Presentación de PowerPoint

Las leyes de Biot-Savart y de Ampere
P
r
•
Rθ
θ
R
θ
dx
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I
x
1
R
x
r
dB
θ
z
z
r
dB
26/07/2008
Campo Magnético Causado por Corrientes
2
y Como usted puede saber, es posible
fabricar un magneto (imán)
enrollando un alambre sobre un
clavo y hacer pasar corriente a
través del alambre.
y De éste y otros experimentos, se
puede observar que las corrientes
crean campos magnéticos.
y En verdad, ésta es la única forma
en que el campo magnético puede
ser creado.
y Si nosotros viéramos al interior de
un imán permanente,
encontraríamos que contiene un
enorme número de átomos cuyas
cargas giran creando minúsculas
corrientes.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Grua
electromagnética
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
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Cálculo del Campo Eléctrico
3
• Dos formas de calcular
– Ley de Coulomb
G
dq
dE = k 2 rˆ
r
Para cualquier
distribución de
carga
– Ley de Gauss
G G
ε 0 ∫ E • dS = q
“Alta simetría"
Cuáles son las ecuaciones análogas para el Campo
Magnético?
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26/07/2008
Cálculo del Campo Magnético
4
• Dos formas de calcular
– Ley de Biot-Savart
(“Cualquier distribución
de corriente”)
– Ley de Ampere
(“Alta simetría”)
×I
G
G μ0 I dl × rˆ
dB =
4π r 2
K G
v∫ B • dl = μ0 I
–Superficie Amperiana
(Trayectoria Amp.)
Estas son las ecuaciones análogas
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26/07/2008
El Campo Magnético en un
punto p, generado por una carga
q en movimiento, siempre apunta
Perpendicular al plano formado
entre la Posición del punto p (r)
y la velocidad de la partícula (v).
Gm
g= 2
r
kq
E= 2
r
Kqv
Bα 2
r
¿Cómo representamos la condición de que B es
perpendicular a v y r?
G
G
G
μ o q v x rˆ
K q v × rˆ
B =
=
2
2
4π r
r
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5
μ o qvsenφ
B=
2
4π
r
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La paradoja que dio origen a la teoría especial
de la relatividad
6
q2
FE =
4πε o r 2
1
FB
= μ oε o v 2
FE
μo q 2 v 2
FB =
4π r 2
c=
1
μ oε o
2
FB v
= 2
FE c
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Cuando v es pequeña comparada
con c, la fuerza magnética es mucho
menor que la fuerza eléctrica
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LA LEY DE BIOT-SAVART
7
Contribucion diferencial del campo magnetico
( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
G
G
μ o q v x rˆ
B =
2
4π r
Tenemos que adaptar la expresión
para el campo B de una carga al
de un “flujo” de cargas
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26/07/2008
CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE
CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magnético total generado por varias cargas
en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIÓN
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8
26/07/2008
μ o qvsenφ
B =
r2
4π
Campo generado por una
carga q moviéndose con
velocidad v
dq = n(Adl)e
μ o dq v d senφ
dB =
r2
4π
μ o ( nAdle ) vd senφ
dB =
4π
r2
μo (nAvd e)dlsenφ
dB =
r2
4π
G
G μo I dlxrˆ
dB =
2
4π r
μ o Id ls e n φ
dB =
r2
4π
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9
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G
G
μ o I d lxrˆ
dB =
2
4π r
Expresión vectorial
μ o i d lsenφ
dB =
r2
4π
Expresión escalar
r - es la magnitud del vector posición r, éste vector apunta
desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se
mide la contribución del campo.
dl - es la magnitud del vector dl, éste vector es tangente al
conductor y apunta en la dirección de la corriente convencional.
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10
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μ o i d lsenφ
dB =
2
r
4π
Φ- Representa el ángulo
formado entre los vectores dl y r.
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magnética del
espacio libre (vacío), en el sistema internacional de unidades su
valor es 4πx10-7 Wb/A.m ó (T.m/A)
N
μ0 = 4π ×10
2
A
−7
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11
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dB
I
r
dl
G
G
μ o I d lxrˆ
dB =
4π r 2
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CAMPO MAGNÉTICO DE ALAMBRES
RECTOS
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13
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CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA
VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
G
G
μ o I d lxrˆ
dB =
4π r 2
VER ANIMACIÓN
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14
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El campo magnético “circula” alrededor del alambre
Observe que el
campo B es siempre
tangente a una línea
de campo.
Mientras más nos aproximamos al
alambre, el campo se vuelve más intenso
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15
26/07/2008
El punto P y el alambre se encuentran en el
plano de la “pizarra”
μ o i dlsenθ
dB =
4π r 2
¿Podemos sumar (integrar) esta contribución
(dB) para encontrar el campo total en el punto
P, generada por un tramo de una longitud L?
