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MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (1)
TEMA 2
MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS
MECÁNICA DE FLUIDOS
INDICE TEMA 2
2. MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental
2.2 Magnitudes Cinemáticas
2.2.1 Campo de Velocidades
2.2.2 Velocidades de Deformación y Giro
2.3 Magnitudes Integrales
2.3.1 Flujos Convectivos a través de la Superficie de Control
2.3.2 Magnitudes Promedio
2.4 Teorema del Transporte de Reynolds y Derivada Material
2.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds
2.4.2 Derivada Material
2.5 Magnitudes Dinámicas
2.5.1 Fuerzas Volumétricas
2.5.2 Fuerzas de Superficie
2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano
2.6 Magnitudes Termodinámicas
CURSO 2006-2007 (2)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (3)
2.1 MÉTODOS DIFERENCIAL, INTEGRAL Y
EXPERIMENTAL
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (4)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (I)
PREGUNTA: Adoptado el Enfoque Euleriano. ¿cómo se formula y resuelve el análisis de un flujo?.
1er MÉTODO:
ƒ Fijado el V.C.
ƒ Adoptar como variables las magnitudes de las
partículas que están ocupando en cada instante el V.C.:
ƒ Flujo Compresible (+ general): v(x,t), p(x,t), ρ(x,t)
y T(x,t).
ƒ Flujo Incompresible (ρ=cte): v(x,t) y p(x,t).
ƒ Obtener ecuaciones que relacionen estas magnitudes.
Formulación de las leyes fundamentales (Flujos
incompresibles: Conservación de la masa y 2ª Ley de
Newton).
ƒ Se resuelven las ecuaciones (EDDP) con unas
condiciones de contorno e iniciales obteniéndose
(v(x,t) y p(x,t) incompresible).
METODO DIFERENCIAL
MECÁNICA DE FLUIDOS
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (II)
METODO DIFERENCIAL
Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla
VARIABLES: v(x) y p(x)
div (v ) = 0
 ∂v 
ρ ⋅  ⋅ v  = −∇p + µ ⋅ ∇ 2 v + fV
 ∂r

+
CONDICIONES DE CONTORNO
RESULTADO: v(x) y p(x)
CURSO 2006-2007 (5)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (6)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (III)
AFIRMACIÓN: El Método Diferencial se encuentra con dificultades:
ƒ Matemáticas: Resolución de EDDP no lineales en geometrías normalmente complejas.
Necesidad de Métodos Numéricos (C.F.D)
ƒ Fenómenos físicos: En el movimiento de los fluidos existe un fenómeno denominado
turbulencia que complica aún más la resolución de las ecuaciones diferenciales (de por si
matemáticamente muy complejas).
ƒ Prácticas: El método diferencial proporciona una información del flujo detallada (toda¿demasiada?).
¿Está interesado el ingeniero directamente en esta información tan detallada?
¿Se centra su interés más en magnitudes integrales del flujo? (Fuerzas, Caudales,
Flujos y Potencias).
CONCLUSIÓN: Adoptar un método de análisis donde las incógnitas fueran magnitudes
integrales en las que el ingeniero está interesado y matemáticamente más simple.
Los únicos flujos que se analizarán por el método diferencial serán flujos en Régimen Laminar (no
turbulencia) y en Geometría muy simples (unidireccionales-unidimensionales)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (7)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (IV)
2o MÉTODO:
• Fijado el V.C.
• Adoptar como variables las Magnitudes Integrales.
• Obtener ecuaciones que relacionen estas incógnitas.
Formulación de las leyes fundamentales para el
sistema de fluido que en el instante t está
ocupando el V.C. (Flujos incompresibles: Conservación
de la masa, 2ª Ley de Newton y Ec. de la energía
mecánica).
• Se resuelven las ecuaciones (EDO o Algebraicas)
A este método se le denomina INTEGRAL
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (8)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (V)
METODO INTEGRAL
Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla
VARIABLES: pe, ps, q y FW
qe = qs = q
pe
1  q
+
⋅
γ
2 g  Ae
FW
2



 − K ⋅ q 2 = ps + 1 ⋅  q 
Q

A 
γ
2
g

 s

1 
2  1
= ps ⋅ As − pe ⋅ Ae + ρ ⋅ q ⋅
−
A

A
e 
 s
2
+
CONDICIONES PROBLEMA (Ejemplo pe y ps)
RESULTADO: Ejemplo (q y FW)
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CURSO 2006-2007 (9)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VI)
METODO DIFERENCIAL
METODO INTEGRAL
div (v ) = 0
 ∂v 
ρ ⋅  ⋅ v  = −∇p + µ ⋅ ∇ 2 v + fV
 ∂r

+
CONDICIONES DE CONTORNO
qe = qs = q
2
ps
1  q 
1  q 
2
+
⋅
− KQ ⋅ q =
+
⋅


2 g  Ae 
2 g  As 
γ
γ

1 
2  1
−
FW = ps ⋅ As − pe ⋅ Ae + ρ ⋅ q ⋅
A

A
e 
 s
pe
2
PREGUNTA: ¿Qué método parece más sencillo en su formulación y proporciona respuestas prácticas
de forma más inmediata en su resolución?
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (10)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VII)
CONCLUSIÓN: Se utilizará el Método Integral para analizar flujos completandolo cuando sea
necesario con resultados obtenidos mediante Análisis Diferencial o Experimentación
EXPERIMENTACIÓN
ANÁLISIS DIFERENCIAL
ANÁLISIS INTEGRAL
Experimentación o
Análisis Diferencial
(C.F.D)
pe
1  q
+
⋅
2 g  Ae
γ
FW
qe = qs = q
2



