puntos fijos
Traslación
Movimiento helicoidal
Simetrı́a axial con deslizamiento
Reflex. (sim. espec.) con deslizamiento
Es de remarcar que los casos lı́mite θ = 0, π de giro incluyen, en el caso propio, a la identidad y la simetrı́a axial y, en el impropio, a las simetrı́as especular y central, resp. Además
las traslaciones y simetrı́as axiales con deslizamiento pueden verse como casos lı́mite de movimientos helicoidales. Asimismo, cada movimiento rı́gido sin puntos fijos en la derecha de
la tabla determina unı́vocamente una traslación que, en el caso lı́mite de ser 0, produce el
correspondiente movimiento con puntos fijos a su izquierda.
Desde un punto de vista práctico, las siguientes consideraciones resultan útiles para carac~3 , g). Dada una afinidad f de A3 expresada
terizar los movimientos rı́gidos del espacio (A3 , A
0
como hasta ahora en coordenadas x = M x + b, se puede determinar si f es un movimiento
rı́gido como ya se vio en el caso bidimensional (véase (11)). En este caso, detM = ±1 y:
1. Si detM = 1, tomando cos θ = (trM − 1)/2 se tienen los casos:
a) cos θ = 1 (necesariamente M = I3 ): f es la identidad si b = 0 y una traslación si
b 6= 0. De hecho, si se escoge P ∈ A3 , f puede escribirse como una traslación Tv a
−−−−→
lo largo de v = P f (P ) y, en el caso v = 0, se tiene que f es la identidad.
b) cos θ 6= 1: se puede determinar un autovector e3 asociado al autovalor 1 de M , que
será el vector director del eje del movimiento, distinguiéndose los casos:
(i) f admite un punto fijo P0 : se considera la recta r = P0 + he3 iR , y el movimiento
queda determinado como un giro (de ángulo θ ∈ (0, π)) o una simetrı́a axial, en
ambos casos de eje r.
(ii) f no admite ningún punto fijo: se puede calcular un punto P0 del eje tomando
una referencia afı́n (digamos, (O; B), B = (e1 , e2 , e3 ) con e3 el autovector ya calculado y e⊥
3 = he1 , e2 iR ) que permita un desdoblamiento de las ecuaciones en las
6
direcciones de e3 y e⊥
3 análogo al visto en (13). Ası́, f queda determinado como un
movimiento helicoidal (de ángulo θ ∈ (0, π)) o una simetrı́a axial con deslizamiento,
−−−−−→
en ambos casos de eje P0 + he3 iR y deslizamiento v = P0 f (P0 ).
5
Obsérvese al comparar con el bidimensional, que el nombre “reflexión” siempre incluye movimientos impropios, a saber, las simetrı́as axiales del plano y las especulares del caso tridimensional.
6
Si los vectores {e1 , e2 } no se escogen ortonormales, la matriz Gθ de la expresión (13) pasarı́a a ser una
matriz más general (aunque siempre regular y con determinante 1).
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Tema 6: Espacio afı́n
21
−−−−→
2. Si detM = −1: se calcula el subespacio propio V−1 y el punto P0 = P + (P f (P )/2)
(escogido cualquier punto auxiliar P ∈ A), y se toma cos θ = (trM + 1)/2. Se tienen los
casos:
a) Si dim V−1 =3 (o, equivalentemente, cos θ = −1), entonces f es una simetrı́a central
de centro P0 .
~
b) En caso contrario, V−1 = he3 iR para algún e3 ∈ A\{0},
el plano Π = P0 + he3 i⊥
R es
invariante por f , y necesariamente ocurre uno de los casos:
(i) V1 = he3 i⊥
R (o, equivalentemente, cos θ = 1). Se tienen las posibilidades, según
−−−−−→
P0 f (P0 ) se anule o no:
todos los puntos de Π son fijos: f es una reflexión (sim. espec.) respecto a Π.
Π no tiene ningún punto fijo: f es una reflexión (sim. espec.) respecto a Π
−−−−−→
con deslizamiento P0 f (P0 ).
(ii) V1 = {0} (o, equivalentemente, cos θ < 1). Entonces existe un único punto fijo
P1 de Π, y f es una reflexión (sim. espec.) respecto a Π con giro de eje P1 + he3 iR
y ángulo θ ∈ (0, π) determinado por cos θ.
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22
Tema 6: Espacio afı́n
9.
Cónicas y cuádricas
9.1.
Hipercuádricas
~ g) un espacio afı́n euclı́deo de dimensión n ∈ N, y sea R = (O; B =
Definición 14 Sea (A, A,
(e1 , . . . , en )) un sistema de referencia afı́n. Diremos que una función F : A → R es (a lo sumo)
cuadrática si se escribe como un polinomio de segundo grado respecto a las coordenadas
afines de los puntos, esto es, si existen escalares mij , bi , c ∈ R, i, j = 1, . . . , n, tales que:
F
O+
n
X
i=1
!
xi ei
=
n
X
mij xi xj + 2
i,j=1
n
X
∀x1 , . . . , xn ∈ R.
bi xi + c
i=1
Diremos que un subconjunto C ⊂ A es una hipercuádrica si se puede escribir como el lugar
geométrico de los ceros de una función cuadrática, esto es, si C = F −1 {0} := {P ∈ A : F (P ) =
0} para alguna función cuadrática F .
En este caso, si n = 2, se dice que C es una cónica y si n = 3 que es una cuádrica.
Notas. (1) La definición ası́ dada es tan general que subconjuntos como el vacı́o o el conjunto
formado por un único punto cualquiera de A caen el la definición de hipercuádrica. Estos y
otros casos se considerarán como casos triviales o degenerados en las clasificaciones que se
verán más abajo.
(2) Dado que si se suma una constante a una función cuadrática se obtiene otra función
cuadrática, el conjunto F −1 (C) también define una hipercuádrica, para todo C ∈ R. Más
aún, como la expresión de una función como polinomio de segundo grado es independiente
del sistema de referencia afı́n escogido, no supone ninguna restricción suponer que B es una
base ortonormal.