¡Si!, ya que todas las contribuciones dB apuntan
en la misma dirección
μ o i dlsenθ
B
dB
=∫
=∫
2
μoi dlsenθ
4
π
r
B=
4π ∫ r 2
Recuerde que es una
saquemos las constantes
integral de línea, aquí
fuera de la integral
vemos 3 “variables”.
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16
26/07/2008
μoi dlsenθ
B=
4π ∫ r 2
Pongamos r y θ en
función de l
senθ =
R
r
r2 = R2 + l2
μoi dlsenθ
B=
4π ∫ r 2
μ o i dl R
B=
4π ∫ r 2 r
μ o iR dl
B=
4π ∫ r 3
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17
μoiR
dl
B=
4π ∫ ( R 2 + l 2 )3/ 2
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μoiR
B=
4π ∫
0
dl
3
2 2
(R2 + l )
μ o iR b
dl
B=
∫
4π − a ( R 2 + l 2 )
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18
3
2
26/07/2008
Integrales útiles de recordar.
1
dx
x
=
∫ ( x 2 + a 2 ) 3 2 a 2 ( x 2 + a 2 ) 12
1
xdx
=
−
∫ ( x 2 + a 2 ) 3 2 ( x 2 + a 2 ) 12
(1)
(2)
Utilicemos el resultado de la integral (1)
μo iR b
dl
B=
4π ∫− a ( R 2 + l 2 )
b
3
⎤
μoiR ⎡ l
1
B=
⎢
⎥
4π ⎣ R 2 (l 2 + R 2 ) ⎦ − a
1
2
2
⎤
μo i ⎡
b
a
+ 2
B=
⎢ 2
⎥
2
4π R ⎣ (b + R )
(a + R 2 ) ⎦
1
2
1
2
Este resultado lo podemos simplificar
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26/07/2008
a
b
⎤
μo i ⎡
b
a
+ 2
B=
⎢ 2
⎥
2
4π R ⎣ (b + R )
(a + R 2 ) ⎦
1
α
β
R
P
2
μo i
B=
(cos β + cos α )
4π R
Alambre muy largo (infinito), o R
es pequeña comparada con la
longitud del alambre, los ángulos α
y β tienden a cero grados
μ oi
B=
2π R
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1
2
μo i
(cos 0o + cos 0o )
B=
4π R
Válida para puntos
ubicados fuera del
alambre
20
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⎡ μo I
μo I ⎤ ˆ
Btotal (1) = ⎢
−
(− j )
⎥
⎣ 2π (2d ) 2π (4d ) ⎦
Campo magnético generado por dos
alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra, en puntos sobre el eje “x”
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26/07/2008
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO
MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q, GENERADO POR
UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN
LA FIGURA.
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26/07/2008
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO
MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q, GENERADO POR LOS
DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE
TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
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26/07/2008
Una lámina conductora muy larga de ancho w y
espesor muy delgado d, transporta corriente I como
se indica en la figura. Determine el campo magnético
en el punto p ubicado a una distancia b sobre el
plano del conductor.
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26/07/2008
Dividimos la lámina en un
conjunto muy grande de
“alambres” muy largos de
“diámetro” dx
μ oi
B =
2π R
Adaptamos ésta expresión
para el “alambre”
dB =
μo I '
2π ( w + b − x)
dB =
'
I
I
=
wd dxd
dx
'
I =
I
w
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μo Idx
2π w( w + b − x)
μo I
dx
B=
2π w ∫0 w + b − x
w
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26/07/2008
Campo magnético en un punto p ubicado sobre el eje de una
espira circular con corriente.
Por simetria las componentes
perpendiculares a “x” se cancelan
μo I dlsenα B ⊥= dB ⊥= 0
∫
dB =
2
r
4π
α: ángulo entre dl y r
B = ∫ dB / / = ∫ dB cosθ
Suma de todas las
contribuciones
paralelas a “x”
μ0 I dl senα
B=∫
cosθ
2
r
4π
a
cos θ =
r
senα = 1
μo I adl
B=∫
3
4π r
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26
26/07/2008
μ o Ia
B =
4π r 3
B=
∫ dl
μo Ia
4π ( x + a )
G
μo Ia 2
ˆ
B=
i
2( x 2 + a 2 )3/ 2
Espira con corriente
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Regla de la
mano derecha
27
2
2
3
2
(2π a )
Campo similar al generado
por un magneto
26/07/2008
Campo en un punto en el centro
de una espira circular (x=0)
B=
μo Ia 2
B=
2( x 2 + a 2 )3/ 2
Para cualquier punto
sobre el eje de la espira
μo I
2a
μo I ⎛ θ ⎞
B=
⎜
⎟
2a ⎝ 2π ⎠
Para un arco de
circunferencia
Ver animacion
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26/07/2008
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL
CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C, GENERADO
POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA
FIGURA.
