La BREVE ETERNIDAD de las MATEMATICAS Juan Pablo Pinasco

La
BREVE ETERNIDAD
de las
MATEMATICAS
Juan Pablo Pinasco (UBA)
Mar del Plata, UMA 2009
JPP-BEM – p. 1/3
La breve eternidad - 1
LOS ORIGENES
JPP-BEM – p. 2/3
Las Primeras Matematicas
Prehistoria
(??? - 8000 a. C.)
JPP-BEM – p. 3/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 Australopitecus
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 Australopitecus
2.2 × 106 Homo Habilis, extingue al anterior (?),
emigra a Asia y Europa
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 Australopitecus
2.2 × 106 Homo Habilis, extingue al anterior (?),
emigra a Asia y Europa
1.8 × 106 − 300000 a. C., Homo Erectus, en China
ocupa cavernas; armas, martillos, usa el fuego,...
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 Australopitecus
2.2 × 106 Homo Habilis, extingue al anterior (?),
emigra a Asia y Europa
1.8 × 106 − 300000 a. C., Homo Erectus, en China
ocupa cavernas; armas, martillos, usa el fuego,...
200000 − 30000 a. C., Neanderthalensis, fuego,
pinturas, funerales
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
??? Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste
de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 Australopitecus
2.2 × 106 Homo Habilis, extingue al anterior (?),
emigra a Asia y Europa
1.8 × 106 − 300000 a. C., Homo Erectus, en China
ocupa cavernas; armas, martillos, usa el fuego,...
200000 − 30000 a. C., Neanderthalensis, fuego,
pinturas, funerales
30000 a. C., Homo Sapiens (Cromagnon, 70000)
JPP-BEM – p. 4/3
Breve repaso historico
Sabemos poco de esa época
JPP-BEM – p. 5/3
Breve repaso historico
Sabemos poco de esa época
Se basa mucho en "tribus en vías de desarrollo"
JPP-BEM – p. 5/3
Breve repaso historico
Sabemos poco de esa época
Se basa mucho en "tribus en vías de desarrollo"
Y en restos fechados con esa antigüedad
JPP-BEM – p. 5/3
Breve repaso historico
Sabemos poco de esa época
Se basa mucho en "tribus en vías de desarrollo"
Y en restos fechados con esa antigüedad
La interpretación de los objetos suele dejar dudas
JPP-BEM – p. 5/3
Representacion de la realidad
JPP-BEM – p. 6/3
Representacion de la realidad
Aparecen modelos mentales individuales
JPP-BEM – p. 6/3
Representacion de la realidad
Aparecen modelos mentales individuales
Luego, modelos orales que pueden ser compartidos
JPP-BEM – p. 6/3
Representacion de la realidad
Aparecen modelos mentales individuales
Luego, modelos orales que pueden ser compartidos
Finalmente, modelos graficos, que pueden sobrevivir
(algunos hasta hoy día)
JPP-BEM – p. 6/3
Representacion de la realidad
Aparecen modelos mentales individuales
Luego, modelos orales que pueden ser compartidos
Finalmente, modelos graficos, que pueden sobrevivir
(algunos hasta hoy día)
(apres P. Jakovkis)
JPP-BEM – p. 6/3
Origen
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
El Tamaño
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
El Tamaño
La Forma
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
El Tamaño
La Forma
El Cambio
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
El Tamaño
La Forma
El Cambio
La Suerte
JPP-BEM – p. 7/3
Origen
La Cantidad
El Tamaño
La Forma
El Cambio
La Suerte
La Periodicidad
JPP-BEM – p. 7/3
Periodicidad
La repetición de fenómenos es clave
JPP-BEM – p. 8/3
Periodicidad
La repetición de fenómenos es clave
A mayor regularidad en la repetición, mayor chance de
que se los identifique
JPP-BEM – p. 8/3
Periodicidad
La repetición de fenómenos es clave
A mayor regularidad en la repetición, mayor chance de
que se los identifique
Día y noche, ciclo lunar / menstrual, estaciones,
movimiento planetario
JPP-BEM – p. 8/3
Periodicidad
La repetición de fenómenos es clave
A mayor regularidad en la repetición, mayor chance de
que se los identifique
Día y noche, ciclo lunar / menstrual, estaciones,
movimiento planetario
Es una forma de simetría que exige una participación
activa: descubrir el período
JPP-BEM – p. 8/3
Blombos
120000 - 100000 a. C.
