Repartido de matemática

Repartido de matemática
Segundo año
Prof. Alejandro Oyhenart
Febrero de 2015
Nombre del alumno
Clase
SITIO WEB: http://repartidosdelliceo.jimdo.com/
La bibliografía utilizada para la elaboración de este material se encuentra detallada en el sitio web mencionado.
Por cualquier corrección, sugerencia o duda, por favor comunicarse al sitio web citado
Repartido de matemática – 2doaño – Matemática
Prof. Alejandro Oyhenart
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Ficha I – Conjunto de los números Enteros.
Problemas introductorios
1. Completa los siguientes cuadrados mágicos:
7
2
5
4
8
6
6
4
5
9
4
3
6
2. Héctor el caracol persistente quiere subir un muro de diez metros de
Los números enteros (anotados como
)
son un conjunto de números que incluye a
los números naturales distintos de cero {1,
2, 3, ...}, los negativos de los números
naturales {..., −3, −2, −1} y al 0. Los enteros
negativos, como −1 o −3 (se leen «menos
uno», «menos tres», etc.), son menores que
todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que
el cero. Para resaltar la diferencia entre
positivos y negativos, a veces también se
escribe un signo «más» delante de los
positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le
escribe signo al número se asume que es
positivo. El conjunto de todos los números
altura para alcanzar su alimento. Durante el día sube dos metros pero
durante la noche, mientras duerme, resbala y baja un metro. ¿Cuántos enteros se representa por la letra = {...,
−3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene
días le llevará remontar el muro?
del alemán Zahlen
quiere poner un invernadero de plantas tropicales en el fondo de su casa,
para que estas sobrevivan deben encontrarse a una temperatura mínima
de 30°C. ¿Cuánto deberá aumentar la temperatura para que las plantas
sobrevivan?
4. Teniendo en cuenta las fechas de nacimiento y muerte de las siguientes
figuras de la antigua Grecia, Platón (427 AC; 347AC), Aristóteles (384 AC;
322 AC), Sócrates (470 AC; 399AC)
a. ¿Quién crees fue discípulo de quién?
b. ¿Cuántos años vivió cada uno?
c. ¿Cuántos años debió haber vivido cada uno para llegar al año 2 DC?
5. Un hombre entra a un Casino con la suma de $200, pierde en la primera
jugada $ 150, por lo que pide un préstamo de $ 250, en su siguiente
jugada apuesta $ 250 y los pierde. Si se sabe que por cada $ 100 que pida
prestado debe devolver $ 120 antes de retirarse del casino. ¿Con qué
suma de dinero salió del casino?
6. Un automóvil sale de Montevideo (Kilómetro 0) en dirección a Paysandú
(kilómetro 378), con Nafta suficiente para recorrer 450 km. Cuando llega a
Colonia (kilómetro 177) recuerda el chofer que no lleva los documentos
con él, por lo que debe regresar a Montevideo.
a. ¿Puede llegar a Paysandú sin cargar nafta? Justifique su respuesta.
b. ¿Cuántos kilómetros le faltarán o le sobraran al chofer para llegar a su
destino?
Propagación de los rumores: Estás
saliendo con un/a compañero/a de
clase, pero no quieres que nadie se
entere, solo tus tres mejores amigos
deben saberlo, desgraciadamente en
quince minutos, cada uno de estos
cuenta tu secreto a otras tres amigos
distintos, confiando obviamente que
estos no harán pública la información,
conocida la noticia, en otros quinces
minutos cada unos de estos últimos
cuenta tu secreto a otros tres amigos
distintos, siguiendo este ritmo de
chismerío, en tres horas ¿Cuántas
personas se habrán enterado de tu
“secreto”?
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3. Una familia que se encuentra en Siberia a una temperatura de –20°C
1
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7. Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número
entero:
Situación
Número entero
Avancé 4 metros.
Avancé 12 metros.
El ascensor está en el 3° piso.
El ascensor está en el 0° piso.
Debo $11.000.
Debo $2.000.
El submarino está a 40 metros de profundidad.
El submarino está a 24 metros de profundidad.
La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo cero.
La temperatura en la Antártica es de 2 grados bajo cero.
El ascensor está en el primer subsuelo.
Ahorré $10.000.
Ahorré $24.000.
Retrocedí 2 pasos.
8. Completa, según la siguiente imagen:
a.
La gaviota está a _________
Johann Carl Friedrich
Gauss) (1777–1855),
fue un matemático,
astrónomo y físico
alemán considerado
«el príncipe de las
matemáticas» y «el
matemático
más
grande desde la antigüedad», Gauss fue un
niño prodigio, hizo sus primeros grandes
descubrimientos mientras era apenas un
adolescente y completó su magnum opus,
Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún
años (1798), trabajo fundamental para que
se consolidara la teoría de los números.
Cuentan que en la escuela a la que iba el
niño Gauss había un profesor de
matemáticas muy malo y muy poco dado a
trabajar en el alboroto que se formaba en
su clase, prefería mandarles a los inocentes
niños un problema suficientemente
complicado para que se estuvieran toda la
hora "entretenidos". El profesor planteó el
siguiente problema: «Tenéis que sumar
todos los números naturales del 1 al 100»
Pocos segundos después Gauss, dice: «
5050» ¿Cómo un niño de solo 10 años pudo
resolver esta operación tan rápido?
m del nivel del mar.
nivel del mar.
c. El
pez está nadando a una
distancia de _______ m del pelícano.
d. El cangrejo se encuentra a _________ m de la gaviota
e. El pelícano vuela a _________ m del nivel del mar
El
número
triangular:
Un número
triangular es
aquel
que
puede
recomponerse en la forma de un triángulo
equilátero (por convención, el primer
número triangular es el 1). Los números
triangulares, junto con otros números
figurados, fueron objeto de estudio por
Pitágoras y
los Pitagóricos,
quienes
consideraban sagrado el 10 escrito en forma
triangular, y al que llamaban Tetraktys
9. Completa con números enteros los siguientes cuadrados mágicos
¿Cuál es el próximo número triangular?
¿Y el que ocupa el lugar 100?
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b. El niño está a _________ m del DESAFÍO:
2
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Operaciones con números enteros
¿Cómo multiplico o divido enteros?
Adición y sustracción
10. Suma de dos números enteros del mismo signo:
a) +6+15 =
e) 24+31 =
b) -7-42 =
f) -5-9 =
c) 17+51 =
g) -12-32 =
d) -13-61 =
h) 51+34 =
11. Suma de dos números enteros de distinto signo:
a) -15+32 =
e) -7+14 =
i) 9-21 =
m) 65-83 =
b)
f)
j)
n)
c)
g)
k)
o)
85-24 =
8-42 =
54-87 =
-8+26 =
5-12 =
54-45 =
-2+76 =
-9+3 =
d) 92-123 =
h) -90+35 =
l) 89-67 =
p) 6-7 =
12. Suma de más de dos números enteros:
a) (+50) + (-15) =
b) (+30) + (- 43) =
e) (+15) + (-23) + (-30) + (+26) =
f) (- 4) + (-16) + (+100) + (-49) =
c) (-17) + (+25) =
d) (-14) + (-21) =
g) (-57) + (+81) + (-72) + (+28) =
h) (+12) + (-63) + ( +14) +(-101) =
Regla de los signos:
El producto o cociente de dos
enteros de igual signo es positivo.
El producto o cociente de dos
enteros de distinto signo es
negativo.
Multiplicación y división
a) (+3) ( - 5) =
b) (- 6) (+4) =
c) (- 3) (- 7) =
e) 3. (- 4) =
g) 10.(-1) =
d) (- 5) . 9 =
f) (- 1) (- 8) =
h) (- 5).0 =
Ejemplos:
1) (4)X(2)=8
14. Completa con los paréntesis que sean necesarios para que las siguientes
2) (-4)X(-2)=8
igualdades sean ciertas.
3) (-4)X(2)=-8
a) 1 - 2 - 3 = 3
d) 1 - 2 - 3 = 4
4) (4)X(-2)=-8
5) (4):(2)=8
b) 1 - 2 - 3 = 2
e) 1 - 2 - 3 = 7
6) (-4):(-2)=8
c) 1 - 2 - 3 = 6
f) 1 - 2 - 3 = -5
7) (-4):(2)=-8
8) (4):(-2)=-8
15. Jerarquía de las operaciones:
a) 7.(-8)+69:(-3)+15=
b) 76-[-7+5.(9-14+7)-5]-4.(-3)
c) (-6-43+31).(94-73)-12:(-6)
d) –9-(24+3.(-6)+7)-21
e) 5-(8+7-5).(-9+32-15)+18
f) 43-3.(-8)+4-3.2-6.5
g) 86:2-75:5+90:15+6.(-8)
h) 5.[7-6.(3-42:7+1)-14]+31
i) (-3-8+3.4).(7+31-34+11)-4
j) –9-7-5.(-8)+4-92+72:(-6)
k) (-6).(-4).(-5)+72.7-400
l)-4+9.(-8-5.(-6)-21+35)-211
16. Encuentra el valor que falta en las siguientes operaciones:
a) 3 
b)
1
 12   4
c) 16 
d)
 30
 (3)  17
Calcula:
1) (3)X(-2)=
2) -1+(-3)X(-2)=
3) (-4)X(2)+3X(-5)=
4) (5)X(-1)X(2)=
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13. Producto de dos números enteros:
3
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Valor absoluto
17. Calcula:
c) 1  25   5 5  
a) (2)(1)  3 
b) 3  (3)(5)  15  2 
e)   1  2 
d)  3 1  (2  5)   2 
f)
 1 1  2  1 
18. Determina él o los posibles a en cada caso  a  
a)  a  1
Investiga el llamado triángulo de
SERPINSKY, ¿qué observas? ¿serías capaz
de deducir cuántos triángulos equiláteros
se construirán en la próxima etapa?
Si en el triángulo de Serpinsky el equilátero
original tiene un área de 1 cm2 ¿Qué
puedes afirmar de los restantes?
¿Puedes expresar los resultados anteriores
en forma de potencia?
b) ii. Halla a sabiendo que la distancia de su opuesto a 0 es 2
c) iii. Halla a sabiendo que la suma con tu número de lista es 0
Potencia
19. Calcula:
a.  1 
e.  12 
i.  2  .  2  
b.  1 
f.  13 
j.  2  :  2  
c.  1 
g.  0  
d.  1 
h.  25   25  
2
3
40
42
3
3
25
1
l.
0
n.  5  
2
3
o.  5  5  
2
 2 
2 3
El número estimado de
estrellas en nuestra
galaxia es 1011 y el
número estimado de
galaxias es 1012 ¿Cuál es
el número estimado de
galaxias en el universo?
(expresa en forma de
potencia)
2
p.  5  :  5  

