Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Contenido
EMAT-HIDALGO
i
Introducción
iii
Organización de la Antología EMAT-Hidalgo
1
Programación Tercer Grado, EMAT-Hidalgo
Septiembre
4
Programas equivalentes (86)
5
“Deshacer” operaciones (94)
6
Criterios congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA (Actividad didáctica)
8
Figuras directa o inversamente congruentes (124-125)
Octubre
10
Radios (132-133), Cuerdas (134-135) y Tangentes (136-137)
16
Ángulos en la circunferencia (Actividad didáctica)
18
¿Grados Fahrenheit o centígrados? (118-119)
20
¿No podría ir más rápido? (120)
Noviembre
21
Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)
22
Resolviendo ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)
24
Idea de triángulos semejantes (146-147)
26
Polígonos regulares y Generaliza para cualquier polígono regular (43-46)
Diciembre
30
Simulación con el modelo de urna (2) (133)
31
Simulación con el modelo de urna (3) (134-135)
Enero
33
Analizando gráficas de rectas (123)
34
Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri (Actividad didáctica)
35
Comprobación de la fórmula general de segundo grado (Actividad didáctica)
36
Funciones cuadráticas (129-130)
Febrero
38
Teorema de Tales (150-151)
40
Recíproco del teorema de Tales (152-153)
42
Unidad 10 RAZÓN Y PROPORCIÓN (85-91)
49
La homotecia como aplicación del teorema de Tales (154-157)
Marzo y Abril
53
¿Una ecuación para desalojar la escuela? (125)
54
Números poligonales (Actividad didáctica)
55
Teorema de Pitágoras (158-159)
57
Unidad 20 TRIÁNGULOS (174-182)
66
Explosión demográfica (98) e Inflación contra salario (99-100)
69
Interés compuesto (101-102) y Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto (103-104)
Mayo
73
Construyendo algunos cuerpos geométricos (Actividad didáctica)
74
Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos (Actividad didáctica)
76
Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte uno) (Actividad didáctica)
77
Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte dos) (Actividad didáctica)
Junio
78
Lanzamiento de dados (Parte I) (Actividad didáctica)
80
Lanzamiento de dados (Parte II) (Actividad didáctica)
82
¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? (Actividad didáctica)
84
Bibliografía
Introducción
Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) suponen un revolucionario
avance en nuestra sociedad. Presenciamos a una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas.
Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que
nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a
realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo las TIC pueden suponer una importantísima ayuda como medio
de acceder al currículum, así como también favorecer los aprendizajes escolares,
particularmente de las matemáticas, como un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza
individualizada y, una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva pudiéramos preguntarnos, ¿Qué aspectos caracterizan a las TIC que las
hacen tan especial en la educación matemática? Una reflexión alrededor de esta pregunta
nos podría conducir a definir un grupo de aspectos que lo podrían caracterizar:
1. Aprendizaje continuo, por parte del alumno y del profesor, pues éste tendrá que estar
actualizado para planificar con éxito las tareas docentes que realizarán los estudiantes.
2. Las TIC no solo pueden ser objeto de estudio sino que éstas deben pasar a ser
herramienta indispensable para el alumno, tienen que ser integradas al entorno
educativo.
3. Garantiza el desarrollo de una enseñanza significativa y facilita de antemano una
educación integral.
4. Dinamiza el papel del profesor y del alumno, este último, de sujeto pasivo dentro del
proceso pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como
función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean
utilizadas en el proceso.
5. Humaniza el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el
apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Tecnologías Educativas en el
proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor
interdisciplinaridad, o sea podemos relacionar el contenido matemático con el de otras
asignaturas que contribuyan a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros
estudiantes hidalguenses.
Por lo anterior, la Dirección General de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha
implementado el proyecto:
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)
a través de la Coordinación Estatal de los profesores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés
Rivera Díaz, quienes imparten un curso-taller programado, un día al mes, durante el ciclo
escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de
Educación Secundaria, para que a la vez ellos lo multipliquen con sus profesores que imparten
matemáticas de sus zonas correspondientes, en un día al mes también.
I
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el
intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las cuatro herramientas
tecnológicas: Hoja electrónica de Cálculo, Calculadora TI-92, Geometría Dinámica y
Programación computacional, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de
Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con
el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se ha
diseñado y compilado una Antología EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación
secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida,
aplicaremos esta Antología de Tercer Grado, EMAT-Hidalgo, por el bienestar de nuestros
alumnos hidalguenses.
Mtro. Pablo Moreno Calva
Director General de Educación Básica
SEP, Estado de Hidalgo
II
Organización de la Antología
PRESENTACIÓN
La Antología Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades
didácticas que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología estrechamente relacionadas,
cada una con las áreas específicas de la geometría, el álgebra, la aritmética, la resolución de
problemas y la modelación matemática. La Antología cumple, en forma paralela, con los planes
y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación
Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro
piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, respectivamente, que
respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo
epistemológico.
La propuesta Hidalgo, es trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o
espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón
de clase. Esto implica que desde el inicio de curso escolar, los directivos deben elaborar los
horarios, asignando en forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En la Antología, se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de
geometría euclidiana; la calculadora TI-92 para la introducción a la sintaxis algebraica y a la
resolución de problemas; el software de LOGO, lenguaje de programación con representación
geométrica, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la
información.
En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los
estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades
didácticas programadas semanalmente en la Antología.
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de
conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades es de la siguiente
manera:
MES DE OCTUBRE
Semana
1ra
BLOQUE UNO
3.
Representen sucesiones numéricas o con
figuras a partir de una regla dada y viceversa.
III
Herramienta
Actividad
Hoja de cálculo
Generando secuencias de
Números (38-39)
Pág.
11
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
¾ Explorar.
¾ Formular y validar hipótesis.
¾ Expresar y debatir ideas.
¾ Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores.
Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para
comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al
profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos
involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el
compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional,
podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.
Los autores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales de EMAT-Hidalgo
IV
PROGRAMACIÓN TERCER GRADO
Sem. 1ra MES DE SEPTIEMBRE BLOQUE UNO
1.
Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos. 2da 3ra 2.
Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas. BLOQUE UNO
3.
4.
4ta 4
“Deshacer” operaciones (94) Criterios congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA (Actividad didáctica) Figuras directa o inversamente congruentes (124‐125) 5
Geometría Dinámica Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. 2da 2.
8
Actividad Pág.
Geometría Dinámica Radios (132‐133) Cuerdas (134‐135) Tangentes (136‐137) 10
Geometría Dinámica Ángulos en la circunferencia (Actividad didáctica) ¿Grados Fahrenheit o centígrados? (118‐119) ¿No podría ir más rápido? (120) 16
Calculadora Calculadora
18
20
MES DE NOVIEMBRE BLOQUE DOS
1.
6
Herramienta
Sem. 4ta Programas equivalentes (86) MES DE OCTUBRE 2da 3ra Calculadora Sem. 1ra Pág.
. Geometría Dinámica 3ra Actividad Calculadora 4ta 1ra Herramienta
Resuelvan problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado, asumiendo que éstas pueden resolverse mediante procedimientos personales o canónicos. Resuelvan problemas que implican utilizar las propiedades de la semejanza en triángulos y en general en cualquier figura. 1
Herramienta
Actividad Pág.
Hoja de Cálculo
Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica) 21
Calculadora
Resolviendo ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica) Idea de triángulos semejantes (146‐147) Polígonos regulares y Generaliza para cualquier polígono regular (43‐46) 22
Geometría Dinámica LOGO
24
26
Sem. 1ra MES DE DICIEMBRE BLOQUE DOS
3.
