16 anarmonicidad (3) conductividad térmica

FES. Anarmonicidad
Conductividad térmica de materiales aislantes.
La conductividad térmica en este apartado viene definida a través de la ley de Fourier
Donde Q es el flujo de calor (energía transmitida por unidad de tiempo a través de una
unidad de sección) a lo largo de una barra en la que existe un gradiente de temperatura
dT/dx. El coeficiente K es la conductividad térmica del material. La determinación
experimental de K se hace en condiciones estacionarias
Los resultados de medidas experimentales en cristales aislantes muestran que existen tres
zonas de comportamiento bien diferenciadas:
Zona III. A altas temperaturas ( T>θD) K es proporcional a 1/T
Zona II: A temperaturas intermedias ( T∽θD) K es proporcional a
Zona I: A bajas temperaturas ( T>θD) K es proporcional a T3
exp
FES. Anarmonicidad
Conducción limitada por
procesos U:
K∽
Conducción limitada por
tamaño del cristal, tamaño
del grano , defectos
K ∽T3
exp
Conducción limitada
por Número de
fonones K ∽T-1
Algunos valores característicos
K(Ag)= 430 W/mK
K(Vidrio)=1.4 W/mK
K(diamante)=2500 W/mK
A bajas temperaturas hay efectos asociados
al tamaño del cristal (size effects)
FES. Anarmonicidad
El mecanismo de propagación del calor se puede entender de la siguiente forma:
Como en el sólido los átomos están ligados entre si, al calentar una parte del sólido, la amplitud de las vibraciones de
los átomos en esa zona se incrementan, lo cual implica que los átomos vecinos perciben dicha variación de la amplitud
variando también la suya, y así sucesivamente. Por tanto la energía cinética de las vibraciones de los átomos es
transportada de la parte de mayor temperatura a la de menor temperatura. El flujo microscópico de energía cinética
se manifiesta como un flujo de calor macroscópico, en un fenómeno idéntico al de propagación de las ondas elásticas
sonoras en los sólidos.
Al explicar este fenómeno no podemos suponer que los átomos realizan vibraciones rigurosamente armónicas, que se
propagan en la red cristalina como sistema de ondas elásticas que no interaccionan entre si, puesto que estas se
propagarían en el cristal sin amortiguarse y por tanto su recorrido libre medio sería ilimitado. Esto daría lugar a un flujo
térmico (que incluso para gradientes de temperatura pequeños) podría existir de forma indefinida y por tanto
tendríamos un conductividad térmica infinita.
En los sólidos aislantes el valor de la conductividad térmica es finito y esto se debe a que en los cristales
reales existen varios mecanismos que limitan (interaccionan) con el mecanismo de propagación
previamente mencionado:
1. Las vibraciones no son puramente armónicas y por tanto existen interacciones entre las
mismas (interacción fonón-fonón).
2. Las impurezas, imperfecciones reticulares, in-homogenidades,etc que se convierten en
centros de scattering para los fonones.
3. Los limites del cristal (monocristal) o de los granos del cristal (policristal) que también se
convierten en centros de scattering para lo fonones.
FES. Anarmonicidad
El desarrollo de una teoría de predicción de la conductividad térmica es un tema complejo por lo que
vamos a recurrir a una modelización cualitativa del problema (Hook and Hall, sección 2.7).
En esta modelización partimos de representar las vibraciones reticulares a través de los fonones y
vamos a evaluar la trasmisión del calor admitiendo que es el movimiento de estos fonones el causante
de la misma.
Por tanto el problema pasa a tener similitudes con la trasmisión del calor en la teoría cinética de los
gases y también con la transmisión del calor en metales (en los que también usábamos la ecuación
básica de la teoría cinética de los gases).
K
τ
Donde v es la velocidad de las partículas que transportan la energía (en este caso los fonones) , cuya
velocidad es la de propagación de las ondas en el sólido y que es muy poco dependiente de la
temperatura.
