Práctica

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Prof: Francisco Palacios
EPSEM-UPC
Noviembre 2008, Versión 1.2
Tema 8: EDOs de orden n, Practica 1
Resolución de algunas EDO's de orden n con Maple
• Resolución de EDOs con dsolve
• Escritura de condiciones iniciales con el operador D
Ejercicio 1.2
> edo:=diff(y(x),x,x)-diff(y(x),x)-6*y=0;
⎛ ∂2
⎞ ⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ − 6 y = 0
⎠
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂x
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) = _C1 e( −2 x ) + _C2 e( 3 x )
Ejercicio 1.6
> edo:=diff(y(x),x,x)-4*diff(y(x),x)+5*y=0;
⎛ ∂2
⎞
⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − 4 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 5 y = 0
x
⎝
⎠
∂
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) = _C1 e( 2 x ) sin( x ) + _C2 e( 2 x ) cos( x )
Ejercicio 2.1
> edo:=diff(y(x),x,x,x)-4*diff(y(x),x,x)-5*diff(y(x),x)=0;
⎛ ∂2
⎞
⎛ ∂3
⎞
⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ − 4 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − 5 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ = 0
x
∂
⎝
⎠
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) = _C1 + _C2 e( −x ) + _C3 e( 5 x )
Ejercicio 2.2
> edo:=diff(y(x),x,x,x)-5*diff(y(x),x,x)+3*diff(y(x),x)+9*y=0;
⎛ ∂2
⎞
⎛ ∂3
⎞
⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ − 5 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 9 y = 0
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
> equ:=m^3-5*m^2+3*m+9=0;
equ := m3 − 5 m2 + 3 m + 9 = 0
> solve(equ,m);
-1, 3, 3
la solución será, por lo tanto y(x)=c1*exp(-x)+c2*exp(3*x)+c3*x*exp(3*x)
> dsolve(edo,y(x));
>
y( x ) = _C1 e( 3 x ) + _C2 e( −x ) + _C3 e( 3 x ) x
Ejercicio 2.4
> edo:=diff(y(x),x,x,x)+3*diff(y(x),x,x)+3*diff(y(x),x)+y=0;
> dsolve(edo,y(x));
⎛ ∂2
⎞
⎛ ∂3
⎞
⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + y = 0
⎝
∂
x
⎠
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
y( x ) = _C1 e( −x ) + _C2 e( −x ) x2 + _C3 e( −x ) x
Ejercicio 3
> edo:=diff(y(x),x,x)+16*y=0;
cond:=D(y)(0)=-2,y(0)=2;
⎛ ∂2
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 16 y = 0
⎝ ∂x
⎠
cond := D( y )( 0 ) = -2, y( 0 ) = 2
> s:=dsolve({edo,cond},y(x));
Page 1
s := y( x ) = 2 cos( 4 x ) −
1
2
sin( 4 x )
> f:=rhs(s);
f := 2 cos( 4 x ) −
1
2
sin( 4 x )
> plot(f,x=0..4);
2
1
0
1
2
x
3
4
-1
-2
definimos la solución como función
> g:=unapply(f,x);
g := x → 2 cos( 4 x ) −
1
2
sin( 4 x )
valor de la solución para x=1.25
> g(1.25);
1.046786508
Ejercicio 6
> restart;
> edo:=diff(y(x),x,x,x)+12*diff(y(x),x,x)+36*diff(y(x),x)=0;
⎛ ∂2
⎞
⎛ ∂3
⎞
⎛∂
⎞
edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ + 12 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 36 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ = 0
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
⎝ ∂x
⎠
> cond:=y(0)=0,D(y)(0)=1,(D@@2)(y)(0)=-7;
cond := y( 0 ) = 0, D( y )( 0 ) = 1, ( D( 2 ) )( y )( 0 ) = -7
> s:=dsolve({edo,cond},y(x));
s := y( x ) =
5
36
−
5
36
e( −6 x ) +
1
6
e( −6 x ) x
Resolución por pasos.
1) Ecuación característica.
> equ:=m^3+12*m^2+36*m=0;
>
equ := m3 + 12 m2 + 36 m = 0
> solve(equ,m);
0, -6, -6
2) Solución general.
> s:=c1+c2*exp(-6*x)+c3*x*exp(-6*x);
s := c1 + c2 e( −6 x ) + c3 x e( −6 x )
3) Solución particular.