Herramienta
Resuelvan problemas de probabilidad que impliquen utilizar la simulación. 2da Hoja de Cálculo
Sem. 1ra BLOQUE TRES
1.
Herramienta
Interpreten y representen, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y no lineales. Utilicen adecuadamente la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Calculadora 4ta Hoja de Cálculo
Sem. 1ra 3.
4ta 30
Simulación con el modelo de urna (3) (134‐135) 31
Actividad Pág.
Analizando gráficas de rectas (123) Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri (Actividad didáctica) 33
Comprobación de la fórmula general de segundo grado (Actividad didáctica) 35
Funciones cuadráticas
(129‐130) 36
34
BLOQUE TRES
Herramienta
Actividad Pág.
Resuelvan problemas geométricos que implican el uso del teorema de Tales. Geometría Dinámica Teorema de Tales (150‐
151) Recíproco del teorema de Tales (152‐153) 38
Unidad 10 RAZÓN Y PROPORCIÓN (85‐91) La homotecia como aplicación del teorema de Tales (154‐157) 42
Geometría Dinámica 4.
Simulación con el modelo de urna (2) (133) MES DE FEBRERO 2da 3ra Hoja de Cálculo Geometría Dinámica 2.
Pág.
MES DE ENERO 2da 3ra Hoja de Cálculo Actividad Conozcan las condiciones que generan dos o más figuras homotéticas, así como las propiedades que se conservan y las que cambian. 2
LOGO Geometría Dinámica 40
49
Sem. 1ra 1.
MESES DE MARZO Y ABRIL BLOQUE CUATRO
Representen algebraicamente el término general, lineal o cuadrático, de una sucesión numérica o con figuras. 2da 3ra Hoja de Cálculo
2.
4ta 5ta 3.
Resuelvan problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. Geometría Dinámica LOGO
Resuelvan problemas que implican el uso de procedimientos recursivos, tales como el crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos. Hoja de Cálculo
6ta Hoja de Cálculo
Sem. 1ra Herramienta
Calculadora
1.
2da BLOQUE CINCO Resuelvan problemas que impliquen calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que se utilicen. Anticipen cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. Herramienta
Geometría Dinámica Hoja de Cálculo
Geometría Dinámica 4ta Geometría Dinámica Sem. 1ra 2.
Pág.
53
54
55
57
66
69
MES DE MAYO 3ra Actividad ¿Una ecuación para desalojar la escuela? (125) Números poligonales (Actividad didáctica) Teorema de Pitágoras (158‐159) Unidad 20 TRIÁNGULOS (174‐182) Explosión demográfica (98) Inflación contra salario (99‐100) Interés compuesto (101‐102) Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto (103‐104) Actividad Pág.
Construyendo algunos 73
cuerpos geométricos (Actividad didáctica) Uso de Fórmulas de 74
Superficie y Volumen de Sólidos (Actividad didáctica) Problema de 76
Optimización de Área o Volumen. (Parte uno) (Actividad didáctica) Problema de 77
Optimización de Área o Volumen. (Parte dos) (Actividad didáctica) MES DE JUNIO BLOQUE CINCO Describan la información que contiene una gráfica del tipo caja‐brazos. Herramienta
Hoja de Cálculo 2da Hoja de Cálculo 3ra Hoja de Cálculo 3
Actividad Lanzamiento de dados (Parte I) (Actividad didáctica) Lanzamiento de dados (Parte II) (Actividad didáctica) ¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? (Actividad didáctica) Pág.
78
80
82
Programas equivalentes. . . . . . . . . . . . Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados. 1.
Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A × 1 ` _______________________________________________________________________ 2.
Un alumno dice que el programa A × 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo con él? ` _______ Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el programa A × 1. Escribe tus conclusiones a continuación ` __________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 3.
Construye tres programas equivalentes al programa 3 × B. Pruébalos en tu calculadora y, si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación. 1) 2) 3) 4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. B + B A ÷ 2 + A ÷ 2 1 × D × 1 4 × B – 4 × B 5 × C – 4 × C 5. Comprueba la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. , si 4
, si “Deshacer” operaciones. . . . . . . . . . . Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5 (a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que razonaron se describe a continuación. Primero notaron que si 5 (a + 2) + 4 = 59, entonces el valor de 5 (a + 2) lo podían obtener “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5 (a + 2) = 55. La ecuación 5 (a + 2) = 55 para hacerla más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5 (a + 2) y la quinta parte de 55 es 11. Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, decidieron “deshacer” sumar 2, restando 2. Así encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5 (a + 2) + 4 = 59. ¿Entendiste la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas. a) 7(a − 8) + 25 = 39 b) 18 + 8(b + 4) = 94 c) 2
52
+ 5(b − 1) =
5
5
d) e) 15 +
y + 12
= 22 3
f) g) x −8
−2 =5 2
x − 0.5
93
+5 =
8
16
4(x − 5)
− 6 = −2 3
h) 5
5(x − 3)
+ 12 = 17 7
Criterios de Congruencia de triángulos
Vamos a hacer uso de Cabri Géomètre para este contenido matemático, para ello
tendrás que usar las herramientas de: edición numérica, semirrecta, transferencia
de medida, circunferencia, rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de
ángulo, ángulo.