Convenio. A partir de ahora se supondrá que se ha escogido un sistema de referencia afı́n
cartesiano (ortonormal) y, consistentemente, se considerarará la forma cuadrática F como
un polinomio F : Rn+1 → R de grado (a lo sumo) dos. Consecuentemente, estaremos interesados en la clasificación de hipercuádricas de Rn+1 salvo movimientos rigidos del espacio
afin canónico Rn+1 (los cuales podrı́an interpretarse como un cambio en las coordenadas
cartesianas elegidas sobre el espacio afı́n original A).
El polinomio F puede escribirse de la siguiente manera. Se considera la matriz M = (mij ),
la cual se supondrá simétrica sin pérdida de generalidad,
y de rango ≥ 1 para evitaralgunos



b1
x1




casos triviales. Sean un vector columna b =  ...  y un escalar c ∈ R. Si x =  ... 
bn
denota las coordenadas cartesianas como columna, se tiene:
F (x) = xt M x + 2bt x + c = (xt 1)M̃
x
1
,
M̃ =
M
bt
xn
b
c
, rango(M ) ≥ 1.
(15)
Si transformamos x mediante un cambio de sistema de referenca cartesiano, digamos x =
Qy + v, con Q ∈ O(n), v ∈ Rn , se tiene
F (x) = F (Qy + v) = y t (Qt M Q)y + 2y t Qt (M v + b) + v t M v + 2bt v + c.
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(16)
Tema 6: Espacio afı́n
23
La última expresión se puede considerar como una función cuadrática F ∗ en y:
y
F ∗ (y) := y t M ∗ y + 2(b∗ )t y + c∗ = (y t 1)M̃ ∗
1
donde
∗
t
∗
∗
t
t
t
M = Q M Q, b = Q (M v + b), c = v M v + 2b v + c;
∗
M̃ =
M ∗ b∗
(b∗ )t c∗
,
Escrito de manera más compacta:
∗
t
M̃ = Q̃ M̃ Q̃
donde Q̃ =
Q v
0 1
.
De las transformaciones previas se sigue fácilmente:
Proposición 12 Las matrices M̃ y M̃ ∗ (resp. M y M ∗ ) tienen el mismo rango y el mismo
determinante. Asimismo, (M |b) y (M ∗ |b∗ ) tienen igual rango.
Obsérvese que el polinomio F ∗ carece de términos que dependen linealmente de y si y sólo si
se verifica:
Mv + b = 0
(17)
Definición 15 El punto v0 se dice un centro de la hipercuádrica si es una solución de la
ecuación (17) tomando como incógnita v.
Nota. Estaremos especialmente interesados en los casos particulares Q = In , v ∈ Rn (traslaciones) y Q ∈ O(n), v = 0 (transformaciones lineales en las coordenadas elegidas). Las
siguientes propiedades se deben tener en cuenta en la clasificación que desarrollaremos a continuación: (a) la matriz M es regular si y sólo si existe un centro y éste es único, (b) al ser M
simétrica siempre será (ortogonalmente) diagonalizable, y (c) cuando se considere el rango o
determinante de M o de M̃ , resulta irrelevante si se ha efectuado o no antes una composición
con un movimiento rı́gido (proposición 12).
Convenio. Cuando no exista posibilidad de confusión, escribiremos F (y) en lugar de F ∗ (y),
esto es, al escribir F (y) se entiende implı́citamente F ∗ (y) = F (y(x)) = F (Qy + b), siendo
y(x) := Q−1 (x − v).
9.2.
Cónicas
Consideramos el caso n = 2, y denotamos λ1 , λ2 a los valores propios de M (quizás repetidos).
Caso rango(M) = 2 : Al haber un (único) centro v0 = −M −1 b, se puede hacer el cambio
x = y + v0 en (16), con lo que el polinomio se transforma en
F (y) = y t M y + c0
donde el término independiente c0 ∈ R (directamente calculable aplicando el polinomio
F original sobre v0 ) puede ser cualquier escalar. Como una segunda transformación
de las consideradas en (16), diagonalizamos la matriz M calculando una nueva base
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
24
Tema 6: Espacio afı́n
ortonormal. Si la matriz de paso es Q (esto es, Qt M Q = diag[λ1 , λ2 ]), escribiendo
y = Qz, se obtiene un polinomio
F (z1 , z2 ) = λ1 z12 + λ2 z22 + c0
(18)
con λ1 6= 0 6= λ2 y distinguimos los casos:
1. det M > 0. Equivale a que λ1 y λ2 tengan el mismo signo y (cambiando el signo de
la ecuación si es preciso), podemos suponer λ1 , λ2 > 0, obteniéndose los subcasos:
a) Si el término independiente c0 de (18) es cero o, equivalentemente, rango(M̃ ) =
2 (esto es, det(M̃ ) = 0), la cónica es sólo un punto.
b) Si el término independiente c0 de (18) es distinto de cero o, equivalentemente,
rango(M̃ ) = 3:
1) Si c0 > 0 (esto es, det(M̃ ) > 0), la cónica es el vacı́o.
2) Si c0 < 0 (esto es, det(M̃ ) < 0), la cónica es una elipse. En el caso
particular λ1 = λ2 la elipse es una circunferencia.
2. det M < 0 o, equivalentemente, λ1 y λ2 tienen signos distintos:
a) Si c0 = 0 o, equivalentemente, rango(M̃ ) = 2, se obtiene un par de rectas
secantes.
b) Si c0 6= 0 o, equivalentemente, rango(M̃ ) = 3, la cónica se una hipérbola. En
el caso particular λ1 = −λ2 se dice que la hipérbola es equilátera.
Caso rango(M) = 1 : Uno de los valores propios ha de ser cero y, sin pérdida de generalidad,
escribimos λ1 = λ 6= 0, λ2 = 0. Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal
Q ∈ O(n), se obtiene un nuevo polinomio en y = Qx:
F (y) = λy12 + 2b1 y1 + 2b2 y2 + c,
y se siguen los casos:
1. Si b2 6= 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 2, la cónica obtenida es una parábola. En este caso, un nuevo movimiento rı́gido permite transformar la cónica en la
parábola z2 = az12 , a > 0, de R2 .
