Fuente: http://www.cornelbierens.nl/columns/page-77

Fuente: http://www.cornelbierens.nl/columns/page-77
Más de mil años
antes de Pitágoras,
un método
para encontrar
ternas pitagóricas
Hernando Echeverri
Más de mil años antes de Pitágoras,
un método para encontrar ternas pitagóricas
La tablilla denominada Plimpton 322, datada entre 1900 y
1600 a. C., muestra que el autor debió conocer quince ternas pitagóricas, esencialmente distintas, más de mil años
antes de Pitágoras. La tablilla probablemente procede de la
ciudad sumeria de Larsa, en Mesopotamia, poco antes de
que fuera conquistada por Hammurabi de Babilonia.
Zigurat de Ur, construido en el siglo XXI a. C. Templo a la diosa de la luna dentro del complejo administrativo de la ciudad de Ur
Fuente: http://voiceoftheisticsatanism.com/2013/09/20/theistic-satanism-satanic-utopia-by-reverend-tom-erik-raspotnik/
32 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
Hernando Echeverri
Ph. D. Profesor asociado del
Departamento de Matemáticas
de la Universidad de los Andes
[email protected]
Una terna pitagórica —llamada así por su conexión con el teoremas de Pitágoras— consta de tres números enteros positivos,
a, b, c, tales que a 2 + b 2 = c 2. La más conocida es 3, 4, 5, en
la cual 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25), y de esta se desprenden
otras multiplicando los tres números por un mismo entero, como
6, 8, 10 y 9, 12, 15, pero es difícil encontrar otras que no sean
múltiplos de esta sin conocer un método. En el caso de esta
tablilla, entre las quince ternas conocidas por el escriba, ninguna es múltiplo de otra; algunas de las exhibidas son 319, 360,
481; 4961, 6480, 8161 y 12.709, 13.500, 18.541. ¿Cómo se
encontraron? En este artículo se trata de poner este descubrimiento en su contexto histórico.
Antecedentes
Los sumerios, que procedían de una familia lingüística diferente
a los demás pobladores de Mesopotamia, fueron los que desarrollaron, hacia el 3500 a. C., las primeras ciudades de nuestro
planeta; entre ellas Uruk, Lagash, Ur, Kish y Larsa, en la parte
más meridional del valle situado entre los ríos Tigris y Éufrates. Esta región pantanosa de llanura aluvial entre los dos ríos
proporcionaba suficiente agua a las ciudades y las mantenía
aisladas hasta cierto punto, por lo que se desarrollaron como
ciudades-Estado independientes que competirían constantemente por dominar el territorio. En ellas surgieron los primeros
sistemas de numeración y las primeras palabras escritas de la
historia [1, 2, 3].
Los orígenes de los números y de la escritura en este valle del
Medio Oriente datan del octavo o noveno milenio a. C., cuando los
agricultores utilizaban cuentas o fichas de barro cocido para registrar cantidades diferentes de sus distintos productos. La forma
de la cuenta dependía del producto y de su cantidad. Por ejemplo,
una cuenta más grande o elaborada podía ser equivalente a un
número dado de cuentas más pequeñas o sencillas [1, 3].
Cuando se trataba de algún tipo de contrato, estas cuentas se
encerraban en bolas de barro secadas al sol —bullae—, que
se rompían en presencia de las dos partes en el momento de
ejecutarse el contrato (figura 2). Podía tratarse del pagaré de
una deuda o del documento de recibo de mercancía en los
graneros de la ciudad. La garantía del contrato se avalaba con
el sello de cada una de las partes en el exterior de la bola [1].
Como el número de cuentas dentro de la bola no se podía ver
a través de la envoltura sin romperla, pronto surgió la costumbre de hacer improntas —cretulae— en la parte externa de la
envoltura con las mismas cuentas que se guardarían dentro. Finalmente se empezó a prescindir de las cuentas, puesto que el
envoltorio expresaba el contenido con mayor facilidad, y desde
entonces este se comenzó a hacer plano, como una tablilla de
arcilla secada al sol con las marcas que sustituían las fichas. No
obstante, las fichas se siguieron utilizando como sistema de contabilidad en el Medio Oriente hasta el segundo milenio a. C. [1].
Figura 1. Mapa de Mesopotamia
Fuente: http://www.armenian-history.com/maps-collection/ancient-world-maps.html
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 33
se esparcieron a otros pueblos hasta lo que hoy es Siria. En la
parte del sur de Mesopotamia convivieron los idiomas sumerio y
acadio muy amalgamados hasta el final del tercer milenio a. C.,
cuando el acadio reemplazó al sumerio en el lenguaje hablado,
aun cuando este siguió usándose en el culto, la literatura y las
ciencias, principalmente en forma escrita.
