Grupos Profinitos

Exposicion de Teoria de Galois
Fernando Sánchez Castellanos Villafuerte
14 de diciembre de 2008
1.
Introduccion
Definición 1. Un grupo topologico, es un grupo G juntpo con una topologia
tal que satisface:
La operacion de grupo:
G × G −→ G
(g, h) 7→ gh
es continua.
La funcion de inversion:
G −→ G
g 7→ g −1
tambien es continuo.
La clase de todos los grupos topologicos junto con los homomorfismos continuos constituye una categoria. Se sigue que la traslacion por cualquier elemento
del grupo es un homeomorfismo G ← G, por lo que la topologia es invariante
bajo traslacion. Dados g ∈ G y U ⊆ G las siguientes son equivalentes:
U es abierto
gU es abierto
1
U g es abierto
Ademas, como la inversion tambien es un homeomorfismo, U es abierto si,
y sólo si U −1 = x : x−1 ∈ U es abierto.
Ejemplos:
Cualquier grupo G es un grupo topologico respecto a la topologia discreta.
R? , R?+ y C son grupos topologicos con respecto a la multiplicacion y la
topologia euclideana.
Sea k = R o C, entonces, el grupo general lineal:
GLn (k) = {g ∈ Mn (k) : det(g) 6= 0} (n ≥ 1)
es un grupo topologico con respecto a la multiplicacion de matrices y a la
topologia euclideana. El grupo especial lineal:
SLn = {g ∈ GLn (k) : det(g) = 1} (n ≥ 1)
es un subgrupo cerrado de GLn (k).
Si X es un espacio topologico y x ∈ X diremos que U ⊆ X es una vecindad
de x si x esta en el interior de U . Por lo tanto una vecindad no es necesariamente
abierta y tiene sentido hablar de una vecindad cerrada o compacta. Por otro
lado, diremos que un subconjunto S de un grupo topologico es simetrico si
S = S −1 .
Proposición 2. Sea G un grupo topologico. Entonces, las siguientes son ciertas:
casa vecindad U de la identidad contiene una vecindad V de la identidad
tal que V V ⊆ U .
Cada vecindad U de la identidad contiene una vecindad simetrica de la
identidad.
Si H es un subgrupo de G, tambien su cerradura.
Cada subgrupo abierto de G es tambien cerrado.
2
Si K1 y K2 son subconjuntos compactos de G, tambien es K1 K2 .
Proposición 3. Sea G un grupo topologico, entonces las siguientes son equivalentes:
1. G es T1 .
2. G es Hausdorff.
3. La identidad e es cerrada en G.
4. Cada punto de G es cerrado.
Demostración 4. 1→2 Si G es T1 , entonces para cualesquiera g, h ∈ G distintos hay una vecindad abierta U de la identidad que no contiene a gh−1 , y
por la proposicion anterior, existe un subconjunto simetrico V de U que
contiene a la identidad tal que V V ⊆ U . Entonces los conjuntos abiertos V g y V h son vecindades disjuntas de g y h, pues de otra manera
gh−1 ∈ V −1 V = V V ∈ U .
2→3 Cada punto en un Hausdorff es cerrado.
3→4 Para cada punto x ∈ G existe un homeomorfismo que lleva e 7→ x, por lo
tanto si e es cerrado, tambien lo es todo punto.
4→1 Se sigue de la definicion.
Si H es un subgrupo del grupo topologico G, entonces el conjunto G/H de
clases laterales izquierdas de G adquiere la topologia cociente, definida como la
topologia mas fuerte tal que la proyeccion canonica ρ : g 7→ gH es continua.
Entonces U es abierto en G/H si, y sólo si ρ−1 (U ) es abierto en G. Hay que
recordar que G/H es un grupo bajo la multiplicacion de clases laterales si, y
sólo si H es un subgrupo normal de G. En este caso demostraremos que G/H
es un grupo topologico con respecto a la topologia cociente.