2. Si b2 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 1, basta con resolver la ecuación
0 = λy12 + 2b1 y1 + c y la cónica obtenida es:
a) Si la ecuación no tiene soluciones, el vacı́o.
b) Si tiene una única solución (solución doble), una única recta a la que llamaremos recta doble.
c) Si tiene dos soluciones distintas, la cónica es un par de rectas paralelas
no coincidentes.
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Tema 6: Espacio afı́n
25
Resumen
F (x) = xt M x + 2bt x + c con rango(M ) ≥ 1.
1. Si det(M ) > 0, entonces C es una elipse , un punto o el vacı́o (si
λi > 0, resp. det(M̃ ) < 0, det(M̃ ) = 0, det(M̃ ) > 0).
2. Si det(M ) < 0 entonces C es una hipérbola (det(M̃ ) 6= 0) o un
par de rectas secantes (det(M̃ ) = 0).
3. Si det(M ) = 0 y rango(M |b) = 2, entonces C es una parábola.
4. Si det(M ) = 0 y rango(M |b) = 1, entonces C es o el vacı́o, o una
recta doble, o un par de rectas paralelas.
x2
a2
Elipse
2
+ yb2 = 1
Hipérbola
2
− yb2 = ±1
x2
a2
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Parábola
y = ax2
26
9.3.
Tema 6: Espacio afı́n
Cuádricas
Consideramos el caso n = 3, y denotamos λ1 , λ2 , λ3 a los valores propios de M (quizás
repetidos).
Caso rango(M ) = 3. Como en el caso de las cónicas, al haber un (único) centro v0 =
−M −1 b, se puede hacer el cambio x = y + v0 en (16), con lo que el polinomio se
transforma en
F (y) = yM y t + c0 ,
y los valores propios de M no pueden valer cero.
Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q ∈ O(3), escribimos y = Qz, obteniendo un nuevo polinomio:
F (z) = λ1 z12 + λ2 z22 + λ3 z32 + c0
(19)
1. Si todos los valores propios de M tienen el mismo signo, podemos suponer que
los tres son positivos sin pérdida de generalidad, y entonces la cuádrica es o un
elipsoide, o un punto o el vacı́o, dependiendo del signo de c0 (c0 < 0, c0 = 0, c0 >
0, resp.).
2. Si hay valores propios de M con distinto signo, caben dos casos:
a) Si el término independiente es igual a cero o, equivalentemente, rango(M̃ ) = 3,
la cuádrica es un cono.
b) Si el término independiente es distinto de cero o, equivalentemente, rango(M̃ ) =
4 la cuádrica es un hiperboloide. Suponiendo sin pérdida de generalidad
c0 < 0, se tienen dos posibilidades:
1) Si dos valores propios son negativos: hiperboloide de dos hojas. Este
nombre se debe a que posee dos partes conexas. De hecho, si, digamos,
λ3 > 0 entonces z3 se despeja de igualar (19) a 0 como
p
z3 = ± |c0 /λ3 | + (z1 /a1 )2 + (z2 /a2 )2
con a2i = −λ3 /λi > 0 y |z3 | ≥ |c0 /λ3 | > 0.
2) Si dos valores propios son positivos: hiperboloide de una hoja. Este
nombre se debe a que posee una única parte conexa. De hecho, si, digamos,
λ3 < 0 entonces z3 se despeja de igualar (19) a 0 como
p
z3 = ± −|c0 /λ3 | + (z1 /a1 )2 + (z2 /a2 )2
con a2i = −λ3 /λi > 0 y z3 toma todos los valores reales.
Caso rango(M ) = 2. Diagonalizando M mediante una matriz ortogonal Q y escribiendo
x = Qy, se obtiene un nuevo polinomio:
F (y) = λ1 y12 + λ2 y22 + 2b1 y1 + 2b2 y2 + 2b3 y3 + c,
donde λ1 y λ2 son los valores propios no nulos de M . Si resolvemos en yi las ecuaciones
λi yi + bi = 0, i = 1, 2, con soluciones v1 y v2 , respectivamente, la traslación y =
z + (v1 , v2 , 0) reduce el polinomio a:
F (z) = λ1 z12 + λ2 z22 + 2b3 z3 + c0
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(20)
Tema 6: Espacio afı́n
27
1. Si b3 6= 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 3, la cuádrica es un paraboloide.
El tipo de cónica obtenido según como sean las secciones z3 =constante, distingue
entre:
a) paraboloide elı́ptico, cuando λ1 λ2 > 0, y
b) paraboloide hiperbólico, cuando λ1 λ2 < 0.
2. Si b3 = 0, es decir, si rango(M |b) = 2, la tercera variable no aparece en (20). Olvidándonos momentáneamente de esta tercera variable, la ecuación (20) puede verse como la de una cónica, la cual podemos clasificar. De hecho, como rango(M ) = 2,
entonces la cónica que se obtiene no puede ser ni una recta doble ni una parábola.
Cuando la cónica es una elipse o una hipérbola, la cuádrica original es un cilindro elı́ptico o un cilindro hiperbólico, resp. (en el caso particular de que la
elipse sea una circunferencia se habla de un cilindro circular, o simplemente
cilindro). Teniendo en cuenta los otros casos posibles se tiene:
Cónica
vacı́o
un punto
par de rectas secantes
elipse
hipérbola
Da lugar a la cuádrica
vacı́o
recta
par de planos secantes
cilindro elı́ptico
cilindro hiperbólico
Caso rango(M ) = 1. Ordenando los valores propios adecuadamente, sólo el primero de ellos
es distinto de cero, y escribimos λ1 = λ(6= 0). Diagonalizando M mediante una matriz
ortogonal Q y escribiendo x = Qy, se obtiene el nuevo polinomio
F (y) = λy12 + 2b1 y1 + 2b2 y2 + 2b3 y3 + c
(21)
1. Si b2 6= 0 ó b3 6= 0, esto es, rango(M |b) = 2, se obtiene un cilindro parabólico.
De hecho, es posible cambiar ortogonalmente las coordenadas (y1 , y2 , y3 ) por otras
(y10 = y1 , y20 , y30 ) de modo que al reescribir (21) en las nuevas coordenadas no
aparezca y30 de modo que la superficie se escribe como una parábola en un plano
trasladada en paralelamentepen la dirección ortogonal por (concretamente,
tómese
p
y10 = y1 , y20 = (b2 y2 + b3 y3 )/ b22 + b23 , y30 = (−b3 y2 + b2 y3 )/ b22 + b23 ).