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son;
sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que
algunas de sus partes correspondientes son HOMOLOGAS.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes
se denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA los cuales son:
1. Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo, cuyas medidas de sus tres lados sean 8.7, 9 y 5.5,
respectivamente
6
2. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos
lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
Construye un triángulo, cuyas medidas de dos lados adyacentes sean 7.3 y 4.7,
respectivamente y el ángulo que forman sea de 120 grados
3. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes
con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
Construye un triángulo, cuyas medidas de dos ángulos midan 100° y 47°,
respectivamente y el lado entre ellos mida 8.2
7
F iigguurraass ddiirreeccttaa oo iinnvveerrssaam
meennttee .. .. .. .. .. .. Triángulos y cuadriláteros ccoonnggrruueenntteess Propósito: Distinguir cuando dos figuras son directamente congruentes o inversamente congruentes. ¿Cómo son entre sí los triángulos formados por las diagonales que atraviesan el rombo de arriba? ___________________________________________________
_______________________________________________ ___________________________________________________
___________________________________________________
Algunos son directamente congruentes, mientras otros son inversamente congruentes. Si el punto de intersección de las diagonales es el vértice común de los cuatro triángulos, ¿Qué valor tiene el ángulo, en este vértice común, en cada uno de los cuatro triángulos? _____________________________ Por lo tanto, para clasificar los triángulos como directamente o inversamente congruentes, bastará una rotación o una reflexión, respectivamente. 8
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo ¿Cuáles son los triángulos directamente congruentes? _________________________________________________
_________________________________________________
________________________________________________ Demuestra lo ___________________________________________________
anterior utilizando el comando ___________________________________________________
ROTACIÓN y describe lo que ___________________________________________________
pasa. ___________________________________________________ ¿Cuáles son los _________________________________________________
triángulos inversamente _________________________________________________
congruentes? ________________________________________________ Demuestra lo anterior ________________________________________________
utilizando el comando SIMETRÍA ________________________________________________
AXIAL y describe lo que pasa. ________________________________________________
_____________________________________________
9
R rraaddiiooss.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. El circulo Propósito: Descubrir propiedades de la circunferencia. B
A
O
Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O. 10
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo El triángulo AOB, ___________________________________________________
¿tiene alguna característica ___________________________________________________
particular? ___________________________________________________
Ahora, si desplazas el punto B sobre la circunferencia. ___________________________________________________
___________________________________________________
¿qué ocurre con el triángulo ___________________________________________________
AOB? Si desde O trazas la perpendicular a la cuerda AB, ésta intersecta a la cuerda en un _________________________________________________
punto dado al que se llamará L. Al _________________________________________________
mover B o A sobre la _________________________________________________
circunferencia, ¿qué relación se tiene entre las longitudes de AL y LB? _________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________ 11
C uueerrddaass.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. El circulo Propósito: Descubrir propiedades de las cuerdas en la circunferencia. A
M
B
O
Sobre una circunferencia de centro O elige dos puntos A y B; traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une por medio de un segmento (trazo punteado) M y O. ¿Cuánto mide el ángulo AMO? _____________________________ Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ 12
.. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Traza el punto diametralmente opuesto a B y llámalo B’. BB’ es un diámetro de la circunferencia. Si trazas el segmento B’A, ¿Qué posición guarda respectivamente del segmento OM? ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿sigue manteniéndose la propiedad entre B’A y OM? ___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 13
T aannggeenntteess.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. El circulo
Nombre ________________________________________________ Edad ______________ Escuela ________________________________________________ Fecha _____________ Propósito: Descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente de la circunferencia. M
N
P
65,7 °
O
P es un punto ______________________________________________________
exterior a la circunferencia ______________________________________________________
desde el cual se traza un rayo ______________________________________________________
que la intersecta en dos ______________________________________________________
puntos: M y N. ______________________________________________________ ¿Qué particularidad tiene el triángulo OMN? _____________________________________________________
¿Cómo son los _____________________________________________________ ángulos OMN y ONM? 14
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo ¿Cómo se llama la semirrecta PM (o PN) con ________________________________________________
________________________________________________ respecto a la circunferencia? Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN? _______________________ _______________________________________________________________________________ ¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N? ___________________________________ En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM? _____________________________________ ¿Y el triángulo OMP? ______________________________________________________________ Escribe los pasos a ____________________________________________________
seguir para trazar la tangente ____________________________________________________
desde un punto P exterior a ____________________________________________________
una circunferencia dada. ____________________________________________________
____________________________________________________ 15
Ángulos en la circunferencia
Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones
Ángulo central
Es aquel ángulo formado por dos radios
de una circunferencia. Su medida es
proporcional a su arco que sostiene
y la razón de proporcionalidad es el
radio.
Ángulo inscrito
Llamaremos ángulo inscrito en una
circunferencia a aquel que tiene su
vértice sobre la circunferencia y sus
lados son rectas secantes..Su medida
es la mitad del arco que abarca
Ángulo semiinscrito
Es aquel ángulo que tiene su vértice
sobre la circunferencia, un lado
tangente y el otro secante. Su
medida es la mitad del arco que
abarca. 16
Ángulos en la circunferencia (Continuación)
Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones
Ángulo exinscrito
Se le llama así al ángulo que tiene
su vértice sobre la circunferencia, un
lado es secante y el otro exterior a la
circunferencia. Su medida es la
semisuma de los arcos
comprendidos entre los lados del
ángulo y entre los lados del
opuesto por el vértice.
Ángulo interior
Es aquel que tiene el vértice en el
interior de la circunferencia. Su
medida es igual a la semisuma de
los arcos interceptados por él por
su opuesto por el vértice.
Ángulo exterior
Su vértice esta fuera de la
circunferencia y sus lados son secantes.
Su medida es la semidiferencia entre
las amplitudes de los arcos que
abarca.
Ac
17
tiv
id
ad ¿Grados Fahrenheit o centígrados?. . . . . . . . . . . . 8
2
En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura y en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas. Fahrenheit ‐13 ‐4 5 32 Centígrados ‐25 ‐20 ‐15 0 100 37.77 1. Usa los datos de esa tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados centígrados. 2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos? _________ ¿Qué tipo de gráfica construirías? ______________________________________ ¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica? ____________________________________________ 3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que obtuviste con la tabla de valores dados. x (Fahrenheit} y (centígrados) ‐13 ‐4 5 32 100 Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. ¿Obtuviste una nueva ecuación? ______________ ¿Cuál es? ________________________________ ____________________________________________________________________________ 4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso. a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? ____________________________ b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen ‐12 grados Fahrenheit? _______________________________ c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? _________________________________ d) El agua hierve a 100°C, ¿a qué temperatura hierve el agua si la medimos en grados Fahrenheit? ________________________________________________________________________ 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Grados Fahrenheit o centígrados? 5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables? ____________ ¿A qué crees que se deban?______________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________ ó. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados? ______ ___________________ ¿Cómo lo harías? ________________________________________________ Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F = __________________________________ 19
Ac
tiv
id
ad 8
3
¿No podrías ir más rápido?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un automóvil viaja a velocidad constante. En el eje y se muestra la distancia en metros que recorre. En el eje x se registró el tiempo del recorrido en intervalos de 2 segundos. Escala en el eje x: 1 Escala en el eje y: 2 Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica. 1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? _______________________________ 2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos? ____________________________ 3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? _________________________________ ¿Y de 7 segundos? ___________________________________________________________________ 4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? _______________________________ ¿Cuánto en recorrer 110 metros? ________________________________________________________ 5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla? __________________________________________________________________________________ ¿Qué hiciste para encontrar la ecuación? _______________________________________________ 6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas. a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2 minutos? _______________________ ¿En una hora? ______________________ ¿En una hora y 20 minutos? ________________________ b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? ___________________________________ c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil? ____________________________________ ¿Qué hiciste para responder esta pregunta? ____________________________________________ 7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del automóvil? ¿Estás de acuerdo con lo que dice? _______________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 20
Problemas que implican el uso de ecuaciones de
segundo grado
Para poder resolver los siguientes problemas, haremos uso de la hoja de cálculo, en
donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental se irán
acotando la o las soluciones.
a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48.
b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número.
c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m. requiere 54 m2 de
alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto?
d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 Km. del edificio donde tenía la
siguiente clase una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un
transporte cuya velocidad media fué 12 Km/hr. mayor que su velocidad a pie.
Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase.
e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo.
Encuentre el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la
bandera, si ésta mide 4m x 3m.
f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del
mismo sea igual a 6.
g) El área de un triángulo es 42 m2 . Encuentre la base y la altura si la última excede a
la primera en 5m.
h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2
años consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo
por miembro fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que
asistieron a cada fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que
en el primero.
i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego
calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios
por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule
el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.
21
Resolviendo ecuaciones de segundo grado
Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la
forma: ax + bx + c = 0 , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos
referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
2
Con el uso de la calculadora TI-92, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba
cada uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes
para lograr el despeje de la variable. Además de resolver los ejercicios tipo.
Raíz Cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial
en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:
ax 2 + c = 0
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se
ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Ejercicio tipo:
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
2x 2 − 3 = 0
1)
x2 − 8 = 0
2x2 = 3
2)
3x 2 + 27 = 0
3
2
3)
2x 2 − 8 = x 2 − 4
SOLUCIÓN:
2x2 − 3 = 0
x2 =
x=±
x=
3
2
± 6
2
Factorización
2
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0 son tales que la expresión
ax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con
coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método
de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
a⋅b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
22
Ejemplo 1
Ejercicio tipo:
Resuelve por factorización
2 x 2 = 3x
SOLUCIÓN:
(2 x
2 x 2 = 3x
2
)
− 3x = 0
1)
x 2 + 2 x − 15 = 0
2)
x 2 + 20 x + 35 = 35 x − 21
3)
8 x 2 − 7 x = 5 x 2 + 10 x
x(2 x − 3) = 0
x=0
o
2 x-3 = 0
x=0
o
x=
3
2
Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática
2
general ax + bx + c = 0 para que quede así: ( x + A ) = B . Donde A y B son constantes.