Durante este tiempo la escritura evolucionó a la forma que hoy
conocemos con el nombre de cuneiforme. La necesidad de
adaptarla al acadio, un idioma muy diferente al sumerio, obligó a que se volviera más fonética. Ya para el 2300 a. C. era
lo suficientemente funcional como para ser utilizada en los dos
idiomas. La escritura cuneiforme se tornó enormemente complicada, con más de 600 caracteres que podían corresponder
a varios sonidos, dependiendo del contexto. Esta complejidad,
que siguió creciendo, aseguraba que su uso fuera potestad exclusiva de los escribas, profesionales de las letras y los números
que eran empleados por los templos y palacios para mantener y
manejar la autoridad institucional. Para el segundo milenio a. C.,
tenían mucho prestigio, pues los escribas podían comunicarse
con los dioses: escribían poemas, panegíricos, documentos legales y escritos matemáticos o científicos [4-8].
Figura 2. MS 4631. Bulla con 11 cuentas de barro cocido. Medio Oriente, 3700 a 3200 a. C.
Colección Schøyen.
Fuente: http://www.schoyencollection.com/math_files/ms4631.jpg
Muchas de las primeras tablillas de barro, grabadas con los juncos del pantano, muestran listas de bienes. En la tablilla de la
figura 3, de principios del tercer milenio a. C. o finales del cuarto,
cada artículo de la lista —aparentemente de raciones— tiene
su representación pictórica y un número escrito con círculos y
cuñas. Cada cuña vale 6 círculos [3]. Aunque parezca natural
desde un punto de vista moderno, allí se nota un paso inmenso
hacia la concepción abstracta de los números en la separación
del símbolo para el número y el símbolo que representa el bien.
Con el tiempo, los nómadas semitas vecinos de las ciudades
sumerias fueron asimilando su cultura y pronto establecieron
sus pueblos y cultivos más al norte, al tiempo que adoptaban
el modus vivendi de los sumerios junto con su escritura y adaptaban esta cultura a la propia. Uno de los advenedizos, Sargón
(2334-2279 a. C.), llegó a ser copero del rey de Kish. Lo depuso,
y se convirtió en su sucesor, para luego formar el primer imperio
de la humanidad, que se extendió por toda Mesopotamia hasta
el mar Mediterráneo, desde el Irán de hoy, en la orilla oriental del
Tigris, a lo que es Palestina en el occidente, y lo que es Turquía
por el norte. Donde el valle se estrecha fundó su capital, la ciudad de Akkad (o Agade), que le dio el nombre al imperio acadio
[1, 2]. De esta manera, la escritura y el arte en tablillas de greda
34 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
Figura 3. Tablilla de raciones del año 3000 a. C., de la ciudad sumeria de Uruk. Tablilla NBC
5828 de la Yale Babylonian Collection.
Fuente: http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/NBC5828.html
EDUBA
Su educación condujo desde muy temprano a la fundación de
escuelas, llamadas edubas, o casas de tablillas. El currículo de
las edubas, que llegó a ser muy elaborado, se conoce con mucho detalle. Casi desde su inicio fue bilingüe (sumerio-acadio) y,
a pesar de que el sumerio dejó de hablarse, su enseñanza continuó. El énfasis en los números se ilustra en las muchas tablillas con problemas matemáticos que servían de ejercicios para
los alumnos. Los escribas y sus escuelas fueron fundamentales
para darle continuidad a la cultura sumerio-acadia hasta bien
entrada la helenización en el Medio Oriente. A pesar de las guerras, invasiones y cambios de poder, su erudición siempre servía
a los nuevos gobernantes para ganar respeto y legitimidad [4-8].
Con la necesidad de escribir números cada vez más grandes,
los sumerios habían inventado una serie de equivalencias que
10
6
se muestra en la siguiente figura, en la que además del círculo
y la cuña aparecen otros símbolos en los que las equivalencias
se alternan entre 10 y 6, con los que se presagia la numeración
posterior de Mesopotamia con base en el número 60 (figura 4).
Primero convivieron muchos sistemas de numeración con varios
tipos de equivalencias, dependiendo de los productos, como hoy
en día conviven en el sistema inglés de medidas: doce pulgadas
en un pie y tres pies en una yarda, mientras que 16 onzas son
una libra. Pero poco a poco, mientras los comerciantes conservaban la numeración antigua más sencilla, se fue imponiendo
entre los escribas del palacio y del templo el sistema posicional
con base 60, o sexagesimal, que fue un paso fundamental hacia
la numeración moderna [3].
10
6
10
Figura 4. Tabla de equivalencia de símbolos numéricos.
Fuente: http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/archaic.html
El sistema sexagesimal
El imperio acadio, que había sucumbido en 2154 debido a invasiones de pueblos bárbaros circundantes luego de un largo
periodo de sequía, dio paso a un resurgimiento de las ciudades
sumerias unos cien años más tarde. La primera ciudad en volver a dominar fue Ur, que mantuvo su poderío durante un siglo.
De esa época —llamada Ur III por los historiadores— datan
las primeras tablillas con un sistema de numeración posicional
sexagesimal propiamente dicho, aun cuando hay evidencia de
algo parecido desde los últimos años del Imperio acadio [3, 9].