2. Si b2 = b3 = 0 o, equivalentemente, rango(M |b) = 1, no se tiene ninguna restricción
para y2 , y3 , pero sı́ para y1 que debe satisfacer la ecuación λy12 + 2b1 y1 + c = 0.
Resolviendo la ecuación en y1 , se tienen dos soluciones, una o ninguna, que se
corresponden con dos planos paralelos (distintos), un plano doble o el vacı́o,
resp.
Apéndice 1: Regla de Descartes
Para la clasificación de las cuádricas (y, en general, de las hipercuádricas) resulta fundamental conocer los signos de los autovalores del polinomio caracterı́stico p(λ) =det(M − λIn ).
Éstos se pueden calcular con facilidad como sigue. Se ordenan los coeficientes del polinomio
de mayor grado a menor y, obviando al cero, se cuentan los cambios de signo. Por ejemplo, en
4λ3 − 3λ + 1 los coeficientes (4, 0, −3, 1) presentan dos cambios de signo. Se tiene entonces la
siguiente regla conocida de Análisis Matemático (véase por ejemplo http://gaussianos.com/laregla-de-los-signos-de-descartes/).
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
28
Tema 6: Espacio afı́n
Regla de Descartes. El número de raı́ces positivas de un polinomio con coeficientes reales
contadas con su multiplicidad es, como máximo, el número de cambios de signo entre sus
coeficientes, y siempre difiere de este número en un múltiplo de dos.
Esta regla también se puede aplicar a p(−λ) para obtener una cota del número de raı́ces
negativas (y determinar si su número es par o impar).
Las matrices que nosotros debemos considerar son simétricas, por lo que su polinomio caracterı́stico tiene todas sus raı́ces reales, y la regla se refina en la siguiente:
Regla: El número de valores propios positivos de una matriz simétrica es igual al número de
cambios de signo de los coeficientes del polinomio caracterı́stico p(λ).
Puesto que la posible multiplicidad m de 0 como raı́z se obtiene trivialmente comprobando
si el polinomio factoriza por λm , la regla permite calcular directamente el número de raı́ces
positivas, negativas y nulas contadas con sus multiplicidades.
Resumen
F (x) =
xt M x
+
2bt x
+ c con rango(M ) ≥ 1, M̃ =
M
bt
b
c
.
Rango(M ) = 3
1. Si M es definida positiva o negativa, entonces C es un elipsoide, un
punto o el vacı́o (en particular, los elipsoides con sus tres autovalores
iguales son esferas).
2. Si M es indefinida y rango(M̃ ) = 4, entonces C es un hiperboloide
(de una o dos hojas).
3. Si M es indefinida y rango(M̃ ) = 3, entonces C es un cono.
Rango(M ) = 2
1. Si rango(M |b) = 3, entonces C es un paraboloide (elı́ptico o hiperbólico).
2. Si rango(M |b) = 2, entonces C es un cilindro elı́ptico, un cilindro
hiperbólico, par de planos secantes, una recta doble o el vacı́o.
Rango(M ) = 1
1. Si rango(M |b) = 2, entonces C es un cilindro parabólico.
2. Si rango(M |b) = 1, entonces C es un par de planos paralelos, un
plano doble o el vacı́o.
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Tema 6: Espacio afı́n
29
x2
a2
Elipsoide
2
2
+ yb2 + zc2 = 1
Hiperboloide de 1 hoja
2
2
x2
+ yb2 − zc2 = 1
a2
Hiperboloide de 2 hojas
2
2
x2
− yb2 − zc2 = 1
a2
x2
a2
Cono
2
+ − zc2 = 0
Paraboloide elı́ptico
2
2
z = xa2 + yb2
Paraboloide hiperbólico
2
2
z = xa2 − yb2
Cilindro elı́ptico
2
x2
+ yb2 = 1
a2
Cilindro hiperbólico
2
x2
− yb2 = 1
a2
x2
Esfera
+ y2 + z 2 = r2
y2
b2
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30
Tema 6: Espacio afı́n
2
2
0
0
-2
-2
2
2
0
0
-2
-2
-2
-2
0
0
2
Cilindro parabólico
y = ax2
Par de planos paralelos
ax2 + b = 0
2
Par de planos secantes
(3x + y + 1)(2y − 1) = 0
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Tema 6: Espacio afı́n
10.
31
Apéndice 2: cónicas regulares.
10.1.
Conceptos generales
Las cónicas regulares son la elipse (incluyendo la circunferencia), la hipérbola y la parábola.
Cada una de ellas puede verse como la curva que se obtiene al intersecar transversalmente una
superficie cónica de un espacio euclı́deo tridimensional con un plano. Tomando un sistema de
referencia cartesiano (O; B), podemos suponer que este plano euclı́deo es R2 con su estructura
afı́n euclı́dea usual, siendo, como hasta ahora, g, k · k, d, su producto escalar, norma de su
espacio director y distancia asociada, resp. Podremos usar además una elección conveniente
del origen O y de la base B de manera que obtengamos una forma especialmente simple
(ecuación reducida) de la cónica.
Aunque estas curvas ya han aparecido en la clasificacion de las cónicas de la sección
anterior, por lo que se pueden considerar como ya definidas, nuestro objetivo a continuación
será dar un estudio más directo de modo que, a su término, resulte claro que las cónicas
regulares que aparecieron entonces coinciden con las curvas homónimas de las que el lector
pueda tener un conocimiento previo.
Existen varias definiciones unificadas de las cónicas regulares. Una de ellas involucra la
excentricidad, o razón constante para los puntos de cada cónica entre sus distancias a un
punto fijo (foco) y a una recta fija (recta directriz). Otra de ellas serı́a la siguiente.