2
Ejemplo 1
Resuelve x + 6 x − 2 = 0 por el método de
compleción del cuadrado
2
Ejercicio tipo:
1)
x 2 + 2 x − 15 = 0
x 2 + 6x − 2 = 0
Sumamos 2 a ambos
miembros de la ecuación para eliminar -2
del miembro izquierdo.
2)
x 2 + 20 x + 35 = 35 x − 21
x 2 + 6x = 2
3)
2x 2 − 4x − 3 = 0
SOLUCIÓN:
Para completar el
cuadrado del miembro izquierdo, sumamos
el cuadrado del coeficiente de x, en ambos
miembros de la ecuación.
x 2 + 6x + 9 = 9 + 2
Factorizamos el
miembro izquierdo.
( x + 3 )2
= 11
Resolvemos por
medio de la raíz cuadrada.
x + 3 = ± 11
x = −3 ± 11
23
I ddeeaa ddee ttrriiáánngguullooss sseem
meejjaanntteess.. .. .. .. Semejanza y teorema de Pitágoras Propósito: Descubrir, a partir de los triángulos equiláteros, los triángulos semejantes. Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR. Ahora, mide cada _________________________________________________ uno de los ángulos en los _________________________________________________
vértices P, Q, R. ¿Cuánto mide _________________________________________________ cada uno? Si arrastras el vértice P, ¿qué le ocurre al triángulo? _________________________________________________
_________________________________________________ 24
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo ¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene? ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ Anota las conclusiones ______________________________________________________ a las que te lleva lo que has realizado. _________________________________________________________
_____________________________________________________ Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los triángulos equiláteros anteriores. ____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________ 25
Polígonos regulares •Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje un cuadrado. •
¿Y un triángulo equilátero? •
Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas y llena la tabla de la siguiente página. 26
Polígono Número de lados
Triángulo Ángulo de rotación
120° Cuadrado 4
Pentágono Hexágono 6 Octágono 45° ……….. N •
Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo. REPITE [ AV 20 GD ] ¿CONEXIONES? •Escribe tus observaciones. _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ 27
Generaliza: Un procedimiento para cualquier polígono regular •¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular? 28
De polígonos a círculos. Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares: •¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar un círculo? •¿Puedes hacer círculos de diferentes tamaños? Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj 29
S IIm
muullaacciióónn ccoonn eell m
mooddeelloo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Probabilidad ddee uurrnnaa ((22)) Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna.xls. Escribe en las celdas reservadas para los colores las palabras águila y sol. ¿Qué debes escribir en las cantidades? _______________________________________________ ¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?_________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________ En 20 volados ¿cuántas águilas esperas ver? ___________________________________________ Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta. ¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en cualquier orden)? ______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ 30
S IIm
muullaacciióónn ccoonn eell m
mooddeelloo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Probabilidad ddee uurrnnaa ((33)) Ahora imagina la siguiente situación. Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos. En este caso quien toma el palillo corto no lo regresa sino que se queda con él. A esto en matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se toman los objetos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma el palillo saque el más corto? ____________ _______________________________________________________________________________ Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan?_____ _______________________________________________________________________________ ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?__________________ _______________________________________________________________________________
Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ______ _______________________________________________________________________________ ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto? _________ _______________________________________________________________________________ Abre el archivo ModeUrna.xls para simular esta situación. Cambia los colores por las palabras largo y corto, con sus cantidades respectivas (4 y 1). Cambia también la celda G3 de Con a Sin, para indicar que tienes una situación sin reemplazo. ¿En qué extracción apareció el palillo corto? __________________________________________ ¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto? _________________________ _______________________________________________________________________________ ¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?_______________________ _______________________________________________________________________________ El experimento que aparece en la siguiente página te ayudará a saber si contestaste correctamente las preguntas anteriores. 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .Simulación con el modelo de urna (3) Oprime la tecla F9 y fíjate en que número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue apretando la tecla y marcando en dónde apareció el palillo corto. Después de haber llenado una de las filas, cuenta las diagonales y escribe el total en la columna correspondiente. ¿Qué extracción tiene el mayor total? ______________________________________________________ ¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?__________________________ _____________________________________________________________________________________ Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos. ¿A qué conclusión puedes llegar? ___________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Considera las siguientes situaciones. Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas (√) y tres taches (X). Cada vez que saca una ficha de la bolsa evalúa una pregunta y después la deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el programa (supón que el examen tiene cinco preguntas). ¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable? ___________________________________ _____________________________________________________________________________________ Un paquete de 52 barajas tiene cuatro ases. Una persona te dice que puede sacarlos todos en las primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones. 32
A nnaalliizzaannddoo ggrrááffiiccaass ddee rreeccttaass .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra ¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m, b representan los números cualesquiera)? _________________________________________________________________________ ¿Qué significa esto? ______________________________________________________________ Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo GraLin.xls; cambia a tu gusto los valores de m y b y observa qué sucede. Cambia varias veces el valor de b y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta? ___________________________________ _______________________________________________________________________________ Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta? __________________________________ Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta: a) Pase por el origen y el punto (2, 2). b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4. c) Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x. d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4. Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero que deduzca la ecuación de la recta estudiando la gráfica. Cuando la haya encontrado, pídele que determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas. 33
Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri
En está actividad vamos a hacer uso del ambiente cabri, para realizar las gráficas de
funciones: Lineal, cuadrática, cúbica y reciproca.
Las herramientas que se emplearán, en la secuencia para graficar, son:
1.
2.
3.
4.
Mostrar ejes
Punto sobre objeto (sobre el eje X),
Ecuación y coordenadas (del punto anterior),
Calcular (para evaluar la función con respecto a la abscisa del punto anterior y arrastrar
el resultado a la hoja de trabajo)
5. Transferencia de medida (del resultado anterior sobre el eje Y)
Si no se nota, mover el punto sobre el eje X hasta visualizarlo
6. Punto medio (entre los puntos localizados en ambos ejes)
7. Simetría (del punto origen con respecto al punto medio y, al punto resultante llamarlo P)
8. Lugar geométrico (del punto P con respecto al punto sobre el eje X)
9. Puntero (desplazar al punto de la abscisa sobre el eje X)
Los pasos anteriores se tienen que repetir para cada una de las siguientes funciones:
1) y = 3 x − 2
2) f (x ) = x − x − 6
2
3)
4) f (x ) =
34
1
x
y = x 3 − x 2 − 2x
Comprobación de la fórmula general de segundo grado
Esta aplicación muestra cómo calcular la solución de una ecuación de segundo grado:
ax 2 + bx + c = 0
Para hallar la solución de una ecuación de segundo grado, se va a completar el cuadrado
del binomio que represente dicha ecuación, haciendo uso de la manipulación simbólica
de la TI-92.
1.Borra lo de la pantalla principal con F1 y opción 8 y después pulsa la tecla CLEAR.
2.En la pantalla principal, introduzca la ecuación general de segundo grado:
3.Reste c de ambos lados de la ecuación.
4.Divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal a.