Este sistema, que evolucionó a partir de las equivalencias con
los números 6 y 10, parece a primera vista una numeración
aditiva con base 10, de palotes, , y cuñas, , que representan la unidad y la decena, respectivamente. Pero si se mira con
detenimiento y se compara con la escritura cuneiforme de la
época, se cae en la cuenta de que la combinación de cuñas que
componen, por ejemplo, el número cincuenta,
, realmente
forman un solo carácter. De esta manera, estamos hablando de
una numeración cifrada en la que los números importantes tienen una cifra propia. Un análisis más cuidadoso nos depara una
sorpresa: después del número 59 escrito
viene el 60, ,
que se representaba con un solo palote, igual que el número
uno. Sesenta y uno y sesenta y dos se escribían
y
,
con un espacio para que no se confundieran con el dos
y
el tres,
. Los números continuaban de esta manera con 70,
80, 90, 100, hasta 119, representado por
—60 más
59—, para continuar con 120, escrito , o dos veces sesenta.
Los múltiplos de 60 seguían con 180,
, y 240,
, etc.,
y los números se sucedían hasta 3599,
—59
veces 60 más 59—, pero después seguía 3600, , de nuevo
escrito con un solo palote, igual que el uno y el 60 [1, 2, 9].
Este tipo de numeración, en la que los numerales toman diferentes valores dependiendo de su posición, se denomina sistema
posicional. Así, en los ejemplos de arriba, 119 es 1 x 60 + 59 y
3599 es 59 x 60 + 59; asimismo, 7199,
, es
1 x 602 + 59 x 60 + 59. Nuestro sistema decimal también es
posicional, porque cuando escribimos 6666, el dígito 6 toma
valores distintos, según su posición: el primero es seis mil (6 x
103), el segundo es seiscientos (6 x 102), el tercero es sesenta
(6 x 10), y el cuarto, seis (6 x 100). La diferencia es que la base
de nuestro sistema es 10, mientras que la del sistema sumeriobabilónico es 601.
1 Los mayas también usaron un sistema posicional de numeración, solo que con base 20,
y actualmente en las ciencias computacionales se usan sistemas con base 2 (binario) y
con base 16 (hexagesimal).
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 35
En Mesopotamia, el sistema sexagesimal solo lo manejaba la
pequeña minoría de los escribas, entre quienes tuvo gran acogida, primero porque la multiplicación se hacía más fácil, pues
se podía usar un algoritmo parecido al que se usa hoy en día
para multiplicar números arábicos. Sin embargo, se necesitaban
tablas de multiplicar por lo menos hasta 59. En efecto, se ha
encontrado una multitud de estas tablas elaboradas con barro.
Los escribas debían aprendérselas de memoria [10, 11].
Lo más atractivo era el manejo que se daba a las fracciones,
tan ágil que los babilonios, en lugar de dividir, multiplicaban el
número por el inverso del divisor. Al inspeccionar una tabla de inversos (figura 5), enseguida se reconoce que se parecen mucho
a las fracciones de una hora, porque ½ = 30’, 1/6 = 10’, 1/8 =
7’30’’. La verdad es que aún utilizamos las fracciones sexagesimales babilónicas, tanto en las fracciones de tiempo como en
las de ángulos, y hace menos de doscientos años un segundo
se dividía en 60 terceros, y cada uno de estos en 60 cuartos, y
así sucesivamente [11].
Se han encontrado centenares de estas tablillas de inversos,
donde se listan los inversos de los números de 2 a 81, pero
solo aquellos que tienen desarrollo sexagesimal finito, a los que
llamaremos regulares. Además de aprenderse de memoria estas
tablas “estándar” de treinta inversos regulares, los escribas también se entrenaban para calcular los inversos de números que
no estuvieran en ellas.
No obstante, a la escritura de las fracciones le faltaba un símbolo para separar la parte entera de la fraccionaria, y por lo tanto,
al multiplicar un número por su “inverso babilónico” el resultado
puede no ser uno, sino otra potencia de 60. Los computadores
modernos incluyen este tipo de numeración, que se llama de
punto flotante [11, 12, 13].
Aun así, el sistema sexagesimal —al igual que el decimal—
permitía ordenar números fraccionarios con gran facilidad. Por
ejemplo, para saber cuál es mayor, entre 11/5 y 13/6, hay que
hacer cálculos, en cambio, al ver su representación sexagesimal se sabe inmediatamente que 2:12 = 11/5 es mayor que
2:10 = 13/6. Estas características de la numeración resultaron muy útiles para elaborar tablas. En efecto, en el periodo
paleobabilónico se elaboraron muchas tablas, por ejemplo, de
cuadrados y otras potencias, de raíces cuadradas y cúbicas.
Otras se usaban para encontrar tasas de precios de mercado,
conversiones de unidades y razones entre medidas geométricas; la gran mayoría estaban relacionadas con los ejercicios
numéricos de las edubas [10].
sado más tradicional y culto, pero los tiempos habían cambiado
debido al comercio con la periferia, que se había ido civilizando.
