CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE

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CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE PRIMER ORDEN.
2.1 INTRODUCCIÓN
De la gran cantidad de problemas gobernados por ecuaciones diferenciales, empecemos por recordar
uno de los más sencillos: el “decaimiento radioactivo”
dR( t )
−
= kR( t )
dt
siendo k>0 una constante experimental. Sabemos que la solución es R(t)=Ce-kt, y si R(0)=R0
entonces
R(t)=e-ktR0.
En general, si A∈M ( N, IR) es una matriz de N componentes reales, existe una ecuación
diferencial en N dimensiones
−
con x:I→ N, normalmente I=
que la función
+
∪{0}=
dx( t )
= Ax( t )
dt
+
0
. Sabemos también, por la fórmula de Lagrange,
x(t)=eAtx0
es la solución del Problema de Cauchy (PC)
(2.1)
(2.2)
dx( t )
+ Ax( t ) = 0
dt
x(0)=x0
problema bien planteado en el sentido de Hadamard. Esta solución existe para algunos x0
(en este caso ∀ x0∈ N) y la solución depende continuamente del dato inicial x0.
Consideremos la aplicación lineal continua
S : I → L ( N)
t⊂ eAt
tal que x(t)=S(t)x0.
Se tiene:
x(t+s)=eA(t+s)x0=S(t+s)x0
Pero, por la unicidad de solución, también se tiene
x(t+s)=eAtx(s)=eAteAsx0=S(t)S(s)x0.
Luego, la familia uniparamétrica (de parámetro t) de aplicaciones lineales continuas
S : I → L ( N)
t⊂ eAt
verifica las propiedades:
S(t+s)=S(t)S(s)
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S(0)=Id.
Conocidas como propiedades de semigrupo.
Supongamos ahora que A: N→
la ecuación (2.1) por x, tenemos
N
verifica (Ax,x)≥0, entonces multiplicando escalarmente
⎛ dx( t )
⎞
, x( t ) ⎟ + (Ax( t ), x( t )) = 0
⎜
⎝ dt
⎠
y debe cumplirse que
⎛ dx( t )
⎞
, x( t ) ⎟ ≤ 0
⎜
⎝ dt
⎠
y como estamos en
N
2
⎛ dx( t )
⎞ 1 d
, x( t ) ⎟ =
x( t ) ≤ 0
⎜
⎝ dt
⎠ 2 dt
es decir, x(t) es decreciente. Por lo tanto, ⏐x(t)⏐≤⏐x(0)⏐, es decir, ⏐S(t)x0⏐≤⏐x0⏐, ∀x0∈
Dicho de otro modo, {S(t): t∈ 0+ } es una contracción (lineal).
N
.
Ahora vale hacerse la siguiente pregunta: ¿ocurre lo mismo en espacios de dimensión infinita?.
Respuesta: sí, esto mismo ocurre para problemas planteados sobre espacios de Hilbert de
dimensión infinita.
Consideremos, por ejemplo, la ecuación del calor en Ω un abierto acotado o no de N:
(2.3)
∂u( t, x )
− ∆u( t, x ) = 0
∂t
u( t, x ) =0
(t,x) ∈
(t,x) ∈
u(0,x)=u0(x) x∈Ω
+
×Ω
+
0 ×∂Ω
Expresaremos (2.3) como un problema del tipo (2.1)-(2.2) en un espacio de dimensión
infinita. Sospechamos un espacio de Sobolev.
Fijado t, podemos escribir u(t, •)=u(t), por lo tanto, podemos escribir u:Ω→ . La condición
de contorno u(t,x)=0, x∈∂Ω, t ≥ 0, será considerada en la elección del dominio del operador.
En efecto, sea H=L2(Ω) y le asociamos a la ecuación (2.1) el operador
A: L2(Ω)→L2(Ω) y D(A)=H2(Ω)∩H 10 (Ω)
u ⊂ -∆u
Luego, el problema (2.3) queda formulado en forma abstracta como:
⎧ du( t )
⎪
+ Au( t ) = 0 ,
(PAC) ≡ ⎨ dt
⎪⎩
u(0) = u0
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t>0
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expresión conocida como problema abstracto de Cauchy (PAC).
Supongamos que para cada u0∈D(A), existe una única solución u(t)∈D(A) ∀t ≥ 0 tal que
u∈C([0,+∞[; H)∩C1(]0,+∞[; H), y que además depende continuamente del dato inicial.
Entonces podemos definir una aplicación
S:I→L (D(A))
t ⊂ S(t)
tal que u(t)=S(t)u0, con las siguientes propiedades
i)
ii)
iii)
S(t+s)=S(t)S(s), en efecto, u(t+s)=S(t+s)u0 = S(t)u(s)=S(t)S(s)u0
S(0)=I, (I=identidad) trivial pues por un lado u(0)=u0 y por otro, S(0)u0=u0, e.d.
u0=S(0)u0
S( t ) L (D(A))≤1, e.d. S es una contracción.
NOTA 1: La propiedad de contracción es propia de los operadores monótonos ♦
Empezaremos el estudio de problemas de evolución caracterizando las propiedades del
operador A para que genere un semigrupo, y veremos que relación existe entre este
semigrupo y el problema en estudio.
NOTAS:
2. Los primeros resultados sobre semigrupos lineales aparecen a fines de los años 40 con
los trabajos de Lumer y Philipps, y quedó cerrado a fines de los 50. La teoría de semigrupos
no lineales quedó cerrada en 1975♦
3. eAt tiene sentido sólo si A es acotado; ahora veremos “algo” que se comporta como eAt
(recuerde que -∆ no es acotado, es cerrado)♦
4. Supongamos que D(A) es invariante en el sentido que S(t)u0∈D(A) ∀u0∈D(A) y t > 0.
Entonces podemos determinar la solución a tiempo t+s de dos maneras posibles; o bien
calculando directamente S(t+s)u0, o bien tomando S(t)u0 como dato inicial para luego calcular
S(s)(S(t)u0). De la unicidad de la solución, para cada u0∈D(A) se deduce:
O abreviadamente
S(t+s)u0=S(s)(S(t)u0) , u0∈D(A) , t>0
S(t+s)=S(s)S(t) , t, s>0♦
4. En ciertos problemas los datos iniciales determinan tanto los fenómenos pasados como
futuros. En estos casos las restricciones t, s >0 no son necesarias, y el conjunto de
operadores {S(t)}, donde t puede variar de -∞ a +∞, constituye un grupo de operadores (ver:
R. Phillips: Les equations aux derivées partielles et la théorie des semi-groupes”)♦
2.2. OPERADORES MAXIMALES MONÓTONOS.
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Daremos la definición y propiedades más importantes de este tipo de operadores que juegan un
importante rol en la resolución de problemas de evolución.
Sea H un espacio de Hilbert real con norma ⏐•⏐, y la norma de cualquier subespacio la
denotaremos por • .
Definición. Un operador lineal A: D(A)⊂H→H es monótono si
(Av,v)H≥0 ∀v∈D(A).
Si A no es lineal, entonces es monótono si
(Av-Aw,v-w)H≥0 ∀v, w∈D(A).
A es maximal monótono si además A verifica la “condición de rango”:
R(I+A)=H
Es decir, ∀ f∈H ∃u∈D(A) : u+Au=f.
EJEMPLO: -∆ es maximal monótono. En efecto,
∂u
2
u = ∫ ∇u ≥ 0 .
∂Ω ∂υ
Ω
u∈D(A) : (Au, u )L2 ( Ω ) = − ∫ ∆u ⋅ u = ∫ ∇u∇u + ∫
Ω
Ω
PROPOSICIÓN 1. Sea A u operador lineal maximal monótono sobre H, entonces se
verifican las siguientes propiedades funcionales
i)
D(A) es denso en H
ii)
A es cerrado, es decir, si {un}⊂D(A) es tal que un→u en H y si Aun→f en H, entonces
u∈D(A) y Au=f. (note que este concepto es una generalización de los operadores
lineales continuos)
iii)
Para cada λ>0 I+λA:D(A)→H es una biyección y (I + λA )−1 L (H)≤1 (es decir, (I+λA)-1 es
lineal y acotado, y por lo tanto continuo).
NOTA 6: Respecto de la propiedad ii), A no tiene porque ser continuo (recuerde que -∆ es
maximal monótono fuertemente elíptico y no continuo, pero tiene una propiedad semejante:
ser cerrado)♦
La definición de operador maximal monótono se puede extender a operadores multívocos
A:H→P(H), llamados grafos maximales monótonos. En efecto, si ∀x∈H, Ax designa una
parte, eventualmente vacía, de H, entonces la monotonía de A se traduce en:
(y1-y2 , x1-x2)≥0 ∀x1,x2∈H, ∀y1∈Ax1, ∀y2∈Ax2
(ver texto de Brezis: Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les
espaces de Hilbert, North Holland (1973)).
Idea gráfica:
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Grafo maximal monótono (rango: todo R).
Grafo monótono NO maximal
Dem. (Proposición 1)
i) Como estamos en un espacio de Hilbert, para probar que D( A ) =H bastará probar que él es
ortogonal a cada elemento de H, o bien que si un elemento de H es ortogonal a cada uno de
los elementos de D(A), éste debe ser cero. Es decir, debemos probar que: “Si f∈H es tal que
0=(f,v) ∀v∈D(A) entonces f=0”.
