Práctica 4: Diferenciación. Plano tangente

Práctica 4. Diferenciabilidad de
funciones de varias variables.
Plano tangente.
Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.
Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de
Gestión
1.- DIFERENCIABILIDAD
Ejemplo 1. Función con derivadas parciales en (0,0) pero
que no es diferenciable en (0,0).
In[1]:=
In[3]:=
Clear@"Global`∗"D
x^2 y
f@x_, y_D :=
x^2 + y^2
grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[3]=
En la gráfica se observa que en el origen la gráfica tiene un "pico" por lo que no existe su plano tangente y por tanto no es
diferenciable en (0,0).
Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen:
2
Practica4_Diferenciacion.nb
In[4]:=
planoy = ContourPlot3D@y
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
Show@grafica, planoyD
0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D
Practica4_Diferenciacion.nb
In[6]:=
Plot@f@x, 0D, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D
1.0
0.5
Out[6]=
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en
el punto x=0.
In[7]:=
Out[7]=
planox = ContourPlot3D@x
0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D
3
4
Practica4_Diferenciacion.nb
In[8]:=
Show@grafica, planoxD
Out[8]=
In[9]:=
Plot@f@0, yD, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D
1.0
0.5
Out[9]=
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑ y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en
el punto y=0.
Ejemplo 2. Función con derivadas parciales en (0,0) pero
que no es continua en (0,0) (y por tanto tampoco es
diferenciable en (0,0)).
In[10]:=
Clear@"Global`∗"D
−3 x y
f@x_, y_D :=
x^2 + y^2
Practica4_Diferenciacion.nb
In[12]:=
grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[12]=
In[13]:=
Out[13]=
Limit@f@x, m ∗ xD, x → 0D
−
3m
1 + m2
En la gráfica se observa que en el origen f(x,y) no es continua. Además usando límites direccionales hemos comprobado
que no existe el límite de la función en el origen . Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen:
In[14]:=
Out[14]=
planoy = ContourPlot3D@y
0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D
5
6
Practica4_Diferenciacion.nb
In[15]:=
Show@grafica, planoyD
Out[15]=
In[16]:=
Plot@f@x, 0D, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D
1.0
0.5
Out[16]=
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en
el punto x=0.
Practica4_Diferenciacion.nb
In[17]:=
planox = ContourPlot3D@x
Out[17]=
In[18]:=
Out[18]=
Show@grafica, planoxD
0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D
7
8
Practica4_Diferenciacion.nb
In[19]:=
Plot@f@0, yD, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D
1.0
0.5
Out[19]=
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑ y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva en
el punto y=0.
2.- PLANO TANGENTE
Cuando una función f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) entonces la función admite un plano tangente en dicho punto
cuya ecuación viene dada por
f Ha, bL + ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL
Entonces para valores de (x,y) cercanos al punto (a,b) podemos aproximar el valor de la función por el valor de su plano
tangente
f Hx, yL ≈ f Ha, bL + ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL
y el incremento de la función puede aproximarse por la diferencial
f Hx, yL − f Ha, bL ≈ ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL
Practica4_Diferenciacion.nb
Ejemplo 3. Representa la gráfica de f(x,y)=x 2 + y 2 y su plano
tangente en (1/2,0).
In[20]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 + y ^ 2
grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[22]=
Calculamos las derivadas parciales.
In[23]:=
Out[23]=
In[24]:=
Out[24]=
∂x f@x, yD
2x
∂y f@x, yD
2y
Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular su
ecuación
In[25]:=
Out[25]=
In[26]:=
Out[26]=
In[27]:=
∂x f@x, yD ê. 8x → 1 ê 2, y → 0<
1
∂y f@x, yD ê. 8x → 1 ê 2, y → 0<
0
planotangente@x_, y_D := f@1 ê 2, 0D + 1 ∗ Hx − 1 ê 2L + 0 ∗ Hy − 0L
Print@"El plano tangente es ", z == planotangente@x, yDD
El plano tangente es z
−
1
4
+x
9
10
Practica4_Diferenciacion.nb
In[29]:=
plantang = Plot3D@planotangente@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[29]=
In[30]:=
Out[30]=
Show@grafica, plantangD
Practica4_Diferenciacion.nb
Ejemplo 4. Representa la gráfica de f(x,y)=senHxL - senHyL y
su plano tangente en ( p2 , 32p ).