Adicionalmente, Babilonia, una ciudad fundada por los amoritas
—otra tribu semita proveniente de Arabia—, se desarrollaba
donde se estrecha el valle entre el Éufrates y el Tigris. Su ubicación entre las ciudades acadias del norte y las sumerias del sur
le daba una ventaja comercial, y finalmente tomó el poder con
Hammurabi (1792-1750), un rey astuto que reunificó Mesopotamia. Sin ser guerrero, como sus antecesores acadios, Hammurabi se dedicó a proveer una administración que pudiera brindar
sustento y seguridad a su imperio. Esa época entre el 2000 y
1600 a. C. se conoce hoy como periodo paleobabilónico [1, 2].
Como muestra de la influencia de la casta de escribas, el régimen optó por conservar el acadio como lenguaje oficial, y el
sumerio, que ya no se hablaba, siguió como lenguaje religioso
y erudito, ambos idiomas con la escritura cuneiforme. Contando
con los escribas se consolidó un código legal muy completo que
organizaba el gobierno y la administración, y como se requería
una buena gestión de recolección de impuestos y de contabilidad, se estableció como oficial el sistema numérico sexagesimal
que los escribas sumerios de Ur, Isin y Larsa ya utilizaban en
observaciones astronómicas para organizar el calendario y programar las fiestas religiosas [1, 5, 6, 10].
La matemática del periodo paleobabilónico no se limitó a las operaciones con números sexagesimales: se encuentran tablillas que
tratan problemas geométricos relacionados con el teorema de
Pitágoras, así como otras para resolver una ecuación cuadrática
o una ecuación cúbica. De esa época datan las tablillas de contenido matemático que se referencian a continuación [11, 12].
1. La medida de la diagonal de un cuadrado
(tablilla YBC 7289)
Esta tablilla y muchas otras demuestran que los babilonios conocían la relación pitagórica,2 aunque no tuvieran una prueba
formal del teorema de Pitágoras, y su reconocimiento de un
ángulo recto como condición para que se cumpla la relación
podría aceptar un error de más o menos 10 o 15 grados [12].
La tablilla muestra un cuadrado con sus dos diagonales. Sobre una de ellas está escrito 1; 24 51 10 (1,41421296 en
notación decimal), número que se aproxima a la raíz de dos.
Este número se multiplica por 30 —escrito sobre un lado del
cuadrado—, de lo que resulta 42 25 35 (0,707106481 en
natación decimal), escrito dentro del cuadrado. La escogencia del multiplicador 30 probablemente se hizo a propósito, ya
que es el inverso de 2, y al efectuar la multiplicación se obtiene una aproximación de √2/2 , el inverso de √2 (figura 6).
Periodo paleobabilónico
Hacia el 2000 a. C. Sumer volvió a ser invadida. Esta vez, al recobrar su libertad, un siglo más tarde, las ciudades sumerias que se
destacaron fueron Isin y Larsa. Sus reyes intentaron revivir un pa-
36 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
2 El teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa —el lado opuesto al ángulo recto—, es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados, llamados catetos. Esta relación de cuadrados, a 2 b 2 c 2 , se llama
relación pitagórica, y si esta se cumple entre los lados de un triángulo, el ángulo opuesto
al lado c tiene que ser recto.
Dos tercios de 1 es 40
5
El recíproco de 24 es 2 30
La mitad es 30
El recíproco de 25 es 2 24
El recíproco de 3 es 20
El recíproco de 27 es 2 13 20
El recíproco de 4 es 15
El recíproco de 30 es 2
El recíproco de 5 es 12
El recíproco de 32 es 1 52 30
El recíproco de 6 es 10
10
15
20
El recíproco de 36 es 1 40
El recíproco de 8 es 7 30
El recíproco de 40 es 1 30
El recíproco de 9 es 6 40
El recíproco de 45 es 1 20
El recíproco de 10 es 6
El recíproco de 48 es 1 15
El recíproco de 12 es 5
El recíproco de 50 es 1 12
El recíproco de 15 es 4
25
El recíproco de 54 es 1 6 40
El recíproco de 16 es 3 45
El recíproco de 1 es 1
El recíproco de 18 es 3 20
El recíproco de 1 4 es 56 15
El recíproco de 20 es 3
El recíproco de 1 21 es 44 26 40
Figura 5. Tabla de inversos babilónicos regulares. MLC 1670 y su traducción [12]
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 37
Figura 6. YBC 7289. De la Colección Babilónica de la Universidad de Yale,
su proveniencia es desconocida. Data entre 1800 y 1600 a. C. (8 x 8 cm)
Fuente: http://www.math.ubc.ca/~cass/euclid/ybc/ybc.html
2. Solución de una ecuación cuadrática
(tablilla YBC 6967)
Probablemente de la región de Larsa, y elaborada hacia el año
1800 a. C., esta tablilla es característica de la época por su forma
de enunciar un problema y proceder a resolverlo. El problema
mismo también es representativo: se trata de encontrar un número que exceda a su inverso babilónico en siete (figura 7) [12].