3
m.  25   250  
1
2
q.  1 
0
20. a) Estudia el siguiente triángulo de Pascal y determina su próxima fila
c) Suma los casilleros de cada fila y
anota el resultado a su derecha.
¿Qué relación encuentras? (fig 1)
d) Marca las casillas impares. ¿Qué
relación encuentras? (fig 2)
e) Prueba esto: empieza con un 1
de la izquierda, da un paso arriba
y uno al lado, suma los
cuadrados donde caigas (fig 3). ¿Qué relación encuentras?
21. a) Expresa el resultado como potencia de base 3
i.
92  95 
ii.
273  275 
b) Expresa el resultado como potencia de base 5
i.
253  254 
ii.
1253  252 
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b) Determina alguna relación, para encontrar el próximo número en cada una
de las diagonales sin tener que hallar
toda la fila.
4
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Raíz cuadrada
Se cree que
Hipaso de
2
22. a) El área de un cuadrado es 144cm ¿Cuánto mide su lado?
Metaponto
3
es
quien
b) El volumen de un cubo es 3375cm ¿Cuánto mide su cubo?
probó
la
existencia
23. a) ¿Qué número multiplicado por sí mismo da 9?
de
los
Diremos que la raíz cuadrada de 9 es 3 y anotaremos 9  3
números no
racionales, en un momento en el que
b) ¿Qué número multiplicado por sí mismo da 16?
los pitagóricos pensaban que los
Diremos que la raíz cuadrada de 16 es 4 y anotaremos 16  4
números racionales podían describir
toda
la geometría del mundo. Hipaso
c) Calcula, en los casos posibles: i) 0  ii) 1  iii) 100 
de Metaponto habría roto la regla de
iv) 3 
v) 4  vi) 10 
silencio de los pitagóricos revelando al
mundo la existencia de estos nuevos
números. Eso habría hecho que éstos lo
24. Encuentra el valor que falta en las siguientes operaciones:
2
2
expulsaran de la escuela y erigieran una
a)
c)
 121 

 25  25 
tumba con su nombre, mostrando así
2
2
que para ellos, él estaba muerto.
 81  81 
2 
b)
d)
Los documentos de la época dan
versiones diferentes de su final. Parece
Los números enteros como conjunto numérico
ser que murió en un naufragio en
circunstancias misteriosas; algunos
25. Indica con los símbolos  y  a qué conjuntos pertenece cada uno de dicen que se suicidó como autocastigo,
dejando así libertad a su alma para ir a
los siguientes números.
buscar la purificación en otro cuerpo;


otros afirman
que un grupo
-1012
de pitagóricos lo mataron.
183
26. Corrige las proposiciones incorrectas:
a)

f)

b)

g)

c)






 0
h) a  0 a 
d)
a  a a 
i) a  b  0 a, b 
27. Coloca en el siguiente diagrama los siguientes números.
e)
a  b  0 a, b 
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0
5
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Ficha II – Conjunto de los números Racionales.
Problemas y ejercicios introductorios
1. Indica la fracción (en su forma canónica) que representa la zona coloreada Investiga la siguiente secuencia.
en cada caso.
a.
d.
b.
e.
c.
f.
2. Expresa, en forma canónica, las siguientes fracciones:
8
;
4
4
;
8
26
;
12
81
;
27

256
;
1024

21
;
56

135
;
90
15
;
160
11
;
121
3. Expresa cada uno de los siguientes números de tres formas equivalentes
distintas:
1 3
4
; ; 3; 0; 
2 5
3
4. Tomando el círculo como unidad, Indica la fracción (en su forma canónica)
que representa cada zona.
indicada. ¿Cuál es la unidad de cada caso?
6. Un hombre pinta las dos terceras partes de un muro a un costo de $ 1400.
a. ¿Cuánto será el costo total de pintar todo el muro?
b. Si gastó $ 700 ¿Cuánto pintó?
7. Indica si las siguientes sucesiones de números están dadas en orden
creciente o decreciente, obtén dos términos más de cada sucesión.
a.
1 1 1 1 1
, , , ,
2 3 4 5 6
b.
1 1 1 1 1
, , , ,
2 4 8 16 32
c.
3 6 9 12 15
, , , ,
2 2 2 2 2
¿Qué observas?
Si el área del cuadrado original es
de 1 cm2 ¿Qué puedes afirmar de
las restantes?
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5. En la siguiente imagen se ha pintado, en cada caso, de color gris la fracción
6
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8. En un juego de bingo han salido los números:
Escribe en forma simbólica
7 1 3 5 1 3
; ; ; ; ; ¿Cuántos aciertos tienes?
8 2 4 6 2 7
a) El cuadrado de un tercio
b) El cubo de un tercio.
c) El doble del cuadrado de un
tercio
d) El cuadrado del doble de un
tercio
e) El cuadrado del cubo de un
tercio
f) El cubo del cuadrado de un
tercio
Operaciones con fracciones
g) El opuesto del cuadrado de un
tercio
h. El cuadrado del
opuesto de un tercio
Adición y sustracción
9. Calcula, reduciendo en los casos en que sea necesario:
1 1
 
2 4
1
e) 3  
4
3 1
h)  
5 5
5 2
k) 

7 49
b)
1 1
 
4 2
3 3
f)
 
2 4
2
i) 5  
5
1
3
l)


10 100
c)
Multiplicación y división
10. Calcula, reduciendo en los casos en que sea necesario:
a)
d)
1 1
. 
3 6
1
3 
1
6
1 1
: 
3 6
 5  3 
e)    
 3  5 
c)
7 7
 2: 2  5
h) 
 .  
 5  3
 3 
  5  1  
i)  2     
  2  5  
b)
2
  5  2  
  2  5  
g)      
3




2


1 1
. 
3 3
2
2
f)   
3
2
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1 1
 
3 6
1 1
d)
 
2 5
5 2
g)
 
2 5
13
j) 3  
10
a)
7
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Potencia
Desafío
11. Calcula, reduciendo en los casos en que sea necesario:
0
0
2
  
a)  3 
1
2

3
d)
3
g)
j)
m)
b)
 2
2
1
c)
2
  
3
f)
2

3
i)
  2 2 
    
 3  
l)
3
  
2
2
2
2
  
e)  3 
3
2
2 2
:
    
h)  3   3 
2
2 2
    
3 3
2
 
3
1
2

3
3
1
3
 2
:  
 3
2
  
k)  3 
1
n) (2) 

o)
1
1
1

Investiga la validez del siguiente
razonamiento.
1
 0,3
3
entonces es lo mismo
plantear:
1 1 1
  que plantear 0,3  0,3  0,3
3 3 3
Ahora podrás observar que:
Expresión decimal
1 1 1
  = 0,3  0,3  0,3  1  0,9
3 3 3
a)
1
1
2
3
581
b)
c)
d)
e)
3
300
2
3
3
13. Expresa en forma de fracción las siguientes expresiones decimales:
a) 0,1 =
b) 0,01 =
g) 4,3 =
h) 4,38 =
m) 1,33 =
c)
i) 10,5 =
o) 1,13 
0,2 =
d) 0,02 =
j) 11,2 =
e)
1,2 =
k) 135,7 =
f)
0,12 =
l) 201,53 =
n) 1,3 
p) 2, 6 
q) 2,16 
r) 1,33 =
14. Calcula, expresando en forma de fracción los resultados obtenidos:
23,5  2   0,5  1  i)  0,52 
a) 0,12  0, 25  0,01  e)
1 
 1 
2 
b) 2, 234  0,013 
f) 23,5  2  
c) 23,5   0,5  1 
g) 1    0,3 
d) 23,5   0,5  1  2 


2
3
0
1 
h)   1  1 
3 
1

4
1 1
k)  0,5   
4
j)
 0,52 


2
3
l) 1    0,3 
15. Estudia la validez de las siguientes proposiciones.
a) Un número menor que 0,5 puede ser
b) Un número mayor que 0,1
menor que 0,4
puede ser menor que 0,01
c) Un número menor que –4 puede ser d) Un número mayor que –1
mayor que –2
puede ser mayor que –0,4
En la teoría de fractales el copo de nieve
de Koch es quizás el más famoso, su
construcción se hace en etapas; se
comienza con un inocente triángulo
equilátero. A continuación, se divide a
cada uno de los lados en tres partes
iguales, y se construye sobre la parte
central de cada uno de ellos un nuevo
equilátero. En forma sucesiva al cabo de
cada etapa se obtiene un polígono cuyo
perímetro es 4/3 veces el perímetro del
polígono obtenido en la etapa anterior.
Construye tres etapas de este fractal
comenzando con un equilátero de lado
diez. ¿Cuál es el perímetro del copo en
su tercera etapa?
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12. Expresa en forma de decimal, las siguientes fracciones:
8
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16. Realiza el siguiente crucigrama numérico
Fracciones egipcias:
Los antiguos egipcios solo conocían
las fracciones con numerador 1 y el
2/3.
1.
2.
3.
5.
1 1
a) 4     2 
2 4
2
1 1
d)
  
36  6 
3
2 2
c)      
3 3
 3  3 
b) 1  1   
 5  2 
1
0
1
2
1 1 1 1
e)         
 3  3  3  3
f)
1
10


