Mathcad - tutorial M12

TUTORIAL DE MATHCAD
Este tutorial esta hecho para Mathcad 12 profesional.
Introducción: Ventajas del Mathcad
Mathcad es una herramienta muy poderosa para trabajar con ecuaciones, números, textos y gráficas al
mismo tiempo (word, excel y mathematica en el mismo software). Mathcad realiza los cálculos de la misma
forma que tu lo haces, eso significa que se ve y escribe tal como lo harias en una hoja de papel y un lápiz.
La interfase en la pantalla es una hoja blanca en la cual puedes colocar ecuaciones, gráficas, datos,
funciones o anotaciones de texto en cualquier lugar de la hoja, Mathcad te permite usar el lenguaje
matemático sin problema.
En cualquier lenguaje de programación se veria así:
x = ( − B + SQRT ( B **2 − 4 * A * C )) /(2 * A)
En una hoja de cálculo, las ecuaciones colocadas en las celdas se verian algo como esto:
= ( − B1 + SQRT ( B1* B1 − 4 * A1* C1)) /(2 * A1)
En Mathcad, la misma ecuación se ve como la observas en un texto o libro de referencia.
x :=
−b +
2
b −
4 ⋅a⋅c
2 ⋅a
La única diferencia es que en Mathcad las ecuaciones y gráficas están "vivas". Si cambias cualquier dato,
variable, ecuación o gráfica, Mathcad lo recalcula inmediatamente y lo vuelve a dibujar, esto lo podrás observar
más adelante. En este momento es importante aclarar que Mathcad resuelve las ecuaciones de arriba hacia
abajo y de izquierda a derecha, por lo que es necesario colocar las ecuaciones respetando lo que resuelve
primero. Con Mathcad puedes resolver desde problemas muy simples hasta problemas muy complejos ya sea
en forma numérica o simbólica y te permite visualizar las ecuaciones o gráficas en dos y tres dimensiones.
Los libros electrónicos de Mathcad te permiten el acceso a un amplio material de conceptos matemáticos y
material de referencia que están "vivos" y listos para ser copiados y pegados para ser usados en sus
documentos. Lo más importante es que Mathcad te proporciona todas las herramientas necesarias para hacer
tu trabajo de principio a fin, sin necesidad de usar paquetes diferentes.
Mathcad te permite resolver problemas, formular ideas, analizar datos, modelos y probar escenarios para
seleccionar la mejor solución y presentar, documentar y comunicar tus resultados. Usando la red también
puedes compartir tus documentos de Mathcad con colegas o cualquier persona, esto significa que el trabajo
colaborativo es fácil de realizar en cualquier momento y enriquecerlo con el lenguaje matemático.
El objetivo de este tutorial es de autoestudio y la recomedación es empezar a leerlo y seguir las lecciones y
ejercicios resueltos en el manual. Es importante mencionar que esta hecho para la versión 12 por lo que si usa
alguna versión anterior, probablemente no funcione igual.
Miguel Angel Ríos Sánchez
1
31/05/2005
Generalidades en Mathcad
En Mathcad puedes .......
Lección 1 Barra de herramientas de Mathcad y paletas del menú .
Propiedades de la ventana de MATHCAD
Antes de que aprendas acerca de las propiedades de Mathcad. Tómate un momento para observar los
menús de la ventana de Mathcad.
Menú principal
Aquí encontrarás los comandos gráficos y matemáticos, así como las funciones simbólicas que te sirven para
editar y administrar tus hojas de Mathcad.
Abajo del menú view puedes observar y seleccionar los siguientes comandos, los cuales te recomiendo que
actives para que se muestre la tableta de cada uno de ellos. En caso de que no aparezcan los puedes
activar seleccionando Math en el menú de View
Lo que debe aparecer, después de hacer lo que te acabo de decir
Calculadora
Gráficas
Matrices
Evaluación
Cálculos
Boleano
Programación
Alfabeto Griego
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Simbólico
Si colocas el cursor sobre cada ícono, podrás ver el nombre de cada uno de ellos, observa que cada ícono
tiene un conjunto de herramientas que puedes usar para desarrollar tu hoja de trabajo.
En la siguiente figura se muestra el menú el cual es muy similar al de word con el cual podemos abrir una
hoja en blanco, abrir un archivo existente, mandar a grabar o a imprimir, revisar la ortografía, herramientas para
cortar, copiar o pegar, así como regresar (undo), alinear horizontalmente o verticalmente las regiones ya
elaboradas, herramientas para insertar funciones, unidades, hiperlinks, objetos o tablas así como para
consultar el help
También existe otro menú el cual describiré a continuación, que sirve para definir el tipo de texto a insertar así
como el tipo de letra y su tamaño, también se puede cambiar el tipo de letra (bold, italic y underline) y la
indentación del párrafo, bullets, numerado, superscript y subscript.
El menú de formato sirve para definir las características principales del tipo formato para los textos, así como el
tipo y tamaño de letra a usar, así como la indentación del texto.
El último menú es para llamar los recursos disponibles con que cuenta el software (manuales, tutoriales,
guías rápidas, sitio del software y tablas de referencias).
Lección 2: Trabajando con regiones en Mathcad
Cada ecuación, texto o gráfica en una hoja de Mathcad esta definida por una región, la cual podemos editar
simplemente seleccionándola. La región seleccionada se muestra en forma de un rectángulo con líneas
delgadas alrededor de él. Si mueves el cursor sobre las líneas, el cursor se cambiará a una pequeña mano
que sirve para mover esa región al lugar que deseas. Una región de texto es diferente a una región
matemática ya que se ven diferentes. La de texto muestra pequeños cuadros en los extremos que sirven para
agrandar o acortar la región y en la región matemática o ecuaciones aparece una línea azul la cual podemos
usar para editar la expresión que se encuentra ahí.
Ejemplo 1
Observa una región de texto
Región matemática o de ecuaciones
región de texto
a :=
8
Por default cuando colocas el cursor sobre algún lugar de la hoja espera que empieces a definir una región
matemática, pero si oprimes la barra espaciadora después de escribir la primera letra, entonces se cambia a
región de texto (el cual puedes invocar con la doble comilla "). de cualquier manera en el menú de Insert
puedes seleccionar el tipo de región que quieras definir.
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Moviendo regiones
Puedes seleccionar múltiples regiones seleccionado con el mouse una región rectangular y aquellas que
queden seleccionadas aparecerán con líneas punteadas, las cuales puedes mover todas al mismo tiempo,
para deseleccionarla simplemente coloca el mouse fuera de ellas y apriete el botón izquierdo y desaparecerán
las líneas punteadas.
Si por error seleccionaste alguna región de más, la puedes deseleccionar simplemente usa la tecla de shift y
con el mouse marque la región que no deseas.
Otra manera de ver las regiones también se puede activar, seleccionando Region en el menú de View y
aparecen todas las regiones que tenemos en el documento activo.
Nota: Es importante que recuerdes que el documento se evalúa de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo por lo que recuerda en colocar las regiones matemáticas en orden para que el software pueda evaluar
lo que deseas realizar. Las regiones de texto no importa el orden en que se coloquen.
Ejemplo 2
X :=
20
2
X =
Y :=
400
3
4
6
Y=
1.817
q :=
q :=
5
Observa que en dos de los ejemplos anteriores estamos respetando este concepto para poder evaluar lo que
deseo y en el último ejemplo no aparece el resultado deseado.
Para borrar alguna región, seleccionala y con la tecla de suprimir se borra, también lo puedes hacer con el
ícono de cut (tijeras en el menú superior o en el menú de Edit), si la región es matemática, arrastre el
mouse dentro de ella para que toda la región cambie de color aquellos elementos que deseas borrar, se
pueden seleccionar todos. Recuerde que si borras algo por accidente puedes restaurarlo seleccionando
Undo en el menú de Edit.
Nota: Puedes cambiar el número de veces en que el undo puede funcionar hacia atras, eso se cambia en
preferences del menú tools
Lección 3: Editando expresiones matemáticas y de texto.
Escribiendo expresiones matemáticas
Coloca el cursor en el espacio en blanco y escribe 1+ y observa la pantalla
1+
Después de que tecleas el signo mas (+) aparece una pequeña marca negra donde podrás continuar
escribiendo la expresión que deseas.
1+2=3
Después de teclear el signo de igual (recuerda que el signo de igual esta en el menú de la calculadora)
Las operaciones básicas las puedes encontrar en la paleta de la calculadora
Miguel Angel Ríos Sánchez
4
31/05/2005
Escribiendo texto
Para definir una región de texto, selecciona el área donde quieras hacerlo, posicionando el cursor rojo.
Escribe una doble comilla y eso te permite seleccionar la región de texto, también puedes hacer lo mismo
seleccionando Region text en el menú de Insert. Otra forma de hacer lo mismo es si empiezas a escribir lo
que deseas y cuando se oprime la barra espaciadora se cambia a región de texto. Nota que es región de
texto porque aparecen los cuadros negros en los extremos de la región límite. Una vez que termines de
escribir lo que quieres, coloca el cursor fuera de la región y oprime el boton izquierdo del mouse. Si deseas
editar cualquier región simplemente seleccionala y modifica aquello que deseas cambiar
Lección 4 Trabajando con estilos de Mathcad y templates
Introducción
Existen actualmente 10 formatos diferentes los cuales puedes usar cuando se inicia un nuevo documento,
también puedes crear nuevos templates, tal que ellos esten disponibles para otros documentos.
Usando templates
Para usar un template, selecciona File/New, entonces selecciona el template deseado de la lista mostrada,
o busca tu propio directorio de templates que previamente hayas realizado para usarlo o revisarlo.
Usando estilos
Los estilos en cada template son visibles en el menú de Format Bar. Si la barra de formato no está visible,
selecciona View Toolbars Formatting. Salva los estilos de tu trabajo, porque puedes aplicarlos como
encabezados
En cada región de texto puedes redefinir los fonts, tamaños e indentación para cada nuevo encabezado. Para
crear o modificar un estilo, selecciona Format Style. Para guardar tus estilos y posteriormente usarlos en un
nuevo archivo, primero debes guardar el archivo template.
Creando Templates
Para crear un nuevo template o revisarlo es muy fácil. Debes:
• Crear los estilos del texto y el formato de los números
• Seleccionar los fonts y tamaños para las regiones matemáticas
• Agregar cualquier mapa de bits que quieras en cada página tales como líneas en la parte superior o
inferior del archivo
• Colocar el número de página, nombres del archivo y fechas actuales en los encabezados o pies de
página
• Definir los formatos para los números.
Entonces guarda el archivo bajo Save as y selecciona Mathcad Template. Asegurate que tienes la
extensión final .mct. Las características que previamente definiste y guardaste estarán disponibles para el
siguiente archivo que quieras, ahorrandote tiempo de retrabajo para cada archivo. Esto hace tus archivos
más consistentes visualmente.
Lección 5: Definiendo variables
Con frecuencia quieres definir un número que deseas usar en cálculos subsecuentes. Por ejemplo coloca el
cursor en la posición donde deseas escribir la expresión mostrada.
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Ejemplo 3
age :=
23
Nota que cuando escribes los dos puntos, es similar a presionar el operador que se encuentra en la paleta de
la calculadora, Mathcad despliega :=. El operador (dos puntos igual) en Mathcad se usa para definiciones o
asignaciones. Para ver cual es el valor de age, solamente escribe la variable y finalmente el signo de igual.
age =
23
Si quieres asignar un valor diferente a age, solamente selecciona la región donde asignaste el valor de 23 a
la derecha de la definición, con la tecla de backspace borra el valor de 23 y coloca el nuevo valor. Observa
que tan pronto como presionas el enter, la variable age cambia a su nuevo valor definido, debido a la
habilidad de variar el valor de un nombre, esta definición se le llama variable en Mathcad. Ahora puedes usar
esta variable en una ecuación.
age ⋅ 10 =
230
O usar la variable para definir otra variable
old := age ⋅ 10
old =
230
Trata de definir algunas variables de tu interés. Puedes llamarles como gustes y úsalas en tu hoja de
trabajo. Recuerda que asignas el operador [:] para definiciones y teclea [=] para calcular respuestas
1. Realizar expresiones matemáticas y algebra con operadores matemáticos
Las paletas de los operadores están accesibles a traves del menú o directamente en la parte superior de la
ventana. Primero selecciona en la hoja de trabajo el lugar donde deseas colocar el cursor (cruz roja) y
posteriormente selecciona de la paleta o inserte el operador matemático que deseas usar en tu hoja. Para
familiarizarse con el menú ve al menú de Insert y observa la lista de funciones matemáticas ya
preestablecidas en el software (370 funciones) y listas para usarse y colocarse en el lugar que decidas.
cursor
insertar funciones
Ahora veamos algunos ejemplos de cálculos que podemos realizar. Dichos cálculos los realiza el software
internamente con 15 decimales, pero para mostrar pocos decimales seleccione Result en el menú Format y
especifíca el número de decimales que quieres que te muestre el software, inclusive puedes seleccionar la
forma en que te presenta los resultados (general, decimal, notación científica, ingenieril o fraccionaria).