 − K ⋅ q 2 = ps + 1 ⋅  q 
Q

A 
2
g
γ

 s

1 
2  1
= ps ⋅ As − pe ⋅ Ae + ρ ⋅ q ⋅
−
A

A
e 
 s
2
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (11)
2.2 MAGNITUDES CINEMÁTICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (12)
2.2 Magnitudes Cinemáticas
Sirven para cuantificar el movimiento de una partícula de fluido:
ƒ Desplazamiento (Velocidad)
ƒ Deformación (Velocidades de deformación)
ƒ Giro (Velocidad angular)
Flujo bidimensional-bidireccional
N
Y
O
E
X
Particula P en
el instante t+ t
S
N (n)
r=v· t
Y
O (o)
E (e)
S (s)
X
Particula P en
el instante t
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CURSO 2006-2007 (13)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (I)
Velocidad: Rapidez del cambio en el tiempo de la posición (desplazamiento) de una partícula de
fluido respecto de un sistema de referencia fijado.
δr=vP·δt= v(x,t)·δt
ƒMatemáticamente v(x,t) (Campo de velocidades).
Magnitud vectorial (3 componentes escalares)
v(x,t)=u(x,y,z,t)·i+ v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k
(Coordenadas Cartesianas)
v(x,t)=ur(r,θ,z,t)·ir+uθ(r,θ,z,t)·iθ+w(r,θ,z,t)·k
(Coordenadas Cilíndricas)
v(x,t)=ur(r,θ,ϕ,t)·ir+uθ(r,θ,ϕ,t)·iθ+uϕ(r,θ,ϕ,t)·i
(Coordenadas Esféricas)
•Es la propiedad más importante en el análisis de los flujos:
ƒEs la principal magnitud cinemática. Todas las demás mag. cinemáticas se definen a partir de
ella.
ƒEn flujos incompresible si se conoce v(x,t) el flujo esta resuelto.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (14)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (II)
El campo de velocidades suele utilizarse para clasificar los flujos
ƒ Direccionalidad
-Min.:1= unidireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i
-Max.:3= tridireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i+v(x,t)·j+w(x,t)·k
ƒ Dimensionalidad
-Min.:0= Flujo Uniforme. Ejemplo: v=u(t)·i
-Max.:3= Flujo Tridimensional. Ejemplo: v=u(x,y,z,t)·i+v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k
ƒ Estacionalidad
-Estacionario. v(x)
-No Estacionario. v(x,t)
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CURSO 2006-2007 (15)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (III)
Flujo en un conducto recto de longitud L y sección circular de radio R. Incompresible,
Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.
  r 2 
v (r ) = u z (r )⋅ k = U 0 ⋅ 1−    ⋅ k
  R  
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CURSO 2006-2007 (16)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (IV)
Flujo en un conducto recto de longitud L y sección triangular equilátera de lado a. Incompresible,
Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.
.
0
A
2
2



z
3
y
z




 ⋅ 3 ⋅   −    ⋅ i
v( y , z ) = u (y , z ) ⋅ i = 6 ⋅ 3 ⋅ U m ⋅  −
a 2   a a 
 


B
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CURSO 2006-2007 (17)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (I)
Además de desplazarse la partícula de fluido en su movimiento se deforma y gira.
Velocidad de Deformación Longitudinal según X (dXX). Rapidez específica (por unidad de
longitud) del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección X de la partícula de
fluido.
d XX
D (δX )
= Dt
δX
D (δX )
δX (t + δt ) − δX (t )
= lim
= uE (t ) − uO (t )
δt →0
Dt
δt
∂u δX
uO (t ) = u (x o ,t ) = u (x,t ) −
⋅
∂x 2
uE (t ) = u (x e ,t ) = u (x,t ) +
d XX
∂u
=
∂x
∂u δX
⋅
∂x 2
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (18)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (II)
Velocidad de Deformación Longitudinal según Y (dYY). Rapidez específica del cambio en el tiempo
de la dimensión longitudinal en la dirección Y de la partícula de fluido.
dYY
vN. t
Yt
Yt
t
D (δY )
= Dt
δY
D (δY )
δY (t + δt ) − δY (t )
= lim
= v N (t ) − v S (t )
→0
δt
Dt
δt
∂v δY
v N (t ) = v (x n ,t ) = v (x,t ) +
⋅
∂y 2
vS. t
∂v δY
v S (t ) = v (x s ,t ) = v (x,t ) −
⋅
∂y 2
dYY
∂v
=
∂y
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (19)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (III)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las
velocidades de deformación longitudinal son tres (dXX, dYY y dZZ):
∂u
∂v
∂w
d XX (x, t ) =
; dYY (x, t ) =
; d ZZ (x, t ) =
∂z
∂x
∂y
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
∂u z
∂u r
1 ∂uθ u r
d rr =
; d θθ = ⋅
; d zz =
+
r ∂θ
r
∂z
∂r
∂uϕ u r uθ
∂u r
1 ∂uθ u r
1
d rr =
; d θθ = ⋅
+
; dϕϕ =
⋅
+ + ⋅ cot θ
∂r
r ∂θ
r
r ⋅ senθ ∂ϕ
r
r
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (20)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IV)
Velocidad de deformación angular y giro.
Definiciones previas
(
v E − v O )⋅ δt
δA =
δX
(
uN − uS )⋅ δt
δB =
δY
Ω EO =
Ω SN
δA (v E − v O ) ∂v
=
=
δt
δX
∂x
(
u N − uS )
δB
∂u
=−
=−
=−
δt
δY
∂y
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (21)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (V)
D
R
D
R
1
δφR = ⋅ (δA − δB )
2
1
δφD = ⋅ (δA + δB )
2
δφR 1  δA δB  1
1  ∂v ∂u 
= ⋅
−
− 
ΩZ =
 = ⋅ (Ω OE + Ω SN ) = ⋅ 
δt
2  δt δt  2
2  ∂x ∂y 
d XY = dYX
δφD 1  δA δB  1
1  ∂v ∂u 

=
= ⋅
+
+
 = ⋅ (Ω OE − Ω SN ) = ⋅ 
2  δt δt  2
2  ∂x ∂y 
δt
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (22)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VI)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las
velocidades de deformación angular (dXY=dYX, dXZ=dZX y dYZ=dZY) son:
d XY = dYX
1  ∂w ∂v 
1  ∂v ∂u 
1  ∂w ∂u 

 ; d XZ = d ZX = ⋅ 
+
= ⋅ 
+
+
 ; dYZ = d ZY = ⋅ 
2  ∂x ∂y 
2  ∂x ∂z 
2  ∂y ∂z 
Todas las velocidades de deformación se agrupan en una sola magnitud (tensor o matriz)
denominada matriz de velocidad de deformación. Para un flujo tridimensional y
tridireccional en coordenadas cartesianas:
dXX
dXY
dXZ
 ∂u 1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w  
 ⋅ 
⋅ 
+
+


