2° Medio - 4 -Ecuaciones Radicales (o irracionales)

Escuela Particular Nº 164
Carmen Arriarán
Profesor: Alejandro Susarte T.
Asignatura: MATEMÁTICA
Prof. Alejandro Susarte Torres
GUÍA
DE
MATEMÁTICA
Nombre:
Curso:
2° Medio
Fecha:
ECUACIONES RADICALES (O IRRACIONALES)
Se llama ecuación radical a aquella ecuación cuya incógnita se encuentra en una o más cantidades
subradicales.
Ejemplos:
3
1.- √𝑥 + 5 = 22
2.- √2𝑥 − 1 = √6 − 3𝑥
3.- 5 − √𝑥 + 3 = √𝑥 + 7
Para resolver ecuaciones radicales, se despeja la incógnita elevando ambos miembros de la ecuación a
una potencia adecuada tantas veces como sea necesario, considerando las restricciones definidas para
las raíces. En los ejemplos, se muestran distintos tipos de ecuaciones radicales y la forma de resolverlas.
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones.
1.- √𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝟓
El índice de la raíz que contiene la incógnita es 2, por lo que se elevan al cuadrado ambos miembros de
la ecuación.
(√𝑥 + 1)
/ ( )2
= 25
√𝑥 + 1
2
Se eleva al cuadrado, para
eliminar la raíz de índice 2
)2
= (25
𝑥 + 1
= 625
𝑥
= 624
Se comprueba la solución reemplazando x en la ecuación  √624 + 1 = √625 = 25.
Luego, x = 624 es solución de la ecuación.
2.- √𝒙 + 𝟑 − √𝒙 − 𝟑 = 𝟐
Cuando la incógnita se encuentra en dos raíces, conviene dejar una en cada lado de la ecuación.
√𝑥 + 3 − √𝑥 − 3 = 2 
/ ( )2
√𝑥 + 3 = √𝑥 − 3 + 2
(√𝑥 + 3)
2
=
(2 + √𝑥 − 3 )
2
𝑥 + 3 =
22 + 2 ∙ 2 ∙ √𝑥 − 3 + (√𝑥 − 3)
𝑥 + 3 =
4 + 4√𝑥 − 3 + 𝑥 − 3
𝑥+3−4−𝑥+3 =
4√𝑥 − 3
2 =
4√𝑥 − 3
(2)2
=
/ ( )2
(4√𝑥 − 3)
Se eleva al cuadrado, para
eliminar las raíces de índice 2
2
4
=
16(𝑥 − 3)
4
=
16𝑥 − 48
52
16
=
𝑥
𝑥
=
13
4
2
Asignatura: MATEMÁTICA
Prof. Alejandro Susarte Torres
Se comprueba esta solución en la ecuación.
√
13
13
13 + 12
13 − 12
25
1
5
1
4
+3−√ −3 = √
− √
= √ − √ =
−
=
= 2
4
4
4
4
4
4
2
2
2
Luego, 𝑥 =
13
4
es solución de la ecuación.
𝟑
3.- √𝟐√𝒙 + 𝟗 = −𝟑
El índice de la raíz que contiene la incógnita es 3, por lo que se eleva al cubo ambos miembros
de la ecuación.
𝟑
= −3
√𝟐√𝒙 + 𝟗
𝟑
/ ( )3
𝟑
= (−3)3
( √𝟐√𝒙 + 𝟗 )
= −27
𝟐√𝒙 + 𝟗
−27
2
Se tiene una raíz cuadrada igual a número negativo, que por definición de una raíz de índice par
no está definido en ℝ. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución en los Números Reales
=
√𝒙 + 𝟗
4.- √𝒙 + 𝟓 + √𝒙 + 𝟏 − 𝟐√𝒙 + 𝟐 = 𝟎
La ecuación contiene tres raíces; conviene en este caso dejar dos en un miembro y una en el
otro.
√𝒙 + 𝟓 + √𝒙 + 𝟏 − 𝟐√𝒙 + 𝟐 = 𝟎  √𝒙 + 𝟓 + √𝒙 + 𝟏 = 𝟐√𝒙 + 𝟐
(√𝒙 + 𝟓 + √𝒙 + 𝟏)
𝟐
(√𝒙 + 𝟓) + 𝟐 ∙ √𝒙 + 𝟓 ∙ √𝒙 + 𝟏 + (√𝒙 + 𝟏)
𝟐
𝟐
= (𝟐√𝒙 + 𝟐)
𝟐
Se reducen términos semejantes.
𝟐√(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 4𝑥 + 8
𝟐√(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏)
= 2𝑥 + 2
√(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏)
= 𝑥+1
𝟐
Se eleva al cuadrado, para eliminar
las raíces de índice 2.
= 4 ∙ (𝑥 + 2)
𝒙 + 𝟓 + 𝟐√(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) + 𝒙 + 𝟏 = 4𝑥 + 8
(√(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) )
/ ( )𝟐
Se aplican propiedades de las
Raíces.
/ ( )𝟐
Se eleva al cuadrado nuevamente,
para eliminar las raíces de índice 2
= (𝑥 + 1)2
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝟔𝒙 − 𝟐𝒙 = 1 − 5
𝟒𝒙 = −4
𝒙 = −1
Se reducen términos semejantes
Asignatura: MATEMÁTICA
Prof. Alejandro Susarte Torres
Se comprueba esta solución en la ecuación.
√−1 + 5 + √−1 + 1 − 2√−1 + 2 = √4 + √0 − 2 ∙ √1 = 2 + 0 − 2 = 0
Luego, 𝒙 = −𝟏 es solución de la ecuación.
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones radicales, y comprueba en cada caso tu resultado.
6
√𝑥 = 10
k)
b)
√𝑥 + 2 = 10
l)
c)
√𝑥 − 2 = 5
m)
√2𝑥 2 + 𝑥 + 2 = √2𝑥 2 + 3
d)
√2𝑥 + 5 = 7
n)
√4𝑥 − 1 = 7√2𝑥 − 29
e)
√2𝑥 − 1 − 7 = 0
o)
√𝑥 + √𝑥 + 7 = 7
f)
10 − √3𝑥 + 1 = 0
p)
√4𝑥 − √𝑥 = 1
g)
2√3𝑥 − 2 = 16
q)
√𝑥 + 4 − √𝑥 − 5 = 3
h)
√𝑥 2 + 8𝑥 = 3 − 𝑥
r)
√𝑥 − 7 − √1 − 2𝑥 = 0
i)
−2 + √𝑥 2 + 7𝑥 + 8 = 𝑥
s)
√𝑥 − 3 + √𝑥 + 4 − √2𝑥 − 9 = 0
j)
3 √𝑥 + 2 = 18
t)
√𝑥 − √𝑥 + 1 + 2√𝑥 = 0
a)
3
√2𝑥 + 5 = √𝑥 + 4
4
√𝑥 2 + 2 = √𝑥 + 4
Soluciones:
a) 𝑥 = 1.000.000
f)
𝑥 = 33
k)
𝑥 = −1
b) 𝑥 = 98
g) 𝑥 = 22
l)
𝑥 = 27
h) 𝑥 = 14
c)
9
4
p)
𝑥=1
𝑥 = −4
q)
𝑥=5
m)
𝑥=1
r)
𝑥=3
s)
No hay Solución
t)
𝑥=8
7
710
d) 𝑥 = 22
i)
𝑥 = −3
n)
𝑥=
e) 𝑥 = 25
j)
𝑥 = 214
o)
𝑥=9
47
“El éxito es la suma de pequeños esfuerzos, repetidos día tras día”
8
1