[primero se estimo en 80000-70000 a. C.]
JPP-BEM – p. 9/3
Venus de Laussel
35000 - 30000 a. C.
[45cm, el cuerno tiene 13 marcas]
JPP-BEM – p. 10/3
El hueso de Blanchard
25000 - 17000 a. C.,
[Francia, 32000 - 25000 a. C., ciclo lunar de dos meses]
JPP-BEM – p. 11/3
El hueso de Ishango
25000 - 17000 a. C.,
[Zaire, primero se estimo 8000 - 6500 a. C., tiene una
piedra en la punta]
JPP-BEM – p. 12/3
Pinturas de Lascaux
25000 - 13000 a. C.,
[Francia, pinturas de animales]
JPP-BEM – p. 13/3
Armas
Arcos y flechas
Arpones y anzuelos
Boomerangs
JPP-BEM – p. 14/3
Primera crisis
Fin de la Edad de Piedra
JPP-BEM – p. 15/3
La breve eternidad - 2
LAS PRIMERAS CIVILIZACIONES
JPP-BEM – p. 16/3
Fin de la Edad de Piedra
8000 − 3000a.C.
Cambio climático
JPP-BEM – p. 17/3
Fin de la Edad de Piedra
8000 − 3000a.C.
Cambio climático
Las randes praderas se vuelven desérticas
JPP-BEM – p. 17/3
Fin de la Edad de Piedra
8000 − 3000a.C.
Cambio climático
Las randes praderas se vuelven desérticas
Humanos y animales migran a los valles de los
grandes ríos: Nilo, (Sahara), Tigris y Eufrates
(Medio Oriente), Río Amarillo en China (desierto de
Gobi)
JPP-BEM – p. 17/3
Fin de la Edad de Piedra
8000 − 3000a.C.
Cambio climático
Las randes praderas se vuelven desérticas
Humanos y animales migran a los valles de los
grandes ríos: Nilo, (Sahara), Tigris y Eufrates
(Medio Oriente), Río Amarillo en China (desierto de
Gobi)
Revolución agrícola
JPP-BEM – p. 17/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
Primeras obras de ingeniería: diques y canales
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
Primeras obras de ingeniería: diques y canales
Nacen las ciudades. Arquitectura ’permanente’
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
Primeras obras de ingeniería: diques y canales
Nacen las ciudades. Arquitectura ’permanente’
Edad del Bronce (y luego hierro)
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
Primeras obras de ingeniería: diques y canales
Nacen las ciudades. Arquitectura ’permanente’
Edad del Bronce (y luego hierro)
Aparece una división de oficios, y gente con tiempo
libre
JPP-BEM – p. 18/3
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
La falta de agua obliga a registrar los períodos de
lluvias o inundaciones
Primeras obras de ingeniería: diques y canales
Nacen las ciudades. Arquitectura ’permanente’
Edad del Bronce (y luego hierro)
Aparece una división de oficios, y gente con tiempo
libre
Nace el comercio
JPP-BEM – p. 18/3
Estructuras sociales
Ciudades-estados
JPP-BEM – p. 19/3
Estructuras sociales
Ciudades-estados
Alianzas o anexiones
JPP-BEM – p. 19/3
Estructuras sociales
Ciudades-estados
Alianzas o anexiones
Clases sociales
JPP-BEM – p. 19/3
Estructuras sociales
Ciudades-estados
Alianzas o anexiones
Clases sociales
Primera guerra: en Basora (!), entre Sumer (Irak) y