 ∂x 2  ∂y ∂x  2  ∂z ∂x  


∂v
1  ∂v ∂w  


D≡
⋅ 
+

∂y
2  ∂z ∂y  




w
∂
dYY

SIM
∂z


dZZ
dZY
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (23)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VII)
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
 ∂ur 1  ∂  uθ
⋅ r ⋅ 

2
r
∂
 ∂r  r


1 ∂uθ

D≡
⋅
r ∂θ


SIM

 1 ∂u r 
+ ⋅

 r ∂θ 
ur
+
r
1  ∂u r ∂u z  
⋅
+
 
2  ∂z
∂r  

u
∂
u
∂
1 1

⋅  ⋅ z + θ  
2  r ∂θ
∂z 


∂u z

∂z

 ∂u 1  ∂  u  1 ∂u 

∂ur
1  1
∂  uϕ  
θ
r
r
⋅ r ⋅   + ⋅
⋅
⋅
+ r ⋅   



ϕ
r
2
r
r
r
θ
2
r
senθ
r
r
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
 





  




u
∂uθ 
1 ∂uθ ur
1 senθ ∂  ϕ 
1

+
D≡
+
⋅
⋅ 
⋅
⋅

r ∂θ
r
2  r
∂θ  senθ  r ⋅ senθ ∂ϕ  




∂
u
u
1
u
ϕ
SIM

⋅
+ r + θ ⋅ cotθ


r ⋅ senθ ∂ϕ
r
r


MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (24)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VIII)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las
componentes del vector velocidad de rotación (Ω):
1  ∂w ∂v 
1  ∂u ∂w 
1  ∂v ∂u 
 ; ΩY = ⋅ 
−
−
− 
Ω X = ⋅ 
 ; Ω Z = ⋅ 
2  ∂y ∂z 
2  ∂z ∂x 
2  ∂x ∂y 
La velocidad de rotación se puede expresar de forma independiente al sistema de coordenadas
como:
1
1
Ω = ⋅ rot [v (x,t )] ≡ ⋅ ∇ ∧ v (x,t )
2
2
En Mecánica de Fluidos, en lugar de la velocidad de rotación, suele utilizarse el vector vorticidad
(ω) definido como:
ω = 2 ⋅ Ω = rot [v (x,t )] ≡ ∇ ∧ v (x,t )
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (25)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IX)
Una vez definidas las velocidades de deformación se desea obtener la expresión de la Velocidad de
Deformación Volumétrica.
Velocidad de deformación Volumétrica: Rapidez del cambio en el tiempo del volumen de una
partícula de fluido expresada por unidad de volumen.
S.C.
Sistema
En coordenadas cartesianas
Z
Y
rP(X0P,t)
X
1 D (δV )
&
V=
δV Dt
r(x)
Partícula P
Y
V.C.
Z
X
δV = δX ⋅ δY ⋅ δZ
D (δV ) D (δX ⋅ δY ⋅ δZ )
=
=
Dt
Dt
D (δX )
D (δY )
D (δZ )
⋅ δY ⋅ δZ + δX ⋅
⋅ δZ + δX ⋅ δY ⋅
Dt
Dt
Dt
D (δV )
= (d xx + dYY + d ZZ )⋅ δX ⋅ δY ⋅ δZ
Dt
1 D (δV )
&
V=
⋅
= d xx + dYY + d ZZ ≡ Tr (D )
δV
Dt
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (26)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (X)
La velocidad de deformación volumétrica de una partícula de fluido es la traza de su matriz de
velocidad de deformación, cumpliéndose que:
V& (x,t ) = Tr [D(x,t )] ≡ div [v (x,t )]
En coordenadas cartesianas:
∂u ∂v ∂w
&
+
+
V (x, t ) =
∂x ∂y ∂z
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
1 ∂ (r ⋅ u r ) 1 ∂uθ ∂u z
&
V (x, t ) = ⋅
+ ⋅
+
r
∂r
r ∂θ
∂z
(
2
∂
r
⋅ ur
1
&
V (x,t ) = 2 ⋅
∂r
r
)
∂uϕ
∂ (uθ ⋅ senθ )
1
1
+
⋅
+
⋅
r ⋅ senθ
∂θ
r ⋅ senθ ∂ϕ
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (27)
2.3 MAGNITUDES INTEGRALES
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (28)
2.3. Magnitudes Integrales (I)
Las Magnitudes Integrales son las variables utilizadas en el Análisis Integral de un flujo.
• Están relacionadas con magnitudes del sistema de fluido que en el instante t está
ocupando el V.C. (Masa, Cant. Mov. y Energía almacenados en el V.C y Flujos que atraviesan la
S.C.)
• Se definen como integrales (volumen en V.C. o de superficie en la S.C.) de las magnitudes de
las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. Y por tanto forman parte de dicho
sistema de fluido.
Pregunta: ¿cuál es la masa del sistema Π
que el instante t está ocupando el V.C.:
Respuesta: A partir del campo ρ(x,t) como
VΠ(t)=VVC(t) la magnitud buscada mΠ(t) vale:
mΠ (t ) = ∫ ρ P (t )⋅dV = ∫ ρ (x,t )⋅dV ≡ mVC (t )
VΠ
VC
mVC(t) se denomina masa contenida en el V.C.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (29)
2.3. Magnitudes Integrales (II)
Cualquier propiedad extensiva B (masa, cantidad de movimiento o energía) del sistema de
fluido que en el instante t está ocupando el V.C. es igual en ese instante a la cantidad de esa
propiedad contenida en el V.C.
Siendo β(x,t) y ρ(x,t) una propiedad extensiva (masa 1, cantidad de movimiento v o energía e) y la
densidad respectivamente de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. como
VΠ(t)=VVC(t):
BΠ (t ) = ∫ ρ (x,t )⋅ β (x, t )⋅ dV ≡ BVC (t )
VC
Particularizando para las propiedades masa (m), cantidad de movimiento (M) y energía (E) se tiene
que:
mΠ (t ) = ∫ ρ (x, t )⋅ dV ≡ mVC (t )
VC
MΠ (t ) = ∫ ρ (x, t )⋅ v (x, t )⋅ dV ≡ MVC (t )
VC
E Π (t ) = ∫ ρ (x, t )⋅ e (x, t )⋅ dV ≡ EVC (t )
VC
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (30)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (I)
Se considera una porción S de la S.C. que es atravesada por el fluido (entra o sale del V.C.). Este
fluido posee unas propiedades extensivas (masa, cantidad de movimiento y energía) por lo que
existe un flujo (convectivo) de estas propiedades a través de S.
PREGUNTA: ¿cómo se definen estos flujos?
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (31)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (II)
Flujo volumétrico, caudal o gasto de fluido en S: Volumen de fluido que atraviesa S en la unidad
de tiempo
Tomando un δS de S orientado por su vector unitario normal n.
El volumen de fluido δV que atraviesa δS en el intervalo
de tiempo δt es:
δV = v ⋅ δt ⋅ δS ⋅ cos θ
Por lo que el caudal volumétrico δq en δS es:
δV
δq =
= v ⋅ δS ⋅ cos θ
δt
El signo δq (definido por cosθ) indica si el volumen de
fluido está entrando (-) ó saliendo (+) del V.C.
Ambas posibilidades se contemplan utilizando:
δq =
δV
= v ⋅ n ⋅ δS = v ⋅ δS
δt
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (32)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (III)
El caudal qS que atraviesa la superficie S es la
integral de todos los δq:
q s = ∫ dq = ∫ v
⋅ n ⋅ dS = ∫ v ⋅ dS
{
S
S vn
S
Si la integral se realiza para toda la S.C. se
obtiene el caudal neto que atraviesa S.C.
qSC = ∫ dq = ∫ v ⋅ n ⋅ dS = ∫ v (x,t )⋅ dS
SC
SC
SC
Considerando únicamente las zonas de la S.C. donde el fluido está entrando (e) o saliendo (s) la
expresión de qSC puede escribirse como:
q SC = ∑
∫ v ⋅ dS + ∑e ∫ v ⋅ dS = ∑s q s − ∑e q e
s SC s
SC e
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (33)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (IV)
Analogamente al caudal que atraviesa una superficie S es posible definir el flujo de una propiedad
extensiva B (m, M ó E) a través de la superficie S.
Tomando un δS de S que está orientado por su vector unitario normal n.
La cantidad de propiedad B que atraviesa δS en el
intervalo de tiempo δt es:
δB = ρ ⋅ β ⋅ v ⋅ δt ⋅ δS ⋅ cos θ
Siendo β la propiedad extensiva expresada por
unidad de masa (m~1, M~v y E~e).
El flujo a través de δS se define como la cantidad de
propiedad B que atraviesa δS en la unidad de tiempo
por lo tanto:
δB& =
δB
= ρ ⋅ β ⋅ v ⋅ δS
δt
  β > 0 v ⋅ δS > 0 ( Entrada )
> 0
  β < 0 v ⋅ δS < 0 ( Salida )
&
δB 
 < 0  β < 0 v ⋅ δS > 0 ( Entrada )
  β > 0 v ⋅ δS < 0 ( Salida )
 
