Triángulos

Polígonos
Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.
Elementos de un polígono
• Lados: Son los segmentos que lo limitan.
• Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.
• Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados
consecutivos.
Suma de ángulos interiores de un polígono
• Si n es el número de lados de un polígono:
Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°
• Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos
• Número de diagonales de un polígono , si n es el número de lados de un polígono:
Número de diagonales
= n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 5
6 · (6 − 3) : 2 = 9
TIPOS DE POLÍGONOS.
Según sus lados
Triángulos 3
lados.
Cuadriláteros
4 lados.
Pentágonos
5 lados.
Según sus ángulos
Convexos
Todos sus ángulos menores
que 180°.
Todas sus diagonales son
interiores.
Cóncavos
Si un ángulo mide más
de 180°.
Si una de sus diagonales
es exterior.
Elementos de un polígono regular
Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.
Centro (C): Punto interior que equidista de cada vértice
Radio(r): Es el segmento que va del centro a cada vértice.
Apotema(a): Distancia del centro al punto medio de un lado.
Ángulos de un polígono regular
- Ángulo central de un polígono regular: Es el formado por dos radios
consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
Ángulo central del pentágono regular = 360° : 5 = 72º
- Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior = 180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 7 2º = 108º
- Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de
un lado consecutivo.
SE VERIFICA QUE
1) Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.
2) Ángulo exterior = Ángulo central
POLÏGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS.
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están
contenidos en ella.
Circunferencia circunscrita Es la que toca a cada vértice del polígono Su
centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono.
Circunferencia inscrita Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su
centro equidista de todos los lados. Su radio es la apotema del polígono
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Vértices: A, B, C
Lados: AB = c , BC = a , AC = b
Ángulos Interiores: <CAB = α (alfa)
<ABC = β (beta)
<BCA = γ (gama)
Ángulos Exteriores: φ, ω, θ
Clasificación
Según las longitudes de sus lados
• Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres
ángulos internos miden 60 grados
•
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud.
Los ángulos que se oponen a estos lados
tienen la misma medida.
• Triángulo escaleno: si todos sus lados
tienen longitudes diferentes. En un triángulo
escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
Según la amplitud de sus ángulos
• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto
(90°). A los dos lados que conforman el ángulo rect o se les
denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de
90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son
menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso p articular
de triángulo acutángulo.
Líneas y puntos notables en un triangulo
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el
lado opuesto.
Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un
triángulo.
Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas
de un triángulo. El segmento que une el baricentro con el
vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con
el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un
triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su
punto medio.
Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de
un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
PROPIEDADES
1. La suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°.
2. La suma de los ángulos externos de todo triángulo es igual a 360°.
3. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no
adyacentes.
4. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide los otros dos en
partes proporcionales.
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
5. Si una recta divide dos lados de un triángulo en partes proporcionales, es paralela
al tercer lado.
CD CE
⇔ DE || AB
=
AD EB
6. La línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al
tercer lado e igual a su mitad.
AD = DC y BE = EC ⇒ DE || AB y DE =
AB
2
7. La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo divide el lado opuesto en
partes proporcionales a los otros dos lados.
<1=<2 ⇒
AM
MB
8.
=
CA
CB
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras)
c2 = a 2 + b 2
c
a
b
SEMEJANZA.
Figuras semejantes. Dos figuras son semejantes, cuando tienen sus ángulos
respectivamente congruentes comprendidos entre lados proporcionales.
D
E
C
D’
E’
A
B
A’
<A = < A', <B = <B', <C = <C,' <D = <D', <E = <E'
C’
B’
AB
BC
=
A'B '
B 'C '
Existen algunas figuras que teniendo sus ángulos congruentes sus lados pueden no ser
proporcionales.
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
Otras figuras a pesar de tener sus lados proporcionales no tienen sus ángulos
congruentes.
De lo anterior deducimos que sólo son semejantes aquellas figuras que cumplen con las
dos condiciones ya establecidas.
Teorema 1 (AAA). Si dos triángulos son mutuamente equiángulos, son semejantes.
C’
C
A
B
< A = < A’, < B = < B’ y < C = <C’
A´
⇒
B`
∆ ABC ≈ ∆ A’B’C’
Teorema 2 (LAL). Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados
proporcionales, los dos triángulos son semejantes.