Dado f, por ser A maximal monótono, asociado a él existe v0∈D(A) tal que
(2.4)
v0+Av0=f.
Multiplicando escalarmente esta ecuación por v0, resulta
2
2
(f,v0)= v 0 + (Av 0 , v 0 ) = 0 ⇒ v o = 0 ∴ v 0 = 0
∴ f=0+A0 ⇒ f=0
∴ D( A ) =H.
ii) Antes de probar que A es cerrado, probemos que v0 es único. Supongamos que existe otro
v*∈D(A) tal que
(2.5)
v*+ Av*=f.
Restando,
v*-v0+A(v*-v0)=0
y multiplicando escalarmente por v*-v0, resulta
0 = v * − v 0 + (A( v * − v 0 ), v * − v 0 ) ⇒ v * − v 0
2
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2
= 0 ∴ v* = v 0
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Puesto que para cada f existe una única u, podemos definir una aplicación inyectiva:
(I+A)-1:H→H
f ⊂ (I+A)-1f=u.
Por otro lado, sabemos que f=u+Au, y multiplicando escalarmente esta ecuación por u, resulta:
2
C − Sh
2
(f, u)= u + ( Au, u) ⇒ u ≤ ( f , u) ≤ f u
es decir,
u≤ f
luego
(I + A )−1 f
≤ f ⇒ (I + A )
−1
L (H)≤1.
Concluimos que (I+A)-1 es una contracción y además es biyectiva de H en D(A), es decir, hemos
probado iii) para λ=1.
Ahora probaremos que A es cerrado. Sea {un} →u en H y sea Aun →f en H. Podemos escribir
un=(I+A)-1(I+A)un
∴un=(I+A)-1(un+Aun)
Pero un→u, y como (I+A)-1 es continua, entonces por la unicidad de solución
u=(I+A)-1(u+f)
es decir, u+Au=u+f, luego Au=f y u∈D(A).
Supongamos que para un cierto λ0>0 R(I+λ0A)=H y probemos que R(I+λA)=H para λ >
iii)
λ0
2
.
Sea
(2.6)
u + λ 0 Au
λ0
λ
λ
= λ0
(
λ0
λ
u+λAu=f ./
λ0
λ
luego, sumando y restando u
(2.7)
u + λ 0 Au =
λ0
λ
f + 1−
f
)u
Una solución de (2.7) sería un punto fijo de la transformación
T :H →H
(
u a Tu ≡ (I + λ 0 A )−1
(
λ0
λ
(
f + 1−
λ0
λ
)u)
Para asegurar esto, debemos probar que T es contractiva, ya que es lineal por ser la transformada
inversa de una lineal
λ ⎞ ⎞
λ ⎞ ⎞
⎛
⎛
−1 ⎛ λ
−1 ⎛ λ
Tu − Tu * = (I + λ 0 A ) ⎜⎜ 0 f + ⎜1 − 0 ⎟u ⎟⎟ − (I + λ 0 A ) ⎜⎜ 0 f + ⎜1 − 0 ⎟u * ⎟⎟
λ ⎠ ⎠
λ ⎠ ⎠
⎝
⎝
⎝ λ
⎝ λ
y como T es lineal
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λ ⎞
−1 ⎛
= (I + λ 0 A ) ⎜1 − 0 ⎟(u − u * ) .
λ ⎠
⎝
La propiedad del rango sigue siendo válida para (I+λA)-1, es decir, (I+λA)-1 es inyectiva y
además (I + λA )−1 ≤ 1 , es decir,
(
Tu − Tu * ≤ (I + λ 0 A )
Por lo tanto, T es una contracción si 1 −
−1
λ0
λ
)
≤ 1 ≤ 1−
λ0
u−u*
λ
< 1, es decir, cuando ⏐λ-λ0⏐<λ, y así con un λ >1
tal que -λ+λ0 < 1, es decir, tal que λ0 < 2λ ⇒λ >
λ0
2
, y por el Teorema de Banach existe un
único punto fijo.
Finalmente, sabemos que R(I+A)=H ⇒I+A sobreyectiva. Por lo tanto λ0=1 ⇒ I+λA
sobreyectiva si λ >½; en particular podemos elegir λ=¾. Por lo tanto, I+¾λ es sobreyectiva, y
para ese mismo valor de λ0, I+λA es sobreyectiva para λ>⅜, etc.
Por recurrencia, I+λA es sobreyectiva para todo λ>0, procediendo como antes para λ=1,
ahora para todo λ>0 (I+λA)-1 es sobre e inyectiva y (I + λA )−1 L (H)≤1.
NOTA: A maximal monótono ⇒ λA maximal monótono ∀λ>0. Si A y B son maximales
monótonos ⇒ A+B es monótono, pero no maximal, en general (de un ejemplo en R)♦
Definición. Sea A un operador maximal monótono en H. Para cada λ>0 el operador
Jλ = (I + λA )
−1
se llama resolvente de A. El operador
Aλ =
1
λ
(I − Jλ )
se llama aproximación Yosida de A.
NOTA: Observe que Jλ es biyectiva y contractiva Jλ
L (H)≤1
. Aλ también se llama
aproximación regularizada de Yosida, y como veremos, resulta ser lipschitziana, y así
podremos usar el teorema de Picard para EDO♦
PROPOSICIÓN 2. Sea A operador maximal monótono en H. Entonces se tienen las
siguientes propiedades de la resolvente y de la aproximación Yosida de A:
i)
ii)
iii)
iv)
Aλv=A(Jλv) ∀λ>0, ∀v∈H
Aλv=Jλ(Av) ∀λ>0, ∀v∈D(A)
⏐Aλv⏐≤⏐Av⏐ ∀λ>0, ∀v∈D(A)
limJλ v = v ∀v∈H
v)
limA λ v = Av ∀v∈D(A)
λ →0
λ →0
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vi)
vii)
(Aλv,v)≥0 ∀v∈H
⏐Aλv⏐≤ λ1 ⏐v⏐ ∀ λ >0, ∀v∈H.
NOTAS:
1. La propiedad v) da sentido a la palabra “aproximación” y la propiedad vii) nos da la
lipschitzianidad de esta aproximación Yosida.
2. Dado un operador maximal monótono, asociado a él existe toda una familia de
operadores {Aλ:λ>0}, monótonos, lineales, lipschitzianos de constante λ1 y acotados en el
sentido que A λ
L(H)
es acotada. Además, por v) Aλv→Av, pero la cota del operador límite A
no existe, en general, es decir, un operador no acotado lo podemos aproximar por una
familia de operadores acotados♦
Dem. i) Para todo v∈H, podemos escribir v=(I+λA)(I+λA)-1v, y considerando (I+λA) como una
suma de operadores, tenemos:
v = (I + λA )−1 v + λA(I + λA ) −1 v
∴ v = Jλ v + λ A ( Jλ v )
∴ v − Jλ v = λ A ( Jλ v )
∴ λ1 (I − Jλ )v = A(Jλ v )
ii) Análogamente, ∀v∈D(A), v=(I+λA)-1(I+λA)v,
v=Jλv+λJλ(Av). Por lo tanto, v-Jλv=λJλ(Av).
de donde v=(I+λA)-1v+λ(I+λA)-1Av. Luego,
iii) De ii) tomando norma, listo.
iv) Empecemos por suponer que v∈D(A) solamente. Tenemos ⏐v-Jλv⏐=⏐λAλv⏐≤λ⏐Av⏐(por
iii)). Luego, ⏐v-Jλv⏐→0 para λ>0.
Caso general: Sea v∈H arbitrario (ya probamos que D( A ) =H), luego, dado ε>0 ∃v*∈D(A) tal
que ⏐v-v*⏐<ε. Luego,
⏐Jλv-v⏐≤⏐Jλv-Jλv*⏐+⏐Jλv*-v*⏐+⏐v*-v⏐
≤2ε+⏐Jλv*-v*⏐,
donde la expresión ⏐Jλv*-v*⏐, por i) es tan pequeña como se quiera, luego ∀ε>0
lim sup Jλ v − v ≤ 2ε ⇒ lim Jλ v − v = 0 .
λ →0
λ →0
v)
lim A λ v = limJλ Av , por ii)
λ →0
λ →0
= Av , por iv).
vi) y vii)
(Aλv,v)=(Aλv,v-Jλv)+(Aλv,Jλv)
=λ⏐Aλv⏐2+(A(Jλv),Jλv)
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≥λ⏐Aλv⏐2
∴ 0≤λ⏐Aλv⏐2≤(Aλv,v)≤⏐Aλv⏐⏐v⏐ ⇒ ⏐Aλv⏐≤
1
v.
λ
2.3. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE EVOLUCIÓN
Estamos interesados en resolver el Problema Abstracto de Cauchy (PAC)
⎧ du( t )
⎪
+ Au( t ) = 0 sobre [0,+∞[
(PAC) = ⎨ dt
⎪⎩
u(0) = u0
(2.8)
Empecemos con un resultado clásico
TEOREMA 2.1 (Cauchy-Lipschitz-Picard-Lindelorf) Sea E un espacio de Banach real.
Entonces ∀u0∈E, ∃!u∈C1([0,+∞[; E), solución del problema de evolución
⎧ du( t )
= F(u( t )) sobre [0,+∞[
⎪
⎨ dt
⎪⎩ u(0) = u0
donde F:E→ E es lipschitziana, es decir, Fv − Fw ≤ L v − w , con L ≥ 0.