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (34)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (V)
B& SC = B& e 1 + B& s 2 + B& s 1
wm
w
B& S = ∫ dB& = ∫ ρ ⋅ β ⋅ v ⋅ dS
S.C.
S
B& e 1
B& s 2
r P (X 0P ,t)
El flujo convectivo de propiedad B que
atraviesa la superficie S es:
El flujo neto de propiedad B que atraviesa la
S.C. es:
B& SC =
e1
S
∫ ρ ⋅ β ⋅ v ⋅ dS
SC
s1
s2
• masa (B=m y β=1):
Z
V.C.
X
Particularizando B:
Y
B& s 1
& SC =
m
∫ ρ ⋅ (v ⋅ dS )
SC
• Cant. de Movimiento (B=M y β=v):
& =
M
SC
∫ ρ ⋅ v ⋅ (v ⋅ dS )
SC
•Flujo de Energía (B=E y β=e):
E& SC =
∫ ρ ⋅ e ⋅ (v ⋅ dS )
SC
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (35)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (VI)
PREGUNTA: Si el V.C. se mueve o se deforma ¿Las expresiones que proporcionan los flujos
varían?.
RESPUESTA: SI. Supóngase que cada elemento δS de la S.C. posee una velocidad vSUP(x,t) las
expresiones de los flujos se modifican de la siguiente manera:
qSC = ∫ dq =
SC
B& SC =
∫ (v − vSUP )⋅ dS = ∫ v RS ⋅ dS
SC
SC
∫ ρ ⋅ β ⋅ [(v − v SUP )⋅ dS ] = ∫ ρ ⋅ β ⋅ (v RS ⋅ dS )
SC
SC
En las expresiones de los flujos en lugar de la
velocidad del fluido v(x,t) aparece la velocidad del
fluido relativa a la superficie.
Si vSUP(x,t)=0 el V.C. Es fijo e indeformable y se
obtienen las expresiones anteriores
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (36)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (I)
Partiendo del flujo de una propiedad que atraviesa una porción S de la S.C. Se pueden definir
Magnitudes Promedio en la superficie. Son de gran utilidad a la hora de analizar con el método
integral un flujo (Tema 3).
• A partir del caudal qS que atraviesa la superficie S se define la Velocidad Media (escalar)
en esa superficie vS , como:
qS
vS =
AS
El caudal neto que atraviesa la S.C. puede escribirse en función de las velocidades medias
como:
q SC = ∑ (v ⋅ A )s − ∑ (v ⋅ A )e
s
e
• A partir del flujo másico y del caudal es posible definir en una superficie la Densidad
Promedio como:
&S
m
ρ̂ S =
qS
De esta forma el flujo másico neto a través de la S.C. Es:
& SC = ∑ (ρˆ ⋅ q )s − ∑ (ρˆ ⋅ q )e
m
s
e
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (37)
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (II)
En el caso que el flujo sea incompresible (ρ=cte) se puede escribir:
& SC
m

= ρ ⋅  ∑ q O − ∑ q I
e
 s

 ≡ ρ ⋅ q SC


Análogamente con las otras propiedades extensivas
• Flujo de Cant. de Mov.: Cantidad de Movimiento por unidad de masa promedio
&
M
vˆ S = S
&S
m
(
&
ˆ ˆ
M
SC = ∑ v ⋅ ρ ⋅ q
s
) − ∑ (vˆ ⋅ ρˆ ⋅ q )
s
(
e
e

&
M SC = ρ ⋅  ∑ vˆ ⋅ q
 s
Flujo Incompresible

vˆ ⋅ q e 

) − ∑(
s
e
)
• Flujo de Energía: Energía promedio por unidad de masa
E& S
eˆS =
&S
m
(
E& SC = ∑ eˆ ⋅ ρˆ ⋅ q
s
(
) − ∑ (eˆ ⋅ ρˆ ⋅ q )
s
e
e

