Combinatoria y Definiciones Básicas de Probabilidad

Combinatoria y definiciones básicas de
probabilidad
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Definiciones de probabilidad
•
Probabilidad como intuición
• Probabilidad como la razón de resultados favorables
• Probabilidad como medida de la frecuencia de ocurrencia
• Definición axiomática de la probabilidad
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad como intuición
En este modelo, la probabilidad intenta predecir eventos con
base en la intuición. Por ejemplo, “mañana lloverá” o “él
está manejando muy rápido”.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad como la razón de
resultados favorables
En esta línea de razonamiento, la cual es no experimental, la
probabilidad de un evento puede ser calculada a priori a
través del cálculo del número de maneras en que un
determinado evento E puede ocurrir seguido por el cálculo de
la razón NE/N, donde N representa el conjunto de todos los
resultados posibles. Este modelo supone que todos los
resultados son igualmente probables.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad como medida de la frecuencia
de ocurrencia
Sea E una colección de resultados que poseen un cierto
atributo. Suponga que un experimento o juego es repetido N
veces y que NE representa el número de veces que el
resultado E fue obtenido. La razón
nE
P ( A)  lim
n  n
para N suficientemente grande se define como la
probabilidad de A.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Definición axiomática de la
probabilidad
La probabilidad P[·] asigna a cada evento E en el universo de
posibilidades  un número P[E], llamado la probabilidad
de E, tal que:
1.
P[E] ≥ 0
2.
P[] = 1
3.
P[EF] = P[E] + P[F] si EF = .
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Definición axiomática de la
probabilidad
Los tres axiomas básicos de la probabilidad son suficientes
para establecer toda una serie de definiciones básicas. En
particular:
4.
P[] = 0
5.
P[E] = 1 - P[EC]
6.
P[EFC] = P[E] - P[EF]
7.
P[E F] = P[E] +P[F] - P[EF]
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Definición axiomática de
la probabilidad
El último resultado de la lámina anterior nos permite escribir
la cota superior del operador unión  como sigue:
n  n
P  Ei    PEi  si Ei E j  
 i 1  i 1
Por lo que,
n  n
P  Ei    PEi 
 i 1  i 1
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad conjunta
Suponga que se realizan experimentos del estado del tiempo
en la ciudad de México. En particular estamos interesados
en tres eventos A, B, C, tales que:
•
A es el evento en que en un cierto día la temperatura
ambiente estuvo por encima de los 15C;
•
B es el evento en que en un determinado día haya caído
una precipitación pluvial superior a los 8 milímetros y;
•
C es el evento en que en un determinado día tanto A como
B hayan acontecido.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad conjunta
Puesto que C es un evento, P[C] es su probabilidad de
ocurrencia de acuerdo a las definiciones axiomáticas dadas
anteriormente. Pero P[C] = P[AB]. Por lo que definimos el
número P[AB] como la probabilidad conjunta de los
eventos A y B.
Claramente, la probabilidad conjunta puede ser extendida a
más de dos eventos, por ejemplo, P[EFG] es la
probabilidad
conjunta
que
E,
F,
y
G
ocurran
simultáneamente.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad conjunta
Suponga ahora que ni denota el número de días (veces) que el
evento i ha ocurrido. Entonces, a través de un período de 1000
días (n = 1000) se hicieron las siguientes observaciones: nA =
811, nB = 306, nAB = 290. Utilizando el modelo de frecuencia de
eventos de la probabilidad concluimos:
n
811
P A  A 
 0.811
n 1000
nB 306
PB  

 0.306
n 1000
n AB
290
PAB  

 0.29
n
1000
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad Condicional
Considere ahora el cociente nAB/nA. Este valor representa la
frecuencia con la cual el evento C = AB ocurrió cuando A
aconteció. En palabras, es el número de días en que la cantidad
de lluvia excedió 8 milímetros en aquellos días en los cuales la
temperatura excedió los 15C. Note que:
n AB n AB / n P AB 


nA
nA / n
P A
Por lo que se puede definir el concepto de probabilidad condicional
PAB 
P[B|A] como:
PB | A 
, PA  0
PA
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad incondicional
•
En muchos problemas de ingeniería conviene calcular
probabilidades incondicionales, P[B], de un evento B en
términos de la suma ponderada de probabilidades condicionales.
Teorema Suponga que A1, A2, …, An son n eventos mutuamente
n
excluyentes, esto es,  Ai   . Entonces, con P[Ai]0 para toda
i 1
i, se tiene
PB  PB | A1 PA1     PB | An PAn 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad incondicional:
ejemplo
Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule
P[Y=0] y P[Y=1].
0.9
X=0, P[X=0]=1/2
Y=0
0.1
0.9
X=1, P[X=1]=1/2
Introducción a la Probabilidad
0.1
Y=1
Francisco Rodríguez Henríquez
Probabilidad incondicional:
ejemplo
Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule
P[Y=0] y P[Y=1].
0.9
X=0, P[X=0]=1/2
Y=0
0.1
0.9
0.1
X=1, P[X=1]=1/2
Y=1
P[Y = 0] = P[Y = 0|X = 0]P[X = 0] + P[Y = 0|X = 1]P[X = 1]
= (0.9)(0.5) + (0.1)(0.5) = 0.5 = P[Y=1]
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Independencia
Se dice que dos eventos A, B con P[A] > 0 y P[B] >0 son
independientes, si y sólo si P[AB] = P[A]P[B]. Puesto que
en general, P[AB] = P[B|A]P[A] = P[A|B]P[B], se
concluye que para eventos independientes se cumple que:
P[A|B] = P[A] y P[B|A] = P[B]
Tres eventos son independientes si y sólo si:
P[ABC] = P[A]P[B]P[C] y P[AB] = P[A]P[B];
P[AC] = P[A]P[C]; P[BC] = P[B]P[C]
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Nuevamente el canal binario
simétrico
Para el canal simétrico binario mostrado en la figura, sabiendo que
un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1 fue
transmitido?
X=0, P[X=0]=P0
X=1, P[X=1]=1- P0=P1
Introducción a la Probabilidad
1- 
Y=0