(2.9)
Dem. (Idea) El problema (2.9) es equivalente a la siguiente ecuación integral
∫
t
u( t ) = u0 + F(u(s))ds
(2.10)
0
que es mucho más débil que el problema (2.9). Resolver (2.9) será por lo tanto, equivalente a
encontrar un punto fijo de una transformación Φ, que ya definiremos.
Para esta transformación, no es necesario que L< 1 para tener la contractividad, pues la
norma clásica de C1([0,∞[; E) se puede cambiar por otra: la norma de Bielecki.
Sea k una constante por determinar y sea X={u∈C([0,∞[; E): sup e −kt u( t ) < +∞ }.
t ≥0
Es fácil probar que:
i)
X es un espacio de Banach para la norma de Bielecki u X = sup e −kt u( t ) , donde
t≥0
u( t ) norma es la usual.
ii)
Si definimos la transformación Φ por:
∀u∈X, Φ(u)(t)=u0+ ∫0t F(u(s))ds , es fácil
comprobar que Φ:X→X, es decir, que Φu X < +∞ .
iii)
Φ es lipschitziana: Φu − Φv
X
≤
L
u−v
k
X
. En particular, para L<k, Φ es contractiva.
Luego existe u tal que u=Φ(u), es decir, el punto fijo de esta transformación es la solución del PAC.
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Para probar la unicidad, necesitamos el siguiente
LEMA 2.2 (de Gronwall): Sean ϕ,α y β funciones no negativas y c≥0 una constante tal que
ϕ( t ) ≤ c + ∫0 (α(s)ϕ(s) + β(s))ds
t
entonces
t
ϕ( t ) ≤ c +
− α( s ) t
e ∫0
∫0 β(s)ds .
Sean u, u* soluciones de (2.9), luego serán soluciones de la ecuación integral. Consideremos
ϕ(t)= u( t ) − u * ( t )
t
t
∴ ϕ( t ) = u0 + ∫0 F(u(s))ds − u0 − ∫0 F(u * (s))ds
= ∫0 (Fu( s) − Fu * (s))ds
t
t
≤ ∫0 Fu(s) − Fu * (s) ds
Pero F el lipschitziana de constante L, luego
t
t
ϕ( t ) ≤ ∫0 L u(s) − u * (s) ds = L ∫0 ϕ(s)ds
Por lo tanto,
t
ϕ( t ) ≤ L ∫0 ϕ(s)ds
y, por el lema de Gronwall, con c=0, α=L≥0 y β=0, resulta ϕ(t) ≤ 0+e-Lt0, es decir, ϕ(t) ≤ 0,
pero ϕ(t) ≥ 0 por definición, luego ϕ≡0 ∀t≥0.
El teorema 2.1 anterior es valioso para operadores lipschitzianos (que son pocos), pero no
sirve, por ejemplo, para el laplaciano. En general, este teorema rinde frutos para EDO y no
para EDP.
Ahora veremos un gran teorema conocido como el teorema de Hille-Yosida, donde un
operador maximal monótono se puede aproximar por operadores lipschitzianos, y así
podemos aplicar el Teorema de Cauchy et al a los problemas aproximados. Note que este
último teorema entrega soluciones constructivas. Con el teorema de Hille-Yosida podemos
resolver EDP de evolución
TEOREMA 2.3 (Hille-Yosida) Sea A un operador maximal monótono sobre un espacio de Hilbert H.
Entonces, ∀u0∈D(A) ∃! u∈C1([0,+∞[; H)∩C([0,+∞[; D(A)), solución de
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(2.11)
⎧ du( t )
⎪
+ Au( t ) = 0 sobre [0,+∞[
⎨ dt
⎪⎩
u(0) = u0
Además, se verifica
u( t ) ≤ u0
du( t )
= Au( t ) ≤ Au0 ∀t ≥ 0
dt
NOTAS:
1. u0∈D(A) es una limitación que salvaremos mas adelante poniendo u0∈H, pero en tal caso
obtendremos soluciones generalizadas. Sin embargo, si A es autoadjunto, entonces las
soluciones u(t) resultan clásicas para todo u0 ∈H, incluso si u0∉D(A). Note que el operador A
no depende de la variable t; tenemos así un problema autónomo.
2. El Teorema de Hille-Yosida tiene de bueno que da soluciones con sólo exigir que el
operador sea maximal monótono, es decir, mediante el estudio de problemas estacionarios
del tipo u+Au=f, podemos estudiar problemas de evolución♦
Dem. (varias etapas)
1ra etapa: UNICIDAD (basada en la monotonía).
Consideremos que u y u* son soluciones, en el sentido que ambas se encuentran en
C1([0,+∞[;H)∩C([0,+∞[;D(A)) y verifican (2.11). Restando las respectivas ecuaciones, y
recordando que A es lineal, tenemos:
d(u − u*)(t )
+ A(u − u*)(t ) = 0
dt
multiplicando escalarmente por (u-u*)(t), para cada t
⎛ d(u − u*)( t )
⎞
, (u − u*)( t ) ⎟ + (A(u − u*)( t ), (u − u*)( t )) = 0.
⎜
dt
⎝
⎠
Pero el segundo sumando es mayor o igual a cero, luego ha de tenerse que el primer
sumando es menor o igual a cero, es decir,
1 d
2
(u − u*)(t ) ≤ 0
2 dt
Pero esto implica que ⏐(u-u*)(t)⏐ es decreciente, es decir,
⏐(u-u*)(t)⏐≤⏐(u-u*)(0)⏐=0,
pero en t=0 las dos coinciden, luego, u(t)=u*(t) ∀t≥0.
NOTA: A menudo usaremos la implicación: ϕ∈C1([0,+∞[; H) ⇒ ⏐ϕ⏐2∈C1([0,+∞[;
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)♦
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Antes de pasar a la segunda etapa, mostremos el camino que intentamos seguir. Consideremos, para
cada λ > 0, uλ∈C1([0,+∞[;H), solución única de
(2.12)
⎧ du λ ( t )
⎪
+ A λ u λ ( t ) = 0 sobre [0,+∞[
⎨ dt
⎪⎩
u λ (0) = u0 , u0 ∈ D( A )
Observamos que la solución de (2.12) está asegurada por el Teorema 2.1 (Cauchy et al) para F= -Aλ
y recordando que Aλ es lipschitziana. Note que hemos pedido u0∈D(A).
Probaremos que, cuando λ→0, uλ→ a una solución de (2.8)
du λ
= A λ u λ ( t ) ≤ Au0 ∀t ≥ 0, ∀λ > 0 , es decir, sin necesidad que
dt
u(0)=u0. Para ello usaremos el siguiente
2da etapa: Debemos probar que
LEMA 2.4 . Sea w∈C1([0,+∞[;H) verificando la ecuación lineal
(2.13)
dw( t )
+ A λ w( t ) = 0 sobre [0,+∞[
dt
Entonces, las funciones
t a w( t )
ta
dw ( t )
dt
son decrecientes sobre [0,+∞[.
NOTAS:
1. Observe que no hay información sobre el dato inicial, y que uno de los w podría ser, por ejemplo,
uλ.
2. Si el lema es válido, tendríamos
du λ ( t ) du λ (0)
≤
= A λ u0 ≤ Au0
dt
dt
y además tendríamos
u λ ( t ) ≤ u0 ∀λ > 0, ∀t ≥ 0
pues uλ es uno de los w.
3. Para la continuidad de u en D(A) debemos considerar una topología, otra que la inducida por H; se
(
2
escoge la topología asociada a la norma del grafo: ⏐u⏐= u + Au
2
)
1
2
♦
Dem. (lema 2.4) Multiplicando escalarmente (2.13) por w, para cada t≥0, tenemos
⎛ dw( t )
⎞
, w( t ) ⎟ + (A λ w( t ), w( t )) = 0
⎜
dt
⎝
⎠
1 d
2
∴
w( t ) ≤ 0
2 dt
77
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Por monotonía, t ⊂⏐w(t)⏐2 es decreciente, es decir, t ⊂ ⏐w(t)⏐ es decreciente sobre [0,+∞[.
Por otro lado, Aλ es lineal y acotado, por lo tanto continuo, y como satisface (2.13), resulta
Aλw(t)∈C1([0,+∞[;H), y como la suma de (2.13) es igual a cero,
dw ( t )
= − A λ w( t )
dt
dw( t )
∴
∈ C1 ⇒ w ∈ C 2
dt
y así, Aλw(t)∈C2([0,+∞[;H), entonces w∈C3, y así sucesivamente. Por lo tanto, por ser Aλ lineal y
continuo, (2.13) permite afirmar que
(2.14)
w∈C∞ ([0,+∞[;H)
Por lo tanto,
(2.15)
d ⎛ dw ( t ) ⎞
dw ( t )
= 0 sobre [0,+∞[
⎜
⎟ + Aλ
dt ⎝ dt ⎠
dt
donde el primer término existe por (2.14) y para el segundo hacemos
d
(A λ w(t )) = A λ dw(t ) , y así
dt
dt
dw( t )
es solución de la ecuación (2.15).
dt
dw( t )
dw( t )
es una de las funciones w anteriores. Por lo tanto, la aplicación t a
es
Luego,
dt
dt
decreciente sobre [0,+∞[.
3ra etapa: Debemos probar que, para t≥0 {uλ(t)}→u(t) en H. Además {uλ}→u uniformemente sobre
intervalos acotados de la forma [0,T], ∀T>0.
