PRESENTACION ANALOGIAS ELECTROMECANICAS - 2013

Teoría de Circuitos y Sistemas
SISTEMAS ELECTROMECANICOS
ADRIAN KISIELEWSKY - 2013
Hay varios sistemas (mecánicos, térmicos, hidráulicos, acústicos,
etc. ) que pueden ser reducidos a sistemas eléctricos “análogos” por
estar descriptos por iguales ecuaciones diferenciales.
Desarrollado el problema eléctrico, sus resultados pueden ser
trasladados en forma directa e inmediata al problema real.
METODO DE ANALISIS
PLANTEO DE
SISTEMA DE ED
MECANICAS CON EL
DCL
SIMULACION
SISTEMA MECANICO
ANALOGIA ELECTRICA
PLANTEO DE CIRCUITO ELECTRICO
SOLUCION DE CIRCUITO
TRASLADO DE LA
SOLUCION AL SISTEMA
MECANICO
Los sistemas mecánicos pueden ser:
• Traslacionales
•
Rotacionales
•
Mixtos
Elementos Pasivos de 2 terminales de traslación
x0
Amortiguador Viscoso
a
xa
va
x
xb
b
vb
Donde:
Velocidad relativa entre terminales
Constante de fricción viscosa [N.seg/m]
v  va  vb
B
El amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferente
velocidad en cada uno de sus extremos.
f (t )  B.v
 dx1 dx2 
f (t )  B.


dt 
 dt
Con f medido en la dirección x,
fuerza externa aplicada.
f
Consideramos una relación
lineal entre f y v
(no integrodiferencial)
B
v
f
+
B
v
-
Resorte
Ley de Hook
f
Consideramos una relación
lineal entre f y x (no integrodiferencial)
x
f=k.x
x  x1  x2
“alargamiento”
k [N/m]
“constante del resorte”
Cuando el resorte es extendido, ejerce la fuerza f para recuperar
su longitud original.
Símbolo
f
+
k
k
v
-
Masa
x
x
v
x0
Sistema inercial de referencia
x y v se miden respecto de un
sistema inercial
d2x 
dv
f  m.a  m.
 m. 2 
dt
 dt 
f
Consideramos una relación
lineal entre f y a (no integrodiferencial)
a
Símbolo
f
+
M
M
v
-
Terminal de referencia
(siempre sistema inercial)
Elementos Pasivos de 2 terminales de Rotación
Amortiguador rotatorio


dθ

dt
T=cupla externa aplicada

Donde:
   a  b
B
Constante de fricción viscosa [N.seg/m]
Velocidad relativa entre terminales
El amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferente
velocidad en cada uno de sus extremos.
T  B
T= cupla externa aplicada
T
+
B

-
Resorte torsional

con k = rigidez elástica
T,
T  k.  0   k. .dt
1 dT
  .
k dt
1
   pT
k
Símbolo
T
+
k
k

-
Volante

T  J .   Jp  J .

1
Tdt

J
La analogía con la traslación es inmediata, poniendo:
x
f T
v 
M J
Símbolo
T
+
J
J

-
Terminal de referencia
(siempre sistema inercial)
La analogía sistema mecánico – sistema eléctrico
Sea el siguiente sistema mecánico masa-resorte:
M
Del DCL tenemos:
F  Bv  kx  Ma
Notar que la fuerza “Ma” se
simboliza como opuesta a F
Es decir:
2
dx
d x
F  B  kx  M 2
dt
dt
dv
 F  Bv  k  vdt  M
dt
1
 F  Bv  k v  Mpv
p
Examinemos ahora el siguiente circuito eléctrico RLC paralelo:
+
i
–
L
R
C
La ED que lo representa, usando la ley de Kirchoff en el nodo:
u 1
du
  udt  C
i
R L
dt
u
1