Elam (Iran), por agua
JPP-BEM – p. 19/3
Estructuras sociales
Ciudades-estados
Alianzas o anexiones
Clases sociales
Primera guerra: en Basora (!), entre Sumer (Irak) y
Elam (Iran), por agua
Primeros imperios
JPP-BEM – p. 19/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
3000 aC: Troya, Atenas
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
3000 aC: Troya, Atenas
2500 aC: Acadios - 3ra dinastía
escritura cuneiforme en arcilla cocida,
jeroglíficos en papiro en las pirámides
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
3000 aC: Troya, Atenas
2500 aC: Acadios - 3ra dinastía
escritura cuneiforme en arcilla cocida,
jeroglíficos en papiro en las pirámides
1900 aC: Asirios
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
3000 aC: Troya, Atenas
2500 aC: Acadios - 3ra dinastía
escritura cuneiforme en arcilla cocida,
jeroglíficos en papiro en las pirámides
1900 aC: Asirios
1700 aC: Hammurabi - Moscú y Rhind (Ahmes)
JPP-BEM – p. 20/3
Primeras civilizaciones
3500 aC: Sumerios (en Irak)
3100 aC: Menfis - Se unifica Egipto
3000 aC: Troya, Atenas
2500 aC: Acadios - 3ra dinastía
escritura cuneiforme en arcilla cocida,
jeroglíficos en papiro en las pirámides
1900 aC: Asirios
1700 aC: Hammurabi - Moscú y Rhind (Ahmes)
1700-1200 aC: Hititas
JPP-BEM – p. 20/3
Matematicas en Babilonia/1
Larsa 1855 [ver imagen]
JPP-BEM – p. 21/3
Matematicas en Babilonia/2
Columnas 2, 4, 5 iguales. La clave está en 1 y 3
En la tercera están los números del 49 al 60 (base 60)
En la primera, sus cuadrados:
492 = 2401 = 60 × 40 + 1
2
50 = 2500 = 41 × 60 + 40
...
602 = 3600 = 1 × 602
JPP-BEM – p. 22/3
Matematicas en Babilonia/3
Plimpton 322 (1969) [ver imagen]
JPP-BEM – p. 23/3
Matematicas en Babilonia/4
titulo de las columnas: ib-sa del frente, ib-sa de la
diagonal
JPP-BEM – p. 24/3
Matematicas en Babilonia/4
titulo de las columnas: ib-sa del frente, ib-sa de la
diagonal
Se ignora el significado exacto de ib-sa
JPP-BEM – p. 24/3
Matematicas en Babilonia/4
titulo de las columnas: ib-sa del frente, ib-sa de la
diagonal
Se ignora el significado exacto de ib-sa
Ternas pitagóricas: 3-4-5 no, 5-12-13 no; la menor
es 45-60-75
JPP-BEM – p. 24/3
Matematicas en Babilonia/4
titulo de las columnas: ib-sa del frente, ib-sa de la
diagonal
Se ignora el significado exacto de ib-sa
Ternas pitagóricas: 3-4-5 no, 5-12-13 no; la menor
es 45-60-75
son 15 de las 16 ternas pitagóricas con desarrollo
sexagesimal finito de c/a generadas como
a = m2 − n2 , b = m2 + n2 , c = 2mn, n ≤ 60,
30◦ ≤ α ≤ 45◦ con tan(α) = c/a
JPP-BEM – p. 24/3
Matematicas en Babilonia/4
titulo de las columnas: ib-sa del frente, ib-sa de la
diagonal
Se ignora el significado exacto de ib-sa
Ternas pitagóricas: 3-4-5 no, 5-12-13 no; la menor
es 45-60-75
son 15 de las 16 ternas pitagóricas con desarrollo
