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Modelos de Sistemas
Dinámicos
 Elementos
Sol M1
r12
descritos por variables
descriptivas (la masa y la
posición de un objeto)
 Que interactúan
Mediante reglas precisas
de interacción (Dos
cuerpos se atraen con una
fuerza proporcional al
producto de las masas
sobre el cuadrado de la
distancia)
M2 Tierra
r13
r23
Júpiter
M3
No existe solución analítica para
la trayectoria de un cuerpo sometido
a la interacción de dos o más cuerpos!
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Otro Sistema Dinámico
 Elementos
 Fuente (Tiempo entre llegadas de paquetes)
 Paquete (Instante de Llegada, Longitud en
bits)
 Buffer (Número de paquetes, Número de
Cupos)
 Enlace (Capacidad en bps, estado de
ocupación)
 Interacciones
Uno de infinitos posibles modelos
 Si un paquete llega y encuentra el enlace
ocupado, espera en el buffer hasta que le
llegue su turno. Si el enlace está libre, lo
ocupa. El tiempo de ocupación está dado por
la longitud del paquete y la capacidad del
enlace.
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Un modelo de un enlace
(t) paquetes/segundo
(t) paquetes/segundo
Si la entrada forma un proceso estacionario de Poisson:
(t ) n t
P[ N (t )  n] 
e
n!
Con incrementos independientes
Y si el tiempo de transmisión es exponencial e i.i.d. para cada paquete:
P[T  t ]  1  e  t
Entonces las estadísticas del buffer de transmisión y la ocupación del
enlace se pueden obtener estadísticamente de un modelo de cola M/M/1.
Por ejemplo, el retardo promedio de cada paquete en el enlace es
1
E[D] 
 
