Derivación bajo el signo integral Soluciones Selectividad

Septiembre 2007. Ejercicio 4B. (3 puntos). Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor
real de x, de la que se conoce la siguiente información:
i)
g '(x) > 0para todo x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), mientras que g '(x) < 0 para todo x ∈ (0, 2).
ii)
g"(x) > 0 para todo x ∈ (1, 3) y g"(x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞).
iii)
g(−1) = 0, g(0) = 2, g(2) =1.
iv)
lím g(x ) = −∞ y lím g(x ) = 3
x → −∞
x → +∞
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide:
a) (1 punto).Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asíntotas verticales
horizontales u oblicuas.
b) (1 punto). Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(x).
c)
(1 punto). Si G (x ) = ∫ g(t ) dt encontrar un valor xo tal que su derivada G '(xo) = 0.
x
0
Solución.
c.
Teniendo en cuenta el teorema fundamental de calculo integral, si G (x ) =
∫0 g(t ) dt , entonces
x
G ′(x ) = g(x ) ⋅ (x )′ − g(0) ⋅ (0 )′ = g(x ) ⋅1 − g(0) ⋅ 0 = g (x ) .
Conocida la expresión de G’(x) y con el dato del enunciado (g(−1) = 0) se calcula el valor de xo.
G ′(x ) = g(x ) ⇒ G ′(x o ) = g(x o ) = 0
xo = −1
Modelo 2007. 4A. (3 puntos).
a) (1 punto). Si f es una función continua, obtener F'(x) siendo:
F(x ) =
∫0 (f (t ) + t
x
2
)
+ t 3 dt
Solución.
Si F es una primitiva de f:
F(t ) =
g 2 (t )
g 2 (t )
∫g (t ) f (x )⋅ dx = F(x )]g (t ) = F(g 2 (t )) − F(g1 (t ))
1
1
derivando la expresión de F(t) mediante la regla de la cadena:
F' (t ) = F' (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − F' (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t )
teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, si F es primitiva de f, entonces, la
derivada de F es igual a f
Sí
∫ f = F ⇒ F' = f
sustituyendo en la expresión de F’(t) F’ por f
F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t )
En este caso el límite inferior de integración es constante (g1(x) = 0), la expresión se simplifica
ya que la derivada de una constante es cero, anulando el 2º término.
F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (0) ⋅ 0 ′ = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t )
Aplicando a la función propuesta F(x ) =
(
)
∫0 (f (t ) + t
x
(
2
F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⋅ (x )′ + f (0) + 0 2 + 0 3
1
)
)⋅ (0)′ = f (x) + x
+ t 3 dt :
2
+ x3
1
∫ f (t )dt = 1 , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica
b) (2 puntos). Si f(1) = 1 y además
o
de F(x) en el punto (l, F(l)).
Solución.
Teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente a la función en dicho punto, la ecuación de la recta tangente a una función y = F(x) en un punto
x = a en forma punto pendiente es:
y − F(a ) = F ′(a ) ⋅ (x − a )
Donde (a, F(a)) es el punto y F’(a) es la pendiente.
Aplicado a F(x ) =
F(1) =
∫0 (f (t ) + t
1
2
∫0 (f (t ) + t
x
)
+ t 3 dt en x = 1:
2
) ∫
y − F(1) = F ′(1) ⋅ (x − 1)
+ t dt = f (t )dt +
3
1
0
∫0 (
1
1
)
 t3 t4 
 13 14   0 3 0 4  19
=
t + t dt = 1 +  +  = 1 +  +  − 
+
 3
 3 4  3
4 
4  12


 
0
2
3
F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⇒ F ′(1) = f (1) + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3
Sustituyendo:
x−
19
= 3 ⋅ (x − 1)
12
Modelo 2004. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos.
a)
(1 punto) Sean las funciones F(x ) =
4
5 + e t dt ; g( x ) = x 2 . Calcular (F(g(x )))′ .
x
∫1
Solución.
Se pide calculadora la derivada de una función compuesta (F(g(x ))) , aplicando la regla de la
cadena.
(F(g(x )))| = F| (g(x ))·g | (x )
Si g(x ) = x 2 ⇒ g ' (x ) = 2x
Para calcular F’(g (x)), hay que calcular previamente F’(x) definiendo F(x ) como:
F(x ) =
h (x )
∫k
f (t )dt = F( t )]k
h(x)
= F(h (x )) − F(k )
Derivando:
F’(x)=F’(h(x)) · h’(x)−F’(k) · 0 = F’(h(x)) · h’(x)
Teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral “Si la primitiva de f es F,
entonces la derivada de F es f.
F’ ≡ f
Teniendo en cuenta esto, la expresión de F’(x) queda de la siguiente forma:
F’(x) = f (h (x)) · h’(x)
Aplicando al caso propuesto
F(x ) =
x
∫1
5 + e t dt ⇒ F' (x ) = 5 + e x ·1
4
4
Conocida F’(x), se hace la composición.
2
( )

2 4
8
x4 

Si: F' (x ) = 5 + e  ⇒ F' (g(x )) = 5 + e x
= 5+ ex
2
 g(x ) = x

Sustituyendo en la expresión de la derivada.
[F(g(x ))]' = F' (g(x )) ⋅ g' (x ) =
8
5 + e x ·2x = 2x 5 + e x
8
Otra forma de resolver la cuestión es calcular previamente la función compuesta F(g(x)), y a
continuación derivarla:
x
4

x2
4
F(x ) =
5 + e t dt 
⇒
F
(
g
(
x
)
)
=
5 + e t dt = H ( x )

1
1

g( x ) = x 2

al derivar la función H(x) se tendrá en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, explicado
anteriormente:
∫
∫
( 2 )4 ⋅ 2x +
4
H' (x ) = 5 + e x
5 + e1 ⋅ 0 = 2 x ⋅ 5 + e x
8
Septiembre 2001. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sea la función f ( t ) =
1
1+ e t
∫ f (t)dt
a. (1 punto) Calcular
b. (1 punto) Se define g( x ) =
x
∫0 f (t )·dt . Calcular Lím
x→0
g( x )
x
Solución.
∫
x
∫
0
f ( t )·dt
f ( t )·dt
g(x)
0
b.
Lím
= Lím o
= o
= =?
x →0 x
x →0
x
0
0
Indeterminación que se resuelve por el teorema de L’Hopital
g( x )
g' (x )
Lím
= Lím
x →0 x
x →0
1
Para calcular g’(x) se aplica el teorema fundamental del calculo integral.
Sea F( x ) =
∫
g2 (x)
g1 ( x )
f ( t )·dt ⇒ F' ( x ) = f (g 2 ( x ) )·g |2 ( x ) − f (g 1 ( x ) )·g 1| ( x )
Este teorema esta basado en que la derivada de la primitiva de una función es la propia función, es decir si
∫
F(x) es la primitiva de f(x), F( x ) = f ( x )·dx entonces, F’(x) = f(x)
Aplicando a este caso
g( x ) =
∫
x
0
1
1+ e
t
·dt ⇒ g' ( x ) =
1
1+ e
x
( x )'−
1
1+ e
0
(0)' =
1
1+ ex
sustituyendo en el límite
1
Lím
x →0
x
g(x)
g' ( x )
1
1
1
1
= Lím
= Lím 1 + e = Lím
=
=
=
0
x →0 (x )'
x →0
x →0 1 + e x
x
1
1
+
1
2
1+ e
3