Proposición 5. Sea G un grupo topologico y sea H un subgrupo de G. Entonces,
las siguientes propiedades se cumplen:
3
El espacio cociente G/H es homogeneo bajo G.
La proyeccion canonica ρ : G −→ G/H es una funcion abierta.
El espacio cociente G/H es discreto si, y sólo si H es abierto. Ademas,
si G es compacto, entonces H es abierto si, y sólo si G/H es finito.
Si H es normal en G, entonces G/H es un grupo topologico respecto a la
operacion cociente y la topologia cociente.
Sea H la cerradura de {e} en G, Entonces H es normal en G y el grupo
cociende G/H es Hausdorff con respecto a la topologia cociente.
Proposición 6. Sea G un grupo topologico Hausdorff. Entonces las siguientes
propiedades son ciertas:
El producto de un subconjunto cerrado y un subconjunto compacto es cerrado.
Si H es un subgrupo compacto de G, entonces ρ : G −→ G/H es una
funcion cerrada.
2.
Grupos Profinitos
2.1.
Sistemas y limites proyectivos
Sea I un conjunto no vacio que luego servira como conjunto de indices. Decimos que I esta preordenado con respecto a la relacion ≤ si la relacion es reflexiva
y transitiva. No asumimos que sea antisimetrica, por lo tanto un preorden es
mas debil que un orden parcial. Los elementos de un conjunto preordenado I
constituyen una categoria para la cual hay un unico morfismo conectando dos
elementos i y j si, y sólo si i ≤ j. Decimos que un conjunto preordenado I es
un conjunto filtrado si cada subconjunto finito de I tiene un limite superior en
I:
Supongamos que I es un conjunto de indices preordenado y sea {Gi }i∈I una
4
familia de conjuntos. Supongamos ademas que para cada par de indices i, j ∈ I
con i ≤ j existe una funcion asociada ϕij : Gj −→ Gi , con las siguientes condiciones:
ϕii = 1Gi ∀i ∈ I
ϕij ◦ ϕjk = ϕik ∀i, j, k ∈ I, i ≤ j ≤ k
Entonces, el sistema (Gi , ϕij ) es llamado sistema proyectivo.
Definición 7. Sea (gi , ϕij ) un sistema proyectivo de conjuntos. Entonces, definimos el limite proyectivo del sistema, denotado por lı́m Gi , por:
←
(
lı́m Gi =
←
)
(gi ) ∈
Y
Gi : ϕij (gj ) = gi ∀i ≤ j
i∈I
Hay que notar, que como lı́m Gi es un subconjunto del producto directo,
←
entonces viene equipado con una familia de proyecciones pj : lı́m Gi −→ G −
←
j, y respecto a estas proyecciones, el limite manifiesta la siguiente propiedad
universal:
Propiedad 8 (Universal). Sea H un conjunto no vacioy sea (ψi : H −→ Gi )i∈I
un sistema de funciones que es compatible con el sistema proyectivo (Gi , ϕij )
en el sentido de que para cada par de indices i, j ∈ I con i ≤ j el siguiente
diagrama conmuta:
ψj
/ Gj
}
}
}}
ψi
}} ϕij
}
~}
Gi
H
Entonces existe una unica ψ : H −→ lı́m Gi tal que para cada i ∈ I el
←
siguiente diagrama:
/ lı́m Gi
←
zz
z
z
ψi
zz pi
z| z
Gi
H
ψ
tambien conmuta.
5
La funcion ψ no es otra que h 7→ (ψi (h))i∈I , en cuyo caso, la compatibilidad
de ψi garantiza qur la imagen cae dentro del limite proyectivo.
Proposición 9. Sea I un conjunto filtrado y sea (gi , ϕij ) un sistema proyectivo
de conjuntos finitos. Sea G = lı́m Gi . Entonces:
←
Si cada Gi es no vacio, entonces lı́m Gi es no vacio.
