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15.053
z
zBreve
z
Repaso de álgebra lineal
7 de febrero de 2002
repaso de álgebra lineal
Modelos de programación lineal
z
z
Entregas: material de clase
Algunos conceptos elementales sobre
vectores y matrices.
El método Gauss-Jordan de resolución
de sistemas de ecuaciones.
Bases y soluciones básicas y pivotaje.
1
Conceptos elementales sobre vectores
v =[ v1 v 2
v3
Multiplicación matricial
v4] se denomina vector fila
.
A= (aij )
 v1 
v 
t
 2
El transpuesto de v es un vector columna. v =  v 
3
 
v4 
w = [ w1
w2
w3
2
B = (bij )
C = (cij ) = A× B
Supongamos que A tiene n columnas y B tiene n filas.
cij = ∑nk=1aikbkj
w4 ] es otro vector fila.
El producto interno de los vectores v y w viene
dado por: vD
w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 + v4 w4
3
4
Multiplicación de matrices
Multiplicación de matrices
C = (c ij) = AB. Luego cij es el producto interno
de la fila i de A y la columna j de B.
C = (c ij) = A × B. Por tanto, cada columna
de C se obtiene añadiendo múltiplos de
columnas de A.
 a11 a12
A =  a21 a22

 a31 a32
a13 
 b11 b12
a23  B =  b21 b22


a33 
 b31 b32
b13 
b23 

b33 
 1 2 3  100  123 
 4 5 6  ×  10  =  456 

   

 7 8 9   1   789 
Por ejemplo, ¿cuál será el valor de c 23?
c23 = a21b13 + a22 b23 + a23b33
5
1 
 2
 3
= 100  4  + 10  5  +  6 
 
 
 
 7 
 8 
 9 
Del mismo modo,
cada fila de C
se obtiene
añadiendo múltiplos
de filas de B.
6
Conceptos elementales sobre
resolución de ecuaciones
Resolución de sistemas de ecuaciones
 x1 
1 2 4  x =  x 
Resolver para Ax = b, donde A = 

 2
 2 1 −1
 x3 
2×3
0
b= 
6
2×1
3×1
x1
x2
x3
x4
1
2
-1
2
1
1
4
-1
2
1
-1
2
=
=
=
0
6
-3
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 0
2 x1 + x2 − x3 = 6
Hallar una
combinación lineal
de las columnas de
A que sea igual a b.
Para resolver un sistema de ecuaciones, utilice
el método de eliminación de Gauss-Jordan.
1
 2
4
 0
 2  x1 +  1  x2 +  −1 x3 =  6 
 
 
 
 
8
Sistema de ecuaciones
x3
Pivotaje sobre el elemento en fila 1 columna 1
x1
x2
x4
x1
x2
x3
x4
1
2
4
1
=
0
1
2
4
1
=
0
2
1
-1
-1
=
6
02
-3
1
-1
-9
-1
-3
=
6
-1
1
2
2
=
-3
-1
0
31
62
32
=
-3
Restar 2 veces la restricción 1 de la restricción 2.
Sumar la restricción 1 a la restricción 3.
9
Pivotaje sobre el elemento en fila 1 columna 1
x1
x2
x3
x4
1
2
0
-2
4
-1
1
=
0
-3
1
-9
3
-3
1
=
3
0
=
0
3
0
-3
6
10
Pivotaje sobre el elemento en fila 3 columna 3
x1
x2
x3
x4
0
4
1
0
-2
0
-1
=
24
-2
6
0
1
03
1
=
-2
1
0
=
-1
3
-3
3
0
Dividir la restricción 2 entre -3. Restar los
múltiplos de la restricción 2 de las restricciones 1 y 3.
11
0
-3
1
Dividir la restricción 3 entre -3. Sumar los múltiplos
de la restricción 3 a las restricciones 1 y 2.
¿Cuál es la solución a este sistema de ecuaciones?
12
Pivotaje sobre a23
La operación fundamental: el pivotaje
x1
x2
x3
x4
a11
a12
a13
a14=
=
b1
a21
a22
a23
=
a24
=
=
b2
a31
a32
a33
a34
=
Pivotaje sobre a 23
Forma canónica de Jordan
para una matriz m x n
x2
x3
x4
1
0
0
-1
=
2
0
1
0
1
=
1
0
0
1
0
=
-1
x2
x3
x4
0
1
-2
0
-1
1
=
4
1
1
1
3
0
1
0
=
-2
3
0
0
-3
1
0
=
-1
3
x4
a1111
a
a12
a013
a14=
=
b1
a123
=
a24a/a
24 23
=
=
b2b/a2 23
a033
a34
a32
=
b3
¿Cuál será el siguiente coeficiente de b 1?
¿Y de a 32? ¿Y de aij para i ≠2?
14
x1
x2
x3
x4
1
0
0
-1
=
24
0
1
0
1
=
-2
1
0
0
1
0
=
-1
3
La variable sobrante x 4 se denomina no básica.
Si definimos x 4 = 2, ¿qué solución obtenemos?
15
Otra forma canónica de Jordan
para el mismo sistema de ecuaciones
x1
x3
Existe una solución fácil de calcular
para cada clase de variables no básicas
Hay m columnas que se han transformado en
vectores unitarios, uno por cada fila. Las variables
de estas columnas se denominan “básicas.”
La solución “básica” es x 1 = 2, x2 = 1, x3 = -1 x4 = 0
x2
a31
13
x1
x1
a21a/a
a/a
21 23 a22
22 23
b3
a11 =a11 –a13(a21/a23)
Si definimos x4 = ∆, ¿qué solución obtenemos?
16
Aplicaciones prácticas
z
Modelo financiero
z
Horarios de empleados de Correos
¿Cuáles son las variables "básicas?
¿Cuál es la solución básica?
17
18
Rendimientos de las inversiones
(en dólares, sin incluir descuentos)
Problema financiero
z
z
Sara tiene que invertir 1,1 millones de dólares en
distintos proyectos de su empresa.
Su objetivo: maximizar la cantidad de dinero
que se hallará disponible a comienzos de 2005.
– (Los rendimientos de la inversión, en la siguiente diapositiva).
z
z
Máximo de 500.000$ en cada inversión.
Puede invertir en certificados de depósito (CD) al 5% anual.
A
B
C
D
E
Enero
2002
-1
-
-1
-1
-
Enero
2003
Enero
2004
0,4
-1
1,2
-
-
0,8
0,4
-
-
-1
-
0,8
-
1,5
1,2
Enero
2005
19
Formulación del problema como un PL
20
Formulación del modelo
z Halle junto a su compañero el modo de formular el modelo
z
z
Amortización de A: por cada dólar invertido en
enero de 2002, Sara recibe 40 centavos en
enero de 2003 y 80 centavos en enero de 2004.
FORMULACIÓN.
z Paso 2. Formulación de la función objetivo
– comience por expresar la función objetivo con
palabras; p. ej: "vamos a minimizar costes" o
– PASO 1. Elección de las variables de decisión
– x A indica la cantidad (en millones de dólares)
que se ha invertido en A.
Definir xB, xC, xD, y xE del mismo modo.
– x 2 indica la cantidad destinada a certificados de depósito
durante el año 2000 (Definir x3 y x 4 del mismo modo).
"vamos a maximizar utilidades"
zP aso 3. Formulación de las restricciones
– Comience por expresar las restricciones con palabras
Solución Excel
21
22
Dudas habituales: ¿importan las unidades?
¿Qué criterio se sigue a la hora de elegirlas?
Generalización del modelo
z Las unidades utilizadas no importan mucho,
z
siempre que se empleen correctamente.
No habría inconveniente en expresar xA
en millones de dólares y xB en dólares.
z
Supongamos que se producen n inversiones
a lo largo de m periodos de tiempo.
El rendimiento de cada dólar j en el periodo i es p ij.
Si el rendimiento j comienza en el periodo i, p ij = -1,
lo que indica que se ha invertido 1 dólar en ese periodo.
z No obstante, resulta más natural elegir unas
unidades en vez de otras, además de ser más
fácil su uso y su expresión.
z
z
z
23
Todas las cantidades se reinvierten.
Maximizar el rendimiento total en el periodo m.
Halle, junto con su compañero, el modo
de formular la generalización.
24
Horarios de empleados de Correos
Mejoras del modelo
z
z
Concentradores financieros: ¿le parecen
cuestionables los presupuestos que hemos
planteado? ¿Sería posible trabajar con
un modelo más realista?
Cada empleado trabaja dos días seguidos y
descansa los dos siguientes todas las semanas.
Día
Demanda
z
Lun
Mar
Mier
Jue
Vie
Sáb
Dom
17
13
15
19
14
16
11
Minimizar el número de empleados (por el
momento, se podrán incluir números
fraccionarios de empleados para cada día).
25
26
Sobre la selección de variables de decisión
Formulación como un PL
z
Selección de las variables de decisión
z
– Llamemos x 1 al número de empleados que
trabajan desde el domingo hasta el jueves
– x 2 será el número de empleados
que comienzan a trabajar el lunes…
– Y x 3, x4, …, x7 se definen del mismo modo.
z
z
z
Halle junto con su compañero el modo
de formular este programa lineal.
¿Sería posible que y j fuera el número
de empleados que trabajan el día j?
No es difícil formular la restricción de que el nº de
empleados trabajando el día j sea, como mínimo, d j
¿Cómo formularía la restricción de que cada
empleado trabaje cinco días y libre los dos siguientes?
Conclusión: en ocasiones las variables de decisión
se eligen para poder incluir las restricciones del
problema. (Más información: tareas personales 1).
27
28
Distintas mejoras del modelo
Otra mejora
z Supongamos que hay un diferencial en los salarios, y que el
coste de los empleados que empiezan a trabajar el día j es c j
por cada empleado.
z Supongamos también que se pueden contratar empleados a
tiempo parcial (por un día cada vez), y que el coste de un
empleado a tiempo parcial el día j es PT j.
29
z
z
Supongamos que el número necesario de empleados para
el día j es d j. Llamemos yj al número de empleados
que trabajan ese día.
¿Cuál será el horario de coste mínimo, cuando el
“coste” de que haya demasiados empleados el día j es
f j(yj – dj), que es una función no lineal?
z
NOTA: este supuesto nos conduce a un programa
no lineal en vez de a uno lineal.
30
Otras mejoras más
z
z
Resumen
¿Se le ocurren otras mejoras
que se puedan aplicar a la planificación
de la fuerza laboral?
En caso afirmativo, trate de
incorporarlas al modelo
zResolución de ecuaciones por el método Gauss-Jordan
y otros fundamentos de álgebra lineal
z Ejercicio sobre financiación
z Ejercicio sobre planificación de fuerza de trabajo
z Nota: la creación de modelos es en realidad una forma de
expresión artística, ya que exige hallar la manera correcta de
simplificar la realidad ante una situación determinada.
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32