u  Cpu  i
R pL
Comparemos ambas ecuaciones, reordenando términos:
dv
Bv  k  vdt  M
F
dt
u 1
du
  udt  C
i
R L
dt
Observamos que la analogía es
perfecta (*).
La misma ED para ambos
sistemas totalmente distintos.
(*) En realidad para el caso de la masa, en realidad no es tan perfecta…. como lo veremos mas adelante.
Esta analogía se llama “directa”
Esto que acabamos de ver nos da pie para utilizar esta analogía para
resolver sistemas mecánicos con su equivalente eléctrico.
RESUMEN
MECANICO
ELECTRICO
TRASLACION
i
+
u
R
f
u  Ri
+
u
L
f
u  Lpi
k
C
+
u
-
-
+
i  Cpu
M
v
SIST. INERCIAL
f  Mpv
J
+
1
  pT
k
-
T
+
1
 T
B

k
-
f
+

B
T
1
v v 
pf
k
-
i
+
1
v f
B
-
-
i
T
v
B
ROTACION
+

SIST. INERCIAL
T  Jp
EQUIVALENCIAS MECANICO-ELECTRICAS
ANALOGIA DIRECTA
ELEMENTO O
MAGNITUD MECANICA
v m / s 
f N 
B Ns / m
EQUIVALENCIA ELECTRICA
u V 
i A
1
R  
B
k Nm
1
L  H 
k
M kg
C  M F 
RELACIONES CIRCUITALES
Definimos las variables como:
•
Transvariables o entre 2 puntos: u, x, v, etc.
•
Pervariables o por 1 punto: i , f , T , etc.
En la analogía eléctrico-mecánica anterior relacionamos variables
“trans” eléctricas con variables “trans” mecánicas (analogía directa):
•
•
PER
TRANS
f
v


i
u
PER
TRANS
Entonces, sólo para esta analogía, podemos definir las impedancias
operacionales como:
Impedancias operacionales de Traslación:
v
Zt 
f
f
Yt 
v
Impedancias operacionales de Rotación

Zr 
T
T
Yr 

Utilizando estas definiciones podemos resumir las impedancias
operacionales de los elementos ya vistos:
IMPEDANCIAS OPERACIONALES
MECANICO
ELECTRICO
TRASLACION
u  Ri
 Z ( p)  R
1
Y ( p) 
R
 Z ( p)  Lp
u  Lpi
1
Y ( p) 
Lp
 Z ( p) 
i  Cpu
1
Cp
Y ( p)  Cp
1
v f
B
1
v  pf
k
 Z t (p) 
ROTACION
1
B
Yt (p)  B
p
 Z t (p) 
k
k
Yt (p) 
p
Z r ( p) 
1
B
Yr ( p)  B
1
 T
B
p
Z r ( p) 
k
1
k   k pT
Yr ( p) 
p
1
1
 Z t ( p) 
Z ( p) 
Mp r
Jp
f  Mpv
T  Jp
Yt ( p)  Mp Yr ( p)  Jp
La analogía “directa” o “paralelo” no es la única posible
Podríamos comparar la ED del sistema mecánico anterior con la ED de
un circuito eléctrico serie:
dv
Bv  k  vdt  M
F
dt
1
di
R.i   i.dt  L.  U
C
dt
Esta analogía, relaciona variables “trans” como v con variables “per”
como i. Es una analogía “inversa” o “serie”.
Esto hace a esta analogía inversa no muy conveniente para nosotros,
por lo que no la usaremos.
Desde el punto de vista histórico primero surgió la analogía “inversa”
pero esta claro que la definición de impedancias operacionales en este
caso no coincide con la definición de las mismas en el caso eléctrico.
¿Por qué surgió primero esta analogía?...Porque los primeros
investigadores eran del campo de la mecánica y prefirieron (o vieron
mas “natural”) definir como impedancia (o resistencia a) la causa del
movimiento, la fuerza “f”, dividido por la magnitud que es la
consecuencia del movimiento, es decir, la velocidad “v”. Lean el
excelente paper:
“ON THE ORIGINS AND DEVELOPMENT OF MOBILITY AND IMPEDANCE METHODS IN
STRUCTURAL DYNAMICS”, P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, Journal of Sound and
Vibration, 2002
ACLARACION IMPORTANTE: Por razones históricas, en la bibliografía
en ingles a la analogía paralelo le llaman “inversa” o “mobility method” y
a la analogía serie le llaman “directa” (contrario a lo que hemos definido
aquí, que preferimos usar un nombre mas intuitivo para los eléctricos).
CIRCUITO MECANICO, ELECTRICO Y LA CONSTRUCCION DE SU
ANALOGIA
Ubicar puntos rígidos con un
sistema inercial de referencia
Ubicar los puntos móviles (con
velocidades distintas)
Ubicar entre nodos
amortiguadores y resortes
Ubicar las masas entre el nodo
que corresponda y nodo de
referencia
Ubicar fuentes de fuerza y/o
velocidad entre los nodos que
corresponda
En casos simples e/ nodo y
referencia, pero en otros casos
e/ nodos c/ distinta velocidad
Si hay desplazamientos
verticales, ubicar Fte. de fuerza
Mg e/ nodo y referencia
Sentidos de ftes. Según si  ó ↓
la velocidad
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES
TRANSDUCTORES
SALIDA
MECANICA
Tr. ideal
ROTACION TRASLACION
MECANICA
ENTRADA
ELECTRICA
ELECTRICA
TRASLACION
ROTACION
Transductor de
Traslación
(parlante), Relé
Motor de CC (control en
inducido o en campo),
Instrumento de imán
permanente y bob. móvil
Transductor de
Traslación
Palanca
Polea
Generador de CC
Polea
Engranajes
Sin fin y corona
Poleas con correas
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES
El equivalente circuital de estos elementos siempre es un
TRANSFORMADOR IDEAL.
Antes de estudiar los elementos de 4 terminales, vamos a analizar
brevemente este elemento circuital, dada su importancia en este
contexto.
TRANSFORMADOR IDEAL
SECUNDARIO EN CONVENCION
CONSUMIDORA
i1
+
i2
+
u1
-
u1
a
u2
N1
SECUNDARIO EN CONVENCION
GENERADORA
**
N2
a :1
i1
1

