Técnicas Cuantitativas para el análisis de los mercados

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Técnicas
Cuantitativas
para el análisis
de los mercados
“El que no aplica nuevos remedios debe
esperar nuevos males: porque el tiempo es el
máximo innovador”
Francis Bacon.
6.1. INTRODUCCIÓN
En el mundo actual, tan importante como conocer los diferentes mercados y los productos
que se negocian en ellos, es entender las diferentes técnicas matemáticas que permiten conocer la exposición de una cartera al riesgo, o poder anticipar los rendimientos futuros de un
producto financiero con el objetivo de seleccionar una cartera que optimice la rentabilidad.
El presente capítulo está orientado a dar a conocer alguna de las técnicas matemáticas más utilizadas en la actualidad para el estudio de los mercados. En primer lugar, realizaremos una breve introducción a los números aleatorios, que son de vital importancia en las
predicciones de los mercados y constituyen la base de la simulación de MonteCarlo, una técnica ampliamente utilizada en diferentes disciplinas como las ingenierías, la física o la economía. Ciertamente, en los últimos años la simulación de MonteCarlo ha pasado a ser la herramienta preferida por los analistas financieros, debido a su eficacia, su potencia de modelización
y su sencillez.
En el siguiente epígrafe trataremos del Valor en Riesgo, comúnmente conocido como
el VaR. Hoy en día, el VaR se considera una herramienta estandarizada para el cálculo del
riesgo. El VaR muestra el valor de la máxima pérdida que se puede obtener, para una probabilidad y un índice de confianza dado. Su importancia viene acreditada por la recomendación del Comité de Basilea II, en la que especifica que el cálculo del riesgo para adecuar
el capital de una entidad financiera se debe realizar mediante técnicas como el Valor en
Riesgo.
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Por último, y como colofón de esta obra, desarrollaremos tres casos: uno con el índice IBEX 35, otro con una cartera de bonos, y un tercero con bonos de cupón variable, también llamados FRN (Floating Rate Note). En los tres casos calcularemos el VaR y realizaremos una simulación para determinar el precio esperado y la rentabilidad esperada.
6.2. LOS NÚMEROS ALEATORIOS
6.2.1. Las variables aleatorias
6.2.1.1. Las variables aleatorias discretas
Una variable ξ se define como aleatoria discreta si puede tomar los valores x1, x2,…, xN,
teniendo cada uno de estos valores una probabilidad asignada P1, P2,…, PN. Podemos representar la variable aleatoria ξ como:
ξ=
(
χ1
p1
χ2
p2
...
...
χN
pN
)
donde Pi son las probabilidades de que la variable ξ tome el valor xi.
Estas probabilidades deben cumplir dos reglas:
1. Siempre denen ser positivas: P(x) >0
2. La suma de todas las probabilidades debe ser igual a la unidad:
N
∑ P (xj) = 1
j=1
Como hemos visto en capítulos anteriores, el cálculo de la esperanza matemática y de
la varianza es fundamental para determinar el rendimiento esperado y el riesgo de los productos financieros. Veamos con un ejemplo el cálculo de la esperanza matemática y de la
varianza de una variable aleatoria.
Definamos a la variable aleatoria X con la siguiente matriz:
X=
(
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
)
La variable x puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y cada uno de los posibles valores que puede adoptar x tiene como probabilidad 1/6. La esperanza matemática se calcula
como la suma ponderada por las probabilidades de los valores posibles; es decir:
6
E(X)=∑ xj × pj = 3,5
j=1
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La varianza se calcula como la suma de las diferencias cuadráticas de los valores respecto a su media, multiplicado por la probabilidad. Es decir:
6
σ2 =∑ [xi – E(xi)]2 × pj = 2,917
j=1
6.2.1.2. Las variables aleatorias continuas
La variable ξ es continua si puede tomar cualquier valor dentro del intervalo (a, b). Toda variable aleatoria continua queda definida si se da el intervalo (a, b) y la función de probabilidad P(x)
llamada función de densidad de la probabilidad de la variable aleatoria ξ.
También en este caso se deben cumplir las dos reglas anteriores:
1. Todas las probabilidades deben ser positivas: P(xi) > 0
2.La probabilidad de que la variable aleatoria ξ esté dentro del intervalo (a, b) debe ser
uno:
b'
P {a < ξ < b} = ∫ p(x)dx = 1
a
Supongamos un intervalo (a’, b’) dentro del intervalo (a, b). La probabilidad de que la
variable aleatoria ξ esté comprendida dentro del intervalo (a’, b’) se calcula de la siguiente
manera:
b
P {a’ < ξ < b’} = ∫ p(x)dx
a’
La probabilidad se calcula como la integral de la probabilidad definida en el intervalo
estudiado. Esta probabilidad se representa en la Figura 1.
Fig. 1. Probabilidad de que una variable aleatoria x esté dentro del intervalo (a’, b’)
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La esperanza matemática en el caso de las variables aleatorias continuas se resuelve
con la siguiente ecuación:
b
E (ξ) = ∫ x × p(x)dx
a
6.2.1.3. La variable aleatoria normal
La variable aleatoria normal está definida en el intervalo (-∞ +∞) y tiene como función de densidad la siguiente:
P (x) =
1
√ 2πσ
×e
–
(x–a)2
2σ2
donde:
a es un número que hace que la curva se desplace por el eje de abscisas;
σ modifica la forma de la curva
Fig. 2. Representación de dos distribuciones normales, para diferentes valores de σ.
(Fuente: Elaboración propia)
En la Figura 2 se pueden observar dos representaciones de la distribución normal para
a = 0 y valores de sigma de 0,5 y 1. Vemos que, al tomar valores más pequeños, la distribución se apuntala tomando una forma más cúrtica que para valores cercanos al uno. Recor-
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demos que el área que encierra P(x) es igual a 1. Por tanto, al disminuir sigma aumenta el
máximo de la curva, pero se hace más estrecha.
La esperanza matemática de la normal es a, mientras que su varianza es el cuadrado
de sigma. Empíricamente se demuestra que el 99,7% de toda la distribución está dentro del
rango formado por la media, más menos tres veces la desviación típica. Esto es lo que se
conoce como la regla de las tres sigmas.
Dicho de manera matemática:
a+3σ
∫ P(x)d = 0,997
a–3σ
La conclusión de esta regla es evidente: es casi imposible conseguir un valor ξ que
difiera de su media en más de tres veces la desviación típica.
6.3. LA SIMULACIÓN
6.3.1. Introducción
En 1903 nació en Budapest una de las más brillantes mentes matemáticas que ha vislumbrado el siglo XX: John Von Neuman. El joven John
(Janos en húngaro) destacó en su infancia por ser un niño prodigio, con
una memoria asombrosa que le hacía sobresalir en la escuela por encima de sus compañeros. Ya con cinco años era capaz de realizar mentalmente operaciones con números de más de ocho cifras. De origen
aristocrático, estudió en los mejores institutos de Hungría y destacó en
matemáticas, por lo que no fue sorprendente que acabase como profesor de matemáticas aplicadas en la Universidad de Berlín, cargo que ejerció desde 1927 hasta
1930. En esta fecha viajó como profesor invitado a la Universidad de Pricenton, en los Estados
Unidos y allí decidió fijar su residencia cuando Hitler subió al poder en 1933. También fue en este
momento cuando cambia su nombre, Janos, por la traducción inglesa de John, nombre por el
que ha sido conocido posteriormente.
En Pricenton coincide con las mentes más preclaras de las matemáticas del siglo XX,
contactando con Albert Einstein y Alan Turing, entre otros. Amigo de la comunicación, los que
le conocieron lo describen como una persona afable y brillante, con una mente muy rápida en
los análisis, y siempre dispuesto a colaborar con otros investigadores, aunque su faceta más
destacable es la curiosidad por lo nuevo. Hizo aportaciones a la mecánica cuántica, especialmente el concepto de anillos de operadores (actualmente conocido como álgebra de Neuman),
y es conocido también por su trabajo de iniciación de las matemáticas aplicadas, principalmente la estadística y el análisis numérico. También destacó en la termodinámica, la teoría
de los ordenadores y la cibernética. Inventó el concepto de cerebro electrónico tomando el
relevo de la investigación iniciada por Leibniz, Babbage, Ada Byron y Turing. En esta línea,
mejoró el primer ordenador digital del mundo, el ENAC y aportó sus conocimientos para la
construcción del MANIAC, creando el concepto de programa o software. Pero su fama llegaría a su apogeo en 1944 cuando publica junto con Oskar Morgenstern la Teoría de Juegos.
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Es en 1940 cuando, junto con Stanislaw Ulam, matemático de origen polaco, describe y pone nombre al método de simulación de MonteCarlo, con el fin de resolver ciertos problemas de protección nuclear que eran demasiado costoso para ser resueltos explícitamente, o demasiados complejos para ser tratados de forma analítica. El nombre fue elegido por
la similitud del proceso que ellos describían con los principios que rigen el casino de Mónaco.
John Von Neuman muere víctima del cáncer en 1957, dejando un legado impresionante en
diversos campos de la ciencia, como la física y la informática, sin olvidarnos de las aplicaciones de sus teorías en ciencias sociales como la Economía.
6.3.2. La generación de números aleatorios
Podemos definir la simulación como una técnica numérica para realizar experimentos. Para
llevarla a cabo se debe construir un modelo que ofrezca un resultado en función de unas variables. La ventaja de la simulación reside en que se puede modificar cualquier valor del modelo
y observar el comportamiento del resultado ante estos cambios. La simulación es un sustituto apropiado para la evaluación matemática de un modelo en muchas situaciones, y aunque
también involucra suposiciones, éstas son tratables. El uso de la simulación nos permite proporcionar una percepción clara a ciertos problemas de toma de decisiones, donde la evaluación matemática de un modelo no es posible.
Hay que considerar la simulación como una herramienta de investigación que permite
conocer y analizar el comportamiento de un sistema. La simulación comienza con la construcción de un modelo descriptivo del sistema real objeto de análisis, para luego, durante el
proceso de análisis, poder modificarlo para estudiar su comportamiento ante variaciones. La
simulación es recomendable cuando la realidad representada es muy compleja, tiene variables no lineales, o alguna de éstas son aleatorias.