Sean λ, µ >0 arbitrarios, y restando las respectivas ecuaciones (2.12) para uλ y uµ, tenemos
du λ ( t ) duµ ( t )
−
+ A λ u λ ( t ) − A µ uµ ( t ) = 0 ⋅ / u λ ( t ) − uµ ( t )
dt
dt
2
1 d
u λ ( t ) − uµ ( t ) + (A λ u λ ( t ) − A µuµ ( t ), u λ ( t ) − uµ ( t )) = 0
2 dt
sumando y restando resolventes adecuados, resulta
2
1 d
uλ − uµ + (A λ uλ − A µuµ , uλ − uµ − Jλ uλ + Jµuµ ) + (A λ uλ − A µuµ , Jλ uλ − Jµuµ ) = 0
2 dt
1
y como A λ = (I − Jλ ) y A λ v = AJλ v , ∀v ∈ H,
λ
2
1 d
uλ − uµ + (A λuλ − A µuµ , λA λuλ − µA µuµ ) + (A(Jλ uλ − Jµuµ ), Jλ uλ − Jµuµ ) = 0
2 dt
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Por la monotonía de A, el último producto interior es mayor o igual a cero, luego
1 d
uλ − uµ
2 dt
2
≤ (A λ uλ − A µuµ , λA λ uλ − µA µuµ )
y por Cauchy-Schwarz
1 d
u λ − uµ
2 dt
2
(
≤ A λ u λ + A µuµ
) + (µ A u
µ µ
+ λ A λuλ
)
≤ 2 Au0 (µ Au0 + λ Au0 )
2
d
2
uλ ( t ) − uµ ( t ) ≤ 4(λ + µ) Au0
dt
∴
Integrando
2
∴ u λ ( t ) − uµ ( t ) ≤ 4t(λ + µ) Au0
2
y extrayendo raíz cuadrada
uλ ( t ) − uν ( t ) ≤ 2 t(λ + µ) Au0
(2.16)
Para t fijo, haciendo λ, µ →0, resulta ⏐uλ(t)-uµ(t)⏐→0, es decir, para cada t≥0, {uλ(t)} es una
sucesión de Cauchy en H. Por lo tanto existe u(t) tal que
u( t ) = lim {u λ ( t )}
λ →0
De (2.16), haciendo µ→0, resulta
uλ ( t ) − u( t ) ≤ 2 tλ Au0
Por lo tanto, si t∈[0,T] entonces
uλ ( t ) − u( t ) ≤ 2 Tλ Au0
y si λ→0, la cota es uniforme en t.
Luego, uλ , uµ→u puntualmente y además, uλ(t)→u(t), cuando λ→0 uniformemente ∀t∈[0,T].
Es decir,
(2.17)
u∈C([0,+∞[;H).
Note que hemos probado que ⏐u(t)⏐≤⏐u0⏐, una de las tesis del Teorema de Hille-Yosida.
4ta etapa. Probaremos que para u0∈D(A2) (luego ∃A2u0∈H tal que u0∈D(A) y Au0∈D(A)):
⎧ duλ ( t ) ⎫
⎨
⎬ converge en H para cada t≥0, y
⎩ dt ⎭
⎧ du λ ⎫
⎨
⎬ converge en H uniformemente en cada [0,T], ∀T≥0.
⎩ dt ⎭
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En efecto, sea v λ ( t ) =
duλ ( t )
. Puesto que los Aλ son lineales y continuos, procedemos como
dt
en la etapa anterior para el problema:
(2.18)
⎧ dv λ ( t )
⎪ dt + A λ v λ ( t ) = 0 sobre [0,+∞[
⎨
du (0)
⎪
= − A λ u0
v λ (0 ) = λ
dt
⎩
obteniéndose
1 d
vλ − vµ
2 dt
2
(
≤ Aλvλ + Aµvµ
) + (µ A v
µ
µ
+ λ Aλvλ
)
Por monotonía, tenemos que
A λ v λ ( t ) ≤ A λ v λ (0 ) = A λ A λ u 0
Pero AλAλu0=JλAJλAu0, pues Aλv=JλAv, v∈D(A), y como Aλ=JλA sobre D(A), también siempre
Aλ=JλA. De este modo
AλAλu0=JλJλAAu0
Y como Jλ es continua
A λ v λ ( t ) ≤ A λ v λ ( 0 ) = A λ A λ u 0 < A 2u 0 .
Procediendo idénticamente para µ, obtenemos
A µ v µ ( t ) < A 2u 0
∴
2
2
1 d
v λ ( t ) − v µ ( t ) ≤ 2(λ + µ) A 2u0
2 dt
y procediendo como en la etapa anterior (multiplicando por 2, integrando y extrayendo raíz cuadrada),
obtenemos lo afirmado.
Vale la siguiente pregunta: la 4ta etapa es válida para u0∈D(A)?. Veremos que la respuesta
es s
Afirmativa.
5ta etapa. Empecemos con el siguiente
LEMA 2.5 Dado u0∈D(A), entonces ∀ε>0 ∃u0*∈D(A2) tal que
(2.19)
u 0 − u∗0 < ε y Au 0 − Au 0* < ε
(es decir, D(A2) es denso en D(A) para la norma del grafo en D(A))
Dem. Definamos un adecuado u∗0 y luego probemos que está en D(A2), recordando que
x∈D(A2)⇒x∈D(A) y Ax∈D(A). Sea
(2.20)
u∗0 =Jλu0 ∈D(A)
80
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Luego,
-1
u∗0 =(I+λA) u0⇒ u∗0 +λA u∗0 =u0 ⇒ Au∗0 =
u 0 − u∗0
λ
Pero u0∈D(A) y u∗0 ∈D(A) y como D(A) es un subespacio, entonces la diferencia está en D(A),
y así
(2.21)
De (2.20) y (2.21)
Au ∗0 =
u 0 − u∗0
∈ D( A )
λ
2
u∗0 ∈D(A )
De la propiedad (iv) de la Proposición 2,
lim Jλ u0 − u0 = 0
λ →0
y como Jλu0= u∗0 ,
lim u∗0 − u0 = 0
λ →0
Note que, por definición, u∗0 depende de λ.
Por otro lado, existe conmutatividad entre A y Jλ en D(A) (propiedades (i) , (ii) de la
Proposición 2) es decir, A u∗0 =AJλu0 =JλAu0, luego,
lim Jλ Au 0 − Au 0 = 0
λ →0
e.d. lim Au∗0 − Au 0 = 0
.
λ →0
Ahora demostraremos que la 4ta etapa vale para u∈D(A).
Dados u0∈D(A) y ε>0, sea u∗0 ∈D(A2) el asegurado por el lema 2.5 y consideremos (2.12)
para u0= u∗0 , es decir,
(2.22)
⎧ du∗λ
⎪
+ A λ u∗λ = 0
⎨ dt
⎪
u∗λ (0) = u∗0
⎩
Observe que (2.22) comienza en u∗0 !!!.
Procediendo análogamente para los problemas diferenciales (2.8) y (2.12), y por la
monotonía de los operadores, etc., etc. la aplicación
ta
du λ ( t ) du∗λ ( t )
−
dt
dt
es decreciente sobre [0,∞[. En particular, esto quiere decir que
du λ ( t ) du∗λ ( t ) du λ (0) du *λ (0)
−
≤
−
= A λ u0 − A λ u∗λ
dt
dt
dt
dt
y por las propiedades de la regularizada,
≤ Au 0 − Au ∗0
y por lema 2.5
81
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<ε.
Queremos una sucesión de Cauchy, entonces sumando y restando, tenemos
∗
du∗µ duµ
du λ duµ
du λ du∗λ
du∗λ duµ
−
≤
−
+
−
+
−
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
< 2ε +
∗
du∗λ duµ
−
dt
dt
donde el último sumando resulta de la solución de (2.21) cuando u0* ∈D(A2). Luego, para
cada T>0, por la convergencia uniforme de
du *λ
en [0,T],
dt
du λ ( t ) duµ ( t )
−
≤ 3ε
dt
dt
t∈[ 0, T ]
sup
para λ, µ suficientemente pequeños. Por lo tanto, tenemos una sucesión de Cauchy en la
convergencia uniforme en [0,T] para cada T≥0, y como estamos en un espacio de Hilbert, el
límite existe. Al tener convergencia uniforme, tenemos convergencia puntual.
6ta etapa. CONCLUSIÓN
Sabemos que, cuando λ→0, {uλ(t)}λ→u(t) y {uλ}λ→u uniformemente en cada [0,T], ∀T ≥ 0, y
⎧ du λ ( t ) ⎫
⎧ du λ ⎫
⎬ converge y ⎨
⎬ converge uniformemente en
⎩ dt ⎭ λ
⎩ dt ⎭λ
sabemos también que cuando λ→0 ⎨
cada [0,T], ∀T ≥ 0.
Luego, existe
du
du
⎧ du ⎫
y ⎨ λ⎬ →
uniformemente en [0,T] ∀T ≥ 0.
dt
dt
dt
⎩
⎭λ
∴ u∈C1([0,∞[;H)
y
du( t )
= Au( t ) .
dt
Debemos probar esta última igualdad, es decir, debemos probar que
du( t )
+ Au( t ) = 0 .
dt
Sea
Jλ u λ ( t ) − u( t ) ≤ Jλ u λ ( t ) − Jλ u( t ) + Jλ u( t ) − u( t )
pero J es contracción,
λ →0
≤ u λ ( t ) − u( t ) + Jλ u( t ) − u( t ) → 0 .