Calculamos las derivadas
> s1:=diff(s,x);
s1 := −6 c2 e( −6 x ) + c3 e( −6 x ) − 6 c3 x e( −6 x )
> s2:=diff(s,x,x);
s2 := 36 c2 e( −6 x ) − 12 c3 e( −6 x ) + 36 c3 x e( −6 x )
Imponemos las condiciones
> eq0:=subs(x=0,s)=0;
eq0:=eval(eq0);
eq0 := c1 + c2 e0 = 0
Page 2
eq0 := c1 + c2 = 0
> eq1:=subs(x=0,s1)=1;
eq1:=eval(eq1);
eq1 := −6 c2 e0 + c3 e0 = 1
eq1 := −6 c2 + c3 = 1
> eq2:=subs(x=0,s2)=-7;
eq2:=eval(eq2);
eq2 := 36 c2 e0 − 12 c3 e0 = -7
eq2 := 36 c2 − 12 c3 = -7
> sol:=solve({eq0,eq1,eq2},{c1,c2,c3});
1
, c3 = }
36
36
6
El comando assign permite assignanar los valores correspondientes a c1, c2 y c3.
> assign(sol);
Vamos que se ha producido la asignación
> s;
sol := { c1 =
5
36
−
5
36
5
, c2 =
e( −6 x ) +
1
6
-5
x e( −6 x )
> plot(s,x=0..4);
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
2
x
3
4
Ejercicio 9.1
> edo:=diff(y(x),x,x)+y(x)=sec(x);
⎛ ∂2
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + y( x ) = sec( x )
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) = ln( cos( x ) ) cos( x ) + x sin( x ) + _C1 cos( x ) + _C2 sin( x )
Ejercicio 9.2
> edo:=diff(y(x),x,x)+y(x)=cos(x)^2;
⎛ ∂2
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + y( x ) = cos( x )2
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) = −
1
3
cos( x )2 +
2
3
+ _C1 cos( x ) + _C2 sin( x )
Ejercicio 9.3
> edo:=diff(y(x),x,x)-y=cosh(x);
⎛ ∂2
⎞
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = cosh( x )
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
y( x ) =
1
1
1
1
1 ⎞
⎛ 1 (2 x)
⎜⎜ − e
cosh( x )2 + e( 2 x ) cosh( x ) sinh( x ) + e( 2 x ) x − cosh( x )2 − cosh( x ) sinh( x ) − x ⎟⎟ e( −x ) + _C1 ex + _C2 e( −x )
4
4
4
4
4 ⎠
⎝ 4
> edo:=diff(y(x),x,x)-y=(exp(x)+exp(-x))/2;
⎛ ∂2
⎞
1
1
edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = ex + e( −x )
2
2
⎝ ∂x
⎠
> dsolve(edo,y(x));
Page 3
1 1
1 ⎞
⎛1
y( x ) = ⎜⎜ e( 2 x ) x − − e( 2 x ) − x ⎟⎟ e( −x ) + _C1 ex + _C2 e( −x )
8 8
4 ⎠
⎝4
Ejercicio 10
> edo:=4*diff(y(x),x,x)-y=x*exp(x/2);
⎛ ∂2
⎞
edo := 4 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = x e( 1 / 2 x )
⎝ ∂x
⎠
> cond0:=y(0)=1;
cond0 := y( 0 ) = 1
> cond1:=D(y)(0)=0;
cond1 := D( y )( 0 ) = 0
> s:=dsolve({edo,cond0,cond1},y(x));
s := y( x ) =
1
8
x2 e( 1 / 2 x ) −
1
4
x e( 1 / 2 x ) +
3
4
e( 1 / 2 x ) +
1
4
e( − 1 / 2 x )
Representación gráfica.
> f:=rhs(s);
f :=
1
8
x2 e( 1 / 2 x ) −
1
4
x e( 1 / 2 x ) +
3
4
e( 1 / 2 x ) +
1
4
e( − 1 / 2 x )
> plot(f,x=0..3);
5
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
Definimos la solución como función.
> g:=unapply(f,x);
g := x →
1
8
x2 e( 1 / 2 x ) −
1
4
x e( 1 / 2 x ) +
Calculamos el valor de la solución x=2.5.
> g(2.5);
3.234749504
>
Page 4
3
4
e( 1 / 2 x ) +
1
4
e( − 1 / 2 x )
3