9
9
Problemas
18. Héctor, el caracol elástico, cae sin velocidad inicial desde el muro de 10
metros que escaló con tanta dificultad en el ejercicio de la ficha 1 y rebota
en el suelo hasta alcanzar los 3/8 de la altura inicial.
a) ¿Cuál es la altura alcanzada por Héctor luego del segundo rebote?
b) Si otra pelota igual, luego de un segundo rebote alcanza una altura de 4
metros ¿desde qué altura fue lanzada?
19. Tienes que trabajar durante un mes y te han ofrecido propuesta en cuatro
lugares distintos. En el primero te ofrecen 1 peso el primer día, dos pesos el
segundo, cuatro pesos el tercero y así cada día el doble de lo que te
pagaron el anterior. En el segundo te ofrecen 1 peso el primer día también,
pero cada día te darán lo que ganaste el día anterior al cuadrado. En el
tercero te ofrecen 0,5 pesos pero te darán el cubo de lo que ganaste el día
anterior. En el cuarto te ofrecen 10 000 pesos al terminar el mes. ¿Qué
trabajo elegirás?
20. Se sabe que cada especie del reino animal duerme diferente cantidad de
horas por día. Por ejemplo la jirafa duerme la 1/6 del día, el murciélago 5/6
del día, el león 2/3 del día, la ardilla 7/12, el ratón 1/2 y el ser humano 1/3.
Suponiendo que se ha seleccionado un miembro de cada especie, que ellos
se han dormido al mismo tiempo, y que las horas de sueño son continuas.
¿en qué orden irán despertando?
A pesar de ello, eran capaces de
escribir cualquier fracción a través
de suma de fracciones unitarias.
Una fracción egipcia es la suma
de fracciones unitarias distintas, es
decir, de fracciones de numerador 1
y cuyos denominadores sean
enteros positivos distintos. Se puede
demostrar que cualquier número
racional positivo se puede escribir
como fracción egipcia.
Supongamos que un egipcio, de
aquella época hubiese tenido que
repartir 4 panes entre 5 personas.
Probablemente, hubiese separados
los panes en mitades:
Luego a los medios panes sobrantes,
los hubiese separado a la mitad y la
restante fracción hubiese sido
dividida nuevamente:
1 1 1 4
 

2 4 20 5
Escribe como fracción egipcia los
números:
3 4 13
,
y
4 3 12
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17. Calcula:
9
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21. Ana está ahorrando para comprarse una bicicleta de montaña que cuesta Las fracciones en la música
2700 pesos. Ya ha ahorrado 5/8 de su precio. ¿Cuánto le falta todavía?
El Valor Absoluto en la música, es
en donde la redonda
representa el valor más largo, por lo
tanto se denomina como “La
unidad”
y
si
observamos
detenidamente
de
ésta
se
desprenden las demás figuras; en
consecuencia éstas serán fracciones
de la redonda.
22. Hemos comprado: 1/2 kg. de carne, 3/4 kg. de jamón, 3/4 kg. de sal, 2 kg. aquel
de manzanas. La cesta de la compra vacía pesa 500 g. ¿Cuántos kg. pesa la
cesta llena?
23. Una clase dura 40 min. y ya han pasado 7/10 de ella. ¿Será posible realizar
un trabajo en equipo que dura 15 min.?
24. Un rectángulo mide 3/5 de metro de base y 1/4 de metro de altura. Halla su
perímetro y su área.
25. El lado de un cuadrado mide 7/8 m. Halla su perímetro y su área.
26. Juan tarda 32 min. 30 s. en hacer 14 km. en bicicleta. Pablo tarda 3/5 de
hora. ¿Cuál es más rápido?
27. La velocidad del sonido en el aire es, aproximadamente, 1/3 de km. por
segundo. Durante una tormenta se oye el trueno después de 16 segundos
de haber visto el relámpago. ¿A qué distancia está la tormenta? (Aproxima
el resultado hasta las milésimas)
28. Corrige las proposiciones incorrectas:








q  0 q 
q  q q 
q  p  0 q, p 
29. Coloca en el siguiente diagrama los siguientes números.
Completa:
Una redonda vale……… blancas
Una redonda vale……… negras
Una redonda vale……… corcheas
Una negra vale……… fusas
Una negra vale…….. Semifusas
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
10
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Ficha III – Conjunto de los números Reales.
Número
perfecto:
Cuando es igual a la suma de sus divisores
Número
abundante:
Si él número es mayor que la suma de sus
divisores excepto el propio número
Número
defectuoso:
Si es menos que la suma de sus divisores
Leonardo de Pisa, (c. 1170 - 1250),
también llamado
Fibonacci, fue un
matemático
italiano, famoso
por
haber
difundido
en
Europa el sistema
de numeración
indo-arábigo
actualmente
utilizado, el que
emplea notación posicional (de base 10,
o decimal) y un dígito de valor nulo: el
cero; y por idear la sucesión de
Fibonacci.
Números
amigos:
Cuando la suma de los divisores de uno es
igual a la suma de los divisores del otro.
En el libro de “Liber Abaci” que apareció
en 1202, el matemático italiano
Fibonacci, entre varios otros problemas,
propuso el siguiente:
Número
triangular:
Aquel que está formado por la suma de
todos los enteros consecutivos desde la
unidad hasta uno dado.
establecieron la máxima: las cosas son números, por esto pensaban que los
números enteros tenían un poder incomparable, por lo que llegaron a
clasificarlos en categorías:
Número
Definición
Ejemplos
2. Uno de los números irracionales más conocidos es el número  , el cual se obtiene
dividiendo la longitud del perímetro de una circunferencia entre la longitud de su
diámetro. La dificultad de este procedimiento está en conseguir la medida exacta
del perímetro de una circunferencia, esta puede conseguirse en forma aproximada,
inscribiendo en la circunferencia polígonos regulares con la mayor cantidad de
lados posibles. En la siguiente figura se ve una aproximación de circunferencia de
radio r = 2,06 por polígonos regulares, en cada caso se ve la medida de los lados del
polígono, podrías con esos datos dar una aproximación del número 
Un par de conejos da una vez por mes
una cría de dos conejillos (un macho y
una hembra); al cabo de dos meses del
nacimiento los conejos recién nacidos ya
dan cría ¿cuántos conejos habrá al cabo
de un año, si al comienzo de este había
un par de conejos?
Ayuda: Si buscas un diagrama que te
ayude a visualizar la situación veras que
el primer mes hay una pareja, al igual
que el segundo mes, el tercer mes ya
tendremos 2 parejas, al siguiente 3,
luego 5, 8 etc. Esta sucesión es conocida
con el nombre de sucesión de Fibonacci y
sus
primeros
términos
son:
1,1,2,3,5,8,13,21,.......
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1. Era tan grande la obsesión de la secta Pitagórica por los números que
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siguientes números.
I
0
e
2


4. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifica tu
respuesta.
a.
 2       1
b.
4  2
c. 0 
 0I
d. 0 
 0I
5. a) Observa la sucesión de Fibonacci y la sucesión dada a continuación,
¿puedes dar los 5 próximos términos?
1 2 3 5 8 13 21
, , , , , , ,
1 1 2 3 5 8 13
¿A qué
número te aproximas?
b) Observa las siguientes sumas, ¿puedes dar los próximos 5 términos? ¿A
qué número se aproxima cada una de ellas?
1 1 1 1 1 1 1 1 1
        
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1
   
2 4 8 16
1
6. La siguiente sucesión de números se aproxima cada vez más a un número
irracional conocido como número de Euler  e  2,7182
 , puedes
conseguir una mejor aproximación de este número sustituyendo n en la


siguiente expresión:  1 
1 n
 . Obtén entonces una aproximación a este
n
número mejor a la que ya conoces.
7. Ordena de mayor a menor los siguientes números: 2,  ,  , e, 1 y 0
b.
2
3 1
1
2 1
1  3
d.  0 
1  2
e.
 2
2
1
2
2
2
f.
 3  3 g.
2 22
2  5  1
h.
Pitágoras
de
Samos
(ca.
580 a. C. – ca.
495 a. C.) fue
un filósofo y
matemático
griego. Se le
considera como
el padre de las
matemáticas ya
que fue el primer pensador que las situó
como
ciencia
del
razonamiento.
Contribuyó de manera significativa en el
avance de la aritmética, derivada
particularmente de las relaciones
numéricas aplicadas a la teoría de la
música, la astronomía y la teoría de
pesos y medidas. Se interesó también en
medicina, filosofía, ética, entre otras
disciplinas. Es el fundador de la
hermandad pitagórica, una sociedad
que, si bien era de naturaleza
predominantemente
religiosa,
formularon principios que influenciaron
tanto a Platón como a Aristóteles, y de
manera más general, al desarrollo de las
matemáticas y la filosofía racional en
Occidente.
Los pitagóricos,
mantenían que
todas las cosas
que podían ser
conocidas tenían
números.
El símbolo distintivo entre los pitagóricos
fue una estrella regular de cinco puntas.
En ésta aparece la llamada proporción
áurea o proporción divina, que es la
razón entre la diagonal y el lado del
pentágono.
Este número irracional  
8. Desafío: Investiga, la validez de las siguientes proposiciones.
a.
4.
1 5
es
2
6 2 
   2
 5 10 
conocido como número de oro o
sección áurea.
a. Mide e indica si es verdadera la
conclusión obtenida por los
pitagóricos.
b. Busca con la calculadora un
número
decimal
lo
más
aproximado que te sea posible
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3. Indica con los símbolos  y  a que conjuntos pertenece cada uno de los
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1. El sistema solar está formado por una enorme estrella el Sol, y por un
conjunto de astros, planetas sobre todo, que gravitan a su alrededor. Los
planetas se concentran entorno al Sol en un disco cuyo radio mide unos
6000 millones de kilómetros, distancia que la luz recorre en menos de 6
horas. No obstante, el sistema solar no termina ahí. Es muy probable que
exista una vasta concentración de cometas a distancias del orden de 1 a 1,5
años luz.
a. Expresa en potencia de diez el radio del disco en que se concentran los
planetas entorno al Sol.
b. Si sabemos que un año luz es 9, 46 1012 km cuantos kilómetros son 10
años luz.
2. El Sol es una de las 100 000 millones de estrellas que constituyen la
Galaxia, su masa es de aproximadamente 2,10 1030 kg con un diámetro
de 1 392 000 kilómetros y una temperatura de 20 millones de grados Kelvin
en su interior.
a. Expresar en potencia de diez la cantidad de estrellas que constituyen la
Galaxia
b. Expresar en potencia de diez el diámetro del Sol.
c. Expresar en potencia de diez la temperatura en el interior del Sol.
3. Teniendo en cuenta el siguiente cuadro ordena los planetas según su
distancia al Sol.
Planeta
Júpiter
Marte
Mercurio
Neptuno
Distancia al sol en
kilómetros
778 400 000
Planeta
Distancia al sol en kilómetros
Plutón
Cinco mil novecientos millones
228 106
Cincuentisiete millones
novecientos mil
Saturno
1 427 000 000
Tierra
149, 6 106
4, 497 109
Urano
2 869 500 000
Venus
Ciento ocho millones
4. Complete la tabla de unidades de medida escribiendo los resultados que
faltan en potencia de diez.
Unidad de medida
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
En forma decimal
0,1 unidades
0,01 unidades
0,001 unidades
0,000 001 unidades
0,000 000 001 unidades
0,000 000 000 001 unidades
En forma de potencia de diez
Arquímedes de Siracusa (287 a. C. –
212 a. C.) fue un
matemático
griego,
físico,
ingeniero,
inventor
y
astrónomo.
Aunque
se
conocen
pocos
detalles de su
vida,
es
considerado uno de los científicos más
importantes de la antigüedad clásica.
Entre sus avances en física se
encuentran sus fundamentos en
hidrostática, estática y la explicación del
principio de la palanca. Es reconocido
por haber diseñado innovadoras
máquinas, incluyendo armas de asedio y
el tornillo de Arquímedes, que lleva su
nombre. Experimentos modernos han
probado las afirmaciones de que
Arquímedes llegó a diseñar máquinas
capaces de sacar barcos enemigos del
agua o prenderles fuego utilizando una
serie de espejos.
El primer intento de representar
números demasiados grandes fue
emprendido por el matemático y filósofo
griego Arquímedes, descrito en su obra
El contador de Arena en el siglo III a. C.
Ideó un sistema de representación
numérica para estimar cuántos granos
de arena existían en el universo. El
63
número estimado por él era de 10
granos. Nótese la coincidencia del
exponente con el número de casilleros
del ajedrez sabiendo que para valores
positivos, el exponente es n-1 donde n
es el número de dígitos, siendo la última
casilla la Nº 64 el exponente sería 63
(hay un antiguo cuento del tablero de
ajedrez en que al último casillero le
corresponde -2 elevado a la 63- granos).
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Ficha IV – Notación Científica.
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Ficha V – Espacio.
1. Determina en el siguiente cubo:
a. Tres rectas paralelas a BH
b. Ídem con BG
c. Tres rectas perpendiculares a BH
d. Ídem con BG
e. La paralela a AE por D
f.
La perpendicular a AE por D
g. Dos rectas paralelas a AD y
perpendiculares a EH
h. Una perpendicular a EC por B
2. Tomando de referencia el cubo anterior completa la siguiente tabla,
indicando la posición relativa correspondiente en cada caso:
( B, C, G)
( D, C, G)
( B, D, F )
3. Ídem al ejercicio anterior con
( B, C, G)
( D, C, G)
( B, D, F )
BH
BF
BC
4. Traducir al lenguaje coloquial las siguientes definiciones:
  ; r    s    r  s  