i2
a
SIEMPRE
+
u2
-
i1
i2
+
u1
N1
-
u1
a
u2
**
a :1
N2
u2
-
i1 1

i2 a
N1
a
N2
IMPORTANTE: La relación de transformación “a” es el cociente entre la tensión primaria
y la secundaria, ¡pero para las corrientes el cociente es inverso!
SISTEMAS MECANICOS DE 4 TERMINALES
POLEA
(transformación
traslación-rotación)
R
T,
v, f
v
v  R  R 

T
T  fR  R 
f
Velocidad tangencial
Fuerza
Analogía eléctrica
f
T
+
+
v
-
aR
**
a :1

-
(es reversible)
PALANCA
f1
v
v1
l1
l2
f 2 l1
f1l1  f 2l2  
f1 l2
Momento
Vel. angular
f2
1  2
Analogía eléctrica
f1
+
-
f 2 v1
l1
 a
f1 v2
l2
f2
+
v1
(es reversible)
v1 v2
 
l1 l2
v2
**
a :1
v2
-
ojo
sentidos!
Si los sentidos de la fuerza aplicada a la palanca son como los
siguientes, los sentidos en el modelo de Tr serán:
f1
v
ojo sentido!
f2
v1
v2
l1
l2
Analogía eléctrica
f1
+
f2
+
**
v1
v2
-
-
a :1
ENGRANAJES IDEALES (J=B=0)
El paso debe ser múltiplo de , medido sobre el diámetro primitivo:
P
DP
Z
El módulo de un
engranaje es la
relación entre su paso
circular P y .
M
P

Para que 2 engranajes
engranen deben tener igual M
DP MZ
R

2
2
Si tenemos 2 engranajes de distinto cantidad de dientes Z (pero igual M):
R2 DP 2 Z 2


R1 DP1 Z1
R1
piñon
T1 , 1
R2
corona
T2 ,  2
Velocidad tangencial
Fuerza
 2 R1
v1  v2  1R1  2 R2 