←
para cada indice i ∈ I:
pi (G) =
\
ϕij (Gj )
i≤j
2.2.
Grupos Profinitos
Consideremos un sistema proyectivo de grupos finitos, cada uno de los cuales
tomamos con la topologia discreta. Su limite proyectivo adquiere la topologia
relativa inducida por la topologia producto en todo el producto directo. Esta es
llamada la topologia profinita y respecto a ella, el limite proyectivo adquiere la
estructura de grupo topologico.
Proposición 10. Sea G un grupo profinito dado como el limtie proyectivo del
sistema proyectivo (Gi , ϕij ). Entonces, las siguientes sin ciertas:
1. G es Hausdorff respecto a la topologia profinita.
2. G es un subconjunto cerrado del producto directo
Q
Gi .
3. G es compacto.
Demostración 11.
1. El producto directo de Hausdorffs es Hausdorff, y
cualquier subconjunto de un Hausdorf tambien es Hausdorff con la topologia inducida.
2. podemos darnos cuenta de que el complemento de G in
Q
Gi es el siguiente
conjunto abierto:
Gc =
o
[[n
Y
(gk ) ∈
Gk : ϕij (gj ) 6= gi
i j≥i
por lo tanto, G es cerrado.
6
3. Como
Q
Gi es compacto (por el teorema de Tychonoff) y G es un subQ
conjunto cerrado de Gi (por 2), entonces G es compacto.
Ejemplo (1): Sea Gn = Z/nZ, n ≥ 1 el grupo aditivo de enteros modulo n.
Entonces {Gn } es un sistema proyectivo pues hay una proyeccion canonica
ϕmn : Z/nZ −→ Z/mZ
[k]n 7→ [k]m
cuando m|n, y estas proyecciones son claramente compatibles en el sentido requerido. Entonces podemos formar el limite proyectivo
Ẑ = lı́m Z/nZ
←
Ejemplo (2): Sea Hn = (Z/nZ)× , n ≥ 1 el grupo de unidades en Z/nZ. Entonces {Hn } es un sistema proyectivo, pues un homomorfismo de anillos manda
unidades en unidades. Sea
Ẑ× = lı́m(Z/nZ)
←
entonces Ẑ× es un grupo topologico bajo la multiplicacion y es el grupo de
unidades de Ẑ
Ejemplo 3: Sea p un primo fijo y sea Gm = Z/pm Z, m ≥ 1. De nuevo {Gm }
es un sitema proyectivo y formamos su limite proyectivo para obtener el anillo
Zp = lı́m Z/pm Z
←
Este anillo se llama el anillo de enteros p-adicos
Ejemplo 4: El conjunto de todas las extensiones finitas de Galois K/Q
contenidas dentro de una cerradura algebraica Q̄ forma un conjunto filtrado
respecto a la inclusion. Tenemos un sistema proyectivo correspondiente de grupos Gal(K/Q), donde si K ⊆ L, el homomorfismo asociado Gal(L/Q) −→
Gal(K/Q) es simplemente la restriccion. Ademas, tenemos el isomorfismo
Gal(Q̄/Q) ↔ lı́m Gal(K/Q)
←
7
σ 7→ (σ|K )
Teorema 12. Sea G un grupo topologico. G es profinito si, y sólo si G es
compacto y totalmente disconexo.
2.3.
Teoria de Galois
El siguiente teorema muestra, en particular, que los subgrupos cerrados de
grupos profinitos y los cocientes profinitos entre subgrupos normales son tambien
profinitos.
Teorema 13. Sea G un grupo profinito y sea H un subgrupo de G. Entonces H
es abierto si, y sólo si G/H es finito. Ademas, las siguientes 3 son equivalentes:
1. H es cerrado.
2. H es profinito.
3. H es la interseccion de una familia de subgrupos abiertos.
Finalmente, si las ultimas tres propiedades se cumplen, entonces G/H es compacto y totalmente disconexo.
Demostración 14. La primera aparte es consecuencia de la proposicion 5,
ya que un grupo profinito es necesariamente compacto. Ahora probamos las
equivalencias:
1→2 H es un subconjunto cerrado de un espacio compacto, entonces es compacto. Y como el componente conexo de la identidad e (el subconjunto
conexo maximal de G que contiene a e) en G es {e}, entonces su componente conexo en H es tambien {e} y por lo tanto H es completamente
disconexo,
2→1 Si H es profinito, entonces es el subconjunto compacto de un Hausdorff y
por lo tanto es cerrado.
8
3→1 Supongamos que H es la interseccion de alguna familia de subgrupos abiertos de G. Ahora, por la proposicion 2, todo subgrupo abierto tambien es
cerrado, por lo tanto H es la interseccion de una familia de cerrados,
entonces es cerrado.
1→3 Pendiente.
Ahora, lo que queremos hacer es extender el teorema fundamental de la teoria de Galois a extensiones infinitas. Supongamos que K/F es una extension
de campos con grupo de Galois G. Consideremos el conjunto N de subgrupos
normales de G de indice finito. Si M, N ∈ N y M ⊆ N , tenemos una proyeccion ρN,M : G/M −→ G/N , y por lo tanto un sistema proyectivo de cocientes
{G/N }N ∈N . Este sistema es compatible con la familia de proyecciones canonicas ρN : G −→ G/N que se corresponde con la funcion restringida de Gal(K/F )
a Gal(K N /F ), de esta manera hemos introducido de manera canonica un homomorfismo ρ de G al limite poryectivo de los cocientes asociados.
Proposición 15. Sean K, F, G y N como estan descritos arriba. Entonces,
la funcion canonica
ρ : G −→ lı́m G/N
←N ∈N
es un isomorfismo de grupos. Por lo tanto G es un grupo profinito inducido por
la topologia ρ
Demostración 16. Primero, mostramos que ρ es inyectiva. Claramente
Ker(ρ) =
\
N
N ∈N
asi que solo tenemos que demostrar que la interseccion es trivial. Sea σ ∈ Ker(ρ)
y sea x ∈ K. Entonces, existe una extension finita de Galois F 0 /F tal que
F 0 ⊆ K y x ∈ F 0 . Ahora, la restriccion de Gal(K/F ) a Gal(F 0 /F ) tiene kernel
Gal(K/F 0 ) y por lo tanto es un subgrupo normal de G de indice finito y entonces σ(x) = x. Como x es arbitrario, entonces σ es la identidad en K y Ker(ρ)
es trivial.
Para ver que ρ es suprayectiva, fijamos (σN ) en el limite proyectivo. Dado un
9
elemento arbitrario x ∈ K, sabemos de nuevo que x se encuentra en una extension finita de Galois F 0 /F con N = Gal(K/F 0 ) normal y de indice finito en G y
Gal(F 0 /F ) = G/N . Definimos σ ∈ Gal(K/F 0 ) por σ(x) = σN (x), por construccion del limite proyectivo, σ es independiente de como hayamos escogido F 0 , y
por lo tanto es un automorfismo de K bien definido. Ademas, es claro que σN
es ρN para toda N .
Teorema 17 (Fundamental de la Teoria de Galois). Sea K/F una extension
de Galois (no necesariamente infinita) y sea G = Gal(K/F ) con la topologia
profinita. Entonces, las funciones
α : L 7→ H = Gal(K/L)
β : H 7→ L = K H
constituyen un par mutuamente inverso de biyecciones que cambian el orden
entre el conjunto de campos intermedios L de K/F y el conjunto de subgrupos
cerrados de G. Ademas, L es Galois sobre F si, y sólo si el subgrupo correspondiente H es normal en G.
Demostración 18. En el caso de K/F finita lo asumimos cierto.
Primero, demostramos que α esta bien definida, es decir, que lleva campos intermedios a subgrupos cerrados.
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