Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física

Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP
Laboratorio IV: Principio de Arquímedes.
Laboratorio 4: Fluidos es reposo. Principio de Arquímedes y densidad
de líquidos (*).
Introducción y conceptos básicos [1].
En los laboratorios anteriores se consideraron objetos sólidos asumiendo que su
forma se conservaba, excepto por la (pequeña) deformación elástica. Ahora vamos a
ocuparnos de materiales que son muy deformables y pueden fluir. Tales “fluidos”
incluyen a los líquidos y a los gases. Estudiaremos los fluidos tanto en reposo (estática
de fluidos) como en movimiento (dinámica de fluidos).
Los tres estados o fases de la materia son: sólido, líquido y gaseoso. Podemos
distinguir esas tres fases como sigue. Un sólido mantiene una forma y un tamaño
estables; aun cuando se aplique una gran fuerza a un sólido, éste no cambia fácilmente
de forma o de volumen. Un líquido no mantiene una forma fija (toma la forma del
recipiente que lo contiene); sin embargo, al igual que un sólido, no es fácilmente
compresible y su volumen puede modificarse sólo por una fuerza muy grande. Un gas
no tiene ni forma ni volumen fijo, sino que se expande hasta llenar el recipiente que lo
contiene. Los líquidos y gases no mantienen una forma estable, ya que tienen la
capacidad de fluir; por ello se les conoce en conjunto como fluidos. La división de la
materia en tres fases no siempre es una tarea sencilla. Por ejemplo, ¿cómo debe
clasificarse la pasta dental? Más aún, es posible distinguir una cuarta fase de la materia,
la fase plasma, que se presenta sólo a muy altas temperaturas y consiste en átomos
ionizados (electrones separados de los núcleos). Los cristales líquidos, que se utilizan en
pantallas de TV, computadoras, calculadoras y relojes
digitales, podrían considerarse una fase de la materia
intermedia entre sólidos y líquidos.
Una propiedad importante de cualquier material es su
densidad, que se define como su masa por unidad de
volumen. Un material homogéneo tiene la misma densidad
en todas sus partes. La densidad ρ de una sustancia se define
como masa por unidad de volumen:
(1)
donde m es la masa de una muestra de la sustancia y V su
volumen. La densidad es una propiedad característica de
cualquier sustancia pura. Los objetos hechos de una
sustancia en estado puro, como el oro, pueden tener
cualquier tamaño o masa, aunque su densidad siempre será
la misma.
La unidad en el SI para la densidad es kg/m3. En
ocasiones las densidades están dadas en g/cm3 (1 kg/m3=10-3
g/cm3). En la Tabla se presentan las densidades de varias
sustancias. La tabla especifica temperatura y presión porque
éstas afectan la densidad de las sustancias (aunque el efecto
es pequeño para líquidos y sólidos). Observe que el aire es
aproximadamente 1000 veces menos denso que el agua.
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La gravedad específica de una sustancia se define como la razón de la densidad de esa
sustancia a la densidad del agua a 4.0°C. La gravedad específica (abreviada GE) es un
número sin dimensiones o unidades. Como la densidad del agua es 1.00 g/cm3
=1.00x103 kg/m3, la gravedad específica de cualquier sustancia será igual
numéricamente a su densidad expresada en g/cm3, o 103 veces su densidad especificada
en kg/m3. Por ejemplo (véase la tabla anterior), la gravedad específica del plomo es 11.3
y el del alcohol es 0.79.
Los conceptos de densidad y de gravedad
específica son especialmente útiles en el estudio de
los fluidos porque no siempre se trata con volúmenes
o masas fijos. Otro concepto que es particularmente
útil al estudiar fluidos es el de presión. Cuando un
fluido (ya sea líquido o gas) está en reposo, ejerce una
fuerza perpendicular a cualquier superficie en
contacto con él, como la pared de un recipiente o un
cuerpo sumergido en el fluido. Aunque el fluido
considerado como un todo está en reposo, las
moléculas que lo componen están en movimiento; la
fuerza ejercida por el fluido se debe a los choques de
las moléculas con su entorno. Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido
a cada lado de ella ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre la superficie. (De otra forma,
la superficie se aceleraría y el fluido no permanecería en reposo.) Considere una
superficie pequeña de área dA centrada en un punto en el fluido; la fuerza normal que el
fluido ejerce sobre cada lado es dF (ver figura). Definimos la presión p en ese punto
como la fuerza normal por unidad de área, es decir, la razón entre dF y dA (ver figura):

(2)
Si la presión es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de área A,
entonces:

(3)
donde F es la fuerza normal neta en un lado de la superficie. La unidad del SI para la
presión es el pascal: 1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2. Dos unidades relacionadas, que se
emplean sobre todo en meteorología, son el bar, igual a 105 Pa, y el milibar, igual a 100
Pa.
