Tabla_de_Integrales

MIGUEL CAÑABATE GALERA
C/ Rueda López, 15-1º A
INGENIERO QUÍMICO
Col. Nº 1333
04004-ALMERÍA
TLFS. 950-250776 y 950-252703
Tablas de integrales
1.-
 adx  a  dx  ax  C.
x n1
x dx 
 C,
n 1
2.-

3.-
f x 
n
x dx 




f
x
f

n
si n  1.
n 1
n 1
 C,
si n  1.
f x 
dx  L f x   C.
f x 
4.-

5.-
e
x
dx  e x  C.

e f x f x dx  e f x   C.
7.-

a f x  f x dx 
8.-
 senxdx   cos x  C.
9.-
 senf x f x dx   cosf x   C.
6.-
a f x 
 C,
La
si a  0, a  1.
10.-
 cos xdx  sen x  C.
11.-
 cosf x f x dx  senf x   C.
12.-
13.-
14.-

f x 
dx  tgf x   C.
cos2 f x 

f x 
dx   cot gf x   C.
sen2 f x 

f x 
1  f x 
ANÁLISIS MATEMÁTICO // GEOMETRÍA // ÁLGEBRA
QUÍMICA //FÍSICA
2
dx  arcsenf x   C.
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Desde 1977
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1
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15.-

 f x 
1  f x 
2
f x 
dx  arccosf x   C.
dx  arctgf x   C.
16.-
 1  f x 
17.-
 tgxdx  Lcos x   C.
18.-
 cot gxdx  Lsenx  C.
2

L sec x  tgx   C.

sec xdx    x  
L tg 
 C.
  2 4 
20.-

L cos ecx  cot gx   C.

cos ecxdx  
 x
L  tg   C.

 2
21.-
 sec
22.-
 cos ec xdx   cot gx  C.
23.-
 sec xtgxdx  sec x  C.
24.-
 cos ecx cot gxdx   cos ecx  C.
19.-
25.-
26.-
27.-
2
xdx  tgx  C.
2

se nx
dx  se c x  C.
cos 2 x

cos x
dx   cos e cx  C.
se n2 x
f x dx
 f x 
ANÁLISIS MATEMÁTICO // GEOMETRÍA // ÁLGEBRA
QUÍMICA //FÍSICA
2
 a2
 L f x  

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f x 2  a 2   C.

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28.-
29.-
f x dx
 f x 
2
x
 a2
dx
x 1
f x dx
 f x  f x 
31.-
x
33.-
34.-
2

 dx
x 2 1
f x 2  a 2   C.

 arc sec x  C.
2
30.-
32.-
 L f x  

 a2
1
f x 
 arc sec
 C.
a
a
 arccos ecx  C.
f x 
2
2
a 2 arcsen






f
x
a

f
x
2
a  C.
a 2  f x  dx 

2
2
 f x 
f x  f x   a 2
2
 a dx 

2
 f x 
f x  f x   a 2
2
 a dx 

2
2
2
2
2
a 2 L f x  

f x 2  a 2 
2
a 2 L f x  

  C.
f x 2  a 2 
2
  C.
35.- INTEGRACIÓN POR PARTES:
Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de
la diferencial de un producto de funciones, tendremos:
d(u·v) = u·dv + v·du  u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en
ambos miembros:
u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración
por partes:
 u·dv  u·v  . v·du
NOTA: Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las
reglas siguientes:
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A


arcse nx
arccos x
arctgx
arc...x
L

Lx
log x
log b x
.......
P 



f x 
función
polinómica
..
E 


f x 
a
función
e xpone ncial
..
S 



se nx
cos x
 ALPES
función
trigonomé trica
36.- INTEGRALES RACIONALES:
Son de la forma
P( x )
 Q(x ) dx,
siendo Px  y Qx , polinomios de coeficientes
reales y exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral
inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de
este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:
A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:
de la división.
P x   Qx Cx   Rx CRxx Cociente
 dividiendo
Re sto de la división.

ambos miembros por Qx  :
P(x )
R(x ) Integrando en ambos miembros
P( x )
R(x )
 C(x ) 
        
dx  C(x )dx 
dx
Q(x )
Q(x )
Q(x )
Q(x )



B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices.
Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:
1) RAICES REALES SIMPLES  ( RRS ).
2) RAICES REALES MÚLTIPLES  ( RRM ).
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES  ( RIS ).
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES  ( RIM ).
Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a
seguir así como las operaciones a realizar.
1) RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:
x  a 
  b
Qx   0  x
x  c 
 .... 


P x 
P x 
 A
B
C

 Qx  dx   x  a x  bx  c ... dx    x  a  x  b  x  c  ...dx
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los pasos siguientes:
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36.- INTEGRALES RACIONALES: (Continuación)
1)
2)
3)
4)
5)
P x 
P x 
Descomposición de Q x  en suma de fracciones simples  Q x   x a  x b  x c  ...
Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).
Se multiplican ambos miembros por Q(x).
Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante la identificación de los numeradores.
Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:

Px 
dx 
Qx 

A
dx 
x a

B
dx 
xb
A
B
C
C
dx  ...
x c

2) RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:
x  a 
  b
Qx   0  x
x  b 
 .... 