1 R2
T1 T2
T2 R2
f1  f 2 

 
R1 R2
T1 R1
R2
a
R1
Analogía eléctrica
T1
+
T2
+
1
**
-
2
-
a :1
SIN FIN Y CREMALLERA
Características de un Tornillo
AVANCE
PASO
1
Entrada
2
Entradas
3
Entradas
Avance: Es la distancia lineal que recorre el tornillo al dar una
vuelta completa
Paso: Es la distancia lineal entre dos filos consecutivos de la
hélice
A  Np
Si la hélice que describe el filete tiene un paso suficientemente grande,
dejará espacio para arrollar sobre el cilindro otro filete, obteniéndose una
rosca de doble entrada, o triple si los filetes añadidos son dos.
Por ejemplo, un tornillo de 3 mm de paso y una entrada, cuando gira
una vuelta completa sobre una tuerca, produce un avance de ésta de 3
mm.
En cambio un tornillo con el mismo paso y dos entradas, produce un
avance de la tuerca en el mismo tiempo de 6 mm.
Entonces, poniendo al elemento 1 como el sin fin:
Z1 pasa a ser el N1, “número de entradas del sin fin”:
Z2
1
T2
T1
2
N1
1 Z 2 Z 2



 2 Z1 N1
Z2
a
N1
T2 Z 2 Z 2
 

T1 Z1 N1
Analogía eléctrica
T1
+
T2
+
1
**
N1
Z2
-
2
-
a :1
POLEAS (TRANSMISION POR CORREAS)
R1
R2
T1 , 1
T2 ,  2
Velocidad tangencial
Fuerza
v1  v2
f1  f 2
D1
D2
 1
 2
2
2
T1 T2


R1 R 2
D2
a
D1
De manera que el modelo circuital queda:
T1
+
T2
+
1
**
-
2
-
a :1
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES
TRANSDUCTORES MECANICO-ELECTRICOS
Motor de CC
ia
+
T  k1 ia
ua
-
Si
Si
  k 2i f
if
T,
Ef
i f  cte.  T  k1k2i f ia  T  kT ia
ia  cte.  T  k1k2i f ia  T  kT i f
ua  k3   k3k2 i f 
Pero:
 ua  k m 
En general:
kT  km  k
De manera que se puede utilizar el modelo del Tr ideal:
ia
+
T
MOTOR
+
**
ua
-

