PENDIÓ DI dMffli - Biblioteca Virtual de Andalucía

PENDIÓ DI d M f f l i
9iV
NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA RECTILÍNEA,
EL
LICENCIADO
EN
Y CATEDRÁTICO
EL
I N S T I T U T O
R.
DE
PROVINCIAL
DE
E S T A
ASIGNATURA
SEVILLA
SANJURJO.
ES
PROPIEDAD.
16 8 8 8 0
SEVILLA.
I M P R E N T A D E R. B A L D A R A Q U E .
GALLEGOS,
1876.
5 Y 7
Doctor en Ciencias, Licenciado en J u r i s p r u d e n c i a , A c a d é m i c o
m e r a r i o de la de B u e n a s Letras de Sevilla, Catedrático de
nu-
Mate-
m á t i c a s del Instituto provincial d e la m i s m a , etc.
Querido
compañerismo,
amigo y maestro:
Habiendo estrechado
los que habia entre el profesor y el discípulo,
deber, muy grato para mí de cumplir,
efectuar
los lazos
el cual he tenido
mentados consejos. Dígnese
el dedicarle
muy presente
creo un
este trabajo,
sus advertencias
y
V. aceptarlo con la misma buena
con que se lo dedica su discípulo
y compañero.
JÍL
del
^ Ü T O R ,
al
esperivoluntad
\
PRÓLOGO.
El presente Compendio de Geometría y Nociones de Trigonometría, escrito para alumnos de Instituto, está limitado respecto á su extensión, por las exigencias del objeto á que se destina.
La experiencia confirma constantemente que las obras didácticas
que aprovechan en la tierna edad de los estudiantes de 2. enseñanza, son las que sin ser oscuras, son breves.
En la exposición de la ciencia se introducen algunas ligeras
variaciones respecto de la manera general de hacerla y también
respecto á el método. Las primeras consisten en la teoría de paralelas tratadas sin postulado, en la de congruencia de triángulos, en
la de tangentes á la circunferencia y medida de los ángulos. Las
alteraciones de orden han obedecido al lógico y rigoroso que exige la materia de que se trata y del cual el índice de este libro y el
cuadro pág. 10, pueden dar una idea.
Si en tan agotado asunto como son los elementos de Matemáticas puras, he logrado con la publicacacion del presente libro
hacer algo útil para la enseñanza, quedarán ampliamente recompensados mis esfuerzos para conseguirlo.
A
R. Sanjurjo.
Sevilla i . de J u n i o de 1 8 7 6 .
r >
i
DE LOS CAPÍTULOS C O N T E N I D O S EN ESTA
OBRA,
GEOMETRÍA.
PÁGINAS.
PRELIMINARES
-
.
•
9
PRIMERA P A R T E - P L A N I M E T R Í A .
1. Sección.—Planimetría rectilínea.
CAPITULO I . . Una r e c t a en el plano
CAPITULO I I . . . Dos r e c t a s en el plano
CAPITULO III. . T r e s r e c t a s en un plano y de las c o r t a d a s
por u n a secante en p a r t i c u l a r . . . .
CAPITULO IV. . Del á n g u l o en el t r i á n g u l o
CAPITULO V . . . C u a t r o rectas en el plano
CAPITULO VI. . Cinco ó más rectas en el plano
CAPTIULO VIL . De la igualdad ó congruencia de los t r i á n gulos y relaciones e n t r e sus lados y á n gulos
CAPITULO VIII. . De la i g u a l d a d ó congruencia de los p a r a lelógramos y relaciones e n t r e los lados,
y e n t r e lados y ángulos
CAPITULO I X . . Relación de los lados y ángulos del t r a pecio
, .
CAPITULO X . . . Dependencia e n t r e los lados y á n g u l o s de
los polígonos en general y su igualdad
ó congruencia
CAPITULO XI. . Construcciones c u y a resolución depende
de los a n t e r i o r e s capítulos
CAPITULO XII. . De la proporcionalidad de las r e c t a s . . .
CAPITULO XIII. . De los polígonos semejantes
CAPITULO XIV. . Construcciones que se fundan en la teoría
de proporcionalidad
CAPITULO XV. . Evaluación de las á r e a s de las figuras
planas rectilíneas
CAPITULO XVI. . Comparación de las á r e a s
CAPITULO XVII.. P r o b l e m a s r e l a t i v o s á las á r e a s . . . .
a
11
12
15
18
20
22
23
f
30
32
33
36
39
44
46
48
51
55
2. SECCIÓN.
a
Tratado de la circunferencia de círculo.
PRELIMINARES
CAPITULO I. . . Posiciones de u n a r e c t a respecto de u n a
circunferencia.—Tangentes
CAPITULO II . . De la circunferencia como medida de los
ángulos
CAPITULO III. . De las cuerdas en el círculo
CAPITULO IV. . R e c t a s proporcionales en el círculo. . .
CAPITULO V . . . Relación e n t r e la distancia de los centros
y los r a d i o s de dos circunferencias, s e g ú n su respectiva posición
57
58
62
65
66
67
CAPITULO VI.
.
CAPITULO VIL .
CAPITULO VIII. .
CAPITULO IX. .
CAPITULO X . .
.
Construcciones fundadas en las propiedades a n t e r i o r e s
De los polígonos inscritos y c i r c u n s c r i t o s .
Construcciones. . .
Cálculo del perímetro de los polígonos r e g u l a r e s inscritos y c i r c u n s c r i t o s . . .
Rectificación de la circunferencia y c u a d r a t u r a del círculo
68
70
73
74
76
SEGUNDA PARTE.
De la Geometría elemental.—Stereometría.
1. Sección.—Rectas y planos.
I. . . De la línea recta y del plano
II. . . De los ángulos diedros
III. . De los planos paralelos
IV. . Del á n g u l o t r i e d r o y del poliedro. . . .
a
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
81
85
88
90
2. SECCIÓN.
a
PRELIMINARES.
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
CAPITULO
V..
VI.
VIL
VIII.
XI.
X..
XI.
XII
.
.
.
.
.
.
.
.
Cuerpos geométricos.
Tetraedros
Igualdad de t e t r a e d r o s
Pirámides.
.
Prismas
Paralelepípedos
Poliedros en g e n e r a l y poliedros r e g u l a r e s
Semejanza de poliedros. . .' "... . . .
Áreas t o t a l e s y parciales de los cuerpos. .
Volúmenes...."
Comparación de los volúmenes de los poliedros semejantes
93
94
97
99
101
102
104
106
108
115
3 . SECCIÓN.
a
Nociones de los tres cuerpos redondos Cono y Cilindro
circulares rectos y Esfera.
PRELIMINARES
: . 116
CAPITULO I. . . Del Cono
. . 117
CAPITULO I I . . . Del Cilindro
121
CAPITULO III. . De la esfera. .
123
Definición de las secciones cónicas y de a l g u n a s propiedades de las t r e s c u r v a s E l i p se, Hipérbola y P a r á b o l a
127
Nociones de Trigonometría Rectilínea.
PRELIMINARES
133
Funciones c i r c u l a r e s
137
Tablas t r i g o n o m é t r i c a s , su disposición y
uso..
140
F ó r m u l a s de resolución de los t r i á n g u l o s
rectángulos
145
F ó r m u l a s p a r a la resolución de los o b l i cuángulos
145
Ejemplos de r e c t á n g u l o s
146
Fiemplos de oblicuángulos
147
PRELIMINARES.
I. Se llama Geometría la ciencia que estudia la forma y estension de las líneas, superficies y cuerpos.
II. Se llama cuerpo toda porción limitada del espacio.
III. La estension de los cuerpos no puede ser mas que en tres
direcciones
á saber: L A T I T U D Ó A N C H O , L O N G I T U D Ó L A R G O Y P R O F U N D I D A D ó G R U E S O . Estas se llaman sus
dimensiones.
IV. Se llaman superficies
los límites de los cuerpos.
V. La estension de las superficies
no tiene mas que dos direcciones, á saber: longitud y latitud que constituyen
sus
dimensiones.
VI. Se llaman líneas los límites de las
superficies.
VII. La estension de las líneas no tiene mas que una sola
dirección que es la longitud que constituye su
estension.
VIII. Se llama punto el límite de las líneas.
IX. El punto no tiene dimensión
alguna; es decir no tiene
estension.
X
Las superficies,
líneas y puntos no existen
aisladamente
y fuera de los cuerpos; si la Geometría
los considera
individualmente es una abstracción
para facilitar el estudio de sus
propiedades.
XI. Las líneas se dividen en R E C T A S y C U R V A S .
XII. La línea recta como idea simple no se puede definir 6
descomponer.
XIII. Tiene dos propiedades peculiares é i m p o r t a n t e s por las
cuales suele definirse, y son: 1 . Que en toda su estension sigue una
sola y única dirección. 2 . Ser la más corta que se puede trazar de
un punto á otro.
XIV. Línea curva es la que constantemente
varía de
dirección,
ó la que por pequeña que sea su estension, no es recta.
XV. Se llama línea quebrada la compuesta de varias
rectas,
que no están en la misma
dirección.
XVI. Se llama línea mista la compuesta de recta y curva.
a
a
GEOMETRÍA.—2
10
XVII. En Geometría se designan las líneas poniéndoles
letras
en sus estreñios si son rectas ó curvas. En las quebradas
y mistas
se ponen las letras en los estremos de las partes de que se componen: Asi (Fig. 1) p a r a designar la r e c t a de esta figura se pone en
u n estremo a y en el otro b y se lee ab. La c u r v a de la (Fig. 2) sa
designa y lee cd. La q u e b r a d a (Fig. 3) efgh. Y la m i s t a (Fig. 4) hnnop.
XVIII. Entre las letras que designan una línea, no existe operación alguna: Asi es que ab en Geometría no es u n p r o d u c t o como
en Álgebra, sino u n nombre que se dá á u n a r e c t a .
XIX. Un punto se designa con una sola letra.
X X . L a s superficies se dividen en planas y curvas.
X X I . Se llama plano ó superficie plana aquella en que si una
recta tiene dos puntos comunes con él, coincide en toda su estension, cualquiera que sea la dirección en que se coloque.
XXII. Se llama superficie curva aquella que por pequeña
que
se considere
no es plana,. En a l g u n a s superficies c u r v a s se puede
h a c e r coincidir u n a r e c t a en d e t e r m i n a d a dirección, como m á s a d e l a n t e se v e r á .
XXIII. Superficie quebrada es la compuesta de varias
superficies planas, que no forman un plano.
XXIV. Superficie mista es la que se compone, de parte
plana
y parte
curva.
XXV. El c u a d r o de las p a r t e s que comprende la Geometría e l e m e n t a l , es el s i g u i e n t e :
1.
1.
a
GEOMETRÍA /
ELEMENTAL \
Planimetría rectilínea.
PARTE.
Planimetría.
SECCIÓN.
a
2.
SECCIÓN.
a
T r a t a d o de la circunferencia de círculo.
/
1. SECCIÓN.
í R e c t a s y planos.
a
„ a
\
2.
2. P A R T E . 1 p i i
'Stereometría. J
0
e u r o s
n
3.
SECCIÓN.
a
;
SECCIÓN.
Nociones sobre los cuerpos redondos
* y secciones cónicas.
PRIMERA PARTE.
PRIMERA S E C C I Ó N .
PLANIMETRÍA
1. Se llama Planimetría
que estudia las líneas rectas
están en un mismo
plano.
RECTILÍNEA.
rectilínea
la parte
y figuras terminadas
de la
Geometría
por rectas que
C A P Í T U L O I.
UNA RECTA EN EL PLANO.
2. Las líneas rectas tienen dos cualidades de u n a fácil d e t e r m i nación, que son: L O N G I T U D Y D I R E C C I Ó N .
3. La longitud de una línea recta limitada, se aprecia
comparándola con otra que sirva de medida; el número de veces que la
contenga espresa su
longitud.
4. Cuando en G-eometría se e s t u d i a n propiedades referentes á la
estension, las líneas se r e p r e s e n t a n por números, así es que se v e r i fican con ellas las mismas operaciones que con los n ú m e r o s , a p e s a r
de conservarles su nombre geométrico. Asi se dice abXcd,
ó
siendo
cd
ab y cd dos r e c t a s . Pero lo que se multiplica ó p a r t e , son los n ú m e r o s
que r e p r e s e n t a n su m e d i d a .
5. Cuando se eleva u n a línea á potencia, se le suele poner u n a
raya encima p a r a d a r á e n t e n d e r que no es la ú l t i m a l e t r a la que se
eleva sino la línea que a m b a s l e t r a s r e p r e s e n t a n : Asi ab q u i e r e
12
decir la línea ab elevada al cuadrado, ó, sea, el n ú m e r o que r e p r e senta su longitud. T a m b i é n se suele p a r a más brevedad s u p r i m i r
e s t a línea y escribir solamente ab'.
6. Dos puntos fijan la posición de una recta. En efecto, si por
un p u n t o c ( F i g . 5) pasa u n a r e c t a ab, y se hace g i r a r al rededor de
este p u n t o , ocupará infinitas posiciones de;fg
sin dejar de pasar
por el punto c; luego un p u n t o no fija la posición de u n a línea r e c t a .
Si se t u v i e s e ademas del p u n t o c, otro p u n t o a, por donde há de p a s a r
u n a r e c t a , t i r a n d o la ab, ésta no puede g i r a r sobre c u a l q u i e r a de s u s
p u n t o s , ó sea c a m b i a r de posición, sin a b a n d o n a r el p u n t o a, si g i r a
sobre c, ó el c si gira sobre a, ó los dos si g i r a al rededor de otro c u a l q u i e r a : luego los dos punios a y c, fijan la posición de la recta.
7. Por dos plintos no puede pasar mas que una sola línea
recta, ó lo que es lo mismo, si dos rectas tienen dos puntos
comunes
coinciden en toda su estension indefinida;
pues de lo c o n t r a r i o dos
p u n t o s no fijarían la posición de u n a r e c t a .
8. De aquí se deduce que dos rectas que no coinciden
solo
pueden tener un punto común. En este caso las r e c t a s se l l a m a n
S E C A N T E S , tales son (Fig. 5) la ab y de. El punto c se llama de
encuentro ó
intersección.
9. Para señalar un punto en las figuras geométricas
se hace
por medio de dos rectas que se cortan. También se pone un punto
ortográfico y se nombra con una sola letra.
10. La distancia entre dos puntos se mide por la recta que los
une. Esta es u n a de las propiedades evidentes de la línea r e c t a , d e r i v a d a de ser la más corta que se puede t r a z a r e n t r e dos p u n t o s .
C A P Í T U L O II.
P O S I C I Ó N DE DOS RECTAS EN UN PLANO.
11. Dos r e c t a s s i t u a d a s en u n plano tienen a l g u n a de estas t r e s
posiciones. 1. Que prolongada
suficientemente
sea la una parte de
la prolongación
de la otra como las ab y cd (Fig. 0). En este caso se
l l a m a la u n a prolongación de la otra y pueden considerarse como u n a
sola r e c t a . 2 . Que prolongadas
indefinidamente
en ambos
sentidos
nunca concurran; como las ab y cd (Fig. 7). En este caso se l l a m a n
P A R A L E L A S ó de I G U A L D I R E C C I Ó N . 3 . Que prolongadas
suficientemente en uno de sus sentidos siempre concurran en un punto: como
las ab y cd (Fig. 8). En este caso se dicen de D E S I G U A L D I R E C C I Ó N Ó
a
a
a
13
consideradas respecto del lado en que se a p r o x i m a n , y
respecto del sentido en que se s e p a r a n .
12. Si se consideran dos rectas de desigual dirección
prolongadas hasta su punto de encuentro, determinan
entre ellas un espacio que se llama ángulo. En el á n g u l o h a y que considerar: 1.° Las
rectas que lo forman que se llaman sus lados (Fig. 9). Las r e c t a s
ab y cb. 2.° El punto dé intersección,
que se llama vértice del ángulo. 3.° La diferencia
de dirección entre sus lados, que se llama la
amplitud ó abertura del ángulo.
13. Respecto de e s t a ú l t i m a puede e x a m i n a r s e en todos sus
casos considerando el giro de un lado ab de un á n g u l o (Fig. 9) al r e dedor del vértice fijo b. Si se considera que el lado ba h a girado desde
la posición be h a s t a la ba la amplitud de este giro es la que constituye la magnitud
del ángido, que se espresa, ó por tres letras una
de cada lado y la del vértice enmedio, asi se dice el á n g u l o abe, 6 por
una sola letra puesta en la abertura cerca del vértice como la m.