Aunque la solución no provee bosquejos, su descripción es bastante gráfica, pues utiliza un método típico de “cortar y pegar”,
por lo que debe seguirse con los dibujos dados a continuación.
Se sobreentiende primero que se ha formado un rectángulo cuyos lados son el número X y su inverso babilónico , con área
X = 60 (1 00 en sexagesimal), donde se utilizan los símbolos
X y para ayudar al lector moderno. El texto, traducido libremente, dice así (los números sexagesimales se han puesto entre
paréntesis):
“Parta en mitad el 7, el excedente del número al recíproco, para
obtener 3½ (3; 30). Multiplique 3½ por 3½ para obtener [un
cuadrado de área] 12¼ (12; 15). Añada 60 (1 00), el área [del
rectángulo] que tenía, a 12¼ para obtener [un cuadrado de
área] 72¼ (1 12; 15). ¿Cuál es el lado del cuadrado obtenido?
8½ (8; 30). Ponga 8½ y súmele 3½, ponga 8½ y réstele 3½.
Un número es 12 y el otro es 5. El número es 12 y el recíproco
es 5”3 [12, p. 12].
3En términos modernos, el método corresponde a completar un cuadrado.
38 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
X=
+3
+7
Área del rectángulo negro = 60
“Parta en mitad el 7”
(rectángulo punteado en azul)
1
2
“Añada 60, el área que tenía, a
12 ¼” (el cuadrado rojo)
Área del cuadrado grande =
60 + 12¼ = 72¼ cuyo lado es
8 ½. Luego, = 8 ½ + 3½ =
12 y = 8 ½ − 3½ = 5.
Un aspecto interesante en la generalización de este problema
es que su solución cumple la relación X + x –2 = x +2 ,
donde x – 2 es el área del cuadrado pequeño, x +2 la del
cuadrado grande, y X = 60n, puesto que se trata de inversos
babilónicos. Entonces, si n es par, por ejemplo n = 2k se tiene la relación pitagórica (60k )2 + x –2 = x +2 . Como este tipo
de problemas era bastante común, los escribas debieron darse
cuenta de este hecho, que es importante en la discusión de la
siguiente tablilla [12].
2
2
2
2
2
2
Figura 7. Tablilla YBC 6967
Fuente: [12]
Quince ternas pitagóricas (Plimpton 322)
Sin duda, esta es la tablilla matemática más controvertida. Mide
12,7 x 8,8 cm y está escrita en forma apaisada. Por sus características, se piensa que fue encontrada en Larsa, y ha sido datada
entre los años 1800 y 1700 a. C., o sea, sería anterior a la domi-
nación babilonia. El anverso es una tabla de números dividida en
4 columnas con títulos y 15 filas de números sexagesimales. Al
reverso tiene la misma división en columnas, como si se hubiera
deseado continuar la tabla.
Figura 8. Tablilla Plimpton 322, con dibujo del anverso de E. Robson. Corresponde al periodo paleobabilónico
(siglos XIX a XVII a. C.), y probablemente se produjo en Larsa. Fue adquirida en 1922/1923 por George Plimpton, y
donada a la Universidad de Columbia en 1936. Se publicó en 1945 [12, p. 5].
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 39
La transcripción más aceptada, en la que se corrigen unos pocos errores que se cree cometió el escriba, es la siguiente:
A
S
D
N
[(1) 59] 00 15
1 59
2 49
KI. 1
[(1) 56 56] 58 14 50 06 15
56 07
1 20 25
KI. 2
[(1) 55 07] 41 15 33 45
1 16 41
1 50 49
KI. 3
(1) 53 10 29 32 52 16
3 31 49
5 09 01
KI. 4
(1) 48 54 01 40
1 05
1 37
KI. [5]
(1) 47 06 41 40
5 19
8 01
[KI. 6]
(1) 43 11 56 28 26 40
38 11
59 01
KI. 7
(1) 41 33 45 14 3 45
13 19
20 49
KI. 8
(1) 38 33 36 36
8 01
12 49
KI. 9
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40
1 22 41
2 16 01
KI. 10
(1) 33 45
45
1 15
KI. 11
(1) 29 21 54 2 15
27 59
48 49
KI. 12
(1) 27 00 03 45
2 41
4 49
KI. 13
(1) 25 48 51 35 6 40
29 31
53 49
KI. 14
(1) 23 13 46 40
28
53
[KI. 15]
[11-14]
El texto entre corchetes reemplaza escritura faltante. Los unos
entre paréntesis (1) al comienzo de cada fila no se sabe si pudieron o no haberse borrado del borde de la tablilla. Los números
en rojo han sido cambiados del original para que cumplan las
propiedades que se observan en el resto de la tablilla. Otras
tablillas semejantes del mismo periodo sugieren que había una
tablilla compañera pegada a la izquierda de esta, donde se habrían hecho algunos cálculos.4 La unión debió haber sido frágil,
por lo cual la otra tablilla se perdió, pero hay vestigios de un
pegante moderno que insinúa que posiblemente perduró hasta
nuestro tiempo, aun cuando nada asegura que la tablilla que
estuvo unida a esta en tiempos modernos haya sido la original.