r s  
r  s

r    

r   
r  

    

   
  

Teniendo en cuenta los resúmenes
anteriores, ¿Cuáles de las siguientes
opciones corresponderían a planos
secantes y cuáles a planos paralelos?
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 A, D, F 
 A, B, H 
 C, A, E 
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5. Indica la opción correcta. (sugerencia: haga una interpretación geométrica
para cada caso)
Dados dos puntos, A y B, Opción 1
en un plano
Opción 2
Opción 3
Existe y es única la recta a la cual pertenecen.
Existen infinitas rectas a las cuales pertenecen.
No existe ninguna recta a la que pertenecen.
Dados tres puntos no
Opción 1
alineados, A, B, y C, en el
espacio.
Opción 2
Opción 3
No existe ningún plano que los contenga a la
vez.
Existe y es único el plano que los contiene.
Existen infinitos planos que los contienen.
Si dos puntos, A y B, de
una recta pertenecen a
un plano.
Opción 1
Opción 2
Opción 3
La recta está contenida en el plano
La recta no está contenida en el plano
El plano está contenido en la recta.
Axioma de Euclides:
Dada una recta r, y un
punto P, exterior a ella.
Opción 1
Opción 2
Opción 3
Existe y es única la recta paralela a r por P
Existen infinitas rectas paralelas a r por P
No existe recta paralela a r por P
Dada una recta r, y un
punto P, exterior a ella.
Opción 1
Opción 2
Opción 3
No existe recta perpendicular a r por P
Existen infinitas rectas perpendiculares a r por P
Existe y es única la recta perpendicular a r por P
Dada una recta r
secante a un plano 
Opción 1
r es paralela a todo plano paralelo a 
Opción 2
Opción 3
Desafío: En un cubo de lado uno,
determina la medida de los ángulos
interiores y de los lados de los polígonos
inscriptos. Sugerencia: Ver ejercicio 7 de
la ficha 3.
Las siguientes figuras planas giran sobre
un eje e, describiendo un cuerpo. Indica
qué cuerpo es generado por cada figura
plana
r es secante a todo plano paralelo a 
r está incluida en todo plano paralelo a 
6. Elige un punto en la habitación donde te encuentres ¿Cuál es el conjunto de
puntos que se encuentran a 10 cm de él?
7. Indica justificando en cada caso si son verdaderas o falsas las siguientes
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Si una recta es perpendicular a un plano entonces es secante a él.
Si un plano es perpendicular a otro plano entonces es secante a él.
Si dos rectas se cruzan entonces son paralelas.
Si dos rectas se cruzan entonces son paralelas.
Si dos rectas son coincidentes entonces son paralelas
Si dos planos son paralelos entonces son coincidentes.
Si dos rectas son perpendiculares entonces son secantes.
Si dos planos son secantes entonces son perpendiculares
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proposiciones:
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Ficha VI – Construcciones.
1. Considere un punto O en el plano.
a. Determina todos los puntos del plano que distan de O 4 cm.
Nombra ese conjunto de puntos como Co,4
b. Determina todos los puntos del plano que distan de O 5 cm.
Nombra este nuevo conjunto de puntos.
c. Determina todos los puntos del plano que distan de O 6 cm.
Nombra este conjunto de puntos.
2. Considera dos puntos en plano A y B
a. Determina todos los puntos del plano que equidistan de A y B.
Nombra este conjunto medAB
Recordemos:
Mediatriz de un segmento AB
a. Construya el segmento AB
b. Construya las circunferencias
tal que el radio
C
y C'
A,r
B,r
r=d(A, B)
c.
C
 C'
 M,N
A,r
B,r
La recta MN  medAB
b. Ubica otro punto C en el plano tal que C  AB . Determina todos los
3. Considera un punto P en el plano.
a. Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 5cm de P
b. Sea Q un punto del plano que se encuentra a 6 cm de P. Determina
todos los posibles Q del plano
c. Elige uno (y solo uno) de los posibles puntos Q. Determina el conjunto
de puntos del plano que equidista de P y Q. Nombra ese conjunto.
d. Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 5 cm de
P y a 5 cm de Q.
e. Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 6 cm de
P y a 6 cm de Q.
4. Sea r una recta.
a. Determina todos los puntos del plano que distan de r 7 cm.
Nombra a los conjuntos m y n
b. Sea P y Q dos puntos de m. Determina el conjunto de puntos del plano
que equidistan de P y Q
c. Traza las rectas perpendiculares a n por P y por Q.
Nómbralas p y q respectivamente
d. p  r  P' , p  n  P'' , q  r  Q' , q  n  Q'' Determina el conjunto
de puntos del plano que equidista de P’ y Q’. Nómbralo
e. Determina el conjunto de puntos del plano que equidista de P’’ y Q’’.
5. Se consideran las dos rectas a y b secantes en H
a. Sea A  a y B  b Determina el conjunto de puntos del plano que
equidista de las semirrectas HA y HB . Nombra el conjunto bisAHB
b. Determina todos los puntos del plano que se encuentran a 3 cm de a.
Nombra el conjunto
c. Determina todos los puntos del plano que equidistan de las semirrectas
HA y HB 3 cm. Nombra ese conjunto
d. Determina todos los puntos del plano que equidistan de las semirrectas
HA y HB 5 cm. Nombra ese conjunto
Bisectriz de un ángulo AOB
a. Sean r y s rectas secantes en O
b. Tome un punto R en r y otro S en
s tales que d(R, O)=d(S, O)
c. Construya las circunferencias
C
y C'
tal que el radio
R,r
S,r
r=d(S, O)
 C '  O,P
d. C
R,r
S,r
e.
La semirrecta OS  bisROS
Perpendicular a una recta por un
punto exterior a ella.
a.
Sea m una recta y P un punto
exterior
b. Construya una C
tal que
P,r
c.
C  m  H,K
P,r
Construya la medHK
Perpendicular a una recta por un
punto de ella.
a. Sea m una recta y P un de ella
b. Construya una C
tal que
P,r
c.
C  m  H,K
P,r
Construya la medHK
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puntos del plano que se encuentran a igual distancia de A y C.
Nombra ese conjunto.
c. Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a igual
distancia de los tres puntos. Nómbralo {P}
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Ficha VII – Triángulos.
1. Sean t y u dos rectas perpendiculares en A
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Clasificación de Triángulos.
Construye a partir de ellas un ángulo de 45°
Vuelve a considerar dos perpendiculares y construye un ángulo de 135°
Construye un ángulo de 180°
Construye un ángulo de 225°
Construye un ángulo de 270°
Construye un ángulo de 315°
2. Sean A y B dos puntos del plano tal que la distancia de A a B es 3 cm
Determina el conjunto de puntos del plano que dista de A 4 cm.
Nombra el conjunto
Determina el conjunto de puntos del plano que dista de B 6 cm.
Nombra el conjunto
d. Determina todos los puntos del plano que distan 4 cm de A y 6cm de B.
Nombra el conjunto
a.
b.
c.
3. Sea r una recta y P un punto exterior donde la distancia de P a r es 4cm.
Determina todos los puntos del plano que se encuentran a 2 cm de r y a
3 cm de P. Nombra el conjunto.
b. ¿Qué hubiese sucedido si la distancia de Pa r hubiera sido 5 cm? ¿Y qué
si hubiese sido 6 cm?
a.
4. Construye con regla y compás un triángulo igual al de la figura. Indica los
pasos utilizados para su construcción.
b.
5. Construye con regla y compás ABC sabiendo:
a. BAC  90 AB = 3 y AC = 4
b. BAC  45 AB = 5 y ACB  45
c. AB = 5 AC = 4 y BC = 6
6. Considera un triángulo isósceles ABC con AB=AC. La mediatriz del lado AB
corta a la recta BC en D. traza la circunferencia de centro B y radio BD, que
corta a la recta AD en los puntos D y E. Demuestra que los triángulos ABD y
BDE son isósceles.
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a.
17
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7. Investiga las siguientes situaciones