14. Si se considera que la línea ab (Fig. 10) ha dade^una v u e l t a
completa al rededor del p u n t o b hasta volver á su p r i m i t i v a posición,
recorre u n espacio ilimitado, siempre i g u a l á sí mismo; en él e s t á n
comprendidas las diferentes posiciones que pueden t e n e r dos rectas
que se c o r t a n : puede por t a n t o considerarse como el mayor de todos
los ángulos: ó como no formando
ángulo y los demás como partes
de la vuelta
completa.
15. En efecto, si se considera en p r i m e r l u g a r que el lado ba
solo ha dado media v u e l t a y se coloca en la prolongación de la be
(Fig. 11), se forma el á n g u l o abe que por la posición de los lados se
llama ángulo
lineal.
16. Sí se considera dividido
en dos partes iguales el ángulo
lineal ( F i g . 12) r e s u l t a n los dos á n g u l o s abd y dbc que se l l a m a n
R E C T O S y cada uno es la mitad de la media v u e l t a ó el cuarto del giro
completo.
17. Cuando dos lineas se cortan en ángulo recto se llaman perpendiculares.
Asi las líneas bd y ac son perpendiculares. (Fig. 12).
18. Todo ángulo menor que un recto como el ebe ( F i g . 12) se
llama A G U D O , y el que es mayor pero menor que uno lineal, como el
eba, se llama O B T U S O . Ambos en comparación
con el recto se llaman
también oblicuos, lo mismo que las rectas que lo forman.
19. Si la r e c t a ba pasa en su giro de la media v u e l t a completa,
ó sea del á n g u l o lineal, se forma el á n g u l o M Á S Q U E O B T U S O abe
(Fig. 13) que t a m b i é n se llama S A L I E N T E Ó C O N V E X O en contraposición
al agudo, recto y obtuso q u e dejan u n hueco ó E N T R A N T E e n t r e sus
lados. ^
CONCURRENTES
DIVERGENTES
!í
20. En realidad á cada á n g u l o hueco ó entrante le corresponde
u n o saliente; formando e n t r e los dos la v u e l t a completa ó c u a t r o
rectos. P o r eso se dice que cada á n g u l o tiene dos a b e r t u r a s ; y de
aquí en a d e l a n t e cuando se hable de u n á n g u l o , se e n t e n d e r á que se
hace del entrante ó hueco, á menos de espresamente decir lo contrario.
21. H a s t a a h o r a se ha considerado el á n g u l o de dos rectas que se
c o r t a n , suponiéndolas t e r m i n a d a s en su p u n t o de intersección, si se
consideran prolongadas en sentido opuesto por el v é r t i c e , se forman
otros á n g u l o s , á saber:
22. Los ángulos A D Y A C E N T E S , que son los que tienen el vértice
y un lado común y los otros en línea recta, como los abe y ébc
(Fig. 12).
23. Los opuestos por el vértice que son los que tienen el vértice
común y los lados del uno so7i prolongaciones
de los del otro como
los abe y dbc (Fig. 14).
24. La suma de dos ángulos adyacentes componen dos
rectos.
En efecto, ( F i g . 12) siendo el lado ab por definición prolongación del
be, la s u m a de los dos ángulos abe y ebe componen el á n g u l o
lineal abe, ó sea media v u e l t a completa (15) ó lo que es lo-mismo (16)
dos rectos.
25. Recíprocamente
si dos ángulos que tienen el vértice y un
lado común suman dos rectos, son adyacentes.
P u e s ( F i g . 12) t e niendo los dos ángulos abe y ébc el lado eb y el vértice b común y
siendo a d e m a s la s u m a abe~\-ebc=2 rectos, si se supone que la ba, no
es prolongación de la bc,Ao seria u n a r e c t a t a l como la bf; y por ser
los á n g u l o s fbe y ebe adyacentes,, se t e n d r i a fbe-\-ebc=2 rectos, de
donde r e s u l t a r í a que fbe-\-ebc=eba-\-ebc
ó sea fbe—abe lo cual es
a b s u r d o , pues el abe es u n a p a r t e del fbe y la parte no puede ser
i g u a l al todo.
26. Se llaman ángulos consecutivos
los que tienen el mismo
vértice, y cada uno con el siguiente un lado común.
27. Los ángulos consecutivos
formados
hacia una región
de
una recta valen dos rectos, y los formados al rededor de un punto
valen cuatro rectos. En efecto, los formados hacia u n a m i s m a r e g i ó n
de u n a recta todos componen dos a d y a c e n t e s , y valen por t a n t o dos
rectos. Los formados al rededor de un p u n t o , si se prolonga uno de
los lados en sentido opuesto al v é r t i c e , se tiene que los de cada r e g i ó n
de la recta que asi se forma, valen dos rectos, y todos j u n t o s , por
consiguiente, cuatro.
28. Los ángulos que sumados'componen
dos rectos, se llaman
suplementarios,
y si componen un¡ recio,
complementarios.
15
29. También se dice suplemento- ó complemento
de un ángulo
lo que le falta para componer dos ó un recto.
30. Es evidente que dos ángulos que tengan el mismo
complemento ó suplemento son iguales, porque le falta la misma c a n t i d a d
p a r a componer u n a t e r c e r a d e t e r m i n a d a .
31. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales,
sean
(Fig. 14) abe y dbc los ángulos opuestos por el vértice, que se vá á
demostrar son i g u a l e s . El abe tiene por suplemento á su a d y a c e n t e
abd que es t a m b i é n a d y a c e n t e y por t a n t o suplemento de el dbc,
luego estos ángulos que t i e n e n el mismo suplemento son iguales.
32. Desde un punto de una recia ó fuera de ella no se le puede
trazar mas que una sola perpendicular.
En efecto, sea primero la
r e c t a ab (Fig. 15) y el p u n t o en ella c, si por este punto se t r a z a la
cd, que forme los ángulos iguales dca=dcb, la cd es p e r p e n d i c u l a r
á la ab; o t r a c u a l q u i e r r e c t a que se t r a c e por el p u n t o c, p a r a no confundirse con la cd, h á de c a e r á su derecha ó izquierda, es decir
t e n d r á o t r a dirección y f o r m a r á dos ángulos eca>dca,
porque lo
comprende; y ecb<dcb
porque está comprendido en él; y por t a n t o
eca>ecb; luego la ce no es perpendicular á la ab (16 y 17).
Si el p u n t o está fuera como en d (Fig. 16), si se baja la p e r p e n d i c u l a r de, y o t r a r e c t a c u a l q u i e r a de, esta s e g u n d a no puede ser p e r pendicular, pues si lo fuera, doblando la figura por la ce h a s t a que se
coloque en el mismo plano por la parte inferior, en la posición cd' y
ed' s e t e n d r i a que conservándose en este movimiento las de y de
perpendiculares a l a ab, la p a r t e cd' es prolongación d é l a cd, pues
por un p u n t o de u n a r e c t a no se le puede t r a z a r m a s que u n a p e r p e n dicular, y por a n á l o g a ' r a z ó n la p a r t e ed' seria prolongación de la de;
es decir, que ded' seria u n a línea r e c t a d i s t i n t a de la ded' y con la
cual tiene dos p u n t o s comunes djd'
lo cual es absurdo (7).
33. Dos ángulos rectos son iguales aunque no sean
adyacentes.
Sean los dos á n g u l o s rectos abe y def ( F i g . 17). Siempre se puede
hacer coincidir el lado be con el ef, pues son dos líneas r e c t a s , y el
punto b con el e: a h o r a como el lado ed es perpendicular al ef t e n d r á
que confundirse con el ba que t a m b i é n lo es ( 3 2 ) . ^
C A P Í T U L O III.
D E LA POSICIÓN DE TRES RECTAS EN UN P L A N O , Y DE LAS CORTADAS
POR UNA SECANTE EN P A R T I C U L A R .
34. Tres r e c t a s s i t u a d a s en u n mismo plano pueden t e n e r u n a
de estas t r e s posiciones: 1 . Ser las tres paralelas.
2 . Ser dos paraa
a
16
lelas y la tercera
cortarlas
ó-secante.
3 . Cada una en
distinta
dirección que las otras dos. En el p r i m e r caso n i n g u n a propiedad
importante resulta.
3 5 . En el segundo se forman ocho ángulos, c u y a n o m e n c l a t u r a
es la s i g u i e n t e : ( F i g . 1 8 ) Sean mn y pq, las p a r a l e l a s , y rs la s e cante.
36.
Se llaman I N T E R N O S los cuatro ángulos c,d,f,e, que están
entre las paralelas y E S T E R N O S los c u a t r o a,b,g,h, que están
fuera.
37.
C O R R E S P O N D I E N T E S son los pares de ángulos
uno interno y
otro esterno que están á un mismo lado de la secante y no son adyacentes como los a y e; b y f; d y h; c y g. \
38.
A L T E R N O S son los pares
de ángulos, ambos internos ó estemos, que están á diferente lado de la secante y no son
adyacentes
como los a y g; b y h que son alternos estemos y los d y f; c y e q u e
son alternos
internos.
3 9 . Los ángulos correspondientes
entre paralelas son iguales.
En efecto, (Fig. 1 8 ) el á n g u l o a, por ejemplo, está formado por el g i r o
de la rs sobre la mn; y como la rs por ser línea r e c t a tiene u n a
sola y ú n i c a dirección, y la pq tiene por definición la misma que la
mn, es evidente que el á n g u l o e que forma la rs con l&pq es idéntico
á el a que forma con la mn. Lo mismo se diría de los pares byf:cy
g;
d y h.
4 0 . Los ángulos alternos entre paralelas son iguales. En efecto,
( F i g . 18) sean dos ángulos a l t e r n o s i n t e r n o s d y f, se tiene que d=h
por correspondientes; a d e m a s U—f por opuestos por el vórtice luego
d—f. Lo mismo se d e m o s t r a r í a que c=e. Si fuesen esternos como
b y h se tiene d—li por correspondientes: ademas b—d por opuestos
por el vértice, luego b—li. Lo mismo se d e m o s t r a r í a que a—g.
41. Los ángulos internos entre parálelas son
suplementarios.
En efecto, sean los c y f; se tiene c-\-b=2 rectos p o r a d y a c e n t e s : pero
como b=f\)or correspondientes, es claro que c-\-f=2
rectos.
4 2 . Dos rectas de desigual dirección cortadas por una secante.
Sean las dos r e c t a s de desigual dirección pq y px (Fig. 1 9 ) p r o l o n gada esta ú l t i m a h a s t a su p u n t o p de e n c u e n t r o con la p r i m e r a , y sea
l a secante rs: e s t a secante forma con las dos r e c t a s ocho á n g u l o s que
reciben dos á dos los mismos nombres que los formados con dos p a r a lelas, sin embargo no t i e n e n las mismas propiedades; pues si por el
p u n t o de e n c u e n t r o o, de la secante con la xp, se t i r a u n a p a r a l e l a r á
la pq, llamando m y n, los ángulos que forma la tu con la xp se
tiene.
4 3 . l.° Los ángulos internos suman más ó menos de dos rectos
según se considereyi
los del lado divergente
ó convergente de las
A
rectas dadas. En efecto, (Fig. 19) por ser paralelas tu,^ pq, se tiene
d-\-e= 2r;luego e-\-d\.n~>2r.
T a m b i é n c-\-m-\-f—2r;
luegoc-\-f<2r.
44. Los ángulos correspondientes
y altemos
son
desiguales
es evidente que siendo a-\-n—e se tiene a<e. T a m b i é n de d=f se
deduce d-\-n>fy
así en los demás casos.
45. Dos rectas son paralelas
si los ángulos internos que forman con una secante son suplementarios,
ó si los alternos ó correspondientes son iguales. En efecto, ( F i g . 19) si se supone, por ejemplo,
d=ñ las r e c t a s pq, y tu, son p a r a l e l a s , pues si no lo fueran t r a z a n d o
por el p u n t o de e n c u e n t r o o, de la tu, con la secante, u n a r e c t a px, que
fuese p a r a l e l a á la pq, se t e n d r í a (39) n-\-d=h y como por h i p ó tesis d—hse t e n d r í a el absurdo d—n\d\ luego es falsa la hipótesis de
donde proviene este a b s u r d o , á s a b e r , que siendo d—h la tu» no sea
p a r a l e l a á la pq,
*
.
A n á l o g a m e n t e se d e m u e s t r a el paralelismo de las pq, y tu, si se
supone que d-\-e=2 r, ó q u e d=f, 6 b—h.
46. Por un punto fuera de una recta no se le puede
trazar
mas que una paralela. Sea la r e c t a pq ( F i g . 19) y el p u n t o o; t r a z a d a
la tu, p a r a l e l a á la pq, o t r a c u a l q u i e r r e c t a xp, que pase por o, ha de
t e n e r d i s t i n t a dirección que la tu, p a r a no confundirse con ella, y
como la tu, tiene la m i s m a dirección que la pq, la recta xp t e n d r á
d i s t i n t a dirección que l a p # , y por t a n t o no pueden ser paralelas (11).
47. Dos perpendiculares
á una misma
recta son
paralelas.
En efecto, ( F i g . 20) si la mn y pq, son p e r p e n d i c u l a r e s á la rs, se
tiene que a—e; d=fy
d-\-e=2 rectos, pues todos estos son á n g u l o s
rectos: luego las mn y pq (45) son p a r a l e l a s .
48. Si una recta es perpendicular
á otra, también lo es á sus
paralelas. En efecto, ( F i g . 20) si la rs es p e r p e n d i c u l a r á la mn, los
ángulos a y b son r e c t o s ; pero los fy e t a m b i é n lo son por i g u a l e s á
los a y b, como correspondientes; luego la rs es p e r p e n d i c u l a r á
la pq.
49. Dos paralelas á una tercera son paralelas entre sí. Sean
(Fig. 21) las mn y rs p a r a l e l a s á la pq, t r a z a n d o u n a p e r p e n d i c u l a r
tv á l a p i d o s e r á á sus p a r a l e l a s mn y rs, (48) por t a n t o (47) estas
son p a r a l e l a s e n t r e sí.
50. Los ángulos de lados paralelos
ó perpendiculares
son
iguales ó suplementarios.
1.° Sean los ángulos m y p, ( F i g . 22)
cuyos lados son paralelos, si se prolonga uno de ellos, el ab, por ejemplo, h a s t a que e n c u e n t r e al afen el p u n t o h, se t e n d r á que el á n g u l o
m=n
por correspondientes e n t r e l a s p a r a l e l a s be y eh, siendo la
secante ak; t a m b i é n n=p por correspondientes e n t r e las p a r a l e l a s de
y ak, c o r t a d a s por la secante ef: luego m—n. La m i s m a i g u a l d a d
G E O M E T R Í A . — 5
18
e x i s t e e n t r e los ángulos r ( r e s u l t a n t e de prolongar los lados del
a n t e r i o r ) y p; toda vez que r=m por opuestos por el v é r t i c e y se lia
demostrado que m—p, luego r=p.
51. Si se h u b i e r a t r a t a d o de los á n g u l o s x y p, e v i d e n t e m e n t e
serian s u p l e m e n t a r i o s , puesto que x\m—2
r por a d y a c e n t e s , y y a
se ha visto que m—p; luego x-\-p=2 r. Se deduce, por t a n t o , que si
la abertura de los ángulos de lados paralelos está en el mismo ó en
opuesto sentido son iguales, y en cualquier otra posición son suplementarios.
52. Sean m y p los á n g u l o s de lados p e r p e n d i c u l a r e s , (Fig 23) si
por el vértice b se t i r a n perpendiculares á los lados ba y be, se forma
el á n g u l o h=m por t e n e r sus lados paralelos. P o r o t r a p a r t e , k=p
por tener el mismo complemento l; es e v i d e n t e , por t a n t o , que m—p.
53. Si se h u b i e r a t r a t a d o de los á n g u l o s nyp,
serian suplem e n t a r i o s , pues n-{-m=2 rectos por a d y a c e n t e s ; y como m—p se
tiene n-\-p=2 rectos. Puede decirse, por t a n t o , que los ángulos de la
m i s m a especie, y de lados p e r p e n d i c u l a r e s , son i g u a l e s , y los de
d i s t i n t a especie, ÜV suplementarios,^?"
CAPÍTULO
IV.
D E L ÁNGULO EN EL T R I Á N G U L O .
54. Tres rectas que se cortan y se terminan en sus puntos de
encuentro
determinan
una superficie
cerrada,
cuya figura se
llama T R I Á N G U L O . Tal es el abe ( F i g . 24).
55. Las rectas que lo forman se llaman sus lados, y los puntos
donde se cortan
vértices.
