La lgica de las - Portal de Revistas Académicas de la Universidad

Dr. Gerold
La
I
jO poco que
Stahl
lgica de las preguntas
m.s, que la respuesta sea una proposinon. Esto significa, ya ejue el des
arrollo de la materia en este artculo
se etecta en
correspondencia a la l
gica bivalente (lo cual no es la nica
manera
posible de desarrollarla), que
las respuestas propias deben ser o ver
daderas o falsas.
ha dicho y escrito sobre
la lgica de las preguntas, o lgica erottita, proviene casi siempre de una acti
tud negativa, sealndose que no es po
sible tratarla en forma exacta o, en caso
se
contrario, no se podra utilizar uno de los
simbolismos usuales. Este artculo se limi
ta a
algunas consideraciones generales, las
cuales, sin embargo, dejan ver que un tra
tamiento simblico de la lgica de las pre
guntas en forma paralela a la lgica de
las
proposiciones (enunciados)
posible.
es
limitaremos a preguntas que son
exposiciones de problemas, excluyendo de
este modo
preguntas meramente retricas,
etc., y no investigaremos las preguntas en
lorma aislada, sino relacionadas con sus
No
propia
3) No debe
Nos
ayer
concepto esencial es el de la "res
puesta propia". Para que una respuesta
tiene que
cumplir
con
cuati
o
condiciones:
1)
Debe
verdadera o falsa. Ya que es
interesados primordialmente en
formulaciones simblicas, tratamos las
respuestas en su traduccin al simbo
lismo. Estas traducciones pueden ha
cerse
al simbolismo de cualquier sis
tema
exacto,
principalmente al del
clculo de proposiciones (bivalente) ,
al del clculo de predicados y al de la
aritmtica. Exigimos que la respuesta
ser
tamos
expresada simblicamente sea una ex
presin significativa, es decir, que
cumpla con las condiciones que el sis
tema
respectivo establece para sus ex
presiones significativas. Exigimos, adePara
entender
cimientin
lo
generales
que sigue se
de la lgica
lizamos el simbolismo de los
lua"
i un
poco
modificado)
necesitan
.simblica.
"Principia
.
ct.no-
Uti
Mathc-ma-
excesiva. "Mara se cas
Carlos' no es una respuesta
ser
para nuestra pregunta.
debe ser evasiva. "No s", "Es
po
sible que Mara se cas ayer"
y res
similares
no
resuelven el
puestas
que
No
problema
L'n
propia
con
propia
4)
respuestas.
sea
debe
ser abreviada.
Una respuesta
p.na la pregunta "Mara se ca
s) ayer?" no es "Si" ni "Mara se ca
si')", sino si'.lo "Mara se cas ayer".
L')
no
son
respuestas
propias
[rara la pregunta indicada.
Resumiendo decimos que una
respues
ta es
propia si es una proposicin (expresie'm verdadera o falsa)
cpie contiene to
dos los elementos de la
pregunta y nin
guno ms y que resuelve el problema ex
puesto en la pregunta. Llamamos "pro
pia" una pregunta si tiene por lo menos
una
respuesta
propia.
En caila pregunta estn
previstas ciertas
respuestas y otras no estn previstas. Si se
pregunta "dnde",
ta la indicacin de
se
espera
en
la respues
lugar, l'na respues
ta ion "en
ninguna parte" no es una "res
puesta intencionada", aunque puede ser
una
icspuesia propia. Distinguimos, por
lo tanto, entre una respuesta
propia "in
un
tencionada" y "no intencionada". Para la
pregunta "Cul de estas personas es el
asesino?" tenemos
respuesta* propias in
tencionadas como "El seu ciario es el ase
sino" o "El cocinero es el
asesino", etc.,
mientras que "El senetario y el cocinero
son los asesinos"
y "Ninguna de estas
per-
Anales
72
es el asesino" son respuestas propias
intencionadas.
Llamamos
"perfecta" una respuesta
propia si* es intencionada o si es una conde respuestas intencionadas o
junciiin
si es la conjuncin* de las negaciones de
todas las respuestas intencionadas de la
respectiva. Para la pregunta
sonas
el
no
"F
quin
"Mara
tas:
tenemos,
en
siguientes respuestas perfec
las
otras,
tre
cas Mara?"
se
cas>
se
con
Carlos", "Mara
cas con Pedro", etc., "Mara se cas
Ciarlos y (Mara se cas) con Pedro",
etc., "No es el caso que Mara se cas con
Carlos, ni (es el caso que Mara se cas)
.". Para la pregunta "Ma
con Pedro ni
ra se cas?" tenemos las tres siguientes
"Ma
respuestas perfectas: "Mara se caso",
ra no se cas" y "No es el caso que Mara
se cas, ni
(es el caso) que Mara no se
se
con
.
.
caso" (porque Mara no existe).
Llamamos una pregunta "perfecta" si
tiene por lo menos una respuesta inten
cionada, v convenimos en considerar ni
camente
(las llamare
preguntas perfectas
mos
lo
en
guntas")
simplemente "pre
que sigue
nicamente
y
en
relacin
con
(las llamaremos
"i espuestas"). Todas las preguntas y res
hemos visto,
puestas perfectas son, como
respuestas
sus
propias,
y
perfectas
posiblemente
vale
lo
tambin
inverso.
Procedemos ahora a la simbolizacin de
las preguntas (simples). Si deseamos saber
cunto hay que agregar a 3 para obtener
escribir simplemente "3 + ?
7,
podemos
=
7",
7" **, para lo cual "3 + 4
=_
-L
son
"j
7". etc.,
5
respuestas inten
cionadas. El signo de la interrogacim
el "[junto de la interrogacin", es
marca
decir, el lugar que ser ocupado en una
intencionada por el smbolo
=
respuesta
ejue
la
(cuvo simbolizado) est solicitado
en
pregunta.
siguientes simbolizacio
o nopaia preguntas: por la negacin
negaiin tle una proposicin ("Es el ca
la
so
que rescataron la caiga?") "?p": por
relacin enue dos proposiciones "/' ? ("':
'leemos as las
nes
sim
por una pioposii ii'm en una expicsiin
blica ("Qu se deduce ele 'Los ngulos
"
de
este
poi
un
tringulo
valoi
Menos las
ilc
*
ele
son
una
iguales'?")
linui'm
lonjunuoius que |>rian
(p
~.p)
la lonlnidiccin:
~
>
^>
?";
('.Quin
contra
la
es
ley
.
Podemos expresar lo mismo un poco ms
plicado poi "i-f-x = 7 O * '/".
com
la
Universidad
asesino?", "Dnde venden
la funcin
hace Mara?")
?";
de
por
("Qu
de
Chile
pescado?")
una
constante
"?a", por
la clase
el rinoceron
te?") "a z ?"; por una relacin ("En qu
relacin estn Mara y Carlos?") "a 7 b";
"'
2 + 2": etc.
por un nmero
de
elemento
un
El
pregunta
".Con
de
aqu
("Qu
es
de la interrogacin representa
conectivas proposicionales, a
signo
veces
a
a veces relaciones, etc. Por lo
simbolizacin no es muy satis
factoria, y en inters de una mayor clari
dad expresamos las mismas preguntas aho
ra del modo siguiente: "co? p"
"p co? q",
"p 3 q?", "Fx?", "Fr a", a e ?", "a R? b"
"x? = 2 + 2", utilizando "co" seguido por
el signo de la interrogacin en representacim de una conectiva preguntada y en
los otro casos los smbolos de variables
de los clculos respectivos seguidos por el
veces
clases,
esta
tanto,
,
,
de la
signo
interrogacin.
Cualquier pregunta (perfecta y simple)
puede expresarse as simblicamente sin
dilicultad. El procedimiento es el siguien
En una respuesta intencionada verda
dera o lalsa se sustituye en el punto de
la interrogacin el simbolo de una varia
ble correspondiente (por ejemplo, "x" o
o "i o") en lugar del smbolo de la cons
tante
(por ejemplo, en lugar de "4" o
"~") v se agrega el signo "?". As formu
a
"co?
lamos la
partir de la
te.
p"
pregunta
formulacin de la respuesta intencionada
2 -f- 2" a par
"~p", la pregunta "x
tir de la formulacin de la respuesta in
=
2 + 2", etc.
tencionada "4
Las distinciones corrientes entre pre
"cmo
guntas con "quin", "dnde",
=
"porqu",
etc.,
pierden
de
importancia,
.
ya
su
simbolizacin no se mantiene
diferencia. Preguntas con "quin".
"dnele", "cmo" y "porqu", por ejem
"I- y?'
plo, pueden simbolizarse por
la funcin 'ser l.i
satisface
valor
("Qu
.'.
.', o 'ser el lugar donde
persona que
.', o 'ser la ra
o
'ser la manera como
en
que
esta
.
.
.
por la cual
zn
.
.
.
.
.'?").
.
Por el
otro
lado,
"porqu" puede repietambin por "/'? 3 q" ("Qlu*
sent.use(proposicin) implica...?".) Como puede
una
pregunta
con
varias simbolizaciones para propo
siciones, as las puede haber tambin pa
haber
v se elige la ms convenien
las necesidades del momento.
ra
preguntas,
te
segn
A pesar de que no consideramos nece
sario hacer distinciones especiales, segn
la lorma de la pregunta, debemos tratar,
La lgica
sin
de
las
73
preguntas
las
embargo,
"preguntas selectivas", las
y las "preguntas
condicionadas"
separadamente. En una
pregunta selectiva se sealan especfica
mente
varias respuestas posibles ligadas
"preguntas compuestas"
por "o"
(para que
Por
puesta).
Carlos
o
seleccione
se
ejemplo. "Mara
Pedro?"
con
es
una
se
una
res
cas
con
se
pregunta
lectiva. Sus respuestas (perfectas) son cua
tro
(las dos primeras intencionadas): "Ma
ra se cas) con Carlos". "Mara se cas) con
Pedro", "Mara
dro"
"No
v
Callos ni
con
cas)
se
el
es
con
Carlos y
que Mara
Pedro".
caso
con
Pe
casi)
se
.
muchas
.
abreviaturas
de varias
de interroga
cin *. En este caso hablamos de "pregun
tas
compuestas". Por ejemplo, "Dnde y
cundo encontraron al asesino?" puede
considerarse como abreviatura de: "Dn
de encontraron al asesino?" y "Cundo
encontraron al asesino?", es decir, en es
te caso como una conjuncin de dos pre
veces
como
un
con
preguntas
punto
guntas. Similarmente
la pregunta "Dnde
al asesino?"
ron
podemos
o
como
considerar
cundo
una
encontra
de
disyuncin
dos preguntas. Disyunciones de pieguntas
no
deben confundirse con pieguntas se
lectivas (a pesar de que existe cierto pa
ralelismo).
Conjunciones
de preguntas se represen
()" y disyunciones poi
por "(...)
(. .) v (. .)" entie los parntesis se co
locan las simbolizaciones ele las preguntas
"
.
espectivas).
L'na
te?".
condicionada
pregunta
ejemplo,
intencionadas
respuestas
la
de
o
sei
a
por
enfermo, por qu vinis-
"Si ests
Sus
negacim
de las
son
la
proposiciones
que
espuestas
aparecen en la condicin y las i
intencionadas de la pregunta propiamen
te tal. l'na
pregunta de este tipo se ic-piesenta
"3"
En
implie ae im en que las [im
de la condicin apaiceen en el
como
posiciones
implicante
parntesis junto
propiamente tal
entre
y la pregunta
el
contrario ellas
caso
preguntas simples pero
de
variables
y
"
por
indicado
ejemplo
(p
3)
se
repre
l-xf".
A toda pregunta
(perfecta) correspon
de una expresin que es la disyuncin de
todas sus respuestas intencionadas y de la
conjuncin de las negaciones de sus espuestas intencionadas. A "Fx", por ejem
v.
plo, 101 responde "Fa.v.Fb.x.F'c.y
~Fi
~Fa
~Fb
."; a "a R? b" coi
v.~ (a S b).
responde "a S b.v.a T b.\.
.
.
.
.
.
."; a "??p
(a T b)
"p.x.q.\.~p ~q": etc.
.
.
.
siones, que llamamos
v
.
.
??</" corresponde
Todas
estas
expre
"expresiones parale
tautologas.
son
Por lo
menos
una
pane de
una
tal dis
yuncin (cada parte es una respuesta
fecta) es verdadera, y llegamos, por lo
per
tan
la conclusin de que cada pregunta
perfecta tiene poi lo menos una i espues
to,
a
verdadcia.
ta
una
nos
parte
Pero tambin, por lo me
es lalsa,
y as cada pregun
perfecta tiene
(perfecta)
por lo menos una i esfalsa. Ella puede tener,
adems, hasta infinitas respuestas verda
deras y tambin hasta infinitas respuestas
falsas. Por ejemplo, para "3 + x? = 7"
existe una respuesta verdadera e infinitas
lalsas, para ",V > x?" existen infinitas res
puestas verdaderas e infinitas lalsas.
ta
puesta
Si
la
ms
hay
para
una
de
una
respuesta
verdade-
distinguimos
completa", epie
pregunta,
"respuesta vi uladera
ronjunciin de todas
entre
es la
las espuestas inten
cionadas verdaderas de la pregunta respec
tiva, y "respuesta vcidadea incompleta",
es
que, aunque
una
respuesta verdadera,
cumple ion esta condicitin.
Respuestas que no son peilectas p.na
una
pregunta pueden ser peilectas para
otta. lina
proposicin verdadera, aunque
no
tan
.
sentara
las",
Preguntas selectivas se representan por
." con tantas partes de la
"??p v ??q \
disyuncin, como posibilidades sealadas
en la pregunta. Nuestro
ejemplo se repre
sentara luego por "??p y
lq".
Hay preguntas con ms de un punto de
interrogacin. Ellas pueden considerarse
El
implicado.
signos
de
con
se
el
representan
nmero
interrogacin.
con
en
el
no es
una
nspuesla perica ta para la pie
gunta en cuestim, puede ser sediciente
para obtener una espuesia ()ierleeta) ver
daclera para esta pregunta. Tenemos, por
ejemplo, para la pregunta "Mara se ta
s) con Callos o con Pedro?" la
respuesta
verdadera
"Mara se case')
(nicamente)
Antonio ", que no es una respuesta
pe leda. Pe o. a partir de ella puede ob
la
tenerseespuesta perfecta vert, ulea
ion
"No
algo
ionio
risprdivo
el
que Mara
Pedro".
Consideremos ahora las
es
los ni
i a,o
se
casi)
con
Cal
con
preguntas
investiguemos qu
como
relacio
nes
[Hieden estable eise entre ellas. Pren
sando un poi o m.s el
concepto de "piegunia", la consideramos como "exposicin
entero
e
Anales
74
de
que exige por lo me
respuesta verdadera". Simboliza
ahora las preguntas (perfectas) por
problema
un
una
nos
mos
mos
respectivamente.
para
"Q",
juncin v
.
lo indicado, por lo
una
respuesta suficiente para ob
una
respuesta verdadera para una
Necesitamos,
menos
tener
segn
pregunta sola. Para
preguntas necesitamos
conjuncin
una
de
respuesta sufi
ciente
(para obtener una respuesta ver
dadera) para cada componente; para una
disvuncin de preguntas es suficiente una
respuesta suficiente para uno de sus com
ponentes.
Hablamos de una "implicacien de pre
guntas" ("P 3 Q "), que debe distinguirse
de una pregunta condicionada, si cual
una
quier respuesta suticiente para la pregun
ta
implicante (P) es tambin suliciente
para la pregunta implicada (Q). Habla
mos de una
"equivalencia de preguntas"
("y?
ra
si
Q "),
=
una
para obtener
ra
la
otra
respuesta suliciente pa
una
necesaria y suficiente
respuesta verdadera pa
es
pregunta
una
pregunta.
se
fueron?) (A
(Cmo se hiri?) v
qu se hirii?); (Con quin se cas
Mara?) 3 (Mara se casi')?); (Es sta tu
(Eres t el padre de ella?).
hija?)
(Cundo
Ejemplos:
dnde
[.Con
.
fueron?);
se
=
algunas simbolizaciones ms
en
posicin de lonnar un
clculo de preguntas y respuestas. Aqu
no
procederemos a una sistematizacin
Con esto y
-.a
estaramos
(axiomalizacin, etc.) de
sealaremos slo
expresiones
clculo, sino
este
lo ejue sigue
seran teoremas
en
epie
algunas
de
un
Utilizaremos, adems
de los smbolos va sealados, "res P" que
signilic a "Se dispone de una respuesta sulicente para la pregunta P", y la negacin
de esta expresin,
es P"
que significa
"No sp dispone ele una respuesta suficien
te
paia la pregunta P". Tenemos luego:
clculo de
tipo.
este
,
"
,
P.D.res
P.O.-
res
-res
P
3
P
D
P
=
I>
=
0
O
(>
(J
res
P
P.
P
.P
(/)
=
v
Si
res
.
es
=
res
(P
v
tenemos
.
0)
0
(?)
0.3. -res P
(*/)
P.J.ies 0
P.Z>.~res
.D.~(P
P
.0
(I)
(2)
0)
l'n. res
-res
.
~
.
0.
v
-res-
.
.
v
(P
res
P
una
Q
3
0)
(5)
()
(7)
(*)
(9)
respuesta suficiente
la
Universidad
pregunta de
tenemos
Chil^
disyuncin,
una
una
de
en
suficiente
respuesta
para la
"R". etc. Ya conocemos la con
la disyuncin de preguntas, que
simbolizamos ahora por "P Q" y "P v Q",
"P".
una
para
tonces
de
disyuncin entera; {2\ si no tene
ninguna respuesta suficiente para
pregunta de una conjuncin, enton
una
ces
tenemos
no
mos
la
una
gunta
respuesta suficiente
una
conjuncin
si
(3)
entera;
tene
respuesta suficiente par la pre
implicante
de
una
afir
implicacin
mada, entonces tambin tenemos una
respuesta suficiente para la pregunta im
;
(8) una pregunta es
plicada; (4)
equivalente a la disyuncin, cuyas partes
son esta misma
pregunta (idempotencia);
(9) el orden de las preguntas en una dis
.
.
yuncin puede
dad); etc.
.
invertirse
(conmutativi-
La conjuncin y la disyuncin de pre
guntas pueden considerarse tambin como
preguntas. No es as con la implicacin y
la equivalencia. Estas no son preguntas,
sino proposiciones que pueden ser verda
deras
falsas,
o
P".
"res
Los
tambin "res P" v
indicados son
como
teoremas
igualmente proposiciones. Tenemos, por
lo tanto, proposiciones en que se presen
preguntas (romo tuvimos arriba las
preguntas condicionadas, en que se pre
sentaban proposiciones), un hecho que de
muestra claramente que pregunta y pro
posicin son algo que admite un trata
tan
miento comn.
Para representar las relaciones entre
preguntas hemos utilizado smbolos como
"v", ".", "3", etc., mientras que en los
teoremas hemos utilizado los mismos sm
bolos para conectar proposiciones. Los dos
modos de emplear los smbolos deben distinguise claramente. El contexto permite
reconocerlos sin dilirultad.
entre los
Fxiste un notable
paralelismo
indicados y los teoremas del
clculo de clases. Para poder expresar los
mismos teoremas en el clculo de clases
trabajamos con "clases de respuestas que
sulieientes para obtener una respues
son
teoremas
ta
en
verdadera para la pregunta
lugar de preguntas V A la
de preguntas
Kxisulamentc
respectiva"
disyuncin
la unin
corresponde luego
la posibilidad de una definicin compleionnal de una pregunta (como clase de
ejemplo, de "Fx'":
proposiciones) por
Ex'
=H, /.(i/'.y).
.
J-v
/'
3
Ey.\.-[L\)Fy
~(li)Fy)
ila
birse
expresin paralela
en
forma
-t/-.i)/-v").
mis
de
corta
"Ex'
puede
"
como
.
p
D
escri
(Ey) Fy
v
l.V
UIGICA
DE
las
precunias
de clases; a la conjuncin, la interseccin;
a la
implicacin, la subclase; a la equiva
lencia, la identidad de clases; a "rn P"
coi
responde "La clase respectiva no es va
cia"; y a "res P" "La clase
respectiva es
vacia".
,
dems
Los
clases caben
conceptos
perfectamente
tuacin,
como
clase
todas
del
clculo
en
de
esta
concepuniversal"
(la
la "clase
las respuestas de un ti
po que son suficientes para obtener una
respuesta verdadera para alguna pregun
ta), la "clase vaca" (la clase que no con
tiene
ninauna
respuesta suficiente para
una
pregunta), el "complemento de una
clase", por ejemplo de la clase a (la clase
de todas las respuestas suficientes
para
obtener una respuesta verdadera para al
guna pregunta, menos las respuestas sulicantes de a) y "...es elemento de la
clase
.".
Para todos estos conceptos pueden for
de
.
.
conceptos correspondientes en el
clculo de preguntas y respuestas: la "pre
gunta universal" (para ella es suficiente
cualquier respuesta que es suliciente para
alguna pregunta), la "pregunta vaca"
marse
que
no
es
una
pregunta
propiamente
tal
(para
guna
respuesta
una
ella
pregunta),
de P"
gunta P"
tan.!
o
el
es
no
es
que
suliciente
suliciente
nin
para
la
"pregunta complemen
"complemento de la pre
(para ella
quier respuesta que es
suficiente cual
suficiente para al
es
guna pregunta, menos las respuestas que
son suficientes
para P) y "... es una res
puesta suficiente para obtener una res
."
puesta verdadea para la pregunta
(corresponde a ". es elemento de la ca.
.
.
.
se...").
De
este
modo
correspondencia
se
ha
entre
establecido
el
plena
clculo de
pre
guntas y respuestas y el clculo de clases,
lo cual permite sistematizar el clculo de
preguntas y i espuestas de la misma mane
ra
como
A
el clculo de clases.
pesar de
una
diferencia fundamental
entre
preguntas y proposiciones, existe,
como
se
ha mostrado, la posibilidad de
simbolizar preguntas de un modo
que se
mantiene una correspondencia con las
proposiciones del sistema respectivo, y la
de tratar preguntas en
propo
siciones y de calcular con ellas. Todo esto
abre interesantes perspectivas.
posibilidad