&
E SC = ρ ⋅  ∑ eˆ ⋅ q
 s
Flujo Incompresible

ˆ
e⋅q e 

) − ∑(
e
e
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (38)
2.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS Y
DERIVADA MATERIAL
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (39)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (I)
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
AFIRMACIÓN: En un flujo el valor de cualquier propiedad extensiva B del sistema que en el
instante t está ocupando el V.C. es igual a la cantidad de propiedad que hay en ese instante
almacenada en el V.C.
BΠ (t ) = ∫ ρ (x, t )⋅ β (x, t )⋅ dV ≡ BVC (t )
VC
PREGUNTA: ¿Qué expresión proporcionará en función de propiedades integrales la rapidez del
cambio en el tiempo de la propiedad B del sistema?
RESPUESTA: La rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B de un sistema se define como:
DBΠ (t )
BΠ (t + δt )− BΠ (t )
= lim
δt →0
Dt
δt
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (40)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (II)
1
Sistema en t
V (t)=VVC(t)
V.C.
2
Y
X
1
S.C.
BΠ (t ) = BVC (t )
BΠ (t + δt ) = BVC (t + δt )+ (Bsale − Bentra ) = BVC (t + δt )+ B& SC (t )⋅δt
Sustituyendo y haciendo el límite se obtiene la expresión del TTR para la propiedad B:
DBΠ dBVC &
=
+ BSC
Dt
dt
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (41)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (III)
Para una propiedad extensiva genérica B (m, M o E) el Teorema del Transporte de Reynolds
expresa que:
DBΠ (t ) dBVC (t ) &
=
+ BSC (t )
Dt
dt
Particularizando para:
DmΠ dmVC &
=
+ mSC
Dt
dt
ƒ Masa:
ƒ Cantidad de movimiento:
DM Π
Dt
D
Dt
[M
x
⋅i + My ⋅ j + Mz ⋅k
]
Π
=
d
dt
=
dMVC
[M
dt
x
&
+M
SC
]
(
⋅ i + M y ⋅ j + M z ⋅ k VC + M& x ⋅ i + M& y ⋅ j + M& z ⋅ k
ƒ Energía:
DE Π dEVC &
=
+ ESC
Dt
dt
)
SC
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (42)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (I)
DERIVADA MATERIAL
AFIRMACIÓN: En un flujo v(x,t) expresa matemáticamente las velocidades de las partículas de
fluido que en el instante t están ocupando el V.C.
PREGUNTA: ¿Como se opera con v(x,t) para obtener la expresión de la rapidez del cambio en el
tiempo de la velocidad (aceleración) de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C.,
a(x,t)?
RESPUESTA: En el instante t nos fijaremos en una posición x del V.C. Que esta ocupada por una
partícula P.
aP =
Dv P
v (t + δt ) − v P (t )
= lim P
δt →0
Dt
δt
En general la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula de fluido se
expresa como:
Dα P
α P (t + δt )−α P (t )
= lim
Dt δt →0
δt
A la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula se le denomina Derivada
material de la propiedad α.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (43)
2.4 T.T.
de Reynolds
Material-2.4.1
2.4.2 Derivada Material (II)
Derivada
MaterialyyDerivada
T.T. de Reynolds/
v P (t ) = v (x,t )
v P (t + δt ) = v (x,t + δt ) + δv
∂v
⋅ δr
v P (t + δt ) = v (x,t + δt ) +
∂r ( x,t + δt )
δr = v (x,t )⋅ δt
Sustituyendo en el límite:
a (x,t ) =
Dv
 v (x,t + δt )− v (x,t )  ∂v (x,t )
= lim 
+
⋅ v (x,t )

Dt δt →0 
δt
∂r

Dv
∂v (x,t )
∂v (x,t )
a (x,t ) =
=
+
⋅ v (x,t )
Dt
∂t4
∂r4244
1
42
3
14
3
ACELERACIÓ N
LOCAL
ACELERACIÓ N
CONVECTIVA
Aceleración=Derivada Material de la Velocidad
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (44)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (III)
Para cualquier propiedad (extensiva o intensiva) expresada en forma euleriana, α(x,t), la expresión
euleriana de la rapidez del cambio en el tiempo de α es:
Dα
=
Dt
∂α
∂t
{
+
DERIVADA
LOCAL
∂α
⋅v
∂2
r3
1
DERIVADA
CONVECTIVA
Magnitud escalar (temperatura, densidad o presión) ∂α/∂r es el gradiente de α(x,t).
∂α
≡ ∇α
∂r
Magnitud vectorial (velocidad) ∂α/∂r es una matriz.
Si el flujo es estacionario y los campos de propiedades no dependen del tiempo, α(x), la parte local
de la derivada material es nula y sólo existe parte convectiva:
Dα ∂α (x )
=
⋅ v (x )
Dt
∂r
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (45)
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (IV)
 ∂u

 ∂x
∂v  ∂v
=
∂r  ∂x
 ∂w
 ∂x

Coordenadas Cartesianas:
Coordenadas Cilíndricas (Tablas Apuntes):
Coordenadas Esféricas (Tablas Apuntes):
 ∂ur

 ∂r
∂v  ∂uθ
=
∂r  ∂r
 ∂

 ∂r
 ∂ur

 ∂r
∂v  ∂uθ
=
∂r  ∂r
 ∂u
 ϕ
 ∂r
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
∂u 

∂z 
∂v 

∂z 
∂w 
∂z 
 1 ∂ur uθ
 ⋅
−
 r ∂θ r
 1 ∂uθ ur
 ⋅
+
 r ∂θ r
1 ∂uZ
⋅
r ∂θ
 1 ∂ur uθ
 ⋅
−
 r ∂θ r
 1 ∂uθ ur
 ⋅
+
 r ∂θ r
1 ∂uϕ
⋅
r ∂θ