56. El t r i á n g u l o es la figura m á s sencilla, es decir, que no
puede haber superficie cerrada por líneas rectas que tenga
menos
de tres lados. Es por lo t a n t o el elemento componente de las d e m á s
figuras l i m i t a d a s por r e c t a s , y de aquí la i m p o r t a n c i a de su e s t u d i o ,
57. Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma
de los otros dos y mayor que su diferencia.
En efecto, ( F i g . 24) la
línea r e c t a ab es la más corta d i s t a n c i a e n t r e los puntos a y b, lo c u a l
se e x p r e s a a n a l í t i c a m e n t e ab<.ac-\-bc; a n á l o g a m e n t e ab-\-bc>ac,
y
r e s t a n d o be de ambos miembros (Álgebra 116) se t i e n e
ab>ac—be.
58. La suma de tos tres ángulos de un triángulo compone dos
rectos. En efecto, (Fig. 24) si por el v é r t i c e c del t r i á n g u l o abe, se
t r a z a u n a r e c t a hk, p a r a l e l a al lado opuesto ab, se t e n d r á (27)
19
e-\-f-\-g—2 rectos, pero e=m y g=n por a l t e r n o s i n t e r n o s e n t r e
paralelas, luego s u s t i t u y e n d o será
m-\-f-\-n—2„rectos.
59. Un triángulo no puede tener mas que un ángulo recto ó
uno obtuso. En efecto, si t u v i e s e m á s de u n á n g u l o r e c t o ó de uno
obtuso, la s u m a de los t r e s compondría, más de dos rectos.
60. Los triángulos que tienen un ángulo recto se llama.n rectángulos; el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los
adyacentes
catetos.
61. Los triángulos
que tienen un ángulo obtuso se llaman
obtnsangulos,
y si los tres son agudos acutángulos:
ambas
clases
se comprenden
bajo la denominación
de
oblicuángulos.
62. Se llama ángulo externo de un triángulo el formado
por
un lado y la prolongación
de otro. Asi ( F i g . 24) el á n g u l o p formado
por el lado ac y la prolongación ad, del ab, es u n á n g u l o e x t e r n o del
t r i á n g u l o abe.
63. El ángulo externo de un triángulo es igual á la suma de
los dos internos
no adyacentes.
En efecto, (Fig. 24) se sabe q u e
p-\-m—2 r por a d y a c e n t e s : por o t r a p a r t e f-\-n-\-m—2 r por ser los
t r e s ángulos de u n t r i á n g u l o ; luego p-\-m=f-\-n-\-m
ó seap=/-f-w.
64. Conocidos dos ángulos de un triángulo,
se conoce el tercero que es el suplemento de los otros dos. No sucede lo mismo r e s pecto de los lados, pues la relación que e n t r e ellos e x i s t e (57)'está
e n t r e dos l í m i t e s : de aquí el que si dos triángulos tienen dos ángulos
iguales, los terceros también lo son: pero si tienen dos lados iguales
nada se puede decir del t e r c e r lado.
65. En los triángulos
rectángulos
los ángulos agudos
son
complementarios,
porque es evidente que e n t r e los dos h a n de c o m poner u n r e c t o .
66. Si desde un lado de un ánguto agudo se baja una
perpenpendicular
sobre el otro lado, ésta caerá dentro ó fuera de la abertura del ángulo según sea éste agudo ú obtuso. En efecto, (Fig. 25)
sea el á n g u l o a g u d o bac, si desde b se baja u n a p e r p e n d i c u l a r al lado
ac, c a e r á d e n t r o de la a b e r t u r a como en bd, pues si se supone que
c a y e r a fuera como en bf, se t e n d r í a el t r i á n g u l o bfa con u n á n g u l o
recto en f, por ser la bf p e r p e n d i c u l a r á la af, y otro á n g u l o obtuso
fab, por ser a d y a c e n t e á el propuesto bac, que es agudo: t a l t r i á n g u l o
es imposible (59). Si t r a t á n d o s e del á n g u l o obtuso baf se supone
'que la p e r p e n d i c u l a r bajada desde b al lado fa, cae en f, s e t e n d r i a
el mismo a b s u r d o .
20
CAPÍTULO
CUATRO
V.
Ó MÁS RECTAS EN EL PLANO.
67. Cinco posiciones pueden ocupar cuatro rectas situadas en
un plano, las que presentan a l g u n a s propiedades n u e v a s , son: 1. Dos
paralelas y las otras dos también paralelas pero en distinta
dirección que las primeras.
2 . Dos paralelas y las otras dos en
distinta
dirección
entre sí y con las primeras.
3 . Las cuatro en
distinta
dirección.
68. En el p r i m e r caso, y prolongadas las líneas h a s t a su p u n t o
de e n c u e n t r o , r e s u l t a un espacio cerrado por cuatro lineas que se
llama en general cuadrilátero,
y que si como en este caso tiene sus
lados paralelos dos á dos (Fig. 41) se llama
paralelógramo.
.69. Si solo dos lados son paralelos como en el segundo
caso,
r e s u l t a un cuadrilátero
(Fig. 46) que se l l a m a trapecio, y los lados
paralelos bases.
70. Si los cuatro lados tienen distinta dirección como los de
ia (Fig. 48) se llama trapezoide.
Los c u a d r i l á t e r o s trapezoides p u e den ser cóncavos, ó lo que es lo mismo, t e n e r u n á n g u l o e n t r a n t e , ó
m á s que obtuso cqmo el abcd (Fig. 26).
71. Se llama diagonal en un cuadrilátero
la recta que vá desde
un vértice á otro no adyacente:
Asi en l a s (Figs. 26, 4 1 , 46, 48) la
ac es u n a d i a g o n a l .
72. En todo cuadrilátero
la suma de sus ángulos
interiores
es igual á cuatro
rectos.
l.° Sea un c u a d r i l á t e r o convexo t a l como el abcd ( F i g . 48) t r a zando la diagonal ac, q u e d a descompuesto en dos t r i á n g u l o s , cuyos
ángulos por una p a r t e sumados componen los del c u a d r i l á t e r o : y por
o t r a valen c u a t r o rectos, porque los t r e s de cada t r i á n g u l o valen dos,
luego es e v i d e n t e que los c u a t r o á n g u l o s del c u a d r i l á t e r o convexo
componen c u a t r o rectos.
2.° Sea el c u a d r i l á t e r o cóncavo abcd, ( F i g . 26) si se t i r a la d i a gonal ac, queda t a m b i é n descompuesto en dos t r i á n g u l o s , cuyos
ángulos valen c u a t r o rectos y a d e m a s son los del c u a d r i l á t e r o .
73 De aquí se deduce que dados tres ángulos de un
cuadrilátero se puede determinar
el cuarto: porque su valor será la diferencia de la s u m a de los t r e s dados, con c u a t r o rectos.
2.° T a m b i é n se deduce que un cuadrilátero
no puede
tener
cuatro ángulos obtusos, ni dos más que obtusos ó
entrantes.
a
a
a
21
74. En el cuadrilátero
paralelogramo
los ángulos
opuestos
son iguales y los adyaceates
á un mismo lado suplementarios.
En
efecto: 1.° ( F i g . 45) Los ángulos m y q óryp
del p a r a l e l o g r a m o
abcd son iguales porque t i e n e n sus lados paralelos y v é r t i c e s en sentido c o n t r a r i o (51).
2.° Los r y m, ó r y q, a d y a c e n t e s á un mismo lado son s u p l e m e n t a rios por i n t e r n o s e n t r e p a r a l e l a s (41) de u n mismo lado de la
secante, que lo es, el lado al cual son adyacentes.
75. Si un cuadrilátero
paralelogramo
tiene un ángulo
recto,
los otros tres también son rectos. En efecto, (Fig. 44) si en el p a r a lelogramo abcd, el á n g u l o a es r e c t o , sus adyacentes respectivos d y b,
t a m b i é n lo serán por s u p l e m e n t a r i o s y el opuesto c, por i g u a l .
76. Los paralelo gramos cuyos cuatro ángulos son rectos, se
llaman
rectángulos.
77. Si un cuadrilátero
tiene sus ángulos opuestos iguales, es
un paralelogramo.
En efecto, (Fig. 45) si por hipótesis en el c u a d r i l á t e r o agcd se tiene que m—q y r=p,
se deduce s u m a n d o que
m-\-r=q-\-p,
y como e n t r e los c u a t r o valen 4 rectos, es e v i d e n t e que
m-\-r—2 rectos y q-\-p=2 rectos. Ahora bien, como m y r son á n gulos i n t e r i o r e s e n t r e las r e c t a s ab y de de u n mismo lado de la s e cante ad, es claro que e s t a s r e c t a s son p a r a l e l a s (45). También las ad
y cb lo son, porque siendo por hipótesis m=q y p=r,
y habiendo
demostrado q u e r-j-m=2
rectos, se deduce m-\-p=2 rectos. Es decir,
que t a m b i é n las r e c t a s ad y cb son paralelas:
78. En los trapecios los ángulos adyacentes
á uno de los lados
no paralelos son suplementarios.
En efecto, (Fig. 46) los á n g u l o s en
b y en c son s u p l e m e n t a r i o s por i n t e r n o s e n t r e p a r a l e l a s , lo mismo
que los en a y en d.
79. Conocidos dos ángulos adyacentes á una de las bases de
un trapecio, se conocen los otros dos: porque ( F i g . 46) si se sabe el
valor de los en c y d, los en b y a se conocen por ser su suplemento,
luego en los trapecios solo se pueden tomar arbitrariamente
dos
.ángulos.
80. Si los ángulos adyacentes á una de las bases son
iguales,
los otros dos también son iguales. Es decir, (Fig. 46) si bed—ade se
tiene e v i d e n t e m e n t e cba=bad por suplementos.
81. Los trapecios que tienen esta relación entre sus
ángulos
se llaman
simétricos.
82. En los trapecios
simétricos
no hay más que un ángulo
arbitrario.
En efecto, (Fig. 46) si se conoce el á n g u l o bed, se t i e n e
conocido el ade por ser i g u a l al bea; y los cba y bad por ser iguales
e n t r e sí y s u p l e m e n t a r i o s de los a n t e r i o r e s . ^
C A P Í T U L O VI.
C I N C O Ó MÁS RECTAS EN EL PLANO.
83. Se llama en general P O L Í G O N O la superficie encerrada
por
varias rectas. Si todos sus ángulos y lados son iguales, se llama
regular. Los polígonos reciben su n o m b r e del n ú m e r o de sus lados,
asi los de cinco, se llaman pentágonos; los de seis, exágonos; los de
siete, eptágonos
los de ocho, octógonos; los de nueve,
eneágonos;
los de diez, decágonos; los de once, endecágonos; los de doce, dodecágonos; los de quince, penladecágonos,
y los d e m á s de q u i n c e ,
polígonos en g e n e r a l .
84. La suma de todos los ángulos interiores de un
polígono,
es igual á tantas veces dos rectos como lados tiene, menos dos. En
efecto, sea p r i m e r o u n polígono convexo ó que no tiene n i n g ú n á n g u l o
e n t r a n t e t a l como el ábcde ( F i g , 27). Si desde u n o de sus vórtices se
t r a z a n diagonales á todos los demás, q u e d a r á el polígono dividido en
t a n t o s t r i á n g u l o s como lados tiene menos dos. Lo mismo sucederá en
c u a l q u i e r o t r o polígono que el propuesto, puesto que al p r i m e r o y
ú l t i m o t r i á n g u l o corresponden dos lados de él, y á los i n t e r m e d i o s
u n o ; luego siempre h a b r á dos t r i á n g u l o s menos que lados. L a s u m a
de los á n g u l o s de estos t r i á n g u l o s compone la de los i n t e r i o r e s del
polígono, y como la de cada t r i á n g u l o es dos r e c t o s , la del polígono
será t a n t a s veces dos rectos como lados h a y a , menos dos.
85. Siendo verdadero el t e o r e m a en u n polígono convexo, t a l
como el abcde, (Fig. 28) se tiene que este polígono se hace cóncavo
si por el lado cd se s u s t i t u y e la línea q u e b r a d a e n t r a n t e cfd. A h o r a
bien; aquí se ha verificado respecto al valor de los á n g u l o s i n t e r i o r e s y del n ú m e r o de lados la s i g u i e n t e a l t e r a c i ó n : Respecto á los
primeros h a n a u m e n t a d o en dos rectos, pues h a ganado el entrante
sobre obtuso m, y h a perdido los p-\-q y se sabe que m-\-n=4 r. y
p-\-q-\-n=2
r., de donde m—p—q—2 r. Respecto de los segundos
t a m b i é n h a g a n a d o u n lado, pues á la r e c t a cd se s u s t i t u y e n los dos
lados cf y fd del á n g u l o e n t r a n t e . Luego p o r c a d a lado que se a u m e n t a p a r a c o n v e r t i r un polígono de convexo en cóncavo, se a u m e n t a la s u m a de sus á n g u l o s i n t e r i o r e s en dos rectos, y por t a n t o ,
la fórmula de su valor, ó sea de t a n t a s veces dos rectos como lados
t i e n e , menos dos, p e r m a n e c e e x a c t a .
86.
En g e n e r a l , si se r e p r e s e n t a por n el n ú m e r o de lados de un
23
polígono, y por R el valor de u n r e c t o , la s u m a de s u s á n g u l o s i n t e riores tiene por espresion 2 R (n—2), ó sea efectuando 2Rn—4 R, de
esta fórmula se deducen v a r i a s consecuencias.
87. Si todos los ángulos de un polígono son iguales, se puede
averiguar
el valor de uno conocido el número de lados: en efecto,
se sabe que todos valen 2 R (n—2), y como h a y n, y todos son i g u a l e s ,
.
2 R (n-2).
uno v a l d r á
n
88. Si se prolongan los lados de un polígono en el mismo
sentido, la suma de los ángulos estertores que resultan, es constante é
igual á cuatro rectos. En efecto, sea el polígono ABCDEF ( F i g . 29)
cuyos lados prolongados en u n mismo sentido, forma los á n g u l o s
esteriores, a,b,c,d,e,f. Es e v i d e n t e que cada á n g u l o e s t e r i o r y su a d yacente i n t e r i o r valen dos rectos: luego i n t e r i o r e s y e s t e r i o r e s tienen
de v a l o r 2 rn en u n polígono de n lados. Es claro, q u e si de este v a l o r
se r e s t a 2 rn—4 r, q u e es el de los i n t e r i o r e s , se t e n d r á de r e s t o
2 rn—(2 r n — 4 r)=4 r q u e espresa el de los i n t e r i o r e s , el c u a l es
c o n s t a n t e porque 4 r es independiente del n ú m e r o n de lados. '
w
C A P Í T U L O VII.
D E LA IGUALDAD Ó CONGRUENCIA DE LOS T R I Á N G U L O S Y RELACIONES
ENTRE SUS LADOS Y Á N G U L O S .
89. Los T R I Á N G U L O S constan de seis elementos,
á saber:
tres
lados y tres ángulos.
Los tres ángulos
se llaman el
elemento
A N G U L A R y los tres lados el R E C T I L Í N E O .
90. P a r a m a y o r c l a r i d a d en lo que se v á á esponer, se l l a m a
ángulo comprendido
por dos lados de un triángulo,
aquel en que
estos lados son los que forman el ángulo; se dice ángulo
adyacente
á un lado, aquel en que este lado es uno de los del ángulo: por ú l t i m o ,
se llama ángulo opuesto á un lado aquel en que este lado no es
.ninguno de los del ángulo.
Así, en el t r i á n g u l o de la ( F i g . 30), el
á n g u l o m es el comprendido e n t r e los lados a y b, el á n g u l o m es
a d y a c e n t e al lado a ó al & y el á n g u l o m es opuesto al lado c.
91. Dados dos elementos de un triángulo
no se pueden
determinar los* otros cuatro. En efecto, es fácil v e r que en c u a l q u i e r a de
los c u a t r o casos, á saber: 1.° Dados dos lados. 2.° Un lado y uno de
sus ángulos adyacentes.
3.° Untado y el ángulo opuesto. 4.° Dos
ángulos;
no se 'pueden determinar
los otros elementos
de un
triángulo.
92. Dados tres elementos,
queda determinado
un
triángulo
24
con tal que entre los dalos haya un lado. En efecto, las c o m b i n a ciones q u e pueden formarse con sns elementos, son las s i g u i e n t e s :
1 . Dados los tres lados. 2 . Dos lados y el ángulo
comprendido.
3 . Dos lados y un ángulo opuesto á uno de ellos. 4 . Un lado y los
ángulos adyacentes.
5 . Un lado y uno de los ángulos adyacentes
y
el opuesto. 6 . Los tres
ángulos.