5.Utilice la función desarr() para desarrollar el resultado de la última respuesta.
6.Complete el cuadrado añadiendo (b/2a)2 a ambos lados de la ecuación.
7.Factorice el resultado anterior, utilizando la función factor().
8.Multiplique ambos lados de la ecuación por 4a2.
9.Obtenga la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación, aplicando las condiciones a>0 y b>0 y x>0.
10.Halle el valor de x restando b a ambos lados y dividiendo entre 2a.
35
F uunncciioonneess ccuuaaddrrááttiiccaass .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general: 2
y = a x + b x + c donde a, b, c pueden ser cualquier número. Abre el archivo Cuadrati.xls. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes de la ecuación que quieres estudiar y la hoja te dará información sobre ella. Los coeficientes que incluidos en el archivo que abriste son: a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la ecuación: 2
y = 2 x + 3 x –2 La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de la función corta el eje x. Estos cortes están dados por los valores x1 y x2. Cambia varias veces el valor del coeficiente c como te indica la tabla de abajo. En cada caso observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que tiene con el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden a estos cortes. Llena la tabla siguiente: 36
Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola. ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c? Forma: _________________________________________________________________________ Posición: _______________________________________________________________________ Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4, 5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6). ¿A qué conclusiones puedes llegar? ________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla en la celda A16 a otro más apropiado). Puedes calcular la posición del valor mínimo (o máximo) con el promedio de x1 y x2, es decir: (x1+x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos. Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele a tu profesor que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el discriminante y por qué su signo te informa sobre sus cortes. 37
T eeoorreemmaa ddee TTaalleess.. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. Semejanza y teorema de Pitágoras
Propósito: Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema de Tales. A
P
Q
B
C
El resultado fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo, por ejemplo, la recta PQ paralela al lado BC, esta recta intersecta los otros lados del triángulo AB y AC en los puntos P y Q, respectivamente; los lados quedan así divididos en segmentos proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el punto Q divide al lado AC en los segmentos AQ y QC. Entonces, si dividimos la longitud de AP entre la longitud de PB, este cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud de AQ entre la longitud de QC. Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que: AP AQ
=
PB QC
Es decir, los segmentos AP, PB y AQ, QC son proporcionales. Traza otras rectas _______________________________________________________
paralelas al lado BC y escribe _______________________________________________________
en el espacio qué segmentos _______________________________________________________
son proporcionales. _______________________________________________________ 38
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Traza rectas _____________________________________________________________
paralelas a otro de los _____________________________________________________________
lados del triángulo ABC y _____________________________________________________________
explica en el espacio _________________________________________________________ siguiente qué segmentos son proporcionales. A
B
c
Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo el lado AC, y por éste trazas la paralela al lado AB, ¿en qué punto intersectará el lado BC? _____________________________________________________________________________________ Describe qué ocurre si ________________________________________________________
arrastras con el puntero el ________________________________________________________
vértice C. ________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
_______________________________________________________ 39
R eeccíípprrooccoo ddeell tteeoorreem
maa ddee TTaalleess.. .. .. Semejanza y teorema de Pitágoras Propósito: Presentar el recíproco del teorema de Tales.
A
B
M
L
C
El teorema recíproco del teorema de Tales también es cierto y puede enunciarse así: si sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de manera que cumplan el enunciado BL AM
=
LC MC
entonces al trazar la recta que pasa por los puntos L y M, ésta es paralela a AB. Mide los segmentos BL, LC y AM, MC, para obtener los cocientes correspondientes. ¿Son iguales? ____________________________________________________________________ Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela al lado AB. A
N
B
C
En el dibujo anterior, los lados AB y AC están divididos en siete partes iguales; N es uno de los puntos de división del lado AB, esto es: AN
=
NB
40
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Localiza sobre AC el punto de división para que el cociente de los segmentos correspondientes sea el mismo que acabamos de obtener. Traza la recta por N y por el punto que elegiste; ¿es paralela al lado BC? ___________________________________________________________________________ Un caso de particular interés es cuando se eligen los puntos medios de dos lados de cualquier triángulo; veámoslo: A
M
N
c
B
En el triángulo ABC del dibujo, M y N son puntos medios de los lados AC y AB respectivamente. ¿Cuál es el cociente de AM entre MC? ______________________________________________________ ¿Cuál es el cociente entre AN entre NB? ________________________________________________ ¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC? _____________ Ahora, localiza el punto medio del lado BC y denótalo por L, ¿Qué tipo de cuadrilátero es LCMN? ______ _______________________________________________________________________________ Por lo tanto: NM = LC =
Finalmente, si consideras el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado, ¿cómo son el triángulo dado y el formado con los puntos medios? Escribe a continuación las características que comparten ambos triángulos; no olvides las relaciones entre perímetro y área. 1
BC 2
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________ 41
Casas y pueblos otra vez Construye procedimientos para dibujar: letras, personas, familias y árboles. PARA MICASA AV 50 GD 60 AV 70 GD 60 AV 70 GD 60 AV 50 GD 90 AV 121 GD 90 FIN Agrega al procedimiento una puerta y una ventana • En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados? _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ • Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños. • ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande? _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ • ¿Qué instrucciones no cambian? _____________________________________________________________________________________ 42
Figuras a escala • Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo: • Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. •Intenta • ¿Qué sucede con la letra?_________________________________
• ¿Qué tan grande la puedes hacer?__________________________
• ¿Qué tan pequeña?______________________________________
Elabora la primera letra de tu nombre y explora con diferentes escalas
43
Letras •Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño •¿cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales? ______________________________________________________________
______________________________________________________________ 44
•Haz lo mismo para la letra Z •¿qué entrada de la variable :ESCALA necesita para crear cada una de las letras? 45
Personas •Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes con piernas más o menos largas o como se le ocurra. 46 Familias •Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y hasta una población. 47
Árboles •Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños. •Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños. 48
L aa hhoom
mootteecciiaa ccoom
moo aapplliiccaacciióónn.. .. .. Semejanza y teorema de Pitágoras ddeell tteeoorreem
maa ddee TTaalleess Propósito: Utilizar la homotecia como aplicación del teorema de Tales y sus recíprocos.