∂ur 

∂z 
∂uθ 

∂z 
∂uZ 

∂z 

∂ur uϕ 
 1



 r ⋅senθ ⋅ ∂ϕ − r 



∂uθ uϕ
 1
 


 r ⋅senθ ⋅ ∂ϕ − r ⋅cotθ  

 
∂uϕ ur uθ
 1



 r ⋅senθ ⋅ ∂ϕ + r + r ⋅cotθ 


MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (46)
2.5 MAGNITUDES DINÁMICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (47)
2.5 Magnitudes Dinámicas.2.5.1 Motivación
2ª Ley de Newton
dMVC &
+ MSC = ΣFext
dt
DM Π
= ΣFext
Dt
Si Π está ocupando el VC
en t
Dv p
Dt
a (x, t ) ⋅ ρ (x, t ) ⋅ δV = ΣδFext
⋅ δm p = ΣδFext
Si p está ocupando la
posición x en t
∂v (x, t ) ∂v (x, t )
a (x , t ) =
+
⋅ v (x , t )
∂r
∂t
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (48)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (I)
+ Fuerzas de Π sobre Entorno
+ Fuerzas de Entorno sobre Π
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (49)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (II)
Fuerzas sobre el fluido:
• Fuerzas Volumétricas
Distribuidas en todo el volumen.
‰ Depende del volumen.
‰ No es necesario el contacto entre el
sistema y el entorno.
• Fuerzas de Superficie
‰ Distribuidas en la superficie.
‰ Dependen de la superficie. No del
volumen.
‰ Son debidas al contacto entre el sistema
y el entorno.
‰
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (50)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (I)
(δFV )p = (fV )p ⋅ δVp
Siendo fV la fuerza volumétrica por unidad de
volumen que actúa sobre una partícula del
sistema.
FV =
∫ dFV = ∫ fV ⋅ dV
VΠ
VΠ
Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema de fluido.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (51)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (II)
Considerando el sistema Π que en el instante t
está ocupando el V.C. En el instante t
VΠ(t)=VVC(t).
Sobre una de sus partículas situada en x está
actuando una fuerza de volumen:
(δFV )p = (fV ⋅ δV )p = fV (x, t ) ⋅ δV
fV será función de (x,t) expresa la fuerza
volumétrica por unidad de volumen que
actúa sobre las partículas que en el instante t
están ocupando el V.C.
FV ≡
∫ fV (x, t ) ⋅ dV
VC
Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema que en el instante t está
ocupando el Volumen de Control.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (52)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (III)
Las fuerzas de volumen son normalmente conocidas siendo la más habitual la debida a un campo
gravitatorio:
fVG (x, t ) = ρ (x, t ) ⋅ g = ρ ⋅ g ⋅ e g = γ ⋅ e g
γ=ρ·g es el peso específico del fluido. [γ]=F·L-3=M·L-2·T-2
Otras fuerzas que pueden aparecer también son:
Fuerzas de inercia (Sistema de Referencia No Inercial):
fVI = − ρ ⋅ (a arr + a c )
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (53)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (I)
( )
S( )
S( )
sup E
( )
Z
X
Y
S Π ≡ SE
(δFsup )E →Π = t S (Π ) ⋅ δS(Π )
(δFsup )Π →E = t S (E ) ⋅ δS(E )
(δFsup )Π →E = −(δFsup )E →Π
t S (Π ) = − t S (E )
t es el vector tensión que expresa
la fuerza por unidad de superficie.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (54)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (II)
t = f ( punto , n)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (55)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (III)
t = f ( punto, n)
Hipótesis de Cauchy
t = T ⋅n
(δFsup )E →Π = TS ⋅ nS (Π ) ⋅ δS(Π )
(δFsup )Π→E = TS ⋅ nS (E ) ⋅ δS(E )
=-n
(δFsup )Π→E = −(δFsup )E →Π
Como nS(Π)
S(E)
(FS )E →Π = ∫ TS ⋅ nS (Π ) ⋅ dS
S (Π )
(FS )Π →E
=
∫ TS ⋅ nS (E ) ⋅ dS = − ∫ TS ⋅ nS (Π ) ⋅ dS
S (E )
S (Π )
Resultantes de las fuerzas de superficie que
actúan sobre el sistema y sobre su entorno.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (56)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (IV)
Considerando el sistema Π que en el instante t está
ocupando el V.C.
VP(t)=VVC(t) y SΠ(t)= SE(t)=SSC(t).
La matriz de tensiones T será función de x y de t
(δFsup )E →Π = T(x SC , t ) ⋅ nSC (Π ) ⋅ δSsc (Π )
(δFsup )Π→E = T(x SC , t ) ⋅ nSC (E ) ⋅ δSsc (E )
Como nSC(Π)=n=-nSC(E)
(FS )E →Π ≡ ∫ T (x, t ) ⋅ n ⋅ dS
SC
(FS )Π →E
≡ − ∫ T (x, t ) ⋅ n ⋅ dS
SC
Resultantes de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el sistema que en el
instante t está ocupando el Volumen de Control y la que este sistema ejerce sobre el Entorno.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (57)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (V)
Resultante de las fuerzas de superficie que el Entorno
ejerce sobre el Sistema que en el instante t está ocupando
el Volumen de Control
(FS )E →Π ≡ ∫ T (x, t ) ⋅ n ⋅ dS
SC
(FS )E →Π ≡ ∫ T (x, t ) ⋅ n ⋅ dS =
SC
(FS )E →Π
∫ T ⋅ n ⋅ dS
Σ + Σ +w +w m
s
e


=  ∑ Fs + ∑ Fe +Fw + Fw m 
e
 s
 E →Π
(FS )Π →E = −(FS )E →Π
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (58)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VI)
Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el
instante t se encuentra en x.
δFS = t E ⋅δSE + t O ⋅δSO + t N ⋅δSN + t S ⋅δSS
t E = TE ⋅ nE ; t O = TO ⋅ nO ; t N = TN ⋅ nN ; t S = TS ⋅ nS
δSE = δSO = δY ⋅ δZ ; δSN = δSS = δX ⋅ δZ
nE = i ; nO = -i ; nN = j ; nS = − j
δFS = (TE − TO )⋅i⋅δY ⋅δZ + (TN − TS )⋅ j⋅δX ⋅δZ
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (59)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VII)
δFS = (TE − TO )⋅i⋅δY ⋅δZ + (TN − TS )⋅ j⋅δX ⋅δZ
∂T δX
⋅
∂x 2
∂T δX
TO = T (x o ,t ) = T (x,t ) −
⋅
∂x 2
∂T δY
TN = T (x n ,t ) = T (x,t ) +
⋅
∂y 2
∂T δY
TS = T (x s ,t ) = T (x,t ) −
⋅
∂y 2
TE = T (x e , t ) = T (x, t ) +
 ∂t xx
 ∂t xx ∂t xy
∂t yx   ∂t xy
∂t yy  
⋅i +
⋅ j  + 
⋅i +
⋅ j   ⋅δX ⋅δY ⋅δZ = 
+
δFS = 
∂x   ∂y
∂y  
∂y
 ∂x
 ∂x
δFS = div [T (x,t )]⋅δV
  ∂t yx ∂t yy
 ⋅i + 
+
∂y
  ∂x
 