93. El ú l t i m o caso r e a l m e n t e e s t á comprendido en el 4.° de la
combinación de dos elementos, pues conocidos dos ángulos lo e s t á el
t e r c e r o de un t r i á n g u l o ; la relación que existe e n t r e los t r i á n g u l o s
que con t r e s ángulos dados pueden concebirse, se verá m á s a d e l a n t e .
Se e x a m i n a r á n los cinco primeros casos.
94. Dados los tres lados de un triángulo quedan
determinados
los tres ángulos. En efecto, sean a,b,c ( F i g . 30) los t r e s lados de u n
t r i á n g u l o , si á uno de los e x t r e m o s del lado a se fija uno de los del
lado & y se hace g i r a r , el otro e s t r e m o del lado b queda fijo de posición,
p u e s su distancia al e x t r e m o del lado a está d a d a por la l o n g i t u d de
la línea conocida c. No puede, por t a n t o , el lado b o c u p a r m a s que
u n a sola posición d e t e r m i n a d a por el extremo fijo en el lado a y el
punto en que su otro extremo esté á la distancia c del extremo a.
,}ueda, por t a n t o , d e t e r m i n a d o el á n g u l o que e n c i e r r a n por medio de
los lados que le comprenden y del opuesto: los otros ángulos están en
el mismo caso, luego t a m b i é n pueden d e t e r m i n a r s e .
95. Dad!S dos lados y el áng><Jn comprendido.
Sean los lados
ayb,y
el á;> -ule comprendido rñ (Fig. 31). Supónganse los lados
a y b unidos por uno -i--:, us estremos y formando e n t r e sí el á n g u l o
dado m: como la l o n g i t u d \¡o estos lados es dada, y t a m b i é n el giro
de uno sobre o t r o , es evidente qu sus e s t r e m o s , que son los del t e r c e r
lado, ocupan u n a posición i n v a r i a b l e . Qu §.a, por t a n t o , d e t e r m i n a d o
el t e r c e r lado por e s t a r l o sus e x t r e m o s , y
• ex conocido éste, se
t i e n e n conocidos los t r e s y por el caso a n t e r i o r los otros dos á n g u l o s .
Dados dos lados y uno de los dos ángulos onuesto á uno de
ellos. Este caso s e r á t r a t a d o p a r t i c u l a r m e n t e ' m á s a d e l a n t e , y como
se v e r á , n i n g u n a propiedad i m p o r t a n t e se funda er él; por t a n t o , no
se i n t e r r u m p e por esto el enlace de las proposicioi.
96. Dados un lado y los dos ángulos adyacentes.
Sea el lado a
y los dos ángulos adyacentes my n (Fig. 32). En este caso tienen los
dos lados desconocidos fija su posición por los ángulos q\¿e forman
con el a, solo se desconoce su l o n g i t u d , y p a r a d e t e r m i n a r l a , tfi sobre
el lado a se forma en u n e x t r e m o u n á n g u l o m, y en el o t r o h a c i a el
mismo lado u n á n g u l o n, la intersección de estas dos rectas d e t e r m i n a
u n p u n t o de e n c u e n t r o i n v a r i a b l e y fijo; y por t a n t o , la longitud de
los dos lados desconocidos.
a
a
a
a
a
a
.)7. Dados un lado uno de sus ángulos adyacentes
y el opuesto.
Se reduce al caso a n t e r i o r , pnes conocidos dos de los á n g u l o s , se
conoce el tercero (64).
98. Dos triángulos
se llaman iguales ó congruentes
cuando
constan de elementos idénticos é igualmente
dispuestos.
Es evidente que si dos t r i á n g u l o s t i e n e n t r e s de sus elementos
iguales, en los casos en que éstos t r e s elementos s i r v a n p a r a d e t e r m i n a r los otros t r e s , los t r i á n g u l o s son i g u a l e s , pues los elementos
d e t e r m i n a d o s r e s u l t a r á n idénticos y en la misma posición. Así se
puede decir.
99. Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados
respectivamente
iguales. En efecto, sean los t r i á n g u l o s (Fig. 33) abe y
def tales que ab=ed; bc=df;
ac—ef; se h a visto que con los lados
ab,ac y be, se d e t e r m i n a de u n modo fijo é i n v a r i a b l e el á n g u l o n d e l
primero, y como el á n g u l o r, a n á l o g a m e n t e s i t u a d o en el segundo, se
d e t e r m i n a con idénticos e l e m e n t o s , es claro que r—n y además
i g u a l m e n t e dispuestos en ambos t r i á n g u l o s ; lo mismo sucede con los
otros dos á n g u l o s ; luego los t r i á n g u l o s son i g u a l e s .
100. Dos triángulos
son iguales si tienen dos lados iguales é
igual el ángulo comprendido.
Análoga demostración á la a n t e r i o r
puede darse en este caso, con la variación en la hipótesis de que
ab=ed, bc—df, y m=q; fundándose en la proposición (95).
101. Dos triángulos
son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales. (Fig. 33).
Demostración a n á l o g a á l a s a n t e r i o r e s fundándose en la proposición (96).
(
D E LA D E P E N D E N C I A E N T R E LOS LADOS Y
SUS ÁNGULOS . OPUESTOS
E N LOS T R I Á N G U L O S . \ Q
102. Si un triángulo
tiene dos ángulos iguales,
los lados
opuestos son
iguales.
Sea el t r i á n g u l o abe ( F i g . 34) que tiene el á n g u l o m—s se vá á
demostrar que el lado ab=bc. Siendo el á n g u l o m—s precisamente
son agudos, toda vez que un t r i á n g u l o no puede t e n e r dos á n g u l o s
rectos n i obtusos; por t a n t o , si desde el v é r t i c e b se baja u n a p e r p e n dicular al lado ac, é s t a c a e r á d e n t r o del t r i á n g u l o , (66) t a l como en
el punto d, y los t r i á n g u l o s abd y bed tienen el lado bd común, los á n gulos en d, i g u a l e s por rectos y los en m y s por hipótesis; luego son
iguales (101) por t a n t o ab=bc.
103. Si un triángulo tiene dos lados iguales los ángulos
opuestos son iguales.
En efecto, si en el t r i á n g u l o abe ( F i g . 34) se supone ab=bc u n i e n do el vértice b con el p u n t o medio d del lado opuesto, se t i e n e n
GEOMETRÍA.—4
2ñ
los dos t r i á n g u l o s abd y bdc iguales (99): por t a n t o el á n g u l o m—s.
104. Los triángulos que tienen dos lados iguales se
llaman
isósceles. En los triángulos
isósceles se llama base al lado desigual y vórtice el opuesto á la base. Los lados iguales se l l a m a n i m propiamente lados.
105. En los triángulos
isósceles, los ángulos adyacentes
á la
base son iguales (103).
106. En los triángulos
isósceles, solo se puede dar valor arbitrario á uno de sus ángulos; pues si este es uno de los adyacentes á
su base, el otro ha de ser i g u a l y el del v é r t i c e el suplemento de a m bos; y si es el del v é r t i c e los otros dos son los a d y a c e n t e s á la base
que son i g u a l e s y cada uno la mitad del suplemento del á n g u l o del
v é r t i c e . De estas relaciones se infiere que p a r a la igualdad de los
t r i á n g u l o s isósceles b a s t a n dos elementos, siempre q u e e n t r e ellos
h a y a un lado. Así se puede establecer.
107. Dos triángulos
isósceles son iguales si tienen dos lados,
ó un lado y un ángulo,
iguales.
Si tienen dos lados del uno iguales á dos del otro para que sean
dos condiciones,
es menester que se supongan iguales las bases y
dos de los adyacentes
al vértice: en este caso como los otros dos l a dos son a d y a c e n t e s al v é r t i c e y por t a n t o iguales á los primeros, son
i g u a l e s e n t r e sí y se e s t á en el caso (9o). Si los dos lados de cada t r i á n gulo que son iguales á los del otro, son los adyacentes
al
vértice,
entonce? no se dá r e a l m e n t e mas que u n a condición y puede ó nó h a ber i g u a l d a d . Si se supone un ángulo y un lado igual, c u a l q u i e r a
que sea el á n g u l o que t e n g a n i g u a l dos t r i á n g u l o s isósceles, se sabe
que los otros dos t i e n e n un valor fijo (106) y por t a n t o i g u a l en los
dos t r i á n g u l o s , y se está en el caso (101J.
108. La linea que une al vértice de un triángulo
isóscele
con
el punto medio de la base es: 1.° perpendicular
á la base; 2.°
divide
al ángulo del vértice en dos partes
iguales.
En efecto: 1.° demostrado ( F i g . 34) que los t r i á n g u l o s abd y bdc
son c o n g r u e n t e s y que el lado ab=bc, se t i e n e que el á n g u l o q=p,
luego la ad es p e r p e n d i c u l a r á la be (17). 2.° También de la i g u a l dad de estos t r i á n g u l o s r e s u l t a que el á n g u l o n==r.
109. La recta que partiendo d.el vértice dé un ángulo lo divide
en dos partes iguales, se llama su
bisectriz.
110. Si un triángulo tiene sus tres lados iguales se llama equilátero.
111. Los triángulos equiláteros
tienen sus tres ángulos
igua2
les y cada uno vale — de un recto.
t e de las preposiciones (58) y (103).
Esto se desprende i n m e d i a t a m e n /
/
21
112. En todo triángulo á mayor lado se opone mayor
ángulo.
En efecto, si en el t r i á n g u l o abe ( F i g . 35) se tiene ab>ac
tomando u n a p a r t e ad=ac y^tirando la de se t i e n e á n g u l o m=n (103);
pero m=o-\-p (63) luego n—o-\-p de donde pi>p y con m a y o r r a z ó n
fn-\-o>p.
Jgt.
113. La recíproca es cierta: es decir, que en todo triángulo
si
dos ángiüos son desiguales,
á mayor ángulo mayor
lado.
En efecto, si en el t r i á n g u l o abe ^Fig. 35) se supone que el á n gulo p<3n-\-o
se tiene ac<ab,
pues de lo c o n t r a r i o ac~Zab; si fue-
se i g u a l , por el t e o r e m a (103) p=n-\-o
aoab
c o n t r a el s u p u e s t o ; si
fuese
por el t e o r e m a (112) p~5fn-\-o c o n t r a el supuesto.
114. Si en un triángulo crece ó disminuye
uno de sus
ángulos, sin variar los lados que lo forman, el lado opuesto crece ó disminuye. Tres casos pueden o c u r r i r . l.° (Figs. 36, 37 y 38) Sea el
t r i á n g u l o abe y se supone que el á n g u l o m crece h a s t a formar el
m-\-n sin que sus lados ba y be varien de l o n g i t u d , se vá á d e m o s t r a r
que en los t r e s casos dOac.
En efecto: 1.° Si el lado ba toma la posición bd ( F i g . 36);6omo ba=bd por ser uno mismo, se tiene en el
t r i á n g u l o abd que el á n g u l o adb=dab (103), y como e v i d e n t e m e n t e
adb>adc, es claro que dab>adc.
P o r o t r a p a r t e dab<dac, luego con
mayor razón dac>adc.
Demostrado esto según la proposición (114)
en el t r i á n g u l o ade se t i e n e
dOac.
2.° Si al g i r a r el lado ba su e x t r e m o cae en la prolongación de
la ac como en d ( F i g . 37) es e v i d e n t e que
dOac.
3.° Si cae el e x t r e m o a en la p a r t e e x t e r i o r como en d (Fig. 38)
t i r a n d o la da y prolongando la ba h a s t a el p u n t o e, se t i e n e que el
ángulo dab—bda (103) pero el ángulo dae>bda (63) y por t a n t o >dab.
Por o t r a p a r t e dab>adc (63) luego con m a y o r razón dae>adc
y á
fortiori dac>adc,
luego en el t r i á n g u l o ade se tiene (112)
dOac.
115. Demostrado el t e o r e m a en los t r e s casos, se deduce a m pliándolo á dos t r i á n g u l o s , que si dos triángulos
tienen dos lados «¡¡
del imo iguales á dos del otro, pero el ángulo comprendido
por los
dos del primero mayor ó menor que el comprendido por los dos del
segundo, el tercer lado del primero será mayor ó menor que el tercer lado del segundo. P u e s uno de los t r i á n g u l o s puede considerarse
como el primero en el cual ha a u m e n t a d o uno de los á n g u l o s .
De las proposiciones d e m o s t r a d a s se deducen i m p o r t a n t e s p r o piedades sobre las perpendiculares y son las s i g u i e n t e s :
116. Si desde un punto fuera de una recta se baja una perpendicular y varias oblicuas: 1.° la perpendicular
es menor que cualquiera de las oblicuas', 2.° las oblicuas que se" apartan
igualmente
28
del pié de la perpendicular
son iguales, y la que se aparta más, es
mayor.
I.° Sea el p u n t o c y la recta ab ( F i g . 39) si se baja la p e r p e n d i l a r cd y u n a oblicua ce, se forma un t r i á n g u l o en el q u e la oblicua se
opone al á n g u l o recto y la p e r p e n d i c u l a r á u n o a g u d o ; luego la p e r p e n d i c u l a r es menor que la oblicua (113) Lo mismo sucede con c u a l q u i e r o t r a oblicua, pues todas se oponen al á n g u l o recto y la perpendicular á uno agudo.
118. La distancia de un punto á una recta se mide por la perpendicular
bajada desde el punió á la recta. En efecto, este es la m e nor r e c t a que se puede t i r a r e n t r e el p u n t o y la recta.
2.° Si hacia el o t r o lado de la perpendicular se t o m a df—de y
se t r a z a la oblicua ef, é s t a será igual á l a ce, pues los t r i á n g u l o s
cde y cdf&on iguales por t e n e r el lado cd común y el de—df por h i p ó tesis; además el á n g u l o q u e comprenden es igual por ser r e c t o .
3.° Si se t o m a u n a d i s t a n c i a dli>de y se t i r a la ch, se tiene q u e
en el t r i á n g u l o ceh el á n g u l o che es a g u d o y el ceh obtuso; (59) luego
la ch>ce (113).
117. Desde un punto á una recta no se pueden trazar
más
que dos oblicuas iguales entre sí, pues s u p u e s t a t i r a d a s dos e q u i d i s t a n t e s , o t r a c u a l q u i e r a se a p a r t a r í a m á s ó menos del pié de la p e r p e n d i c u l a r que las a n t e r i o r e s y s e r i a por t a n t o m a y o r ó m e n o r q u e
ellas.
119. Las recíprocas son c i e r t a s : Si dos oblicuas son iguales,
se
apartan igualmente
del pié de la perpendicular,
y si son
desiguales
la mayor se aparta más. En efecto, si ec—cf se tiene de=df, pues
de lo c o n t r a r i o de^df.
Si de>dfse
debería t e n e r ce>cfy
si
de<df
debería ser ce^cf a m b a s conclusiones c o n t r a lo s u p u e s t o .
A n á l o g a m e n t e si ch>ce se tiene dh>de,
pues de lo c o n t r a r i o
dh~de
y si dh—de se t e n d r í a ch—ce. Si dh<de
seria ch<ce
ambas
conclusiones c o n t r a el s u p u e s t o .
120. Si á una recta se le levanta una perpendiciüar
en su punto medio, todos los de la perpendiciüar
y sólo ellos están
equidistantes d.e los extraemos. Pues l a s r e c t a s que u n e n uno de estos p u n t o s
con los e x t r e m o s son oblicuas q u e se a p a r t a n i g u a l m e n t e del- pié de
la perpendicular. E x a m i n a n d o si gozan de esta propiedad o t r o s p u n tos que no sean de la perpendicular ( F i g . 39) y suponiendo que los
e x t r e m o s de u n a r e c t a s e a n $ , y f, y cd, la perpendicular en el p u n t o
medio de laj^f, sea m u n p u n t ó fuera de la cd u n i e n d o m con Q/y f, se
tiene en el t r i á n g u l o mcf que mf<me-\-cfy
como cf=cÍ/se
tendrá
mf<r n>e-}-'-fe--hih
29
i
121. Si una recta tiene dos puntos equidistantes
de los extremos de otra, le es perpendicular
en su punto medio. En efecto, c o mo dos p u n t o s fijan la posición de u n a r e c t a , b a s t a q u e t e n g a e s t a
dos comunes con la p e r p e n d i c u l a r p a r a que coincida con ellaNg''
122. Las proposiciones a n t e r i o r e s facilitan el e x a m e n del caso
5.° en la d e t e r m i n a c i ó n de los elementos de u n t r i á n g u l o dados
tres, á saber: Dados dos lados y el ányulo opuesto á uno de ellos.
