Suma y producto de las raíces de una ecuacion cuadrática

SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRÁTICA
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Comprobemos que las raíces de la ecuación 2x2+3x-20=0 son: x1 = 2 y x2 = - 4.
¿Cuáles son los valores de a y b en esta ecuación? Hallemos la suma de las raíces: x1+x2 y el
𝑏
𝒃
valor de − 𝑎. Ahora comparemos los resultados de x1+x2 con el resultado de − 𝒂. ¿Qué
podemos concluir?. Nos ha permitido comprobar que la suma de las raíces de una ecuación
𝑏
cuadrática es igual a − 𝑎. Ahora vamos a demostrar que este resultado se cumple en toda
ecuación cuadrática.
𝑥1 =
Las raíces de una ecuación cuadrática son:
Sumamos miembro a miembro (1) y (2)
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐−b−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
−2𝑏
2𝑎
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
(1) 𝑥2 =
¿Por qué? 𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏
𝑎
(2)
¿Por qué?
Tomemos de nuevo las raíces de la ecuación 2x2+3x-20=0 y multipliquémoslas. ¿Qué
𝑐
𝑐
obtenemos?. Ahora hallemos el cociente 𝑎. Finalmente, comparemos los resultados de x1∙x2 y 𝑎.
𝑐
¿Qué podemos concluir?. Comprobamos que 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 . Demostremos que este resultado se
cumple en toda ecuación de segundo grado. En efecto: 𝒙𝟏 =
Multipliquemos miembro a miembro las igualdades (1) y (2):
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 −𝒃−√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
∙
b2-b2+4ac
𝟐𝒂
𝟐𝒂
¿Por qué?𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝒃𝟐 −(𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄)
𝒃𝟐 −𝒃𝟐 +𝟒𝒂𝒄
𝟒𝒂𝟐
𝟒𝒂𝟐
¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
(−𝒃)𝟐 −(√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄)
𝟒𝒂𝟐
(𝟏) 𝒙𝟐 =
−𝒃−√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
(𝟐)
𝟐𝒂
𝟐
¿Por qué?
𝟒𝒂𝒄
𝒄
¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝟒𝒂𝟐 ¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝒂
SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAICES DE ax2+bx+c=0
La SUMA de las raíces de la ecuación ax2+bx+c=0 es igual al cociente del coeficiente de x con el
−𝒃
signo contrario, dividido por el coeficiente de x2; es decir𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂
El PRODUCTO de las raíces de la ecuación ax2+bx+c=0 es igual al cociente del término
𝒄
independiente dividido por el coeficiente de x2; es decir: 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂
𝑏
𝑐
Como toda ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 puede escribirse en la forma 𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0 y
−𝒃
𝒄
sabemos que: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 y 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂 , entonces podemos afirmar que toda ecuación cuadrática
también puede escribirse así: x2-(suma de las raíces)x+(producto de las raíces)=0
EJERCICIO 1
−4 𝟓
Escribamos la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 5 y 𝟒
−4
5
9
−4 5
La suma de las raíces es: 5 + 4 = 20 .El producto de las raíces es: 5 ∙ 4 = −1 Y como la
ecuación es: x2-(suma de las raíces)x+(producto de las raíces)=0, entonces queda:
9
𝑥 2 − 20 𝑥 − 1 = 0 ó 20x2-9x-20=0
EJERCICIO 2
Hallemos el valor de p de modo que la suma de las raíces sea igual al producto de las
mismas en la ecuación 3x2+(p+2)x+2p+1=0; luego, 3x2+(p+2)x+(2p+1)=0. Por lo tanto: a = 3 ,
b = p + 2 y c = 2 p + 1 . De acuerdo con estos valores:
−𝑏
𝑝+2
 la suma de las raíces es
=−
𝑎
𝑐
3
2𝑝+1
 el producto de las raíces es 𝑎 = 3
Como queremos que la suma de las raíces sea igual al producto de las mismas, entonces:
𝑝+2
2𝑝+1
− 3 = 3 −(𝑝 + 2) = 2𝑝 + 1-p-2=2p+13p=-3p=-1
EJERCICIO 3
Hallemos el conjunto solución de la ecuación: (2k-3)x2-(4k+1)x+(5k+8)=0 de tal manera que el
producto de las raíces sea igual al doble de la suma de las mismas. Si x1 y x2 son las raíces de
−𝒃
𝟒𝒌+𝟏
𝒄
𝟓𝒌+𝟖
la ecuación, entonces: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 = 𝟐𝒌−𝟑 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂 = 𝟐𝒌−𝟑
De acuerdo con el
𝟓𝒌+𝟖
𝟒𝒌+𝟏
3
enunciado del problema: x1•x2 = 2(x1+x2) 𝟐𝒌−𝟑 = 𝟐 (𝟐𝒌−𝟑)5k+8=2(4k+1),con 2k-3≠0, 𝑘 ≠ 2
5k+8=8k+2k=2.Por lo tanto, la ecuación queda:x2-9x+18=0 y su conjunto solución es S={3, 6}