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¿Pero si no es M/M/1?
Queue length (in bytes) under the Poisson traffic
10000
5000
0
0
500
6
1000
1500
Time in seconds
2000
2500
3000
Queue length (in bytes) under the Ethernet traffic
x 10
Number of bytes in queue
Number of bytes in queue
15000
5
4
3
2
1
0
0
500
1000
1500
Time in seconds
2000
2500
3000
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Simulación
rv(t)
F(t)
v(t)
Newton:
M d
1
v(t )  v(t )  F (t )
r dt
r
R
x(t)
C
y(t)
Thevenin:
d
RC y(t )  y (t )  x(t )
dt
Si hacemos RC=M/r & x(t) = F(t)/r, el voltaje de salida y(t)
representará la correspondiente velocidad del vehículo: Simulación.
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Tipos de Modelos
Tiempo continuo, estados continuos:
Modelo de Ecuaciones Diferenciales
RC
d
y(t )  y (t )  x(t )
dt
Tiempo discreto, estados continuos:
Modelo de Ecuaciones de Diferencia
y(nt )  y((n  1)t )
 y(nt )  x(nt )
t
1
y[n]  x[n]  10 y[n  1]
t  RC / 10
11
RC
For n=0 to 50
x = 1(n < 20)
if n==0
y(n)=0
else
y(n)=(x(n)+10*y(n-1))/11
end
end
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Modelos de Eventos
Discretos
Los paquetes llegan o salen
en cualquier instante
Tiempo Continuo
Cada llegada incrementa el
número de paquetes en el
sistema, mientras que cada
salida lo decrementa
N(t)
Espacio de Estados Discreto
N(t)
t
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Problemas de programación
por resolver en simulación de
eventos discretos
El transcurso del tiempo y la sucesión de
eventos
La generación de variables aleatorias
La adquisición de estadísticas
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Transcurso del Tiempo y
Sucesión de Eventos
Busca el próximo evento
Actualiza
Reloj
Evento Tiempo
e1
t1
e2
t2
...
ei
...
...
ti
...
ej
tj
...
...
ti
Actualiza
Estado
ei
Actualiza
Estadísticas
ej
tj
Determina
ej & tj
Genera Números Aleatorios
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Generación de Números
Aleatorios
 Casi cualquier lenguaje trae un generador de números
pseudoaleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, rand().
 Sea X ~ FX(x) = Pr[X  x]
 Sea Y = FX(X), de manera que Y ~ U([0,1])
 (en efecto, P[X  x] = P[Y  FX(x)] = FX(x))
 Entonces, obteniendo muestras de Y mediante rand(), se pueden
obtener muestras de X haciendo X = FX-1(Y).
Generalmente FX(x) no es invertible pero, afortunadamente, existen muchos
otros métodos
Ejemplo: Tiempos entre llegadas exponencialmente distribuidos
double Exponencial(double media) {
double p=0;
while(p==0) p = (double)rand() / (double)RAND_MAX;
return -media*log(p);
}
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Adquisición de Estadísticas
 Si se mide el retardo de N paquetes, {wi, i=1,…,N}, el
valor esperado del retardo de un paquete se puede
estimar mediante
N
1
E[W ] 
N
w
i 1
i
 Si se miden los valores que toma la longitud de la cola
q(tn) y los instantes en que cambia, tn, la longitud
proomedio de la cola se puede estimar mediante
1 T
1
E[Q]   q(t )dt 
T 0
tN
N
 q(t
i 1
i 1
)(t i  t i 1 )
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Simulación de una cola M/M/1
#include
#include
#include
#include
#define
#define
double
int
<stdio.h>
<stdlib.h>
<conio.h>
<math.h>
Libre
0
Ocupado 1
Landa, Mu, Tmax, Tllega, Tsale, Reloj, EQ, Tant;
Enlace, LongitudCola;
double Exponencial(double media);
void main(void) {
printf(“\nLanda Mu Tmaximo : ? “);
scan(%lf %lf %lf”,&Landa, &Mu, &Tmax);
Enlace = Libre;
Reloj = 0;
LongitudCola = 0;
EQ = 0;
Tant = 0;
Tllega = Exponencial(1.0/landa);
Tsale = 1.0e6;
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Simulación de una cola M/M/1
do {
if(Tllega <= Tsale) {
Reloj = Tllega;
Tllega = Reloj + Exponencial(1.0/landa);
if (Enlace==Ocupado) {
EQ += LongitudCola*(Reloj - Tant);
++LongitudCola;
Tant = Reloj;
} else {
Enlace = Ocupado;
Tsale=Reloj+Exponencial(1/mu);
}
else {
Reloj = Tsale;
if(LongitudCola==0) {
Enlace = Libre;
Tsale = 1.0e6;
}
else {
Tsale = Reloj+Exponential(1.0/Mu);
EQ += LongitudCola*(Reloj - Tant);
--LongitudCola;
Tant=Reloj;
}
}
} while(reloj < Tmax)
printf(“\neq = %lf/n”,EQ/Reloj)
Ejercicio
Trazar una curva de E[Q] -longitud
promedio de la cola, sin contar el paquete
en el buffer de transmisión- como función
de la intensidad de tráfico r/.
Comparar con los resultados analíticos de
la cola M/M/1.
Repetir el punto anterior para sistemas
M/M/2, M/D/1 y M/M/1/N. Evaluar la
probabilidad de bloqueo en el último caso.
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Solución (M/M/1)
Longitud promedio de la cola
2
Longitud promedio de la cola
10
100
Simulación
Teoría
Simulación
Teoría
90
1
10
80
70
0
Número de paquetes
Número de paquetes
10
-1
10
60
50
40
-2
10
30
20
-3
10
10
-4
10
0
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de Tráfico