De la paleta de la calculadora puedes accesar todas las operaciones básicas +,-,* y / además de las
funciones trigonométricas, raíz cuadrada, logaritmo de base 10, logaritmo natural, así como los números
naturales, incluyendo el signo de igual (observa que en esta paleta hay dos signos de igualdad)
Con la paleta de la calculadora realiza los siguientes ejemplos, para obtener el resultado de la operación hecha
selecciona el signo de = (igual) en esa misma paleta, o de la barra de herramientas.
Miguel Angel Ríos Sánchez
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2.457 ⋅ 10 ⋅ sin ( 1.2)
8
Ejemplo 4
3
=
281.349
=
3.829 × 10
23 ⋅ 123 + 4
Ejemplo 5
1.3
log ( 1567.3) ⋅
e
⎛ π⎞
⎝ 2⎠
16
cos ⎜ 5 ⋅
Ejemplo 6
(2.45 + 4i) + e2−3i = −4.865 + 2.957i
(30 ⋅ deg)
cos ( 30 ⋅ deg)
Ejemplo 7
sin
⌠
⎮
⎮
⌡
Ejemplo 8
=
0.577
3⋅ e
ln ( x)
x
dx =
1.702
e
Ejemplo 9
5 ⋅ e0.5 = 8.244
( 2.5) = −8.305
ln e
Ejemplo 10
log
Ejemplo 11
(0.5)
5
6.4 csc ⎛⎜ 29 ⋅ deg⎞ − sec ( 81 ⋅ deg)
⎝ 60
⎠
= 0.72
2 ⋅ cot ( 12 ⋅ deg)
Ejemplo 12
⌠
⎮
⌡
5
x⋅
(5x − x2) dx
0
⌠
⎮
⌡
5
(5x − x2) dx
=
2.5
0
π
Ejemplo 13
⌠4
⎮
⎮
⎮
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
1
Miguel Angel Ríos Sánchez
π
⌠2
θ
5⋅ ⎛⎜ ⎞
⎮
⎛
2
⋅π ⋅θ ⎞
⎛
3
⋅π ⋅φ ⎞
φ
⎮
cos ⎜
⋅ sin ⎜
⋅e ⎝ ⎠
⎮
5
10
⎝
⎠
⎝
⎠
dθ dφ =
⎮
⎛
1
⎞
⎮
2
3
⋅ cos ( θ ) + sin ( φ)
⎮ ln ⎜
⎜ θ 2 + φ2
⎮
⎝
⎠
⌡
105.322
1
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Te recomiendo que cambies la forma de mostrar los resultados numéricos para que observes las diferencias
entre cada una de ellas. Ahora lo puedes hacer y observa como los resultados anteriormente mostrados se
cambian al formato solicitado, y esto lo puedes cambiar en cualquier momento.
Nota: Siempre que se manejen ángulos, estos se pueden expresar en radianes (rad) o grados (deg), pero es
importante tener en cuenta que Mathcad siempre asume que el valor dado esta en radianes a menos que se
le indique lo contrario, por lo que es muy importante recordarlo siempre. He aquí algunos ejemplos.
Ejemplo 14
sin
(45 ⋅ deg) = 0.707
⎛ π ⎞ = 0.707
⎝ 4⎠
sin ⎜
sin
sin
(45) = 0.851
(45 ⋅ rad) = 0.851
Lección 6: Utilizando unidades
Una de las características interesantes de Mathcad es la habilidad en el manejo de unidades durante los
cálculos y para convertir las cantidades automáticamente. Por ejemplo, puedes definir variables en términos de
unidades predefinidas (kilometros) simplemente multiplicando el número deseado por km. En este ejemplo
definiremos el radio de la tierra y su superficie como una función.
r :=
6370 ⋅ km
A ( r) :=
4 ⋅ π ⋅ r2
(El simbolo π está también disponible en la paleta de la calculadora y en la paleta del alfabeto Griego)
entonces puedes evaluar estas expresiones directamente o hacer más cálculos que los involucre.
A ( r) =
14
5.099 × 10
m
2
Observa que el resultado muestra automáticamente las unidades en términos de las unidades base (las
cuales se pueden definir desde el inicio o cambiarlas en cualquier momento) en este caso SI (Sistema
Internacional).
Para ver la superficie de la tierra en hectáreas, selecciona el resultado y aparece en el extremo derecho un
cuadrito negro, el cual sirve para que escribas las unidades en que deseas ver ese resultado.
El resultado en hectáreas es:
A ( r) =
10
5.099 × 10 hectare
Una lista de todas unidades previamente predefinidas se puede observar, seleccionando Unit del menú
Insert.
w :=
100 ⋅ joule
w=
100 N ⋅ m
µm =
−6
1 × 10
smoot :=
5.23 ⋅ ft
Miguel Angel Ríos Sánchez
definir w
m
definir smoot
8
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6
smoot =
µm =
1.594 × 10 µm
−7
6.273 × 10
smoot
Las propiedades de las unidades son muy convenientes porque nos permite darnos cuenta si hemos cometido
algún error en los cálculos. Por ejemplo, la fuerza calculada abajo debe estar en newtons (o alguna unidad
equivalente de fuerza).
a :=
10 ⋅
m
sec
mass :=
2 ⋅ kg
F := mass ⋅ a
F=
20 s newton
Observa que aparece un factor extraño de segundos, por lo que algo esta mal. Observa las unidades de la
aceleración y te podrás dar cuenta que la aceleración debe tener unidades de m/s 2 lo cual no es así en la
definición previa.
Mathcad soporta los siguientes sistemas de unidades:
SI (metro, kilogramo, segundo, etc.)
MKS (metro, kilogramo, segundo)
CGS (centímetro, gramo, segundo)
US (pies, libras, segundo)
NONE (desactiva todas la unidades, pero si el usuario las define aún trabajan)
Las siguientes abreviaturas son usadas más comunmente
masa (kg, gm, lb)
tiempo (sec, hr)
carga (coul)
fuerza (N, dyne, lbf)
potencia (watt, kW, hp)
longitud (m, cm, ft)
corriente (amp)
temperatura (K, R) presión (Pa, atm, torr, in_Hg, psi)
Manejo de unidades
En Mathcad puedes utilizar unidades y el software desplegará los resultados mostrando las unidades
seleccionadas por el usuario.
Ahora selecciona worksheet options y unit system en el menú de tools para que escogas el sistema de
unidades que quieres utilizar en el documento. (SI, MKS, CGS, U.S, None).
Ejemplo 15
2540 ⋅ km
m
= 352.778
s
2 ⋅ hr
Para insertar las unidades, si no deseas hacerlo en forma manual, selecciona Unit en el menú de Insert y
observa todas las unidades previamente definidas en el software.
Si le preguntas el valor de la gravedad, el software ya lo tiene previamente definido (escribe la letra g
minúscula y después selecciona el signo de = y obtendrás el valor de la gravedad).
Miguel Angel Ríos Sánchez
9
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g=
m
9.807
s
c=
2
8 m
2.998 × 10
s
velocidad de la luz
gravedad
Observa que algunas letras o nombres de algunas variables ya están previamente definidas en el software por
lo que si usas los nombres de esas variables el software te lo indicará, colocando una pequeña marca en la
parte inferior de la variable para indicarte que estas usando una variable ya previamente definida, para que
decidas cambiarla o redefinirla otra vez. (hay que tener cuidado ya que si vuelves a usar esa misma variable o
nombre, ya cambió su valor a la nueva definición y debes de recordarlo).
Ejemplo 16
g :=
23456 ⋅ 108 ⋅ 586
g=
6.132 × 10
Ojo: observa la marca debajo de la letra g
7
Lo que acabo de realizar es cambiar el valor de g que estaba previamente definido y si ahora le preguntas de
nueva cuenta cuando vale la gravedad, te responderá el último valor previamente definido por ti, como se
muestra en el ejemplo anterior, también observa la marca debajo de la letra g donde te indica que esa variable
ya esta previamente definida. (mi recomendación es que uses otra letra que no sea reservada).
g=
7
6.132 × 10
Lección 7: Definiendo funciones
La sintaxis usada para definir funciones en Mathcad es la misma que puedes observar en el tutorial. Por
ejemplo, coloca el cursor en una posición donde deseas escribir.
Ejemplo 17
2
f ( x) := x
Nota que el uso del operador de asignación de funciones en Mathcad se usa para definir variables en Mathcad.
Una vez que defines la función f(x), puedes usarla de muchas maneras.
Escribe un valor numérico en lugar del argumento de f(x)
f
(5) = 25
Define una variable y evalúa la función con ese argumento
x :=
f ( x) =
7
49
Miguel Angel Ríos Sánchez
10
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Define un rango variable y sustituye este valor como argumento de la función (en la lección 10
profundarizaremos en este tema de rango variables)
a :=
f ( a) =
0 .. 3
Este operador se encuentra en el menú de matrix
0
1
4
9
Ahora define una nueva función en términos de f(x)
g ( y) := f ( y) +
g ( x) =
6
55
g
(7) = 55
Recuerda que la variable x en este momento tiene un valor de 7
x=
f
(7) = 49
7
Puedes definir una expresión construyéndola del teclado o de la paleta de operadores matemáticos, como se
describe arriba y también puedes incluir cualquier función ya previamente definida. Para ver la lista de
funciones con una pequeña descripción, selecciona Function del menú Insert o selecciona
del botón de la barra de herramientas. La caja de diálogos función insert te permite insertar cualquier función
que se encuentra previamente predefinida en tu hoja de trabajo
También puedes escribir el nombre de cualquier función preconstruida directamente del teclado. Aquí hay
algunos ejemplos que usan algunas de las funciones predefinidas.
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Ejemplo 18
Trig and Logs
ln
(26) = 3.258
csc
Ejemplo 19
Matrix functions
(45 ⋅ deg) = 1.414
⎛1 0 0 ⎞
⎜
identity ( 3) = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜
⎝0 0 1 ⎠
(
cols identity
( 6) ) = 6
2. Definiendo funciones y variables
El símbolo de (dos puntos igual) := es un símbolo de asignación y se puede colocar también usando los dos
puntos en el teclado y sirve para asignar algún valor a la variable que deseas definir:
Ejemplo 20
a :=
7
b :=
a+
3 ⋅ a + b2 ⋅ 4 ⋅ c = 314.217
8
c :=
Esta variable la usa Mathcad12 para definir la
velocidad de la luz.
5
También puedes definir funciones las cuales son evaluadas para cualquier valor de la variable independiente.
Ejemplo 21
cos ( x)
f ( x) :=
Observa que a pesar de que la variable x no está definida, no marca
ningun error. La variable independiente puede ser cualquier variable.
c
x
f
(4) = −0.523
f
4
Ejemplo 22
g ( t) :=
Ejemplo 23
t
a⋅e
ln ( t )
(
h ( x) := x −
Ejemplo 24
(3.12) = −0.624
⋅ cos
4)
( 6t)
(
⎛
⎝
(3.4) = −7.746
h
(3.2) = 0.64
g
(3 + a) = 14.824
π⎞
4⎠
6.914
g
2
g ( x) := a − b ⋅ sin ⎜ x +
)
f −34.6 =
f
(0.0001) = 2 × 10− 5
g ( a) =
h
898.84
( 4) = 0
g
(1 + b) = 9.823
Inclusive puedes cambiar el valor de las constantes previamente definidas e inmediatamente se vuelve a
recalcular la expresión. En las constantes previamente definidas, a, b, c. Cambia cualquiera de los valores ya
asignados y observa como Mathcad recalcula todas las expresiones que usan esas variables.