Sean ab y ac (Fig. 40) los dos lados y m el á n g u l o que se opone á ac
por ejemplo. Considerando puesto el á n g u l o m en el e x t r e m o b del l a do ab, es evidente que el otro lado que forma el á n g u l o m en el t r i á n gulo es u n a p a r t e de-la recta indefinida bd y para d e t e r m i n a r l a se
l l e v a r á desde a la r e c t a ac h a s t a la r e c t a bd.
Si el lado ac que se opone al á n g u l o dado m es menor que la ab,
entonces c a e r á más cerca que la ab de la perpendicular ae bajada
desde a al lado bd y como desde el p u n t o a y al otro lado de la p e r pendicular se puede t i r a r o t r a oblicua ag—ac (117) se t e n d r í a n dos
t r i á n g u l o s que s a t i s f a r í a n á las condiciones p u e s t a s , á saber los
abe y abg no h a y pues n a d a de d e t e r m i n a d o .
Si el lado ac es m a y o r que el ab, entonces al c o r t a r la r e c t a bd
hacia el mismo lado d é l a perpendicular que la ab, caería más lejos que
ésta(116), pero entonces el t r i á n g u l o q u e se formaría n o t e n d r i a e l á n gulo dado m, por t a n t o , al llevar desde a la ac, h a b r í a que hacerlo al
otro lado de la p e r p e n d i c u l a r , como por ejemplo, en af, y entonces r e sulta u n solo t r i á n g u l o que es el abf con las condiciones dadas. Se
puede a s e g u r a r por t a n t o que dados dos lados y el ángulo
opuesto
al mayor de estos lados, se determina el triángulo.
Es evidente que si el lado « e e s menor que la perpendicular ae,
no puede formarse t r i á n g u l o .
123. Dos triángulos rectángidos
que tengan un cateto y la hipotenusa iguales, son iguales. En efecto, se tienen como datos p a r a
d e t e r m i n a r los demás elementos en cada t r i á n g u l o , dos lados y el á n gulo opuesto al m a y o r que es el á n g u l o r e c t o , la d e t e r m i n a c i ó n es posible y fijo é i n v a r i a b l e el otro c a t e t o que se d e t e r m i n a . Y como en a m bos t r i á n g u l o s se supone que tienen u n v a l o r idéntico los elementos
que se dan, t a m b i é n lo t e n d r á n los que se d e t e r m i n a n , luego los t r e s
lados del uno son idénticos á los del o t r o y por t a n t o los t r i á n g u l o s
iguales.
124. Otros casos de igualdad de t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s pueden
e n u n c i a r s e sin t e n e r que suponer iguales más que dos elementos, e n t r e ellos uno rectilíneo, á causa de t e n e r ya todos los de esta clase u n
elemento común que es el á n g u l o r e c t o . Asi dos triángulos
rectángulos son iguales si tienen.los catetos iguales ó si tienen la hipóte-
30
nusa y un ángulo agudoiguales.
En efecto, la p r i m e r a proposición es
la misma que la del caso g e n e r a l (100) y la s e g u n d a la del caso (101).
C A P Í T U L O VIII.
RELACIONES DE LOS LADOS ENTRE SÍ, Y DE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE L O S P A R A L E LÓGRAMOS; IGUALDAD Ó CONGRUENCIA DE LOS MISMOS.
125. Los lados opuestos de un paralelogramo
son iguales. En
efecto, sea el p a r a l e l o g r a m o abcd (Fig. 41) si se t r a z a la diagonal bd
q u e d a descompuesto en dos t r i á n g u l o s abd y bcd i g u a l e s ; porque
t i e n e n el lado bd común y el á n g u l o m=n por a l t e r n o s i n t e r n o s e n t r e las p a r a l e l a s ab y cd; y él p—g por la m i s m a razón e n t r e las p a ralelas ad y be. Luego los lados opuestos á los mismos ángulos son
i g u a l e s ; así ab—dc, y bc=ad.
126. Las partes de paralelas
comprendidas
entre
paralelas
son iguales. En efecto, la figura que f o r m a r á n dos p a r a l e l a s comprendidas e n t r e o t r a s dos p a r a l e l a s , será u n p a r a l e l o g r a m o (68) y se
a c a b a de d e m o s t r a r q u e los lados opuestos de e s t a figura son i g u a l e s .
127. Las diagonales
de un paralelogramo
se cortan en partes iguales. En efecto, (Fig. 41) si se t r a z a n las dos diagonales ac y bd
del p a r a l e l o g r a m o abcd, se forman los dos t r i á n g u l o s aeb y dec
i g u a l e s , porque ab—dc por opuestos de p a r a l e l ó g r a m o s , el á n g u l o
n—m y r—s por a l t e r n o s e n t r e estos* lados paralelos, siendo la s e c a n t e r e s p e c t i v a m e n t e cada diagonal: luego ae—ec y eb=ed.
128. Recíprocamente, un cuadrilátero
es paralelogramo:
l.° si
sus lados opuestos son iguales; 2.° si dos lados opuestos son iguales
y paralelos; 3.° si sus diagonales se cortan en partes
iguales.
l.° Si en el c u a d r i l á t e r o abcd (Fig. 41) se tiene ab—dc y ad=bc
t r a z a n d o la d i a c o n a l ac los dos t r i á n g u l o s abe y ade son i g u a l e s porque tienen el lado ac común y los otros dos r e s p e c t i v a m e n t e iguales
por hipótesis (97). Luego el á n g u l o r=s y el v=x y por t a n t o las r e c t a s ab y de y las be y ad son p a r a l e l a s dos á dos (45).
2.° Si los lados ab y de (Fig. 41) del c u a d r i l á t e r o abcd son i g u a les y además paralelos, se tiene t r a z a n d o la diagonal ac que los t r i á n gulos abe y ade son i g u a l e s porque tienen el lado ac c o m ú n ; el ab=dc
por hipótesis y el á n g u l o r=s por a l t e r n o s e n t r e las p a r a l e l a s ab y
de. Luego el lado ad—bc y el á n g u l o v=x, de donde se infiere que ad
es a d e m á s p a r a l e l a á la be (45). Es decir, que el c u a d r i l á t e r o tiene
sus c u a t r o lados paralelos dos á dos.
31
3.° Si las diagonales del c u a d r i l á t e r o abcd (Fig. 41) se c o r t a n
en partes i g u a l e s ; es decir, si ae—ec y de=eb los t r i á n g u l o s aeb y
dec son i g u a l e s porque tienen dos lados i g u a l e s , que son los de la h i pótesis, y el á n g u l o Comprendido (los en é) por opuestos por el v é r t i ce. Luego se tiene á n g u l o r = s y m—n y por t a n t o las ab y de son
paralelas lo mismo que las ad y be.
Variedades de los paraleló-gramos.
Los p a r a l e l ó g r a m o s t o m a n
diversos nombres según la i g u a l d a d de sus lados ó de sus ángulos, ó
de unos y otros e n t r e sí.
129. Se llama rombo el paralelogramo
cuyos lados son
iguales sin serlo sus ángulos.
Así el abcd (Fig, 42) es un rombo. Este
p a r a l e l o g r a m o además de las propiedades e n u n c i a d a s a n t e r i o r m e n t e , tiene la p a r t i c u l a r s i g u i e n t e .
130. Las diagonales
del rombo son perpendicidures.
En efect o , por definición la figura abcd t i e n e los p u n t o s a y d e q u i d i s t a n tes de la b y c; luego la r e c t a ad es p e r p e n d i c u l a r (121) á la be en su
p u n t o medio.
131. Las diagonales de un rectángulo son iguales. En efecto,
t r a z a d a s las r e c t a s ac y bd (Fig. 42) se tienen los dos t r i á n g u l o s ade
y bdc r e c t á n g u l o s é i g u a l e s por t e n e r el c a t e t o de común y el
ad=bc
por opuestos de p a r a l e l o g r a m o (127) luego las hipotenusas son i g u a les, es decir, ac—bd.
122. Si se r e ú n e n las dos condiciones de igualdad de ángulos y
lados en un paralelogramo,
r e s u l t a una figura llamada
cuadrado
tal como la abed (Fig. 44), la cual es como el t r i á n g u l o equilátero de
las llamadas regulares,
ó sea de ras que tienen sus dos elementos ( a n g u l a r y rectilíneo) iguales e n t r e sí.
133. Estas figuras gozan y r e ú n e n todas l a s propiedades de las
de su especie: así el cuadrado goza de t o d a s las de los
paralelógramos, rombos y rectángulos,
pues r e ú n e las condiciones de e s t a s figuras.
De las relaciones que existen e n t r e los lados y ángulos de los
paralelógramos, se deducen las condiciones p a r a su i g u a l d a d ó congruencia.
134. 1.° Dos paralelógramos
que tienen dos lados
contiguos
iguales é igual el ángulo comprendido
son iguales. En efecto, (Fig.
45) conocida la longitud de los lados ab y ad y el á n g u l o m, de un p a ralelogramo, están d e t e r m i n a d o s sus demás elementos, pues los l a dos opuestos h a n de ser iguales, y en c u a n t o á los á n g u l o s , el opuesto
q es i g u a l a m, y los a d y a c e n t e s p y r, s u p l e m e n t a r i o s . B a s t a n , por
tanto,'estos t r e s elementos p a r a fijar los otros: y si dos p a r a l e l ó g r a m o s
tienen estos t r e s iguales, los otros precisamente lo s e r á n . Si se q u i e r e
h a c e r ver su c o n g r u e n c i a b a s t a r í a colocar el á n g u l o dab sobre el lief
coincidiendo los t r e s p u n t o s d con h, a, con e, y b con f, lo cual s u c e dería por la i g u a l d a d de los á n g u l o s m yi¡j y de los lados que lo form a n : el lado do s e g u i r í a la dirección lig por ser paralelos á los ab y
e / q u e h a n coincidido (46) y lo mismo los be y fg; luego el v é r t i c e c
coincidiría con el g.
135. Los rombos y rectángulos quedan determinados
con solas dos condiciones, á saber: con dos lados contiguos,
como fácilm e n t e se deduce de las relaciones (129 y 131) y los cuadrados con u n a
que es un lado, c u y a s condiciones son las m i s m a s que b a s t a n p a r a
d e m o s t r a r su c o n g r u e n c i a . ^.
CAPÍTULO
IX.
RELACIONES DE LOS ÁNGULOS Y LADOS EN EL T R A P E C I O .
V 136. Es e v i d e n t e que en los trapecios las bases h a n de ser d e s iguales, porque si fueran iguales como a d e m á s son p a r a l e l a s , el c u a d r i l á t e r o seria un p a r a l e l o g r a m o (128,2.°).
Í37. En los trapecios simétricos
se verifica que los lados no
paralelos son iguales, y los ángulos adyacentes á la base mayor, son
agudos. En efecto, sea abcd (Fig. 46) un trapecio simétrico, t o m a n do sobre la base mayor u n a p a r t e cm=-ba y uniendo a con #f se t i e n e
el c u a d r i l á t e r o ábWc que es u n p a r a l e l o g r a m o por t e n e r los lados ba
y c\r, iguales y paralelos, luego bc=aw. Ahora bien; el t r i á n g u l o atd
es isóscele, pues el á n g u l o n—m por definición (81) y el o=m por corr e s p o n d i e n t e s e n t r e p a r a l e l a s , luego ó—n, de donde (102) ar^ad
y
por t a n t o bc—ad.
/
2.° En c u a n t o á los á n g u l o s adyacentes á la base m a y o r , se
tiene que c o m o ^ y n son ángulos de u n t r i á n g u l o , precisamente v a len menos de dos rectos, y como o=m, es evidente que m y n valen
menos de dos rectos; a d e m á s m—n, luego ambos son a g u d o s .
138. Las diagonales de un trapecio simétrico:
1.° Son iguales.
2.° Se cortan en partes iguales. ,
Sea abcd (Fig. 46) un trapecio s i m é t r i c o , y ac y bd sus d i a g o n a les; los dos t r i á n g u l o s abe y abd son i g u a l e s , porque tienen el lado
ba común y el bc—ad por hipótesis, y el á n g u l o cba—bad (137); luego
bd=ac.
2.° De la i g u a l d a d de los t r i á n g u l o s abd y bac, r e s u l t a que el
33
ángulo bca=adb; por o t r a p a r t e , el aed—bec por opuestos al v é r t i ce, los terceros son por t a n t o iguales ( 6 4 ) ; luego los dos t r i á n g u l o s
bce y aecl, son iguales por t e n e r el lado bc=ad é iguales los ángulos
adyacentes. Luego los lados homólogos son iguales; es decir, be—ae
y ce=ed.
1 3 9 . En un trapecio cualquiera,
la línea que Une los puntos
medios de los lados no paralelos,
es paralela
á las bases é igual á
su
semisuma.
En efecto, sea el trapecio abcd, (Fig. 4 7 ) y ef la línea que u n e los
puntos medios e y f, de los lados ad y be. Si por fse t r a z a u n a p a r a lela km, al lado opuesto ad, y se prolonga la base ab h a s t a que la e n c u e n t r e , se t e n d r á que los t r i á n g u l o s bf/i y mfc t i e n e n fc=fb
por
construcción; y los á n g u l o s e n / ^ i g u a l e s por opuestos por el vértice y
los p y q, por a l t e r n o s ; luego ( 1 0 1 ) son iguales y por t a n t o el p u n t o /
es medio de la km. A h o r a , como ad—hm, ( 1 2 6 ) sus m i t a d e s ae y hf
son iguales; a d e m á s son p a r a l e l a s por construcción, luego el c u a d r i látero aeflí que tiene dos lados iguales y paralelos, es u n p a r a l e l ó gramo; es decir, que efes p a r a l e l a á la ab y por t a n t o ( 4 9 ) á la de.
Comparando la l o n g i t u d de ef con las de las bases, se t i e n e
ef—áb-\-bJi t a m b i é n ef—dc—me;
s u m a n d o s e r á 2ef=ab~\-dc,
pues¿
bk y me son iguales por la i g u a l d a d de los t r i á n g u l o s bfh y fmc: d e s
. . . . .
,
ab-\-dc.
pejando ef, se t i e n e ef——-—
r
140.
EJERCICIOS.
¿Cuántos elementos son necesarios para determinar un, trapecio
simétrico?
1.° Tres lados. 2.° Dos lados y un ángulo. En el p r i m e r caso
se entiende que son las bases y uno de los no paralelos, y en el 2.°
que son l a s bases, ó u n a de e s t a s y uno de los no paralelos.
1 4 1 . ¿Cuántos elementos son necesarios para determinar
un
trapecio
cualquiera?
1.° Los cuatro lados. 2.° Tres lados y un ángulo. 3 . ° Dos
lados y dos ángulos.
*d
C A P Í T U L O X.
D E P E N D E N C I A DE LOS LADOS Y ÁNGULOS EN EL
CUADRILÁTERO
Y POLÍGONOS EN GENERAL.
142. Los elementos necesarios y suficientes p a r a la d e t e r m i n a ción de u n polígono, se h a visto ( 9 8 ) ( 1 3 4 ) que c o n s t i t u y e n las conG E O M E T R Í A . — 5
•V:
(liciones p a r a su igualdad ó c o n g r u e n c i a , y es evidente que dos figur a s lo serán si pueden descomponerse en p a r t e s que á su vez lo sean y
estén dispuestas de u n modo i g u a l . De estos elementos de las figuras
los que h a s t a aquí se h a n e s t u d i a d o son los t r i á n g u l o s ; mas por su
medio se puede d e t e r m i n a r los casos de igualdad de los c u a d r i l á t e ros q u e á su vez facilitan el e s t u d i o p a r a los d e m á s .
143. Los casos de igualdad de c u a d r i l á t e r o s son:
1.° Si tienen sus cuatro lados respectivamente
iguales y una
diagonal. Sean los dos c u a d r i l á t e r o s los abcd y a'b'c'd'
(48) que
t i e n e n ab—a'b', bc—b'c', cd=c'd',
ad=a'd'
y bd—b'd'.
En este
caso, los dos t r i á n g u l o s abd y bdc del p r i m e r o son i g u a l e s á los dos
áb'd'
y b'd'c' del segundo; (99) y por t a n t o , s u p e r p u e s t o s , coinciden. Luego los c u a d r i l á t e r o s son i g u a l e s .
2.° Si tienen sus cuatros lados iguales y un ángulo igual.
Es decir, que ab=a'b',
be—b'c'; cd—c'd',
ad—á d' y á n g u l o
a=a', pues en este caso, t r a z a n d o las diagonales bd y b' d', los dos
t r i á n g u l o s abd ya'b'd'
son iguales (100) y por t a n t o , bd=b'd',
y
de aquí los otros dos t r i á n g u l o s M e y b'd'c'
son t a m b i é n i g u a l e s .