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de Tráfico
0.8
1
Los resultados de simulación pueden ser muy cercanos a los resultados
teóricos, aunque una alta varianza puede conducir a resultados de
simulación muy alejados del verdadero promedio.
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Solución (M/M/2)
Longitud promedio de la cola
2
Longitud promedio de la cola
10
100
Simulación
Teoría
Simulación
Teoría
90
80
0
10
Número de Paquetes
Número de Paquetes
70
-2
10
60
50
40
30
-4
10
20
10
-6
10
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
Para construir el modelo M/M/2 a partir del M/M/1 basta con considerar el
número de enlaces libres para decidir si un nuevo paquete debe esperar en cola
o iniciar su transmisión inmediatamente después de su llegada. La lista de
eventos incluye dos tipos de salida.
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Solución (M/D/1)
Longitud promedio de la cola
2
Longitud promedio de la cola
10
50
Simulación
Teoría
1
Simulación
Teoría
45
10
40
0
35
Número de Paquetes
Número de Paquetes
10
-1
10
-2
10
-3
30
25
20
15
10
10
-4
10
5
-5
10
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
Este es el caso de la mínima modificación en el programa de simulación, porque
basta son sustituir el tiempo de servicio por 1/ para todo paquete, en vez de
tomar una muesta de una variable aleatoria exponencial con promedio 1/. Sin
embargo la solución analítica requiere un método completamente diferente.
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Solución (M/M/1/N)
Probabilidad de bloqueo
0
Probabilidad de bloqueo
10
0.09
Simulación
Teoría
Simulación
Teoría
0.08
-1
0.07
Fracción de Paquetes
Fracción de Paquetes
10
-2
10
-3
10
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
-4
10
0.01
-5
10
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Intensidad de tráfico
0.8
1
La observación de “eventos raros” (aquellos que se dan con muy baja
probabilidad) requiere de largos experimentos de simulación si se
quieren estimar sus probabilidades con suficiente precisión.
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Comparación
Longitud Promedio de la Cola
2
10
M/M/1
M/M/2
M/D/1
A menos que
las varianzas
sean muy altas,
la simulación
es un excelente
método para
hacer comparaciones relativas
de desempeño.
0
Número de paquetes
10
-2
10
-4
10
-6
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Intensidad de Tráfico
0.7
0.8
0.9
1
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Conclusión del ejercicio
 Ventajas de la simulación
 Como los modelos analíticos no son suficientemente detallados y los
modelos experimentales son muy costosos, entonces la simulación es el
único método víable.
 Si se utiliza juiciosamente, la simulación puede arrojar resultados
relevantes y significativos
 Se pueden introducir modificaciones con gran flexibilidad
 Ideal para comparación de propuestas alternativas
 Desventajas de la simulación
 Alto costo computacional (cada ejecución es sólo una muestra
aleatoria, por lo que se requieren varias (¿muchas?) ejecuciones
independientes para cada conjunto de parámetros de entrada.
 Si no se hace una planeación juiciosa de los experimentos y un análisis
cuidadoso de los resultados, la información obtenida será inútil (o
peligrosa si el analista no se da cuenta de que es inútil!)
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Análisis de Resultados
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Tiempo de Simulación
Tan pequeño como se pueda (por eficiencia)
Tan grande como se pueda (para asegurar el
equilibrio del sistema dinámico que se estudia)
Longitud promedio de la cola
30
MM1, ro=0.95
Numero de paquetes
25
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo
3000
3500
4000
4500
5000
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Cada ejecución es un
experimento aleatorio
Longitud promedio de la cola
40
MM1, ro=0.95
35
Numero de paquetes
30
25
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500
2000
2500 3000
Tiempo
3500
4000
4500
5000
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Análisis de distintos
experimentos independientes
Longitud promedio de la cola
40
35
El promedio de diez
experimentos independientes
converge más rápidamente
a la que parece ser la
verdadera longitud
promedio de la cola
Numero de paquetes
30
25
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500
2000
2500 3000
Tiempo
3500
4000
4500
5000
Pero siempre parece haber incertidumbre...
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¿Cómo cuantificar la
incertidumbre?
Teorema del Límite Central
Sea {Xi, i=1, 2, …, n} un conjunto de n variables aleatorias
independientes con media  , varianza s2 y distribución
arbitraria. Sea X la media muestral de los Xi,
1 n
X   Xi
n i 1
Entonces X es asintóticamente Normal, con media  y varianza
s2/n:
 n

