Desc. Ex. bloque 2

2º BACHILLERATO B – EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II
BLOQUE 2 (temas 3, 4 y 5: Estadística descriptiva, Probabilidad y Estadística inferencial)
Profesor: Rafael Núñez Nogales
Curso: 2015/2016
SOLUCIÓN
1.- Sean dos sucesos A y B tales que P(A) = 0.25 , P(B) =0.6 , P( A ∩ Bc ) = 0.1
a) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B.
(0,7 puntos)
Nos piden p(A ∩ B)
c
Como p(A ∩ B ) = p(A) – p(A ∩ B)
p(A ∩ B) = p(A) – p(A ∩ Bc) = 0,25 – 0,1 = 0,15

b) Calcule la probabilidad de que no ocurra A pero sí ocurra B.
(0,7 puntos)
Nos piden p(Ac ∩ B) = p(B) – p(A ∩ B) = 0,6 – 0,15 = 0,45
5
2
,
0
=
5 6
1 ,
,
0
0
)=
B )
∩ B
A (
( p
p
=
)
B
/
A
(
p
n
e
d
i
p
s
o
N
c) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
(0,7 puntos)
d) ¿Son independientes A y B? (0,4 puntos)
p(A ∩ B) = 0,15
y
p(A) . p(B) = 0,25 . 0,6 = 0,25.
Luego, A y B son independientes porque p(A ∩ B) = p(A) . p(B)
2.- Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin
verla, la vuelve a mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?
(1 punto)
Como la carta se devuelve a la baraja, el resultado de la 2ª extracción no depende
del resultado en la 1ª extracción, p(1ª carta sea as) =
4 2

6 3
b) Si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja y la segunda carta extraída fuera un as,
¿cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?
(1,5 puntos)

3 5
2 0
1 2
=
2 00 0
1 32 3
=
45
.
3 52 6
. +
4 63 5
.
46
)=
s
a
)
ª s
2
a
y ª
s 2
a (
ª p
1
(
p
=
)
s
a
a
t
r
a
c
ª
2
/
s
a
a
e
s
a
t
r
a
c
ª
1
(
p
n
e
d
i
p
s
o
N
Como la carta no se devuelve a la baraja, el resultado de la 2ª extracción depende del resultado en la 1ª
3.- De una población Normal de media desconocida y desviación típica 2 se extrae la siguiente
muestra aleatoria simple de tamaño 10: 3.8
6.3
4.3
6
6.2
5.8
1.5
3.3
3.4
2.9
a) Estime, mediante un intervalo de confianza, la media poblacional para un nivel de confianza
del 92%. Obtenga su error de estimación. (1,5 puntos)
1  nc

I  ( x  E , x  E ) , siendo el error E  z .
; z cumple  ( z ) 
2
2
2
2
n
1  0,92 1,92

 0,96.
2
2
Buscamos dentro de la tabla de la N (0,1) el valor 0,96 y obtenemos aproximadamente z  1, 75
En este caso, nc  0,92, luego  ( z ) 
2
2
2
3,8  6,3  4,3  6  6, 2  5,8  1,5  3,3  3, 4  2,9
E  1, 75.
 1,1068 ; x 
 4,35
10
10
El int ervalo de confianza es I  (4,35  1,1068 ; 4,35  1,1068)  I  (3, 2432 ; 5, 4568)
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para reducir ese error a la mitad, con el mismo
nivel de confianza? (1 punto)
E
1,1068

2
2
 0,5534  z .
 0,5534  1, 75.
 0,5534  1, 75.
 n  6,32  n  n  40
2
2
0,5534
n
n
Luego, el tamaño de la muestra es n  40
4.- La concentración de arsénico en los moluscos de una zona costera sigue una ley Normal con
desviación típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma una muestra aleatoria
de tamaño 36 para contrastar si la media poblacional no supera el límite máximo de 80 mg/kg
permitido por la normativa sanitaria (H0: μ ≤ 80)
a) Determine la región crítica de este contraste a un nivel de significación del 5%.
(0,5 puntos)
Planteamos el contraste de hipótesis unilateral para la media,  , de la v.a. X  concentración de arsénico
 H 0 :   80 (hipótesis nula)
( 0  80)

 H1 :   80 (hipótesis alternativa)
1,95
 0,975  z  1,96
2
2
2
Re gión de aceptación : R  ( , z )  ( ;1,96) ; Re gión crítica : (1,96 ; )
Nivel de significación :   0, 05; nc  0,95 ;  ( z ) 
2
b) ¿Debe rechazarse esta hipótesis nula, al nivel del 5%, si en esa muestra de 36 moluscos se
encuentra una concentración media de arsénico de 82 mg/kg? (0,8 puntos)
Tamaño de la muestra  n  36 ; x  82 ;   6
x  0
82  80

2

6
n
36
Como z  R, rechazamos la hipótesis nula.
Estadístico de contraste : z 
5.- Un titular de prensa afirma que el 70% de los jóvenes de una ciudad utilizan las redes sociales
para comunicarse. Para contrastar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra aleatoria de
500 jóvenes de esa ciudad, y se obtiene que 340 de ellos utilizan la red para comunicarse.
Analice mediante un contraste de hipótesis bilateral, (H0: p = 0.7), si se puede aceptar, con un
nivel de significación del 1%, que dicha afirmación es cierta.
(1,2 puntos)
Planteamos el contraste de hipótesis bilateral para la proporción, p, de jóvenes que usan las redes sociales
 H 0 : p  0, 7 (hipótesis nula )
( p0  0, 7)

 H1 : p  0, 7 (hipótesis alternativa )
340
Muestra : n  500 ; p 
 0, 68
500
1,99
  0, 01 ; nc  0,99 ;  ( z ) 
 0,995  z  2,575
2
2
2
Re gión de aceptación : R  ( z , z )  (2,575 ; 2,575)
2
Estadístico de contraste : z 
2
p  p
0
p0 (1  p0 )
n

0, 68  0, 7
 0, 02

 0,9756
0, 0205
0, 7 . 0,3
500
Como z  R, aceptamos la hipótesis nula.
Es decir , puede afirmarse que el 70% de los jóvenes usan redes sociales en estas condiciones