(99). Luego los dos c u a d r i l á t e r o s son c o n g r u e n t e s .
3.° Cuando tienen tres lados iguales y los dos ángulos que
comprenden,
ó lo que es lo mismo, si ad=a' d'; ab=a'b',
bc=b' c', y
ángulos a—a' y b=b', pues t r a z a n d o la bd y b' d', los dos t r i á n g u l o s
abd ya'b'd'
son i g u a l e s , (100) y de aquí se deduce que los otros dos
bdcyb'd'c'
t i e n e n los á n g u l o s dbc=d' b' c'; bd—b' d' y por hipótesis
bc—b'c'; luego son i g u a l e s . (100).
4.° Cuando tienen dos lados consecutivos
iguales, y tres
ángulos.
Ósen.ad—a'd';ab=a'b'
y ángulos b=b', c=c',d—d';
de e s t a s condiciones se deduce á n g u l o a—a', y por t a n t o , t i r a n d o l a s d i a gonales bdyb'd',\os
dos t r i á n g u l o s abd y á b' d' son i g u a l e s (100) y de
aquí se t i e n e bd=b'd';
también losángulos
dbc—d'b'cybdc—b'd'c';
luego los dos t r i á n g u l o s M e y b'd' c' t a m b i é n son i g u a l e s . (101).
5.° Cuando tienen un lado igual y los ángulos adyacentes
y
los que forma este lado con las diagonales
son
iguales.
Es decir, que ab—a'b' y los ángulos a=a':
b=b';
abd—a'b'd';
bac—b'a'c',
pues los t r i á n g u l o s abd y a'b' d' son i g u a l e s , (101) y de
a q u í ad—a'd', t a m b i é n los t r i á n g u l o s abe y a b^c son iguales (101) y
por t a n t o bc—b' c'; luego los c u a d r i l á t e r o s tienen t r e s lados consecutivos i g u a l e s y los ángulos comprendidos, que es el t e r c e r caso
demostrado.
144. De lo a n t e r i o r se deduce, que en general un
cuadrilátero
queda determinado
por cinco de sus ocho elementos (cuatro lados y
]
}
cuatro ángulos.) Si se t r a t a r a de u n pentágono, tirando una
diagonal entre dos lados adyacentes,
quedaría
descompuesto
un cuadrilátero y un triángulo; el c u a d r i l á t e r o q u e d a r i a d e t e r m i n a d o con
cinco condiciones, y el t r i á n g u l o con tres, pero como la diagonal es
común á las dos figuras, el pentágono quedaria
determinado
con
siete condiciones de las diez de que consta (cinco lados y cinco á n g u los). Si de igual m a n e r a se dividiese u n exágono, quedaria
descompuesto en un pentágono y un triángulo:
la d e t e r m i n a c i ó n del p e n t á gono necesita siete elementos y la del t r i á n g u l o tres, pero u n a es
común.
j¡Pf
145. Por los ejemplos a n t e r i o r e s se vé que p a r a el
triángulo
cuadrilátero,
pentágono
y exágono,
se necesitan 2n—3 elementos
para su d e t e r m i n a c i ó n , cuyo n ú m e r o de condiciones es fácil ver que
es general p a r a todos, pues por la división indicada queda
dependiente la determinación
de un polígono de la de uno de un lado menos, y un triángido
con un elemento común. Y si la ley es v e r d a dera para el polígono de n—1 lados; es decir, que este necesita 2(n—1)
—3 condiciones, el de n necesita las 2{n—1)—3-(-2 ó sea 2n—3.
146. En las figuras regulares
(83) del mismo número de lados, basta que tengan un lado igual pdra ser iguales; lo
mismo
que para su determinación,
pues siendo todos sus elementos i g u a les e n t r e sí, los ángulos t i e n e n u n valor conocido y c o n s t a n t e (87) y
los lados, conociendo uno, se conocen todos. Debe a d v e r t i r s e que si
bien b a s t a en las figuras r e g u l a r e s conocer u n elemento p a r a d e t e r m i n a r l a s , se necesita que este sea uno de los lineales, pues el elemento a n g u l a r no b a s t a r i a , á c a u s a de existir muchos polígonos con sus
ángulos iguales y que sin e m b a r g o ' n o son c o n g r u e n t e s , sino que t i e nen o t r a s relaciones que se l l a m a n de semejanza y que m á s a d e l a n t e
se e s t u d i a r á n .
147. Todos los polígonos regidares tienen un punto
interior
equidistante
de los vértices y lados. Sea abcdef(Fig.
49) u n polígono
r e g u l a r ; es decir, cuyos á n g u l o s y lados son iguales; bisecando los
ángulos e y f, se forma u n t r i á n g u l o ofe, e v i d e n t e m e n t e isósceles,
pues los ángulos m y n son iguales como m i t a d de los fj e, iguales
por el s u p u e s t o ; si se biseca el á n g u l o a, se d e t e r m i n a r á con la bisectriz del f, u n t r i á n g u l o aof t a m b i é n isósceles é igual al foe, por t e n e r
las bases ab y fe iguales por hipótesis, lo mismo que los á n g u l o s adyacentes á e s t a base; luego los lados ao y fo, se c o r t a n en el p u n t o o
como los fo y eo; lo mismo se d e m o s t r a r í a de todos los t r i á n g u l o s en
que q u e d a r í a dividido el polígono por los bisectrices; luego todos t i e nen un vértice común o, el c u a l e q u i d i s t a de los v é r t i c e s del polígono
por la i g u a l d a d de los lados oa, ob, oc e t c . de los t r i á n g u l o s : también
36
equidista de todos los lados, porque las perpendiculares como oh b a j a d a s a l a s bases de estos t r i á n g u l o s isósceles i g u a l e s , son i g u a l e s .
El punto interior equidistante
de los vórtices y lados de todo
'polígono
regular,
se llama su centro.
C A P Í T U L O XI.
CONSTRUCCIONES CUYA SOLUCIÓN DEPENDE DE LAS PROPOSICIONES ANTERIORES.
v
148. Dos i n s t r u m e n t o s son necesarios en las construcciones g e o m é t r i c a s , á saber: la regla y el compás. L a regla sirve p a r a t r a z a r
las líneas r e c t a s , y el compás p a r a t r a z a r u n a línea l l a m a d a
circunferencia, que tiene la propiedad de que todos sus p u n t o s estén i g u a l mente d i s t a n t e s de uno i n t e r i o r que se l l a m a su centro. Y en efecto,
si u n a de las p u n t a s del compás se fija en u n punto a, y se hace g i r a r la o t r a , conservando la misma a b e r t u r a , es evidente que todos
los puntos que v a y a recorriendo esta o t r a , e s t a r á n á i g u a l distancia
del a, que ocupa la p r i m e r a . De modo, que si teniendo el compás u n a
a b e r t u r a igual á u n a línea dada ab, se coloca uno de los e x t r e m o s de
ésta en el c e n t r o , se t i e n e la seguridad de que su otro e x t r e m o está
sobre a l g u n o de ios p u n t o s de la circunferencia que el compás describe con e s t á a b e r t u r a . Es claro que la circunsferencia no d e t e r m i n a
un segundo p u n t o lijo para el o t r o e x t r e m o de la r e c t a , pero lo sujeta
á e s t a r sobre ella, lo cual es suficiente como se verá.
Un trozo he la circunferencia
se llama
arco.
149. Dado un triángulo abe, trazar otro igual.
Sea el t r i á n g u l o dado abe. ( F i g . 50). Sobre u n a r e c t a c u a l q u i e r a
se toma con el compás u n a d i s t a n c i a de—be. Ahora es preciso t r a z a r
otros dos lados i g u a l e s á los cay bay en la misma dirección, y como
ésta se ignora, se t o m a r á con el compás la d i s t a n c i a n y colocando u n a
de .sus p u n t a s en e, se tiene la s e g u r i d a d de que la o t r a describe u n a
circunferencia sobre la cual se debe e n c o n t r a r el otro e x t r e m o a de
la recta ca. Si se hace lo mismo con el lado ba, llevando u n o de sus
e x t r e m o s (el b) sobre el d, se t e n d r á la s e g u r i d a d de q u e s u o t r o e x t r e m o a, e s t a r á sobre la circunferencia que desde d se describa con la
a b e r t u r a ba. Luego si el p u n t o a h a de e s t a r sobre l a s dos circunferencias que desde e y d se describan con las respectivas a b e r t u r a s ca
y ba, p r e c i s a m e n t e e s t a r á en el p u n t o común á a m b a s ; así se v e r á donde e n c u e n t r a la.circunferencia descrita desde e á la descrita desde d,
y su e n c u e n t r q g d e t e r m i n a r á el p u n t o f, y por t a n t o , la dirección de
los lados efydf.
Los dos t r i á n g u l o s son c o n g r u e n t e s (99).
;;7
Aquí se vé como se h a d e t e r m i n a d o la dirección de los lados, ó sea
los ángulos que e n t r e sí forman solo por su longitud.
También debe n o t a r s e que no es necesario en la p r á c t i c a describir con el compás las dos circunferencias, sino que b a s t a t r a z a r u n
arco de ella hacia el p u n t o que la vista indica que han de e n c o n t r a r s e .
Por ú l t i m o , en esta construcción podían h a b e r s e t r a z a d o los l a dos hacia o t r a región de la de, y t a m b i é n r e s u l t a r í a u n t r i á n g u l o
congruente con el dado.
150. En un punto dado de una recta, formar un ángulo igual á
uno dado.
Sea el á n g u l o dado m, (Fig. 50) es evidente que si se c o r t a n sus
lados ba y be, por u n a recta a r b i t r a r i a ac, se formará u n t r i á n g u l o y
construyendo o t r o i g u a l def, toda vez que se conocen sus t r e s lados,
el ángulo n de este t r i á n g u l o opuesto al lado ef igual al be, será á su
vez i g u a l al m.
151. Por un punto dado tirar una paralela á una recta.
Sea la r e c t a ab y el p u n t o c (Fig. 51). Desde c se t r a z a u n a r e c t a
a r b i t r a r i a gli que corte á la ab; si se forma en c con la gh u n á n g u l o
n, hacia el mismo lado que el m, é igual á é s t e , la r e c t a dfserá. p a r a lela á la ab (45).
152. Bisecar un ángulo dado. Sea el á n g u l o abe, (Fig. 52) desde el vértice b con u n a misma a b e r t u r a de compás se m a r c a n los p u n t o s a y e s o b r e los lados, y desde éstos puntos con u n a a b e r t u r a c u a l quiera dos arcos que se c o r t a n en un punto como f, uniendo f, con el
vértice b, la fb es la bisectriz pedida. En efecto, si se t r a z a n l a s r e c tas dfy ef, los dos t r i á n g u l o s dbfy fbe, son i g u a l e s porque t i e n e n el
lado bf común y los otros dos r e s p e c t i v a m e n t e i g u a l e s por c o n s t r u c ción; luego el á n g u l o m—n.
153. Levantar abajar auna recta una, perpendicular:
1.° En
un punto cualquiera.
2.° En su punto medio. 3.° Desde un punto
exterior. Sea l a ' r e c t a indefinida ab (Fig. 53) y el p u n t o dado en ella
c. Es claro que si e n el p u n t o c se t r a z a u n a línea que forme dos á n gulos adyacentes m y n i g u a l e s , será u n a p e r p e n d i c u l a r . P a r a ello
se r e c u r r e á la construcción de dos t r i á n g u l o s iguales, t o m a n d o á de recha é i z q u i e r d a del p u n t o c las distancias ca=cb, y desde los p u n tos a y b con u n a misma a b e r t u r a de compás se describirán dos arcos
que se corten en u n p u n t o t a l como d, y uniendo d con a, se t e n d r á
la perpendicular de, porque e v i d e n t e m e n t e los t r i á n g u l o s ade y cdb
son c o n g r u e n t e s .
N O T A . También se podia h a b e r demostrado la perpendicularidad
de la recta de, r e c o r d a n d o el t e o r e m a (121). •
2.° Si la r e c t a fuese definida tal como de ( F i g . 54) y la p e r p e n d i -
38
c u l a r t u v i e r a que t r a z a r s e en su p u n t o medio, desde d con u n r a d i o
c u a l q u i e r a se t r a z a r í a n dos arcos, u n o en cada región de la de: desde
e, con el mismo r a d i o , se describirán otros dos arcos que corten á los
a n t e r i o r e s ; y los p u n t o s c y f así d e t e r m i n a d o s , son de la p e r p e n d i c u l a r que se busca (121); luego uniendo c con f, S 8 t e n d r á l a r e c t a
pedida.
3.° Desde un yunto exterior.
Sea el p u n t o dado c y la r e c t a ab;
( F i g . 54) desde c (Fig. 119) con u n a a b e r t u r a suficiente de compás se
s e ñ a l a n dos puntos d y e sobre la r e c t a , e q u i d i s t a n t e s del c: desde e s tos p u n t o s con u n a misma a b e r t u r a se t r a z a en la o t r a región de la
r e c t a ab (ó en la m i s m a que el p u n t o c) o t r o p u n t o f t a m b i é n e q u i d i s t a n t e de los dos d y e. La r e c t a cfque
une estos dos puntos e q u i d i s t a n t e s , es la p e r p e n d i c u l a r (121).
154. Levantar una perpendicular
á una recta en uno de sus
extremos.
Sea la r e c t a ba (Fig. 55) y el e x t r e m o a donde se quiere
l e v a n t a r la p e r p e n d i c u l a r . Es claro que si la recta ba se p u d i e r a p r o longar por a, se h a r i a uso de la construcción esplicada (152). Si no se
puede prolongar, se t o m a r á u n a a b e r t u r a c o n v e n i e n t e de compás ac
y desde c y a con la misma a b e r t u r a , se m a r c a r á el p u n t o d; es claro
que el t r i á n g u l o ade será e q u i l á t e r o , cuyos á n g u l o s se sabe que valen
2
^ d e r e c t o . Si se prolonga la cd y se t o m a u n a distancia df=dc=da
y
se u n e /"con a, la fa será la perpendicular pedida. En efecto, el á n g u 2
lo m = - de recto, y como el t r i á n g u l o eda es e q u i l á t e r o t a m b i é n el
3
•
2
4
p=-.
Luego su a d y a c e n t e q—- de recto (pues e n t r e loa dos h a n de
3
3
4 2
v a l e r dos rectos) y por t a n t o , r-\-n—2 rectos—q=2
r a , como r—n por ser el t r i á n g u l o daf
rectos—-—-.
Alio-
isósceles, se t i e n e «==— de
ó
2 1
recto. Luego, por ú l t i m o , m-\-n=—j— de recto $ sea u n recto', es de3 3
cir, que la fa es p e r p e n d i c u l a r á la ba.
155. Construir un triángulo dados los elementos
que lo determinan.
1.° Sus tres lados. L a solución de este problema está dada en
el t e o r e m a (94).
2.° Dos lados y el ángulo comprendido.
(Fig. 31). Sean los l a dos a y & y el á n g u l o que comprenden m; sobre u n a recta c u a l q u i e r a
se toma u n a p a r t e i g u a l b y en u n o dé sus e x t r e m o s se c o n s t r u y e un
á n g u l o i g u a l m; sobre el o t r o lado se toma u ñ a p a r t e i g u a l a, y la
unión de los dos e x t r e m o s d e t e r m i n a r á el t r i á n g u l o (95).
39
3.° Dos lados b y a siendo a el mayor y opuesto al ángulo m
(Fig. 40) se c o n s t r u y e un' á n g u l o i g u a l m de lados indefinidos: sobre
uno de los lados se t o m a u n a p a r t e ba—a; y desde a con u n a a b e r t u r a
de compás igual al lado b, se m a r c a u n p u n t o sobre el otro lado del
ángulo m, sea este el f: uniendo « c o n f se t e n d r á el t r i á n g u l o abf
pedido (122).
4.° Un lado a y sus dos ángulos adyacentes
m y n. ( F i g . 32).
Se toma u n a r e c t a i g u a l á la a y en sus e x t r e m o s h a c i a u n mismo
lado se c o n s t r u y e n dos á n g u l o s r e s p e c t i v a m e n t e iguales á los dados,
cuyos lados se prolongan h a s t a que se e n c u e n t r a n y se t e n d r á el t r i á n gulo (101) pedido. Si uno de los dos ángulos dados fuese el opuesto
al lado conocido, podria fácilmente deducirse el t e r c e r á n g u l o del
t r i á n g u l o del modo s i g u i e n t e . Sean (Fig. 50) m y n los dos á n g u l o s
dados; si en u n p u n t o c de u n a r e c t a ab, se construye u n á n g u l o i g u a l
m y hacia la m i s m a región (32) y sobre el lado cd un á n g u l o igual n,
el á n g u l o r a d y a c e n t e de la s u m a (m-\-n) será el tercer á n g u l o (27)
del t r i á n g u l o . Una vez conocido el o t r o á n g u l o r a d y a c e n t e al lado
conocido, se está en el caso a n t e r i o r .