Por lo tanto, para cada t ≥ 0
82
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{Jλuλ ( t )}λ
λ →0
→ u( t )
y además
{AJλuλ ( t )}λ = {A λuλ ( t )}λ = ⎧⎨− duλ ( t ) ⎫⎬
⎩
dt
⎭λ
λ →0
→−
du( t )
dt
y como A es cerrado
u(t)∈D(A) ∀t≥0 y Au(t)= −
du( t )
∀t ≥ 0 .
dt
∴ u∈C([0,∞[;D(A)).
COMENTARIOS AL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA
1.- En general, si u0∈H, pero u0∉D(A), podemos resolver sin dificultades el problema
⎧ duλ ( t )
⎪
+ A λ uλ ( t ) = 0 sobre [0, ∞[
⎨ dt
⎪⎩
u λ (0 ) = u 0
y tampoco habría dificultad en obtener las desigualdades del teorema de Hille-Yosida, como
tampoco en probar que, para cada t ≥ 0, {u λ ( t ) } → u( t ) y que {uλ}→u uniformemente en [0,T],
λ →0
∀T≥0. Pero para las etapas 4 y 5 (y obviamente 6), necesitamos que u0∈D(A). Incluso, hay
casos en que si u0∉D(A) puede ocurrir que u(t)∉D(A) ni que u(t) sea diferenciable en
cualquier t>0. Sin embargo, es posible que existan soluciones débiles (como límite de
sucesiones) o del tipo soluciones integrales, que son independientes de los datos iniciales.
Es decir, para Av=w, de:
1 d
2
u( t ) − w ≤ (w − Au( t ), v − u( t ))
2 dt
resulta
t
u( t ) − w ≤ ∫ (w − Au( s), v − u(s))ds .
2
0
Por otro lado, si A es autoadjunto, es posible que el teorema de Hille-Yosida sea válido,
incluso para datos u0 arbitrarios en H. Es decir, u0∈D(A), pero en el instante inmediatamente
después u(t)∈D(A). En tal caso obtenemos u∈C(]0,∞[;D(A))∩C1(]0,∞[;H).
2.- Asociado al operador maximal monótono A en H, existe un semigrupo: en efecto, para
cada t ≥ 0, definimos
S A ( t ) : D( A ) → H
u0 a S A ( t )u0 = u( t )
siendo u(t) la única solución de:
⎧ du( t )
⎪
+ Au( t ) = 0 sobre [0,+∞[
⎨ dt
⎪⎩
u(0) = u0
83
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Notamos que: SA(t):D(A)→D(A), y como A es lineal, SA(t) es lineal y ⏐u(t)⏐=⏐SA(t)u0⏐≤⏐u0⏐,
es decir, SA(t) es una contracción (y en particular, continua) y S A ( t ) L (D(A))≤1.
Como D(A) es denso en H, podemos extender SA(t):H→H que será lineal y continua, y
además:
i) SA(t1+t2)=SA(t1)SA(t2) ∀t1, t2≥0.
En efecto, SA(t1+t2)u0=u(t1+t2)=SA(t1)u(t2)=SA(t1)SA(t2), esto sobre D(A), y por extensión, sobre
H.
ii) SA(0)=I, obvio
iii) S A ( t )
L (H)≤1
iv) lim S A ( t )u0 − u0 = 0 ∀u0 ∈ H
λ →0
Una familia de operadores {SA(t):t≥0} con estas propiedades se llama semigrupo (lineal) de
contracciones fuertemente continuo (o de clase C0).
Se puede probar que dado un semigrupo de contracciones fuertemente continuo S(t), existe
un único operador maximal monótono A tal que S(t)=SA(t), ∀t≥0. Luego, existe una
correspondencia biunívoca entre operadores maximales monótonos y semigrupo de
contracciones fuertemente continuo.
2.4 REGULARIDAD
Del Teorema del Hille-Yosida, sabemos que la solución del Problema (PAC) tiene la
regularidad: u∈C([0,∞[;D(A))∩C1([0,∞[;H).
¿Es posible obtener más regularidad de la solución exigiendo más regularidad sobre el dato
inicial?. La respuesta es afirmativa, como veremos a continuación, teniéndose así una
regularidad complementaria.
Para k ≥ 2 definimos
D(Ak)={v∈D(Ak-1): Av∈D(Ak-1)}⊂D(A)⊂H.
NOTA: Las restricciones en esta definición provienen de los siguientes hechos:
Como Akv=AAk-1v, entonces debe existir Ak-1v, y por otro lado, Akv=Ak-1Av y así debe existir
Av♦
Sobre D(Ak) existen dos topologías; una inducida por H y la otra, particularmente útil, es la
topología asociada a la norma del grafo. Por esta última razón, definimos
(u, v )D( A ) = ∑ (A ju, A j v )
k
(2.23)
k
j=0
k
y así D(A ) es un espacio de Hilbert (demuéstrelo).
84
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Recuerde que la completitud es una propiedad métrica y no topológica, como la continuidad
o la compacidad.
TEOREMA 2.6. Sea k ≥ 2 entero. u0∈D(Ak) ⇒ u∈Ck-j([0,∞[;D(Aj)), ∀j=0,1,...,k.
Dem. (por inducción sobre k). Supongamos k=2 y u0∈D(A2). Sea H1=:D(A) con la norma del
grafo. Sobre H1 definimos el operador A1:
⎧ D( A 1 ) = D( A 2 )
A1 = ⎨
2
⎩A 1u = Au, u ∈ D( A )
Resulta que A1 es maximal monótono en H1. En efecto,
•
def
monotonía: (A1u, u)H1 = (A1u, u)H + (A( A1u), Au)H = ( Au, u) + ( AAu, Au) ≥ 0 .
•
maximalidad: sea f∈H1=D(A)⊂H. Pero A es maximal en H, luego ∃! u∈D(A) : u+Au=f.
∴ Au=f-u∈D(A) ⇒u∈D(A2)=D(A1).
Luego, hemos probado que dado f∈H1 ∃!u∈D(A1): u+A1u=f, es decir, A1 es maximal en
H1.
∴ u0∈D(A2) ⇒ u0∈D(A1) ⇒ ∃ u*∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A))
tal que
du * ( t )
+ A 1u * ( t ) = 0 , [0, ∞[
dt
u * (0 ) = u 0
que es el mismo problema (PAC).
Por lo tanto, como u*(0)=u0=u(0) y A 1 D( A 2 ) = A D( A 2 ) , entonces por la unicidad de la solución,
u*(t)=u(t) ∀t≥0.
∴u∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A)).
Resta probar que u∈C2([0,∞[;H).
Sea
v(0)=
du(0)
= − Au0 ∈D(A).
dt
Por
el
Teorema
de
Hille-Yosida,
∃!
v∈C([0,∞[;D(A))∩C1([0,∞[;H) solución de
(2.24)
⎧ dv( t )
⎪
+ Av( t ) = 0
⎨ dt
⎪⎩
v(0) = − Au0
Además, sabemos que u∈C1([0,∞[;D(A)). Por lo tanto, ∀ t≥ 0,
(2.25)
du( t )
dt
∈ D( A ) , lo que implica que
∃ A dudt( t ) , ∀t ≥ 0 .
Por otra parte, los operadores maximales monótonos no son en general continuos, pero con
la norma del grafo, sí lo son, es decir,
A∈L (H1,H) y en general A ∉ L D( A ) τH ; H .
(
85
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)
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En
efecto:
(
2
Au H ≤ u + Au
2
)
1
2
=: u D( A ) ,
luego,
u∈C1([0,∞[;D(A)),
como
resulta
que
Au∈C1([0,∞[;H), lo que implica
∃
(2.26)
d
(Au(t )) , ∀t ≥ 0 .
dt
Por lo tanto, si existen (2.25) y (2.26) deben ser iguales. Así, en particular, podemos formar
la ecuación (derivando PAC y usando (2.25) y (2.26)):
d ⎛ du( t ) ⎞
⎛ du( t ) ⎞
⎜
⎟ + A⎜
⎟=0
dt ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
du(0)
=: v(0)
dt
.
Por la unicidad de la solución, debe tenerse
v( t ) =
Pero v∈C1([0,∞[;H) ⇒ u∈C2([0,∞[;H).
du( t )
dt
Ahora para k ≥ 3, supongamos que el teorema es verdadero para k-1 con u0∈D(Ak). De la
etapa anterior, ya tenemos que
u∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A))∩C2([0,∞[;H).
Sea v(0)=
du(0)
= -Au0∈D(Ak-1).
dt
Por el Teorema de Hille-Yosida y por recurrencia,
∃! v∈Ck-1-j([0,∞[;D(Aj)) , j=0,1,...,k-1
solución de
⎧ dv( t )
⎪ dt + Av( t ) = 0, [0, ∞[
⎨
du(0)
⎪
∈ D( A k −1 )
v (0 ) =
dt
⎩
(
)
de donde, por unicidad ha de tenerse
(2.27)
v(t)=
Por lo tanto,
du( t )
dt
u∈Ck-j([0,∞[;D(Aj))¸ j=0,...,k-1.
Sólo resta probar para j=k.