Una cónica regular es el lugar geométrico de los puntos del plano euclı́deo que equidistan de un punto fijo F , el foco, y de una circunferencia de centro F 0 y radio r = 2a que
no pasa por F , la directriz, incluyendo el caso lı́mite (como circunferencia de radio infinito)
aquél en el que la directriz es una recta. La cónica regular serı́a entonces una:
elipse, si F cae dentro de la circunferencia (d(F, F 0 ) < 2a).
hipérbola, si F cae fuera de la circunferencia (d(F, F 0 ) > 2a).
parábola, si la directriz es una recta.
En los casos en que F 0 existe (elipse e hipérbola), también se le llama foco a F 0 (y el papel
de los dos focos, F , F 0 resultará intercambiable). En este caso, llamaremos distancia focal
a la distancia entre los focos, que denotaremos 2c, esto es
2c = d(F, F 0 ).
Si F 6= F 0 , la recta determinada por F y F 0 es el eje focal, la mediatriz de F, F 0 el eje no
focal, y la intersección de los dos ejes el centro de la cónica.
A las longitudes r, r0 de los segmentos P F y P F 0 que unen un punto cualquiera P de la
cónica con los focos F y (cuando existe) F 0 , resp., se les llama7 radios vectores.
−→
El radio vector r determinado por P F se entiende aquı́ como la distancia d(P, F ) =k P F k. Ası́, fijados
0
0
los focos F, F , cada elección posible de radios vectores r, r determina dos o un punto, obtenidos como la
intersección de dos circunferencias de centros F, F 0 y radios r, r0 , resp. En algunos contextos se llama también
−→
radio vector al vector ligado (P, F ) o al vector libre P F (y análogamente para el radio vector r0 determinado
por P F 0 ).
7
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
32
Tema 6: Espacio afı́n
Sea P un punto de una elipse o una hipérbola, y sea M el punto de la circunferencia
directriz tal que d(P, M ) coincide con la distancia de P a la directriz. Como de la definición
de cónica regular d(P, F ) = d(P, M ), se tiene en el caso de la elipse d(P, F ) + d(P, F 0 )(=
d(F 0 , P ) + d(P, M )) = 2a (la ultima igualdad por estar alineados F 0 , P, M quedando P en el
interior del segmento F 0 M ) y en el de la hipérbola |d(P, F ) − d(P, F 0 )| = 2a.
En resumen, ya sea por la aproximación anterior a partir de un punto y una circunferencia
directriz, o ya por cualquiera otra de las sugeridas (intersección de planos con cónicas, curvas
con excentricidad constante), se puede llegar a las siguientes definiciones clásicas de las cónicas, que serán de las que partamos en adelante. Obsérvese que en ellas el papel intercambiable
de los focos queda de manifiesto:
Definición 16 Las cónicas regulares son la elipse, hipérbola y parábola, definidas como
sigue:
1. Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano euclı́deo cuya suma de distancias a
dos puntos fijos, F , F 0 , llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a > d(F, F 0 ).
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
Tema 6: Espacio afı́n
33
2. Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano euclı́deo cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos, F , F 0 , llamados focos es, en valor absoluto, constante e
igual a 2a, siendo 2a < d(F, F 0 ).
3. Parábola es le lugar geométrico de los puntos del plano euclı́deo que equidistan de un
punto fijo F llamado foco y de una recta fija d que no contiene a F llamada directriz.
10.2.
Circunferencia
La circunferencia puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del plano
euclı́deo que equidistan de uno dado C; a este punto se le llama centro y al valor común de
la distancia a él, radio. Alternativamente, puede verse como el caso particular de elipse en
el que F = F 0 , en cuyo caso el centro es F y el radio a.
Ecuación de la circunferencia. Si P = (x, y) es un punto genérico de la circunferencia, C =
(x0 , y0 ) su centro y R > 0 su radio, elevando al cuadrado la relación d(P, C) = R se tiene:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2
y, operando:
x2 + y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c = 0,
donde x0 = −b1 , y0 = −b2 , R2 = b21 + b22 − c
(22)
en particular, si b1 = b2 = 0 entonces c = −R2 (< 0), y se tiene la ecuación reducida de la
circunferencia:
x2 + y 2 = R 2 .
Algunas propiedades relacionadas con la circunferencia:
(A) La ecuación reducida depende de un parámetro, el radio R y, en general, una circunferencia queda determinada por tres parámetros ((x0 , y0 , R) ó (b1 , b2 , c), etc.). Éstos
pueden fijarse de diversos modos: dando tres puntos (necesariamente no alineados) por
los que la circunferencia pasa, dando dos puntos, el radio (necesariamente mayor o
igual a la distancia entre los puntos) y una prescripción que permita fijar una entre
dos posibilidades, etc. Mediante un movimiento rı́gido los parámetros tomarán el valor
correspondiente a la ecuación reducida.
(B) La intersección de una circunferencia con una recta r : Ax + By + C = 0 se obtiene al
solucionar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado por las ecuaciones
de ambas curvas. Este sistema se corresponde con las ecuaciones de una ecuación de
segundo grado la cual puede tener dos soluciones, una o ninguna, lo que determina si r
es secante, tangente o exterior a la circunferencia, respectivamente.
Estas consideraciones permiten una alternativa al cálculo usual del vector tangente
(vx , vy ) a una curva dada implı́citamente como f (x, y) = 0 (en el caso particular de la
circunferencia, la ecuación (22)) en un punto (x1 , y1 ). Concretamente, (vx , vy ) se obtiene
derivando implı́citamente para generar la ecuación
vx
∂f
∂f
(x1 , yi ) + vy (x1 , yi ) = 0.
∂x
∂y
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(23)
34
Tema 6: Espacio afı́n
(C) Dada una circunferencia C, un punto P1 = (x1 , y1 ) y una recta r que pase por P y que sea
−−→ −−→
secante a C, cortándola en dos puntos A, A0 , el valor de g(P1 A, P1 A0 ) es independiente
de la secante r escogida. A este valor común se le llama potencia del punto P
respecto a la circunferencia y se puede calcular como:
−−→ −−→
g(P1 A, P1 A0 ) = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 − R2 .
−−→
Además, la potencia es igual a k P1 A k2 en el caso lı́mite de que r sea tangente a la
circunferencia y se tome A(= A0 ) como el punto de tangencia. Ası́, basta con extraer la
raı́z de la potencia para calcular la longitud del segmento tangente.