156. Construir un polígono igual á otro dado.
Se divide el polígono dado en t r i á n g u l o s por medio de diagonales
y se v a n c o n s t r u y e n d o los t r i á n g u l o s uno á u n o y en el mismo orden
y posición en que están (144). ,
Proporcionalidad de rectas y semejanza de las figuras planas
rectilíneas.
C A P Í T U L O XII.
D E LA PROPORCIONALIDAD DE LAS LÍNEAS RECTAS Y SEMEJANZA DE POLÍGONOS.
157. Si á partir del punto de encuentro de dos rectas se divide
una ellas R P (Fig. 57) en p a r t e s i g u a l e s Ra=ac=ec=eg,
y por los
puntos de división
se trazan paralelas
que encuentran
á la otra
recta R S : 1.° Ésta queda también dividida
en segmentos
Rb,bd,
My íh, iguales entre si. 2¡.° Las paralelas
aumentan de longitud en
una relación determinada por la serie natural de los números
enteros. En efecto, si por los p u n t o s b, d y f se t r a z a n las p a r a l e l a s bk,
dm, y fn, á la RP se d e t e r m i n a n los t r i á n g u l o s c o n g r u e n t e s bRa=
blíd—dmf=fnh,
porque tienen los lados bk, dm y fn, iguales á los s e g -
40
mentos ac, ce y eg como p a r a l e l a s e n t r e p a r a l e l a s , y como estos s e g mentos son iguales e n t r e sí, estos lados son i g u a l e s e n t r e sí. Adem á s los ángulos a d y a c e n t e s aRb, Jtbd, mdfynfh
son i g u a l e s por correspondientes e n t r e p a r a l e l a s , y los Rab, bhd, dmf y fnli, por lados
paralelos y vórtices en la misma dirección. L u e g o los lados Rb, bd, df
y fh son iguales.
2.° Es evidente que cd es doble de ab, pues se t i e n e ck=ab por
p a r a l e l a s e n t r e p a r a l e l a s y M=ab por la i g u a l d a d ya d e m o s t r a d a de
los t r i á n g u l o s Rab y bhd; luego
ch-\-kd=cd=2ab.
A n á l o g a m e n t e ef—Sab, pues em—cd=2ab
y mf=hd—ab;
luego
em-\-mf=ef—3ab
etc. Es decir, que si se r e p r e s e n t a la l o n g i t u d de la
p r i m e r paralela por 1, las o t r a s lo e s t a r á n por 2, 3, 4, etc.
158. Si entre dos rectas que se cortan se tiran dos
paralelas,
las partes de éstas rectas son
proporcionales.
P r i m e r caso: sean las dos r e c t a s (Fig. 58) as y at, c o r t a d a s por
las dos p a r a l e l a s bd y ce. Si ab y be se pueden dividir en p a r t e s i g u a les e n t r e sí, (suponiendo que esta medida ó división c o m ú n es la af)
se t e n d r á que ab=7afy
bc=4af; luego las r e l a c i o n e s de m a g n i t u d
de estas líneas se podrá e x p r e s a r por la de 7 á 4; es decir, que ab: be::
7:4. Si por los p u n t o s de división se t r a z a n p a r a l e l a s á la bd las p a r t e s
ad y de q u e d a r á n r e s p e c t i v a m e n t e divididas en 7 y 4 p a r t e s iguales
e n t r e sí; luego su relación será ad: de:: 7: 4. E s t a proporción y la a n t e r i o r t i e n e n u n a razón común 7:4; luego ab: b&.' ad: d&.
2.° P u d i e r a suponerse que las partes ab y be no t e n í a n medida
c o m ú n (caso p u r a m e n t e especulativo, pues n u n c a o c u r r e en la p r á c tica) en cuyo caso se l l a m a n incomensurables;
es decir, que n i n g u n a
división hecha en la una está e x a c t a m e n t e comprendida en la o t r a :
en este caso, al llevar u n a de las divisiones de la ab sobre la be, el
ú l t i m o punto no caería en c, sino por ejemplo en c' y t r a z a n d o la é c'
p a r a l e l a á la bd, se t e n d r á por ser las p a r t e s comensurabies ab: be'::
ad: de'.
Si se t o m a u n a división m á s pequeña que la af, por ejemplo, u n a
fracción de ella, y se lleva sobre la be el ú l t i m o p u n t o , c a e r á m á s próx i m o á el c que el é, por ejemplo, en c", y se t e n d r á ab: be":: ad: di!'.
Esto hace ver que todas las relaciones comensurabies q u e , con c u a l q u i e r n ú m e r o de divisiones, se establezcan e n t r e las p a r t e s que d e t e r m i n a n las p a r a l e l a s bd y las dé ó c"e", en las dos r e c t a s , son siempre i g u a l e s , y como a d e m á s e s e v i d e n t e que e s t a s relaciones t i e n e n por
l í m i t e s respectivo ab: be y ad: dé á las que se a p r o x i m a n al paso que :
d i s m i n u y e la medida, estos límites son iguales ( A r i t m é t i c a . ) Luego /
t a m b i é n , en el caso de i n c o n m e n s u r a b i l i d a d de las p a r t e s , se tiene que '
ab-.bew ad:de.
SI
159. Si á dos rectas que se cortan las dividen
otras dos en
partes proporcionales,
estas otras son par alelas.
En efecto, se tiene por hipótesis ( F i g . 58) que ab: be:: ad: de, de
donde componiendo por s u m a de a n t e c e d e n t e y consecuente, se tiene
ac: ab:: ae: ad—(1. ) Ahora bien, si la bd no fuese p a r a l e l a á la ce,
se podria t r a z a r por b u n a r e c t a t a l como la bd' que lo fuese, y se t e n dría por el t e o r e m a directo a n t e r i o r que ac: ab:: ae: ad'. E s t a p r o porción y la (1. ) tienen sus t r e s primeros t é r m i n o s i g u a l e s , luego
los c u a r t o s deben ser iguales: es decir, que ad=ad',
lo cual es a b s u r do, y por t a n t o falso que la bd no sea p a r a l e l a á la ce.
160. Se llaman figuras semejantes
las que tienen sus ángulos
iguales y sus lados homólogos
proporcionales.
161. . Se llaman lados homólogos, los adyacentes
ú opuestos á
los ángulos iguales, y vórtices homólogos donde se cortan dos lados homólogos. Las diagonales que unen dos vértices homólogos se
llaman
homologas.
162. Si en un triángulo se traza una paralela á uno de los lados, el triángulo parcial que resulta es semejante al total.
En efecto, sea u n t r i á n g u l o abe, (Fig. 59) t i r a n d o l a de p a r a l e l a
al lado be, se d e t e r m i n a el t r i á n g u l o ade que t i e n e los á n g u l o s i g u a les á los del abe, porque el m es común, el q—n y el r—p por c o r r e s pondientes e n t r e p a r a l e l a s .
En c u a n t o á los lados sé t i e n e que ab: ad:: ac: ae; t a m b i é n se
t e n d r á be: de:: ab: ad, porque t e n i e n d o las p a r a l e l a s be y de (157,2.°)
t a n t a s veces u n a m i s m a medida como las ab y ad, si por ejemplo,
ab=7
y ad=4 ,
se t i e n e bc=l
y de—4 ; luego ab: ad:: be: de. Y
por. t a n t o , á c a u s a de la razón común todos los lados son proporcionales.
"X
ífl!^
163. Dos triángulos
equiángulos
son semejantes.
( F i g . 59)
En efecto, suponiendo que e n t r e los t r i á n g u l o s abe y a'b' c', se t i e nen las condiciones m=m',
n=n', p=p'.
Tomando sobre el lado ab
homólogo del a' b', y á p a r t i r de a, u n a p a r t e ad=a'b'
y t i r a n d o la
de, p a r a l e l a al lado be, los t r i á n g u l o s ade yáb'c'
son iguales por
t e n e r ad=a'b'
por construcción y los á n g u l o s m y q adyacentes á
este lado, iguales á los m' y n'; (los m y m' por hipótesi, y el q—n
por correspondiente y como n = w ' el q—n') y como el t r i á n g u l o ade
es semejante al t o t a l , t a m b i é n el a'b'c' es semejante al abe. £>•>'
164. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales,
son
semejantes; pues los t e r c e r o s á n g u l o s t a m b i é n son i g u a l e s .
165. Si dos triángulos
tienen sus lados paralelos,
son
semejantes. P u e s no se pueden e s t a b l e c e r e n t r e estos á n g u l o s m á s que las
siguientes hipótesis:
a
a
m
m
n
n
1
G E O M E T R Í A . — 6
1." Los tres ángulos del uno, iguales á los tres del otro, y en
este caso son s e m e j a n t e s .
2.
Los tres ángulos del uno suplementos
de los del otro; lo
que es a b s u r d o , pues entonces los seis ángulos de dos t r i á n g u l o s v a l d r í a n m á s de c u a t r o rectos.
3.
Uno de los ángulos iguales, y los otros dos
suplementarios:
lo que es a b s u r d o , pues t a m b i é n la s u m a de los á n g u l o s de los dos
t r i á n g u l o s v a l d r i a m á s de c u a t r o rectos.
4.
Dos ángulos iguales y los terceros
suplementarios:
hipótesi admisible, pero que está comprendida en el caso de semejanza
del n ú m e r o (164). Luego en las dos ú n i c a s hipótesis admisibles que
son 1 . y 4 . , los t r i á n g u l o s son semejantes.
166. Si dos triángidos
tienen sus lados perpendiculares,
son
semejantes.
En efecto, haciendo las m i s m a s hipótesis que en el caso
a n t e r i o r , se vé que en las ú n i c a s admisibles ( 1 . y 4. ) los t r i á n g u l o s
son e q u i á n g u l o s , y por t a n t o semejantes.
167. Dos triángulos son semejantes
si tienen un ángulo igual
y los lados que lo forman
proporcionales.
Sean (Fig. 59) los dos t r i á n g u l o s abe y a'b'c' que tienen m—m'
y e n t r e los lados que forman estos ángulos la relación ab: a'b':: ac:
a'c'... ( i ) .
Tomando á p a r t i r de a u n a p a r t e ad—a'b' y t i r a n d o la de p a r a lela al lado be, se t e n d r á ab: ad:: ac: « e / e s t a proporción y la a n t e r i o r
t i e n e n t r e s t é r m i n o s i g u a l e s , luego los c u a r t o s t a m b i é n lo son; ó sea
ac—ác'.
Es decir, que los dos t r i á n g u l o s ade y a'b'c' que tienen
m=m'
y ad=á b'; ae=a' c' son iguales, luego los t r i á n g u l o s abe y
áb'c'
son semejantes.
168. Dos triángulos
son semejantes
si sus lados son
proporcionales.
En efecto, sean (Fig. 59) los dos t r i á n g u l o s abe y a'b'c'
en los
que se verifica ab: a'b':: ac: a'c':: be: b'c'.
Haciendo la construcción de los dos casos a n t e r i o r e s , se tiene
ab: ad:: ac: ae:: be: de c o m p a r a n d o e s t a serie de razones con la dada
por h i p ó t e s i , y observando que por construcción ad—áb',
se d e d u ce ae—a'c'; de—b'c': luego los dos t r i á n g u l o s ade y a'b'c' son i g u a les, (99) y por t a n t o los abe y a'b'c'
semejantes,
169. Si desde el vértice del ángulo recto de un triángulo
rectángulo, se baja una perpe?idicular
á la
hipotenusa.
1.° Es medio proporcional
entre los segmentos
de la hipotenusa.
2.° Cada cateto es medio proporcional
entre toda la hipotenusa y el segmento
adyacente.
a
a
a
a
a
a
a
3.° La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
4° Los cuadrados de los catetos son proporcionales
á los segmentos de la
hipotenusa.
(Fig. 60). En efecto, sea el t r i á n g u l o « ^ . r e c t á n g u l o en a; y ad, la
perpendicular á la h i p o t e n u s a ; se t e n d r á que el t r i á n g u l o abd y el
propuesto abe, son r e c t á n g u l o s y tienen el á n g u l o a g u d o en b c o m ú n ,
y por t a n t o , son semejantes: a n á l o g a m e n t e los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s
abe y ade que t i e n e n el á n g u l o a g u d o en c c o m ú n , t a m b i é n lo son:
además, los dos t r i á n g u l o s bad y cad semejantes al abe t a m b i é n lo
son e n t r e sí. Luego los t r e s son semejantes. Esto supuesto, c o m p a r a n do los lados homólogos de los ade y adb, se t i e n e bd: ad:: ad'.dc.
2 . Comparando cada u n o de los t r i á n g u l o s abd y ade s u c e s i v a mente con abe, se t e n d r á be: ba:: ba: bd, y t a m b i é n be: ac:: ac: de c o n forme con la proposición ( 2 . ) .
De estas relaciones se deduce ( A r i t m é t i c a 227) ab =bcXbd
(1. ) y
ac =bcXde
( 2 . ) . S u m a n d o o r d e n a d a m e n t e ab -\-ac =bc
{bd-\-dc)~
bcXbc=bc .
De e s t a relación se deduce i n m e d i a t a m e n t e ac —bc —ab ,
ó sea
que el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la
hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto.
Por ú l t i m o , si se dividen o r d e n a d a m e n t e l a s relaciones (1) y (2),
se t e n d r á cd) : ac :: bd: de.
N O T A . La propiedad de que el c u a d r a d o de la hipotenusa es
igual á la s u m a de los c u a d r a d o s de los catetos, es conocida en Geom e t r í a con el nombre de teorema de
Pitágoras.
170. Sellamaproyeccion
de un lado de un triángulo sobre otro,
la distancia que hay desde el punto en que se cortan, al pié de la
perpendicular
bajada desde el otro extremo sobre el lado. Así la p r o yección del lado be ( F i g , 61) sobre el ac, es de.
171. El cuadrado de un lado opuesto á un ángulo agudo de un
triángulo,
es igual á la Suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de'uno de ellos, por la ¡proyección
del otro sobre él. ( F i g . 61).
En efecto, considerando el lado be opuesto á un á n g u l o a g u d o ,
bajando desde b la p e r p e n d i c u l a r bd (la cual c a e r á d e n t r o ó fuera del
t r i á n g u l o , según que el á n g u l o c a d y a c e n t e á este lado, be sea a g u d o
(como en F i g . 61) ú obtuso (como en F i g . 62), se t e n d r á en el t r i á n gulo r e c t á n g u l o bdc que
bc =cd -\-bd —(1. )
Pero en el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o bda, se tiene bd —ba —ad ,
y
como cd—ac—ad en el primero y cd=-ad—ac en el segundo, en
ambos casos cd =ad -\-ac —2ac.
ad, y s u s t i t u y e n d o en (1. ) se t i e a
a
2
2
a
2
a
2
2
2
2
2
2
2
l
2
2
a
2
2
2
2
2
2
a
44
ne ac —ba*—ad -\-ac -\-ad —2ac.
ad, ó sea bc —ab -\-a,c —2ac.
ad.
172. El cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso de un
triángulo, es igual á la suma de los cuadrados de los otros dos lados, mas el duplo del producto de uno de ellos, por la
proyección
del otro sobre él.
En efecto, (Fig. 62) considerando el lado ab del t r i á n g u l o o b t u s á n g u l o acb, se t i e n e bajando la p e r p e n d i c u l a r bd sobre el lado ab,
que en el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o abd se verifica
ab =-bd -\-ad —(1. ).
P e r o como bd =bc —cd ;
y ad=ac-\-cd
ó
ad =ac -\-cd -\-2ac.'cd
s u s t i t u y e n d o en (1. ) se tiene ab =bc -\-ac -\-2ac.
ad.
173. La bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide al lado
opuesto en partes proporcionales
á los lados del ángulo
bisecado.
( F i g . 63). Sea AH la bisectriz del á n g u l o A t i r a n d o por B u n a p a r a l e l a BD á la bisectriz, y prolongando el lado AC h a s t a q u e la e n c u e n t r e en D, se t e n d r á en el t r i á n g u l o BDC que AC: AD:: CH: HB.