In[31]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := Sin@xD − Sin@yD
Plot3D@f@x, yD, 8x, −2 π, 2 π<, 8y, −2 π, 2 π<D
Out[33]=
In[34]:=
a = 0.01; grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, π ê 2 − a, π ê 2 + a<, 8y, 3 π ê 2 − a, 3 π ê 2 + a<D
Out[34]=
Calculamos las derivadas parciales.
In[35]:=
Out[35]=
In[36]:=
Out[36]=
∂x f@x, yD
Cos@xD
∂y f@x, yD
−Cos@yD
Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular su
ecuación
11
12
Practica4_Diferenciacion.nb
In[37]:=
Out[37]=
In[38]:=
Out[38]=
In[39]:=
∂x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → 3 π ê 2<
0
∂y f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → 3 π ê 2<
0
planotangente@x_, y_D := f@π ê 2, 3 π ê 2D + 0 ∗ Hx − π ê 2L + 0 ∗ Hy − 3 π ê 2L
Print@"El plano tangente es ", planotangente@x, yDD
El plano tangente es 2
In[41]:=
plantang := Plot3D@planotangente@x, yD, 8x, π ê 2 − a, π ê 2 + a<, 8y, 3 π ê 2 − a, 3 π ê 2 + a<D
p 3p
)
2
Representamos las gráficas de la función y de su plano tangente cerca del punto ( 2 ,
In[42]:=
Show@grafica, plantangD
Out[42]=
p 3p
)
2
Si las representamos suficientemente cerca del punto ( 2 ,
el plano tangente resulta indistinguible de la gráfica de la
función.
Ejemplo 5. La resistencia total R de dos resistencias
conectadas en paralelo es 1/R=1/R1+1/R2. Aproximar el
cambio en R cuando R1 incrementa de 10 ohms a 10.5 ohms y
R2 decrece de 15 ohms a 13 ohms.
In[43]:=
Clear@"Global`∗"D
1
r@r1_, r2_D :=
1
r1
+
Valor exacto del incremento:
1
r2
Practica4_Diferenciacion.nb
In[45]:=
Out[45]=
13
[email protected], 13D − r@10, 15D
−0.191489
Valor aproximado usando la diferencial: ∂r1 r Ha, bL ∗ Hr1 − aL + ∂r2 r Ha, bL ∗ Hr2 − bL
In[46]:=
∂r1 r@r1, r2D
1
Out[46]=
In[47]:=
Out[47]=
In[48]:=
1
+
r12 I r1
1 2
M
r2
∂r2 r@r1, r2D
1
I r1
1
+
1 2
M
r2
r22
∂r1 r@r1, r2D ê. 8r1 → 10, r2 → 15<
9
Out[48]=
25
In[49]:=
∂r2 r@r1, r2D ê. 8r1 → 10, r2 → 15<
4
Out[49]=
25
9
In[50]:=
25
Out[50]=
∗ H10.5 − 10L +
4
25
∗ H13 − 15L
−0.14
3.- Ejercicios propuestos
Ejercicio 1. Calcular el plano tangente a la gráfica de
f(x,y)=x+sen(x y) en el punto (0,0). Representarlos
gráficamente.
2
2
Ejercicio 2. Dibujar la gráfica de f(x,y)=-x y „-x -y y de su
plano tangente en el punto (0.7,-0.7). Después acercarse hasta
que la gráfica y el plano tangente no puedan distinguirse.
Ejercicio 3. Usar la diferencial total para aproximar la
cantidad sen(1.052+0.952)-sen(1+1)
14
Practica4_Diferenciacion.nb
Ejercicio 4. Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular Dz. A
continuación utilizar la diferencial dz para aproximar el
incremento Dz:
ü (a) z=f(x,y)=
x 2 + y2
ü (b) z=f(x,y)=x ey
Ejercicio 5. El radio y la altura de un cono circular recto
miden 10 cm y 25 cm, respectivamente, con un error máximo
en la medición de 0.1 cm para cada medida. Utilizar la
diferencial para estimar el error máximo cometido al calcular
el volumen del cono.