Selecciona la variable que deseas editar y observa que aparece un cursor color azul, el cual sirve para
cambiar la variable que desees. Lo que aparece dentro del pequeño cursor es lo que se selecciona y puedes
mover lo que seleccionaste usando las flechas hacia adelante y hacia atras y con el teclado para cambiar el
Miguel Angel Ríos Sánchez
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dato que quieras. Ahora edita varias variables para entender como funciona.
Lección 8: Construyendo expresiones matemáticas
Escribe lo siguiente en un espacio abajo y observa que sucede cuando presionas la barra espaciadora
(
(
)
6) ⋅ x3 − 1
f ( x) := x +
La primera vez que presionaste la barra espaciadora
La línea azul de edición agrupa el término entre parentesis de tal forma que toda la expresión queda
multiplicada por la expresión que sigue. Si no presionas la barra espaciadora, se vera lo siguiente.
La cual es una expresión completamente diferente. Cuando presionas la barra espaciadora la segunda vez, x 3
fue seleccionada por las líneas de edición por lo tanto cuando escribes el -1 se resta a toda la expresión
entera. Compara que sucede cuando tecleas lo siguiente f(x):x+6*(x 3-1) probablemente obtengas lo siguiente.
f ( x) := x +
(
)
6 ⋅ x3−1
Aquí es importante observar qué sucede cuando presionamos la barra espaciadora, con la cual me permite
editar expresiones matemáticas variadas tales como:
Ejemplo 25
2
x +
3
5
2 3
x +
5
2+
x
3
5
t
1
2
x
3
Lección 9: Editando expresiones
Entendiendo las estructuras de expresiones en Mathcad ayudan a editarlas eficientemente. Observa la
expresión de abajo y realiza lo siguiente con el mouse.
2
f ( x) :=
x +
8
5
3
−x
a) Selecciona el símbolo de la raíz cuadrada. Nota que toda la raíz cuadrada está bajo la selección de la líneas
Miguel Angel Ríos Sánchez
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azules
b) Ahora selecciona a la derecha del 5 bajo el radical y entonces empieza a presionar la barra espaciadora.
Nota como mas y mas de la expresión es seleccionada por las líneas azules.
c) Selecciona inmediatamente a la izquierda del 3 en el exponente de x 3 , entonces presiona la barra
espaciadora. Nota como mas y mas elementos se seleccionan con las líneas azules.
Las líneas de edición azules definen subexpresiones que operaran por los siguientes operadores o
expresiones tecleadas. La linea vertical azul define en donde se agregaran los operadores y expresiones para
cambiar la posición de la línea utilice la tecla de insert.
Cuando seleccionas una parte de la expresión matemática, la siguiente expresión tecleada reemplaza lo que
seleccionaste. Esto es probablemente como funciona la mayoría de los procesadores de palabra. Inténtalo
ahora.
2
f ( x) :=
x +
6
8
3
−x
a) Si quieres reemplazar el 5 con un 6, haga doble click sobre el cinco y teclee el 6.
b) Si deseas reemplazar la división por una multiplicación, selecciona a la izquierda del 8 en el denominador,
presiona la barra espaciadora y teclea el signo de multiplicación.
c) Si quieres sacar la raíz cuadrada del lado derecho de la expresión, selecciona el lado izquierdo del radical
y presiona la barra espaciadora hasta que toda la expresión quede contenida en la líneas azules y entonces
teclea un backlash.
d) Si deseas restar
3
3
1
⋅ x en lugar de x en el lado derecho, selecciona el x y entonces teclea 1/2[spacebar]*x
2
Si te equivocas y cometes algún error, solamente selecciona la opción Undo en el menú de Edit para
regresar a la expresión original o si no has grabado recientemente el documento, cierrelo sin guardarlo y
vuelve abrirlo.
Nota: Se puede deshacer hasta 100 veces por documento, esto se puede cambiar en el menú de
Preferences en Tools, el cual puedes cambiar cuando lo desees, aumentándolo o disminuyéndolo.
Lección 10: Definiendo rangos variables
Asignar un rango de valores a una variable es algo muy fácil en Mathcad. Por ejemplo, para crear que la
variable x cambie de 0 a 10, solamente coloca el cursor donde deseas que aparezca la expresión y escribe
x:0;10
x :=
0 .. 10
Nota que cuando tecleas el punto y coma despliega los dos puntos (..) seguido por un cuadro negro donde
debes colocar el valor final. Así es cómo en Mathcad se define un operador de rango variable. Otra manera de
hacer lo mismo es teclear directamente el botón de rango variable que se encuentra en la paleta de matrices.
Puedes también usar un rango variable en cualquier otra variable. Observa que Mathcad crea ahora una tabla
Miguel Angel Ríos Sánchez
14
31/05/2005
de salida (una serie vertical de cuadros que contienen números).
x :=
0 .. 5
(
f ( x) := −2 ⋅ x −
5) +
2
5
⋅x − 2
2
Teclee:
x=
f ( x) =
0
1
2
3
4
5
-52
-31.5
-15
-2.5
6
10.5
Si quieres cambiar el rango a que los incrementos sean diferentes de uno (que es el valor predeterminado),
teclea el siguiente valor deseado después de definir el primer valor inicial. Por ejemplo para crear una rango
variable que vaya de 1 a 10 con incrementos de 0.1 escribe.
x:1,1.1..10
Observa que se escribió una coma antes del segundo valor del rango y después el punto y coma. Ahora se
muestran varios ejemplos.
x :=
1 , 1.1 .. 1.8
data := −10 , −8 .. 0
n :=
202 , 192 .. 102
He aquí las variables definidas anteriormente.
x=
data =
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Miguel Angel Ríos Sánchez
n=
-10
-8
-6
-4
-2
0
202
192
182
172
162
152
142
132
122
112
102
15
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3. Evaluar funciones y expresiones en un rango
..
Este
operador se encuentra en la paleta de matrices m..n y significa que una variable puedes definirla
desde un valor inicial hasta un valor final, el operador también se puede obtener del teclado
escribiendo (punto y coma); si le agregas enmedio una coma (,) que significa que la variable
cambiará al segundo valor especificado y terminará hasta alcanzar el extremo marcado.
z := −3 .. 5
z =
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
El valor inicial es de -5 y varia de uno en uno hasta alcanzar el valor de 5.
Si ahora quieres que la variable cambie de 0.5 en 0.5 inserta una coma después del valor
inicial para indicarle cuál es el siguiente valor deseado.
Ejemplo 26
x := −2 , −1.5 .. 2
x=
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Observa que ahora los cambios se dan de 0.5 en 0.5 hasta alcanzar el valor extremo.
Lección 11: Construyendo gráficas
Con Mathcad es muy fácil construir una grafica x-y solamente, escribe una expresión que dependa de una
variable, por ejemplo sin(z) y entonces selecciona el botón de la gráfica x-y de la paleta que se encuentra en
el menú de gráficas o selecciona gráfica x-y del menú Insert/Graph.
1
0.5
cos( z)
5
2.5
0
0.5
2.5
5
1
z
Inténtalo.
La expresión que quieras graficar no tiene que estar en función de x. Teclea lo siguiente y*2[barra
espaciadora]-3*y, seguido por @ (es la forma corta de solicitar una gráfica x-y). Mathcad graficará sobre un
rango razonable de la variable independiente de la expresión que acabas de escribir. Inténta graficar de esta
manera en los siguientes ejemplos.
Miguel Angel Ríos Sánchez
16
31/05/2005
200
100
2
y − 3⋅ y
0
100
10
0
10
y
a) z*cos(z)
b)
1
1 + x2
Graficando funciones usando rangos variables
Cuando se graficaron las expresiones anteriores, Mathcad seleccionó un rango por default de la variable
independiente. Tú puedes controlar el rango que deseas graficar. Para graficar una simple función usando
rango variable haga lo siguiente:
•
•
•
Define una función de una variable que deseas graficar. Por ejemplo, grafica la siguiente función
f(x):-x^2[barra espaciadora]+8*x-27
Define una variable independiente para el eje horizontal. Por ejemplo escribe x:0;10
Crea tu gráfica en el lugar que deseas hacerlo y teclea @ para que aparezca la gráfica x-y y escribe x
en la parte media baja del eje horizontal y teclea f(X) en la parte media del eje vertical después presiona
[enter]
Tu gráfica deberá verse así:
2
f ( x) := −x +
x :=
8 ⋅ x − 27
0 .. 10
0
20
f( x)
40
60
0
5
10
x
Aquellas personas que hayan hecho gráficas notarán que la gráfica luce un poco segmentada. Para suavizarla
cambia la definición de la variable independiente como se muestra a continuación x:0,0.1;10 La pequeña
cantidad incrementada significa que más puntos serán calculados, lo cual hace que la curva sea más suave
porque Mathcad simplemente conecta los puntos calculados.
Para editar la gráfica recientemente hecha, solamente haga doble click sobre la gráfica y aparecerá una caja
Miguel Angel Ríos Sánchez
17
31/05/2005
de diálogo que te permitirá cambiar diferentes opciones como ejes logarítmicos, líneas de la malla, leyendas,
tipos de trazo, marcas, colores, límites de los ejes y más. experimente con una gráfica haciendo doble click
sobre cualquier gráfica (de contorno, de superficie, vectores, polares etc) y muestra la caja de diálogo
correspondiente para darle el formato adecuado.
x :=
0 , 0.1 .. 10
0
20
f( x)
40
60
0
5
10
x
Graficando vectores
Definiendo un vector de datos de gastos realizados. Creamos el vector usando el comando de matrices en el
menú de insert. El vector tiene 8 renglones y 1 columna.
⎛⎜ 2 ⎞
⎜ 3 ⎟
⎟
⎜
⎜ 6 ⎟
⎟
⎜
8 ⎟
⎜
gastos :=
⎜ 11 ⎟
⎟
⎜
⎜ 12.5 ⎟
⎟
⎜
⎜ 14 ⎟
⎜ 17
⎝
⎠
Grafica esos puntos, el eje horizontal debe ser un índice i y la otra variable son los gastos realizados.
i :=
0 .. 7
15
11.25
gastosi 7.5
3.75
0
0
2
4
6
8
i
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Ahora realiza este otro ejemplo.
Grafica dos vectores de igual tamaño uno contra el otro, definimos un segundo vector llamado día.
⎛⎜ 1 ⎞
⎜2 ⎟
⎜ ⎟
⎜3 ⎟
⎜ ⎟
⎜5 ⎟
dia :=
⎜7 ⎟
⎜ ⎟
⎜8 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 10 ⎟
⎜ 12
⎝ ⎠
Ahora es fácil crear la gráfica tecleando @
20
15
gastos10
5
0
3.75
7.5 11.25
15
dia
Aquí los trazos son puntos y se usó el color magenta con O´s. Observa que la malla de líneas verdes se han
apagado en ambos ejes.
Graficando una función de vectores
Se puede graficar una función sobre un dominio que no contiene puntos igualmente espaciados. Por ejemplo
el dominio consiste de un vector de valores. Graficando una función con los elementos de un vector que
requiere una función definida, definiendo un vector el cuál será el dominio para la función y graficarla. Un
ejemplo de esto es:
Define una función de una variable. Tecleando f(x):x^2
2
f ( x) := x
Define un vector de números que sera el dominio para la función. Teclee x: seguido por [ctrl]M, y lléne en la
caja de diálogos el número apropiado de renglones y columnas ( aquí 5 renglones y 1 columna), seguido por
OK. Posteriormente escribe los valores del vector.
⎛⎜ −2.2 ⎞
⎜ 0 ⎟
⎜
⎟
x := ⎜ 3.56 ⎟
⎜
⎟
⎜ 9.9 ⎟
⎜⎝ 13 ⎠
Miguel Angel Ríos Sánchez
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Define un índice variable. Teclee i:0;4
i :=
0 .. 4
Teclea @ y llena los espacios de la variable x y y de la gráfica. El resultado obtenido debe ser similar a esto.
100
75
( )
f xi
50
25
5
1.25 2.5
6.25
10
xi
Aquí la diferencia es que cuando graficamos una función de rango variable, el eje horizontal no tiene que
tener incrementos unitarios (tales como 1,2,3,...,10) sin importar, puede ser cualquier conjunto de números
que quieras graficar.
Graficando dos o más funciones
Graficar múltiples funciones sobre un sólo dominio o en una misma gráfica, ya sea usando su propio sistema
de ejes o empalmándolas en una sola. Por ejemplo suponga que quiere graficar ambas funciones en una sola
gráfica, es fácil solamente escriba la dos funciones separándolas con comas y después teclea @
Escribe 1/t[barra espaciadora],t^2@[enter]
10
5
1
t
10
2
5
t
0
5
10
5
10
t
En este ejemplo ambas expresiones están graficadas sobre el mismo rango de valores, pero se puede utilizar
dos rangos separados o inclusive usar una escala diferente para cada eje y. Como se muestra a continuación.
10
4
5
1
t
2 t2
0
5
10
2
1
0
1
0
2
t
Miguel Angel Ríos Sánchez
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El segundo eje secundario se habilita cuando editamos la primera gráfica y ahí nos permite habilitar el eje y
secundario, ojo no existe un eje x secundario todavía en ésta versión de Mathcad 12.
Ahora veamos el siguiente ejemplo. escribe f(X):sin(x)
f ( x) := sin ( x)
Teclea g(t);t^3
g ( t) := t
3
Escribe x:-10,-9.9:10
x := −10 , −9.9 .. 10
Teclea t:-2,-1.9;2
t := −2 , −1.9 .. 2
Después
•
•
•
•
Teclea @ en algún espacio en blanco
En la parte media del eje horizontal escribe x,t
En la parte media del eje vertical escribe f(x),g(t)
Aprieta [enter]
El resultado debe ser algo como esto.
10
5
f( x)
g( t)
10
5
0
5
10
5
10
x, t
Como se puede apreciar, graficar más de una función es muy simple, solamente separa sus argumentos con
comas (,) La misma sintásis se mantiene para múltiples trazos usando vectores o funciones de vectores.
4. Grafique funciones rápidamente
En cualquier lugar puedes graficar funciones en 2D y 3D y para hacerlo necesitas usar la paleta de gráficas,
la cual te permite dibujar funciones muy fácilmente.
Ejemplo 27
f ( x) :=
g ( x) :=
Miguel Angel Ríos Sánchez
(3 + sin ( x) ) ⋅ cos (x)
⎛ 3
2⎞
2
3⎝ 2 ⋅ cos ( x) ⎠ + sin ( x)
21
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10
5
f( x)
g ( x)
0
5
10
5
0
x
Ejemplo 28
x :=
f ( x) :=
0 , 0.01 .. 4
rango que deseo graficar
x
2
f( x) 1
0
0
2
4
x
Ejemplo 29
x := −5 , −4.99 .. 5
g ( x) :=
x−
3
2 ⋅x + 1
5
g ( x)
0
5
5
0
5
x
Ejemplo 30
Z ( x , y) :=
Miguel Angel Ríos Sánchez
2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2
22
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Z
Ejemplo 31
(2
)2 − 8 ⋅(x2 − y2)
2
Z ( x , y) := x + y
Z
Miguel Angel Ríos Sánchez
23
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Ejemplo 32
⎛0 ⎞
⎜
⎜1 ⎟
⎜ ⎟
⎜2 ⎟
⎜3 ⎟
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
tiempo := ⎜ ⎟
⎜5 ⎟
⎜6 ⎟
⎜ ⎟
⎜7 ⎟
⎜ ⎟
⎜8 ⎟
⎜
⎝9 ⎠
⎛ 298 ⎞
⎜
⎜ 299 ⎟
⎜
⎟
⎜ 301 ⎟
⎜ 304 ⎟
⎜
⎟
⎜ 306 ⎟
temp := ⎜
⎟
⎜ 309 ⎟
⎜ 312 ⎟
⎜
⎟
⎜ 316 ⎟
⎜
⎟
⎜ 319 ⎟
⎜
⎝ 322 ⎠
400
330
320
temp 350
temp 310
temp2
300
300
290
⎛ 305 ⎞
⎜
⎜ 307 ⎟
⎜
⎟
⎜ 311 ⎟
⎜ 316 ⎟
⎜
⎟
⎜ 322 ⎟
temp2 := ⎜
⎟
⎜ 330 ⎟
⎜ 341 ⎟
⎜
⎟
⎜ 354 ⎟
⎜
⎟
⎜ 367 ⎟
⎜
⎝ 382 ⎠
0
5
250
10
0
5
10
tiempo
tiempo
Apretando dos veces el cursor sobre la gráfica, te permite editar los colores y todos los parámetros que
quieras cambiar en tu gráfica, incluyendo la posibilidad de ponerle nombre a la gráfica y a las variables
involucradas, así como agregar otro eje y (Este eje secundario se activa ahí mismo).
5. Observa datos en dos y tres dimensiones
La siguiente gráfica muestra como Mathcad puedes automáticamente interpolar una serie de puntos para crear
una superficie. El mismo arreglo de puntos es desplegada en ambas gráficas. La primera gráfica fue creada
usando Graph/3D Scatter Plot del menú Insert. y la segunda gráfica fue hecha usando Graph/Surface Plot
del menú Insert. También puedes usar la paleta correspondiente a las gráficas.
X, Y, Z
X, Y, Z
Miguel Angel Ríos Sánchez
24
31/05/2005
6. Calcula sumas e integrales
Los operadores de sumatorias e integrales están en la paleta de cálculo. Para utilizar estas expresiones
selecciona el lugar donde desea colocar la expresión y oprime el botón de la paleta y llene los espacios en
blanco.
10
Ejemplo 33
1
∑
n = 0
Ejemplo 34
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
1
⌠
⎮
⌡
3
n!
1
2
=
2.718
dx =
0.785
1+x
0
Ejemplo 35
(3x + 2) dx = 16
1
Ejemplo 36
⌠
⎮
⌡
π
sin ( θ ) dθ =
2
0
Ejemplo 37
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
∞
−t
e
4
dt =
4
0
π
Ejemplo 38
⌠3
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡π
1
2
⋅ cot ( 2 ⋅ θ ) dθ = 0.027
2
6
Ejemplo 39
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
1
3 ⋅ x2 + 16 ⋅ x + 15
( x + 3)
3
dx = −0.154
−2
Lección 12: Definiendo vectores y matrices
Los ejemplos hasta ahora expuestos involucran un sólo número o escalares. Mathcad tiene herramientas muy
poderosas para trabajar con arreglos de números, como los vectores y matrices. Creando un vector o una
matriz en Mathcad, involucra la selección de las dimensiones del arreglo a llenar en los espacios adecuados.
Por ejemplo, para crear un vector v, de 3 renglores y una columna.
Miguel Angel Ríos Sánchez
25
31/05/2005
•
•
Teclea v:
Selecciona insert del menú de matrix (o selecciona el botón de matrices dentro de la paleta de
matrices)
Llena el número de renglones y columnas. Por ejemplo, el vector abajo mostrado tiene 3 renglones y una
columna)
Selecciona insert
Llena en los espacios los valores deseados en cada espacio mostrado del vector. Usa el tabulador para
moverse dentro del vector definido o seleccionalo con el mouse.
•
•
•
⎛ 3.2 ⎞
⎜
v := ⎜ 14.7 ⎟
⎜
⎝ −4 ⎠
Para accesar a un elemento en particular del vector, usa el operador subscript, el cual puede ser creado
tecleando el parentesis rectangular del lado izquierdo, o usando.
En la paleta de matrices. Por default el primer elemento tiene el índice 0.
teclea:
v =
1
v[1=
3.2
El siguiente elemento tiene el índice 1
teclea: v[1=
v =
1
3.2
Y el último elemento tiene el índice 2
teclea: v[2=
v =
2
14.7
Si z es una matriz, entonces el tercer elemento de la primera columna puede accesarse tecleando v[2,0
Por conveniencia, podemos definir el índice como un rango variable para accesar a todos los elementos a la
vez:
Teclea i:1;3
i :=
1 .. 3
Después.
Escribe v[i=
vi =
3.2
14.7
-4
Cómo ejercicio define un vector y sus índices. Es importante entender que el índice de un vector será siempre
un rango consecutivo de números enteros en Mathcad, empezando desde 0. cualquier valor no especificado
será igualmente definido como cero por Mathcad. Por ejemplo considere el siguiente ejemplo:
Miguel Angel Ríos Sánchez
26
31/05/2005
Teclea i:2;5
i :=
3 .. 6
Escribe wrong[i:2
wrongi :=
4
Escribe wrong=
⎛0 ⎞
⎜
⎜0 ⎟
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
wrong =
⎜4 ⎟
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜
⎝4 ⎠
Podrías esperar que el vector wrong tenga cuatro elementos (del segundo al sexto). Sin embargo, como
puedes apreciar tiene seis elementos. Esto es porque internamente, Mathcad mantiene al elemento 1 y al
segundo. Y porque no fueron definidos específicamente, Mathcad los hace igual a cero.
Es muy útil usar los elementos del vector como argumentos de funciones. Por ejemplo usaremos las
constantes y funciones definidas ahora.
b :=
a :=
9.7
f ( v) :=
v+
3
2
1.1
⋅v + a
9 ⋅b
Ahora define un vector y úsa sus elementos como argumentos de funciones.
⎛ 3.3 ⎞
⎜
v := ⎜ −1.2 ⎟
⎜
⎝ 8 ⎠
i :=
1 .. 3
( )
f vi =
1.11
1.098
1.131
Define un vector y usa sus elementos en una función. También puedes usar vectores como argumentos de
funciones. Por ejemplo:
teclea f(x):[ctrl]4x
f ( x) :=
∑x
Aquí usamos el operador sumatoria, el cual esta disponible a través del botón en la paleta de vectores y
Miguel Angel Ríos Sánchez
27
31/05/2005
matrices:
⎛ 3.3 ⎞
⎜
v = ⎜ −1.2 ⎟
⎜
⎝ 8 ⎠
f ( v) =
10.1
La mayoría de los operadores de vectores y matrices pueden encontrarse en ésta paleta, pero aquí muestro
una lista de los más básicos.
Operación
Tecla rápida
Producto punto
[Shift]8
Producto cruz
[Ctrl]8
Determinante
I
Columna
Botón de la paleta
Despliega
v.w (despliega el escalar de la multiplicación)
vxw
M
[Ctrl]6
M
< 2>
Regresa el tercer elemento de la matriz
Mathcad tiene una amplia variedad de funciones pre definidas para manipular vectores y matrices. He aquí una
pequeña muestra de ejemplos que usaremos en la matriz M definida a continuación.
⎛7 9 1 ⎞
⎜
M := ⎜ 6 −8 2 ⎟
⎜
⎝5 7 3 ⎠
Ejemplo
Objetivo
Número de columnas
cols ( M) =
Número de renglones
rows ( M) =
3
Valor mayor en la matriz
max ( M) =
9
3
⎛ 11.526 ⎞
⎜
eigenvals ( M) = ⎜ −11.463 ⎟
⎜
⎝ 1.938 ⎠
Eigenvalores de la matriz
Hay dos restricciones en los tamaños de arreglos en Mathcad 12
•
•
Si quieres definir arreglos con la paleta de matrices, el arreglo no puede tener más de 100 elementos.
Puedes teclear varios arreglos y juntarlos para superar esta limitación. (funciones de Augment y Stack)
El número total de elementos en los arreglos dependen de la cantidad de memoria de su computadora,
Miguel Angel Ríos Sánchez
28
31/05/2005
pero siempre será menor a 8x10 6
Antes de que un arreglo pueda ser usado, debe ser llenado con valores, o inicializado. Hay varios métodos para
inicializar estos arreglos en Mathcad. Puedes:
•
•
•
•
•
Meter directamente los valores con el teclado
Leer los valores de un archivo
Usar una tabla para llenar el arreglo
Calcular los valores usando una función o un rango variable o
Copiar y pegar los valores de algún otro programa de windows
Ejemplo 40
G
3, 2
:=
64
⎛0 0 ⎞
⎜
G = ⎜0 0 ⎟
⎜
⎝ 0 64 ⎠
Ejemplo 41
C := READPRN
("C:\Documents and Settings\marios\Escritorio\DATOS.txt" )
1
1
2
3
4
C= 5
6
7
8
9
10
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
50
48.2
46.5
44.8
43.2
41.6
40.1
38.7
37.3
35.9
Ejemplo 42
Para leer un archivo de Excel.
D :=
...\DATOS2.xls
1
D=
Miguel Angel Ríos Sánchez
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0
10
20
30
40
50
60
70
50
48.2
46.5
44.8
43.2
41.6
40.1
38.7
29
31/05/2005
9
10
80
90
37.3
35.9
En los dos ejemplos anteriores observe que los índices de las tablas empiezan en cero,cero a pesar de que
los archivos fueron creados usando Excel y aquí los índices empiezan en uno,uno.
El origen de las matrices se puede cambiar en Worksheet Options del menú Tools donde seleccione Array
Origin (ORIGIN) donde puede seleccionar el valor de 1, si quiere que empiece en (1,1)
También puede hacerlo definiéndolo de una manera global
ORIGIN ≡
1
Con esta instrucción acaba de definir de una manera global el origen de los arreglos
Ejemplo 43
A :=
1
2
1
2
3
4
20
30
40
50
38.6
35.9
34.6
33.2
NOTA: Observe que ahora el índice de inicio empieza en 1,1
Ejemplo 44
r :=
1 .. 5
2
Sr , c := r + c
Ejemplo 45
c :=
2
⎛⎜ 2
⎜5
⎜
S = ⎜ 10
⎜
⎜ 17
⎜⎝ 26
2
mifuncion ( r , c ) := r + c
S := matrix
1 .. 3
5 10 ⎞
8 13 ⎟
⎟
13 18 ⎟
⎟
20 25 ⎟
29 34 ⎠
2
(5 , 3 , mifuncion)
⎛⎜ 0
⎜1
⎜
S=⎜ 4
⎜
⎜9
⎜⎝ 16
Ejemplo 46
ID := identity
Miguel Angel Ríos Sánchez
1
2
5
10
17
4 ⎞
5 ⎟
⎟
8 ⎟
⎟
13 ⎟
20 ⎠
( 6)
30
31/05/2005
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎜0
ID =
⎜0
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0 0 0 0 0⎞
1 0 0 0 0⎟
⎟
0 1 0 0 0⎟
0 0 1 0 0⎟
⎟
0 0 0 1 0⎟
0 0 0 0 1⎠
Ejemplo 47
⎛1 2 3 ⎞
⎜
A := ⎜ 2 3 4 ⎟
⎜
⎝3 4 5 ⎠
⎛7 8 9 ⎞
⎜
B := ⎜ 8 9 10 ⎟
⎜
⎝ 9 10 11 ⎠
AUG := augment ( A , B)
⎛1 2 3 7 8 9 ⎞
⎜
AUG = ⎜ 2 3 4 8 9 10 ⎟
⎜
⎝ 3 4 5 9 10 11 ⎠
STK := stack ( A , B)
⎛1
⎜
⎜2
⎜
⎜3
STK =
⎜7
⎜
⎜8
⎜
⎝9
2
3 ⎞
4 ⎟
⎟
4 5 ⎟
8 9 ⎟
⎟
9 10 ⎟
3
10 11 ⎠
7. Cálculo de matrices
Para definir matrices, selecciona en la paleta de matrices el ícono y aparece un menú que te permite elegir el
número de columnas y renglones que deseas tener en la matriz, entonces llena los espacios de la matriz
que aparece ( de esta forma solamente puedes definir matrices de hasta 100 elementos como máximo).
Ejemplo 48
⎛ 5 −1 4 ⎞
⎜
B := ⎜ 1 2 6 ⎟
⎜
⎝5 3 2 ⎠
Calcule la inversa de la matriz B
Miguel Angel Ríos Sánchez
31
31/05/2005
B
−1
⎛ 0.111 −0.111 0.111 ⎞
⎜
= ⎜ −0.222 0.079 0.206 ⎟
⎜
⎝ 0.056 0.159 −0.087 ⎠
Encuentre el determinante seleccionando el ícono de valor absoluto de x en la misma paleta de matrices.
B = −126
Ejemplo 49
A :=
⎛ 2 −1 ⎞
⎜
⎝ −7 4 ⎠
C := A + B
B :=
C=
⎛ −3 0 ⎞
⎜
⎝ 7 −4 ⎠
⎛ −1 −1 ⎞
⎜
⎝0 0 ⎠
Ejemplo 50
A :=
⎛ −3 0 ⎞
⎜
⎝ 7 −4 ⎠
⎛ 2 −1 ⎞
B := ⎜
⎝ −7 4 ⎠
D := A + B − C
D=
C :=
⎛1 0 ⎞
⎜
⎝ −2 −4 ⎠
⎛ −2 −1 ⎞
⎜
⎝2 4 ⎠
Ejemplo 51
1⎞
2⎟
⎟
7⎟
⎟
⎟
5⎟
3⎠
⎛⎜
3 6
⎜
⎜
−2
D := ⎜ 5
⎜
3
⎜
⎜
⎜ −1 0
⎝
⎛ 4 ⎞
⎜
J := ⎜ −11 ⎟
⎜
⎝ 7 ⎠
F := D ⋅ J
⎛ −50.5 ⎞
⎜
F = ⎜ 76.333 ⎟
⎜
⎝ 7.667 ⎠
8. Solucione ecuaciones numéricamente
Primero escoge una solución para definir una solución probable.
Ejemplo 52
t :=
1
Valor inicial propuesto.
Mathcad encontrará la raíz que se encuentra más cerca de ese valor inicial dado por el usuario.
(3
)
root t − sinh ( t ) , t =
1.102
Observa la gráfica de la función, donde se puede apreciar las tres raíces de la ecuación anterior.
t := −2 , −1.99 .. 2
Miguel Angel Ríos Sánchez
Aquí definimos los valores de la variable independiente.
32
31/05/2005
1
− 1.102
1.102
3
t − sinh( t) 0
0
1
2
1
0
1
2
t
a := a
Ejemplo 53
Esto sólo sirve para limpiar esta variable que ya fue usada anteriormente en un
rango variable.
Puedo obtener todas las raíces de la siguiente manera.
3
p ( a) := a −
2
3⋅a + 2 ⋅a + 6
⎛6 ⎞
⎜
⎜2 ⎟
v := p ( a) coeffs , a → ⎜
⎟
⎜ −3 ⎟
⎜1
⎝ ⎠
Usa la tecla de coeffs del menú Symbolics que da el vector de
coeficientes del polinomio empezando con el término constante.
Nota que todos los coeficientes están incluidos, aún si ellos son
cero:
r := polyroots ( v)
(
T
2 + 1.414i 2 − 1.414i )
r = −1
j :=
0 , 1 .. 2
La transpuesta es para que muestre la respuesta en forma horizontal.
a := −2 , −1.99 .. 3
Observa que dos de la raíces son complejas.
20
p( a)
( )
p rj
0
0
polinomio
raices
20
2
1
0
1
2
3
a , rj
Ejemplo 54
Define la siguiente función.
Proporciona un valor inicial
3
f ( x) := x +
x :=
12 ⋅ x − 21
0
Encuentra la solución
Soln := root ( f ( x) , x)
Despliega la solución
Soln =
1.48
Nota: Si deseas encontrar las otras raíces, lo que necesitas hacer es cambiar tu valor inicial y si tiene raíces
Miguel Angel Ríos Sánchez
33
31/05/2005
complejas, tu valor inicial debe ser imaginario.
Ejemplo 55
Define la siguiente función
3
x +
0 ⋅ x2 + 12 ⋅ x − 21 = 0
El signo igual es boleano
⎛ −21 ⎞
⎜
⎜ 12 ⎟
v := ⎜
⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 1
⎝
⎠
Define los coeficientes del polinomio
Soln := polyroots ( v)
Encontrar las soluciones
⎛ −0.74 + 3.694i ⎞
⎜
Soln = ⎜ −0.74 − 3.694i ⎟
⎜
1.48
⎝
⎠
Despliega la solución
x := x
esto sirve para limpiar la variable x
Ejemplo 56
(x − 3) ⋅ (x − 4) solve , x
Ejemplo 57
2
x −
→
⎛3 ⎞
⎜
⎝4 ⎠
⎛1 ⎞
1 = 0 solve , x → ⎜
⎝ −1 ⎠
Ejemplo 58
x+
2
x +
Ejemplo 59
Ejemplo 60
4
=
0 solve , x → −4
6 ⋅x − 2
⎛ 12 ⎞
⎜
x − 7 ⋅ x + 12 coeffs , x → ⎜ −7 ⎟
⎜
⎝1 ⎠
2
T
⎛⎜ 1 1 ⎞
⎜2 8 ⎟
⎟
⎜
⎛1 2 3 4 5 ⎞
⎜ 3 27 ⎟ → ⎜
⎝ 1 8 27 64 125 ⎠
⎟
⎜
⎜ 4 64 ⎟
⎜⎝ 5 125 ⎠
Miguel Angel Ríos Sánchez
34
31/05/2005
Ejemplo 61
−1
⎛2 3 5 ⎞
⎜
⎜7 2 4 ⎟
⎜
⎝ 8 11 6 ⎠
⎛ −32 37 2 ⎞
1 ⎜
→
⋅ ⎜ −10 −28 27 ⎟
211 ⎜
⎝ 61 2 −17 ⎠
9. Operaciones simbólicas
Factoriza la siguiente expresión
Ejemplo 62
7
x −
1
(x − 1) ⋅ (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
Para lograr esto, selecciona Factor en el menú de Symbolics, la expresión debe estar seleccionada con el
cursor azul durante la selección del menú de factorización.
Ejemplo 63
⌠
⎮
⎮
⌡
∞
2
−x
e
dx
0
yields
Esto es un comentario que aparece si lo seleccionas en Evaluation Style.
1
1 2
⋅π
2
Ejemplo 64
z := z
Aquí estoy limpiando el valor de z ya que la he estado usando en las expresiones anteriores.
El signo = se obtiene del menú boleano y la flecha del menú Symbolic.
2
z −
⎛0 ⎞
4 ⋅ z = 0 solve , z → ⎜
⎝4 ⎠
Solución de la ecuación cuadrática.
Ejemplo 65
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
∞
1
6
x +
dx →
64
1
⋅π
48
−∞
Miguel Angel Ríos Sánchez
35
31/05/2005
Ejemplo 66
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
∞
1
x
3
dx → π
( 2 1)
x⋅ x +
0
Ejemplo 67
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
∞
dx →
(x2 + 4)2
−∞
Ejemplo 68
2
cos ( x)
x
x+
4
−5
32
⋅ π ⋅ sinh
( 4) +
5
1
⋅ π ⋅ cosh ( 4) +
⋅π
32
32
12
x+ 2
−
simplifies to
2
x −
10 ⋅ x − 48
( x + 4) ⋅ ( x + 2)
Ejemplo 69
1
+
x
x
x−
−
7
x+
6
2
x
simplifies to
3
−6 ⋅ x + x +
2
(
x ⋅ x−
Ejemplo 70
42
7)
4⋅x
2
y
simplifies to
1
x ⎞
2 ⋅ ⎛⎜
2
⎝y ⎠
2
Los operadores simbólicos se pueden seleccionar en el menú Symbolics. Los comandos que podrás
encontrar son: simplificar, expandir, factorizar, diferenciar, integrar, resolver una ecuación, expandir en series,
realizar operaciones simbólicas de operaciones con matrices y más. Copia las expresiones de arriba a su
hoja principal y seleccionela haciendo click con el mouse y podrás darte cuenta que esta seleccionada ya
Miguel Angel Ríos Sánchez
36
31/05/2005
que aparece el cursor azul, si es necesario presiona la barra espaciadora para seleccionar más elementos de
la expresión y después selecciona Simplify del menú Symbolics.
Lección 13: Formateando regiones de texto y matemáticas
Se puede muy fácilmente modificar la manera en que cualquier texto o ecuación aparece en su hoja de
trabajo. Puedes seleccionar diferentes tipos de fonts, tamaños o estilos usando el control en la barra de
formatos que aparecen en el menú View. (Si la barra de formato esta escondida, se puede visualizar
seleccionándola en el menú de toolbars y formatting) si usas procesadores de texto, esto te debe ser muy
familiar.
Definiciones para graficar.
x :=
1 , 1.1 .. 10
Por ejemplo, suponga que quiere cambiar el estilo en las regiones de texto y de matemáticas de la hoja de
trabajo.
(
f ( x) := −2 ⋅ x −
•
•
5)
2
+
5
⋅x − 2
2
En una región de texto haga que la palabra "Aquí" aparezca con letra Courier, bold y 12 puntos.
Cambie el font de una región de ecuación a Times New Roman itálica y de 12 puntos.
Aquí hay una gráfica de f(x)
función f(x)
20
0
f( x)
5
10
20
40
x
variable independiente
Para practicar, crea algunas regiones de texto en tu hoja de trabajo y realiza algunos cambios para que te
familiarices con todo lo que puedes cambiar en las regiones tanto de texto como de ecuaciones.
Formateando regiones de texto
Aquí estan los pasos para cambiar el font y el tamaño para una región de texto seleccionada.
•
•
Selecciona las palabras en la región de texto que quieras cambiar. La palabra seleccionada aparecerá
sombreada.
Ahora selecciona el font y tamaño deseado de la lista que aparece en la barra y selecciona aquellos
botones para los efectos especiales tales como: sombreado, itálica etc.
Miguel Angel Ríos Sánchez
37
31/05/2005
El formateado de texto, también está disponible seleccionando Text del menú Format.
Estilos de texto y templates
Puedes accesar a todos los estilos de texto ya previamente predefinidos que viene en la lista del menú Style
en Format o directamente en la barra de formato. Si quieres salvar un estilo nuevo, para usarlo
posteriormente puede hacerlo, salvando tu formato como un template y éste se agregará a la lista original.
Puedes revisar los estilos ya predefinidos y eso lo haces cuando seleccionas File New o en el directorio de
Templates.
Formatos en regiones matemáticas
Para cambiar los fonts en regiones matemáticas, primero nota que Mathcad distingue entre variables
(nombres de variables y funciones en regiones de ecuaciones) y constantes (números) y permite aplicar
diferentes fonts a cada uno de ellos. Solamente selecciona la variable o constante en la región de ecuación
y usa el Format Bar o selecciona Equation del menú Format para hacer cualquier cambio que quieras en
variables y constantes.
Mathcad también te permite resaltar las ecuaciones para enfatizarlas. solamente selecciona la ecuación y
selecciona Properties/Highlight Region en el menú Format de la ventana principal. Para seleccionar
diferentes color del fondo y de la ecuación en la hoja de trabajo, selecciona Color del menú Format.
Lección 14: Formateando resultados
Ahora que ya aprendiste a obtener resultados numéricos y gráficos, hay algunos consejos que debe saber
para formatear tus resultados en Mathcad. Define algunas funciones y usa los siguientes pasos.
Define las siguientes variables y constantes.
P :=
r :=
5000
0.07
n :=
365
n⋅ t
r⎞
⎛
A ( t) := P ⋅ ⎜ 1 +
n⎠
⎝
Obten los resultados para diferentes valores de t.
A
(3) = 6.168 × 103
Esto que acabas de hacer es un cálculo de interés compuesto. Observa que Mathcad despliega por default el
resultado en forma exponencial cuando el resultado es mayor a 1000, y el resultado se muestra con tres
dígitos significativos después del punto decimal. Suponiendo que el cálculo involucra el uso de moneda y
quieres ver los resultados en forma no exponencial con dos decimales después del punto. Para cambiar el
formato del resultado haga lo siguiente:
•
•
•
Haga doble click en el resultado, o selecciona el resultado y después selecciona Result del menú
Format.
Aparece una caja de diálogo con Number Format seleccionado.
Cambia Exponential Threshold de 3 a 6 ( o otro valor mayor a 3).
Miguel Angel Ríos Sánchez
38
31/05/2005
•
•
Cambia el Number of decimal places desplegados a 2.
Click en OK.
Ahora el resultado se ve diferente y debe ser:
A
(3) = 6168.27
Estos cambios realizados solamente afectan al resultado localmente (al resto de los resultados no se
cambiarán) si quieres cambiar los resultados en todo el documento entonces realiza lo siguiente:
•
•
•
•
•
Selecciona alguna parte de la hoja donde no haya nada
Selecciona Number del menú Format
Cambia el Exponential Threshold al número deseado
Cambia el Number of decimal places al número deseado
Click en OK.
Bajo Result Format, puedes controlar otras características como:
•
•
•
Complex tolerance
Zero tolerance
Radix of the results (octal, hexadecimal, binario o décimal) para números enteros
Las gráficas también son fáciles de cambiar el formato, solamente haga doble click en ella o selecciona
Graph del menú Format.
Te recomiendo que como prueba lo hagas, para que sepas que cosas puedes cambiar en cada una de ellas.
Suponer que quiere cambiar la siguiente gráfica.
Ejemplo 71
f ( x) := sin ( x)
g ( y) := cos ( y)
x := −10 , −9.9 .. 10
y := −2 , −1.9 .. 2
1
0.5
f( x)
g ( y)
0
0.5
1
10
5
0
5
10
x, y
Para crear la siguiente gráfica.
•
•
•
•
Teclea @ en algún espacio en blanco de la hoja de trabajo
En la parte baja de la gráfica teclea x,y
En la parte vertical teclea f(x),g(y)
Teclea [enter]. Observa que los trazos tienen diferentes colores, hay que cambiarlos
Miguel Angel Ríos Sánchez
39
31/05/2005
•
•
•
•
•
Da doble click sobre la gráfica para editarla y hacer los cambios necesarios
Da un click en la pestaña de Traces
Click en trace 1, y cambia el color a verde
click en trace 2 y cambia la línea a dot
Click en OK.
Experimenta con diferentes opciones para ver que sucede y como cambiar cada una de las características de
las gráficas. Por ejemplo trate de obtener esta gráfica.
1
2
1
0
1
2
1
o como esta.
2
0
2
2
1
0
1
2
También puede graficar en escala logarítmica (si lo necesita), poner una malla de líneas enfatíza ciertas
áreas de la gráfica, crear leyendas y etiquetas en los ejes, y aún colocar un título en la gráfica. También se
puede seleccionar Trace o Zoom que permite ver algunos detalles de las gráficas y por supuesto también
se puede agrandar o hacer pequeña cada gráfica con tan sólo seleccionarla y en los cuadros que aparecen
en la parte media y la esquina inferior derecha, poderla ajustar al tamaño más adecuado para ti.
Lección 15: Programación en Mathcad
Los programas sirven para hacer tareas muy fácilmente que pudieran ser imposibles o muy inconveniente de
hacerlo de otra manera. Esto es porque un programa tiene muchos atributos asociados con los lenguajes de
programación incluyendo ramas de incondicional, construir ciclos, definir variables locales, manejo de errores
y la habilidad de cálcular recursivamente.
¿Qué es un programa?
Un programa es simplemente una expresión hecha con más de una definición. Si ves la expresión que se
muestra a continuación, puede ser escrita como un programa en lugar de una simple expresión.
Miguel Angel Ríos Sánchez
40
31/05/2005
Los programas ofrecen dos distintas ventajas con respecto a expresiones simples, que son:
•
Cuando usas una estructura que controla los ciclos y ramas condicionales, un programa puede ser más
flexible que una simple expresión.
Un programa puede hacerse en varios pasos simples y es muchas veces más fácil de hacer que una
expresión equivalente, pero muchas veces las expresiones son más complicadas.
•
Definiendo un programa en Mathcad
Los siguientes pasos ilustran cómo se define un programa en Mathcad.
Ejemplo 72
f ( x , w) :=
z←
x
w
log ( z )
f
•
•
•
⎛ 3⎞
= −0.125
⎝ 4⎠
(3 , 4) = −0.125
log ⎜
Teclee el lado izquierdo de la función seguido por el operador ":".
Seleccione en la barra de herramientas la paleta que contiene los elementos de programación.
Seleccione el botón "Add Line". Esto crea una barra vertical
Si necesitas más instrucciones en un programa, puedes agregar los que necesites.
•
Selecciona el cuadro superior y asígnale a la variable z el cociente de las variables x/w, esto se hace con
la flecha que señala hacia el lado izquierdo en la misma tableta de programación. (ten cuidado que la
definición de z es una variable local dentro del programa. no puedes usar el operador de asignación "="
dentro del programa. Debes usar el operador de asignación representado por la flecha.
Miguel Angel Ríos Sánchez
41
31/05/2005
•
Completa la asignación local tecleando "x/w" en el cuadro superior usando la flecha de asignación. El
último cuadro.
En el último cuadro siempre se coloca el valor que deseas que le regrese el programa. Teclee "log(z)" dentro
del último cuadro. Ahora puedes usar esta función o evaluarla simbólicamente.
Instrucción condicional
Usa la asignación condicional cuando quieras ejecutar una expresión únicamente si ocurre alguna condición
específica, como en el siguiente programa.
Ejemplo 73
f ( x) :=
0 if
x >
2
4 − x2 otherwise
Ejemplo 74
checando ( Temp) :=
RV ←
"Busca hielo" if Temp < 273.15 ⋅ K
RV ←
"No hay problema" otherwise
checando
(280 ⋅ K) = "No hay problema"
checando
(250 ⋅ K) = "Busca hielo"
Para insertar la instrucción de condicionalidad:
•
•
•
•
•
•
•
Selecciona el cuadro donde quieres poner la instrucción condicional
Selecciona la paleta de programación que contienen los operadores
Selecciona el botón if presionándolo. (no lo escribas)
Abre la paleta de operadores boleanos para seleccionar el símbolo de mayor
Selecciona "Add line" en caso de necesitar más instrucciones
Seleccione el botón "otherwise" (no lo escribas)
En el último cuadro coloca el valor que quieres que te regrese el programa
Nota: Si necesitas más de un "if" antes que una instrucción "otherwise", La instrucción "otherwise se ejecuta
únicamente cuando todas las condiciones son falsas.
Ciclos de programas
Un ciclo es una instrucción del programa que causa que una o más instrucciones (el cuerpo del ciclo) se
ejecuten repetidamente hasta que una condición particular ocurre. Hay dos clases de ciclos:
•
•
Los ciclos "for" son útiles cuando sabes exactamente cuantas veces necesitas ejecutarlo
Los ciclos "while" son útiles cuando quieres parar una ejecución hasta que ocurra una condición pero no
sabes exactamente cuando ocurrirá dicha condición.
Cuando usamos ciclos, puedes necesitar romper o imterrumpirlo "break" o controlar una iteración particular.
Ciclos "For"
Use un ciclo "for" cuando conoces exactamente cuantas veces necesitas ejecutar el cuerpo del ciclo.
Miguel Angel Ríos Sánchez
42
31/05/2005
Ejemplo 75
demofor ( k ) :=
varsal ← k
for j ∈ 1 .. 5
varsal ← varsal + j
varsal
demofor
(0) = 15
demofor
(5) = 20
Ejemplo 76
sum ( n) :=
s←
0
for x ∈ 1 .. n
s←s+
1
s
sum
( 3) = 3
sum
( 1) = 1
sum
(100) = 100
sum
(10) = 10
Para insertar un ciclo "for".
•
•
•
•
•
•
Selecciona el lugar donde desea colocar el ciclo for
Selecciona en la paleta de programación que contiene los operadores de programación
Selecciona el botón "for" (no escribas for)
En el espacio a la izquierda del "existe" coloca la variable de iteración
En el espacio de la derecha coloca el rango de valores que deben tomar la variable de iteración (la
mayoría de las veces se usa un rango variable, pero también puedes usar un vector , una lista de
escalares y un vector separado por comas)
Selecciona el botón de "Add Line" para agregar más instrucciones, si los necesitas. Si quieres que
el cuerpo del loop se ejecuta hasta que se cumpla la condición, pero si no conoce exactamente
cuantas veces se necesita, use el ciclo "while"
Ciclo while
Usa un ciclo while cuando quieres que se ejecute ciertas instrucciones hasta que se cumpla una cierta
condición. Asegurate que tiene una condición que hace falsa la condición. De otra forma el ciclo se ejecutará
indefinidamente y necesitaras interrumpirlo "abortarlo" presionando "esc".
Ejemplo 77
demowhile ( semilla ) :=
x ← semilla
while x <
100
2.3
x←x
x
demowhile
(2) = 4.599 × 103
demowhile
(10) = 199.526
Miguel Angel Ríos Sánchez
43
31/05/2005
demowhile
(200) = 200
( )
demowhile −3 =
Nota: Si un ciclo está corriendo indefinidamente puedes presionar la tecla [ESC] para terminar el programa
Ejemplo 78
t ( v , t) :=
j←
0
while v j ≤ t
j←j+
1
j
Para insertar un ciclo "while".
•
•
•
•
Selecciona el lugar donde desea colocar el ciclo "while"
Selecciona la paleta de programación que contiene los operadores de programación
Selecciona el botón "while" (no escribas while)
En el cuadro a la derecha del while teclea la expresión boleana. Selecciona el botón de " Add Line" de
la paleta de programación en caso de que se necesite para escribir más instrucciones
En el lugar abajo del while coloca las instrucciones que quieres ejecutar repetidamente. Usa el botón de
"Add Line" cuando necesites colocar más instrucciones.
•
El ciclo "while" es útil cuando quieres detener una ejecución cuando ocurra una condición y no se sabe
exactamente cuando ocurrirá esto. Si conoces exactamente cuando sucederá usa mejor un ciclo "for" en lugar
del "while".
Instrucción "break"
Usa la instrucción "break" cuando quieras detener un ciclo.
Ejemplo 79
demobreak ( semilla ) :=
x ← semilla
while x < 100
break if x ≤ 1
2.3
x←x
x
demobreak
(0.7) = 0.7
Para colocar un ciclo "break".
•
•
•
Selecciona el lugar donde desea colocar el ciclo "break"
Selecciona la paleta de programación que contiene los operadores de programación
Selecciona el boton "break" (no escribas la palabra "break")
Cuando Mathcad encuentra una instrucción "break" en el cuerpo de un ciclo "for" o "while".
1. El ciclo se interrumpe y regresa el último valor calculado.
2. La ejecución del programa continua hasta la siguiente línea del programa después del ciclo.
Miguel Angel Ríos Sánchez
44
31/05/2005
Control de las iteraciones en un ciclo
Los ciclos en los programas están diseñados para continuar hasta que se cumpla una cierta condición o
después de un cierto número de iteraciones. A pesar de eso se puede interrumpir durante un cierto número de
iteraciones y continuar hasta la siguiente iteración. Para hacer esto, usa una instrucción de "continue".
Para insertar una instrucción de "continue"
Ejemplo 80
demosincontinue :=
suma ←
0
for i ∈ 1 .. 6
for j ∈ 1 .. 5
for k ∈ 1 .. 4
suma ← suma +
1
suma
demosincontinue =
120
Ejemplo 81
democoncontinue :=
suma ←
0
for i ∈ 1 .. 6
for j ∈ 1 .. 5
continue
if j >
3
for k ∈ 1 .. 4
suma ← suma +
1
suma
democoncontinue =
•
•
•
•
72
Selecciona el lugar donde desea colocar la instrucción de "continue".
Selecciona la paleta de programación donde vienen los operadores de programación.
Selecciona el botón de "continue" (no escribas la palabra continue).
Cuando el programa encuentra un "continue", detiene la iteración y se dirige al ciclo exterior más cercano
y continua con la siguiente iteración.
Valor que regresa un programa
Por default un programa regresa lo que se encuentra en la última línea. A pesar de esto, puede regresar
cualquier valor localizado en cualquier parte del programa usando la instrucción "return".
Miguel Angel Ríos Sánchez
45
31/05/2005
Ejemplo 82
demoreturn :=
x←
3
y←
5
return x
z←
demoreturn =
7
3
Para insertar una instrucción "return".
•
•
•
•
Selecciona el lugar donde desea colocar la instrucción "return".
Selecciona la paleta de programación que contiene los operadores de programación.
Selecciona la botón "return" (no escribas la palabra "return").
En el lugar derecho del return, escribe lo que quieres que te regrese.
La instrucción "return" es útil cuando deseas regresar un valor en particular del ciclo.
Regresando múltiples valores
Ejemplo 83
areacilindro ( D , L) :=
R←
D
2
2
Acirc ← π ⋅ R
Alado ← π ⋅ D ⋅ L
Asup ←
2 ⋅ Acirc + Alado
⎛⎜ Acirc ⎞
⎜A
⎟
⎜ lado ⎟
⎜⎝ Asup ⎠
D :=
3 ⋅ cm
L :=
7 ⋅ cm
⎛⎜ 7.069 × 10− 4 ⎞
⎜
⎟ 2
areacilindro ( D , L) = ⎜ 6.597 × 10− 3 ⎟ m
⎜
⎟
⎜ 8.011 × 10− 3
⎝
⎠
Atrapando errores en un programa
Para regresar un valor alterno cuando se encuentra un error en una expresión, usa el botón de programación
"on error".
Ejemplo 84
Miguel Angel Ríos Sánchez
46
31/05/2005
valorinverso ( x) :=
"ejemplo de atrapar errores"
∞ on error
•
•
•
•
•
valorinverso
(4) = 0.25
valorinverso
(0) = 1 × 10307
1
x
Selecciona el lugar donde desea colocar la instrucción "on error".
Selecciona la paleta de programación que contiene los operadores de programación.
Selecciona el botón "on error" (no escribas "on error").
En el lugar a la derecha de "on error", escribe lo que deseas que te regrese, asumiendo que puede ser
evaluado exitosamente.
En el lugar a la izquierda de "on error" escribe lo que te gustaría regresar si no puede ser evaluada la
expresión. Usa el botón de "Add Line" para insertar instrucciones adicionales en caso de ser necesario.
La expresión del lado derecho es evaluada y regresa su valor si no ocurren errores. Si un error ocurre, el
argumento del lado izquierdo es el que regresa.
Recursión
Recursión es un lenguaje de programación poderosa que involucra variables definidas en términos de ella
misma como se muestra en el ejemplo.
Definición de funciones recursivas debe tener al menos dos partes siempre:
Ejemplo 85
Máximo común denominador
MCD ( x , y) :=
y if x =
0
MCD ( mod ( y , x) , x) otherwise
MCD
1.
2.
(9 , 45) = 9
Una condición inicial para asegurar la recursión, y
Una definición de la función en términos de un valor previo de la función.
La idea es similar al proceso matemático inductivo: Si puedes obtener f(n+1) de f(n), y conoces el valor de f(0),
entonces se sabe todo lo que se necesita acerca de f. Mantenga esto en mente. A pesar de las definiciones
de la función en forma recursiva lo hace elegante y conciso, no siempre computacionalmente es lo más
eficiente. Puedes encontrar una definición equivalente usando uno de los ciclos iterativos, el cual se evalúa
más rápidamente.
Evaluando un programa simbólicamente
Una vez que defines un programa que deseas se puede evaluar simbólicamente.
1.
2.
Teclea el nombre de la función o nombre de la variable la cual se define en términos del programa.
Presiona Ctrl+Period para insertar la flecha a la derecha (evaluación simbólica) que es el signo para
evaluar simbólicamente.
Miguel Angel Ríos Sánchez
47
31/05/2005
10. Crear procedimientos en línea usando los operadores de programación
Usa los operadores de la tableta de programación de Mathcad para crear procedimientos con estructuras
estándares como: ciclos para for y while, para ramas, recursión y más. Los programas están completamente
integrados con Mathcad y la notación matemática. El sistema puede calcular escalares, vectores, arreglos y
aún arreglos de arreglos. Observa los siguientes ejemplos de programación.
Ejemplo 86
A :=
12 ⋅ cm2
C :=
A←A+
2 ⋅ cm2
A
C=
14 cm2
Ejemplo 87
areacil ( d , l) :=
R←
d
2
2
Acirc ← π ⋅ R
Aper ← π ⋅ d ⋅ l
Asup ←
areacil
Ejemplo 88
2 ⋅ Acirc + Aper
(3 ⋅ cm , 7 ⋅ cm) = 80.111 cm2
⎛⎜ 120 ⎞
⎜ −15 ⎟
⎟
⎜
vh := ⎜ 35 ⎟
⎟
⎜
⎜ −100 ⎟
⎜⎝ 67 ⎠
resultante ( vh , vk) :=
⎛⎜ 60 ⎞
⎜ −35 ⎟
⎟
⎜
vk := ⎜ −20 ⎟
⎟
⎜
⎜ 75 ⎟
⎜⎝ 54 ⎠
sumavh ←
∑ vh
sumavk ←
∑ vk
FR ←
2
sumavh + sumavk
2
⎛ sumavk ⎞
⎝ sumavh ⎠
θ ← atan ⎜
⎛ FR ⎞
⎜
⎝θ ⎠
Miguel Angel Ríos Sánchez
48
31/05/2005
resultante ( vh , vk) =
Ejemplo 89
⎛ 171.479 ⎞
⎜
⎝ 0.897 ⎠
⎛⎜ 1 ⎞
⎜2 ⎟
⎜ ⎟
x := ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜⎝ 5 ⎠
Magnitud de la fuerza resultante
Ángulo de la fuerza resultante en radianes
⎛⎜ 2 ⎞
⎜5 ⎟
⎜ ⎟
y := ⎜ 8 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 13 ⎟
⎜⎝ 17 ⎠
s1 := slope ( x , y)
s1 =
int := intercept ( x , y)
int = −2.4
R2 := corr ( x , y)
2
R2 =
3.8
0.989
Este método también lo podemos programar muy fácilmente.
Regresion ( xx , yy) :=
s1 ← slope ( xx , yy)
int ← intercept ( xx , yy)
R2 ← corr ( xx , yy)
⎛⎜ s1 ⎞
⎜ int ⎟
⎜ R2
⎝ ⎠
2
⎛ 3.8 ⎞
⎜
soln = ⎜ −2.4 ⎟
⎜
⎝ 0.989 ⎠
soln := Regresion ( x , y)
Ejemplo 90
(
)
alfa D , Vprom , ρ , µ :=
α←
"No determinado"
Re ←
D ⋅ Vprom ⋅ ρ
µ
α←
1.05 if Re ≥ 6000
α←
2 if Re ≤ 2100
α
⎛
m
⎝
s
alfa ⎜ 2 ⋅ in , 3 ⋅
kg
m
⎛
m
⎝
s
alfa ⎜ 2 ⋅ in , 0.1 ⋅
Miguel Angel Ríos Sánchez
, 950 ⋅
, 950 ⋅
3
⎞
, 0.012 ⋅ poise =
⎠
kg
m
1.05
3
⎞
, 0.012 ⋅ poise =
"No determinado"
⎠
49
31/05/2005
Ejemplo 91
⎛ FRAME ⋅ 2 ⋅ π ⎞
⎝ 20
⎠
f ( x) := J1 ( x) ⋅ cos ⎜
a :=
0
b :=
3.833
xn :=
17
rn :=
25
i :=
1 .. xn
j :=
1 .. rn
NthRoot ( a , n , ε ) :=
a
estrt ←
2
n
n
estrt − a ≥ ε
while
estrt ←
⎛
1⎞
a
⎜1 −
⋅ estrt +
n⎠
n− 1
⎝
n ⋅ estrt
estrt
El programa de arriba implementa el método de Newton para encontrar las raíces de números con una
tolerancia ε, la cual es usada en el siguiente ejemplo.
rri := a +
b− a
xn
ss j := −π +
Xc
i, j
Yc
i, j
Zc
⎛
i, j
⋅i
2 ⋅π ⋅ j
rn
( )
:= rri ⋅ sin ss j
( )
:= rri ⋅ cos ss j
( )
( )
:= f rri ⋅ sin ss j
− 6⎞
NthRoot ⎝ 7 , 5 , 10
⎠ = 1.476
Miguel Angel Ríos Sánchez
50
31/05/2005
11. Crear animaciones para visualizar resultados que cambian en el tiempo
En cualquier parte de la hoja de Mathcad puedes realizar animaciones. Intenta animar la gráfica del lado
izquierdo, selecciona Animation del menú Tools y después selecciona Record, entonces define el valor de
FRAME de 0 a 20 en la caja de diálogo correspondiente. Después selecciona la región a animar mostrada
incluyendo la gráfica y finalmente presiona Animate. Lo que observarás será el preprocesamiento.
