Documento 811313

Colegio Antil Mawida
Departamento de Matemática
Profesora: Nathalie Sepúlveda
Matemática
DOCUMENTO N° 2
Guía de Cuarto año medio
Refuerzo Contenido y Aprendizaje
N°
Fecha
Tiempo
2 Horas
Nombre:
Unidad Nº
Cero
Núcleos temáticos de la Guía
Objetivos de la Guía
Raíces, ecuación de segundo grado.
Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a raíces cuadradas, cubicas y
ecuaciones de segundo grado.
Aprendizaje Esperado
Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados raíces cuadradas, cubicas y ecuaciones
de segundo grado.
Instrucciones
1. Revisión de conceptos asociados a raíces cuadradas, cubicas y ecuación de
segundo grado.
2. Desarrollo de ejemplos en forma individual.
3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos.
4. Tiempo 50 minutos para resolución.
5. Entrega de alternativas.
1
6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos.
RAÍCES
Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces
n
a es el único
n
real b, no negativo, tal que b = a
n
a  b  bn  a, b  0
Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces
n
a es el único
real b, tal que bn =a
n
a  b  bn  a, b  R
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces
n
a NO ES
REAL
n
2. La expresión
ak , con a real no negativo, se puede expresar como una
potencia de exponente fraccionario
n
k
ak  a n
3. a2  a , para todo número real
PROPIEDADES
Si
n
n
a y
b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
1. MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a 
n
b  n ab
2. DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
n
a
b

n
a
,
b
b0
3. POTENCIA DE UNA RAÍZ
n
am 
 a
n
m
, a0
4. RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm
a 
nm
a
2
5. AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n
a  mn am m  Z , a  R 
6. PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n
a  mb 
mn
am  bn , a, b  R 
7. FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b
n
a  n bn  a, b  R 
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una
fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz
Fracciones de la forma
Fracciones de la forma
a
b c
a
p b q c
ECUACIONES CUADRATICAS:
∗ Ecuación cuadrática:
∗ Fórmula cuadrática:
∗ Número de soluciones:
ax2 + bx + c = 0
x
 b  b2  4  a  c
2a
(∆: discriminante) (∆: b2 – 4ac)
∆>0
===› 2 raíces reales y distintas
∆=0
===› 2 raíces reales e iguales
∆<0
===› No tiene raíces reales
∗ Cortes en el eje x:
∆ > 0 ===› 2 cortes en el eje x
∆ = 0 ===› 1 corte en el eje x
∆ < 0 ===› No corta el eje x
3
∗ Propiedades de las raíces:
Donde 𝑋1
x1  x2  
b
a
x1  x2 
c
a
y 𝑋2 son soluciones de ecuación de segundo grado.
Ejemplos:
1) 5 12  2 27
A) 1 6 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) N o s e puede det er min ar
2)
6
A)
61
20
1
1
4
 5
 8

4
16
25
7
6 2


2
4
5
151
C)
20
B)
7
20
E) N inguno de los valores anteriores
D)
6  5 8
3)Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que:
I.
II.
III.
Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.
Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.
Si a < 1, no hay intersección con el eje X.
A) Sólo I
B) I y II
C) II y III
D) Sólo II
E) Sólo I y III
4
4) Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de frente que
de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite
calcular las dimensiones del patio?
A) x(x + 2) – 24 = 0
B) x(x – 2) – 24 = 0
C) x(x – 2) + 24 = 0
D) x2 - 22 = 0
E) 4x - 20 = 0
5) Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 son
A) 1 y 20
B) 2 y 20
C) 4 y 5
D) 4 y − 5
E) −4 y 5
EJERCICIOS:
2
1)
A)
3
4
B)
3
2
C)
6
3
2
=
8
D) 6 2
E) 1
2) Si
2  a,
3 b y
es(son) equivalentes a
5  c entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes
60
I) 2bc
II)
III)
4
a4b2 c 2
a2bc
A) Solo I
5
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
3)Al simplificar la expresión
2 7  14
7
resulta
A) 2 3
B) 2  1 4
C) 2  2
D) 2 7  2
E) 4
4)
12  2  8  3 
A)
3 2
B)
15
C)
10  5
D)
20  5
E) Ninguno de los valores anteriores
5) ( 50  512  242) : 2 
A) 1 0
B) 1 0 2
C) 8 5
D) 3 2
E) 4 0
6)
55  55  55  55  55
3
55  55  55  55  55