C
C’
A
a
B
AC
BC
=
⇒
A' C ' B' C '
A’
B’
∆ ABC ≈ ∆ A’B’C’
Teorema 3 (LLL). Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a
los de otro, los dos triángulos son semejantes.
AC
BC
AB
=
=
⇒ ∆ ABC ≈ ∆ A’B’C’
A' C ' B ' C ' A' B '
ÁREA DE UN TRIÁNGULO.
El área de un triángulo en general es:
a
h
n
c
A=
bh
2
m
b
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
Si se conocen las longitudes de los tres lados a, b, c, el área se puede calcular mediante
la siguiente expresión llamada fórmula de Herón:
A = s( s − a)(s − b)(s − c) , donde
Teorema del cateto
proyección sobre ella:
s=
(a + b + c)
es el semi perímetro.
2
Todo cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su
a n
=
c a
b m
=
c b
Teorema de la altura. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los
segmentos que determina su pie sobre la hipotenusa:
h m
=
n h
1.
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad
del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que
abarcan los dos catetos es de 180º
Por tanto, se cumplirá:
a) La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.
b) El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles
de base c.
c) La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa
Aplique las propiedades y definiciones a las siguientes situaciones y determine lo
que en cada caso se solicite:
1) <CAB = ?
2) <QPR = ?
C
R
80º
40º
72º
A
125º
B
P
Q
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
3) x = ?
4) x = ?
x
72º
158º
x
136º
5) x = ?
67º
6) x = ?
81º
87º
x
70º
x
32º
7) x = ?
8) x = ?
132º
x
x
x
x
9) PR perpendicular con QR;
<PQR = ?
x
10) RT perpendicular con ST;
a+b=?
R
T
30º
P
Q
a
R
11) MN = ON; <x = ?
b
S
12) PR = PQ; <PQR = ?
O
R
115º
x
M
N
13) a + b - c = ?
115º
P
Q
14) a + b = 245º; x = ?
b
8x
c
4x
a
b
6x
x
a
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
15) AD altura; <ABD + <CAD = ?
16) PR // ST; x = ?
C
R
80º
D
T
70º
P
A
x
117º
B
Q
S
17) x = ?
18) TU bisectriz del <RTS.
<RTU = ?
T
x
a
2a
R
S
U
150º
19)
73º
22º
α:β:γ
α= ?
= 5 : 3 : 1;
20) AC = BC; <ACB = ?
C
β
γ
α
2a
2a
A
21) RP = RQ, PS
B
22) HI bisectriz del <FHG;
<FHI = ?
H
R
S
35º
Q
P
15º
F
23) AC = BC; x = ?
24) PR = QR;
C
α:β
= 1 : 2 <PSQ = ?
R
5x
S
β
A
G
I
x-15
P
B
25) MQ y OP son alturas; x = ?
α
Q
26) AC = BC; <ACB = ?
O
C
Q
E
x
120
M
55
P
N
A
30
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
D
B
27) PR // ST; x + y = ?
28) CD altura; <ACD = ?
C
R
60
y
P
T
x
70
35
Q
S
A
29) MN // RQ; NO // PR;
MO // PQ; x = ?
B
D
30) CD altura; AE bisectriz del <CAB;
<AEB = ?
C
O
E
50
R
Q
60°
x
M
31) RT = RS = PS; <x = ?
32) DF = BF; AC // DE;
x+y=?
R
T
E
y
x
A
C
Fx
a
33) AC // DE; BC // DF;
AB // FE; <ABC = ?
F
B
D
Q
S
34) AC = BC; a = 2b; x = ?
C
70
C
E
60
α
A
D
A
B
D
N
P
P
30
A
40
10
x
D
β
35
B
B
35) AE bisectriz del <CAB;
EB bisectriz del <AED;
a : b = 1 : 2; <ABC =
36) RS bisectriz del <PRQ;
RT bisectriz del <SRQ;
<PTR = ?
R
C
E
β
F
α
A
10
126
B
D
P 40
S
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
T
Q
136
37) a - b = ?
38) Los ángulos a, d y c son
congruentes;
<QPO = ?
a
O
d
Q
a
c
b
c
39) x = ?
a
P
N
40) a + b = 160º; L1 // QR;
L2 // PR; x = ?
C
a
b
A
c
b
M
R
L1
b
x
D
L2
E
B
a
P 40
Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
b
x Q