Para j=k-1, de (2.27), v∈C([0,∞[;D(Ak-1)), y como
du( t )
= − Au( t ) ello implica
dt
Au∈C([0,∞[;D(Ak-1)) ⇒ ∀t≥0 Au(t)∈D(Ak-1) ⇒ ∀t≥0 u(t)∈D(Ak).
∴ u∈C([0,∞[;D(Ak)).
2.5. CASO AUTOADJUNTO
86
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Veremos que si u0∈H entonces necesitamos una hipótesis adicional sobre el operador A: que
sea autoadjunto.
TEOREMA 2.7 Sea A maximal monótono y autoadjunto sobre H. Para cada u0∈H existe
una única función
u∈C([0,+∞[;H)∩C1(]0,+∞[;H)∩C(]0,+∞[;D(A))
tal que
⎧ du( t )
⎪
+ Au( t ) = 0, t > 0
⎨ dt
⎪⎩
u(0) = u0
(2.28)
Además
(2.29)
u( t ) ≤ u 0
(2.30)
(2.31)
(
du( t ) 1
≤ u0 , ∀t > 0
dt
t
u ∈ Ck ]0,+∞[; D( A l )), ∀k, l enteros positivos
)
NOTA: Del teorema de Hille-Yosida, partimos de u0∈D(A) y t ≥ 0 y en cualquier instante
posterior u∈D(A) y u∈C1, incluso para t=0. Si A es además autoadjunto y u0∈D(A) se tiene lo
anterior, y si u0∈H, existe solución de la ecuación diferencial sobre el interior (t>0), y se
tienen estimaciones sobre u y sobre du/dt y una cierta regularidad. La acotación (2.30) es
más débil pues puede “explotar” cuando t→0♦
Antes de probar este teorema, veremos la definición y algunas propiedades de los
operadores autoadjuntos (aunque ser autoadjunto es muy fuerte, el laplaciano lo verifica).
Empecemos por recordar que los operadores lineales sobre espacios de Hilbert, a veces se
llaman no acotados, y si se verifica la acotación, entonces se llaman acotados.
Sea A: H⊃D(A)→H, H un espacio de Hilbert y A un operador lineal. Asociados a este
operador existen los conjuntos:
Grafo de A = G(A)=
U (u, Au) ⊂ H × H
u∈D( A )
Si A es unívoco, entonces su grafo juega un importante rol pues por su intermedio se
estudian:
Imagen (o rango) de A = R(A) =
U Au ⊂ H
u∈D( A )
Núcleo de A = N(A) = ker(A) = {u∈D(A): Au=0} ⊂H.
(Si A fuese continuo sería mucho mejor, pero con que A sea cerrado podemos construir un
análisis sobre éstos operadores)
DEFINICIÓN : A es cerrado si G(A) es un subconjunto cerrado de H×H.
87
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Esta definición puede caracterizarse por:
⎧x ∈ D( A )
{ x n } ⊂ D( A ) : x n → x Ax n → y en H ⇒ ⎨
⎩ Ax = y
Por ejemplo, A maximal monótono ⇒ A cerrado y D(A) denso en H. Sin embargo, en general,
A cerrado ⌠ D(A) cerrado en H. Pero,
LEMA 2.8: A cerrado y acotado ⇒ D(A) es cerrado en H.
NOTA: A acotado ⇒ ∃ k0 tal que ⏐Ax⏐<k⏐x⏐, ∀x∈D(A).
Dem. (del lema) Sea {xn}⊂D(A) que sabemos converge a un x∈H. Debemos probar que
x∈D(A).
xn→x en H ⇒ {xn} es de Cauchy; por la acotación {Axn} es de Cauchy ⇒ ∃! y∈H tal que
{Axn}→y. Como A es cerrado, x∈D(A), y además Ax=y.
Ahora damos el concepto de autoadjunto usando el producto escalar, pero también es
posible definirlo en espacios de Banach.
Sea A un operador con dominio D(A) denso en H. Definamos el conjunto
D* ={y∈H: x→(y,Ax) es continua},
y como D(A) es denso, por el teorema de Riesz-Fréchet, a cada y∈D* se le asocia un único elemento
A*y dado por
(2.32)
(A*y,x)=(y,Ax)
Se dice que A*: D*→H así definido es el operador adjunto de A.
Propiedades de los operadores adjuntos:
LEMA 2.9 A* es cerrado
Dem. Sea {yn} ⊂D(A*)=D* tal que {yn}→x en H, {A*yn}→v en H. Para cada yn∈D* se cumple
(2.32), es decir,
(yn,Af)=(A*yn,f) ∀f∈D(A),
tomando límite cuando n→∞
(y,Af)=(v,f) ∀f∈D(A),
lo que implica:
es continua pues (y,Af)=(v,f) es continua.
f a (y,Af)
∴y∈D*.
Luego,
(A*y,f)=(y,Af)=(v,f) ⇒ A*y=v
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∴ A* es cerrado.
LEMA 2.10. Si D=H entonces A* es acotado.
Dem. Supongamos que A* no es acotado, entonces existe {xn}⊂D* tal que ⏐xn⏐=1, mientras
que ⏐Axn⏐→∞ (si A no es acotado, ∀k>0 ∃x’ tal que ⏐Ax’⏐>k⏐x’⏐, luego podemos elegir
⏐x’⏐=1 y ⏐Axn⏐⇒k).
C − Sc
∴ ( A * x n , x ) = ( x n , Ax ) ≤ Ax ,
luego {A*xn} es débilmente acotada, y por el principio de la acotación uniforme, {A*xn} es
acotada (→←).
LEMA 2.11. A* cerrado ⇒ D* denso en H.
Dem. (ejercicio).
Todo lo anterior conduce a:
PROPOSICIÓN 2.12 (Teorema del grafo cerrado).
A cerrado, D=H ⇔A∈L (H).
Dem. (⇐) trivial
(⇒) D=H ⇒A* acotado ⇒ D* cerrado. Por otro lado, A cerrado ⇒ D* denso en H.
∴D*=H ⇒A*∈L (H).
Por la definición (2.35), (A*)*=A, y repitiendo el proceso (A*)*∈L (H), es decir, A∈L (H).
Sea A un operador sobre H, lineal con dominio D(A) denso en H. Identificamos H’=H. Se dice
que A es autoadjunto si A*=A (lo que requiere que D*=D).
Por otra parte, recordemos que A es simétrico si (Au,v)=(u,Av) ∀u,v∈D(A).
NOTA: Si A∈L (H) entonces simétrico y autoadjunto coinciden. Sin embargo, si A no es
acotado, autoadjunto implica simétrico. La implicación en el otro sentido es falsa, aunque se
tiene el siguiente resultado: “A simétrico ssi D(A)⊂D(A*) y A=A* sobre D(A)”. Con todo, lo
más interesante para las aplicaciones es el siguiente resultado que prueba que cuando A es
maximal monótono, entonces A simétrico ⇔A autoadjunto
PROPOSICIÓN 2.13. A maximal monótono y simétrico ⇒ A autoadjunto.
Dem. Consideremos J1=(I+A)-1, que por Teorema 2.12, sabemos que J1∈L(H). Probemos
que J1 es autoadjunto, y para ello basta probar que es simétrico.
Sean u, v ∈H, u1=J1u, v1=J1v (dpq (J1u,v)=(u,J1v)).
Por definición de J1, se tiene:
u1+Au1=u
v1+Av1=v
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A simetrico
∴ (J1u,v)=(u1,v)=(u1,v1)+(u1,Av1) = (u1,v1)+(Au1v1)=(u1+Au1,v1)=(u,J1v)
∴ J1 es simétrico
∴ J1 es autoadjunto.
Ahora, sea u∈D(A*) y probemos que u∈D(A). Hagamos f=u+A*u; luego
(2.34)
∀v∈D(A) (f,v)=(u+A*u,v)=(u,v)+(u, Av)=(u,v+Av)
Así, hemos probado que
(f,J1w)=(u,w) ∀w∈H
(2.35)
En efecto, (2.34) vale para J1w∈D(A), por lo tanto, w=(I+A)-1(I+A)w=J1w+AJ1w.
De (2.35), por definición de J*
(J 1* f,w)=(f,J1w)=(u,w) ⇒ J 1* f=u, es decir, J1f=u ⇒u∈D(A)
∴ D(A*)⊂D(A)
y como A es simétrico, por lema previo D(A)⊂D(A*); luego D(A)=D(A*)⇒A=A* y así A es autoadjunto.
EJERCICIO: A maximal monótono y simétrico⇒Jλ, Aλ autoadjuntos.
Dem. ( del Teorema 2.7)
A) Unicidad (basada en la monotonía de A)
Supongamos que u y u* son dos soluciones de las aseguradas por el teorema. La monotonía
de A (análogamente al teorema de Hille-Yosida) hace que
ϕ(t)=⏐u(t)-u*(t)⏐2
sea creciente, definida en ]0,+∞[ y que sea continua en [0,+∞[ con ϕ(0)=0 (es decir, en t=0
ambas coinciden). Luego, ϕ(t)≡0 ∀t>0 ⇒u(t)=u*(t), ∀t>0.
B) Existencia (asegurada por el teorema de Hille-Yosida)
La haremos en dos etapas:
1ra etapa: Supongamos que u0∈D(A), entonces por el teorema de Hille-Yosida, sabemos que
existe una solución u(t)= lim u λ ( t ) de
λ →0
du ( t )
du( t )
= lim λ
λ →0
dt
dt
uniforme en cada intervalo [0,T].