La potencia es positiva (resp. negativa; nula) si P es un punto exterior a (resp.
interior a; sobre) la circunferencia. En particular, el término independiente c en la
ecuación de la circunferencia (22) es la potencia del origen de coordenadas, por lo que
éste es interior, exterior, o cae sobre la circunferencia, dependiendo de si c < 0, c > 0
ó c = 0, resp.
10.3.
Elipse
Llamaremos como hasta ahora F, F 0 a los focos de la elipse, con distancia focal 2c, siendo
r, r0 sus radios vectores, y quedando la elipse fijada por la ecuación:
r + r0 = 2a(> 2c)
Consistentemente, c = d(F, F 0 )/2 es la√semidistancia focal, y llamaremos semieje mayor de
la elipse a a, y semieje menor a b = a2 − c2 . Se define la excentricidad e de la elipse como
el cociente:
e = c/a(< 1),
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Tema 6: Espacio afı́n
35
el cual, en el caso lı́mite de la esfera, es igual a 0. Supondremos que el sistema cartesiano de
coordenadas se escoge centrado en el punto medio entre los focos y que éstos están contenidos
en el primer eje coordenado, de modo que podemos escribir:
F 0 = (−c, 0).
F = (c, 0)
Los radios vectores verifican entonces
r2 = (x − c)2 + y 2 = x2 − 2xc + c2 + y 2 ,
r02 = (x + c)2 + y 2 = x2 + 2xc + c2 + y 2
(24)
de donde
r02 − r2 = 4cx.
Como r02 − r2 = (r0 + r)(r0 − r) = 2a(r0 − r), sustituyendo en la ecuación anterior se tiene
r0 − r =
2cx
= 2ex.
a
Sumando y restando esta expresión a la de r +r0 = 2a se obtiene la ecuación de los radios
vectores de la elipse:
r = a − cx
(= a − ex),
a
(25)
r0 = a + cx
(= a + ex).
a
Elevando al cuadrado la expresión de r0 en la ecuación de los radios vectores (25) e igualándola
a la expresión en (24) se obtiene:
cx 2
x2 + 2xc + c2 + y 2 = a +
.
a
Desarrollando el paréntesis, simplificando, quitando denominadores y reordenando términos:
a2 − c2 x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Teniendo en cuenta que, de la definición del semieje menor, b2 = a2 − c2 , sustituimos esta
expresión y dividimos por a2 b2 para obtener la ecuación reducida (o canónica) de la
elipse:
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Nota Es de observar que esta ecuación se podı́a también haber deducido directamente de
r + r0 = 2a, sin pasar por la ecuación de los radios vectores (simplemente, elevando una
primera vez al cuadrado para reducir las dos raı́ces a una y, tras despejar, elevando una
segunda vez).
Algunas propiedades de interés:
(A) Las ejes cartesianos escogidos son ejes de simetrı́a de la elipse, en el sentido de que la
elipse es invariante tanto por la reflexión con respecto al eje x ((x, y) 7→ (x, −y)), que
es el eje focal, como con respecto al eje y ((x, y) 7→ (−x, y), que es el eje no focal (por
lo que también es invariante para la simetrı́a central respecto al origen).
Los cuatro puntos de corte de los ejes de simetrı́a con los ejes se llaman vértices de
la elipse, y tienen por coordenadas (±a, 0), (0, ±b). Los valores de x sobre los puntos de
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36
Tema 6: Espacio afı́n
la elipse varı́an en el segmento |x| ≤ a de longitud 2a y los de y en el segmento |y| ≤ b
de longitud 2b. Consecuentemente con la nomenclatura usada, al segmento de extremos
(±a, 0) es el eje mayor y al de extremos (0, ±b) el eje menor.
Claramente el origen de coordenadas es el centro de la elipse, tanto en el sentido
general que se dio en el caso de cuádricas (al no haber términos lineales en la ecuación
reducida) como en el sentido de ser el punto de corte de sus ejes de simetrı́a.
(B) Considerando la ecuación reducida como un polinomio cuadrático que define a la elipse, resulta claro: (i) los autovalores de la matriz M correspondientes a los términos
cuadráticos son λ1 = 1/a2 , λ2 = 1/b2 , (ii) los subespacios propios se corresponden con
los subespacios directores de los ejes de simetrı́a, (iii) éstos están determinados unı́vocamente excepto cuando cuando la elipse es una circunferencia. Todas estas propiedades
se mantienen si se realiza una transformación lineal ortonormal de las coordenadas.
No obstante, cuando se realiza una traslacion (o, en general un movimiento rı́gido tal
que el origen de coordenadas no sea un punto fijo) debe tenerse en cuenta que el término
independiente del polinomio (que en la ecuación reducida es −1), en la nueva ecuación
general será distinto, por lo que la ecuación de la elipse debe considerarse con ese nuevo
valor del término independiente para que se mantenga la relación entre semiejes y valores
propios.
(C) Consideraciones análogas a las hechas para la circunferencia en los puntos (A) y (B)
de la subsección anterior pueden establecerse ahora para la elipse. Obsérvese que ésta
queda determinada esencialmente por cinco parámetros: dos para determinar el centro
(x0 , y0 ), uno para determinar el ángulo θ del eje de simetrı́a, y otros dos correspondientes
a la ecuación reducida, y que se pueden escoger entre a, b, c, e.
(C) Obsérvese asimismo que, como en el caso de la circunferencia, la elipse determina una
región interior y una exterior (obtenidas reemplazando la igualdad a 1 en la ecuación
reducida por las desigualdades < 1 y > 1, resp.), y las rectas pueden ser secantes,
tangentes o exteriores a una elipse. No resulta difı́cil comprobar (hágase como ejercicio):
(i) por un punto exterior a una elipse pasarán exactamente dos rectas tangentes a ella,
(ii) dada una recta s, siempre existen exactamente dos rectas paralelas a s que son
tangentes a la elipse.
10.4.