La presión atmosférica pa es la presión de la atmósfera terrestre, es decir, la
presión ejercida por el “mar” de aire en que vivimos. Esta
presión varía con el estado del tiempo y con la altitud. La
presión atmosférica normal al nivel del mar (valor medio) es
1 atmósfera (atm), definida exactamente como 101.325 Pa.
Con cuatro cifras
1 atm = 1,013x105 Pa = 1,013 bar = 1013 mbar
Un fluido ejerce una presión en todas direcciones. Dado un
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punto a una dada profundidad en un fluido en reposo, la
presión es la misma en todas las direcciones.
Consideremos el cubo (infinitesimal) de fluido de la
figura, el cual es tan pequeño que podemos considerarlo
un punto e ignorar la fuerza de gravedad sobre él. La
presión sobre uno de sus lados debe ser igual a la presión
sobre el lado opuesto. Si esto no fuera cierto, se tendría
una fuerza neta sobre el cubo y éste comenzaría a
moverse. Si el fluido no está fluyendo, entonces las
presiones deben ser iguales.
Podemos deducir una relación general entre la
presión p en cualquier punto de un fluido en reposo y la
altura y del punto. Supondremos que la densidad ρ del
fluido y la aceleración debida a la gravedad g tienen el
mismo valor en todo el fluido (es decir, la densidad es
uniforme). Si el fluido está en equilibrio, cada elemento
de volumen está en equilibrio. Considere un elemento
delgado, de altura dy. Las superficies inferior y superior
tienen área A, y están a distancias y e y+dy por arriba de
algún nivel de referencia (y = 0). El volumen del elemento fluido es dV=Ady, su masa es
dm = ρdV = ρAdy, y su peso es dw = dmg = ρgA dy.
Llamemos p a la presión en la superficie inferior; la componente y de fuerza
total hacia arriba que actúa sobre esa superficie es pA. La presión en la superficie
superior es p+dp, y la componente y de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es
-(p+dp)A. El elemento de fluido está en equilibrio, así que la componente y de fuerza
total debe ser cero:
Entonces:
Dividiendo por el área A y reordenando, obtenemos:
Esta relación nos dice cómo varía la presión dentro del fluido con la altura con respecto
a cualquier punto de referencia. El signo menos indica que la presión disminuye con un
incremento de la altura o que la presión aumenta con la profundidad. Si la presión a una
altura y1 en el fluido es p1 y a una altura y2 es p2, entonces podemos integrar la ecuación
anterior para obtener:
Para líquidos en los que puede despreciarse cualquier variación en la densidad, ρ=cte, la
ecuación anterior se integra fácilmente:
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p2 - p1 = - ρg(y2 - y1)
(4)
Para la situación común de un líquido en un
recipiente abierto, como el agua en un vaso, una
pileta, un lago o el océano, se tiene una superficie
libre en la parte superior. En tal caso es conveniente
medir las distancias desde esta superficie superior.
Es decir, llamamos h a la profundidad en el líquido,
donde h = y2 - y1, como se observa en la figura. Si y2
es la posición de la superficie superior, entonces p2
representa la presión atmosférica y p0, en la
superficie libre. Entonces, de la ecuación (4), la
presión p a una profundidad h en el fluido es:
p = p0 + ρgh
(5)
Notar que la presión es la misma en dos puntos cualesquiera situados en el mismo nivel
en el fluido. La forma del recipiente no importa. La ecuación (5) muestra que si se
aumenta la presión p0 en la superficie la presión p a cualquier profundidad aumenta
exactamente en la misma cantidad. El científico francés Blaise Pascal (1623-1662)
reconoció este hecho en 1653 y hoy se lo conoce como ley de Pascal.