Probaremos que
du( t ) 1
≤ u0 , ∀t > 0
dt
t
Por otro lado, también sabemos que uλ es la solución de
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⎧ du λ ( t )
⎪
+ A λuλ ( t ) = 0
.
∀t ≥ 0 , ⎨ dt
⎪⎩
u λ (0 ) = u 0
(2.36)
Para cada T>0 arbitrario, multipliquemos ambos miembros de la ecuación de (2.36) por
t
duλ ( t )
e integremos sobre [0,T]:
dt
2
T
T
du λ ( t )
du ( t ) ⎞
⎛
dt + ∫ t⎜ A λ u λ ( t ), λ ⎟dt = 0
∫t
dt
dt ⎠
0
0 ⎝
(2.37)
Pero
d
(A λuλ ( t ), uλ ( t )) = ⎛⎜ A λ duλ ( t ) , uλ ( t ) ⎞⎟ + ⎛⎜ A λuλ ( t ), duλ ( t ) ⎞⎟ ,
dt ⎠
dt
dt
⎝
⎠ ⎝
pues Aλ es lineal y acotado y no depende de t (A=A*), y como estamos en
,
du ( t ) ⎞
⎛
= 2⎜ A λ u λ ( t ), λ ⎟
dt ⎠
⎝
(2.38)
Pero,
(2.39)
T
⎛
0
⎝
duλ ( t ) ⎞
⎟dt =
dt ⎠
∫ t⎜ A λuλ ( t ),
1
2
T
∫t
0
ipp
=
d
(A λuλ ( t ), uλ ( t ))dt
dt
1
2
T(A λ u λ ( T ), u λ (T )) −
1
2
T
dt
dt
∫ (A λ u λ ( t ), u λ ( t )) dt
0
2
duλ ( t )
es decreciente sobre [0,T] (en
dt
Por otro lado, como u0∈D(A) y ya probamos que t a
realidad sobre [0,+∞[), entonces
du λ ( t )
dt
2
≥
du λ (T )
dt
2
Multiplicando por t e integrando sobre [0,T], resulta
(2.39)
T
2
∫t
0
2
2
du λ ( t )
du λ ( T ) T
du λ ( T ) T 2
dt ≥
tdt
=
∫
dt
dt
dt
2
0
Volviendo a la ecuación de (2.36), multiplicándola por uλ e integrando sobre [0,T], resulta
T
T
⎛ du λ ( t )
⎞
, u λ ( t ) ⎟dt + ∫ (A λu λ ( t ), uλ ( t ))dt = 0 ,
⎠
0 ⎝ dt
0
∫⎜
donde el primer sumando es igual a
1
2
T
d
2
uλ ( t ) dt =
0 dt
∫
1
2
2
uλ (T ) −
1
2
u λ (0 )
2
Por lo tanto,
1
2
u0
2
=
1
2
T
uλ (T ) + ∫ (A λ uλ ( t ), u λ ( t ))dt
2
0
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=
1
2
T
du ( t ) ⎞
⎛
u λ ( T ) + T(A λ u λ (T ), uλ (T )) − 2 ∫ t⎜ A λ uλ ( t ), λ ⎟dt
dt ⎠
0 ⎝
Notando que la última integral es igual a la integral de (2.37) y de (2.39),
2
T
du ( t )
du ( T )
2∫ t λ
dt ≥ T 2 λ
dt
dt
0
2
Por lo tanto,
1
2
u0
2
≥
1
2
uλ (T ) + T (A λu λ (T ), u λ (T )) + T 2
2
du λ (T )
dt
2
de donde,
uλ (T ) ≤ u0 ⇒
du λ (T ) 1
≤ u0 , ∀T > 0, ∀λ > 0
dt
T
pasando al límite y escribiendo t en lugar de T,
u( t ) ≤
1
u0 .
t
2da etapa: Consideremos ahora u0∈H, por ser A maximal monótono, u0 es un punto
adherente de D(A), es decir, existe una sucesión {u0n}⊂D(A) tal que u0n→u0 en H. Para cada
u0n∈D(A), por la primera etapa de la demostración del Teorema de Hille-Yosida, existe un
único un∈C([0,∞[;D(A))∩C1(]0,∞[;H) tal que
⎧ dun ( t )
⎪
+ Aun ( t ) = 0 , t ≥ 0
⎨ dt
⎪⎩
un (0 ) = u 0n
(2.40)
verificando además un ( t ) ≤ u0n , ∀t ≥ 0 y
dun ( t ) 1
≤ u0n , ∀t > 0 .
dt
t
Para cada m, n >0, razonando como antes para la ecuación de (2.43) con m en lugar de n y
restando, se tendrá:
(2.41)
u n ( t ) − u m ( t ) ≤ u 0 n − u 0 m , ∀t ≥ 0
dun ( t ) dum ( t ) 1
−
≤ u0n − u0m , ∀t > 0
dt
dt
t
(2.42)
Luego, DE (2.41) {un(t)}→u(t) uniformemente en cada intervalo acotado [0,T] y de (2.42),
dun
du
→
uniformemente en cada intervalo acotado [δ,T] con 0<δ<T.
dt
dt
Ahora, si todos los términos de una sucesión que CU verifican ciertas estimaciones, entonces
el límite también verifica las mismas estimaciones, es decir, en ambas convergencias se
verifica:
u( t ) ≤ u 0 ∀t ≥ 0 y
Razonando
como
el
Teorema
de
du 1
≤ u0 , ∀t > 0.
dt
t
Hille-Yosida,
du( t )
+ Au( t ) = 0 , ∀t > 0 , por ser A cerrado. En efecto,
dt
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se
tiene
que
u(t)∈D(A)
y
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D( A ) ⊃ {un ( t )} → u( t ), t > 0 ⎫ A cerrado ⎧ u( t ) ∈ D( A )
⎪
⎪
du( t ) ⎬ ⇒ ⎨
du( t )
⎧ du ( t ) ⎫
{ Aun ( t )} = −⎨ n ⎬ → −
Au( t ) = −
⎪
⎪
dt
dt
dt
⎩
⎭
⎩
⎭
C) Regularidad: bastará probar que para cada k, u∈Ck-j(]0,∞[;D(Aj)), j=0,1,2,...,k.
Por inducción sobre k≥1: Para cada k=1 se cumple trivialmente. Supuesto que vale para k-1,
en particular se tendrá que u∈C(]0,∞[;D(Ak-1)).
Consideremos el espacio de Hilbert H^=D(Ak-1) con el producto escalar del grafo de Ak-1, es
decir,
(
k −1
)
(u, v )D( A k −1 ) = ∑ A ju, A j v H
j=0
(que hace A acotado...), y consideremos el operador:
A^: D(A^) ⊂ H^→H^
Definido por:
⎧D( A ^ ) = D( A k ) (⊂ D( A k −1 ) ⊂ H^ )
⎨
A^ = A
⎩
Resulta que A^ es maximal monótono: En efecto, la monotonía es trivial. Para probar que es
maximal (es decir, si f∈H^, ∃u∈D(A^) : u+A^u=f), consideremos f∈H^=D(Ak-1). Como A es
maximal monótono,
∃u∈D(A): u+Au=f, es decir, Au=f-u∈D(A),
k-1
pues u∈D(A), f∈D(A )⊂D(Aj)⊂...⊂D(A), j =1,2,...,k-1.
Pero Au=f-u∈D(A) ⇒u∈D(A2).
Repitiendo los mismos argumentos, ahora para Au=f-u∈D(A2) , pues u∈D(A2)...etc. ⇒
u∈D(A3), y así hasta que u∈D(Ak-1), y en este caso, Au=f-u∈D(Ak-1)⇒u∈D(Ak).
Por lo tanto, dado f∈H^, ∃u∈D(Ak)=D(A^) : u+A^u=f, es decir, A^ es maximal.
Además A^ es simétrico (ejercicio).
∴A^ maximal monótono y simétrico sobre H^⇒A^ maximal monótono y autoadjunto sobre
H^.
Por la etapa anterior,
∀v0∈H^ ∃! v∈C([0,∞[;H^)∩C1(]0,∞[;H^)∩C(]0,∞[;D(A^)) verificando
dv( t )
+ Av( t ) = 0 , ∀t ≥ 0
dt
v( 0 ) = v 0
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
En particular, dado ε>0 arbitrario, sea v0=u(ε), lo que implica, por la hipótesis de inducción
que, v0∈H^ (=D(Ak-1)), y como v=u a partir de ε, u∈C([ε,∞[[:D(A^)=D(Ak)), es decir, u∈D(A^), y
por el resultado de regularidad ya visto, u∈Ck-j([ε,∞[;D(Aj)), j=0,1,2,...,k, y como ε es arbitrario,
resulta
u∈Ck-j(]0,∞[;D(Aj)) , j=0,1,2,...,k.
93
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NOTA: Hay alguna información para ecuaciones “con segundo miembro”, es decir,
ecuaciones no homogéneas: En efecto, consideremos el siguiente problema:
⎧ du( t )
Au( t ) = f ( t ) sobre [0, T]
dt
⎪⎩
u(0) = u0
(Pf ) = ⎪⎨
y el teorema de existencia, unicidad y regularidad:
TEOREMA 2.14 Sea A maximal monótono sobre H. Para cada f∈C1([0,T];H) y cada
u0∈D(A), existe un único u∈C1([0,T];H)∩C([0,T];D(A)) solución de (Pf), expresada por
t
u( t ) = S A ( t )u0 + ∫ S A ( t − s)f (s)ds
0
donde SA es el semigrupo generado por A.