Hipérbola
Sean ahora F, F 0 los focos de la hipérbola, con distancia focal 2c, y r, r0 los radios vectores
de un punto genérico, de modo que aquélla viene determinada por la ecuación:
|r − r0 | = 2a(< 2c)
Consistentemente, c = d(F, F 0 )/2 es la semidistancia
focal. Llamaremos semieje real de
√
la hipérbola a a, y semieje imaginario a b = c2 − a2 . Se define la excentricidad e de la
hipérbola como el cociente:
e = c/a(> 1).
Supondremos también que el sistema cartesiano de coordenadas está centrado en el punto
medio entre los focos y que éstos están contenidos en el primer eje coordenado, de modo que
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Tema 6: Espacio afı́n
37
podemos escribir de nuevo:
F 0 = (−c, 0),
F = (c, 0)
por lo que se mantiene la expresión de los radios vectores
r2 = (x − c)2 + y 2 = x2 − 2xc + c2 + y 2 ,
r02 = (x + c)2 + y 2 = x2 + 2xc + c2 + y 2
(26)
r02 − r2 = 4cx.
(27)
y:
Como ahora |r02 − r2 | = |r0 − r|(r0 + r) = 2a(r0 + r), se obtiene sustituyendo en (27):
r0 + r =
2c|x|
= 2e|x|.
a
Sumando y restando esta expresión a la de r0 − r = ±2a y teniendo en cuenta de (27) que el
signo + sucede cuando x > 0 y el signo − cuando x < 0 (mientras que el caso x = 0 no puede
darse), se obtiene la ecuación de los radios vectores de la hipérbola:
r=
r0 =
cx
a
cx
a
− a (= ex − a),
+ a (= ex + a).
(28)
Ası́, de las expresiones de r0 en (28) y en (24) se tiene:
cx
2
x2 + 2xc + c2 + y 2 =
+a .
a
Operando como en el caso de la elipse:
a2 − c2 x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Pero ahora el semieje imaginario b verifica a2 − c2 = −b2 . Ası́, sustituyendo esta expresión y
dividiendo por −a2 b2 se obtiene la ecuación reducida (o canónica) de la hipérbola:
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
Nota. Como en el caso de la elipse, esta ecuación podrı́a haberse obtenido directamente de
|r − r‘| = 2a.
Algunas propiedades de interés:
(A) Análogamente al caso de la elipse, los ejes cartesianos escogidos son ejes de simetrı́a
de la hipérbola, de modo que el eje x coincide con el eje focal, y al eje y con el eje
no focal. Ası́, el origen de coordenadas es el centro de la hipérbola en cualquier de los
sentidos que se han visto: (i) intersección de los dos ejes, (ii) punto que, tomado como
origen de uns sistema coordenado, hace que se anulen los términos lineales en x, y del
polinomio cuadrático que define a la cónica, y (iii) centro para una simetria central que
deja invariante la hipérbola.
Los puntos de corte de los ejes de simetrı́a con los ejes se llaman vértices reales
de la hipérbola, y tienen por coordenadas (±a, 0). A los puntos (0, ±b) se les llama
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38
Tema 6: Espacio afı́n
vértices imaginarios. Los valores de x sobre los puntos de la hipérbola varı́an en los
dos intervalos cerrados no acotados obtenidos como |x| ≥ a, y los de y en todo R. Ası́,
la hipérbola tiene dos ramas (partes conexas no acotadas):
q
2
C+ = {(x, y) ∈ R2 : x = a 1 + yb2 , y ∈ R}
q
(29)
2
C− = {(x, y) ∈ R2 : x = −a 1 + yb2 , y ∈ R}.
Consecuentemente con la nomenclatura usada, al segmento de extremos (±a, 0) es el
eje real, y el de extremos (0, ±b) el eje imaginario.
(B) Se pueden hacer consideraciones análogas a las de los puntos (B) y (C) en la subsección
de la elipse. Con respecto al punto (D) conviene tener en cuenta las siguientes salvedades.
En primer lugar, aunque la hipérbola determina dos regiones obtenidas reemplazando la
igualdad a 1 en la ecuación reducida por las desigualdades < 1 y > 1, ninguna de estas
regiones esta ahora acotada, por lo que no resulta natural llamar “interior” a ninguna
de ellas. Además, tampoco se verifican resultados análogos a los de existencia de rectas
tangentes en ese apartado (D) de la elipse.
Más aún, aunque las rectas del plano pueden cortar en dos, uno o ningún punto a
la hipérbola, de entre estas últimas hay una clase especial de rectas, las ası́ntotas,
cuyas propiedades no se corresponden con ningunas del caso de la elipse, por lo que las
estudiamos a continuación.
Ası́ntotas
Las rectas
b
b
x
r− : y = − x
a
a
son las ası́ntotas de la hipérbola. Este nombre se justifica por lo siguiente8 . En primer lugar,
cada rama de la hipérbola C± en (29) admite una reparametrización como una curva continua
r+ : y =
8
El cálculo explı́cito de ası́ntotas (y, como consecuencia, su unicidad caso de que existan) se supone conocido
de análisis matemático elemental. Ası́, recordemos que si existe una recta y = mx + n que es la ası́ntota
hacia x → +∞ de una curva obtenida como el grafo x 7→ (x, f (x)), x ∈ (a, ∞) de una función continua f ,
necesariamente m = lı́mx→∞ (f (x)/x) y, entonces, n = lı́mx→∞ (f (x) − mx).
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Tema 6: Espacio afı́n
39
γ± : I → R2 (≡ A) (donde I ⊂ R es un intervalo), esto es, C± = Im(γ± ). Por ejemplo, podemos
escoger I = R y
!
!
r
r
t2
t2
γ+ (t) = a 1 + 2 , t
γ− (t) = −a 1 + 2 , t
∀t ∈ R.
b
b
Además, cada una de estas curvas es divergente hacia ambos extremos de I, en el sentido9 :
lı́m d(γ± (t), O) = ∞
lı́m d(γ± (t), O) = ∞.
t→a
t→b
Diremos que una recta r es una ası́ntota para C+ si
lı́m d(γ+ (t), r) = 0
t→a
o
lı́m d(γ+ (t), r) = 0,
t→b
(30)
y análogamente lo será para10 C− . Teniendo en cuenta que, por ejemplo11 ,
√
t2 + b2 − t ,
∀t > 0,
d(γ+ (t), r+ ) ≤ d(γ+ (t), ( ab t, t)) = ab
√
d(γ− (t), r+ ) ≤ d(γ− (t), ( ab t, t)) = ab
t2 + b2 + t ,
∀t < 0,
se sigue de (30) que r+ (resp. r− ) es una ası́ntota tanto para C+ como para C− (por lo que
son además las únicas ası́ntotas).