Si se pesa un objeto sumergido en un líquido colgándolo de un
dinamómetro, el peso aparente del objeto (la lectura del dinamómetro) es menor al peso
del objeto (la lectura del dinamómetro cuando el objeto se cuelga del mismo sin
sumergirlo en el líquido). Es evidente (basándonos en la Leyes de Newton) que el
líquido debe ejercer una fuerza hacia arriba que contrarresta parte del peso. Esta fuerza,
que denominaremos de empuje, tiene su origen en el
hecho que la presión en un fluido se incrementa con
la profundidad. La presión (ascendente) sobre la
superficie del fondo de un objeto sumergido es mayor
que la presión (descendente) sobre su superficie
superior. Para ver este efecto, consideremos un
cilindro de altura h, el cual está completamente
sumergido en un fluido de densidad ρF y cuyos
extremos superior e inferior tienen un área A, (ver
figura). El fluido ejerce una presión p1=ρF gh1 sobre
la parte superior del cilindro. La fuerza debida a esta
presión sobre la parte superior del cilindro es F1 = p1A
= ρFgh1A y está dirigida hacia abajo. De forma
similar, el fluido ejerce una fuerza ascendente sobre el fondo del cilindro igual a F2 =
p2A = ρFgh2A. La fuerza neta que ejerce la presión del fluido sobre el cilindro, que es la
fuerza de empuje actúa hacia arriba y tiene magnitud:
(6)
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donde V = AΔh es el volumen del cilindro, el producto ρFV es la masa del fluido
desplazado y ρFVg = mFg es el peso del fluido con un volumen igual al volumen del
cilindro. Así, la fuerza de empuje sobre el cilindro es igual al peso del fluido desplazado
por el cilindro. Este resultado es válido sin importar la forma del objeto. Su
descubrimiento se atribuye a Arquímedes (287?–212 a. de C.) y se llama principio de
Arquímedes:
la fuerza de empuje sobre un cuerpo inmerso en un fluido es igual al peso del fluido
desplazado por ese objeto.
Por “fluido desplazado” se entiende un volumen de fluido igual al volumen sumergido
del objeto (o de la parte sumergida del objeto, en caso de no estar completamente
sumergido). Si el cuerpo se coloca en un vaso o recipiente inicialmente lleno de agua
hasta el borde, el agua que se derrama por la parte superior representa el agua
desplazada por el objeto.
El principio de Arquímedes se obtiene mediante el siguiente argumento sencillo,
aunque elegante. El objeto de forma irregular mostrado en la figura está sometido a la
fuerza de gravedad (su peso) y a la fuerza de empuje, ascendente. Queremos determinar
FB. Para esto, necesitamos considerar un cuerpo (B en la figura), esta vez hecho del
mismo fluido, con la misma forma y tamaño que el objeto original y localizado a la
misma profundidad. Podríamos visualizar este cuerpo separado del resto del fluido por
una membrana imaginaria. La fuerza de empuje FB sobre este cuerpo de fluido será
exactamente la misma que se ejerce sobre el objeto original, ya que el fluido
circundante, que ejerce FB, tiene exactamente la misma configuración. Ahora el cuerpo
de fluido B está en equilibrio (el fluido en conjunto está en reposo). Por lo tanto,
FB=mFg, donde mFg es el peso del cuerpo del fluido. Por consiguiente, el módulo de la
fuerza de empuje FB es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen del
objeto sumergido, lo cual es el principio de Arquímedes.
El descubrimiento de Arquímedes se realizó de forma empírica. En los dos
párrafos anteriores se demostró que el principio de Arquímedes se deduce a partir de las
leyes de Newton.
Resumiendo, en un cuerpo parcialmente sumergido en un líquido, el mismo
ejerce presión sobre todas las superficies de contacto del cuerpo, las laterales y la
inferior. Las fuerzas sobre las superficies laterales se cancelan por simetría y el efecto
neto de la presión del fluido es una fuerza de empuje hacia arriba. Del mismo modo, si
el cuerpo está totalmente sumergido, el líquido también ejerce presión sobre la
superficie superior, pero como la presión sobre el fondo es mayor que sobre ésta (la
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presión crece linealmente con la profundidad en un fluido de densidad uniforme), el
resultado es una fuerza de empuje neta hacia arriba igual al peso del líquido desplazado.