Por otra parte, las siguientes observaciones acerca de la tabla
son aceptadas por todos los estudiosos:
1. Los números de la columna A están en orden descendente.
2. Cada número de la columna A es un cuadrado perfecto, ya
sea que tenga o no el 1 inicial.
3. Los encabezamientos S y D aluden al lado corto y la diagonal de un rectángulo.
4. En cada fila, S y D son dos números de una terna pitagórica, pues D 2 – S 2 es un cuadrado perfecto. Con los enteros
a = S, b = √D 2 S 2, c = D, se tiene que a 2 + b 2 = c 2.
4 Además, pudo haber otras tablillas de “borrador” que eran alisadas tras efectuar las
operaciones.
40 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
5. Con excepción de la fila 11, los números de las columnas S
y D de cada fila son primos relativos.
6. En cada fila, A = D 2/(D 2 – S 2 ) o S 2/(D 2 – S 2 ), según se
crea o no que la primera columna comienza por un 1 [13,
p. 3 traducción libre reorganizada].
Robson [11, 12], que es quien más ha investigado la usanza del
periodo del que proviene la tablilla, dice que en Larsa los títulos
muchas veces se escribían en sumerio, no porque se hablara
allí, sino porque producía una escritura más corta. De derecha
a izquierda, ella da las siguientes traducciones a los encabezamientos de las columnas: en la de la derecha, como en la mayoría de las tablillas de Larsa, está escrito “Su Nombre”, abreviado
por N en la transcripción. En la que sigue, “diagonal”, abreviado
por D, y luego “lado más corto”, abreviado por S.
El encabezamiento de la columna de la izquierda, A, es más complejo, y lo traduce Robson [11, 12] como “El cuadrado de la diagonal del que se le rasga 1 para que resulte el [cuadrado del] lado
corto”.5 De este encabezado ella deduce que la tablilla tiene una
relación con el problema de la tablilla YBC 6967, descrito arriba.
Algunos han visto en esta tablilla una especie de tabla trigonométrica en la que las columnas S y D son el cateto más corto y
la hipotenusa de un triángulo, y la primera columna es la tangente cuadrada del ángulo (sin el 1), o la secante cuadrada (con
el 1), donde los ángulos irían decreciendo en una columna de
la tablilla compañera. Pero esta interpretación no tiene muchos
adeptos, por ser anacrónica; la noción de ángulo en ese periodo no era muy clara, y el uso de una tabla tal, por ejemplo en
astronomía, no se daría sino unos mil años más tarde [11-14].
Mucho más importante y compleja es la pregunta sobre cómo
se hizo. Fuera de la terna pitagórica exhibida en la línea 11,
que es un múltiplo de la conocidísima 3, 4, 5, las otras no son
tan evidentes, como 119, 120, 169 (1.a fila), 319, 360, 481
(6.a fila), y algunas consideran números relativamente grandes,
como 4961, 6480, 8161 (fila 10.a) y 12.709, 13.500, 18.541
(fila 4.a). El método más conocido para encontrar ternas pitagóricas lo explica Euclides en la proposición 29 del libro X de
sus Elementos [15]. Comienza por tomar dos números enteros
positivos p y q, primos relativos, que no sean ambos impares,
con p > q. Los números de la tabla resultan así: S = p 2 – q 2,
D = p 2 + q 2 , y el tercero de la terna pitagórica es √D 2 – S 2 =
2pq. Por esta razón, algunos han sugerido que las columnas de
la tablilla faltante contenían los números p y q. Sin embargo, los
números de la columna que contuviera, ya sea a p o a q estarían
en desorden, cuestión que no concuerda con la usanza en estas
tablillas [11-14].
5 “The takiltum-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side
comes up” [11, 12].
Otra explicación describe cómo se pueden generar las ternas
a partir de la pareja de inversos babilónicos X y . En esta interpretación, primero se calculan d = x +2 y s = x –2 para luego
obtener los números de la tablilla dividiéndolos por el máximo
común divisor de ellos (d, s ): D = (d,ds ) y S = (d,ss ) . Adicionalmente, la columna A sería o bien d 2, si comienza por 1, o si no,
s 2. Esta interpretación no solo exhibe un orden descendente o
ascendente en los números X y , sino que también coincide
con el nombre sumerio de la columna A, pues hace referencia a
casos especiales del problema YBC 6967, en los cuales surgen
ternas pitagóricas [11-14].
La figura 9 contiene columnas referentes a estas dos interpretaciones que podrían haber estado en la tablilla compañera.