Hipérbola equilátera
Una hipérbola se dice equilátera cuando sus semiejes coinciden, esto es:
a=b
y, por tanto, c =
√
2a. En este caso, sus ası́ntotas son
y=x
y = −x,
por lo que se cortan ortogonalmente en el origen. Podemos en consecuencia tomar una nueva
referencia afı́n cartesiana (O, B 0 ) centrada en el origen y cuyos ejes coordenados coincidan
con las ası́ntotas. Teniendo en cuenta que éstas cortan a los ejes coordenados originales en
ángulos de ±π/4 podemos elegir la base B 0 girando la original B0 un ángulo orientado −π/4
(para la orientación tal que B0 es positivamente orientada), con lo que se obtiene el cambio
a las nuevas coordenadas (x0 , y 0 ):
√
0 √
2/2 √2/2
x
x
√
= R(−π/4)
,
R(−π/4) =
y
y0
− 2/2
2/2
9
Con más generalidad, el lı́mite de la distancia de, digamos, γ+ (t) a un punto fijo cualquiera P0 (no sólo
el origen de coordenadas O) es igual a ∞ tanto cuando t → a como cuando t → b. Ası́, la divergencia de γ+
hacia uno de los extremos de I es independiente del sistema de referencia cartesiano escogido (e invariante por
movimientos rı́gidos).
10
Esta propiedad es independiente de las reparametrizaciones γ± escogidas.
11
Recuérdese que la distancia del punto γ+ (t) a la recta r+ es el ı́nfimo de las distancias del punto a cada
uno de los puntos de la recta.
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40
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Sustituyendo en la ecuación reducida de la hipérbola se obtiene:
x0 y 0 =
a2
2
esto es, la ecuación de la hipérbola equilatera referida a sus ası́ntotas:
x0 y 0 = K
10.5.
donde K =
a2
.
2
Parábola
Para el caso de la parábola, se tiene el único foco F y la recta directriz d (que no contiene
al foco). Llamaremos radio focal (o distancia focal) p a la mitad de la distancia del
foco a la directriz (la cual, como veremos, será igual a la distancia del foco al vértice). Para
cada punto P de la parábola se tiene un único radio vector r, determinado por el segmento
P F . Se supone fijado un sistema cartesiano tal que el foco F se identifica con el punto de R2
F = (0, p)
y la directriz con la recta:
d : y = −p.
En consecuencia, la distancia de un punto cualquiera P = (x, y) a F y d es, respectivamente:
q
d(F, P ) = x2 + (y − p)2 ,
d(P, d) = |y + p|.
La igualdad que define la parábola como lugar geométrico se puede escribir
d(F, P )2 = d(P, d)2
y fuerza a que P = (x, y) verifique y ≥ 0, resultando equivalente a:
y=
1 2
x
4p
(31)
que es la ecuación reducida de la parábola. Como elementos notables que aparecen en
la ecuación reducida:
1. Necesariamente y ≥ 0 sobre la parábola, y diverge positivamente cuando x → ±∞.
2. El eje coordenado y es el eje de la parábola, entendido en cualquiera de los siguientes
dos sentidos:
(i) Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
(ii) Es la única recta tal que la parábola es invariante por una reflexión con eje en ella.
3. El vértice de la parábola, o intersección de ésta con el eje, es el origen de coordenadas.
4. Tomando a =
1
4p
1
ó a = − 4p
, las cuatro posibles ecuaciones tipo:
y = ax2
x = ay 2
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Tema 6: Espacio afı́n
41
también son consideradas ecuaciones reducidas de la parábola. Estas se pueden obtener
de la original mediante una simetrı́a central o un giro de ángulo orientado ±π/2, y
también mediante reflexiones respecto a los ejes coordenados o sus bisectrices. Según
el caso, se dice que es la ecuación reducida de la parábola con astas ascendentes,
descendentes, orientadas a la derecha o a la izquierda.
Cambiando de coordenadas en la ecuación reducida (31) mediante la traslación
x = x0 − x0
se obtiene la ecuación
y 0 − y0 =
y = y 0 − y0
1 0
(x − x0 )2 .
4p
en la cual el vértice tiene coordenadas (x0 , y0 ). Desarrollando esta expresión e identificando
términos, se llega a la siguiente interpretación del trinomio de segundo grado.
Proposición 13 Dados a > 0, b, c ∈ R, el lugar geométrico de los puntos (x, y) del plano
que verifican la ecuación:
y = ax2 + bx + c
es una parábola con los siguientes elementos:
b 4ac−b2
, 4a
Vértice: (x0 , y0 ) = − 2a
Radio focal: p =
1
4a
b
Eje: la recta vertical x = − 2a
b 4ac−b2 +1
,
Foco: F = − 2a
4a
directriz d: la recta horizontal y =
4ac−b2 −1
4a
Recı́procamente:
a=
1
,
4p
b=−
x0
,
p
c=
x20
+ y0
4p
Nota. (1) En el caso a < 0 se pueden usar las fórmulas anteriores, con la salvedad de que el
radio focal pasa a ser −p. (2) La ecuación general de la parábola queda determinada por cuatro
parámetros, los cuales deben fijar la posición del vértice, el ángulo con una recta prefijada de
la semirrecta que empieza en el vértice y pasa por el foco, y el radio focal. (3) La excentricidad
de la parábola es e = 1, de acuerdo con la definición de excentricidad como cociente entre las
distancias al foco y a la recta directriz de un punto genérico. Esta definición es extensible a
toda cónica regular (excepto la circunferencia que serı́a el caso lı́mite en el que la directriz
está infinitamente alejada del centro), y resulta consistente con la antes introducida para la
elipse e hipérbola.
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