A'
A
B
C'
C
B'
Arriba se ilustra la transformación llamada homotecia, mediante la cual se obtuvo el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC; en este caso, además del objeto por transformar, se debe establecer un punto O, llamado centro de homotecia, desde el cual se trazaron rectas (en nuestro caso con dirección a los vértices del triángulo ABC) sobre el plano del triángulo; finalmente es necesario indicar un número llamado razón de homotecia (en nuestro caso el 3). Activa el comando HOMOTECIA y señala el objeto que se va transformar; luego indica el centro de homotecia y al final señala la razón de homotecia (este número se escribe utilizando el comando EDICIÓN NUMÉRICA). 49
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Mide los segmentos OA y OA’; ¿qué relación tienen entre sí?_____________________________ _____________________________________________________________________________________ Ahora mide los segmentos OB y OB’; ¿qué puedes decir de su cociente? __________________________ Finalmente, mide los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos? __________________________ _____________________________________________________________________________________ Arrastra uno de los vértices ___________________________________________________
del triángulo ABC. ¿Qué ocurre? ___________________________________________________
Descríbelo. ___________________________________________________
¿Qué posición guardan los lados AB y A’B’? __________________________________________ ¿Qué posición guardan los lados BC y B’C’? __________________________________________________ ¿Y los lados CA y C’A’? __________________________________________________________________ Si mides los lados los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y divides entre sí las medidas de los lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC obtienes: A' B'
B' C '
C ' A'
= ____;
= ____;
= _____ AB
BC
CA
¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’? _______________________________________________ ¿Y los ángulos BCA y B’C’A’? _____________________________________________________________ ¿Y los ángulos que faltan en cada triángulo? ________________________________________________ También aparecen otros ángulos; ¿podrías decir cuáles son? ___________________________________ _____________________________________________________________________________________ 50
Si comparas las áreas del triángulo A’B’C’ con las del triángulo ABC, ¿cuál es el cociente o razón entre ellas? ________________________________________________________________ ¿Qué relación tiene el cociente obtenido con la razón de homotecia?_____________________________ ________________________________________________________________________________ El dibujo ilustra la homotecia del cuadrilátero ABCD, con centro de homotecia O y razón de homotecia –2. B
A
C'
D
C
D'
-2
A'
B'
Explica lo que observas: _________________________________________________ __________________________________________________
__________________________________________________
________________________________________________ 51
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Arrastra uno de ___________________________________________________
los vértices del ___________________________________________________
cuadrilátero ABCD y ___________________________________________________
describe lo que sucede. ___________________________________________________ Calcula las áreas de ambos cuadrilátero y encuentra el cociente. área A' B' C ' D' 4
= área ABCD
1
___________________________________________________
¿Qué relación tiene este cociente con la razón de homotecia ___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________ 52
ctivida
d 8
6 ¿Una ecuación para desalojar la escuela?
Lo siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela durante un simulacro. y = ‐5x + 400 1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera que se puedan ver las intersecciones de la gráfica con los ejes vertical y horizontal del plano cartesiano y reprodúcela "a mano" a continuación. 2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas. a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro? ____________________________ Justificación. _________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurrido 30 segundos del simulacro? __________________________________________________________________________ Justificación. _____________________________________________________________________ C) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido 55 segundos del simulacro? _______________________________________________________ Justificación. __________________________________________________________________________ d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?_______________ Justificación. _____________________________________________________________________ e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela? _____________________________ Justificación. ___________________________________________________________________ 53
Números poligonales
Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un
pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas
poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a
figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma
determina el número representado.
Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados:
Los números triangulares
(3, 6, 10, 15, ...) son
enteros del tipo N = 1 + 2 +
3 + ... + n
Los números cuadrados (4,
9, 16, 25, ...) son enteros
del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7
+ ... + (2n-1)
Los números pentagonales
(5, 12, 22, ...) son enteros
del tipo N = 1 + 4 + 7 + ...
+(3n-2)
Los números hexagonales
(6, 15, 28, ...) son enteros
del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... +
(4n-3)
Los números heptagonales
(7, 18, 34, ...) son enteros
del tipo N = 1 + 6 + 11 + ...
+ (5n-4)
Con la ayuda de hoja de cálculo, construye columnas que modelen los
números poligonales y trata de deducir la fórmula para cualquier orden.
54
T eeoorreem
maa ddee PPiittáággoorraass.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Semejanza y teorema de Pitágoras Propósito: Usar el programa de cómputo para verificar el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo; el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros se llaman catetos. La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo (aun cuando pueda girarse, sigue siendo un triángulo rectángulo) y tres cuadrados, construidos cada uno sobre uno de los lados del triángulo. B
a
C
c
b
A
Según se indica en la figura, los catetos son BC = a y CA = b. La hipotenusa en este caso es el segmento AB = c. Reproduce el dibujo. Anota los pasos que seguiste para realizar el ejercicio anterior. __________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
55
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. TTeerrcceerr ggrraaddoo Obtén las medidas de cada uno de los lados del triángulo. ¿Cuánto mide el área de cada cuadrado? Indica cuál de las siguientes relaciones se cumple. a2 + b2 = c 2 b2 + c 2 = a2 c 2 + a2 = b2 _______________________________________________________________ _______________________________________________________________
Arrastra uno de los vértices del triángulo rectángulo ABC. ¿Se sigue cumpliendo la relación anterior? ____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ Teorema de Pitágoras Generalizado 1) Dibuja un Triángulo rectángulo 2) Construye en cada lado del Triángulo un polígono regular, que tengan el mismo número de lados 3) Calcula el área de cada polígono regular 4) Suma las áreas más pequeñas y compara con el área mayor 5) Arrastra uno de los vértices del triángulo rectángulo ABC. ¿Se sigue cumpliendo la relación anterior? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 56
Triángulos rectángulos 1: Hipotenusas •Completa el procedimiento para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo (a partir de la medida de sus catetos). • Usa el teorema de Pitágoras: 2
2
2
HIPOTENUSA = (CATETO1) + (CATETO2) Por lo que: 2
2
HIPOTENUSA = (CATETO1) + (CATETO2) • ¿Cuál sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 75 y 50? (Teclea ES HIPOTENUSA 75 50) _________________________________________________________________ Comprueba tu resultado con calculadora. • Usa el procedimiento HIPOTENUSA para dibujar una o ambas diagonales de un cuadrado. 57
Triángulos rectángulos 2: Catetos • Usando el teorema de Pitágoras, encuentra la fórmula para un cateto, en relación a la hipotenusa y el otro cateto. CATETO2 = ______________________________________________ • Usa la fórmula para escribir un procedimiento que calcule el segundo cateto a partir de la hipotenusa, el cateto faltante y los dos ángulos agudos y, también que dibuje al triángulo 58
Triángulos rectángulos 3: Ángulos • Para calcular los ángulos de un triángulo rectángulo se puede usar la siguiente fórmula trigonométrica. • Por lo que, la medida del ángulo á, está dada por: • Escribe un procedimiento que calcule los dos ángulos desconocidos y la hipotenusa a partir de dos catetos de un triángulo rectángulo y, también que lo dibuje. • Usa tu procedimiento para encontrar el ángulo en la figura, entre la hipotenusa y el cateto que mide 160 (el otro cateto mide 100). • Completa lo que tienes que teclear: ES ANGULO ____ ____ El ángulo mide: _________ Comprueba tu resultado con calculadora. 59
Triángulos rectángulos 4: Combina todo • Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA, CATETO, ANGULO) para dibujar los siguientes triángulos rectángulos (intenta terminar con la tortuga en su posición y rumbo iniciales). • Completa lo siguiente: • Completa la siguiente tabla: 60
Triángulos rectángulos: Generaliza • Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA y ANGULO) para escribir un procedimiento que dibuje un triángulo rectángulo cualquiera, a partir del valor de sus dos catetos. •Completa lo siguiente. 61
Triángulos isósceles • Usa el procedimiento CATETO de las actividades anteriores para determinar el valor de la altura del triángulo isósceles mostrado: • Usa el procedimiento TRIRECT de la actividad anterior para construir un triángulo isósceles. 62
Triángulos en general ¿Ley de Senos o Cosenos? • Para construir un triángulo cualquiera a partir de dos lados y el ángulo entre ellos, se puede utilizar la siguiente fórmula (la ley de los cosenos): • Escribe los procedimientos que calculen, respectivamente, el tercer lado y el segundo ángulo de un triángulo a partir de sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos. 63
• Usa los procedimientos LADO3 y ANGULO2 para dibujar un triángulo cualquiera a partir de sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos. 64