a. Calcula los ángulos interiores del triángulo ABC
Criterios de congruencia de
triángulos:
b. ¿Puedes construir un triángulo en estas condiciones?
c. Considerando el siguiente triángulo, calcula
̂ . ¿Puedes
dar una regla general?
d. De la siguiente figura se conoce que el ángulo en E es de
30 y que el triángulo de vértices A, B y C es equilátero.
Clasifica el triángulo de vértices A, D y E
Las imágenes aquí presentadas
corresponden a tres criterios de
congruencia de triángulos. Trata de
definirlos.
8. Se llama paralelogramo a todo cuadrilátero de lados opuestos paralelos.
Construye un paralelogramo ABCD de lado AB = 6 y AD = 4 sabiendo:
DAB  60
La distancia de D a AB es 3
a)
¿Son los triángulos figuras
convexas?
b) Dibuja tres figuras convexas
9. Sea ABCD el paralelogramo del anterior. Probar que ADC c ABC
a. Demuestra que AD c BC y AB c DC
b. Podrías generalizar estas proposiciones para todo paralelogramo.
10.
Se dice que una figura plana
cerrada es convexa, cuando el
segmento que determinan dos
puntos cualesquiera de la misma
está contenido completamente
en dicha figura.
ABCDE es un pentágono regular. AG es la
ˆ (AGDC)
bisectriz del EAB
a. Prueba que los EFD = BCF
c
b. Investiga otras congruencias
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Figuras convexas
18
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_______________________________________________________________________________________________
11.
Construye los posibles ABC que cumplan:
a. h  5 , AB = 5 y BAC  45
c.
Desafío
b. BAC =ABC, AB= 5 y h = 6
c
AB  5, h = 2 y m = 7
c
B
c
12.
Calcula todos los ángulos del 1 al 6 en la figura, sabiendo que b es la
bisectriz de BAC , m es la mediatriz de AC. Y que A  40º
6
1
5
2
bz A
4
3
¿Puedes
establecer
cuánto mide
la suma de los
ángulos
interiores de
un triángulo, justificando tu
respuesta?
¿Y de los ángulos exteriores?
mz AC
13.
Calcula los ángulos del 1 al 5 en cada una de las figuras. Clasifica los
triángulos AED y BCD
Observa la figura e indica si AD es bisectriz del triángulo ABC. Justifica.
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14.
19
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Puntos y rectas notables del triángulo
15.
Construye con regla y compás un triángulo igual a los de las figuras a., b.,
y c., determina su circuncentro y la circunferencia circunscripta.
b.
c.
a. Repite el procedimiento pero ahora determinando el incentro y la
circunferencia inscripta
b. Ídem con el ortocentro.
c. Ídem con el baricentro.
16.
Construye un triángulo ABC equilátero de lado 6.
a. Sabiendo que los tres ángulos de un equilátero son congruentes,
demuestra que cada uno mide 60°
b. Construye sus alturas, medianas, bisectrices y mediatrices.
c. ¿Qué puedes decir del circuncentro, del incentro, del ortocentro y del
baricentro de un equilátero?
17.
La recta de Euler: Observa la siguiente figura. ¿Cómo definirías la recta
de Euler?
18.
19.
Investiga para que triángulos funciona tu definición de la recta de Euler.
El triángulo interior es conocido como triángulo órtico y queda definido
una vez realizado el trazado de las mediatrices de los lados de un triángulo.
Observa la figura e intenta extraer conclusiones sobre este triángulo.
Leonhard Paul Euler (1707 - 1783),
conocido como
Leonhard Euler,
fue
un
matemático y
físico suizo. Se
trata
del
principal
matemático del
siglo XVIII y uno
de los más
grandes y prolíficos de todos los
tiempos. se calcula que sus obras
completas reunidas podrían ocupar
entre 60 y 80 volúmenes. Una
afirmación atribuida a Pierre Simon
Laplace expresa la influencia de
Euler
en
los
matemáticos
posteriores: «Lean a Euler, lean a
Euler, él es el maestro de todos
nosotros.»
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a.
El Círculo de los nueve puntos o
círculo de Euler: En un triángulo
cualquiera, los puntos medios de los
tres lados, los pies de las tres alturas
y los puntos medios de los tres
segmentos que unen el ortocentro a
los tres vértices pertenecen a una
circunferencia
Construye dicha circunferencia.
20
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_______________________________________________________________________________________________
Ficha VIII – Ecuaciones.
Ejercicios
1. Resuelve y verifica:
1) x  1  0
11) 3 x  1  2
22) x  1  2 x  3  5 x  1
2) x  1  0
1
3) x   0
2
1
4) x   0
2
1
5) x  1 
2
1
6) x  1 
2
7) 2 x  3
8)  2 x  3
1
9) 3 x 
5
1
10)  3 x 
5
12) 3 x  1  2
13)  3 x  1  2
23)
1
1
x  x  1
2
2
1
2
1 2
24) x  x  
5
5
5 5

1
25) 3 x  2 x  3  x
14)  3 x  1  2
1
3
2
2
16) 3 x  51 
5
17) 1  2 x
15) 2 x 
26)  1 
3
2
x  x 1
2
3
36) 23 x  1  2
1
37) 23 x  1 
2
2
x

3
38) 
x2
32 x
27)
 5 x  153
2
28) x 2  1
x2  x  x
29)

2
2
2
30) 2( x  1)  02
18) 1  21  5 x
19) 20  2 x  3 x
20) 51  x  2 x  1
2
3
21)  x    x
5
5
31) x( x  1)( x  2)  0
32) x   x
x
x3
33)  1 
3
3
x
x3
34)  1 
3
2
3
x

1
35) 2
1
1)
2)
3)
4)
 3x  2   1
  3 x  2   2
5  3x  2   3
 5  3x  2   7
7)
 3x  2  4 x   12 x 2
13)
 3x  2  3x  2   9 x 2  3
8)
 4 x  5  3x  2   12 x 2
14)
 3x  2  3x  2   9 x 2  5 x
9)   4 x  5  3 x  2   12 x 2
15)
 2  3x  2  3x   1  9 x 2
5) 4 x  3 x  2   12 x 2  1
10)
 4 x  5 3x  2   12 x 2
16)   3 x  2 2  9 x 2
6)  4 x  3 x  2   12 x 2
11)
 3 x  2 2  9 x 2
17)   3 x  2  3 x  2   9 x 2
12)
 3x  2  3x  2   9 x 2
18)
 4 x  5  3x  2 2  36 x3  3x 2
3. Resuelve y verifica:
1)
 x  3 x  3   x  32

 

2)  2 x  1 2 x  1  x 2  x  2 1  x 2   x  12
3) 3 1  x  
2
 3x  1
2
4)
5)
4
3
6)
4. Sean a, b 
a)   a  b  
 x  4 2
3
4 
1 2
x
3
 x  4 2   x  2  x  2 
5
 x  1 x  1
3