 ⋅ j  ⋅δV
 
Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre
una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (60)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VIII)
 ∂t xx ∂t xy ∂t xz
div [T (x,t )]= 
+
+
∂y
∂z
 ∂x
  ∂t yx ∂t yy ∂t yz
 ⋅i + 
+
+
∂y
∂z
  ∂x
  ∂t zx ∂t zy ∂t zz 
 ⋅ j + 
 ⋅k
+
+
∂y
∂z 
  ∂x
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
 1 ∂ (r ⋅t rr ) 1 ∂t rθ ∂t rz tθθ
 r ⋅ ∂r + r ⋅ ∂θ + ∂z − r


2
 1 ∂ r ⋅tθr 1 ∂tθθ ∂tθz
+ ⋅
+
div [T (x,t )]=  2 ⋅
∂r
∂z
r ∂θ
 r

 1 ⋅ ∂ (r ⋅t zr ) + 1 ⋅ ∂t zθ + ∂t zz
 r
∂z
∂r
r ∂θ
(
(
)
(
)
(
)
)










∂t rϕ tθθ + tϕϕ 
 1 ∂ r 2 ⋅t rr
∂ (t rθ ⋅sen θ )
1
1
+
⋅
+
⋅
−

 2⋅
∂r
r ⋅sen θ
∂θ
r ⋅sen θ ∂ϕ
r

 r


3
∂tθϕ tϕϕ ⋅cotθ 
∂ (tθθ ⋅sen θ )
1
1
 1 ∂ r ⋅tθr
div [T (x,t )]=  3 ⋅
+
⋅
+
⋅
−

∂r
r ⋅sen θ
∂θ
r ⋅sen θ ∂ϕ
r

r


3
 1 ⋅ ∂ r ⋅tϕr + 1 ⋅ ∂ tϕθ ⋅sen θ + 1 ⋅ ∂tϕϕ + tϕθ ⋅cotθ 

r 3
θ
θ
θ
ϕ
∂
⋅
∂
⋅
∂
r
r
sen
r
sen
r


(
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (61)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (I)
2ª Ley de Newton
dMVC &
+ MSC = ΣFext
dt
DM Π
= ΣFext
Dt
Si Π está ocupando el VC
en t
∑ Fext = FV + (FS )E →Π ≡ ∫ fV ⋅ dV + ∫ T ⋅ n ⋅ dS
VC
Dv p
Dt
SC
a ⋅ ρ ⋅ δV = ΣδFext
⋅ δm p = ΣδFext
Si p está ocupando la
posición x en t
∑ δFext = δFV + δFS = [fV + div (T )] ⋅ δV
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (62)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)
AFIRMACIÓN: La fuerza total sobre una partícula de
fluido es:
δF = [fV + div (T )] ⋅ δV
Este término aparecerá en la ecuación de la 2ª ley
de Newton.
Dv
ρ⋅
⋅ δV = [fV + div (T )] ⋅ δV
Dt
PREGUNTA: En un flujo incompresible las
incógnitas eran p(x,t) y v(x,t)
• ¿Dónde aparece la presión?.
• Como se eliminan las tensiones (T)
RESPUESTA:
RESPUESTA: Es
Es necesario
necesario introducir
introducir una
una RELACIÓN
RELACIÓN CONSTITUTIVA
CONSTITUTIVA
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (63)
2.5 Magnitudes
PropiedadesDinámicasDinámicas/2.5.5
2.5.3Relación
RelaciónConstitutiva
Constitutivade
deun
unFluido
FluidoNewtoniano
Newtoniano(III)
(II)
En general las relaciones constitutivas son expresiones entre las variables de un problema que
permiten modelar el comportamiento del sistema estudiado. Se deducen de la experiencia no de las
leyes fundamentales (sin violarlas).
Ejemplo: Viga sometida a esfuerzo axial se desea relacionar la deformación δ con la solicitación N:
Relación
Constitutiva
σ = ε ⋅E
σ ⋅A −N = 0
ε=
δ=
N
E ⋅A
δ
L
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (64)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (IV)
La ecuación constitutiva de un fluido relaciona su matriz de tensiones (T) con :
ƒ Presión (p)
ƒ Velocidad de deformación (D):
La matriz de tensiones se descompone en una Parte Hidrostática (TH) y en otra Parte
Desviadora (TD). Cumpliéndose que tr(TD)=0.
T = TH + TD
1
TH = ⋅ tr (T ) ⋅ I
3424
1
3
β
TD = T − TH = T − β ⋅ I
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (65)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (V)
AFIRMACIÓN: Un sistema de fluido que en todos sus puntos tenga una matriz de tensiones
hidrostática no está sometido a ninguna fuerza de cizalladura:
(δFSUP )E →Π = TH ⋅ n(Π ) ⋅ δS(Π ) = β ⋅ I ⋅ n(Π ) ⋅ δS(Π ) = β ⋅ n(Π ) ⋅ δS(Π )
1. En un fluido en reposo sólo existe
hidrostática de la matriz de tensiones.
parte
asociada
2. La parte
desviadora estará
movimiento y por tanto a la velocidad.
al
Evidencias experimentales establecen que:
•
El valor β coincide con la presión termodinámica (β
=-p).
•
TD se relaciona con la matriz de velocidades de
deformación D. La relación más sencilla es:
1


T (x, t ) = − p ⋅ I + 2µ ⋅ D − ⋅ Tr (D) ⋅ I
3


MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (66)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VI)
1