Dem. Ver texto de R.E. Showalter. Hilbert Space Methods for PDE. Pitman, 1977.
EJERCICIOS
1. En este ejercicio se propone establecer un resultado de regularidad para problemas
parabólicos.
Sean dos espacios de Hilbert reales V y H con V⊂H, V denso en H, la inyección de V en H es
compacta y considere una forma bilineal continua a(.,.) sobre V simétrica y V-elíptica. El
producto escalar en H se designa por (.,.).
i)
Dado T>0 y f∈L2(0,T;V)∩C0(0,T;H), muestre que el problema:
Hallar u∈ L2(0,T;V)∩C0(0,T;H) tal que
∀v∈V,
d
(u(t ), v ) + a(u( t ), v ) = (f (t ), v ) sobre ]0,T[ (e.s.d.)
dt
u(0)=u0∈H
tiene una única solución u que verifica u∈C1(ε,T;H) ∀0<ε<T.
ii)
Qué condición suplementaria debe cumplirse para que u∈C1(0,T;H)?
Indicaciones: (Texto de Raviart & Thomas: Introduction á l`Analyse Numérique des ...).
i)
La existencia de solución resulta del teorema 7.2-1. Además, el Lema 7.2-1 da la expresión
explícita
t
⎧
⎫
u( t ) = ∑ ⎨(u0 , w i )e − λ i t + ∫ ( f (s), w i )e − λ i ( t − s)ds⎬w i
i ≥1 ⎩
0
⎭
1
Para verificar que u∈C (ε,T;H) basta probar que la serie de las derivadas converge uniformemente
(CU) sobre [ε,T], su término general es una función continua. Se verifica rápidamente que la serie de
las derivadas es la suma de tres series:
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∑ − λ i (u0 , w i )e
−λ i t
wi ;
⎡
⎤
t
− λ ( t − s)
ds⎥w i
∑ (f ( t ), w i )w i = f ( t ) , y ∑ ⎢− λ i ∫ (f (s), w i )e i
0
⎦
Los términos generales de estas tres series son funciones continuas de t.
Para probar que el primero CU sobre [ε,T], observe que para todo n≥1
i ≥1
i ≥1 ⎣
i ≥1
∑ − λ i (u0 , w i )e
−λit
i≥n
2
= ∑ λ2i (u0 , w i )2 e − 2λ i t
wi
i≥n
Como la forma bilineal es coercitiva, λi>0 ∀i≥1. Luego, calculando el máximo de la función λe-ελ con
respecto a λ, en el intervalo [0,+∞], el miembro de la derecha está mayorado por
2 −2 λ ε
−2
2
∑ λ i (u0 , w i ) e i ≤ 1ε e
ε
i ≥1
∑ (u0 , w i )
2
i ≥1
La CU del segundo miembro se establece razonado por el absurdo: en caso contrario, existe δ>0 tal
que para todo n≥1, existe tn∈[ε,T] con
∑ (f ( t n ), w i )w i ≥ δ
i ≥1
{ }
Dado que el intervalo [ε,T] es compacto, podemos extraer una subsucesión convergente t nk , siendo
su límite t. La desigualdad triangular da
∑ (f ( t ), w i )w i ≥ ∑ (f ( t nk ), w i )w i ) - ∑ (f ( t n k ) − f ( t ), w i )w i ≥ δ − f ( t nk ) − f ( t )
i ≥1
i ≥1
i ≥1
Luego, dado que f∈C0(0,T;H), entonces para un k suficientemente grande
∑ (f ( t ), w i )w i ≥
i ≥1
δ
2
lo que es imposible (por qué?).
Resta probar la convergencia del tercer término de la serie. Esta resulta de una mayoración
adecuada del término
t
⎡
⎤
− λ ( t − s)
ds⎥w i
∑ ⎢− λ i ∫ (f (s), w i )e i
i≥n ⎣
0
⎦
2
=
t
2⎡
∑ λi ⎢ ∫
i ≥1
⎣0
(f (s), w i )e
− λ i ( t − s)
⎤
ds⎥
⎦
2
para un n suficientemente grande.
Primeramente, gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se obtiene una mayoración
para
t
1 − e −2λ i t t
2
2
λ i ∫ (f (s), w i ) ds ≤ 21 ∑ λ i ∫ (f (s), w i ) ds .
2
i ≥1
i ≥1 0
0
Recordando ahora que para todo i≥1 (confrontar teorema 6.2-1 del texto citado)
λ i ( f ( s), w i ) = a( f ( s), w i ),
∑
y que la familia ( λ−i 2 w i ) es una base hilbertiana ortonormal del espacio V para el producto
escalar a(.,.). Como f∈L2(0,T;V) por hipótesis,
1
f
2
L2 ( 0,T; V )
T
wi
i ≥1 0
λi
= ∑ ∫ a( f (s),
T
)2 ds = ∑ λ i ∫ (f (s), w i ) ds .
i ≥1
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0
2
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T
Luego, para n suficientemente grande, el término
∑ ∫ (f (s), w ) ds puede
λi
i≥1
t
2
i
ser arbitrariamente
0
pequeño y a fortiori el término ∑ λ i ∫ (f (s), w i ) ds para t∈[ε,T].
i ≥1
ii)
2
0
La CU de las dos últimas series sigue válida (con la misma demostración) si se
reemplaza [ε,T] por [0,T]. Por el contrario, la serie de término general -λi(u0,wi) e − λit w i
no CU sobre [0,T] salvo que ∑ λ2i (u0 , w i )2 < +∞ , cosa que no está asegurada por la
i ≥1
hipótesis u0∈H (que sí asegura ∑ (u0 , w i )2 < +∞ ). Resta probar que esta última
i ≥1
condición en realidad es una hipótesis de regularidad complementaria sobre el
dato u0.
2. i) Sean V y H dos espacios de Hilbert reales con V⊂H, siendo la inyección densa y
compacta. Sea a(.,.) una forma bilineal continua simétrica y V-elíptica. Para
f∈L2(0,T;H) muestre que el problema: Hallar u∈L2(0,T;V)∩C0(0,T;H) tal que
∀v ∈ V,
d
(u(t ), v )H + a(u(t ), v )H = (f (t ), v )H sobre ]0,T[ (e.s.d.)
dt
u(0)=u(T) (condición de periodicidad)
tiene una única solución.
ii)
Si la forma bilineal sólo verifica la condición de coercitividad; existen dos
constantes α>0 y λ∈IR tales que
a(v,v)+λ v H 2 ≥ α v V 2 ∀v ∈ V
Qué eventual modificación sobre las hipótesis deben hacerse para que existe solución del problema
parabólico con condición de periodicidad?. Aún es verdadera la unicidad de solución?.
Indicaciones:
i) Proceder exactamente como en el Teorema 7.2-1. En este caso, por la V-elipticidad, se
tiene λi>0 para todo i≥1, y poniendo αi(t)=(u(t),wi), puede probarse que las funciones αi deben
verificar las ecuaciones:
d
α i ( t ) + λ i α i ( t ) = ( f ( t ), w i )
dt
α i (0 ) = α i ( T )
Aplicando el método “variación de constantes” se encuentra fácilmente que
t
α i ( t ) = α i0 e − λ i t + ∫ (f (s), w i )e − λ i ( t − s)ds
0
donde
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α i0 =
T
1
1− e
− λiT
∫ (f (s), w i )e
− λi ( T − s )
ds .
0
La última etapa consiste en verificar que la serie Σαi(t)wi converge en el espacio
L2(0,T;V)∩C0(0,T;H). Para ello , use el Teorema 7.2-1. Ponga u 0 = ∑ α i0 w i . Entonces, u0 está
bien definido en H puesto que
∑
i≥1
α i20
< +∞ . Para esto último, por Cauchy-Schwarz
α i20 ≤
1 1 + e −λ i T T
2
∫ ( f (s), w i ) ds ,
2λ 1 − e − λ i T 0
T
2
la serie ∑ ∫ ( f (s), w i )2 ds converge a la suma f L2 ( 0,T;H) .
i ≥1 0
Luego, la solución u está caracterizada por
∀v ∈ V
d
(u( t ), v )H + a(u( t ), v ) = ( f ( t ), v ) sobre ]0,T[ (e.s.d.)
dt
u(0)=u0
que es única en el espacio L (0,T;V)∩C (0,T;H), gracias al teorema 7.2-1 (note que es la
buena elección de u0 que asegura la relación u(0)=u(T)=u0).
2
0
ii) Si ninguno de los valores propios λi es nulo, no hay modificaciones en las conclusiones.
Por el contrario, si λ i0 = λ i0 +1 = ...... = λ i0 +p = 0 con λ i0 +p+1 ≠ 0 (los espacios propios son de
dimensión finita y un tal entero p siempre existe), la condición αi(0)=αi(T) para i0≤i≤io+p sólo
vale si se verifica
T
∫ ( f (s), w i )ds = 0, i0 ≤ i ≤ i0 + p
0
y en este caso, las constantes son arbitrarias. Dicho de otro modo, la existencia de una solución a
este problema está subordinada a la condición
T
⊥
∫ f (s)ds ∈ N ,
⊥
0
siendo N es el ortogonal en H del espacio propio N asociado al valor propio λ=0, y hay una
infinidad de soluciones.
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