6
A) 5
B)
5
56
C) 1
2
D) 5 3
E)
3
2
5
7) Si
2  3  2  3  t , entonces el valor de t2 – 2 es:
A) 2 3  2
B) 0
C) 2 3
D) 2
E)  2
8)
(0,25)1  a 
1
A)  
2
1
B)  
2
a
1a
1
C)  
2

a
2
a
1 2
D)  
2
1
E)  
2
9)
a
¿Cuál(es)
de
los
siguientes
pares
ordenados
es(son)
solución(es)
de
y  x2  5  x2
I) (2,5)
II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I
B) Solo II
7
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
10) ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I)
2 8
I I)
3 3 3
I I I)
6
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
11)
6
2 2

3
2 2

A) 0
B)
3
2 2
C) 6  9 2
D)
69 2
2
E)
63 2
2
12) Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) x 
x
1
 x
x
1
C)  x
x
D) x  1
B)
E) x  x
8
3
13)
2 7x  2 73 
A) 2 7x  2 79
B) 33x  39
C) 3x 3
D) 9x 3
E) 3x 3
14) Dados los números reales  3 2 , 
1
11
, 7 , 2 3 , 4
, al ordenarlos de
3
3
menor a mayor, el término que queda en el centro es:
A)  2 3
B)  3 2
C)  7
11
D) 
3
1
E)  4
3
15) (5 2  3)( 3  5 2) 
A)  2 5 5
B) 2 4 5
C) 7
D) 4 7
E) 0
16) El número
216 es igual a:
A) 2 4
B)
C)
32
 2
4
D) 214
E) Ninguno de los números anteriores
 5

17) Si y  
 3

2
3 
¿Cuál es el valor de 1 5y  1 ?
5 
9
A) 65
B) 64
64
C)
15
34
D)
15
4
E)
15
18) Si p  3 5  2 y q 
5  3 , entonces p  q =
A) 9  7 5
B) 8 5  1
C) 3 5  1
D) 7 5  9
E) Ningunade la s a nte rio re s
3
19)
a 6 n 6 =
A ) a 2 n 6
B) a 2 n 2
C)
1
2
n
a 2
1
D ) a 2 n 6
E) a 6n 2
20) Para todo m > 0 la expresión
3
m 4  3 m 2  m es igual a
A) m
B)
8
m7
m5
C)
D)
5
m7
E)
6
m7
21) Si
p
 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
q
I)
p2  q 2  p  q
10
II)
III)
p2  q 2  p  q
p2  q 2  0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
22)
3
a2x  2 
3
ax 1 
A) a3x  3
B)
6
a3x  3
C) a3x
D) ax  3
E) ax  1
23) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la
variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I)
x 2  x
I I)
x2  x
I I I)
x2  x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de ellas.
24) ( 2  2)3( 2  2)4  ( 2  2)4( 2  2)3 es un número:
A) Racional positivo
B) Racional negativo
C) Irracional positivo
11
D) Irracional negativo
E) No rea
25) Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces ¿cuál
es el valor de c?
A) - 24
B) -8
C) -2
D) 2
5
E)
3
26) ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2 
igualdad x 
2
cuando x satisface la
x
15
 16 ?
x
A) 4
B) 3
C) 1
D) 0
E) -1
27) El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es:
A) {0}
B) {1}
C) {0,1}
D) {0,-1}
E) Ninguno de los conjuntos anteriores
12