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26/07/2008
μ o i d lsenφ
dB =
2
r
4π
Φ: Angulo formado entre dl y r
μo I rdθ
dB =
4π r 2
μo I ⎛ θ ⎞
B=
⎜
⎟
2r ⎝ 2π ⎠
dB entrando en el plano en el punto C
μo I
μo I ⎛ π / 2 ⎞
B=
⎜
⎟→ B =
2r ⎝ 2π ⎠
8r
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30
Entrando al plano
en el punto C.
26/07/2008
μo I ⎛ θ ⎞
B=
⎜
⎟
2a ⎝ 2π ⎠
Los tramos
horizontales no
contribuyen al
campo en C.
μo I
Campo generado por un arco
de circunferencia
B=
Las contribuciones de los dos
tramos circulares estan en la
misma direccion
B = B1 + B2
Entrando al plano del papel
en el punto C.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
4r
μo I ⎛ 1
1 ⎞
B=
⎜ + ⎟
4 ⎝ R1 R2 ⎠
31
26/07/2008
Fuerza magnética entre conductores paralelos
32
La corriente en cada uno de los alambres está inmersa
en el campo generado por la corriente vecina.
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26/07/2008
G G
G
dF = IdlxB
dF1 = I1dlB2 sen90
o
μo I 2
dF1 = I1 dl
2π d
Corrientes en la misma
dirección se atraen.
Corrientes en direcciones
contrarias se repelen.
μo I1 I 2
F1 =
2π d
∫
L
0
dl
F1 μo I1 I 2
=
2π d
L
Ver animacion
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33
26/07/2008
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY
LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO
HORIZONTAL. DETERMINE LA MAGNITUD Y
DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL
ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA.
F1 μo I1 I 2
=
2π d
L
FLORENCIO PINELA - ESPOL
34
26/07/2008
Las fuerzas F3 y F4 se
cancelan
F = F1 − F2
μo I1 I 2 L
F1 =
2π d1
μo I1 I 2 L
F2 =
2π d 2
G μo I 2 L ⎛ 1 1 ⎞
ˆ
F=
−
⎜
⎟j
2π ⎝ d1 d 2 ⎠
FLORENCIO PINELA - ESPOL
d1=0,03m, d2=0,08m,
L=0,1m
35
26/07/2008
RESUMEN: LEY DE BIOT-SAVART
μ o i d lsenφ
μo i
dB =
B
=
(cos
β
+
cos
α
)
2
r
4π
4π R
ALAMBRES RECTOS
B=
μo Ia 2
2( x 2 + a 2 )3/ 2
ESPIRAS CIRCULARES
μoI
B=
2π R
μo I ⎛ θ ⎞
B=
⎜
⎟
2a ⎝ 2π ⎠
ALAMBRES RECTOS
MUY LARGOS
SEGMENTO CIRCULAR
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36
26/07/2008
LA LEY DE AMPERE
37
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los
casos que presentan extrema simetría, muy
similar a la ley de Gauss para el campo eléctrico,
esta ley es de fácil aplicación en los casos que
presentan distribuciones simétricas de campos
magnéticos, producidos por determinadas
configuraciones de conductores con corriente.
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26/07/2008
La ley de Ampere establece que la suma de todos los
productos B·dl a lo largo de la trayectoria cerrada l
(circulación del campo magnético), es directamente
proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie S
limitada por la trayectoria l.
Corriente
neta I
Superficie S atravesada
por la corriente I
B
Trayectoria
cerrada l
dl
v∫
G G
B ⋅ dl α I
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada, es proporcional a la corriente neta I que la encierra.
→
→
v∫ B ⋅ dl = μ I
o
FLORENCIO PINELA - ESPOL
38
26/07/2008
→
→
B
⋅
dl
=
μ
I
o
v∫
Corriente “encerrada”
Integral alrededor de una
trayectoria cerrada … con
suerte que sea simple
×
FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
por la trayectoria
Usualmente la
trayectoria cerrada
coincide con una
línea de inducción
39
26/07/2008
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son
similares a los de la ley de Gauss.
40
1. Dada la distribución de corrientes deducir la dirección del
campo magnético
FLORENCIO PINELA - ESPOL
26/07/2008
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por
corrientes y calcular la circulación del campo magnético.