T (x, t ) = − p ⋅ I + 2µ ⋅ D − ⋅ Tr (D) ⋅ I
3


Al coeficiente µ se le denomina viscosidad dinámica del fluido o simplemente viscosidad y es una
propiedad termodinámica (depende de la presión y la temperatura).
Los fluidos que poseen la relación constitutiva se les denomina FLUIDOS NEWTONIANOS. Los
fluidos más comunes son newtonianos (ejemplos: agua, aire, mercurio, aceites)
En ocasiones se trabaja con la denominada viscosidad cinemática ν=µ/ρ.
[µ]=M·L-1.T-1 en el S.I. sus unidades son kg/(m·s) ó N·s/m2.
[ν]=L2·T-1 en el S.I. sus unidades son m2/s.
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (67)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)
En el caso de un flujo incompresible (µ=cte) y tr(D)=div(v)=0. La relación constitutiva se
reduce a:
T (x, t ) = − p(x, t ) ⋅ I + 2µ ⋅ D(x, t )
Quedando la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula como:
(
)
δFS = [− ∇p + 2µ ⋅ div (D)] ⋅ δV = − ∇p + µ ⋅ ∇ ⋅ v ⋅ δV
2
Siendo:
2
2
2
2
2
2
2
2
2





∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
u
u
v
v
v
w
w
w
2
∇ ⋅ v =  2 + 2 + 2  ⋅ i +  2 + 2 + 2  ⋅ j +  2 +
+ 2  ⋅ k
2
∂y
∂z 
∂y
∂z 
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂x
 ∂x
∑ δFext = (− ∇p + µ ⋅ ∇
2
)
⋅ v + fV ⋅ δV
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (68)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)
En un sistema de coordenadas cartesiano:

 ∂u ∂v   ∂u ∂w  
∂u
 +  µ ⋅ +
−
+
⋅
⋅
p
2
µ
µ


∂
x
∂
y
∂
x
z
x
∂
∂

 




 ∂w ∂v  
∂v
− p + 2µ ⋅
⋅
+ 
T (x,y ,z,t ) ≡ 
µ

∂y
∂y ∂z  





w
∂
 SIM

− p + 2µ ⋅
∂z 

En los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico (Tablas Apuntes):

∂u r
− p + 2µ ⋅
∂r


T (r ,θ ,z,t ) ≡ 



SIM


∂u
− p + 2µ ⋅ r
∂r



T (r ,θ ,ϕ ,t ) ≡ 



SIM


 ∂  uθ  1 ∂u r 
 ∂u r ∂u z  
µ ⋅ r ⋅   + ⋅
+
 
 µ ⋅
θ
∂
∂
∂
∂
r
r
r
z
r

 
 



∂
∂
u
u
∂
u
u
1
1




− p + 2 µ ⋅ ⋅ θ + r  µ ⋅  ⋅ z + θ  
∂z 
 r ∂θ r 
 r ∂θ

∂u z 
− p + 2µ ⋅
∂z 




 senθ ∂  uϕ 
∂uθ  
1
 1 ∂uθ u r 


+
⋅
− p + 2 µ ⋅ ⋅
+  µ
⋅ 
 

∂θ  senθ  r ⋅senθ ∂ϕ 
 r ∂θ r 
 r


∂uϕ u r uθ
 1

− p + 2 µ ⋅
⋅
+ + ⋅cotθ 
r
 r ⋅senθ ∂ϕ r
 
 ∂  u  1 ∂u 
µ ⋅ r ⋅  θ  + ⋅ r 
 ∂r  r  r ∂θ 
 1
∂u r
∂  uϕ
⋅
+ r ⋅ 
µ ⋅
∂r  r
 r ⋅senθ ∂ϕ



 
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (69)
2.6 MAGNITUDES TERMODINÁMICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (70)
2.6 Magnitudes Termodinámicas (I)
Densidad (ρ) y Presión (p).
Densidad: [ρ]=M.L-3.
En el S.I. sus unidades son kg/m3.
• En ciertas ocasiones la densidad de un fluido (a) (ρa) se expresa como un valor relativo
(sa) a la de otro fluido de referencia (ρb).
s ab = ρ a ρ b
Así por ejemplo el mercurio (Hg) tiene una densidad relativa al agua swHg=13.6.
Los fluidos de referencia suelen ser fluidos comunes cuya densidad es bien conocida,
como por ejemplo el agua en el caso de líquidos y el aire en el de gases.
• En Mecánica de Fluidos, sobre todo en Estática de Fluidos, suele emplearse mucho, el Peso
Específico de un fluido (γ)
γ = ρ ⋅g
[γ]=M.L-2.T-2=F.L-3 y sus unidades en el S.I. son kg/(m2.s2) ó N/m3
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (71)
2.6 Magnitudes Termodinámicas (II)
• Presión absoluta (pabs). Valor siempre (+). Rango: 0<pabs<∞
• Presión Manométrica (pman=pabs-patm). Valor (+) ó (-). Rango: -patm<pman<∞
El valor de diseño de la presión atmosférica local es de 101.3 kPa=1003 mBar
¡OJO! EN RELACIONES TERMODINÁMICAS NO PUEDEN UTILIZARSE PRESIONES MANOMÉTRICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (72)
2.6 Magnitudes Termodinámicas (III)
Presión: Diferentes formas de expresar una presión (manométrica o absoluta).
[p]=F.L-2=M.L-1.T-2.
En el S.I. Sus unidades son el Pascal 1 Pa=1 N/m2. También es muy frecuente utilizar el Bar, 1
Bar=105 Pa.
Es posible expresar una presión como una altura de columna de un fluido. Si se elige un
determinado fluido (a) que se encuentra a una presión p, dicha presión se puede expresar como
una altura de ese mismo fluido ha así como de otro fluido (b), hb, cumpliéndose que:
p = ha ⋅ γ a = h b ⋅ γ b
Si se elige otro fluido (c) para expresar como una altura la presión p, las diferentes alturas que
expresan la misma presión se relacionan mediante:
p = ha ⋅ γ a = h b ⋅ γ b = hc ⋅ γ c
ha = h b ⋅
[ha]=L de a.
En el S.I. metros de columna de a.
ρb
ρ
a
{
s ba
= hc ⋅
ρc
ρ
a
{
s ca
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2006-2007 (73)
2.6 Magnitudes Termodinámicas (IV)
Fluido en reposo bajo la acción de la gravedad. Sólo existe presión y ésta varía
únicamente en la dirección de la gravedad y de forma lineal.
pa = p0 + γ ⋅ha
pa − p0 = (ph )a = γ ⋅ha
• pa>p0 ya que ha>0 Þ (ph)a>0
• pb<p0 ya que hb<0 Þ (ph)b<0