Verificación Experimental del Principio de Arquímedes.
Para demostrar experimentalmente el principio de Arquímedes se debe verificar
que, para un fluido de densidad uniforme, el empuje es directamente proporcional al
volumen sumergido del cuerpo. El máximo empuje se obtiene cuando el cuerpo está
totalmente sumergido y, en estas condiciones, el empuje no cambia con la profundidad.
Además, es necesario verificar que la fuerza de empuje es directamente proporcional a
la densidad del fluido en el que está sumergido el cuerpo.
El experimento consiste en mostrar que el empuje sobre un cuerpo totalmente
sumergido en un líquido es igual al peso del líquido desplazado. En un laboratorio
convencional de física se podría detectar la fuerza de empuje de la manera tradicional
usando una balanza hidrostática o, alternativamente, usando una balanza de precisión
[2]. Sin embargo, pueden obtenerse mejores resultados usando un sistema de laboratorio
basado en microcomputadoras (MBL), consistente en un sensor de fuerzas, una interfaz,
una computadora y software para adquisición de datos. La principal ventaja de usar
MBL es que permite verificar que la fuerza de empuje es proporcional al volumen
sumergido de una manera directa y precisa. Sería difícil hacer esto con una balanza a
resorte porque debería tener un rango amplio de manera que pueda soportar a un cuerpo
de peso considerable, pero al miso tiempo ser suficientemente sensible para medir la
pequeña fuerza de empuje causada por la inmersión de sólo una parte pequeña del
cuerpo.
El sistema MBL muestra los resultados experimentales y los gráficos en tiempo
real, facilitando así una conexión directa entre el experimento real y las relaciones
teóricas. Se utilizarán frascos de vidrio de forma cilíndrica con una escala graduada para
tener una profundidad de inmersión x bien definida. El frasco cuelga de un sensor de
fuerzas conectado a una computadora a través de una interfaz. La adquisición de datos
en línea se realiza con el sistema CassyLab, de Leybold Didactic [3]. El sistema se
ajusta a un rango de 1.5 N, con resolución 0.1% del rango de medida. La lectura de las
fuerzas se muestra cada segundo, promediada sobre 500 ms.
Luego de fijar el ajuste de cero para el sensor de fuerzas cargado, de manera que
de directamente el valor del empuje, el frasco se sumerge en agua. Para confirmar que el
empuje es proporcional al volumen sumergido, como predice la ecuación (6), es
necesario encontrar que la fuerza de empuje hacia arriba FB aumenta proporcionalmente
con el volumen sumergido, de manera que se debe registrar FB al variar el volumen
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sumergido. Se aconseja que esto se realice agregando agua al recipiente para no mover
el sensor. Como el área transversal del cilindro es constante puede graficarse la fuerza
en función de la profundidad sumergida x.
Además, para verificar que el empuje no depende de la densidad del volumen
sumergido sino de la densidad del líquido se dispone de frascos con diferentes
contenidos, por lo que debe repetirse el procedimiento anterior para diferentes frascos y
comprobar que en todos los casos al graficar el empuje en función del volumen
sumergido, se obtiene siempre la misma pendiente.
Como segunda parte del experimento se puede medir la densidad de líquidos. En
efecto, midiendo el empuje en función del volumen del cilindro sumergido en un
líquido determinado se puede determinar la densidad ρF a partir de la pendiente ajustada
utilizando la ecuación (6):
FB = ρF gV
Referencias.
Material didáctico preparado para uso de la materia Física Experimental II por el Prof. J. L.
Alessandrini y corregido por los Prof. L. Errico y J. M. Ramallo López.
(*) “Microcomputer-Based Laboratory for Archimedes´ Principle and Density of Liquids”.
Concetto Gianino, Phys. Teach. 46 (2008), 52- 54.
[1] D. Halliday, R. Resnick, y J. Walker, Fundamentals of Physics – Extended, 5th ed. (Wiley,
New York, 1994), o cualquier libro de Física Básica.
[2] Irina Struganova, “A spring, Hooke´s law, and Archimedes´principle” Phys. Teach. 43, 516518 (Nov. 2005).
[3] Computer Assisted Science System – LD Didactic GmbH;
http://www.leybold-didactic.de/data_e/software/index.html.
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