Más sobre triángulos rectángulos • Para construir un triángulo rectángulo a partir de un cateto y su ángulo con la hipotenusa, se puede utilizar la siguiente fórmula: cateto1 = cateto2 * (tangente del ángulo entre la hipotenusa y el cateto) • Construye un procedimiento para trazar un triángulo rectángulo utilizando :CATETO1 y :ANGULO. 65
E xxpplloossiióónn ddeem
mooggrrááffiiccaa.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra y Nuevas ideas En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por kilometro cuadrado se le llama densidad de población. En esta actividad conocerás y aplicarás un método para calcular el crecimiento de la población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población. Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones: 1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de diez en diez el año. 2. En la columna B escribe la cantidad de habitantes que había en México en 1990. Para calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25% (esto se puede precisar consultando los resultados del censo más reciente). Enseguida, escribe en la celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo. 3. En las celda C2 escribe la fórmula =B2 / 2000000 (población/superficie) que calcula la densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo. 1 A AÑO B POBLACIÓN 2 3 4 1990 2000 2010 80000000 100000000 125000000 C DENSIDAD HAB. POR KM2 40 50 63 D ¿Qué densidad habrá en el año 2100? _____________________________________________ ¿En qué año la densidad llegará a 10000 habitantes por kilómetro cuadrado?______________ _________________________________________________________________________ Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros. 66
I nnffllaacciióónn ccoonnttrraa ssaallaarriioo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra y Nuevas ideas En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona. Primero es necesario establecer un par de referencias. Considera que en 1990 el salario de un trabajador era de $5000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50000.00. ¿Cuántos salarios del trabajador eran necesarios para pagar el coche? Imagina ahora que la inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo. Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir: 1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de uno en uno el año. 2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio. 3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05 * C2 para calcular cuánto aumenta el costo del coche anualmente debido a la inflación. Copia la fórmula hacia abajo. 4. En la columna D escribe una fórmula apropiada para calcular la cantidad de salarios que se requieren para comprar el coche. ¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche? _______________________________ ¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador? _____________________ ________________________________________________________________________________ Considera ahora la situación en la que el salario crece en la misma proporción que la inflación. Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año. 67
¿Qué observas en la columna D? __________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ La situación anterior sería ideal. Por lo general los salarios crecen a una razón menor que la inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje al costo del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se incrementan 20% anualmente. Aplica este aumento al salario en la columna B. Tu hoja debe mostrar los siguientes resultados: De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años? ________ _____________________________________________________________________________________ ¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años? _________________________________ _____________________________________________________________________________________ Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro. 68
I nntteerrééss ccoom
mppuueessttoo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra y Nuevas ideas ¿Sabes cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? A continuación vas a conocerla. Si se tiene un capital inicial de $10000.00 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga? Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10000.00. Así, en el primer año tendremos un capital de: En el segundo año: 10000 + 1500 = 11500 pesos 11500 + 1500 = 13000 pesos ¿Y en el tercero? _______________________________________________________________ La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque éste se mantiene constante. El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año el capital es el mismo: 10000 + 1500 = 11500 En el segundo año tendremos un interés de: 0.15 * 11500 = 1725 (ya que en el banco hay ahora11500 pesos) Así, el capital será de: 11500 + 1725 = 13225 ¿Cuál será el interés en el tercer año si procedemos de la misma manera; es decir si aplicamos la fórmula 0.15 * 13225? ________________________________________________ ¿Cuál será entonces el capital? ________________________________________________ 69
Y así sucesivamente. La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así: Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de la siguiente tabla: ¿Qué capital habrá en 10 años? ___________________________________________________________ ¿Qué capital habría en 10 años si se calculara como interés simple?_______________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué capital habrá en 20 años?____________________________________________________________ ¿Qué capital habría en 20 años si se calculara como interés simple? ______________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1000.00 con un interés anual de 12%? _________________________________________________________________________ ¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500000 habitantes y su tasa de crecimiento es de 3% anual? ______________________________________________________________ ¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10000 dólares y la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual? ___________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 70
T iieem
mppooss ddee dduupplliiccaacciióónn eenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..Algebra y Nuevas ideas EEll ccrreecciim
miieennttoo ccoom
mppuueessttoo Primero vamos a construir en una hoja de cálculo una tabla de crecimiento compuesto como la que se muestra abajo. En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1% anual. En la columna C se incrementa la cantidad inicial de 100 al 2% anual. Continúa estas columnas hasta el 10% (columna K) Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los de la tabla de arriba. Extiende cada columna hasta que veas el valor 200. El tiempo correspondiente en la columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con los valores encontrados, llena la tabla siguiente: 71
Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever poblaciones y estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte. Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de papel. ¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento; aumenta más y más? ______ _____________________________________________________________________________________ ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?___________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual? __________________ _____________________________________________________________________________________ 72
Construyendo algunos cuerpos geométricos
Definición
Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones
(largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un
volumen.
Haciendo uso del ambiente de cabri, construye los siguientes cuerpos geométricos,
aprovechando la propiedad de animación.
Cuerpos Planos
Son sólidos geométricos que tienen superficies planas, tales como:
Paralelepípedo, prisma y pirámide …
Cuerpos Redondos
Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como:
El cilindro, el cono y la esfera.
73
Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos
Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies
que pueden ser planas o curvas.
Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto así como
estudiar los conceptos de superficie y volumen de un sólido, mediante el uso de Excel.
Paralelepípedo rectangular o caja rectangular.
Es aquel sólido que tiene base rectangular y
sus aristas laterales son perpendiculares a
la base. Si tiene todas las aristas iguales se
llama cubo. Su superficie y volumen están
dadas de la siguiente manera:
A= 2ab + 2ac + 2bc ;V = abc
Cilindro.
Es el sólido conformado por caras paralelas
circulares y el conjunto de todos los
segmentos de línea recta perpendiculares a
sus caras y comprendidos entre ellas. El
área de su superficie y su volumen, están
dadas de la siguiente manera:
A=2πr2 + 2πrh ; V= πr2h
Prisma recto
Un prisma es un poliedro con dos caras que
son regiones poligonales congruentes en
planos paralelos y las caras laterales son
rectángulos. La altura h es la distancia
entre las caras paralelas. El volumen de un
prisma es el producto de el área de la base
por la altura y el área de la superficie es la
suma de las áreas de las caras que lo
limitan
74
Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos
Cono circular recto.
Es el sólido cuya base es un círculo y su
superficie lateral está formada por los
segmentos de línea recta que unen un
punto 0, sobre la línea perpendicular al
círculo y por el centro de este, con los
puntos del círculo. Cualquiera de estos
segmentos de línea recta se denomina una
generatriz y su longitud se denota con g. La
distancia entre ese punto 0 y el centro del
círculo se llama altura. Aquí denotamos con
h a la altura y con r al radio de la base
circular. El área de su superficie y volumen
están dadas de la siguiente manera:
A = πr2 + 2πrg : donde g =
h2 + r2
V = ⅓ πr2h
Esfera.
Está determinada por todos los puntos del
espacio que se encuentran a una distancia
menor o igual a r de un punto fijo llamado
centro (superficie esférica junto con su
interior). Su superficie y volumen están
dadas de la siguiente manera:
A = 4πr2 V = ⁴⁄₃ πr2
Completa la siguiente tabla haciendo uso de la hoja de cálculo Superficie y volumen.xls:
Sólido
geométrico
Paralelepípedo
rectangular
Cilindro
a= 3 cm
Prisma recto
No Lados= 5
Cono circular
recto
Esfera
Superficie
b=
c= 8 cm
r= 4 m
h=
Long de Lado= 7
h=
cm
r=
h= 5.3 m
r=
75
Volumen
96 cm3
251.33 m2
518.61 cm2
64.16 m3
314.16 cm2
Problemas de Optimización (Parte uno)
La aplicación Cabri nos permitirá por un lado realizar “experimentos”
geométricos, de manera que lleguemos a establecer las relaciones
adecuadas y obtener tus propias conclusiones, y por otro lado facilita
la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas.
Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que
permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de
optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca
el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas
restricciones.
A continuación te enumeramos problemas y con la ayuda de Cabri resuélvelos:
1. Con un alambre de 10 cm. queremos construir el borde de un rectángulo de área
máxima. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo?
2. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de 9 cm
de perímetro.
3. Hallar las dimensiones de un depósito sin tapa, en forma de prisma recto de base
cuadrada, de 250 ml (o 250 cm3) de capacidad que tenga un revestimiento de
costo mínimo.
76
Problemas de Optimización (Parte dos)
Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que
permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de
optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca
el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas
restricciones.
Lo anterior descrito lo haremos con Cabri
4. Una ventana tiene
la forma de un
rectángulo que está coronado por una
semicircunferencia. Si el perímetro de la
misma es de 6 m, determinar la longitud
de la base que hace que ésta tenga la
mayor área.
5. Se desea construir una lata de
conservas en forma de cilindro
circular recto de área total 150 cm2 y
volumen máximo. Determinar su
altura y su radio.
6. Con una cartulina de 10X8 cm. se
desea construir una caja sin tapa,
de volumen máximo. Hallar las
dimensiones de dicha caja.
77
Lanzamiento de dados (Parte I)
La teoría de la probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar como el lanzamiento
de dados. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la
probabilidad de que salga un resultado u otro.
Si lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis
números, es decir, es tan probable que salga 1 como que salga 2 o 3 o 4 o 5 o 6.
Esta probabilidad es 1/6.
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES
DADOS.xls, y en la hoja 1 “Un dado”, se hace la simulación de 2000 lanzamientos de un
solo dado.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. FREC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Menor Mayor Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______
¿Los resultados son equiprobables? _________
¿Si tuvieras que apostar, a qué número lo harías? __________
78
Ahora con dos dados Al lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen en las caras de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el otro un 4, decimos que cayó un seis. Cuando lanzas dos dados no todos los números tienen la misma probabilidad de caer. Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían obtenerse.
Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas
que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de
maneras de obtener esas sumas.
Manera de
obtenerla
suma
Manera de
obtenerla
total
suma
2
1 + 1
1
8
5
3
1+2
2+1
2
9
4
4
3
10
3
5
4
11
2
6
5
12
1
7
6
total
Total
36
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES
DADOS.xls, en la hoja 2 “Dos dados”, se donde se hace la simulación de 2000
lanzamientos de dos dados.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. Frecuencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Menor Mayor 400
350
300
250
200
150
100
DOCE
DIEZ
ONCE
NUEVE
SIETE
OCHO
SEIS
CINCO
TRES
CUATRO
0
DOS
50
DOS
TRES
CUATRO
CINCO
SEIS
SIETE
OCHO
NUEVE
DIEZ
ONCE
DOCE
79
Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _________________ ¿Los resultados son equiprobables? _________________ ¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? __________________ Lanzamiento de dados (Parte II)
AHORA CON TRES DADOS ¿Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades
que otro?
Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que
puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras
de obtener esas sumas.
suma
manera de
obtenerla
total
suma
3
1 + 1 + 1
1
11
4
1 + 1 + 2 1 + 2 + 1
2 + 1 + 1
3
12
5
1 + 1 + 3 1 + 2 + 2 2 + 1 + 2 2 + 2 + 1 3 + 1 + 1 1 + 3 + 1
6
13
total
Total
216
14
6
15
7
16
8
17
9
18
10
manera de obtenerla
80
Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES
DADOS.xls, en la hoja 3 “Tres dados”, se donde se hace la simulación de 2000
lanzamientos de tres dados.
Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. FREC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Menor Mayor Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______
¿Los resultados son equiprobables? _________
¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? __________
¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer? __________
¿Y los que tienen menos? _________ ¿Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados? _______
¿Será una coincidencia? ________
300
TRES
250
CUATRO
CINCO
SEIS
200
SIETE
OCHO
150
NUEVE
DIEZ
100
ONCE
DOCE
TRECE
50
CATORCE
QUINCE
81
DIECIOCHO
DIECISIETE
DIECISEIS
QUINCE
CATORCE
TRECE
DOCE
ONCE
DIEZ
NUEVE
OCHO
SIETE
SEIS
CINCO
CUATRO
TRES
0
DIECISEIS
DIECISIETE
DIECIOCHO
¿Cómo se dibuja un diagrama de caja?
Recuerda las medidas de tendencia central, para tomarlas en cuenta en el momento de
realizar el dibujo de un diagrama de caja.
MEDIDA DE ASIMETRÍA
1) Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media
aritmética coinciden.
2) Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias
(absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la
izquierda.
3) Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha
diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.
Un diagrama de caja se construye como sigue:
1) Ordenar los datos de la muestra y obtener el valor mínimo, el máximo, y los tres
2)
3)
4)
5)
6)
cuartiles Q1, Q2 y Q3.
Dibujar un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 e indicar la posición de la
mediana, Q2, mediante una línea.
Calcular con cualquiera de los procedimientos descritos anteriormente unos límites
admisibles superior e inferior, Li y Ls, que identifiquen a los valores atípicos.
Considerar como valores atípicos los situados fuera del intervalo (Li, Ls).
Dibujar una línea que va desde cada extremo del rectángulo central hasta el valor
más alejado no atípico, es decir, que está dentro del intervalo (Li, Ls).
Identificar todos los datos que están fuera del intervalo (Li, Ls), marcándolos como
atípicos.
82
Ejercicio 1) El precio de un interruptor magnetotérmico en 10 comercios de
electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la
media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja
(Corrobóralo con el dibujo)
|
[El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), brazos el recorrido]
Ejercicio 2) Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias,
calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja
(Dibújalo en el espacio asignado).
xi
ni
Ni
0
14
14
1
10
24
2
15
39
3
26
65
4
20
85
5
15
100
Diagrama de caja
n=100
Ejercicio 3) El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10
instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días.
Calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja
(Dibújalo al reverso de la hoja o en tu cuaderno).
83
BIBLIOGRAFIA EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Geometría dinámica. México SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números al algebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP. EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación computacional para matemáticas de secundarias. México: SEP. SEP. (2006). Programas de estudios 2006. Matemáticas. Educación básica. Secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, 2a ed., México. SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas Educación secundaria, 2a ed., México. SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México. 84
DIRECTORIO Dra. Rocío Ruiz de la Barrera
Secretaria de la S.E.P.H.
Lic. José Fermín Garrido Baños
Subsecretario de Educación Básica y Normal.
Mtro. Pablo Moreno Calva
Director General de Educación Básica
Profr. Francisco Torres Ferra
Subdirector de Secundarias Generales
Profra. Elvia Licona Mejía
Subdirectora de Telesecundarias
Profr. José Valdemar García Sánchez
Subdirector de Secundarias Técnicas
Profra. Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Profr. Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Proyecto Enseñanza de las
Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)
Asesores externos
Dra. Teresa Rojano Ceballos
Coordinación General de Enseñanza de las Matemáticas con
Tecnología
Dra. Ana Isabel Sacristán Rock
Investigadora Titular del Departamento de Matemática Educativa
del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN