Métodos Numéricos I

Métodos Numéricos I
(3o¯ Curso)
Centro Superior de Informática
Curso 2002-03
Ejercicios. Hoja 3.1
CAPÍTULO III: Integración Numérica
1. Dada la tabla
x
f
1.0
0.010
1.1
0.252
1.2
0.586
1.3
1.024
1.4
1.578
En la que los valores fi están redondeados a 3 cifras decimales, estimar el valor de la integral
Z 1.4
f (x)dx
1.0
mediante la aplicación de las reglas del trapecio y Simpson generalizadas.
Una cota del error absoluto producido por redondeo es
0.5 · (b − a) · 10−n
siendo a y b los lı́mites de integración y n el número de cifras decimales redondeadas de f en la
tabla. ¿Cuál será la cota del error absoluto producido por redondeo en este ejercicio?.
[Sol.: 0.266, 0.262. Error= 0.2 · 10−3 .]
2. Calcular el valor de la integral
Z
1
0
x
dx
x+1
mediante las reglas del trapecio y Simpson con n = 10 (11 nodos). Comparar con el resultado
teórico. (Redondear a 6 decimales).
[Sol.: Trapecios: 0.306229; Simpson:0.306850; Error teórico: 0.306853]
3. Sabiendo que
Z
1
0
dx
π
=
2
1+x
4
calcular un valor aproximado de π utilizando el método de los trapecios y Simpson (usar a) 11
nodos, b)5 nodos)
[Sol.:Con 11 nodos.: Trapecios: π = 3.13992599; Simpson: π = 3.141592613
Con 5 nodos: Trapecios: π = 3.131176471; Simpson: π = 3.141568628]
4. Aplicar la regla del trapecio con cuatro intervalos para evaluar la integral
Z
1
ex dx
−1
utilizando cuatro cifras decimales redondeadas. Evaluar la cota del error absoluto cometido y el
error por redondeo.
[Sol.: 2.3992. Error abs.= 0.1133. Error red.= 0.1 · 10−2 ]
5. Hallar A0 , A1 , A2 para que la fórmula de cuadratura
Z
1
1
1
f (x)dx = A0 f (−1) + A1 f (− ) + A2 f ( ) + R2 {f }
3
3
−1
tenga grado de precisión 2. ¿Cuál es su grado de precisión exactamente?
[Sol.: A0 = 1/2, A1 = 0, A2 = 3/2. Grado prec.=2]
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Curso 2002-03
Ejercicios. Hoja 3.2
CAPÍTULO III: Integración Numérica
6. Hallar la fórmula de cuadratura de tipo cerrado de Newton-Cotes para 2 puntos. Hallar el error.
¿Cuál es el grado de precisión?.
Rb
[Sol.:
a
f (x)dx =
b−a
[f (a)
2
3
+ f (b)].
R{f } = − (b−a)
f 00 (ξ), ξ ∈ (a, b). Grado pr.=1]
12
7. Hallar las fórmulas de cuadratura de tipo cerrado de Newton-Cotes para 3 y para 4 puntos.
[Sol.: Para 3 ptos.:
Para 4 ptos.:
Rb
a
f (x)dx =
Rb
f (x)dx =
a
3 b−a
[f (x0 )
8 3
b−a
[f (a)
6
+ 4f ( a+b
) + f (b)]
2
+ 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )]]
8. Hallar las fórmulas de cuadratura de tipo abierto de Newton-Cotes para 2 y para 3 puntos.
9. Hallar la fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre con 2 nodos. Hallar el resto.
[Sol.:
R1
f (t)dt = 1 · f (
−1
10. Calcular la integral 4 ·
puntos.
R1
dx
0 1+x2
√
3
)
3
+ 1 · f (−
√
3
).
3
Error : R{f } =
b−a 5
2
·
1
f iv) (ξ),
135
ξ ∈ (a, b)]
utilizando la fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre con 3
[Sol.: 3.141068]
11. Evaluar la integral I =
R1√
1 + 2xdx utilizando las fórmulas de cuadratura:
0
a) trapezoidal
b) Simpson
c) Gauss-Legendre con 3 nodos.
Comparar con el resultado teórico.
[Sol.: a) 1.3660254; b) 1.3981518; c) 1.3987315; terico: 1.398717474..]
12. La integral I =
x2
√
e− 2 dx = 22π .
a) Aproximar I por el método de Simpson, entre las abcisas 0 y 6, usando 6 intervalos.
b) Idem por el método de los trapecios.
c) Idem por el método de Gauss-Legendre con tres nodos.
R∞
0
13. Evaluar la integral I =
R1
x cos x dx utilizando las fórmulas de cuadratura siguientes:
0
a) Trapecios y Simpson con 5 nodos.
b) Gauss-Legendre con tres nodos.
c) Calcular el valor teórico de la integral. ¿Cuál de los métodos anteriores ofrece mayor precisión?.
R
14. Calcular la integral I = 0π cosxx−1
dx utilizando las fórmulas de los trapecios y Simpson con
2
3 y 5 nodos, y la de Gauss-Legendre con 2 nodos.