P x 
 Qx  dx   a

P x 
0
 A
1
ao
dx 
x  a x  b
...
B

 ...dx

2
C
  x  a  x  b  x  b
2
1
a0
P x 
 x  a x  b ... dx 
2
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el
caso de ( RRS ).
 a0 es el coeficiente de la variable de mayor grado.
Finalmente, quedará:

Px 
1 
A
dx 
dx 

Qx 
a 0  x  a


B
dx 
xb
C
 x  b
2

dx  ...

3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).-
Supongamos que resolvemos la ecuación
Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un
polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :
 x  a1 
 xb 
1


Qx   0   x  b1  
 z 1  a  bi 
z  a  bi 
 2


2
3 
1
4 





Mx  Ndx
P x 
Adx
Bdx
Cdx
dx 



2
x  z1 x  z 2 
Qx 
x  a1
x  b1
x  b1 




CONTINUA

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36.- INTEGRALES RACIONALES:
(Continuación)
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- (Continuación)
Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la
última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del
tipo siguiente:
(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .
Con lo cual, la 4, nos queda así:




Mx  Ndx  

x  a 2  b 2 



2x  2a
M
dx  I1

2
2
Mx
x


x  a   b2
dx  M
dx  
M
2a
x  a 2  b 2
x  a 2  b 2

dx  I 2
2
2

 2 x  a   b
N
dx
dx  N
 .......................................  I 3
2
2
x  a   b
x  a 2  b 2






INMEDIATA TIPO LOGARÍTMICO
I1 

 
TIPO ARCO TANGENTE
I 2  I 3 

  Ma  N
M
2
L x  a   b2 .
2
dx
 x  a 
2
b
2

Ma  N arctg x  a  .
b
b
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:
La descomposición de
1)
P( x)
según HERMITE, es tal como sigue:
Q ( x)
 Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea,
coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
 Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin
tener en cuenta el grado de multiplicidad).
 Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto
anteriormente.
 Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen
simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en
cuenta su grado de multiplicidad).
 El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:
La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el
denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial
de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes
que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de
coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese
resultado en el denominador.
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36.- INTEGRALES RACIONALES: Método de HERMITE.- (Continuación)
2)  Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3)  Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
4)  Se multiplican ambos miembros por Q(x),
5)  Se calculan los coeficientes indeterminados.
6)  Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Notas: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no
pueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.
El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores.
37.- INTEGRALES IRRACIONALES:
 R x,
Son de la forma
ax 2  bx  c dx

1. Si a  0  se efectua el cambio:
ax2  bx  c  a .x  t .

c  0  cambio :


c  0  cambio :
2. Si a  0 
Pueden ocurrir los casos siguientes:
ax 2  bx  c  t.x  c ;
ax 2  bx  c  a x   x    tx   .
Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del
número 14.
38.- INTEGRALES BINOMIAS:
Son de la forma
siguientes:
1. Si p
 x a  bx  dx
m
n p
donde m, n, p
 Q. Pueden ocurrir los casos
p  0 : Desarrollar por el binimio de Newton.

 Z   p  0 : Cambio  x  t  , siendo  el m.c.m.


de los denomin adores de m y n.
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
 m  1
n

  Z  Cambio : a  bx  t , siendo  el denomin ador de p.
n


2. Si 
3.
n

n

m 1

 p  Z  Cambio : a  bx  t .x , siendo  el denomin ador
de p.
 n


Si 
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39.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
Son de la forma
 Rsenx, cos x dx
Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo al
sustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
senx  1  t 2 .

 dt
cos x  t  
dx 
.

1  t2

2. La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al
sustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
cos x  1  t 2 .

dt
senx  t  
dx 
.

2
1

t

3. La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al
sustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces,
podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
t

.
senx 
2
1

t

1

tgx  t  cos x 
.
2
1 t


dt
.
 dx 
1  t2

4.
La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces,
podemos realizar el cambio siguiente:
2t

se nx  1  t 2 .

x
1  t2

tg  t  cos x 
.
2
2
1

t

 dx  2dt .

1  t2
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RECORDATORIO:
senx 
cos x 
2sen(x 2) cos(x 2)
cos2 (x 2)  sen2 (x 2)
cos2 (x 2)  sen2 (x 2)
cos2 (x 2)  sen2 (x 2)


2tg(x 2)
1  tg 2 (x 2)
.
1  tg 2 (x 2)
1  tg 2 (x 2)
.
40.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:
 sen
m
Son de la forma
x. cos n x.dx
Pueden ocurrir los casos siguientes:
 cos x  t.
 senxdx  dt.
senx  t.
2. Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio: 
cos xdx  dt.
 tgx  t.

3. Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :  dx
 dt.
 cos2 x
1.
Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio: 
Notas: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una integral racional sencilla,
siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de integración por REDUCCIÓN. Veámoslas:
4. Cuando (m+n)  0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:
(A) Reduciendo el exponente del seno:

I m,n  senm x. cos n x.dx  
senm1 x. cos n1 x m  1

I
mn
m  n m2,n
(B) Reduciendo el exponente del coseno:

I m,n  se nm x. cos n x.dx 
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se nm1 x. cos n1 x
n 1

I
mn
m  n m,n2
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