1 x
 1 2


P
X



x

exp
 u du



lim

2 
 2 
n 
s

Este es el caso de la media muestral de n simulaciones
independientes
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Función de densidad de
probabilidad Normal

 1  x   2 

f X ( x) 
exp   

 2 s  
s 2


1

X  N  , s 2 
X 
Z
 N (0,1)
s
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Algunas Probabilidades
PZ   z  
z
f
Z
( s)ds

P Z  z  
z
f
Z
( s)ds
z

PZ  z    f Z ( s)ds
z
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Percentiles de la
distribución Normal
Si a = Pr[Z > za], decimos que za es el percentil superior
100a de la distribución normal estándar.
 si za/2 es el percentil superior 100(a/2),
Pr[|Z|< za/2] = 1 - P[Z < -za/2] - P[Z > za/2] = 1 - (a/2) - (a/2) = 1 - a
Area = 1-a
-za/2
za/2
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Intervalos de Confianza
n
1
Escribiendo el anterior resultado en términos de X   X i
n i 1


( X  ) n
Pr  z a / 2 
 za / 2   1  a
s


O, lo que es lo mismo,

s
s 
Pr  X  z a / 2
   X  za / 2
  1 a
n
n

Esto es, la media  se encuentra en el Intervalo de Confianza
X  za/2 s/n con un nivel de confianza 1 - a.
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¿Estimar  conociendo s?
Si no se conoce , es de esperarse que no se conozca s. Sin embargo, este último
se puede estimar mediante
n
1
2


S 
Xi  X

n  1 i 1
2
Al remplazar s2 por S2, la variable aleatoria
t
X 
S/ n
no tiene una distribución normal, sino una distribución t-de-Student con n-1
grados de libertad:

S
S 
Pr  X  t a / 2;n 1
   X  t a / 2;n1
  1 a
n
n

Donde los percentiles ta/2;n-1 de la distribución t-de-student se encuentran
ampliamente tabulados en la literatura.
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Percentiles de la distribución t-de-student
n
t_ 0.100
t_ 0.050
t_ 0.025
t_ 0.010
t_0.005
d.f.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
inf
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.282
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.645
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
1.960
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.326
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.576
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
inf
Percentiles de la distribución
Normal(0,1), válidos para
n>30.
Ejemplo
Con el simulador de la cola M/M/1 se hicieron 10 mediciones independientes de la
longitud promedio de la cola para r=0.95, observando la llegada de 5000 paquetes en
cada simulación. Los resultados fueron los siguientes:
X1
X3
X5
X7
X9
= 32.7079067191384
= 11.2969052017823
= 25.6198844852721
= 14.591500727383
= 11.5008608702002
1 10
X   X i  18.055
10 i 1
X2 = 9.08786745938266
X4 = 11.5366405899437
X6 = 24.4304916827752
X8 = 13.1602878034449
X10 = 26.617547847418
1 10
2
S    X i  X   70.3756
9 i 1
2
 Pr[12.05 < E[Q] < 24.05] = 0.95
Pr[13.19 < E[Q] < 22.92] = 0.90
Pr[14.39 < E[Q] < 21.72] = 0.80
Ningún valor fue cercano
al promedio real porque,
con una varianza tan alta,
el valor promedio no es
un valor típico
t0.025; 9 = 2.262
t0.050; 9 = 1.833
t0.100; 9 = 1.383
(E[Q] teórico: 18.05!!)
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10 simulaciones de M/M/1
Longitud promedio de la cola M/M/1
50
Promedio
Teoría
Intervalos del 95% de confianza
45
40
Numero de paquetes
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Intensidad de Tráfico
0.7
0.8
0.9
1
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Diferentes opciones de simulación de
redes de comunicaciones
 Lenguajes de programación general (C++, matlab)
 Máxima flexibilidad
 Sólo modelos muy pequeños
 Lenguajes de simulación de propósito general (SimScript)
 Gran flexibilidad
 Arduo trabajo de programación con modelos medianos o grandes
 Paquetes de propósito general (Arena, Simulink)
 Intermedio entre flexibilidad y facilidad de uso
 Lenguajes de simulación de propósito específico (ns-2)
 Freeware
 Más orientado a la investigación
 Extensa librería de protocolos
 Paquetes específicos (QualNet, Comnet, Opnet)
 Gran facilidad de uso
 Animación
 análisis estadístico
 Documentación
 Soporte al cliente
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NS-2
Facilita el diseño y la evaluación de
protocolos en Internet
Plataforma común, promueve la colaboración
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Dualidad entre OTcl y C++
Objetos
exclusivos OTcl
Objetos
exclusivos C++
C++
Objetos compartidos
C++/OTcl
OTcl
ns
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Separación entre C++ y OTcl
Cálculo de
Rutas
Cálculo de
Rutas
control
OTcl
c++
datos
paquetes
Enrutador 1
Enrutador 2
paquetes
paquetes
trazas
colas
……
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NS es una extensión del
interpretador Tcl
Componentes
de Red
TclCL
OTcl
Tcl
C
Eventos
Discretos
 Tcl: Lenguaje Script
 OTcl: Tcl Orientado a
objetos
 TclCL: Encadena C++ y
OTcl
 Control de sucesión de
eventos discretos
 Componentes de Redes IP
(enlace, acceso al medio,
enrutamiento, transporte y
aplicación)
C++
ns-2
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Estructura de Programas NS
Crear el Administrador de Eventos
Habilitar las trazas
Crear la red
Establecer el enrutamiento
Crear los agentes de los protocolos
Generar tráfico
Llamar al administrador de eventos
Hacer reportes
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Trazas de la simulación
Hacer una traza de los paquetes en todos
los enlaces
$ns trace-all [open test.out w]
<evento> <tiempo> <paq> <tamaño>
<fuente> <destino> <#sec.> <attr>
+
1
cbr
210
-----0.0
3.1
0
0
1
cbr
210
-----0.0
3.1
0
0
r
1.0023
cbr
210
-----0.0
3.1
0
0
Trazas para el nam -Animator$ns namtrace-all [open test.nam w]
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Creación de la Red
 Nodos
 set n0 [$ns node]
 set n1 [$ns node]
 Enlaces
 $ns duplex-link $n0 $n1 <Ancho de banda> <Retardo> <Tipo de
cola>
 Conexiones
 UDP
set src [new Agent/UDP]
set rcv [new Agent/Null]
$ns connect $src $rcv
 TCP
set tcp [new Agent/TCP]
set tcpsink [new Agent/TCPSink]
$ns connect $tcp $tcpsink
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Creación de la Red
Tráfico
FTP
set ftp [new Application/FTP]
$ftp attach-agent $tcp
Telnet
set telnet [new Application/Telnet]
Web
set session [new httpSession $ns <númPág.>
<NodoCliente>]
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Ejemplo Básico
n0
set ns [new Simulator]
set n0 [$ns node]
set n1 [$ns node]
$ns duplex-link $n0 $n1
1.5Mb 10ms DropTail
set tcp [$ns createconnection TCP $n0
TCPSink $n1]
n1
set ftp [new Application/FTP]
$ftp attach-agent $tcp
$ns at 0.2 "$ftp start"
$ns at 1.2 ”exit"
$ns run
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Alguien Preguntó:
¿Cuántas simulaciones independientes debo correr para obtener un
nivel de confianza determinado?
1 n
Lo que queremos es estimar E[X] =  mediante X   X i
n i 1
donde Xi es el estimado de la i-ésima simulación,
de manera que