4
1
1
 2 x  1 
3
3
determina una fórmula para cada una de las siguientes expresiones:
b)   a  b  
c)
 a  b  a  b  
d)
 a  b 2 
2 2
x
5
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2. Elimina los paréntesis en cada una de las siguientes expresiones y resuelve
21
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5. Calcula x en cada uno de los triángulos.
a.
b.
6. ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo e isósceles? Plantea
la situación de forma gráfica y con una ecuación, como en el ejercicio
anterior.
7.
Sea ABCD un cuadrado de lado a+b
como muestra la figura.
Determina su área en función de a y de b.
8. Determine el conjunto solución de:
a)
x  4 b)
x  16 c)
x2  256
Al-Juarismi, fue
un matemático,
astrónomo
y
geógrafo persa
musulmán chií,
que
vivió
aproximadame
nte entre 780 y
850. Poco se
conoce de su
biografía, a tal punto que existen
discusiones no saldadas sobre su lugar
de nacimiento. Algunos sostienen que
nació en Bagdad otros sostienen que
nació en la ciudad corasmia de Jiva, en
el actual Uzbekistán.
Debemos a su nombre y al de su obra
principal, nuestras palabras álgebra,
guarismo y algoritmo. De hecho, es
considerado como el padre del
álgebra y como el introductor de
nuestro sistema de numeración
Problemas
9. Un vendedor del estadio vendió en un partido 4 cafés grandes y 10 cafés
chicos. Con los cafés chicos obtuvo 120 pesos
Al final del partido ganó 180 pesos.
a. Da una ecuación que represente la situación dada.
b. ¿Cuánto cuesta cada café chico?
c. ¿Cuánto cuesta cada café grande?
Desafío:
10.
3
x
x
 2  x y 3 3  x
2
3
b.
¿Qué ecuación corresponde al técnico de Nacional y qué ecuación
corresponde al técnico de Peñarol?
¿Qué representa el término x en cada ecuación?
c.
¿Qué representa el término
a.
d.
e.
x
x
en la primera ecuación y
en la
2
3
segunda?
¿Cuántos jugadores tiene cada equipo al momento de realizar las
ecuaciones?
Si se sabe que Nacional convirtió 3 goles y que cada mediocampista de
Peñarol convirtió un (y solo un) gol ¿Cómo fue el resultado final del
encuentro?
En un corral hay conejos y palomas, que
hacen un total de 61 cabezas y 196
patas. Halla el número de conejos y de
palomas.
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En el clásico del fútbol Uruguayo después de las expulsiones, Nacional
decide jugar con la mitad de sus jugadores en el medio de la cancha, tres en
la defensa y dos delanteros. Mientras que Peñarol decide jugar con un
tercio de su plantel en el medio de la cancha, tres defensas y tres
delanteros. Para representar la situación los técnicos plantean las siguientes
ecuaciones:
22
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_______________________________________________________________________________________________
El dueño de un tablado revisa los resultados obtenidos en el mes de
febrero y descubre que vendió 8000 entradas más que el año pasado. Del
total una tercera parte fue gracias a las comparsas invitadas, gracias a los
parodistas se vendieron 12 000 entradas. Sabiendo que las murgas
llevaron 24 000 personas menos que el total de las personas que asistieron
al tablado el año pasado:
a. ¿Cuántas entradas se vendieron el año pasado en ese tablado?
b. ¿Cuántas entradas se vendieron este año en ese tablado?
c. ¿Quién llevo más gente al tablado el rubro murgas o parodistas?
12.
Un haragán suspiró: Todo el mundo dice: “No necesitamos haraganes.
Siempre estás en el camino. ¡Vete al diablo!” Pero ¿acaso el diablo me
dirá cómo hacerme rico?
No había terminado la frase, cuando ya el diablo se encontraba frente a
él.
Bueno – dijo el diablo – , el trabajo que te tengo reservado es liviano, pero
te volverá rico. ¿Ves ese puente? Crúzalo, y te doblaré el dinero que
tienes en los bolsillos. De hecho, cada vez que lo cruces te volverá a
doblar el dinero.
¡Vaya!
Pero hay una pequeña condición. Ya que soy tan generoso, tú deberás
darme 24 rublos después de cada cruce.
El haragán asintió. Cruzó el puente, se detuvo a contar su dinero, y..., ¡un
milagro! Se había duplicado
Dio 24 rublos al diablo y cruzó nuevamente. Volvió a duplicarse el capital,
pagó con otros 24 rublos, y volvió a cruzar por tercera vez. Nuevamente ,
su dinero se duplicó, pero ahora sólo tenía 24 rublos. No tuvo más
remedio que dárselos al diablo, quien los aceptó con una sonora
carcajada y desapareció.
¿Con cuántos rublos comenzó el haragán?
13. El doble de la edad de Martín es 5 años más que la tercera parte de su
edad.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la situación dada?
(justifique)
a.
x
3
x
d ) 2x  5 
3
a) 2 x  5 
b.
b) x  2  5 
e) 13x 2  14
¿Qué edad tiene Martín?
x
3
c)
x
 5  3x
2
Dos Clásicos:
1. Inscripción en la estatua de
Palas: Yo, Palas, soy de oro
batido, pero el oro es el
regalo de poetas lozanos.
Carisio dio la mitad del oro,
Tespias una octava parte,
Solón una décima y Temisón
una vigésima, pero los
restantes nueve talentos y la
mano de obra son el regalo de
Aristódico. ¿Cuántos talentos
de oro han sido empleados
para hacer la estatua?
2. Habla Polícrates: “afortunado
Pitágoras, vástago parnasiano
de las musas, contesta mi
pregunta: ¿Cuántos en tu
morada hay comprometidos,
en el concurso de sabiduría?”
Responde Pitágoras: “ Te lo
diré, Polícrates. La mitad de
ellos se ocupa de las bellas
letras; una cuarta parte se
aplica a estudiar la naturaleza
inmortal; una séptima parte
está dedicada al silencio y a la
meditación
(Estos
eran
probablemente jugadores de
ajedrez – M.K.) Hay también
tres
mujeres;
la
más
distinguida de entre ellas es
Teano. Este es el número de
los intérpretes de las Musas
que he reunido alrededor de
mí”
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11.
23
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_______________________________________________________________________________________________
Calculo de áreas y perímetros.
1.
2.
6.
Determina x para que el área rayada sea
7.
Determina x para que el área rayada en el
3
4
Determina la medida de un triángulo rectángulo
en A, de lado AB = AC = 2x – 4 y área A = 2x2
Determina x para que el área rayada en
el rectángulo sea x 2
rectángulo sea
Sea ABCD un cuadrado de lado x+1 , y MNQP un
cuadrado de lado x , como muestra la figura.
Determina x para que el área rayada sea
5
4
8.
4.
225
, sabiendo:
2
2
6
5
DC = x, AM = x, NB= x, DM = x
5
5
2
Sea ABCD un trapecio rectángulo como muestra la
figura. Determina x para que el área rayada sea
igual al área no rayada, sabiendo que el triángulo
(APD) es isósceles.
9.
5.
Determina el radio del cuarto de circunferencia de
la figura, para que el área rayada sea 4 - π
Determina x para que el área de del polígono sea
Halla x para que el área rayada sea igual al área sin
rayar.
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3.
5
2
24
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Ficha IX – Funciones.
Sistema de coordenadas cartesiano ortogonal
1.
Indica en cada caso si se trata o no de una función, en caso afirmativo
determine dominio, codominio y la relación que vincula a los conjuntos
(o sea defina la función), en caso negativo justifique porque razón no es
función:
2.
Grafica en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (S.C.C.O.) las
siguientes funciones.
Si bien en el siglo XVII, Pascal inventó la
primera calculadora del mundo, llamada la
pascalina, esta era muy incómoda, tenía
varios inconvenientes y no era del todo
fiable. En 1670 Gottfried Wilhelm Leibniz
perfeccionó esta máquina e inventó una
que también podía multiplicar.
Grafica en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (S.C.C.O.) las
siguientes funciones.
x
f(x)
(x, f(x))
x
g(x)
(x, g(x))
x
h(x)
(x, h(x))
1
-1
(1, -1)
1
3
(1, 3)
-2
2
(-2, 2)
2
-2
(2, -2)
2
5
(2, 5)
-1
1
(-1, 1)
3
-3
(3, -3)
3
7
(3, 7)
0
0
(0, 0)
4
-4
(4, -4)
4
9
(4, 9)
1
1
(1, 1)
2
2
(2, 2)
x
x
 x, x 
x
-x
(x, -x)
x
2x+1 (x, 2x+1)
Ubica en un S.C.C.O. los siguientes
puntos (Sugerencia: hazlo en una
hoja centimetrada)
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3.
Gottfried
Wilhelm
Leibniz, (1646 - 1716)
fue
un
filósofo,
matemático, jurista,
bibliotecario y político
alemán.
Fue uno de los
grandes pensadores
de los siglos XVII y
XVIII, y se le reconoce
como "El último genio universal". Realizó
profundas e importantes contribuciones en
las áreas de metafísica, epistemología,
lógica, filosofía de la religión, así como a la
matemática, física, geología, jurisprudencia
e historia
El concepto de función como un objeto
matemático independiente, susceptible de
ser estudiado por sí solo, no apareció hasta
1
los inicios del cálculo en el siglo XVII. René
Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz
establecieron la idea de función como
dependencia
entre
dos
cantidades
variables. Leibniz en particular acuñó los
términos
«función»,
«variable»,
«constante» y «parámetro».
 6, 0  ,  6, 6  ,  0, 6  ,  6, 6  ,  6, 0  ,  6, 6  ,
 0, 6  ,  5, 6  , 5, 0  , 5,5  ,  0,5  ,  5,5  ,
 5, 0  5, 5 ,  0, 5 ,  4, 5 
¿Puedes continuar la secuencia?
¿Qué observas?
25
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_______________________________________________________________________________________________
Estudio analítico y representación gráfica de funciones
4.
Las siguientes son representaciones gráficas de funciones, introduce los
datos que te dan en la tabla.
a)
f:

b)
g:

c)

h:
d)
i:

Representa
gráficamente,
indicando en cada caso raíz y
ordenada en el origen:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a) x
f(x) (x, f(x))
b) x
g(x) (x, g(x))
c) x
h(x) (x, h(x))
d) x
i(x) (x,i(x))
2
0
(2, 0)
-1
0
-5
0
1
0
-2
(0, -2)
3
0
1
0
2
1
-1
(1, -1)
0
-5
5
0
-6,7
1
3

-1
-3
1
g.
h.
i.
j.
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
f ( x)  2 x
f ( x)  2 x
f ( x)  x
f ( x)   x
f ( x)  x  2
f ( x)   x  2
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  2
Indica en cada caso, si el
gráfico corresponde o no a una
función. Justifica.
2
a. Indica en cada gráfico dominio, codominio, recorrido, raíces y ordenadas en
el origen.
b. Dibuja el gráfico de una función que cumpla las siguientes condiciones:
Su recorrido son todos los reales, tiene raíces:  , 2,  y e .
c. Grafica una función que cumpla las siguientes condiciones: Su recorrido
son todos los reales, su dominio son todos los reales entre –1 y 1
De una función f se sabe que f (-7) = 0 y que f (0) = -2
a. ¿Qué puede afirmar de x = –7 ?
b. ¿Qué puede afirmar de y = –2 ?
6.
Determina a 
7.
Determina b  para que i : i( x)  3x  b admita y=2 como ordenada en el
origen
Determina a, b  para que j : j ( x)  ax  b admita y=2 como ordenada en
el origen y x=1 como raíz
¿Qué relación encuentras entre la ordenada en el origen y el término
Descubre la representación gráfica
independiente de cada expresión? (Sugerencia: ve los ejercicios
de
anteriores)
8.
9.
para que h : h( x)  ax  4 admita x=2 como raíz
10. Sea la función f :  ; f ( x)  x  1
a.
b.
c.
d.
1
4
Halla raíz y ordenada en el origen.
Determina la preimagen de – 4.
Realiza el gráfico de la función f
Determina los valores de x para los cuales sus imágenes son positivas.
f ; f ( x)  x2
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5.
26
Repartido de matemática – 2doaño – Matemática
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_______________________________________________________________________________________________
11. Un auto se desplaza a una velocidad constante de 120 km./h. Si
sabemos que la distancia recorrida por dicho auto es una función lineal
del tiempo expresada por: f :    ;
f ( x)  120 x
tiempo
distancia
a. Representa gráficamente f. ¿Cuánto tiempo demora e recorrer 170
Km? (Sugerencia: Utiliza el gráfico)
b. ¿Qué distancia recorrió a los 30 minutos de haber partido?
12. Una persona quiere comprar un auto, pero duda entre comprar un
Volkswagen o un Fiat. Al final decide que comprará el más económico.
Para ello verá el consumo de combustible en cada caso.
El Volkswagen consume 20 litros de nafta cada 200 kilómetros, mientras
que el Fiat consume 1 litro de gasoil cada 15 kilómetros.
a. Si el litro de nafta cuesta $ 30 y el de gasoil $ 20 ¿qué auto comprará la
persona?
b. Representa en un S.C.C.O. las funciones que representan el kilometraje
en función del combustible para cada automóvil.
13. a.
El interés anual de un préstamo en un banco de Uruguay es de
aprox. 31%. Si una familia pide un préstamo de $3000 en el banco,
¿Cuánto debe pagar a fin de año? ¿Y Si pide $4000? ¿Y $5000?
b. El interés en una caja de ahorro en un banco de Uruguay es de
aprox. 2%. Si una familia tiene un ahorro de $3000 en el banco ¿cuánto
tendrá a fin de año? ¿Y si tiene $4000? ¿Y $5000?
14. Una empresa aumentó el 12% el sueldo de su personal, más un
complemento de $1500 por cada trabajador. Escribe una función lineal
que exprese el nuevo sueldo en función del anterior.
a. ¿Cuánto ganaba una persona que luego del aumento recibe $7400?
b. ¿Cuál será el sueldo de una persona que ganaba $6530?
15. Una empresa telefónica, ofrece banda ancha por $800 mensuales.
Si el cómputo telefónico entre las 18hs y las 10hs es $1,13 cada 5 minutos.
¿A partir de qué cantidad de minutos es rentable contratar el servicio de
dicha empresa?
En países como Inglaterra o Estados
Unidos se utiliza
como unidad de
medida
de
temperatura
los
grados
Fahrenheit (°F)
en lugar de los
grados Celsius
(°C) como usamos en Uruguay. Si se
sabe que los grados Fahrenheit
pueden obtenerse en función de los
grados Celsius, mediante la igualdad
°F =
9
°C + 32
5
:
¿Cuántos grados Fahrenheit son
100°C y cuántos grados Celsius son
32 °F?
Llama “f(x)” a °F y “x” a °C, en la
ecuación
dada.
Representa
gráficamente
la
función:
t:
 ; t ( x) 
9
x  32
5
. Indica raíz
y ordenada en el origen.
Desafío:
Imagina
trabajar
funciones en el
espacio. ¿Cómo
ubicarías
el
punto
de
coordenadas
(1,2,3)?
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Problemas
27
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Prof. Alejandro Oyhenart
_______________________________________________________________________________________________
Ficha X – Inecuaciones (signo de una función)
El siguiente gráfico corresponde a la función g :  ; g  x    x2  x la
zona punteada en el dominio corresponde a aquellos valores de x que tienen
como correspondientes en el codominio números menores que cero.
a. Pinta de rojo todos los elementos
del dominio que tienen
como correspondientes en el
codominio números mayores
o iguales a cero.
b.
c.
2.
Resuelve:  x2  x  0
¿Qué observa en a. y b.?
Sabiendo que la representación gráfica de una función polinómica de
primer grado es una recta,
Representa: f :  ; f  x   2 x  4
En el gráfico realizado, pinta de rojo todos los elementos del dominio
que tienen como correspondientes números mayores o iguales a cero.
b. Al lado del gráfico realizado indica el signo de f.
a.
3. a. Dado el gráfico de las siguientes funciones determina su signo.
b.
Con los datos obtenidos en i) haga corresponder a cada inecuación el
conjunto solución correcto:
f ( x)  0
f ( x)  0
1
f ( x)  0
2
f ( x)  0
3
 *


