1 - Orange
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MATRICES Sistema de ecuaciones lineales ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎜ 5 −2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ 2 x + 3 y − z = 5⎫ ⎪ 5 x − 2 y + 2 z = 10 ⎬ x − y + 3 z = 8⎪⎭ ⎛ x⎞ ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ Expresión matricial ⎛5⎞ ⎜10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 3 −1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ 5 −2 2 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 3 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 3 −1 5 ⎞ ⎜ 5 −2 2 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 3 8 ⎟ ⎝ ⎠ Matriz de los coeficientes 3 filas × 3 columnas matriz 3×3 Matriz de las incógnitas 3 filas × 1 columna matriz 3×1 Matriz de los términos independientes 3 filas × 1 columna matriz 3×1 Matriz ampliada 3 filas × 4 columnas matriz 3×4 I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 1 Tabla Emisora A Emisora B Emisora C Matriz Música Información general 15 12 14 4 5 6 ⎛ 15 4 ⎞ ⎜12 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜14 6 ⎟ ⎝ ⎠ 3 filas×2 columnas Número de horas de emisión de música y de información general en tres emisoras de radio I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG Matriz 3×2 2 MATRIZ Una matriz de números reales de orden o dimensión m×n es una disposición rectangular de m·n números reales que son los elementos de la matriz dispuestos en m filas y n columnas A = ( aij ) ⎧i → fila Elemento aij ⎨ ⎩ j → columna ⎛ a11 a12 ⎜a a A = ⎜ 21 22 ⎜ # # ⎜ ⎝ am1 am 2 a13 " a1n ⎞ a23 " a2 n ⎟ ⎟ # % # ⎟ ⎟ am 3 " amn ⎠ m filas × n columnas Dim ( A ) = m × n Filas Columnas (Horizontales) (Verticales) Fila i Columna j Fi ( A ) = ( ai1 ai 2 ai 3 " ain ) ⎛ a1 j ⎞ ⎜a ⎟ 2j C j ( A) = ⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ amj ⎠ I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 3 Conjunto de las matrices de números reales de dimensión m×n. M m×n IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y, además, los elementos que ocupan la misma posición son iguales. A = ( aij ) ⎪⎫ ⎬ B = ( bij ) ⎪⎭ ⎪⎧Dim ( A ) = Dim ( B ) A= B ⇔ ⎨ ⎪⎩ aij = bij ∀i, j I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 4 EJEMPLO 1 ⎛ 3 5 −4 6 ⎞ ⎜ −1 7 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ Dada la matriz A = ⎜ 0 −3 8 1⎟ , se pide: ⎜ ⎟ − − 4 1 2 5 ⎜ ⎟ ⎜ 7 1 0 4⎟ ⎝ ⎠ a) b) c) d) Dimensión. Fila 2. Columna 3. Elemento a34. I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 5 EJEMPLO 1 ⎛ 3 5 −4 6 ⎞ ⎜ −1 7 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ Dada la matriz A = ⎜ 0 −3 8 1⎟ , se pide: ⎜ ⎟ − − 4 1 2 5 ⎜ ⎟ ⎜ 7 1 0 4⎟ ⎝ ⎠ a) La matriz tiene 5 filas y 4 columnas, por lo tanto, Dim ( A ) = 5 × 4 b) La fila 2 es F2 = ( −1 7 2 0 ) a) b) c) d) Dimensión. Fila 2. Columna 3. Elemento a34. c) La columna 3 es ⎛ −4 ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ C3 = ⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ d) El elemento a34 es 1. a34 = 1 I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 6 TIPOS DE MATRICES Matriz fila Matriz columna Tiene una única fila Tiene una única columna Dimensión 1×n Dimensión m×1 ( 4 2 5) ⎛ 4⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Matriz cuadrada Matriz rectangular Tiene el mismo número de filas que de columnas Dimensión n×n → Orden n Tiene distinto número de filas que de columnas ⎛ 4 6 −1 ⎞ ⎜ 5 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 3 −1 5 ⎞ ⎜ 5 −2 2 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 3 8 ⎟ ⎝ ⎠ Dimensión m×n I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG (m ≠ n) 7 MATRICES ESCALONADAS Se dice que una matriz es escalonada