Fila
p
q
X
1
12
5
2 24
25
2
1 04
27
2 22 13 20
25 18 45
3
1 15
32
2 20 37 30
25 36
4
2 05
54
2 18 53 20
25 55 12
5
9
4
2 15
26 40
6
20
9
2 13 20
27
X
7
54
25
2 09 36
27 46 40
8
32
15
2 08
28 07 30
9
25
12
2 05
28 48
10
1 21
40
2 01 30
29 37 46 40
11
2
1
2
30
12
48
25
1 55 12
31 15
13
15
8
1 52 30
32
14
50
27
1 51 06 40
32 24
15
9
5
1 48
33 20
Sin embargo, aunque parezcan diferentes, los dos métodos resultan equivalentes, pues para garantizar que X sea regular se
escoge la razón de p y q de la misma fila, X = p /q o p q, con lo
2
2
+ q 2
– q 2
y x –2 = p 2pq
, donde la
que = p q o q /p. Así, x +2 = p 2pq
diferencia de sus cuadrados es
2
2
– x –2
2
=
p 2 + q 2
2pq
2
–
p 2 – q 2
2pq
2
=1
De esta manera se obtiene la misma terna pitagórica que se
obtiene con el método de Euclides, pues al multiplicar por (2pq )2
resulta
(p 2 + q 2)2 – (p 2 – q 2)2 = (2pq )2
A modo de ejemplo hacemos la aritmética sexagesimal de punto
flotante para la fila 5, donde p = 9 y q = 4. Por el método de Euclides vemos que S = p 2 – q 2 = 105 (65, en notación decimal)
y D = p 2 + q 2 =1 37 (97, en notación decimal), como aparecen
en la tablilla de Plimpton. Entonces, √D 2 – S 2 = 2pq = 1 12 (72,
en notación decimal), para completar la terna pitagórica. Por el
otro método, para encontrar X y , se localizan en la tabla de
recíprocos p = 6 40 y q = 15 (figura 5). Entonces, X = pq = 2 15
y = pq = 26 40. De estos se calculan
s = 1 (X – X ) =
1
2
(2 15 00 – 26 40 ) = 30 . (1 48 20) = 54 10 y
d = 1 (X + X )=
1
2
(2 15 00 + 26 40 ) = 30 . (2 41 40) = 1 20 50
2
2
Al dividir estos números por su máximo común divisor, que es
(s, d ) = 50, se vuelven a obtener S = 1 05 y D = 1 37. Por otra
parte, d 2 = 1 48 54 01 40 y s 2 = 48 54 01 40, que corresponden a la entrada de la columna A en la tablilla de Plimpton, con
o sin el uno al frente7.
Epílogo
Figura 9. Los números p y q utilizados para construir las ternas pitagóricas y los inversos
babilónicos, X, X [14]
x+
Además, salvo una sola excepción (p = 2 05)6, todos los números p y q de la tabla aparecen en las tablillas estándar de
inversos babilónicos. Según Abdulaziz [14], el autor de la tablilla
recopiló las 38 posibles razones X = q ’p con p ≤ 125 (2 05),
q ≤ 54 y p 2 – q 2 < 2pq. Al ordenarlas en forma descendente,
las primeras quince son las que aparecen en esta tablilla. Quizá
la intención del escriba era continuar en el reverso de la tablilla,
aunque no cabrían todas. Esta y otras incógnitas surgen con
cualquiera de las explicaciones.
A no ser que aparezca la tablilla compañera a Plimpton 322,
nunca se sabrá a ciencia cierta la forma como se encontraron
las ternas pitagóricas. Sin embargo, se sabe lo suficiente acerca
de las edubas para poder decir que la tablilla probablemente
fue escrita por un maestro de escribas que buscaba números
“bonitos” para crear ejercicios. Por ejemplo, en los problemas
como el de la tablilla YBC 6967 era importante escoger bien el
enunciado para que las soluciones X y fueran regulares, es
decir, tuvieran desarrollo sexagesimal finito [11, 12]. La tablilla
también serviría en problemas que proporcionan dos lados de un
triángulo rectángulo y requieren encontrar el tercero, muy comunes en las edubas en el contexto de un rectángulo y su diagonal.
6 2 05 es regular, puesto que su inverso babilónico, 28 48, tiene desarrollo finito.
7 Puede parecer arbitraria la forma como se le agrega 00 al final de 2 15, pero es para
que X X no sea 603 sino 604, una potencia par de sesenta, y se cumpla la relación pitagóri2
x–x 2 .
ca 604 x –2 x
2
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 41
El interés último de las edubas en cuanto a las matemáticas fue
el de adiestrar a los alumnos en las habilidades operacionales
de la aritmética, y ese fue su aporte a la posteridad, pero eso no
impidió que los escribas hayan tenido motivaciones más abstractas, como las que se aprecian en las tablillas analizadas. Aun
cuando la mayoría de los expertos en el tema coinciden en decir
que pensar que hubiera una dedicación a temas de teoría de
números es un anacronismo, no cabe duda de que los escribas
del periodo paleobabilónico descubrieron propiedades curiosas
de los números que cautivaron su atención, como las de ser
regulares o formar ternas pitagóricas.