g ( x)  0
g ( x)  0
1
g ( x)  0
2
g ( x)  0
3
4
 0
h( x )  0
h( x )  0
1
  2, 1  1,  
h( x )  0
2
h( x )  0
3
4
  2, 1  1,  
  , 2   1,1
  , 2    1,1
4
  1,1
  1,1
  , 1  1,  
  , 1  1,  
Desafío: Dentro de
los problemas de
ingenio árabes uno
de
los
más
famosos
dice:
entre nueve monedas de 10 g de
oro se encuentra una falsa: sólo
tiene 8 gr. ¿Cómo se puede
descubrir la moneda falsa haciendo
solo dos pesadas?
El signo de igualdad se debe a Robert
Recorde, que empezó a utilizarlo en
1557. Explicó su elección diciendo:
"Pondré, como hago a menudo en el
curso de mi trabajo, un par de
paralelas o líneas gemelas de una
misma longitud, así:
, porque no
hay dos cosas que puedan ser más
iguales". Posteriormente, la rutina se
encargó de acortar las paralelas.
De esta forma dos números reales no
son iguales diremos que son distintos y
aclararemos bajo la siguiente notación
la relación que los vincula:
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1.
28
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4. Redacta el conjunto solución:
Uno de los siguientes enunciados es
falso, descubre cuál y justifica tu
respuesta:
Para números a,b y c se cumple:




5.
6.
Considerando el siguiente
triángulo:
a. Encuentra en función de x
el valor del ángulo que falta.
b. ¿Qué valores puede tomar x
para que exista triángulo?
¿Para qué valores de x existe el triángulo de la figura?
Si a > b y b > c; entonces a > c
Si a < b y b < c; entonces a < c
Si a > b y b = c; entonces a > c
Si a < b y b = c; entonces a ≤ c
De acuerdo a lo establecido en nuestra
Constitución, existen cuatro procedimientos
distintos de reforma, mediante los cuales
puede llegar a modificarse la Constitución
vigente. Uno de ellos dice que si una Ley es
aprobada por los dos tercios de cada una de
las Cámaras (Senadores y Diputados)
entonces esta debe ser sometida a
plebiscito popular, si la mayoría absoluta de
la población la aprueba, esta Ley se
transforma en Constitución.
a. Si se sabe que se necesitan por lo
menos 20 senadores para transformar
una Ley en Constitución. ¿Cuántos
senadores forman nuestra Cámara
alta?
b. Sabiendo que la Cámara baja está
compuesta
por
99
senadores
¿Cuántos votos son necesarios para
que nuestra Constitución pueda llegar
a ser modificada?
c. Que representa la x en las siguientes
desigualdades:
99  x  66 y 30 - x  20
7. Resuelve:
1 5

2 4
a) x  1  3
b) 3 x 
c) 2 x  5  4 x  1
d)   2  2 x  


e) 2 2 x 2  1  1  2 x 2
g)  5 x  31  x   5 x 2 
i)
2 x 1 5  3x
 
3 2
2
1
 2x
5
f) 2(1  x)  x  (2  x)
7
 2x
2
h)
x  2 2x 1

3
9
Resuelve las inecuaciones planteadas
e intérprete resultados.
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d.
29
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Ficha XI – Homotecia
1.
Considera la función f : f ( x)  3x y marca en el gráfico los puntos:
P (1, -10); Q (2, -20); A (1,0); B (2,0) A’(0,-10) y B’(0, -20)
PA
QB
a.
Determina la razón
b.
¿Forman los segmentos PA, PA', QB y QB' una proporción?
PA'
y
QB'
2.
Como ya hemos visto, símbolo distintivo entre los pitagóricos fue una
estrella regular de cinco puntas. En esta aparece la llamada proporción
áurea o proporción divina que es la razón entre la diagonal y el lado del
pentágono. En otros polígonos regulares, como el cuadrado o el
hexágono, podemos hablar también de razón entre sus lados y la
diagonal. ¿Cuál es la razón entre la diagonal y los lados de un cuadrado?
3.
Los segmentos a, b, y c miden 3, 9 y 5 respectivamente. Determinar
la medida de un segmento d de forma tal que a, b, c y d formen una
proporción.
4.
De cuatro segmentos a, b, c y d que forman una proporción se sabe
que: la razón entre a y b es 5, la medida de c es 10 y que a y d tienen
igual medida.
Número
botellas
18
Número
cajas
3
6
Número
botellas
Precio
15
45
75
105
135
12
4
24
48
11
30
195
225
255
16
6
k=
Un foco luminoso ilumina un cuadrado
A situado a cierta distancia. Como
resulta en la figura, producirá una
iluminación 4 veces menor que en un
cuadrado B, situado a doble distancia
que el A, y todavía la iluminación será 9
veces menor en un cuadrado C situado
a una distancia 3 veces mayor. En
efecto, la misma cantidad de luz que
ilumina a A ha de iluminar los
cuadrados B y C, respectivamente, 4 y 9
veces mayores que A. Se tiene así la
siguiente ley: La intensidad de
iluminación de una superficie es
inversamente proporcional al cuadrado
de su distancia al foco luminoso.
k=
Interpreta en forma algebraica el
enunciado
Compara la intensidad de iluminación
sobre una hoja que dista 50
centímetros de una lamparita, con la
iluminación producida sobre la misma
hoja cuando ésta se encuentra a 2
metros.
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Razones y proporciones:
En 1509 un monje Italiano, Luca Pacioli,
edita “La divina proporción”. Donde
propone un hombre perfecto en el que las
relaciones entre las distintas partes de su
cuerpo sean proporciones áureas. Realiza la
razón entre tu altura y la distancia que hay
de tu ombligo a la planta de tus pies. Si ese
cociente es el número de oro, hubieses sido
considerado una persona hermosa
30
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Homotecia:
5.
Sea (ABCD) un cuadrado tal que, AC  BD  O M punto medio de AD y
N punto medio de AB . MN  AO  P
a. Realiza las homotecias de los siguientes
puntos:
H
B,2
(O)=
H
B,
1
2
(D)=
H
A,
1
4
Se sospecha que los polígonos de
trazo fino fueron homotetizados, en
los casos en que sea cierto,
determina si la razón utilizada es: 1,
–1, menor a –1, está entre –1 y 1 o
es mayor a 1.
(C)=
b. Realiza las homotecias de los siguientes
segmentos:
H
A,2
(MP)=
H
A,
1
3
(DC)=
H
P,-1
(MO)=
c. Realiza las homotecias de los siguientes
triángulos:
H
A,2
 PMO  
H
A,
1
2
 PMO  
H
A,
1
4
 PMO  
d. ¿Qué relación encuentra entre el área de un triángulo y el de su imagen?
e. ¿Existe alguna homotecia donde  ODC  tenga por imagen a  PMO ? En
caso afirmativo halla su centro y su razón.
(ANOM)= ¿Existe alguna relación entre el área de un cuadrado
f. Realiza H
A,2
6.
Construye un  ABC  tal que: AB= 7 cm, BC= 6 cm, AC= 4 cm
a. Determina su circuncentro, nómbralo O
b.
Construye la circunferencia circunscripta al  ABC  y nómbrela C
c.
a. Realiza: a. H
d.
7.
o,r
Realiza: a. H
O,2
O,2
 ABC  
b. H
O,
Co,r  
b. H
O,
1
2
1
2
 ABC   c.
Co,r  
H
c. H
O,-1
O,-1
 ABC  
Co,r  