Pr X      1  
Dados un  y un , ¿Cuál debe ser el n óptimo?
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Mínimo número de
simulaciones
Empezando con un número fijo de simulaciones, n, de donde estimamos la
varianza muestral S2(n), una expresión aproximada para el número mínimo de
simulaciones (suponiendo que S2(n) no varía apreciablemente con simulaciones
adicionales) sería


S 2 ( n)


n * ( ,  )  min ti 1, / 2
 
in
i




Lo cual sugiere una búsqueda iterativa en el rango i>n. Alternativamente,
podemos hacer m = S2(n)(z/2/)2 - n simulaciones adicionales y repetir la
prueba con n = m.
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Ejemplo
10 simulaciones independientes de un multiplexor de paquetes arrojaron
el siguiente retardo promedio de los paquetes (en ms):
Semilla
Retardo
1
1.53
2
1.66
3
1.24
4
2.34
5
2
6
1.69
7
2.69
8
2.86
9
1.7
10
2.6
Queremos estimar el retardo promedio dentro de un intervalo de 0.25 ms con
un nivel de confianza del 90%.
Con S2(10) = 0.31 ms2, necesitamos


0.31
n * (0.1,0.25)  min ti 1,0.05
 0.25  16
in
i


Simulaciones, de manera que debemos hacer 6 simulaciones más.
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Ejemplo
0.35
beta(i)
0.3
0.25
0.2
10
11
12
13
14
i
15
16
17
18
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