La simulación de modelos utiliza como herramienta principal los números aleatorios distribuidos generalmente de manera uniforme, que toman valores entre 0 y 1. Desde hace tiempo,
los investigadores han ideado formas para generar números aleatorios, como lanzar objetos de
un tamaño determinado en un plano dividido horizontalmente con líneas y contar el número de
veces que el objeto pisaba una de estas líneas; incluso se construyeron ruletas mecánicas movidas por motor. El problema de todos estos sistemas mecánicos es la lentitud en la generación de
los números y la imposibilidad de repetir una serie grande de números aleatorios.
Sea cual sea el procedimiento elegido para generar números aleatorios, éstos deben
enfrentarse a un test para certificar su bondad como número aleatorio. A modo de ejemplo, un
test que se puede aplicar en los números aleatorios es contar el número de números cero, uno,
dos, tres... hasta nuve que hay en el conjunto de números aleatorios. Si son verdaderamente
aleatorios, tiene que existir una tendencia hacia la equidistribución. Es decir, la cantidad de
números cero, uno… debe ser aproximadamente la misma. Por ejemplo, supongamos que una
tabla de números aleatorios tiene N cifras y que el número de ceros es V0, el número de unos
es V1, el número de doses es V2, y así sucesivamente. Se puede definir la suma como:
9
S = ∑ (Vi – 0,1N)2
i=0
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La teoría de las probabilidades permite predecir los límites entre los que puede estar
comprendida esta suma, que no puede ser excesivamente grande ni pequeña. Recordemos
que si los números son verdaderamente aleatorios, la esperanza matemática de cada Vi debe
ser de 0,1N.
6.3.2.1. Ejemplo de la bondad de la generación
de números aleatorios
Utilizando una hoja EXCEL hemos generado 500 números aleatorios de nueve cifras cada uno.
Por tanto, tendremos 4.500 cifras. Hemos contado cada uno de los guarismos obtenidos y
el resultado es el que se describe en la Tabla 1.
Tabla 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
463
471
448
425
458
447
427
464
450
447
El histograma que obtenemos de estos resultados se muestra en la Figura 3:
Fig. 3. Histograma de frecuencias
480
470
460
450
440
430
420
410
400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
La suma definida anteriormente da un resultado de:
9
S = ∑ (Vi – 0,1× 4.500)2 = 2.046
i=0
La desviación típica, definida como la raíz cuadrada de la varianza, adopta un valor de
45,23. Como se puede observar, los diferentes números no tienen una distribución muy uni-
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forme y, además, no todos están muy cerca de la que debería ser la esperanza matemática,
450. La suma definida tiene un valor muy grande. Esta tabla de números no se puede considerar como una tabla de números verdaderamente aleatorios, pero sí pseudoaleatorios.
6.3.3. Métodos de generación de números aleatorios
6.3.3.1. Métodos aproximados
John Von Neuman sugirió el método del cuadrado medio, usando las operaciones aritméticas
de un ordenador. Su idea fue tomar el cuadrado del número aleatorio y tomar los dígitos ubicados en el medio. Por ejemplo, si tenemos el número 1.264 y lo elevamos al cuadrado, se
obtiene 1.597.696; nuestro número será 9.769, y así sucesivamente. Estos números se consideran pseudoaleatroios o quasi-aleatorios.
Durante el siglo XX los investigadores comenzaron a utilizar ordenadores digitales para
generar números aleatorios. En 1955 RAND Corporation publica una lista de un millón de
números aleatorios construida mediante una ruleta electrónica: un disco giratorio dividido en
10 sectores es parado en seco, y se anota el número que queda en un punto de referencia.
Hoy en día, el analista puede generar números aleatorios de manera sencilla utilizando un
ordenador personal.
6.3.3.2. Generación de números aleatorios
con Microsoft Excel
Se pueden generar números aleatorios con la hoja de cálculo de Microsoft. El usuario puede
obtenerlos de dos maneras: mediante una instrucción o mediante un procedimiento. Si escribimos en cualquier celda de la hoja de cálculo la siguiente instrucción:
= Aleatorio( )
la hoja de cálculo nos devolverá un número aleatorio comprendido entre 0 y 1. Cada vez que
modifiquemos cualquier celda de esa hoja de cálculo, por ejemplo, escribiendo simplemente
en cualquier celda un número, cambiará el número aleatorio que aparece en la celda donde
hemos puesto la instrucción.
Si deseamos generar números aleatorios mediante un procedimiento, deberemos haber
instalado la opción Análisis de datos en el programa de instalación de Microsoft Excel. Si no
lo hubiéramos hecho, podemos poner el CD-ROM del programa en el lector de CD y ejecutar
el programa de instalación añadiendo la opción Análisis de datos. Una vez instalado, cuando
tenemos abierta una hoja de cálculo, hacemos clic en el menú Herramientas y elegimos Análisis de datos.
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Fig. 4. Contenido del menú Herramientas de Microsoft Excel
Al elegir Análisis de datos aparecerán diferentes herramientas que Excel nos ofrece
para analizar conjuntos de datos. De todas estas elegimos Generación de números aleatorios. Aparece una caja de diálogo como la que se representa en la Figura 5.
Fig. 5. Caja de diálogo para generar números aleatorios en Excel
Siguiendo el manual de ayuda del propio programa podemos saber qué función tiene
cada uno de los campos que se observan en esta herramienta:
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• En Número de variables introduzca el número de columnas de valores que desee
incluir en la tabla de resultados. Si no introduce ningún número, Microsoft Excel rellenará todas las columnas del rango de salida que se haya especificado.
• En Cantidad de números aleatorios introduzca el número de puntos de datos que desee ver. Cada punto de datos aparecerá en una fila de la tabla de resultados. Si no
introduce ningún número, Microsoft Excel rellenará todas las columnas del rango de
salida que se haya especificado.
• Haga clic en el método de distribución que desee utilizar para crear los valores aleatorios. Dentro de este campo podemos elegir entre:
– Uniforme: Caracterizado por los límites inferior y superior. Se extraen las variables
con probabilidades iguales de todos los valores del rango. Una aplicación normal
utilizará una distribución uniforme en el rango 0...1.
– Normal: Caracterizado por una media y una desviación estándar. Una aplicación normal utilizará una media de 0 y una desviación estándar de 1 para la distribución
estándar normal.
– Bernoulli: Caracterizado por la probabilidad de éxito (valor p) en un ensayo dado.
Las variables aleatorias de Bernoulli tienen el valor 0 ó 1. Por ejemplo, puede trazarse una variable aleatoria uniforme en el rango 0...1. Si la variable es menor o
igual que la probabilidad de éxito, se asignará el valor 1 a la variable aleatoria de
Bernoulli; en caso contrario, se le asignará el valor 0.
– Binomial: Caracterizado por una probabilidad de éxito (valor p) durante un número
de pruebas. Por ejemplo, se pueden generar variables aleatorias Bernoulli de número de pruebas, cuya suma será una variable aleatoria binomial.
– Poisson: Caracterizado por un valor lambda, igual a 1/media. La distribución de
Poisson se utiliza con frecuencia para caracterizar el número de incidencias por unidad de tiempo; por ejemplo, el ritmo promedio al que llegan los vehículos a una garita de peaje.
– Frecuencia relativa: Caracterizado por un límite inferior y superior, un incremento,
un porcentaje de repetición para valores y un ritmo de repetición de la secuencia.
– Discreta: Caracterizado por un valor y el rango de probabilidades asociado. El rango debe contener dos columnas donde la columna izquierda deberá contener valores y la derecha probabilidades asociadas con el valor de esa fila. Debe tener en
cuenta que la suma de las probabilidades deberá ser 1.
• En el campo Parámetros introduzca un valor o valores para caracterizar la distribución seleccionada.
• Si quiere escribir un valor a partir del cual se generen los números aleatorios, escríbalo en el campo llamado Iniciar con. Podrá volver a utilizar este valor para generar
los mismos números aleatorios más adelante.
• En Rango de salida introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Microsoft Excel determinará el tamaño del área de resul-
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tados y mostrará un mensaje si la tabla de resultados reemplaza datos ya existentes. Alternativamente haga clic en En una hoja nueva para insertar una hoja nueva en
el libro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hoja de
cálculo. Para asignar un nombre a la nueva hoja de cálculo, escríbalo en el cuadro.
También puede hacer clic En un libro nuevo para crear un nuevo libro y pegar los resultados en una hoja nueva del libro creado.
Por ejemplo, si deseamos tener cinco grupos de números aleatorios, que cada grupo
contenga quince números aleatorios y que éstos estén generados mediante una distribución
normal con media 0 y desviación típica 1, podemos escribir los siguientes datos en la caja:
Fig. 6. Generación de una matriz de 15×5 números aleatorios mediante distribución
Normal (0, 1)
Si además queremos que estos números aparezcan en la hoja de cálculo, comenzando en la celda A1 y terminando en la E15, podemos hacer clic en la alternativa Rango de salida y escribir el rango en el campo disponible para ello. Al final, obtendremos los números aleatorios en una forma parecida a la que se refleja en la Figura 7.
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Fig. 7. Resultado de la generación de números aleatorios
6.3.4. La simulación histórica
Esta técnica de simulación analiza la evolución del activo en el pasado y lo proyecta hacia el
futuro, asumiendo que el comportamiento histórico del valor es un estimador del comportamiento futuro. El analista debe calcular la variación diaria de cada uno de los componentes de
la cartera y asumir que esa variación se repetirá en el futuro a partir de la fecha del análisis.
Supongamos un inversor que quiere analizar a 30 de diciembre de 2003 la inversión
de una cartera que invierte el 31% en el índice de la Banca, el 36% en el índice de las compañías de Telecomunicaciones y el 34% en el índice de Petróleo y Gas. Cada uno de estos índices marca la evolución de las empresas que cotizan dentro de ese segmento de cotización, y
la cartera que se pretende comprar se desglosa en función de los precios en la fecha de la
compra, como se muestra en la Tabla 2.
Tabla 2
Sector
Banca
Comunicaciones
Petróleo y Gas
Valor Cartera
Inversión
30,43%
36,10%
33,47%
100%
Cotización
(30/12/2003)
948,86
844,12
1043,76
9.354.340,00 €
Cantidad
3.000
4.000
3.000
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Es decir, a los precios que tienen los índices en la fecha de la compra, el inversor comprará 3.000 valores del índice Banca, 4.000 del índice Comunicaciones y 3.000 de Petróleo
y Gas.
Para calcular los rendimientos durante el último año de la cartera se calcula el logaritmo neperiano del cociente entre precios correlativos, en una base de datos que contenga
los precios históricos de cada uno de los índices.
En la Tabla 3 se muestra este trabajo. En la columna A están reflejados todos los días
laborables del año 2003, en la columna B el índice de la Banca para cada fecha, en la columna C el índice de Comunicaciones para cada fecha, en la columna D el índice de Petróleo de
Gas para cada fecha y por último, en la columna E el valor de la cartera. El montante de la
cartera se calcula con la siguiente expresión:
Cartera = 3.000 × IBanca + 4.000 × IComunicaciones + 3.000 × IPetróleo
Tabla 3
A continuación, se calculan los rendimientos diarios de cada uno de los componentes
de la cartera. Para calcular este rendimiento se utiliza la siguiente expresión:
Rendimiento = Ln (Precio de hoy / Precio de ayer)
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Los resultados se muestran en la Tabla 4.
Tabla 4
La simulación histórica se basa en la proyección de los rendimientos pasados hacia el
futuro, y con ellos se calcula el nuevo precio que será el resultado de la siguiente expresión:
Precio de hoy = eRendimiento × Precio de ayer
La Tabla 5 muestra los resultados.
Con las 249 simulaciones del valor de la cartera se puede calcular el rendimiento esperado, la desviación típica y, en definitiva, el comportamiento esperado de la misma.
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Tabla 5
6.3.5. El método de simulación de MonteCarlo
6.3.5.1. Introducción
El Método de MonteCarlo consiste en realizar una simulación utilizando números aleatorios
para determinar el comportamiento futuro de las variables analizadas. Existen varios métodos de MonteCarlo, por lo que más que método, sería más conveniente denominarle técnica
de simulación de MonteCarlo.
Le llamaremos MonteCarlo Dirigido cuando los números aleatorios utilizados para simular el comportamiento de una variable se combinen con la función que represente la distribución de frecuencias de las variaciones de la variable. Y MonteCarlo Camino Aleatorio cuando
los números aleatorios se utilicen sin combinarlos con la función de distribución de las frecuencias de las variaciones de la variable.
El método MonteCarlo Dirigido se desarrolla con los siguientes pasos:
1. Especificar las variables a estudiar.
2. Estimar la distribución de probabilidad que explica el comportamiento de las variables.
3. Calcular las probabilidades acumuladas de cada una de las variables.
4. Generar un número aleatorio.
5. Vincular el número aleatorio con las variables cuya probabilidad acumulada sea menor
o igual al número aleatorio obtenido.
6. Repetir el experimento para obtener el número deseado de valores muestrales.
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Sin embargo, en el método MonteCarlo Camino Aleatorio se plantea la ecuación de
variación de la variable y sobre ella se utiliza el número aleatorio para determinar el tamaño
de la variación. Un ejemplo es la simulación de los tipos de cambio entre dos monedas, cuya
ecuación sería:
Tc1 = Tc0 + [Volatilidad × RND − (Volatilidad / 2)] × 2
donde:
Tc1 y Tc0 son los tipos de cambio en el momento 1 y el momento 0, y RND es un número aleatorio entre 0 y 1.
Esta ecuación ofrece un camino aleatorio en la evolución de los tipos de cambio. Si el
tipo de cambio de referencia entre el dólar y el euro es la paridad y la volatilidad anual es del
22%, se puede calcular la evolución simulada del tipo de cambio para los siguientes treinta
días, tal y como aparece en la Figura 8.
Fig. 8. Simulación de la evolución del tipo de cambio dólar euro
6.3.6. Análisis de diferentes productos financieros mediante
la simulación de MonteCarlo en Excel
La técnica de MonteCarlo sirve para analizar todo tipo de productos, entre ellos las opciones exóticas y los productos estructurados. La mayoría de las opciones exóticas no pueden ser valoradas mediante Black Scholes, ya que no se adecuan a los requerimientos exigidos por la fórmula y, aunque se han desarrollado ecuaciones paramétricas para su
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valoración, el método de MonteCarlo es una técnica válida para encontrar el precio de
estos productos.
Veamos cómo a través de la simulación de MonteCarlo se puede analizar el precio de
diferentes opciones exóticas.
6.3.6.1. Opción americana no estándar
Supongamos que tenemos un Warrant a siete años. El precio de ejercicio es de 30 dólares
entre principio del año tercero y finales del cuarto, 32 dólares en los siguientes dos años, y
33 dólares en el año final. El precio actual del subyacente es de 29 euros y el tipo de interés
libre de riesgo, el 3%.
En primer lugar, se calcula el histograma de frecuencias de los rendimientos del subyacente, que se muestra en la Tabla 6.
Tabla 6
Rendimientos
Relativas
Acumuladas
-6,0%
0%
0%
-5,0%
1%
1%
-4,0%
2%
3%
-3,0%
5%
8%
-2,0%
7%
15%
-1,0%
12%
27%
0,0%
28%
55%
1,0%
24%
79%
2,0%
13%
92%
3,0%
5%
97%
4,0%
2%
99%
5,0%
1%
100%
Como podemos observar, el histograma de los rendimientos se aleja mucho de la figura que dibujaría una distribución normal. Con este histograma de frecuencias y MonteCarlo
Dirigido se puede simular el comportamiento del precio del subyacente durante la vida de la
opción, y decidir para cada nivel de precio alcanzado, según las características de la opción,
si se ejerce o no la misma.
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Fig. 9. Histograma de frecuencias de las variaciones del precio
El modelo de MonteCarlo exige realizar numerosos ciclos de simulación para tener los
suficientes resultados que nos permitan calcular la perfomance del producto. Por ejemplo, en
un ciclo cualquiera se pueden haber generado unos números aleatorios que ofrezcan una evolución de los precios como la representada en la Tabla 7.
Tabla 7
Año
Precio ejercicio
Subyacente
Beneficio
seis meses
-
29
0
un año
-
29
0
año y medio
-
17,25
0
dos años
-
19,58
0
dos años y medio
30
19,58
0
tres años
30
19,58
0
tres años y medio
30
22,22
0
cuatro años
30
22,22
0
cuatro años y medio
32
25,22
0
cinco años
32
32,04
0,04
cinco años y medio
32
36,37
4,37
seis años
32
51,11
19,11
seis años y medio
33
51,11
18,11
siete años
33
37,30
4,30
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
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En la primera columna se muestran los diferentes semestres hasta completar los siete años. El análisis se podría haber realizado con periodos más pequeños, por ejemplo días,
pero buscando la comodidad de la lectura se ha reducido a semestres. Es evidente que si se
utilizan periodos más pequeños se consigue un análisis del precio más perfecto. En la segunda columna aparece el precio de ejercicio tal como está especificado en el contrato. En la tercera columna aparece el precio del subyacente calculado como MonteCarlo Dirigido, utilizando números aleatorios y usando el histograma de frecuencias. Por ejemplo, si el número
aleatorio es 0,2345, vemos en el histograma de frecuencias que al considerar este número
como si fuese una frecuencia acumulada, le corresponde una variación del −1% diario, que
representa una variación de :
– 0,01 ×
√ 3652
= – 0,135
Esta variación se aplica al precio del subyacente para obtener el siguiente precio. Si
generamos 13 números aleatorios podemos determinar, utilizando la técnica de MonteCarlo
dirigido, el camino aleatorio dirigido del precio del subyacente.
Con esta evolución de los precios se puede analizar el beneficio que obtiene el inversor si ejerce la opción. En la última columna se calcula el beneficio en el caso de poder ejercerse la opción. Las características de ésta no permitían su ejercicio hasta el tercer año,
momento en el cual tendría diferentes precios de ejercicio con el transcurrir del tiempo.
Obtenemos, por tanto, diferentes posibles beneficios de la opción en función de si es ejercida en ese momento.
Lo que se obtiene son capitales futuros que hay que actualizar. Empleamos la capitalización continua para actualizar cada uno de los beneficios futuros, a través de la ecuación:
Valor actual = Beneficio × e-Tiempo × Tipo interés
En la Tabla 8 aparecen las actualizaciones realizadas para este ciclo:
Podemos suponer que cada uno de los valores actuales obtenidos son equiprobables,
ya que la probabilidad de aparición está de manera subyacente al utilizar la frecuencia acumulada para determinar la variación. Al ser 10 posibles capitales (tantos como beneficios),
el valor actual medio será la suma de los valores actuales dividida entre 10. En este caso,
3,808 euros. Al realizar 100 simulaciones como ésta, obtenemos que la esperanza matemática de los precios simulados es de 11,11 euros, con una desviación típica de 18,77 euros.
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• bolsa, mercados y técnicas de inversión •
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Tabla 8
Año
Precio ejercicio
Subyacente
Beneficio
Valor Actual
seis meses
no
29
0
un año
no
29
0
año y medio
no
17,2469472
0
dos años
no
19,5768815
0
0
dos años y medio
30
19,5768815
0
0
tres años
30
19,5768815
0
0
tres años y medio
30
22,2215725
0
0
cuatro años
30
22,2215725
0
0
cuatro años y medio
32
25,2235417
0
0
cinco años
32
32,0385673
0,03856733
0,03319521
cinco años y medio
32
36,3667394
4,36673944
3,70253088
seis años
32
51,1053673
19,1053673
15,9581442
seis años y medio
33
51,1053673
18,1053673
14,8977237
siete años
33
37,2974574
4,29745743
3,48345129
SUMA
38,0750453
6.3.6.2. Opciones sobre opciones
Una opción sobre una opción proporciona al propietario el derecho a adquirir una opción (de
compra o de venta) en una fecha determinada y con una prima determinada.
Supongamos que el IBEX 35 está a 8.154 puntos y se quiere valorar una opción sobre
la opción del IBEX con precio de ejercicio 8.500, prima 100 y vencimiento a 18 días. El propietario tiene derecho a adquirir por 100 euros la opción de compra sobre el IBEX 35 a 8.500
puntos. Para calcular el precio de este producto financiero utilizaremos una binomial y la repetiremos un número determinado de veces; las volatilidades de cada binomial las simularemos
mediante MonteCarlo.
Con los precios históricos del IBEX desde 1990 se obtiene el histograma de la volatilidad, medida como la desviación típica anualizada de los rendimientos diarios de los últimos
30 días. En la Tabla 9 se muestra el histograma de frecuencias de la volatilidad del IBEX 35.
La representación gráfica de este histograma de frecuencias proporciona la volatilidad
del IBEX 35, que se muestra en la Figura 10.
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
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Tabla 9
σ √ 365
Observaciones
Frecuencia
Acumulada
5%
0
0,0%
10%
6
0,2%
15%
569
20,2%
20%
621
42,0%
25%
867
72,5%
30%
315
83,6%
35%
193
90,4%
40%
137
95,2%
45%
52
97,0%
50%
39
98,4%
55%
14
98,9%
60%
3
99,0%
65%
15
99,5%
70%
14
100,0%
Fig. 10. Frecuencia de la volatilidad del IBEX 35
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La volatilidad del IBEX se centra, principalmente, en el rango del 15% al 25%. Con esta
distribución de volatilidad, simulamos el camino aleatorio dirigido seguido por un árbol binomial.
En cada simulación generamos un número aleatorio, por ejemplo 0,4452, y utilizando
el histograma de la volatilidad, vemos que corresponde a una volatilidad del 25%. Teniendo
en cuenta que hay 18 días desde la fecha de valoración hasta el vencimiento y sabiendo que
el IBEX está situado en los 8.154 puntos, calculamos el precio up y el precio down con las
siguientes fórmulas:
Pup = 8.154 × e
0,25 ×
18
√365
Pdown = 8.154 × e -0,25 ×
18
√365
= 8.619,91
= 7.714,03
Para estos precios, en un entorno libre de riesgo, la probabilidad de llegar al precio up
es de 50% y con esta probabilidad se puede calcular el valor de la opción sobre el IBEX con
precio de ejercicio de 8.500 puntos, que resulta ser de 59,80 euros. Con este valor, la opción
sobre la opción con precio de ejercicio de 100 euros no vale nada.
Realizamos esta simulación 1.000 veces, generando 1.000 números aleatorios, y obtenemos un precio medio, para la opción sobre la opción del IBEX, de 22,26 euros con una desviación típica de 60,06 euros.
6.3.6.3. Opciones Chooser
Es una opción en la que, en un periodo t, el propietario puede elegir si es call o put. Si es una
Chooser simple la decisión se toma en el vencimiento de la opción. Si es compleja se decide
en un momento anterior al vencimiento. Una manera de valorar este tipo de opciones es empleando árboles binomiales y simulando por MonteCarlo las volatilidades del subyacente.
Analicemos la siguiente estructura:
• Fecha de valoración: 4 de febrero de 2004
• Fecha de determinación call / put: 1 de marzo de 2004
• Fecha de vencimiento 19 de marzo de 2004
• Valor del IBEX 35 en la fecha de valoración: 8.154,40
• Tipo de interés libre de riesgo, anual: 3%
• Precio de ejercicio: 8.200
El esquema del árbol del binomial es el que aparece en la Figura 11.
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Fig. 11. Árbol binomial para el cálculo de la opción
El histograma de volatilidades anuales del índice, tomando datos desde su inicio a principios de 1990, se refleja en la Tabla 10. La volatilidad anual se calcula como el producto de
la desviación típica de los rendimientos diarios y la raíz cuadrada de 365.
Vol = STDdiario × Raíz (365)
Si generamos un número aleatorio –por ejemplo, 0,245– y se utiliza MonteCarlo, observamos en el histograma de volatilidades que corresponde a una volatilidad anual del 20%. Con
esta volatilidad se puede calcular el árbol de precios, teniendo en cuenta que el tiempo hasta
el momento de la elección es de 26 días, y desde ahí hasta el vencimiento 18 días. Los precios obtenidos, para esta volatilidad, son los siguientes:
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Tabla 10
Fig. 12. Posibles precios
Con el árbol binomial construido se pueden calcular las probabilidades de precio up en
un entorno libre de riesgo. Con estos datos la probabilidad desde el momento de decisión hasta el vencimiento es del 51%, y la probabilidad desde la fecha valor hasta el momento de decisión es del 51%.
Prácticamente coincidirán en todos los ciclos con pequeñas diferencias de decimales.
Con estos datos ya podemos calcular el precio de una opción Chooser.
Después de 1.000 simulaciones con sus respectivos árboles binomiales obtenemos
que el precio medio de esta opción es de 553,57 euros con una desviación típica de 215,84.
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Fig. 13. Árbol binomial final
6.3.6.4. Opciones barrera
Los beneficios para el propietario de esta opción están sujetos a que el valor del subyacente
supere un nivel determinado en el momento T. Suelen ser más baratas que las opciones puras.
Pueden existir dos tipos de opciones barrera:
• Opción de barrera de salida. (Knock-out options). La opción deja de existir cuando el
subyacente se iguala a un número Z.
• Opción de barrera de entrada (Knock-in options). La opción comienza a existir cuando el subyacente se iguala a un número Z.
La Figura 14 ilustra el comportamiento de este tipo de opciones.
Valoremos la siguiente estructura:
Knock-out Call
P. Ejercicio:
8.300
Barrera:
8.800
Subyacente:
8.000
Vencimiento:
Tres meses
En la Tabla 11 se muestra el histograma de los rendimientos diarios. Este histograma
servirá para realizar una simulación de MonteCarlo.
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Fig. 14. Representación de los beneficios en una opción knock-out,
en el caso de call y put
Histograma que podemos representar en la Figura 15. Podemos observar que se aleja de una distribución normal y que es evidente la asimetría hacia la derecha de la distribución.
Tabla 11
Variación diaria
Observaciones
Acumulada
-8%
0
0,00%
-7%
3
0,10%
-6%
1
0,14%
-5%
4
0,28%
-4%
9
0,59%
-3%
30
1,63%
-2%
117
5,70%
-1%
336
17,39%
0%
861
47,34%
1%
967
80,97%
2%
390
94,54%
3%
110
98,37%
4%
34
99,55%
5%
7
99,79%
6%
3
99,90%
7%
3
100,00%
8%
0
100,00%
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Fig.15. Histograma de frecuencias de los rendimientos
Calculemos mediante números aleatorios la variación a final de cada mes y, con esas
variaciones, simulemos el comportamiento del precio del IBEX 35.
Por ejemplo, si el número aleatorio para enero es 0,9351 se le atribuye, a una variación del 10,95%, por lo que el IBEX cerrará a 8.926,16; si el número aleatorio para febrero
es 0,1062, se le atribuye una variación de −5,48% por lo que el IBEX caerá a 8.450,40 puntos; y por último si el número aleatorio es de 0,7646, la variación atribuida es del 5,48% y
el IBEX volverá al nivel de enero.
RND enero
RND febrero
RND marzo
0,9351
0,1062
0,7646
10,95%
-5,48%
5,48%
8.926,16
8.450,40
8.926,16
Después de 500 simulaciones se obtiene un precio de 45,38, con una desviación estándar de 124,36. Esta desviación típica tan elevada se debe a la cantidad de ciclos en los que
la opción está por encima de la barrera y vence sin valor.
6.3.6.5. Opciones Lookback
Los pagos dependen del máximo o del mínimo del subyacente durante la vida de la opción. El
pago es igual a la cantidad en el que el precio final de la acción excede al precio mínimo alcanzado por el subyacente durante la vida de la opción. Es decir:
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Pago = S – min(ST)
Valoremos la siguiente opción
Subyacente: 8.000 puntos
Vencimiento: 10 días
Para valorar este tipo de opciones debemos construir una simulación del camino aleatorio dirigido. Para ello vamos a utilizar el histograma de frecuencias de las variaciones diarias del subyacente que reflejamos en la Tabla 12.
Construimos la siguiente estructura que nos permitirá calcular diferentes simulaciones, mediante MonteCarlo, para establecer el camino aleatorio de los precios con ellas y calcular la diferencia del último precio con el mínimo de toda la serie.
Tabla 12
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
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Tabla 13
El lector puede conseguir en el Apéndice de este libro tanto el código que hay que escribir en el editor Visual Basic del botón SIMULAR, como las indicaciones para programar la hoja
de cálculo.
El resultado es que el precio esperado es de 495,14, con una desviación típica de
315,44. Estos números quedan reflejados en la Tabla 14.
Tabla 14
6.3.6.6. Opción llamada
Son opciones que al final del vencimiento ofrecen un pago que será el máximo entre la diferencia del valor del subyacente en la fecha de vencimiento y el precio de ejercicio, y la diferencia entre el valor del subyacente de un determinado momento y el precio de ejercicio, siempre que estas diferencias sean positivas. Si son negativas, el pago es cero.
En este caso retomamos el ejemplo anterior y solamente tenemos que realizar una
ligera modificación en el código de Visual Basic. Dicha modificación se puede obtener en el
Apéndice de códigos
6.3.6.7. Opción Asiática
Este tipo de opciones paga la diferencia entre la media del subyacente, durante h periodos, menos el precio de ejercicio. La valoración de este tipo de opciones se puede realizar mediante la aproximación de Levy o por simulación de MonteCarlo. Para realizar la
simulación retomamos la estructura anterior y modificamos el código como aparece en el
Apéndice de códigos.
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6.4. EL VALOR EN RIESGO (VAR)
6.4.1. Introducción
VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk) y fue desarrollado por la división
RiskMetric de JP Morgan en 1994. El VaR es una manera de medir el riesgo de mercado de
un activo o una cartera de activos financieros. De manera resumida el VaR cuantifica la máxima pérdida potencial que una cartera puede tener en función de un nivel de confianza, y para
un determinado horizonte temporal. Dicho de otra manera, al calcular el VaR obtendremos un
número que representa la pérdida máxima que se puede tener en la cartera.
Por ejemplo, si el VaR de una cartera está calculado en – 5.000 euros en un día, con
un índice de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan los 5.000
euros, sino que, en el caso de entrar en pérdidas, lo máximo que se puede perder de hoy a
mañana, y con una probabilidad del 95%, son 5.000 euros. De esta forma, se puede ajustar
el capital necesario.
Fig. 16. Histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX 35
desde 1990 hasta 2002
Otra medida complementaria del VaR es la denominada Pérdida Esperada en la Cola o
ETL (Expected Tale Looses). Cuando se calcula el VaR para un índice de confianza determinado, por ejemplo, el 95% se divide la distribución de pérdidas y ganancias en dos conjuntos:
uno que contiene el 5% y tiene las pérdidas superiores al VaR, y otro del 95% con las pérdidas inferiores al VaR y los beneficios. Esto se puede observar en la siguiente Figura 16, donde
se ha construido el histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX 35
desde enero de 1990 hasta finales de 2002. La línea vertical que parte en un nivel de pérdi-
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das entre los -150 y los -200 euros, es el quinto percentil de la distribución que deja a la
izquierda el 5% y a la derecha el 95% de la distribución. Esa línea representa el VaR al 95%,
ya que es la máxima pérdida que se puede obtener al 95% de probabilidad. Dicho de otra
manera, si las pérdidas y ganancias fuesen un juego de azar y las extracciones se obtuviesen
de este histograma, hay un 95% de obtener una pérdida o una ganancia del conjunto de la
derecha, y la máxima pérdida son -150 euros.
Pero existe un 5% de probabilidad de obtener una pérdida diaria superior a -150 y
ese riesgo no es desdeñable; un gestor de carteras puede adecuar su capital perfectamente a lo que le indique el VaR, ya que puede arruinar la empresa si un día obtiene una
pérdida dentro del conjunto situado a la izquierda del percentil que marca el VaR y esa
pérdida es lo suficientemente grande. Es decir, es preciso tener también alguna medida
de esas pérdidas que se quedan en la cola. Esa medida es el promedio de las pérdidas
que exceden al VaR por la izquierda durante un periodo de tiempo. A esta media es lo que
denominamos ETL.
6.4.2. Cálculo del VaR
Básicamente el VaR se puede calcular mediante dos metodologías:
1. Metodología paramétrica. Basada en las varianzas y covarianzas de los rendimientos de los precios de los activos.
2. Metodología de simulación, que se subdivide en:
a) Simulación histórica. En función de los rendimientos históricos de los precios de
los activos.
b) Simulación de MonteCarlo. En función de la simulación de rendimientos mediante números aleatorios.
6.4.2.1. Cálculo del VaR mediante la metodología
paramétrica
Esta metodología es la recomendada para carteras de acciones y de divisas en las que se
conoce la distribución estadística de los rendimientos. La ecuación que calcula el VaR paramétrico es la siguiente:
Ecuación 1
VaR = VM × σi × Nσ × √ t
donde:
VM el valor de mercado del activo.
σi la desviación estándar de los rendimientos de los precios del activo.
Nσ el número de desviaciones estándar que hay dentro del nivel de confianza escogido y la distribución estadística elegida (generalmente se utiliza la distribución normal).
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En el caso de una cartera de activos, el VaR vendrá dado por la siguiente ecuación:
VaRp = VMC × σp × Nσ × √ t
donde:
VMC el valor de mercado de la cartera
σp =
N
N
i=1
j=1
∑ ∑ Xi · Xj · σij
Veamos un ejemplo:
Supongamos una cartera de acciones con un valor de 10.000 euros y que está compuesta por un 25% invertido en Acerinox, un 30% en Amadeus y el 45% restante en BBVA.
Con los precios históricos de los últimos cuatro años y medio calculamos los rendimientos
diarios, y obtenemos la información que se detalla en la Tabla 15.
Tabla 15
Pesos
Rendimiento
STD
Covarianzas
Acerinox
25%
0,017%
2,179%
0,0004746
0,00022582 0,0001853
Amadeus
30%
-0,110%
3,234%
0,00022582
0,00104613
0,000346
BBVA
45%
-0,011%
2,341%
0,0001853
0,000346
0,00054811
El riesgo de la cartera medido por su desviación típica es de 2,009% diario. Es decir:
(0,25 0,30 0,45) ×
(
0,0004746 0,00022582 0,0001853
0,00022582 0,00104613 0,000346
0,0001853 0,000346 0,00054811
)( )
0,25
×
0,30
= 0,02009
0,45
Representa una volatilidad anual del 31,13% si asumimos una media de 240 días de
cotización al año.
0,02009 × √ 240 = 0,3113
Para calcular el VaR paramétrico hay que aceptar la hipótesis de que los rendimientos
de la cartera se distribuyen mediante una normal, y calcular cuántas desviaciones típicas tiene dicha distribución para el índice de confianza indicado.
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En la Figura 17 representamos el histograma de frecuencias de los rendimientos de la
cartera y lo comparamos con una distribución normal. Se puede comprobar que la distribución de la cartera es muy similar a la normal, por lo que podemos utilizar la metodología paramétrica.
La Tabla 16 es una tabla de doble entrada. En las columnas se han situado los diferentes grados de confianza, y en las filas los diferentes horizontes temporales. En la segunda fila se ha insertado el cálculo NSTD que indica el número de desviaciones típicas que existen en una distribución normal para el grado de confianza asignado. Por ejemplo, en el 99%
de toda la distribución están comprendidas 2,33 desviaciones típicas. En otras palabras, si
a la media se le suma y resta 2,33 veces la desviación típica, se obtiene un rango que comprende el 99% de la distribución.
Fig. 17. Histograma de los rendimientos de la cartera frente a una distribución normal
Tabla 16
G. confianza
días
99%
98%
95%
90%
NSTD
2,33
2,05
1,64
1,28
1
198,94 €
196,93 €
190,90 €
180,85 €
2
281,34 €
278,50 €
269,97 €
255,76 €
5
444,83 €
440,34 €
426,86 €
404,40 €
20
889,67 €
880,68 €
853,72 €
808,79 €
60
1.540,95 €
1.525,39 €
1.478,69 €
1.400,87 €
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6.4.2.2. Cálculo del VaR mediante simulación histórica
El procedimiento para el cálculo del VaR mediante la simulación histórica es el siguiente:
1. Identificación de las series temporales de las variables que afectan al valor del activo.
2. Cálculo de los rendimientos en cada periodo. Se utiliza para realizar este cálculo las
tasas de variación continuas:
Rto = Ln
(
Pix
P(i–1)x
)
donde PiX es el valor i–esimo de la serie de la variable x.
3. Generación de los pesos simulados. A los valores actuales se les aplica las n-1 tasas
de variación calculadas anteriormente, obteniendo n-1 escenarios.
4. Cálculo de los valores patrimoniales para cada escenario.
5. Cálculo de las pérdidas o ganancias para cada valor patrimonial.
6. Cálculo del percentil del vector de pérdidas y ganancias.
Veamos un ejemplo:
Analicemos una cartera de 10.000 euros invertida íntegramente, a finales de agosto
de 2004, en un fondo de inversión indiciado al índice AIAF de bonos y obligaciones empresariales con vencimiento superior a 2 años. Los datos que recibe el inversor son mensuales y
se puede albergar la sospecha de que la distribución de los rendimientos mensuales no se
comporta como una normal. Para comprobarlo se construye el diagrama de frecuencias de
los rendimientos mensuales del índice AIAF, y se compara con una distribución normal. La
Figura 18 muestra este diagrama de frecuencias.
Nuestras sospechas se confirman, ya que el gráfico de barras se asemeja muy poco a
la figura de la distribución normal. Esto condiciona elegir la metodología de cálculo del VaR y
obliga a rechazar la metodología paramétrica. Por lo tanto, en este ejemplo emplearemos la
simulación histórica.
En la Tabla 17 se sitúa en la columna B el índice AIAF, y en la C el rendimiento mensual
de este índice, calculado a través de la siguiente fórmula:
Rto = Ln(Precio mes actual / Precio mes pasado)
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Fig. 18. Histograma de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF
desde octubre de 1991 hasta noviembre de 2001
Tabla 17
El último precio, de agosto de 2004, se sitúa al principio de la columna D de la Tabla,
columna que se denomina simulación. Esta técnica proyecta el comportamiento pasado del índice hacia el futuro, por lo que los incrementos y decrementos del índice ya están fijados. El precio del siguiente día se calcula teniendo en cuenta el primer rendimiento que hubo en la serie de
datos utilizada, y el segundo precio simulado se calcula con el segundo rendimiento de la serie
de datos. La ecuación que utilizamos para calcular los nuevos precios es la siguiente:
Nuevo precio = Precio mes pasado × eRendimiento
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Así, por ejemplo, el primer precio simulado se calcula como
4,13 × e0,0168 = 4,20
y el segundo precio
4,20 × e-0,011 = 4,154
y así sucesivamente.
Una vez que se ha simulado la nueva serie de precios del índice AIAF se puede calcular el
valor simulado de la cartera en cada momento. Estos cálculos aparecen en la columna E. Con
estos datos podemos calcular la serie simulada de pérdidas y ganancias mensuales, calculando
las diferencias correlativas de los valores de la cartera, que se sitúan en la columna F.
Una vez calculada esta serie se puede calcular el VaR con un índice de confianza del
95%, con sólo calcular el quinto percentil de la serie de pérdidas y ganancias. El valor del VaR
(95%) es de − 526,20 euros de pérdida. Es decir, que la máxima pérdida que el inversor puede tener en un mes comprando esta cartera es de 526,2 euros.
6.4.2.3. Simulación de MonteCarlo
El VaR mediante la simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para simular las variaciones de las variables con las que se calcula el precio de la cartera. Se puede resumir esta
técnica en los siguientes pasos:
1. Identificar las variables creadoras de valor de la cartera y tomar una serie histórica de precios.
2. Calcular los rendimientos periódicos mediante el logaritmo neperiano del cociente
de los precios correlativos.
3. Calcular la frecuencia acumulada de los rendimientos en la serie histórica tomada.
4. Generar tantos números aleatorios como simulaciones se quiera realizar.
5. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada que está asignada a
un rendimiento en concreto.
6. Utilizar ese rendimiento para calcular la variación de los precios.
7. Calcular la serie de pérdidas y ganancias con los precios simulados.
8. Calcular el percentil adecuado que represente el Valor en Riesgo.
Veamos un ejemplo.
El 29 de abril de 2004 un inversor quiere calcular el VaR, a través de la simulación de
MonteCarlo, de una cartera que compra 9 futuros mini del S&P 500.
Para esto toma la serie de precios de cierre de este índice desde el 28 de noviembre
de 1997, y calcula los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano de los precios diarios
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correlativos. Con la serie de los rendimientos construye el histograma de frecuencias, que
resulta ser el que se representa en la Tabla 18.
1.113,89 e0,005 = 1.119,47
Tabla 18
Incremento
Frecuencia
Acumulada
-7,0%
1
0,06%
-6,5%
0
0,06%
-6,0%
0
0,06%
-5,5%
1
0,12%
-5,0%
1
0,19%
-4,5%
0
0,19%
-4,0%
3
0,37%
-3,5%
5
0,69%
-3,0%
12
1,44%
-2,5%
23
2,87%
-2,0%
43
5,56%
-1,5%
92
11,31%
-1,0%
126
19,18%
-0,5%
210
32,29%
0,0%
281
49,84%
0,5%
262
66,21%
1,0%
234
80,82%
1,5%
145
89,88%
2,0%
74
94,50%
2,5%
43
97,19%
3,0%
16
98,19%
3,5%
12
98,94%
4,0%
9
99,50%
4,5%
2
99,63%
5,0%
3
99,81%
5,5%
2
99,94%
6,0%
1
100,00%
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El paso siguiente es generar números aleatorios. Se generan 1.601 números aleatorios para realizar 1.601 días de simulación. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada y, por tanto, un incremento. Por ejemplo, el primer número aleatorio es
0,58399483, que representa una frecuencia acumulada de 58,40%. Si localizamos esta frecuencia en la tabla de frecuencia acumulada anterior, vemos que corresponde a un incremento
del 0,5%. El precio del S&P 500, que en la fecha del análisis estaba en 1.113,89 puntos, se
incrementará en esa cantidad, y el nuevo precio será de 1.119,47 puntos.
Con este procedimiento se calculan todos los precios de los 1.601 días simulados, y
a continuación, se calcula el valor de la cartera multiplicando por 9 el S&P 500, obteniendo
la serie de 1.601 valores de la cartera. Se calculan las pérdidas y ganancias, como la diferencia de los diferentes precios correlativos, y el quinto percentil de esta serie de pérdidas y
ganancias, para derivar el VaR con un índice de confianza del 95%. El VaR resulta ser de
−1.313,73 euros. Es decir, la máxima pérdida que se puede tener en la cartera, con una probabilidad del 95% y en un día, es de 1.313,73 euros.
La Tabla 19 resume estos cálculos.
Tabla 19
6.4.3. Cálculo de la ETL
Como ya se ha señalado, la ETL son las siglas inglesas que se refieren a la Pérdida Esperada
en Cola (Expected Tale Loss) y representa el promedio de los valores negativos que exceden
al VaR por la izquierda.
Su cálculo no está exento de complejidad, pero se puede resumir en los siguientes puntos:
1. Calcular el VaR para una cartera en un periodo determinado.
2. Calcular las pérdidas y ganancias de los últimos n periodos.
3. Extraer las pérdidas que excedan por la izquierda al VaR.
4. Calcular el promedio de esas pérdidas.
Tomamos el primer cuatrimestre del IBEX 35 y calculamos el VaR paramétrico con un
índice de confianza del 95% y una desviación típica de 60 días. Se construye la serie de pérdidas y ganancias diarias como diferencia entre los valores correlativos del índice. Por último,
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observamos, para cada día, los 60 valores de pérdidas y ganancias inmediatamente posteriores, y de esta serie de valores extraemos los que tienen un valor inferior al VaR de ese día.
El promedio es la ETL.
Lógicamente, y tomando el concepto de VaR, la ETL debe comprender el porcentaje
complementario al índice de confianza. Es decir, si hemos calculado un VaR al 95%, la ETL
debe contener el 5% de los valores de pérdidas y ganancias.
La Figura 19 muestra la representación de la ETL (línea fina), del VaR (línea gruesa),
y de las pérdidas y ganancias (+). Observamos que existen algunas pérdidas que se sitúan
por debajo de la línea del VaR. La ETL es el promedio de esas pérdidas y como tal,se situará
siempre por debajo del VaR.
Fig. 19. Representación del VaR y de la ETL para periodos de 60 días del IBEX 35
desde abril de 2003 hasta abril de 2004
Cuando se calcula la ETL para una serie larga se cumplen las características que se
han comentado en este epígrafe. Tomando la serie del IBEX 35 desde enero de 1990 hasta
abril de 2004 se obtienen 3.336 valores. Al realizar el VaR paramétrico, al 95% de confianza y tomando 60 días para el cálculo de la desviación típica, se observa que el 5,17% de las
pérdidas y ganancias diarias se sitúan por debajo del nivel del VaR.
La ETL es una mejor medida para la adecuación del riesgo de los gestores ya que, aunque con el VaR al 95% se consigue que la adecuación responda al 95% de los casos, uno de
los casos del 5% restante puede tener tal magnitud de pérdida que arruine la cartera o la
empresa. La ETL mitiga en alguna medida este problema al aumentar el capital asignado a la
adecuación del riesgo.
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6.5. ANÁLISIS DE BONOS CON CUPÓN VARIABLE (FRN)
6.5.1. Características principales de un FRN
Los FRN son bonos con cupón variable (Floating Rate Note), lo que supone que los pagos están
referenciados a un tipo de interés, generalmente el LIBOR o el EURIBOR. La estructura básica de un FRN suele ser un bono emitido a medio o largo plazo con pagos semestrales y un
diferencial que se calcula en función del riesgo del emisor.
Por ejemplo, un bono con las siguientes características:
Emisor:
Entidad AAA
Amortización:
Dentro de 3 años, el 100% del nominal
Cupón:
LIBOR seis meses + 0,25% (6MoL + 25 p.b.)
Pagos:
Semestrales
Base:
Real / 360
Euribor (spot):
2%
Sobre el bastidor de un FRN se le pueden añadir diferentes productos financieros, tales
como Caps o Floors, para obtener estructuras que se adapten a los requerimientos del inversor. Un Cap es un producto financiero en el que se establece un tipo de interés de referencia;
cuando el interés, Euribor o LIBOR, supera esa referencia, el emisor pagará, al comprador
del Cap, la diferencia entre este tipo y la referencia. Un Floor desarrolla el mismo concepto
que el Cap, con la diferencia de que el pago del emisor al poseedor se produce cuando el interés cae por debajo de la referencia.
Para analizar la familia de los FRN vamos a realizar una simulación de MonteCarlo para
calcular el precio para diferentes niveles del tipo de interés a plazo (Forward) y su duración
modificada.
Partimos de la hipótesis de que los tipos actuales (Spot) llegarán a los niveles de los
tipos Forward en el plazo de éstos. Pero la evidencia empírica nos dice que este camino no
es lineal, sino aleatorio. Es decir, si los tipos actuales son del 3% y los tipos a plazo a tres
años del 9%, la evolución de los tipos no será con incrementos del 1% cada año, sino que
recorrerá un camino aleatorio hasta llegar al 9%.
En Figura 20 se muestra la evolución simulada a través de MonteCarlo, con un camino aleatorio no dirigido, de los tipos de interés a tres años, asumiendo la hipótesis de que los
tipos actuales llegarán a ser los tipos a plazo en el futuro.
También se podría lograr la simulación con un camino aleatorio dirigido utilizando el histograma de las variaciones mensuales del tipo interbancario, con la que se construye la tabla
de frecuencias, tal y como se refleja en la Tabla 20.
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Fig. 20. Evolución simulada de los tipos de interés mediante un camino aleatorio
no dirigido
Tabla 20
Los datos para construir esta Tabla se han obtenido de la página web del Banco de
España, más concretamente del Boletín Estadístico donde se publican los tipos de interés
interbancario al final de cada mes. La hoja Excel que realiza todos los cálculos se encuentra
disponible en el fichero.
En la columna A de la Tabla 21 se muestran los diferentes precios, duraciones y rentabilidades para diferentes tipos forward. En la columna B se calcula el VAN del FRN para cada uno
de esos precios forward; en la columna C se calcula la duración; y, por último, en la columna D se
calcula la TIR de cada producto al comparar los flujos de caja con un precio de 100. Un detalle
que hay que tener en cuenta es que el cupón se calcula con el nivel de los tipos de interés del periodo anterior. Es decir, el cupón del periodo 1 se calcula con el Euribor en el momento actual; el
cupón del periodo 2 se calcula con el nivel del Euribor en el periodo 1, y así sucesivamente.
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Se observa que la duración modificada del FRN es prácticamente cero, ya que, ante
variaciones de los tipos de interés, el precio del FRN no se modifica, debido a que ambos precios varían en la misma proporción. El precio depende del valor del tipo forward. Así, si los
tipos evolucionan y se sitúan entre el 3,5% y el 4%, el FRN cotizará a la par. Estos datos se
reflejan en la figura 21, donde el valor está representado en la curva ascendente y la duración
en la descendente.
Tabla 21
Valor
104
102
100
Duración
98
96
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
94
0,06%
0,04%
0,02%
0,00%
-0,02%
-0,04%
-0,06%
-0,08%
-0,10%
7,00%
106
Dur. Modif.
Fig. 21. VAN y duración del FRN
Precio
cap.6
Forward
El rendimiento es creciente con el aumento de los tipos forward por encima del 2%, y
hasta situarse en torno al 4,5%. La TIR de esta estructura se refleja en la Figura 22.
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Fig. 22. TIR en función del forward
TIR
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
0,00%
2,00%
cap.6
6.5.2. Análisis de un Cap FRN
El Cap FRN es un FRN al que se le asocia un Cap, de tal manera que el inversor de este tipo
de productos tiene un límite en el cobro del cupón. La sociedad que emite un Cap FRN quiere asegurarse de que no pagará excesivos intereses debido a una posible subida de los tipos
de interés. La estructura consiste en que el emisor le vende un FRN al inversor, con la obligación de que éste emita un Cap que comprará el emisor, de tal manera que si los tipos de
interés superan el nivel del Cap, el inversor pagará la diferencia al emisor del FRN. De esta
manera el inversor limita los intereses recibidos al nivel del Cap.
Supongamos que el FRN es sobre el Euribor con un Cap del 5%. Si el Euribor sube hasta el 7%, la empresa le paga al inversor esta cantidad, pero como el Euribor ha superado el
nivel del Cap, el inversor deberá darle a la empresa la diferencia, es decir, un 2%. El inversor
recibe un 7% y paga un 2%, con lo que cobra un 5%, que es el nivel del Cap.
Como ningún inversor quiere un producto que tenga limitado los beneficios, los emisores están obligados a endulzar el producto ofreciendo un diferencial mayor que el que, por
ejemplo, ofrece un FRN con el mismo vencimiento. De esta manera, el emisor de un Cap FRN
es una empresa que está convencida de que los tipos subirán y no quiere arriesgarse a pagar
cupones altos, mientras que el inversor del Cap FRN tiene la esperanza de que los tipos subirán, pero no sobrepasarán el nivel del Cap.
Es decir, los inversores apuestan por una subida moderada de los tipos de interés,
mientras que los emisores apuestan por una subida más drástica.
cap.6
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Analicemos la siguiente estructura:
Emisor:
Entidad AAA
Amortización:
Dentro de 3 años, el 100% del nominal
Cupón:
LIBOR seis meses + 0,75% (6MoL + 75 p.b.)
Cap:
3,5%
Pagos:
Semestrales
Base:
Real / 360
Euribor:
2%
El Cap limita el cupón cuando el Euribor supera el 3,5%. En la Tabla 22 se incluyen los
diferentes resultados después de utilizar la simulación por MonteCarlo. En la columna A están
los tipos a plazo utilizados, y en las siguientes columnas, a modo de benchmark, el precio de
un FRN con un diferencial de 25 puntos básicos (columna B), el precio del Cap FRN que estamos analizando (columna C), la duración (columna D) y la rentabilidad del Cap (columna E).
Tabla 22
Cuando el interbancario supera el Cap, el cupón toma el valor de éste. Comparando
con el FRN+25 puntos básicos analizado anteriormente, el VAN del Cap FRN se sitúa por encima y aumenta hasta que cruza el umbral del Cap, momento en el que actúa éste y se estanca el VAN en torno a valores de 101. La duración pasa de tomar valores cercanos a cero a la
duración de un bono de tres años que tenga un cupón del 3,5%, en cuanto el Euribor se sitúa
por encima del Cap. Es lógico ya que cuando actúa el Cap, convierte en una estructura con
pagos fijos como un bono con cupón de 3,5%.
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Fig. 23. Precio y Duración de un Cap FRN a tres años
Valor
101,5
101
100,5
100
99,5
99
98,5
98
0,00%
-1,00%
-1,50%
Duración
-2,00%
-2,50%
Dur. Modif.
-0.50%
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
-3,00%
2,00%
Precio
Forward
El rendimiento de un Cap FRN es ascendente en función de que suban los tipos de interés.
Al llegar al nivel del Cap, el rendimiento se estanca en un nivel sensiblemente inferior al Cap. Esto
es debido a que en un entorno de curvas de tipos de interés ascendentes, el primer cupón es inferior al pago del Cap. Recordemos que este primer cupón se calcula con el Euribor del momento
actual y, por lógica, será inferior al Cap. Este cupón de menor tamaño reduce la TIR del Cap FRN
y nunca podrá llegar a ser superior al tanto por ciento que paga el Cap.
Fig. 24. La TIR de un Cap FRN de tres años
TIR
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
0,00%
2,00%
cap.6
6.5.3. Análisis de un IFRN
Un FRN inverso o más comúnmente llamado IFRN, o Inverse, es una estructura que consigue
aumentar los cupones en entornos de tipos de interés descendientes, ó pagar menos cupón
cuando suben los tipos de interés. Generalmente este tipo de estructuras llevan un Floor para
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proteger al inversor y animarle a comprarlo, ya que de otro modo no habría ningún inversor
dispuesto a comprar un título sin rentabilidad ante una subida drástica de los tipos. Lo más
habitual es que lleve un Floor al 0% para evitar intereses negativos.
El emisor de este tipo de estructuras está apostando a subidas de tipo de interés y
emite este producto con la intención de reducir el coste de la deuda. El comprador de los IFRN
tiene unas expectativas radicalmente diferentes a los emisores; piensa que los tipos caerán
y quiere aprovecharse de esta caída consiguiendo mejor rendimiento que el mercado.
Analicemos la siguiente estructura:
Emisor:
Entidad AAA
Amortización:
Dentro de 3 años, el 100% del nominal
Cupón:
10% - 2 × LIBOR seis meses (10% - 2×6MoL)
Floor:
2%
Pagos:
Semestrales
Base:
Real / 360
Euribor:
2%
En la Tabla 23 se comparan los valores del FRN con un diferencial de 25 puntos básicos, del Cap FRN analizado antes y del IFRN. Como en los casos anteriores, calculamos la
duración y la rentabilidad para el producto que nos ocupa.
Este IFRN es superior a las demás estructuras cuando los tipos son bajos. El valor
actual del IFRN es superior al FRN y al Cap FRN en un entorno de tipos bajos, ya que la estructura se beneficia de un Floor al 2%, lo que asegura un cobro mínimo de cupón. La duración
modificada se reduce, en valor absoluto, con el aumento de los tipos. Esto quiere decir que
el producto asume más riesgo en los tipos bajos que en los tipos altos.
En la Figura 25 se recoge la evolución del VAN del IFRN y de su duración modificada.
El VAN es descendente con subidas de los tipos, mientras que la duración modificada es estable en un entorno de tipos de interés bajos, ya que en esas circunstancias el IFRN actúa como
un bono de 3 años que paga un cupón del 2%. El gran tamaño de la duración modificada se
debe a que los dos flujos de intereses que tiene la ecuación de la duración en un IFRN (el cupón
y el tipo de actualización) se suman, en vez de compensarse como en un FRN. Cuando los
tipos aumentan la duración se reduce, al reducirse los cupones.
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
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Tabla 23
Fig. 25. Valor actual neto y duración de un IFRN
110
108
106
104
102
100
98
96
0,00%
Valor
-4,00%
-6,00%
Duración
-8,00%
Dur. Modif.
-2,00%
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
-10,00%
2,00%
Precio
cap.6
Forward
El rendimiento del IFRN es superior a las dos anteriores estructuras hasta que el Euribor llega al nivel del 5%, momento en el que el FRN supera al IFRN. El rendimiento del IFRN
tiene una tendencia bajista con la subida de los tipos de interés. El inversor pasa de obtener
una TIR del 6%, si los tipos son bajos, a tener una TIR del 3% si suben. Ver Figura 26.
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Fig. 26. TIR de un IFRN
TIR
7,00%
6,00%
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
0,00%
2,50%
1,00%
2,00%
cap.6
6.5.4. Análisis de un Collar IFRN
A la combinación de un FRN con un Cap y con un Floor se le denomina Collar FRN y, a veces,
pasillo o túnel. El emisor que lo lanza apuesta por subidas de tipos de interés. Para evitar pagar
un cupón muy superior al que pagaría con un FRN, decide ofrecerle al inversor un
Floor como garantía de que el cupón que se paga nunca bajará de cierto nivel, y le pone un Cap
para evitar que él pague por encima de un tipo determinado. El comprador de este tipo de estructuras busca la seguridad y está convencido de que los tipos no tienen una tendencia alcista tan
clara, sino, todo lo contrario; de moverse, caerán, y por eso, le interesa el Floor.
Analicemos la siguiente estructura:
Emisor:
Entidad AAA
Amortización:
Dentro de 3 años, el 100% del nominal
Cupón:
LIBOR seis meses + 0,1% (6MoL + 10 p.b.)
Cap:
5%
Floor:
3%
Pagos:
Semestrales
Base:
Real / 360
Euribor:
2%
En la Tabla 24 se compara el VAN de las tres estructuras anteriores (FRN, Cap FRN
e IFRN) con la del Collar FRN.
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
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Tabla 24
Con tipos bajos, el VAN de esta estructura no supera al VAN del IFRN pero sí a los restantes. Cuando el Euribor supera el 5%, es sensiblemente superior a las demás hasta que
los tipos alcanzan niveles altos, momento en el que el FRN+25 supera a los demás.
Fig. 27. El VAN y la duración modificada de un Collar FRN
Valor
104
0,00%
Duración
-0,50%
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
-3,00%
4,00%
-2,50%
98
3,50%
-2,00%
99
3,00%
-1,50%
100
2,50%
-1,00%
101
2,00%
102
Dur. Modif.
103
Precio
cap.6
Forward
La duración en valor absoluto decrece en tipos medios desde la duración de un bono
que paga el 3%, vuelve a crecer para tipos altos y se estabiliza en la duración de un bono de
tres años con cupón 5%. Pasa de comportarse como un bono a comportarse como un FRN,
y vuelve, en los tipos altos, a comportarse como un bono. Este comportamiento viene determinado por la inclusión del Floor y del Cap en la estructura; cuando no actúan y la estructura
se comporta como un FRN, la duración tiende a ser cero. El VAN, sin embargo, es creciente
estabilizándose en los tipos altos. La TIR es creciente con el aumento de los tipos, estabilizándose en torno al 4% cuando actúa el Cap. Ver Figuras 27 y 28.
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Fig. 28. La TIR de un Collar FRN
7,00%
6,50%
6,00%
5,50%
5,00%
4,50%
3,50%
3,00%
2,50%
4,00%
TIR
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
0,00%
2,00%
cap.6
6.5.5. Comparación de las cuatro estructuras
La Figura 29 muestra una comparación de las cuatro estructuras analizadas, en función de
su valor actual (a), rentabilidad (b) y duración modificada (c).
En un entorno de bajos tipos de interés, el IFRN es la mejor estructura en cuanto VAN
y TIR, y la peor es el FRN. Sin embargo, el IFRN es la que presenta mayor riesgo, como se
comprueba comparando el tamaño de su duración modificada respecto al de las demás estructuras. El FRN tiene en todo momento una duración modificada de cero.
Cuando los tipos suben, el IFRN sigue siendo la mejor estructura en cuanto a rendimiento y VAN, aunque se mantiene también como el producto más arriesgado. El Collar FRN,
que en entorno de bajos tipos de interés era el segundo con mayor riesgo, pasa a ser el segundo con menor riesgo.
Por último, en entorno de altos tipos de interés son el Collar y el FRN los que se sitúan
mejor. El IFRN ofrece poco rendimiento y mantiene mucho riesgo.
Para clasificar estas estructuras se pueden crear tres tablas de decisión y ordenar los
productos en función de su valor, rentabilidad y duración, asignando una puntuación de 1 a 4
según su posición relativa. (4 para el mejor, 1 para el peor).
La Tabla 25 resume esta clasificación en un entorno de tipos bajos. El mejor producto
resulta ser el Cap FRN y el IFRN. El peor, el FRN.
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Fig. 29. Comparación de un FRN, con un Cap FRN, con un IFRN y con un Collar FRN.
El gráfico a nos muestra el VAN, la rentabilidad está situado en el b y en el c
presentamos la duración modificada
Tabla 25
Producto
Valor
TIR
Duración
Puntos
FRN
4
4
1
6
Cap FRN
2
2
2
9
IFRN
1
1
4
9
Collar FRN
2
2
3
8
La Tabla 26 resume la clasificación en un entorno de tipos medios. El mejor producto
es el FRN, y el peor, el Cap FRN.
Tabla 26
Producto
Valor
TIR
Duración
Puntos
FRN
2
2
1
10
Cap FRN
2
2
3
8
IFRN
1
1
4
9
Collar FRN
2
2
2
9
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Finalmente, en la Tabla 27 se ordenan en un entorno de tipos altos. De nuevo, el FRN
es el mejor producto, y el peor, el IFRN.
Tabla 27
Producto
Valor
TIR
Duración
Puntos
FRN
1
1
1
12
Cap FRN
2
2
3
8
IFRN
2
2
4
7
Collar FRN
1
1
2
11
6.6. RESUMEN Y CONCLUSIONES
• Los número aleatorios se utilizan para generar procesos Brownianos que simulan el
comportamiento de los mercados.
• La simulación es una herramienta muy potente a la hora de modelizar el comportamiento de los mercados y calcular los rendimientos y riesgos de los productos
• La simulación histórica proyecta el comportamiento pasado del valor hacia el futuro.
Se basa en el convencimiento de que es igual de defendible ese comportamiento en
el futuro que cualquier otro que se pueda establecer al azar.
• La simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para realizar la proyección
hacia el futuro. Si utiliza el histograma de frecuencias es un MonteCarlo dirigido; si
no, es un MonteCarlo camino aleatorio.
• El Valor en el Riesgo (VaR) es la máxima pérdida que una cartera puede tener en un
periodo determinado para un índice de confianza determinado.
• El VaR se puede calcular mediante ecuaciones paramétricas, simulación histórica o
por MonteCarlo.
• El método de simulación de MonteCarlo también se emplea para calcular el rendimiento y riesgo de los bonos con cupón variable (FRN).
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APÉNDICE
Opción Lookback
Hacer clic en el editor de Visual Basic y copiar el siguiente código.
Private Sub CommandButton1_Click()
sim = Worksheets(“Hoja6”).Cells(23, 6)
dias = Worksheets(“Hoja6”).Cells(22, 6)
acum = 0
acum2 = 0
For ciclo = 1 To sim
Worksheets(“Hoja6”).Cells(23, 7) = ciclo
Suby = Worksheets(“Hoja6”).Cells(21, 6)
Mini = Suby
For dia = 1 To dias
Worksheets(“Hoja6”).Cells(22, 7) = dia
Randomize (Timer)
aleat = Rnd
Worksheets(“Hoja6”).Cells(24, 6) = aleat
incr = Worksheets(“Hoja6”).Cells(25, 6)
Suby = Suby * (1 + incr)
If Suby < Mini Then
Mini = Suby
End If
Next dia
Bfo = Suby - Mini
acum = acum + Bfo
acum2 = acum2 + (Bfo ^ 2)
Next ciclo
media = acum / sim
desv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)
Worksheets(“Hoja6”).Cells(29, 6) = media
Worksheets(“Hoja6”).Cells(30, 6) = desv
End Sub
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• bolsa, mercados y técnicas de inversión •
Opción Llamada
Private Sub CommandButton1_Click()
sim = Worksheets(“Hoja7”).Cells(23, 6)
dias = Worksheets(“Hoja7”).Cells(22, 6)
acum = 0
acum2 = 0
Ejer = Worksheets(“Hoja7”).Cells(20, 6)
For ciclo = 1 To sim
Worksheets(“Hoja7”).Cells(23, 7) = ciclo
Suby = Worksheets(“Hoja7”).Cells(21, 6)
Max = Suby
For dia = 1 To dias
Worksheets(“Hoja7”).Cells(22, 7) = dia
Randomize (Timer)
aleat = Rnd
Worksheets(“Hoja7”).Cells(24, 6) = aleat
incr = Worksheets(“Hoja7”).Cells(25, 6)
Suby = Suby * (1 + incr)
If Suby > Max Then
Max = Suby
End If
Next dia
Bfo1 = Max - Ejer
If Bfo1 > 0 Then
Bfo = Bfo1
Else
Bfo = 0
End If
acum = acum + Bfo
acum2 = acum2 + (Bfo ^ 2)
Next ciclo
media = acum / sim
desv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)
Worksheets(“Hoja7”).Cells(29, 6) = media
Worksheets(“Hoja7”).Cells(30, 6) = desv
End Sub
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técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados
Opción Asiática
Private Sub CommandButton1_Click()
sim = Worksheets(“Hoja8”).Cells(23, 6)
dias = Worksheets(“Hoja8”).Cells(22, 6)
acum = 0
acum2 = 0
Ejer = Worksheets(“Hoja8”).Cells(20, 6)
For ciclo = 1 To sim
Worksheets(“Hoja8”).Cells(23, 7) = ciclo
Suby = Worksheets(“Hoja8”).Cells(21, 6)
preacum = 0
For dia = 1 To dias
Worksheets(“Hoja8”).Cells(22, 7) = dia
Randomize (Timer)
aleat = Rnd
Worksheets(“Hoja8”).Cells(24, 6) = aleat
incr = Worksheets(“Hoja8”).Cells(25, 6)
Suby = Suby * (1 + incr)
preacum = preacum + Suby
Next dia
med = preacum / dias
If med > Ejer Then
payoff = med - Ejer
Else
payoff = 0
End If
acum = acum + payoff
acum2 = acum2 + (payoff ^ 2)
Next ciclo
media = acum / sim
desv = ((acum2 / sim) - (media ^ 2)) ^ (0.5)
Worksheets(“Hoja8”).Cells(29, 6) = media
Worksheets(“Hoja8”).Cells(30, 6) = desv
End Sub
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EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Utilizando el siguiente histograma de frecuencias de una cartera, realice una simulación de
MonteCarlo para calcular el VaR al 95% .
Rendimientos
Observaciones
-2%
10
-1,5%
50
-1%
80
-0,5%
150
0%
300
0,5%
350
1%
225
1,5%
175
2%
70
2,5%
20
QUIZ
1. Los números aleatorios uniformes se basan en que la probabilidad de acontecimiento de
cada uno de ellos es:
A. Equiprobable.
B. Una función de probabilidad normal.
C. Una función aleatoria.
D. Ninguna de las anteriores.
2. Para realizar una simulación por MonteCarlo para el precio del petróleo, y teniendo en cuenta que no sabe la distribución de las variaciones, se debería realizar mediante:
A. Desigualdad de Tchebycheff.
B. MonteCarlo Dirigido.
C. MonteCarlo paseo aleatorio.
D. Ninguna de las anteriores.
3. En el VaR paramétrico, el uso de la variable NSTD está basada en el supuesto de que se
utiliza
A. Rendimientos logarítmicos.
B. Distribución Normal.
C. Desviación típica diaria.
D. Ninguna de las anteriores.
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BIBLIOGRAFIA
ARAGONÉS, J. Y BLANCO, C. Valor en Riesgo. Ed. Pirámide. Madrid 2000.
BEAUMONT, P. Fixed income synthetic assets. Ed. Wiley 1992.
GIL LAFUENTE, A. Nuevas estrategias para el análisis financiero en la empresa. Ed. Ariel 2001.
KNOP, R. Finanzas de Diseño. Manual de productos estructurados. Escuela de finanzas aplicadas.
Madrid 2000.
LAMOTHE FERNÁNDEZ, P y PÉREZ SOMALO, M. Opciones financieras y productos estructurados. Ed.
McGraw Hill. Madrid 2003.
MASCAREÑAS PÉREZ-ÍÑIGO, J. Innovación financiera. Ed. McGraw Hill. Madrid 1999.
PENG DATATTREYA. The Structured Note Market. Ed. Probus 1995.
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