1- 

Y=1
Francisco Rodríguez Henríquez
Nuevamente el canal binario
simétrico
Sabiendo que un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1
fue transmitido?
1- 
X=0, P[X=0]=P0
X=1, P[X=1]=1- P0=P1
Y=0

1- 

Y=1
P X  1, Y  1
PY  1
PY  1 | X  1PX  1

PY  1 | X  1PX  1  PY  1 | X  0PX  0
P1 1   

P1 1     P0 
PX  1 | Y  1 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Nuevamente el canal binario
simétrico
P X  1, Y  1
PY  1
PY  1 | X  1PX  1

PY  1 | X  1PX  1  PY  1 | X  0PX  0
P1 1   

P1 1     P0 
PX  1 | Y  1 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Ejemplo: prueba de cáncer
Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes
propiedades. Sea:
–
A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer
–
B := Evento que la persona tiene cáncer
–
AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano
–
BC := Evento que la persona está sana
Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.
¿Es la prueba confiable?
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Ejemplo: prueba de cáncer
Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes
propiedades. Sea:
–
–
–
–
A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer
B := Evento que la persona tiene cáncer
AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano
BC := Evento que la persona está sana
Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.
¡Sólo en el
¿Es la prueba confiable?
PB PA | B 
PB | A 
PA | B PB   P A | B C P B C
0.0050.95

 0.087
0.0050.95  0.050.95

Introducción a la Probabilidad
 
8.7% de los
casos se da
el diagnóstico
correcto!
Francisco Rodríguez Henríquez
Combinatoria
•
Considera una población de n elementos a1, a2,…, an.
Cualquier arreglo ordenado ak1, ak2,…,akr de r símbolos se
conoce como una muestra ordenada de tamaño r.
•
Considera una urna genérica que contiene n pelotas
numeradas.
Pregunta ¿De cuántas maneras se pueden formar muestras
ordenadas de tamaño r?
Se consideraran dos casos.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Muestras con reemplazo
•
Después que se extrae una pelota de la urna su número es
anotado y después la pelota es regresada a la urna.
•
Note que para la primera muestra hay n opciones, y para la
segunda, también n opciones.
•
Por lo tanto para una población de n elementos, existen nr
muestras ordenadas de tamaño r que pueden ser formadas.
•
Ejemplo:
¿Cuántas
contraseñas
se
pueden
formar
utilizando el alfabeto inglés [26 letras] y un tamaño fijo de
8 caracteres? 268.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Muestras sin reemplazo
•
Después que cada pelota es extraída, no se vuelve a
regresar a la urna.
•
Note que para la primera muestra hay n opciones, para la
segunda, n-1 opciones, etc.
•
Por lo tanto para una población de n elementos, existen
.
•
P(n, r )  n r  nn  1n  2 n  r  1 
n!
n  r !
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar tres
libros de un total de 10? (10)3 = 10*9*8= 720.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Combinaciones
Pregunta frecuente en probabilidad: ¿Cuántos grupos, esto es,
sub-poblaciones de tamaño r pueden ser formados de una
población total de tamaño n?
Por ejemplo, suponga que se tienen 6 pelotas numeradas,
¿cuántos grupos de tamaño 2 pueden ser formados?
12 23
34
45 56
13 24
35
46
14 25
36
15 26
16
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Combinaciones
Note que el resultado anterior es diferente del número de
muestras ordenadas que pueden ser formadas sin
reemplazo:
Con reemplazo
12 21 31 41 51
61
11 21 31 41 51 61
13 23 32 42 52
62
12 22 32 42 52 62
14 24 34 43 53
63
13 23 33 43 53 63
15 25 35 45 54 64
14 24 34 44 54 64
16 26 36 46 56
15 25 35 45 55 65
65
16 26 36 46 56 66
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Combinaciones
•
Una fórmula general para el número de subpoblaciones
C(n, r) de tamaño r en una población de tamaño n puede
ser calculada como sigue.
•
Ya convinimos que el número de muestras ordenadas de
tamaño r que se pueden formar es P(n,r). Considere una
subpoblación específica de tamaño r. Para este grupo hay
r! diferentes muestras ordenadas, por lo tanto se puede
escribir: C(n, r) r! = P(n,r). Es decir:

n r
C n, r  
n
n!

  
r!
(n  r )!r!  r 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Teorema del Binomio
•
Una fórmula muy famosa que se remonta a los tiempos de
Newton se conoce como el teorema del binomio:
 n  k nk
a  b     a b
k 0  k 
n
•
n
Con ayuda del teorema del binomio se puede demostrar
n
[pero, ¿cómo?]
n
n
2    
k 0  k 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución binomial Bernoulli
Suponga que la probabilidad que un evento ocurra es p y que
no ocurra es q = 1-p. Considere además que se realizan
un total de n experimentos Bernoulli, de los cuales k son
exitosos y el resto son fracasos.
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de observar exactamente k
éxitos?
Una posibilidad sería: ppp…pqqq…q = pkqn-k
¿Pero cuántas posibilidades hay en total?
Respuesta en la próxima lámina
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución binomial Bernoulli
b ( k ; n, p )  C ( n , k ) p q
k
nk
 n  k nk
   p q
k 
N = 10;
P= 2/3.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez