013 Aplicación del Método de las fibras

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FIBRAS: EL DIAGRAMA DE
INTERACCIÓN M-N
Patricia CUADROS
Ingeniero Civil- Magister en Ingeniería de Estructuras Sismorresistentes.
San Juan- Argentina
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de San Juan.
[email protected]
Profesor e Investigador Dpto. Matemática, cátedras Cálculo I y Cálculo II. Fac.
Ingeniería. Profesional independiente con numerosos trabajos de cálculo de
estructuras, antigüedad de 20 años en la profesión.
Silvia PAVONI
Ingeniera Civil. Universidad Nacional de San Juan.
Magíster en Ingeniería Estructural. Universidad Nacional de Tucumán.
[email protected]
Actualmente se desempeña como Profesor Cátedra Hormigón I, Facultad de
Ingeniería, Universidad Nacional de San Juan, y como Investigadora del Instituto de
Investigaciones Antisísmicas “Ing. Aldo Bruschi”. Universidad Nacional de San Juan.
Pablo MARCUZZI
Alumno último curso Carrera Ingeniería Civil. Universidad Nacional de San Juan.
Becario Alumno Avanzado del Consejo de Investigaciones Científicas y Técnicas
(CICITCA), Universidad Nacional de San Juan.
Ayudante Alumno, Cátedras Cálculo II y Matemática III, Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de San Juan.
Resumen.
El diseño de un elemento comprimido no esbelto se basa fundamentalmente en la
capacidad resistente de su sección transversal solicitada por una combinación de
momento flector y carga axial, que debe satisfacer tanto la condición de equilibrio de
fuerzas como la condición de compatibilidad de las deformaciones, encontrándose
esta combinación actuante dentro del diagrama de interacción limite M-N que
representa la capacidad resistente seccional del elemento. El diagrama de
interacción es de uso universal y de gran utilidad para el dimensionamiento de
columnas solicitadas a carga normal N y momento flector M. Este trabajo presenta
el método de las fibras o capas para la construcción del diagrama de interacción,
siendo una de sus ventajas permitir la aplicación de distintas ecuaciones
constitutivas en las diversas fibras de la sección transversal. El método se extiende a
columnas esbeltas (efecto P-delta) y a elementos constituidos por más de dos
materiales. Desde el punto de vista educativo se pretende aprovechar las
posibilidades se su empleo en la enseñanza del cálculo y verificación de
estructuras de hormigón armado y mampostería, destacando la utilidad del método
al proporcionar una manera lógica y sencilla de construcción del diagrama, que
permite programarlo fácilmente en distintos software.
Palabras clave: diagrama de interacción – hormigón armado – método de las fibras
Summary.
Design of a not slender compressed element is essentially based on the resistant
capacity of its cross section requested by a combination of bending moment and
loads axial must meet the condition of balance of power as the deformation
compatibility status, finding this acting combination of interaction diagram limit M-N
representing branch resistant capacity of the element. The interaction diagram is
universal and useful for columns requested N normal load and bending moment M.
sizing This work presents the fibres method or layers for the construction of the
diagram of interaction, being one of its advantages permit the application of different
constitutive equations in various fibers in cross section. The method extends slender
columns (P-delta effect) and elements consisting of more than two materials.
Educational terms is intended to take advantage of the possibilities is its use in the
calculation and verification of reinforced concrete and masonry structures education
emphasizing utility method to provide a simple and logical way to diagram allows you
to easily set in various software construction.
Key words: reinforced concrete - the fibers method - interaction diagram
1. INTRODUCCIÓN
El diagrama de interacción es de uso universal y de gran utilidad para calcular y
dimensionar las columnas que son asociadas a carga normal N y momento flector M,
interpreta específicamente la flexocompresión, define todas las posibles
combinaciones de N-M que provoquen la falla de una columna prediseñada en el
intervalo completo de excentricidades, no tiene en cuenta la fluencia lenta y el
pandeo.
Para el diagrama de interacción en el plano, como se muestra en la Figura 1, en el
eje de las ordenadas se representan las cargas actuantes N y en el eje de abscisas
los momentos flectores M. Para una columna de sección y cuantía establecida la
curva de la Figura 1 indica los puntos de rotura para todas las combinaciones
posibles de N y M, resistencias nominales. En el diagrama, cualquier línea radial
representa una excentricidad e = M .
N
Se empleará el método de las fibras en la construcción de esta curva, que conforma
un diagrama para una cuantía particular.
Para el diseño de una columna, el diagrama representa el límite del área donde
cualquier combinación N-M es soportada sin que se produzca la falla de la columna.
N
CURVA
LÍMITE
N1
T: TRAYECTORIA DE
CARGA PARA VALOR
DETERMINADO DE E
T
M1
M
Figura 1: Diagrama de interacción.
En este trabajo se presenta el uso del método de las fibras, destacando la utilidad
del mismo porque proporciona una manera lógica y sencilla para la construcción del
diagrama de interacción N-M que permite programarlo fácilmente en distintos
programas de computadora, visualizando el seguimiento del proceso completo y la
metodología empleada, siendo una herramienta con potencialidad en el campo
profesional. Este procedimiento permite abarcar secciones con geometría arbitraria
formadas por una sucesión de lados rectos (polígonos) y con una distribución
también arbitraria de la armadura resistente, por lo que también puede aplicarse, por
ejemplo, para resolver tabiques de edificios, tableros de puentes, secciones con
agujeros, etc.
Entre los objetivos básicos planteados está aprovechar las posibilidades educativas
del método en el estudio del diseño de estructuras de hormigón. Con el avance en
rapidez y precisión de las computadoras, programas como el Matlab®, permiten
reemplazar el tiempo empleado en cálculos manuales, con el análisis y
profundización de conceptos básicos de estructuras, que son necesarios para
programar el método. Convirtiéndose en una herramienta de gran ayuda para
resolver problemas de ingeniería con un enfoque didáctico, utilizando funciones
programadas y la capacidad gráfica del software, se obtienen las curvas de las
ecuaciones constitutivas de los materiales, los distintos perfiles de deformación
estipulados en la norma CIRSOC 201, los diagramas de interacción nominal y de
diseño.
Este método posibilita la construcción del diagrama de interacción para llevar a cabo
el análisis en la sección transversal de la columna, la cual puede considerarse
dividida en tres sectores: el sector de recubrimiento, aplicando una ecuación
constitutiva particular para hormigón no confinado, el sector del núcleo, con una
ecuación constitutiva para hormigón confinado y el sector correspondiente a la
armadura de acero, cuya ecuación constitutiva responde al modelo de CHENG Y
MANDER.
2. CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Para demostrar la potencialidad del método, el procedimiento desarrollado se aplica
a la construcción del diagrama de interacción M-N considerando una sección
rectangular de hormigón con armadura simétrica normal al plano de flexión en dos
caras opuestas y confinada con estribos, como la mostrada en la Figura 2.
AS1
D
H
AS
R
|
B
Figura 2. Sección de un elemento de hormigón armado.
Siendo:
h = altura de la sección
b = base de la sección
r = recubrimiento de hormigón de la armadura
d = altura efectiva de la sección.
As = área de armadura longitudinal de una cara
As1= área de armadura longitudinal de una cara
2.1. Principios básicos
El método se ha desarrollado teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibrio y
compatibilidad, atendiendo al comportamiento de los materiales definido por sus
ecuaciones constitutivas. En su planteamiento se han contemplado las siguientes
hipótesis:
1. Se considera que los esfuerzos se aplican en un plano de simetría de la sección.
2. Las secciones planas antes de la aplicación de una acción permanecen planas
después de la aplicación de una carga o una deformación específica.
Representando la linealidad de la distribución de esfuerzos en cualquier sección.
3. Las deformaciones específicas de las distintas fibras de la sección son
proporcionales a su distancia al eje neutro.
4. Se considera que la deformación específica máxima del hormigón en su fibra más
extrema en compresión es ε cu = 0,0035 ,Ref. [2].
5. La magnitud y la posición de la fuerza de compresión depende de la forma del
diagrama tensión-deformación del hormigón.
6. La resistencia del hormigón a esfuerzos de tracción es aproximadamente un 10%
de su resistencia a compresión, por lo cual se considera despreciable en este
caso.
7. El efecto de duración de la carga puede ignorarse.
2.2. Ecuaciones constitutivas de los materiales
De acuerdo a las leyes constitutivas de los materiales, la tensión máxima del
hormigón se produce alrededor de una deformación del 0,2 %, mientras que la falla
por compresión (aplastamiento) sobreviene cuando alcanza su deformación máxima
del 0,35%. Por otro lado el acero ADN-420 puede entrar en fluencia cerca de una
deformación del 2 ‰, pero recién falla a tracción a deformaciones superiores al 10%.
El CIRSOC 201, art. 17.2.1 limita la máxima deformación del acero a 0,5%, igual la
norma DIN 1045, el ACI no impone límites en la deformación a tracción del acero.
Para las relaciones tensión deformación de los materiales pueden usarse las dadas
en la norma CIRSOC 201, art. 17.2, teniendo en cuenta la variación no lineal entre
tensiones y deformaciones.
En este trabajo, la ecuación constitutiva del acero empleada es la propuesta por
Cheng y Mander, mostrada en la Figura 3.
Siendo para el campo elástico, con deformación específica entre:
0 ≤ ε s ≤ ε sy
fsi = ε si . Es
(1)
Para el plafón de fluencia, con deformaciones entre:
ε sy ≤ ε s ≤ ε sh
fsi = fy
(2)
Para el campo de endurecimiento por deformación, con deformaciones entre:
ε sh ≤ ε s ≤ ε su
  E s . ε  20 
s
fs = E s . ε s . 1 + 
 
  fy  
− 0,0 5
  ε − ε p 
s
+ ( fsu − fy ) 1 −  su
 
  ε su − ε sh  


(3)
Siendo:
ε s = deformación específica del acero
ε sy = deformación de fluencia del acero
Es = módulo de elasticidad del acero
fsi = tensión del acero
f y = tensión de fluencia del acero
f su =1,32 f y
Esh = 0,05 Es ± 20%
ε sh = 0,017
ε su = 0,17
k =1 para endurecimiento, 0 antes de este campo.
ε −ε 
p = Esh .  su sh 
 fsu − fy 
(4)
Curva esfuerzo-deformación del acero
600
fsu
esfuerzo fs [MPa]
500
400
300
200
100
0
εsy
0
0.02
εsh
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
deformación epss [cm/cm]
0.14
0.16
0.18
εsu
Figura 3. Ecuación constitutiva del acero. Grafica realizada con Matlab®
La ecuación constitutiva del hormigón empleada es la propuesta por Hognestad, que
es ampliamente aceptada, Ref. [3] mostrada en la Figura 4. Consta de dos tramos,
siendo el primero una parábola de segundo grado hasta la tensión máxima, el
segundo tramo de la curva responde a una recta de pendiente negativa, tal que
cuando alcanza la deformación máxima, la tensión es el 85% de la tensión máxima.
Si εb < ε0
 2 ε  2 ε 2 
′
fc = fc  b −  b  
 ε0  ε0  


(5)
Si εb > ε0
fc = fc′ (1−100 ( ε b − ε 0 ) )
Siendo :
fc : tensión de compresión del hormigón para εb < ε0
fc’ : tensión máxima de compresión del hormigón para ε0 = 2‰
εb: deformación de compresión del hormigón
ε0: deformación para la máxima tensión de compresión del hormigón.
(6)
Curva esfuerzo-deformación del hormigón
25
f’c
0,15 f’c
esfuerzo fc [MPa]
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
deformación epsb [cm/cm]
3
3.5
x 10
-3
Figura 4. Ecuación constitutiva del hormigón
Como deformación última del hormigón se considera el valor que corresponde a la
de 0,0035
desintegración del hormigón no confinado, que puede darse entre un
y 0,005, entonces se puede tomar como efectiva toda la sección de hormigón, Ref.
[2]
. Adoptamos εbu = 0,0035.
2.3. Método de las fibras
El método de las fibras se emplea para determinar y graficar el diagrama de
interacción M-N para columnas. Consiste en:
1. Dividir la sección del elemento estructural en capas o fibras, por ejemplo en un
número de 50 capas. Cp es la posición del centroide plástico de la sección, que
es el punto de aplicación de la carga externa que produce la falla de la sección
por carga axial, cuando el elemento estructural tiene armadura simétrica, el
centroide plástico coincide con el centro geométrico de la sección. Ver Figura 5.
Cp
Figura 5. División en capas de la sección total del elemento.
2. Obtener los parámetros geométricos de la sección y de las correspondientes
capas, como ser centroide plástico de la sección, cp, y de cada capa, cf , y área
de cada capa, ai.
cp = d .
0, 0015
0, 0035
(7)
ai = b .
d
n
(8)
Siendo
n = número de fibras o capas en que se divide la sección.
No se toma en cuenta el área de hormigón desplazada por el acero de compresión,
As1.
3. Los diagramas de deformación correspondientes a los estados límites o de
agotamiento utilizados son los que establece el reglamento CIRSOC 201, artículo
17.2.1, 1982. Ver Figura 6.
εb=2
εb=3,5
B
Zona 3
As1
Φ3
Zona 1
Φ1
A
A
εs=2‰
Φ2
D
Centroide
plástico
Zona
2
C
ε=0
Figura 6. Diagrama de deformación correspondiente a los estados límites o de
agotamiento.
En la Figura 6 las zonas indicadas corresponden, de acuerdo con el artículo 17.2.1
del reglamento CIRSOC 201, 1982, a:
Zona 1: tracción céntrica y con pequeña excentricidad, hasta ε = 0. Cuando la carga
alcanza cierto nivel, el acero entrará en fluencia, ε s = ε y = 0, 2% antes que el
hormigón alcance el agotamiento de su resistencia, εb=3,5 ‰ y en la zona hay
flexión simple o compuesta hasta εb=3,5 ‰, y con tensión de fluencia en el acero.
Zona 2: Flexión simple o compuesta con agotamiento de la resistencia del hormigón
y con tensión de fluencia en el acero. Y luego flexión compuesta sin llegar al límite
de fluencia del acero, εs < 2‰, y con agotamiento de la resistencia del hormigón.
Zona 3: compresión céntrica y flexocompresión con pequeña excentricidad.
Para el estado de deformación vertical que pasa por A, Figura 6, si la armadura es
simétrica, el estado es de tracción pura, en caso contrario hay un momento y una
tracción. Para cada faja de la sección discretizada existe tracción nula (ya que se
despreció la tracción en el hormigón).
Con centro en A, Figura 6, se gira el diagrama de deformaciones en forma horaria
hasta el punto B, zona 1, el ángulo varia desde cero a:
Φ1 =
0, 0035 + 0, 002
d
(9)
Esta variación se realiza paso a paso, incrementando el angulo Φi en ∆Φ y
calculando la deformación correspondiente en cada capa, como sigue:
∆Φ =
Φ1
no
(10)
Φi +1 = Φi + ∆Φ
i =1...no
con
(11)
ε fi = Φ i . c f
(12)
Siendo:
no = numero de diagramas a dibujar en la zona.
∆Φ = incremento del ángulo.
Φi = ángulo correspondiente a un diagrama de deformaciones
εfi = deformación de cada capa
cf = centroide plástico de una capa
Los diagramas de deformación que se obtienen se muestran en la Figura 7, con esta
variación se pasa de tracción a flexocompresión.
Perfiles de deformaciones de la sección girando desde epss=0,002 a epsb= 0,0035
700
600
altura de la sección
500
400
300
200
100
0
-2
-1
0
1
2
deformación específica
3
4
-3
x 10
Figura 7. Perfiles de deformación de la sección girando desde εs = 0,002 a εb =
0,0035, en zona 1
Con centro en B, Figura 6, se gira el diagrama de deformaciones en sentido anti
horario hasta alcanzar el punto C, zona 2. El ángulo Φ2 es:
Φ 2 = Φ1 −
0, 0035
d
(13)
En la zona 2 se continúa con solicitaciones de flexocompresión hasta alcanzar el
punto de falla balanceada. Los perfiles de deformación obtenidos se muestran en la
Figura 8.
Perfiles de deformaciones de la sección desde epsb=0,0035 hasta epss=0
700
600
altura de la sección
500
400
300
200
100
0
-2
-1
0
1
2
deformación específica
3
4
x 10
-3
Figura 8. Perfiles de deformación de la sección girando desde εb = 0,0035 a εs = 0,
en zona 2
Con centro en D, Figura 6, se gira el diagrama en sentido antihorario hasta que el
diagrama sea nuevamente vertical, variando los angulos con un esquema similar
que el empleado para la zona 1.
El ángulo Φ3 es:
Φ3 =
0, 0015
x
(14)
Finalmente, en zona 3, se varia desde falla balanceada, que es el punto donde el
acero en tracción alcanza la deformación εs=2‰ y la fibra extrema de la sección la
deformación de compresión en el hormigón máxima de εb = 0,0035; hasta
compresión pura en el caso de que la armadura sea simétrica. Los perfiles de
deformación obtenidos se muestran en la Figura 9.
Perfiles de deformaciones de la sección girando en centroide plástico
700
600
altura de la sección
500
400
300
200
100
0
0
0.5
1
1.5
2
deformación específica
2.5
3
3.5
x 10
-3
Figura 9. Perfiles de deformación de la sección girando en centroide plástico, zona 3
4. El procedimiento es iterativo. Para varios pasos discretos de estos giros se
calcula la deformación específicas en las fibras y en el baricentro de las
armaduras, como indican las ecuaciones (10) a (12), con esas deformaciones y
utilizando las ecuaciones constitutivas de los materiales se calculan las tensiones
en cada capa o fibra.
5. Los conceptos aplicados para obtener la resistencia a flexión en vigas son
aplicados también a secciones de columnas, la variación es la incorporación de la
carga axial actuante, que entra en equilibrio con las fuerzas internas y se debe
considerar al evaluar el momento resistente.
Con los valores del área de cada fibra y de las armaduras, y las tensiones
obtenidas en el apartado anterior se calculan las fuerzas, en el hormigón:
C = fc . ai
(15)
Las fuerzas en el acero:
T = fs . As
(16)
T1 = fs1 . As1
6. Con ese conjunto de fuerzas se calculan los momentos, respecto de Cp (centroide
plástico) o respecto a la posición de la armadura inferior o superior y fuerzas
normales del diagrama de interacción.
M = T1 (d − 2r ) + C. d1
(17)
N = T1 + T + C
7. Se grafican los valores M-N correspondientes a cada perfil de deformación,
Figura. 10
diagrama de interacción para una sección con armadura simétrica
6000
esfuerzonormal[kN]
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
100
200
300
400
momento [kNm]
500
600
Figura 10. Diagrama de interacción para una sección de hormigón armado con
armadura simétrica
El diagrama obtenido responde a la filosofía del reglamento CIRSOC 201
edición1982, con resistencias nominales. Los lineamientos introducidos por el
CIRSOC 201 edición 2005 cambian la forma del diagrama de interacción al graficar
resistencias de diseño, para lo que hay que introducir los coeficientes de reducción
por resistencia.
La norma ACI-318-05 especifica que el factor de reducción por resistencia φ es
función de la deformación específica a tracción del acero, Figura. 11. Lo que hace
más conveniente la construcción del diagrama para incluir los puntos donde la
sección comienza a ser controlada por tracción. Esto permite encontrar en forma
más rápida las resistencias de diseño, a partir de las resistencias nominales.
φ
0,90
c
d
φ = 0, 48 + 83ε t
0,65
sección controlada
por compresión
Sección controlada
por tracción
Interpolación
ε t = 0, 002
ε t = 0, 005
c
= 0, 60
d
c
= 0,375
d
Figura 11. Factor φ en función de la deformación máxima del acero en tracción.
Acero ADN-420
Debe destacarse también que es posible graficar las curvas para las distintas
cuantías agregando un paso más al método lo que permite explotar las diversas
alternativas para el diseño de columnas, esto contribuye a optimizar los diseños.
3. CONCLUSIONES
Se muestra un método para la obtención del diagrama de interacción que puede ser
totalmente automatizado con distintos software y de utilidad en el campo de la
práctica profesional agilizando la obtención de las resistencias de diseño de acuerdo
a los factores de reducción φ de la norma.
El método permite un enfoque racional, relativamente simple y directo para la
construcción del diagrama de interacción en el diseño de columnas que lo
transforma en una herramienta potente en el campo de la enseñanza de las
asignaturas correspondientes. Es también aplicable para el diseño de tabique de
hormigón.
4. REFERENCIAS
[1] Normas Argentinas para Construcciones Sismorresistentes INPRES - CIRSOC
103 - Parte I - Parte II . , INPRES, 1983.
[2] Normas Argentinas para la Construcción- CIRSOC 201, INTI, 1982.
[3] E. Hognestad, A Study os Combined Bending and Axial Load in Reinforced
Concrete Members, University of Illinois Engineering Experimental Station, Serie
de Boletín N° 399, Noviembre 1951, pag. 128
[4] R. Park, T. Pauly, Estructuras de concreto reforzado, Limusa, Noriega Editores,
1999
[5] T.Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry
Buildings John Wiley & Souns, Inc, 1992.
[6] New Zeland Standard Code of Practice for the Desing of Concrete Structure.
NZS 3101 – Part I. Standards Association of New Zeland, 1982.
[7] MATLAB Reference Guide, The Mathworks, Inc. Natick, Massachussetts, 2004.