-
a :1
ua T
a  k 

 ia
TRANSDUCTOR DE TRASLACION
S
_
_
_
df  i (dL B)
f  NiLB
B f
i
N
S
v
d NBLx 
u
 NBLv
dt
f u
 NBL    a
i v
f
i
+
+
**
u
v
-
-
a :1
(es reversible)
Para pensar:
DEMOSTRAR QUE UNA PALANCA CON 2 FUERZAS EN UN SOLO BRAZO EQUIVALE A
2 TRANSFORMADORES IDEALES EN CASCADA CON RELACIONES DE TR a=L1/L2 Y a=L1/(L2+L3)
L2
F1
L1
V1,1
V2, 2
F2
L3
V3, 3
F3
El increíble éxito de la aplicación de las analogías
electromecánicas a la Fórmula 1
•
En el año 2005 Kimi Raikkonen ganó el Grand Prix español
manejando el McLaren MP4-20
Diario La Nación
9 de Mayo 2005
•
En el 2007 se desencadenó el famoso “spy scandal” cuando un dibujo
de Mac Laren de un nuevo elemento de suspensión “J-damper” llegó
a las manos del equipo de ingeniería de Renault
•
La carrera de 2005 fue la primera vez que este nuevo elemento
mecánico se utilizó como suspensión de un Fórmula 1
•
En el 2008 dos artículos en la revista Autosport revelaron detalles de
una nueva suspensión mecánica que implicó una mejora en la
performance de la maniobra y el agarre en los autos de Fórmula 1
•
Los artículos de Autosport revelaron que el J-damper” era en realidad
el elemento mecánico “inerter” que tiene su origen en el trabajo
académico en teoría de circuitos eléctricos y mecánicos en Cambridge
University.
•
Este apartado tiene la intensión de mostrarles las ideas y los
fundamentos y aplicaciones del “inerter” y su intima conexión con la
teoría de analogías electromecánicas
•
Antes expusimos el elemento “masa” y su “casi equivalencia” eléctrica
con un capacitor:
x
x
v
M
x0
Sistema inercial de referencia
Terminal de referencia
(siempre sistema inercial)
•
Sin embargo vemos que el elemento masa tiene 1 sólo “terminal” (su
centro de masa) mientras que el otro “terminal” es fijo a la tierra
mecánica (sistema inercial)
•
Los “terminales” de elementos mecánicos son los puntos de agarre
que se mueven libre e independientemente en el espacio
•
Entonces, la equivalencia exacta sería:
MASA → CAPACITOR A TIERRA
u2
i
d (u2  0)
i C
dt
C
u1  0
v2
f M
v1  0
d (v2  0)
f M
dt
•
Pero entonces, ¿Cuál es el equivalente mecánico de un capacitor
conectado entre una diferencia de potencial v2-v1?
•
….No existió!!!...hasta el 2002
•
En el 2002, Malcom Smith publicó un paper: “Synthesis of mechanical
networks: the inerter” IEEE Trans. Automat. Control, vol. 47, no. 10,
pp. 1648–1662
•
Allí se plantea y fundamenta la equivalencia mecánica EXACTA de un
capacitor:
MASA → INERTER (INERTOR)
u2
i
d (u2  u1 )
i C
dt
C
u1
v2
f M
d (v2  v1 )
f b
dt
v1
donde “b” es la “inertancia” en kg
•
Entonces, en el inertor, la fuerza desarrollada es proporcional a la
aceleración entre los dos “terminales”
•
¿Cómo se podía realizar mecánicamente un capacitor entre una
diferencia de potencial v2-v1, antes del desarrollo del “inerter”?
•
A través de palancas flotantes (floating levers):
1
1
v1  v2
v1
v2
1
1
Ver Linear Circuit Analysis – Ley-Lutz-Rehberg (1959)
Una masa M en el
punto A estará
sometida a la
velocidad v1-v2 y
la fuerza será:
d (v2  v1 )
f M
dt
REALIZACION MECANICA REAL DE UN INERTOR
•
Sin entrar en detalles, los diagramas constructivos del inertor pueden
ser:
cremallera
piñones
•
engranaje
•
Realización con piñon y
cremallera
volante
Realización con tornillo
sin fin
Tuerca
volante tornillo
Inertor real (con tornillo sin fin):
(a) Inertor real completo
(b) Inertor sin el
casquete exterior
(tornillo, tuerca y
volante)
(c) Inertor sin el volante
(d) Inertor, vista del
cojinete de empuje
Inertor real (con piñón y cremallera):
¿quieren saber mas?:
http://www.youtube.com/watch?v=vjYtf8jJzdQ
•
Malcom Smith publicó un
“Synthesis of mechanical
networks: the inerter” IEEE
Trans. Automat. Control, vol.
47, no. 10, pp. 1648–1662,
2002
BIBLOGRAFIA COMENTADA
LIBROS
- Ingeniería de Control Moderno, Ogata. Como todo libro de
control básico, este contiene una introducción al tema en los
primeros capítulos. Básico, pero con varios ejemplos.
- Linear Circuits Analisis, Ley-Lutz-Rehberg, 1959. Excelente
y claro tratamiento del tema. Tiene la ventaja de que es un libro
de circuitos y no de control.
- Linear Control System Analysis and Design, D’azoHoupis 2003. Otro libro de control con una muy buena intro a
sistemas electromecánicos.
- Electrical and Mechanical Networks, W. W. Harman and D. W.
Lytle, McGraw-Hill, 1962: Un ejemplo de texto con una fuerte
integración entre sistemas mecánicos y eléctricos
PAPERS
- P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, “On the origins and development of
mobility and impedance methods in structural dynamics”, Journal of Sound and
Vibration (2002) 249(3), 557-573
- A. BLOCH, “Electromechanical analogies and their use for the analysis of
mechanical and electromechanical systems”, Journal of the Institution of
Electrical Engineers 92, 157-169, 1945