si se cumplen las siguientes condiciones: 1) Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz. 2) El primer elemento no nulo (de izquierda a derecha) de cada fila está situado más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila inmediata superior. Esquema de matriz escalonada ⎛⊗ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0 ∗ 0 0 0 0 0 ∗ ⊗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎟⎟ ⊗ ∗ ∗ ∗⎟ ⎟ 0 0 0 ⊗⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠ Las siguientes matrices son escalonadas: ⎛1 4 ⎜ 0 −2 ⎜ ⎜0 0 ⎝ ⎛ 2 −3 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎝ 0⎞ 3 ⎟⎟ 5 ⎟⎠ 5⎞ 1 −7 ⎟⎟ 0 0 ⎟⎠ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ 0 6 −6 9 0 0 0 4⎞ 2 −1⎟⎟ 0 3 ⎟⎠ 2 Sin embargo, ninguna de las siguientes matrices es escalonada: ⊗ : Elemento no nulo ∗ : Elemento arbitrario ⎛ 6 −1 3 ⎜ 0 0 −4 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0⎞ 2 ⎟⎟ 0⎟ ⎟ 3⎠ ⎛1 0 0 1⎞ ⎜0 0 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 2 ⎜ 0 −5 ⎜ ⎜ 0 9 ⎝ 4⎞ 0 ⎟⎟ 0 ⎟⎠ (nulo o no nulo) MATRIZ NULA Todos sus elementos son ceros ⎛0 0 0⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 8 MATRICES CUADRADAS Diagonal principal En una matriz cuadrada, la diagonal principal es la formada por los elementos con subíndices iguales, aii Diagonal secundaria Es la otra diagonal ⎛ 4 6 −1⎞ ⎜ 5 7 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ Diagonal principal 4 7 3 Diagonal secundaria –1 7 –2 MATRICES TRIANGULARES Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. ⎛4 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ 5 −1⎞ 1 2 ⎟⎟ 0 3 ⎟⎠ ⎛ 4 0 ⎜ 5 6 ⎜ ⎜ −2 −1 ⎝ I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 0⎞ 0 ⎟⎟ 3 ⎟⎠ 9 MATRICES CUADRADAS Matriz diagonal Matriz escalar Matriz identidad Es una matriz cuadrada en la que todos Es una matriz diagonal con todos los los elementos por encima y por debajo elementos de la diagonal principal iguales. de la diagonal principal son nulos. aij = 0, ∀i ≠ j y aii = k ∀i aij = 0, ∀i ≠ j ⎛ 4 0 0⎞ ⎜ 0 5 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 3⎟ ⎝ ⎠ Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos. aij = 0, ∀i ≠ j ⎛2 0 0⎞ ⎜0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ Matriz opuesta Matriz opuesta de A es aquella que obtenemos cambiando el signo de todos los elementos de A, y la representamos por –A. Matriz traspuesta y aii = 1 ∀i ⎛ 2 −3 ⎞ A = ⎜⎜ −4 7 ⎟⎟ ⎜ 5 −1⎟ ⎝ ⎠ Matriz traspuesta de A es aquella que obtenemos cambiando en A las filas por las columnas, y la representamos por At. I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG ⎛ −2 3 ⎞ − A = ⎜⎜ 4 −7 ⎟⎟ ⎜ −5 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 −4 5 ⎞ At = ⎜ ⎟ ⎝ −3 7 −1 ⎠ 10 MATRICES CUADRADAS Matriz simétrica Matriz antisimétrica Se dice que una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta. Se dice que una matriz cuadrada A es antisimétrica si la traspuesta y la opuesta de A son iguales. At = A En una matriz simétrica son iguales los elementos que ocupan posiciones simétricas respecto de la diagonal principal. At = − A En una matriz antisimétrica cada elemento es igual al opuesto de su simétrico. aij = a ji aij = −a ji De esto se deduce que los elementos de la diagonal principal son nulos. aii = 0 ⎛ 4 0 2⎞ A = ⎜⎜ 0 3 1⎟⎟ ⎜ 2 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 0 2⎞ At = ⎜⎜ 0 3 1⎟⎟ ⎜ 2 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0 3 −6 ⎞ A = ⎜⎜ −3 0 4 ⎟⎟ ⎜ 6 −4 0 ⎟ ⎝ ⎠ I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG ⎛ 0 −3 6 ⎞ At = ⎜⎜ 3 0 −4 ⎟⎟ ⎜ −6 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0 −3 6 ⎞ − A = ⎜⎜ 3 0 −4 ⎟⎟ ⎜ −6 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11