Generalmente el camino cerrado coincide con una línea de
campo magnético
a) Corriente “positiva” por convención
b) Corriente “negativa” por convención
FLORENCIO PINELA - ESPOL
41
26/07/2008
3.Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta)
que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo
magnético.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
42
26/07/2008
CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR UN
CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Elegimos como camino cerrado una
circunferencia de radio R, centrada en la
corriente rectilínea, y que coincida con una
línea de inducción.
• El campo magnético B es tangente a la
circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
• El campo magnético B tiene el mismo
módulo en todos los puntos de dicha
circunferencia.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
43
26/07/2008
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
v∫
G G
B ⋅ dl =
v∫ Bdl cos θ = B v∫ dl = B 2π r
La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
B 2π r = μ o i
Despejamos el módulo del
campo magnético B.
μ oi
B =
2π r
Llegamos a la misma expresión obtenida aplicando la ley de Biot y Savart.
El campo magnético para puntos fuera del cable se comporta
igual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
FLORENCIO PINELA - ESPOL
44
26/07/2008
Para r < R
→
→
v∫ B ⋅ dl = μ I
o
→ →
o
B
⋅
dl
=
BdlCos
0
= B v∫ dl = B (2π r )
v∫
v∫
B (2π r ) = μ0 I '
I,
π r2
=
π R2
I
μo I
B=
r
2
2π R
μo I
B=
r
2
2π R
μ0 I
B=
2π r
FLORENCIO PINELA - ESPOL
45
26/07/2008
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO
MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
46
26/07/2008
Para R2 < r < R3
→ →
o
B
⋅
dl
=
BdlCos
0
= B v∫ dl = B (2π r )
v∫
v∫
I , π (r 2 − R22 )
=
I o π ( R32 − R22 )
⎛ R32 − r 2 ⎞
B(2π r ) = μo I o ⎜ 2
2 ⎟
R
R
−
2 ⎠
⎝ 3
(r 2 − R22 )
I′ = 2
Io
2
( R3 − R2 )
I neta
2
2
⎛
μo I o R3 − r ⎞ 1
B=
⎜ 2
2 ⎟
2π ⎝ R3 − R2 ⎠ r
⎛ (r 2 − R22 ) ⎞
= I o ⎜1 − 2
2 ⎟
(
R
−
R
3
2)⎠
⎝
FLORENCIO PINELA - ESPOL
47
26/07/2008
Campo B de un Solenoide
48
y Un campo magnético constante puede (en principio)
ser producido por una lámina ¥ de corriente. En la
práctica, sin embargo, un campo magnético
constante es amenudo producido por un solenoide.
•
L
Un solenoide es definido por una corriente i que
fluye a través de un alambre que se dobla en n
vueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de
radio a y longitud L.
a
• Para calcular correctamente el campo B, deberíamos usar BiotSavart, y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos.
•
Si a << L, el campo B contenido dentro del solenoide, en direccion
axial es constante en magnitud. Bajo ésta condición, podemos
calcular el campo usando la Ley de Ampere.
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26/07/2008
CAMPO MAGNÉTICO DE UN
SOLENOIDE
IDEAL
49
L
a
a << L
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26/07/2008
Las líneas de campo
magnético salen de uno de
los extremos del solenoide
y retornan por el otro.
Las líneas de campo
magnético se vuelven
paralelas en la parte
central del solenoide.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
50
26/07/2008
EL SOLENOIDE IDEAL
Tomemos como trayectoria de
integración el rectángulo
v∫
→ →
B⋅ dl = μo I neta
trayect .
cerrada
G G
∫ B ⋅ dl = 0
Para las trayectorias,
excepto a-b
→ →
∫ B⋅ dl = ∫ Bdl = BL = μ I
o neta
Ineta = la corriente que atraviesa el
rectángulo = nLI
n: número de espiras por
unidad de longitud
BL = μonLI
FLORENCIO PINELA - ESPOL
B = μo n I
51
26/07/2008
Solenoides
52
El campo magnético de un solenoide es esencialmente
idéntico al de una barra imantada.
La grán diferencia es que nosotros podemos encender “on”
y apagar “off “! Y él atrae/repele otro imán permanente;
siempre atrae materiales ferromagnéticos.
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26/07/2008
El Toroide
53
• El Toroide es definido por un numero
total N de vueltas con corriente i.
• B=0 fuera del toroide! (Considere
integrar B sobre un círculo fuera del
toroide)
• Para encontrar B dentro, considere un
círculo de radio r, centrado en el centro
del toroide.
G G
v∫ B • dl = B(2 π r ) = μo I neta
I neta = Ni
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Aplique Ley de Ampere:
G G
v∫ B • dl = μ0 I neta
B=
μ 0 Ni
2 πr
26/07/2008