Se crea un video que puedes salvar en formato estándar de video o un archivo incrustado en su hoja de cálculo
Xc , Yc , Zc
X c , Y c , Zc
Se presenta esta animación de la superficie con la idea de despertarte la curiosidad y que te animes a
explorar otras animaciones, en la siguiente sección aprenderás a crear elementos básicos en una hoja de
Mathcad: ecuaciones, texto y gráficas.
Lección 16: Interpolando y ajuste de curvas
Si tenemos un conjunto de datos podemos evaluar en cualquier punto que este contenido dentro del conjunto
de datos. Interpolación de cualquier dato que nosotros quisieramos evaluar. (Hay que tener cuidado con la
extrapolación, ya que nadie te garantiza que el valor obtenido es correcto, a menos que se pueda encontrar
un modelo matemático que puedas probar).
Ejemplo 92
Miguel Angel Ríos Sánchez
51
31/05/2005
⎛0 ⎞
⎜
⎜1 ⎟
⎜ ⎟
⎜2 ⎟
⎜3 ⎟
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
Time := ⎜ ⎟ ⋅ min
⎜5 ⎟
⎜6 ⎟
⎜ ⎟
⎜7 ⎟
⎜ ⎟
⎜8 ⎟
⎜
⎝9 ⎠
⎛ 298 ⎞
⎜
⎜ 299 ⎟
⎜
⎟
⎜ 301 ⎟
⎜ 304 ⎟
⎜
⎟
⎜ 306 ⎟
Temp := ⎜
⎟ ⋅K
⎜ 309 ⎟
⎜ 312 ⎟
⎜
⎟
⎜ 316 ⎟
⎜
⎟
⎜ 319 ⎟
⎜
⎝ 322 ⎠
(
Tempinterp := linterp Time , Temp , 2.3 ⋅ min
Tempinterp =
)
Interpolación lineal
301.9 K
También podemos extrapolar pero hay que tener cuidado con esto.
(
Tempinterp := linterp Time , Temp , 20 ⋅ min
Tempinterp =
355 K
)
Extrapolación lineal
Da un resultado pero no necesariamente es correcto
Un método alternativo para la interpolación lineal es usar un Spline de interpolación cúbico. Este método
ajusta los datos a un polinomio cúbico, que logra que la curva pase por todos los puntos que son contínuos
en primera y segunda derivada.
Hay que ajustar los datos proporcionados a un polinomio cúbico usando la siguiente función.
vs := cspline ( Time , Temp)
(
Tempinterp := interp vs , Time , Temp , 2.3 ⋅ min
Tempinterp =
301.905 K
)
Interpolación cúbica
Mathcad tiene tres métodos para manejar los puntos extremos que son:
•
•
•
cspline ( ) crea una curva spline que es cúbica en los puntos extremos.
pspline ( ) crea una curva spline que es parabólica en los puntos extremos.
lspline ( ) crea una curva spline que es lineal en los puntos extremos.
Te recomiendo que hagas el ajuste de curva con los tres métodos y observes lo que sucede cuando calculas
en datos extrapolados, ve que son muy diferentes entre sí. ( Cuidado con esto)
t :=
0 .. 10
Miguel Angel Ríos Sánchez
vs := cspline ( Time , Temp)
52
31/05/2005
298.2
298.1
interp( vs , Time , Temp , t)
298
297.9
0
2
4
6
8
10
t
Ajuste de curvas
Mathcad tiene varios modelos para hacer ajuste de curvas que son los siguientes:
Lineal
linfit ( vx , vy , vf)
Exponencial
expfit ( vx , vy , vg)
y pred = aebx + c
Logistico
lgsfit ( vx , vy , vg)
y pred =
Logaritmico
logfit ( vx , vy , vg)
Potencia
pwrfit ( vx , vy , vg)
Senoidal
sinfit ( vx , vy , vg)
a
(1 + be − cx )
y pred = a ln( x)b + c
y pred = axb + c
y pred = a sin( x + b) + c
Nota: Las funciones no pueden manejar unidades por lo que los datos deben ser proporcionados sin unidades
time :=
Time
temp :=
min
Temp
K
i :=
usando un polinomio de segundo orden tenemos
0 .. 9
Temp pred = bo + b1time + b2time2
⎛1 ⎞
⎜
f ( x) := ⎜ x ⎟
⎜ 2
⎝x ⎠
b := linfit ( time , temp , f)
⎛ 297.518 ⎞
⎜
b = ⎜ 1.719 ⎟
⎜
⎝ 0.117 ⎠
b =
temppred := b + b ⋅ time + b ⋅ time
1
Miguel Angel Ríos Sánchez
2
1
2
297.518
3
53
31/05/2005
330
320
temp
310
temppred
300
290
0
2
4
6
8
10
time
Para evaluar que tan buena es el ajuste de curva, entonces podemos calcular el factor de correlación
(
)2
r2 := corr temp , temppred
r2 =
0.998
Lo cual indica que es muy bueno el ajuste
Donde obtener más ayuda
Felicidades. Terminaste de aprender los conceptos básicos de cómo trabajar con Mathcad y saber cómo
producir textos y gráficas también. Disfruta de lo que te falta por explorar.
La ayuda en Mathcad está a la derecha en una cantidad de formas:
Tool Tips
QuickSheets
On-line help
Context-Sensitive Help
MathSoft World Wide Web Site
Other Resources
Tips
Guías rápidas
Ayuda en línea
Ayuda en contexto
Página de MathSoft
Otras fuentes de información
Cada una de esa funciones se describen con mayor detalle a continuación.
Tips de Mathcad
Siempre que inicias el paquete por primera vez te muestra una ventana donde viene un tip, sobre como realizar
alguna función en Mathcad 12, siempre y cuando no lo hayas desactivado en Preferences en el menú Tools.
Lo que puedes hacer en cualquier momento, mientras te acostumbras a usar el software adecuadamente, te
recomiendo que no lo desactives, ya que te da buenos consejos de como hacer algo que no sabes como
hacerlo.
Colocando el cursor sobre cualquier paleta o sobre la barra de herramientas, podrás ver una pequeña
explicación cerca del botón desplegado.
Miguel Angel Ríos Sánchez
54
31/05/2005
Observa el mensaje debajo de la línea de comandos de windows que te proporcionan ayuda y te dice como
llamar el comando en forma corta.
Ayudas rápidas
Para obtener ayuda rápida e ir un poco más alla de lo básico encontrado en un tutorial, Mathcad viene con
guías rápidas. Las guías rápidas proporcionan formas muy cortas que son frecuentemente utilizadas, desde
graficar funciones de un sistema de ecuaciones hasta el análisis de varianza. hay más de 300 guías rápidas.
Para abrir una sección de la guía rápida, selecciona QuickSheets que se encuentra en el menú de help.
Ayuda en Línea
La ayuda en línea proporciona información detallada de como usar Mathcad con todas sus opciones, tanto de
matemáticas como de uso general. Presiona [FI] a cualquier hora, o selecciona Tutorials del menú Help.
Ayuda en contexto
Una muy útil ayuda se puede usar cuando despliega algún mensaje de error, si seleccionas el mensaje y
presionas [Shift][FI] desplegará una pantalla de ayuda en donde puedes accesar la ayuda en línea donde
viene como corregir el error que aparece en ese momento.
Sitio de Mathsoft
Si tienes acceso a Internet, puedes accesar directamente a la página de mathsoft donde encontrarás archivos
técnicos de Mathcad, soporte técnico y más. También puedes usar un browser (Netscape Navigator, Internet
Explorer de Microsoft, Mosaic, etc.) para visitar la página de Mathsoft puedes hacerlo en
http://www.mathsoft.com/
Sistema colaborativo de Mathsoft
También puedes accesar al sistema colaborativo en el sitio de Mathsoft a traves de File Menu. Usa este
forum para hacer preguntas y plantear problemas a la comunidad de usuarios que pueden tener los mismos
intereses
Otros recursos
Los populares libros electrónicos que puede encontrarlos en la página de Mathsoft.
Introduction to Mathcad 11 de Ronald W. Larsen (ISBN 0-13-008177-9) donde encontrarás problemas de
aplicación en Ingeniería.
Numerical Methods using Mathcad de Laurence Fausett (ISBN 0-13-061081-X) donde se aplican los métodos
numéricos más comunes con ejemplos de aplicados en la Ingeniería.
Miguel Angel Ríos Sánchez
55
31/05/2005
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Problema 1. Para la distribución X con una media de 0 y una variancia de 1, encuentre la probabilidades de:
a ) P(X<2.44)
b ) P(X<-1.16)
µ :=
σ :=
0
c ) P(X>1)
d ) P(2<X<10)
1
x
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv
F ( x) :=
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
(2.44) = 0.993
F ( −1.16) = 0.123
1 − F ( 1) = 0.159
F ( 10) − F ( 2) = 0.023
a.
F
b.
c.
d.
Problema 2. Calcule las probabilidades del ejemplo 1 para la curva normal X con una media de 0.8 y una
variancia de 4.
a ) P(X<2.44)
µ :=
b ) P(X<-1.16)
σ :=
0.8
c ) P(X>1)
d ) P(2<X<10)
4
x
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv
F ( x) :=
e
⌡
σ ⋅ 2 ⋅ π − 100
a.
b.
c.
d.
(2.44) = 0.794
F ( −1.16) = 0.164
1 − F ( 1) = 0.46
F ( 10) − F ( 2) = 0.274
F
Problema 3. Sabiendo que x se comporta como una normal con una media de 0 y una varianza de 1.
Determine la constante c tal que:
a) P(x<c)=0.1 b) P(x<c)=0.05 c) P(0<x<c)=0.45 d) P(-c<x<c)=0.99
µ :=
a).
σ :=
0
c := 1
Given
1
c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
1 − 0.1
d := Find ( c )
d = 1.282
Miguel Angel Ríos Sánchez
56
31/05/2005
c := 1
Given
b).
c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
⌡
σ ⋅ 2 ⋅ π − 100
0.05
d := Find ( c )
d = −1.645
c).
c := 1
Given
c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv −
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
σ⋅
0
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
2 ⋅ π ⌡− 100
0.45
d := Find ( c )
d = 1.645
d).
c := 1
Given
c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv −
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
σ⋅
−c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
2 ⋅ π ⌡− 100
0.99
d := Find ( c )
d = 2.576
Problema 4. Sabiendo que x se comporta normalmente con una media de -2 y una varianza de 0.25.
Determine la constante c tal que:
a) P(x>c)=0.2 b) P(-c<x<-1)=0.5 c) P(-2-c<x<-2+c)=0.9 d) P(-2-c<x<-2c)=0.996
a).
µ := −2
c := −1
Given
σ :=
0.25
c
1
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
−
⋅⎮
dv =
e
⌡
σ ⋅ 2 ⋅ π − 100
0.2
d := Find ( c )
d = −1.579
Miguel Angel Ríos Sánchez
57
31/05/2005
c := 2
Given
b).
−1
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv −
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
σ⋅
−c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
2 ⋅ π ⌡− 100
0.5
d := Find ( c )
d=
2.029
c := 2
Given
c).
− 2+ c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv −
e
⌡
σ ⋅ 2 ⋅ π − 100
σ⋅
d := Find ( c )
d=
− 2− c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
⌡
2 ⋅ π − 100
0.9
0.822
c := 2
Given
d).
− 2+ c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv −
e
σ ⋅ 2 ⋅ π ⌡− 100
σ⋅
d := Find ( c )
d=
− 2− c
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
−
⋅
⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
⋅⎮
dv =
e
2 ⋅ π ⌡− 100
0.996
1.439
Problema 5. la resistencia a la ruptura de una fibra de algodón es una variable aleatoria x con una µ y σ2 de
165 psi y 9 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que esta fibra tenga una resistencia a la ruptura
menor a 162 psi
µ :=
165
σ :=
9
x
⌠
2
⎮
1 ⎛ v− µ ⎞
− ⋅⎜
⎮
1
2 ⎝ σ ⎠
F ( x) :=
⋅⎮ e
dv
⌡
σ ⋅ 2⋅π 0
F
(162) = 0.159
NOTA: Los problemas anteriores fueron proporcionados por el Departamento de Matemáticas y
Física del Campus Estado de México a traves del Prof. Rubén Dario y se resuelven con Mathcad.
Miguel Angel Ríos Sánchez
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