Construye un  ABC  que cumpla: d(A,B) = 10 cm, d(A,C)= 8 cm y CAB=120°
a. Determina su baricentro y nómbrelo G
b. Si AG  BC= N , BG  AC= P, CG  AB= M Determina la razón en
cada una de las siguientes homotecias:
(G)=N  k 
A,k
iii) H
(G)=C  k 
M,k
i) H
ii) H
(P)=G  k 
B,k
Desafío: Héctor el caracol castigado,
cansado de caer de los muros
verticales, decide poner una
escalera para llegar al tope de un
muro. Pero en la mitad de su
camino por la escalera surge un
nuevo inconveniente, ésta se parte
y él cae en forma vertical, ahora
desde una altura de 3 metros.
¿Cuánto mide el muro?
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y el de su imagen en una homotecia?
31
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Ficha XI – Rotación
1.
Considera la aguja de un reloj que marca el número 12
a.
b.
c.
d.
e.
f.
1. que no queden huecos
2. que no se superpongan las figuras
Se consideran, como muestra la figura, los siguientes polígonos
regulares: Equilátero, cuadrado, pentágono y hexágono.
a. Sabiendo que O, es el centro de la circunferencia que contiene los
vértices de cada polígono, calcula todos los ángulos
b. Realiza en cada polígono las siguientes rotaciones.
Teselado del Cairo
En el equilátero:
Rot
O,120
(A)=
Rot
A,60
(B)=
Rot
O,240
(C)=
En el cuadrado:
Rot
O,90°
(A)=
Rot
O,180°
(B)=
Rot
(B)=
Rot
(B)=
Rot
O,270°
(C)=
Rot
O,360°
(D)=
En el pentágono:
Rot
O,72°
(A)=
Rot
O,144°
O,288°
(C)=
En el hexágono:
Rot
c.
3.
Un teselado o teselación es una
regularidad o patrón de figuras que cubre
o pavimenta completamente una
superficie plana que cumple con dos
requisitos:
O,60°
(A)=
Rot
O,120°
D,60°
(O)=
Rot
F,120°
(A)=
Construye un hexágono igual al de la figura y determina su imagen en una
rotación de centro C, 60° y sentido horario
Traza una recta cualquiera y nómbrala r. Toma un punto A exterior a ella
y nómbralo A
a. Determina la imagen de r en Rot
(r) = r'
A,45°
b.
Toma dos puntos de la recta r y nómbrelos B y C. Determina la imagen
de B y C en dicha rotación. Determina además, la imagen de  ABC 
en la rotación mencionada antes.
Maurits Cornelis Escher, más conocido
como M. C. Escher (1898 - 1972), artista
holandés, conocido por sus grabados en
madera, xilografías y litografías que
tratan
sobre
figuras
imposibles,
teselados y mundos imaginarios.
Su obra experimenta con diversos
métodos de representar (en dibujos de 2
ó 3 dimensiones) espacios paradójicos
que desafían a los modos habituales de
representación.
La obra de Maurits Cornelis Escher ha
interesado a muchos matemáticos.
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2.
¿Cuántos grados debería moverse para marcar el número 3?
¿Cuántos grados debería moverse para marcar el número 1?
¿Cuántos grados debería moverse para marcar el número 2?
¿Cuántos grados debería moverse para marcar el número 6?
¿Cuántos grados debería moverse para marcar el número 9?
Si las agujas del reloj se movieran en sentido contrario, ¿Cuántos
grados debería moverse para marcar el número 3?
32
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4.
Elige la opción correcta:
Sean A y B dos puntos cualesquiera del plano y C otro punto del mismo
plano que cumple: C  Rot
A,45°
(B) . Clasifica el triángulo  ABC  según sus
lados y según sus ángulos.
5.
Se considera el cuadrado ABCD como muestra la figura. M, N, P y Q son
puntos medio de los lados del cuadrado. Completa los datos que faltan en
las siguientes rotaciones:
a. En toda rotación a un segmento
de un plano  le corresponde:
i. Otro segmento del plano 
ii. Otro segmento congruente del
plano 
iii. Otro segmento congruente del
espacio.
En toda rotación a polígono de
un plano  le corresponde:
i. Otro polígono del plano 
ii. Otro polígono congruente del
plano 
iii. Otro polígono congruente en el
espacio.
b.
5. Rot
1. Rot
( )=F
Q , 90°
2. Rot
( )=O
Q , 90°
3. Rot
4. Rot
6.
,90°
 NIB  =  QFD 
O,
O, 90°
( ) =  OQF 
8. Rot
P, 90°
 PONB  
 
o,5
Rot
13. Rot
O, 90°
O, 90°
O,90°
Co,5 
 ABC 
A,60°
 ABC 
un
o,5
Si la distancia de un punto (A)
al centro de rotación (O) es
igual a la distancia de la imagen
del punto (A’) al centro de
rotación, entonces el centro de
rotación se encuentra:
i.
En la mediatriz del segmento
determinado por el punto y su
imagen
En la recta determinada por el
punto y su imagen
En la mediatriz del segmento
determinado por el centro y el
punto
 PONB  
P, 90°
 MNPQ  
 OIPA  
O, 180°
O, 270°
 OIPA  
 OIPA  
ii.
iii.
Sea A un punto exterior a C
C
A,90° o,5
Construye una circunferencia C
 A'B'C'  Rot
10. Rot
 APOQ    OPBN  12.
Construye una circunferencia C
Sea
Rot
11. Rot
7. Rot
Construye C ''=Rot
8.
 QFO  =  OIP  9.
(GO) =GN
Construye C '=Rot
7.
6. Rot
,90°
d.
Sea O un punto exterior a C
triángulo
cualquiera.
Construye
Desafío: Pasa a tu cuaderno esta
imagen y determina centro, ángulo
y sentido de rotación de las
siguientes figuras y sus respectivas
imágenes.
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c. En toda rotación a un ángulo de
un plano  le corresponde:
i. Otro ángulo del plano 
ii. Otro ángulo congruente del
plano 
iii. Otro ángulo congruente en el
espacio.
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_______________________________________________________________________________________________
Ficha XII – Traslación
1.
Completa el siguiente cuadro de doble entrada según la figura
Igual Sentido
Igual Módulo
En las siguientes obras de Escher, determina
figuras que han sido trasladadas mostrando en
cada caso el vector de traslación.
Igual Dirección
AB y BA
AB y MO
DO y OC
AB y DC
AO y AC
AO y OC
AB y CD
2. Se considera el cuadrado ABCD como muestra la figura. M, N, P y Q son
puntos medio de los lados del cuadrado. Completa los datos que faltan
en las siguientes traslaciones:
1. T ( ) = F
OQ
2. T ( ) = F
HO
3. T (DM) =ON
5. T
 PHO  =  NGC 
  =  DMOQ 
6. T
PB
3. Sea  ABC  un triángulo cualquiera. Construya  A'B'C'  T
 ABC 
4. Sea  ABC  un triángulo cualquiera. Construya  A'B'C'  T
 ABC 
AC
AC
5. Construye una circunferencia C
, Sea A un punto de ella Construye
o,5
 
C '=T
C
AO o,5
6. Construye una circunferencia C
Sea B un punto exterior a C
o,5
Construye C ''=T
OB
Co,5 
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4. T ( ) =  OFQ 
BO
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Ficha XIII – Semejanza
1. Sea  ABC  un triángulo cualquiera, defina una semejanza
 cualquiera. Sea  A'B'C' la imagen de  ABC  en  . Determine las
siguientes razones.
2.
AB
A'B'
,
BC
B'C'
,
AC
A'C'
¿Qué observa?
Sea ABCD un cuadrado como muestra la figura, M, N puntos
medios de dos de sus lados.
Desafío: Las siguientes imágenes
son realizadas mediantes la
aplicación
sucesiva
de
una
semejanza sobre una figura plana,
analiza las semejanzas aplicadas en
cada caso y en caso posible
determínalas.
a. Determine la imagen de  POM  en  = H
T
O,2
AP
b. Determine la imagen de  POM  en  = T
AP
H
O,2
c. Determine la imagen de  POM  en  = H
Rot
A,3
P,90°
d. Considere la media circunferencia de centro O que contiene
a los puntos D,C,B. Determine la imagen de dicho arco en:
 = Rot
P,180°
H
1
2
A,
3. Construya un medio círculo C de centro O, diámetro AB y radio 6 cm
a. Sea Q punto medio OB determina la C’ imagen de C en
 = Rot
Q,180°
H
B,
1
2
b. Sea P punto medio OB determina la C’’ imagen de C en
 = Rot
c.
P,360°
H
A,
1
2
Determina el área de C’ y C’’
A
P
O
Q
B
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_______________________________________________________________________________________________
Contenido del curso
Ficha I – Conjunto de los números Enteros. ..................................................................................................................... 1
Problemas introductorios ............................................................................................................................................. 1
Operaciones con números enteros ............................................................................................................................... 3
Adición y sustracción ................................................................................................................................................ 3
Multiplicación y división............................................................................................................................................ 3
Valor absoluto ........................................................................................................................................................... 4
Potencia .................................................................................................................................................................... 4
Los números enteros como conjunto numérico ........................................................................................................... 5
Ficha II – Conjunto de los números Racionales................................................................................................................. 6
Operaciones con fracciones .......................................................................................................................................... 7
Adición y sustracción ................................................................................................................................................ 7
Multiplicación y división............................................................................................................................................ 7
Problemas ..................................................................................................................................................................... 9
Ficha III – Conjunto de los números Reales. ................................................................................................................... 11
Ficha IV – Notación Científica. ........................................................................................................................................ 13
Ficha V – Espacio. ............................................................................................................................................................ 14
Ficha VI – Construcciones. .............................................................................................................................................. 16
Ficha VII – Triángulos. ..................................................................................................................................................... 17
Clasificación de Triángulos. ......................................................................................................................................... 17
Criterios de congruencia de triángulos: ...................................................................................................................... 18
Puntos y rectas notables del triángulo ....................................................................................................................... 20
Ficha VIII – Ecuaciones. ................................................................................................................................................... 21
Ejercicios ..................................................................................................................................................................... 21
Problemas ................................................................................................................................................................... 22
Calculo de áreas y perímetros..................................................................................................................................... 24
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_______________________________________________________________________________________________
Ficha IX – Funciones. ....................................................................................................................................................... 25
Sistema de coordenadas cartesiano ortogonal .......................................................................................................... 25
Estudio analítico y representación gráfica de funciones ............................................................................................ 26
Problemas ................................................................................................................................................................... 27
Ficha X – Inecuaciones (signo de una función) ............................................................................................................... 28
Ficha XI – Homotecia....................................................................................................................................................... 30
Razones y proporciones: ............................................................................................................................................. 30
Homotecia: .................................................................................................................................................................. 31
Ficha XI – Rotación .......................................................................................................................................................... 32
Ficha XII – Traslación ....................................................................................................................................................... 34
Ficha XIII – Semejanza ..................................................................................................................................................... 35
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Contenido del curso ........................................................................................................................................................ 36
37