sexagesimal finito de c/a generadas como
a = m2 − n2 , b = m2 + n2 , c = 2mn, n ≤ 60,
30◦ ≤ α ≤ 45◦ con tan(α) = c/a
Hay errores en algunos números (no sistemáticos, no
se propagan a las otras columnas)
JPP-BEM – p. 24/3
Matematicas en Babilonia/5
Yale YBC 7289 [ver imagen]
JPP-BEM – p. 25/3
Matemáticas en Babilonia/6
Los números se relacionan así:
30 × 1, 24, 51, 10 = 42, 25, 35
JPP-BEM – p. 26/3
Matemáticas en Babilonia/6
Los números se relacionan así:
30 × 1, 24, 51, 10 = 42, 25, 35
Están en base 60 y no tienen el 0, con lo cual
30 1
30 =
=
60 2
51
10
24
1, 24, 51, 10 = 1 +
+ 2+ 3
60 60
60
1
42
25
35
1 √
× 2= √ =0+
+ 2+ 3
2
60 60
60
2
JPP-BEM – p. 26/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
Conocían progresiones aritméticas y geométricas
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
Conocían progresiones aritméticas y geométricas
Suman 1 + ... + 29 como 29 + (29 − 1)
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
Conocían progresiones aritméticas y geométricas
Suman 1 + ... + 29 como 29 + (29 − 1)
1
2
2
2
1 + ... + n = 1 · 3 + n · 3 (1 + ... + n)
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Babilonia/7
Resolvían ecuaciones cuadráticas (hallar dos
números conociendo su suma y su producto)
Conocían progresiones aritméticas y geométricas
Suman 1 + ... + 29 como 29 + (29 − 1)
1
2
2
2
1 + ... + n = 1 · 3 + n · 3 (1 + ... + n)
Tablas astronómicas extensas, constelaciones del
zodíaco
JPP-BEM – p. 27/3
Matemáticas en Egipto/1
Fuente: Papiro Rhind (6m × 33cm) y Moscú
(también conocidos como Ahmes)
JPP-BEM – p. 28/3
Matemáticas en Egipto/1
Fuente: Papiro Rhind (6m × 33cm) y Moscú
(también conocidos como Ahmes)
Fracciones unitarias: salvo 2/3 y 3/4, todas tenían al
1 como numerador. Algunas fracciones tenían
símbolos especiales (1/2, 1/4, 1/12, 1/20, 1/320)
Escribían
·
numero
Tenían tablas para representar otras fracciones, tales
como:
2 1 1
= +
5 3 5
JPP-BEM – p. 28/3
Matemáticas en Egipto/2
Regula Falsi para ecuaciones lineales:
x
x + = 15
4
x=4
4
4+ =5
4
x = 4 × 3 = 12
JPP-BEM – p. 29/3
Matemáticas en Egipto/2
Regula Falsi para ecuaciones lineales:
x
x + = 15
4
x=4
4
4+ =5
4
x = 4 × 3 = 12
Conocían progresiones aritméticas y geométricas,
proporciones directas e inversas
JPP-BEM – p. 29/3
Matemáticas en Egipto/3
arpedonaptas, tiradores de cuerdas
JPP-BEM – p. 30/3
Matemáticas en Egipto/3
arpedonaptas, tiradores de cuerdas
π =4·
8 2
9
JPP-BEM – p. 30/3
Matemáticas en Egipto/3
arpedonaptas, tiradores de cuerdas
π =4·
8 2
9
Volumen de una pirámide trunca (?)
JPP-BEM – p. 30/3
Segunda crisis
Dark Ages
JPP-BEM – p. 31/3
Dark Ages
∼ 1200 - 800 aC:
Caída de Troya, destrucción de los Micénicos
Exodo de Israel
Fenicios fundan Cártago
Cultura de los campos de urnas
Cultura Hallstatt (Austria, Alemania)
Pueblos del Mar
JPP-BEM – p. 32/3