La numeración en sí fue su mayor contribución, si bien se demoraron mucho en utilizar un símbolo como el cero para guardar una posición vacía. Se ve la confusión que pudo causar un
espacio en lugar de un símbolo en las filas 1, 5, 6 y 13 de la
tablilla Plimpton 322. Aunque se cree que se utilizó un tal símbolo antes, solo hay evidencia concreta desde el 311 a. C. de una
tablilla en la que se escribe
por 1 00 45. No obstante,
los números con fracciones siguieron utilizando la notación de
punto flotante, pues la cifra para el cero no se usaba en la terminación derecha de los números y no se tenía un símbolo para la
coma —o punto— decimal [16].
También hay que recalcar la habilidad para hacer tablas, experiencia que luego serviría para elaborar cuadros y listas de astronomía. En efecto, los resultados de la astronomía cuantitativa
avanzaron considerablemente a partir del periodo paleobabilónico, gracias a la continuidad de los escribas, que conservaron la
lengua, la escritura y el sistema de numeración, a pesar de los
cambios en las etnias y ciudades dominantes. En los siguientes
quince siglos hubo varios cambios en el poder, que de los babilonios pasó a los casitas, de estos a los asirios, entre otros, y de
nuevo a los babilonios; luego a los persas, antes de pasar a los
macedonios, con Alejandro Magno. Asimismo, las ciudades de
estos pueblos dominantes fueron tan importantes como Assur,
Nínive, la Babilonia de los jardines colgantes y Persépolis. En
todas, los escribas impusieron su cultura.
42 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
Su influencia persistió aún más tiempo en el sistema de representar fracciones, que fue utilizado por los astrónomos occidentales durante más de dos mil años. La astronomía cuantitativa
de Mesopotamia tuvo gran influencia sobre la helenista, y sería
Hiparco (ca. 190-ca. 120 a. C.) quien introdujera a Alejandría la
división de la circunferencia en 360 grados con fracciones sexagesimales del grado —minutos, segundos, terceros, etc.—,
reproduciendo el sistema sexagesimal de Babilonia para las
fracciones, pero con numerales griegos [17]. Como las primeras traducciones al árabe del Almagest de Ptolomeo se hicieron
antes de la introducción de la numeración decimal en el Imperio
árabe, posiblemente por esta razón los astrónomos de lengua
árabe —que también fueron matemáticos muy notables— continuaron utilizando fracciones sexagesimales aun en tratados
que no eran de astronomía, como por ejemplo al escribir las
soluciones de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Este ejemplo lo
siguió el mismo Fibonacci, quien popularizó los números indoarábicos en Europa, al expresar la solución de la cúbica 10x
+ 2x 2 + x 3 = 20 como 1; 22 07 42 33 04 40, en notación
sexagesimal, hacia el 1225 d. C. [18]. Las tablas astronómicas elaboradas entre 1263 y 1272 por iniciativa de Alfonso X el
Sabio —que les sirvieron a Copérnico, Tycho Brahe y Kepler—
también utilizaron esta nomenclatura.
El cambio hacia las fracciones decimales fue impulsado por Simon Stevin con su publicación La theinde (La décima) en 1585,
que fue traducida al inglés en 1608 [19]. Luego se consolidó con
las tablas de logaritmos de Napier (1614) y de Briggs (1617).
Pero el sistema sexagesimal continuó usándose en las medidas
de ángulos y de tiempo, a pesar de los esfuerzos de quienes
desarrollaron el sistema métrico (1793), que propusieron 100
grados como la medida del ángulo recto. Finalmente, en 1862, la
British Association for the Advancement of Science (BAAS) estableció el segundo como medida patrón en el sistema cegesimal
(CGS) de centímetro-gramo-segundo, y desde entonces las fracciones del segundo son decimales y no sexagesimales [20]. •
Referencias
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Oriente. Madrid: Ediciones Akal S. A.; 2007.
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1974.
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languages; http://knp.prs.heacademy.ac.uk/essentials/cuneiformscript.
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Nippur. Revue d’assyriologie et d’archéologie orientale 2001;
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[12] Frayne DR. Scribal education in Ancient Babylonia; www.sumerian.org/frayne-scribaleducation.htm.
[13]Alster B. Scribes and wisdom in ancient Mesopotamia. En:
Perdue L, ed. Scribes sages and seers: the sage in the eastern Mediterranean world. Gotinga: Vandenhoeck & Ruprecht;
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mesomath/3Mill/UrIII.html.
[16] http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/obsummary.html.
[17]Robson E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322. Historia Mathematica 2001; 28(3):
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[18]Robson E. Words and pictures: new light on Plimpton 322. The
American Mathematical Monthly 2002; 109: 105-120.
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pdf/1109.3814.pdf.
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Method of Generating Pythagorean Triples; http://arxiv.org/
abs/1004.0025.
[21] Joyce DE. Euclid’s Elements Book X, Proposition 29, Lemma 1;
http://babbage.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html#lemma1.
[22]Louvre Tablet AO 6484 with Babylonian zero; http://www.
grabovrat.com/weekly/grWeekly051030.html.
[23]O’Connor JJ, Robertson EF. Hipparchus of Rhodes; http://
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hipparchus.
html.
[24]O’Connor JJ, Robertson EF. Leonardo Pisano Fibonacci; http://
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html.
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Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 43