Cv es el calor específico del sólido, determinado en apartados previos previos.
l es el recorrido libre medio de los fonones (longitud recorrida entre colisiones)
τ es el tiempo de vida medio de los fonones, (tiempo ente colisiones)
FES. Anarmonicidad
Zona III. A altas temperaturas ( T>θ
θD)
El número de colisiones esperadas debe ser proporcional al número de fonones activados,
que en estas temperatura es muy elevado. Recurriendo a la estadística de Bose el número de
fonones es del orden de:
1
∼
1
Por tanto la frecuencia de colisión (número de colisiones por unidad de tiempo) es
proporcional a T y el tiempo de vida proporcional a T-1. Como en este rango de temperatura
Cv es constante se tiene
K
τ
∽cte T-1
Experimentalmente esta tendencia es aproximadamente correcta, ya que se tienen
comportamientos de K con Tx con x entre 1 y 2.
FES. Anarmonicidad
Zona I. A bajas temperaturas ( T<θ
θ D)
A bajas temperaturas el número de fonones actividades es muy bajo y por tanto el tiempo
de vida es muy largo y también lo es el recorrido libre medio, por tanto el valor de la
conductividad está condicionado a otros mecanismos no relacionados con los fonones.
Básicamente pueden existir dos efectos:
1. El tamaño del cristal (size effect), cuando los recorridos libres medios alcanzan valores del
orden del tamaño del cristal en un monocristal o del tamaño de grano en un policristal se
produce un efecto interesante y es que la conductividad pasa a depender del tamaño del
cristal, pues son los límites del cristal los que condicionan el valor del recorrido libre medio.
2. Presencia de impurezas, defectos, ect, estos defectos de la estructura cristalina también
van a limitar la conducción fonónica.
En todo caso como estos efectos no van a depender significativamente de la temperatura la
única dependencia de K con T va a ser la de Cv y por tanto en este rango de temperaturas se
tiene:
K
τ
∽cte T3
FES. Anarmonicidad
Zona II. A temperaturas intermedias ( T∽θD)
En este rango de temperaturas los procesos de interacción fonón-fonón tienen gran importancia. Como
ejemplo vamos a suponer procesos de interacción tres fonones en los que tenemos que distinguir dos
casos:
Para que este tipo de procesos sean efectivos en limitar el valor de la conductividad deben ser de
tipo U, en los que existe un cambio en la cantidad de movimiento efectiva (ver diapositiva siguiente)
En una estimación cualitativa la probabilidad de que ocurran procesos U será proporcional al
producto de los números de ocupación de los fonones colisionantes que serían del orden de:
!
!
∼ exp
"
%
#$
exp
"
%
#&
exp
"
%
#'
∽exp
"αθ(%
Donde α es del orden de la unidad.
Por tanto tendremos una dependencia combinada entre la del calor específico (Tn) y la asociada a
la interacción fonón-fonón
K
τ
∽ATn exp αθ(%
FES. Anarmonicidad
Para que exista una conductividad térmica estacionaria es necesario que exista una
distribución local de fonones en equilibrio térmico.
En los procesos N no hay cambio de la velocidad del centro de masas en cada colisión por
tanto estaríamos en una situación de conductividad térmica infinita.
En los procesos U si hay cambio neto de la cantidad de movimiento de los fonones en las
colisiones. Un flujo de fonones decaerá rápidamente al moverse hacía la derecha en la
figura; por tanto son estos procesos los que explican la conductividad térmica de los
materiales aislantes.
FES. Anarmonicidad
Este aparatado considera el comportamiento de materiales aislantes, en el caso de metales
además de la contribución analizada en este apartado habrá que tener en cuenta la asociada
a los electrones del sistema.
Típicamente para estos materiales la conductividad asociada a los electrones es claramente
superior a la asociada a la red. En la tabla se muestra una estimación para temperaturas del
orden de 300 K:
v (cm/seg)
l(cm)
Cv
Electrones
108
10-5
0.1R
Fonones
5x105
3x10-6
3R
Por tanto Ke/Kf=102
Y por tanto la contribución electrónica es típicamente mucho más importante.