A h o r a el á n g u l o d=a por correspondientes e n t r e p a r a l e l a s el b=c
por a l t e r n o s : y como por hipótesi a=c, es evidente que b—d; y por
t a n t o el t r i á n g u l o ADB es isósceles (102) en A y el lado A D = A B . S u s t i t u y e n d o en la proporción, se t e n d r á AC: AB:; CH: HB, según se
quería demostrar,
//y
rS~"
i
2
l
2
%
2
2
2
2
2
2
a
2
2
2
2
2
2
2
a
2
C A P Í T U L O XIII.
D E LOS POLÍGONOS SEMEJANTES.
174. Dos polígonos
semejantes
pueden descomponerse
en el
mismo número de triángulos
semejantes,
y semejantemente
dispuestos.
( F i g . 64).
Sean los polígonos semejantes abcde y a' b' c' d' e'; según la definición dada, (160) e n t r e sus elementos, e x i s t e n las dos series de r e laciones s i g u i e n t e s : 1. á n g u l o s a=a'
b==b' ....e=e';
2 . lados ab:
a' b':: be: b'c'::.... ae: a' e'.
T i r a n d o desde dos vértices homólogos aya'
diagonales á las dem á s , se t e n d r á n ambos polígonos divididos en t r i á n g u l o s semejantes.
En efecto, los t r i á n g u l o s abe y a'b'c', son semejantes por tener
el á n g u l o b=b' y los lados ab y be que forman el á n g u l o abe proporcionales á los a'b' y b'c' q u e forman el a'b'c'.
Los acá''y a'c'd' t a m b i é n son s e m e j a n t e s ; pues tienen el ángulo
acd—a'c'd',
toda vez que son los restos de h a b e r q u i t a d o de los ána
a
15
gulos iguales c y c , los á n g u l o s iguales bca y b'c'a';
iguales estos
dos últimos por pertenecer á los t r i á n g u l o s semejantes abe y
a'b'c';
es decir, que bed—bca—b'cd'—b'c'á
ó
acd=a'c'd'.
Además, los lados ac y cd, q u e comprenden el á n g u l o acd, son
proporcionales á los ac
y c'#" que comprenden al a'c'dJ P u e s se
tiene por hipótesi be: b'c':: cd: cd', y por la semejanza de los. t r i á n gulos abe y a'b'c es be: b'c:: ac:ac';
luego á c a u s a de la r a z ó n
común be: b'c', se tiene «c: a'c':: cd: cd'', luego #<?« es semejante á
1
Del mismo modo se d e m u e s t r a que ade es semejante á « ' d'é, u e go los dos polígonos h a n quedado descompuestos en t r i á n g u l o s semej a n t e s y s e m e j a n t e m e n t e dispuestos.
R E C Í P R O C O . — D o s polígonos abede y a ' b ' c ' d ' e ' que constan
del
mismo número de triángulos
semejantes
y semejantemente
dispuestos, son
semejantes.
En efecto; (Fig. 64) si abe es semejante á áb"c[, acd á acd',
y
adéka'd'e,
se t e n d r á :
1.° Que los á n g u l o s a y a , byb', etc. son iguales, porque como el & y b', pertenecen í n t e g r o s á t r i á n g u l o s semejantes, ó como los
aya' e s t á n compuestos del mismo n ú m e r o de ángulos parciales,
iguales t a m b i é n por pertenecer á t r i á n g u l o s semejantes; luego á n gulos a=a ; b—b'; c'=c' ....e=e —(1).
2.° E n t r e los lados de los diferentes t r i á n g u l o s semejantes abe
y a'b'c'... ade y a'd'é, se t i e n e n las relaciones ab: a'b':: be: b'c':: ac:
a'c t a m b i é n ac: a'c':: cd: cd':: ad: a'd' y ad: a'd':: de: d'e':: ea:e'a,
luego á c a u s a de las razones comunes ac: ác
y ad: a'd', se t i e n e
en fin, ab: a'b':: be: b'c':: cd: cd':: de: d'e':: ea:
e'á—(2. )
Es decir, que las series de relaciones 1 . y 2 . , hacen v e r que los
polígonos dados, e s t á n d e n t r o de la definición de semejantes.
175. Los polígonos regulares del mismo número de lados son
todos
semejantes.
En efecto; respecto de los lados, se tiene que la serie de r e l a c i o nes de los lados del uno á los del otro, son i g u a l e s , porque todos los a n tecedentes y consecuentes, son iguales por ser los polígonos r e g u l a r e s .
Respecto de sus ángulos, todos son t a m b i é n i g u a l e s , pues e s t a n do dado el v a l o r de u n á n g u l o de u n polígono r e g u l a r por la fórmula
2 R ( n 2)
—
, siendo n el n ú m e r o de sus lados, si se suponen polígonos
n
del mismo número de lados, es c l a r o que el v a l o r de cada, á n g u l o de
u n o , es i g u a l á el v a l o r de cada ángulo del otro. P o r esto, todos los
triángulos equiláteros son semejantes,
y lo mismo los
cuadrados,
pentágonos, etc., polígonos
regulares.
a
a
a
16
176. Los perímetros
de dos polígonos semejantes,
son proporcionales á sus lados y líneas
homologas.
En efecto, en los polígonos semejantes ( F i g . 64) se verifica la ser i e de relaciones ab: a'b':: be: b'c':: cd: cd':: de:: d'e':: ed: e'a ; l u e go s u m a n d o los a n t e c e d e n t e s y los consecuentes, se t e n d r á n ab-\-bc-\cd\de\ea:
a b'-\-b'c'-{-c d'-\-d'e-\-e'a
:: ab: a'b' ycomo
ab-\-bc-[-....
ea y a'b'\b'c -\-....éá,
es lo que se llama p e r í m e t r o , r e p r e s e n t á n d o los por P: P' r e s p e c t i v a m e n t e se tiene P: P':: ab: a'b'.
177. La misma proporcionalidad
pudiera demostrarse
fácilmente que existe entre los perímetros
de los polígonos
semejantes
y dos líneas homologas
cualesquiera:y,
}
CAPÍTULO
XIV.
C O N S T R U C C I O N E S QUE SE FUNDAN EN LA T E O R Í A DE PROPORCIONALIDAD
DE LAS
LÍNEAS Y SEMEJANZA DE LAS FIGURAS RECTILÍNEAS.
178. Dividir una línea dada en cualquier
número
de partes
iguales.
El problema n ú m e r o (153-2.°) enseña á dividir u n a línea d a d a en
dos p a r t e s iguales por medio de. u n a p e r p e n d i c u l a r . Y como cada p a r t e se puede á su vez dividir en o t r a s dos i g u a l e s , repitiendo la misma
construcción, claro es que la r e c t a lo q u e d a r á en c u a t r o : y así s u c e s i v a m e n t e en 8, 16, 32 y en g e n e r a l 2 , p a r t e s .
P e r o si se quiere dividir en t a l n ú m e r o de p a r t e s que no esté
comprendido en la fórmula 2 , el método de las perpendiculares, es
ineficaz, y se a d o p t a el s i g u i e n t e . Sea ab (Fig. 65) la r e c t a que se q u i e r e dividir en t r e s p a r t e s iguales. P o r el p u n t o a se t r a z a u n a r e c t a
indefinida que forme con la ab un á n g u l o c u a l q u i e r a , y sobre e s t a n u e v a r e c t a á p a r t i r de a, con una a b e r t u r a a r b i t r a r i a de compás, se t o m a n las t r e s d i s t a n c i a s ac, cd y de i g u a l e s . e n t r e sí; se u n e e con b y
t r a z a n d o por d y c p a r a l e l a s á la eb en los p u n t o s fyg,
queda la ab
dividida en t r e s p a r t e s i g u a l e s .
L a justificación es e v i d e n t e u n a vez demostrado el t e o r e m a (157).
179. Dividir una recta en dos partes cuya relación sea dada.
Sea la r e c t a ab (Fig. 66) y la relación en que h a n de e s t a r las
p a r t e s en que se divide la de 5:6. Por el p u n t o a se t r a z a u n a recta
indefinida que forme á n g u l o con la ab; y por b h a c i a la o t r a región se
t r a z a o t r a r e c t a p a r a l e l a á la que pasa por a: se t o m a sobre la t r a z a n
n
3a por « c o n u n a medida c u a l q u i e r a cinco divisiones y sobre la t r a zada por b con la misma a b e r t u r a se t o m a n 6. Se u n e c con d y el
p u n t o k resuelve el problema. En efecto, los dos t r i á n g u l o s ach y hbd
son semejantes porque t i e n e n los ángulos en k iguales por opuestos
por el vértice y el en c=d; y b=a por a l t e r n o s i n t e r n o s e n t r e p a r a lelas, luego ak: bk:: ac: bd 6 sea ak: bk:: 5:6.
Si la relación en que se h u b i e r a de d i v i d i r l a ab fuese en la de
dos r e c t a s dadas mjn, en l u g a r de l l e v a r u n a misma a b e r t u r a v a r i a s
veces sobre las r e c t a s ac y bd, se t o m a r á n sobre ellas dos d i s t a n c i a s
respectivamente i g u a l e s á las dos r e c t a s m y n.
180. Hallar una cuarta proporcional
á tres rectas dadas m, n
y p (Fig. 67).
Sobre los lados indefinidos de u n á n g u l o c u a l q u i e r a , se t o m a u n a
distancia am—m y u n a distancia ap—p, y sobre el otro, á p a r t i r dea,
una d i s t a n c i a an—n, se u n e m con n, y por p se t r a z a u n a p a r a l e l a
poc á la mn, y el p u n t o x m a r c a r á la d i s t a n c i a ax, que es la c u a r t a
p r o p o r c i o n a l p e d i d a . E n e f e c t o . d e la construcción hecha, se deduce
(162) que am: an:: ap: ax, ó sea m: n:: p: ax.
181. Construir una media proporcional
entre dos rectas
dadas m y n. (Fig. 68).
Sea m la m a y o r de las r e c t a s : tomando la ab—m y l e v a n t a n d o
en su p u n t o medio u n a p e r p e n d i c u l a r , si desde b con u n a a b e r t u r a
bc=n se m a r c a el p u n t o c y desde c se corta con la misma a b e r t u r a
la perpendicular en d, uniendo d con b, la bd será la media proporcional pedida. En efecto, uniendo d con a y con c, los dos t r i á n g u l o s
dcb y dab son isósceles. El dcb porque cb—cd, y el dab, porque siendo
el punto d de la p e r p e n d i c u l a r en el medio de la ab; cla—db (120). L u e go la relación da: db=dc: cb, pues a m b a s son iguales á 1. A d e m á s el
ángulo bdh e s c o m u n , luego estos t r i á n g u l o s son semejantes (167), y por
consiguiente la relación ab: bd de u n lado de los iguales á la base del
primero, es lo mismo que bd: de de los homólogos del segundo, es d e cir, que ab: bd;; bd: de ó m; bd:: bd: n.
182. Construir un triángulo semejante á otro dado.
Sea el t r i á n g u l o dado el abe ( F i g . 69) sobre una r e c t a c u a l q u i e r a
ab se c o n s t r u y e hacia un lado dos ángulos a y b' i g u a l e s r e s p e c t i v a mente al a y b de t r i á n g u l o abe el que así se d e t e r m i n a a'b'c' es s e mejante al propuesto (163). Si la relación de los lados fuese d e t e r m i nada, b a s t a r í a t o m a r la r e c t a a'b' de tal longitud que t e n g a con la
ab la relación establecida.
183. Construir un polígono semejante á uno dado. Sea el polígono dado abede (Fig. 64) desde u n o de los vértices, el a, por ejemplo;
se t r a z a n las diagonales, y q u e d a r á el polígono propuesto dividido en
48
t r i á n g u l o s . Construyendo a h o r a u n t r i á n g u l o acd'
semejante al
acd\ sobre el lado a'd' otro t r i á n g u l o a d'e semejante al ade y sobre
a'c', o t r o a'c'b' semejante al abe, se t e n d r á el polígono a'b'c d'e s e mejante al abede (174). Si uno de los lados del polígono que se há de
c o n s t r u i r fuese dado, se s e g u i r í a la misma construcción.
184. También p udiera pedirse que el perímetro del nuevo polígono estuviese con él de el dado en la relación de m : n. En este caso
se b u s c a r í a (179) p r i m e r o u n a r e c t a , por ejemplo, a'c que t u v i e s e
con la « £ i a relación m: n. Es decir, que a£ á£" m: n. Sobre la a'£
por el método e x p u e s t o , se c o n s t i t u i r í a el polígono a'b'c d'é s e m e j a n t e al abede y sus perímetros e s t a r í a n en la relación propuesta. En
efecto, se sabe que llamado pyp' los p e r í m e t r o s de dos polígonos s e m e j a n t e s , se tiene (177) p: p':: ae: a'£ y como af: a'£:: m: n s e r í a p :
p':: m: n.
Áreas ó Planimetría en su estricto sentido.
CAPÍTULO
XV.
EVALUACIÓN DB LAS ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS TERMINADAS POR RECTAS.
185. Se entiende por área la medida de una
superficie.
186. La unidad de medida que se lia escogido para las superficies, es el cuadrado (132).
187. Se llama B A S E de un polígono, el lado sobre que se considera insistiendo,
y A L T U R A , la perpendicular
á la base bajada desde
el vértice, más distante de ella.
188. La relación de dos rectángulos que tienen iguales
bases,
es la misma que la de sus
alturas.
En efecto; ( F i g . 70) sean abcd y a'b'c d' dos r e c t á n g u l o s que t i e nen sus bases ad y a'd' i g u a l e s : sus a l t u r a s , serán los lados contig u o s ab y a'b'; (76) a h o r a bien, si estas a l t u r a s son comensurabies,
sea ae u n a medida común de ellas, la q u e suponiendo que está 10 v e ces comprendida en la ab, y 4 veces en la a'b', se t e n d r á la relación
ab: a'b':: 10: 4. T r a z a n d o a h o r a por los p u n t o s de división, p a r a l e l a s
á las bases ady a'd', q u e d a r á n ambos r e c t á n g u l o s divididos en r e c t á n g u l o s parciales, iguales todos e n t r e sí, y los del uno á los del otro,
pues t i e n e n i g u a l base y a l t u r a ; (145) l u e g o uno de ellos (de estos
r e c t á n g u l o s parciales) puede ser elegido como unidad de superficie
49
entre los dos r e c t á n g u l o s , y entonces se tiene abcd: áb'c'd':: 1 0 : 4;
luego á c a u s a de la razón común que tiene con la p r i m e r a p r o p o r ción, será: abcd: áb'c'd':: ab: áb'.
Si las a l t u r a s fuesen i n c o n m e n s u r a b l e s , u n método análogo al
empleado en el ( 1 5 8 - 2 . ° caso) p r o b a r í a que la relación de las superficies de los r e c t á n g u l o s propuestos y la relación de sus a l t u r a s , son
los límites de dos series de relaciones c o m e n s u r a b i e s , c o n s t a n t e m e n t e
iguales, y por consiguiente, que estos límites t a m b i é n lo son.
189. N O T A . — C o m o en los r e c t á n g u l o s , los lados contiguos son
perpendiculares; si uno se toma por base, es claro que el o t r o es la
a l t u r a y v i c e - v e r s a , y a d e m á s ambos e x p r e s a n las dimensiones del
r e c t á n g u l o (latitud y longitud) por lo que la a n t e r i o r proposición se
suele e n u n c i a r de este modo m á s g e n e r a l .
La relación de dos rectángulos que tienen una dimensión
común, es la mAsmague la que existe entre las otras dos dimensiones,
p
190. La relación de dos rectángulos
cualesquiera,
es la misma que la de los productos, de las bases por las
alturas.
En efecto; sea R u n r e c t á n g u l o , cuya base es b y su a l t u r a a; y
sea R ' , o t r o r e c t á n g u l o que t i e n e b' por base y á por a l t u r a . Siempre
se puede c o n s t r u i r u n t e r c e r r e c t á n g u l o R" que t e n g a por base b (la
del primero), y por a l t u r a a' (la del segundo); el c u a d r o de estos
datos es
SUPERFICIES.
BASES.
ALTURAS.
R....
b....
a.
R'...
b'...
a'.
R"...
b....
a'.
Ahora bien, la relación de los r e c t á n g u l o s R y R " que tienen
iguales bases, es la de sus a l t u r a s ; así R: R ':; a:á. La de los r e c t á n gulos R" y R' que t i e n e n iguales a l t u r a s , es la de sus bases, Luego
R": R':: b: b ' . . . Si se multiplican o r d e n a d a m e n t e las dos proporciones
y se s u p r i m e el factor R", común al a n t e c e d e n t e y consecuente de la
p r i m e r a razón, se t e n d r á R: R':: aXb:
aXb'.
191. El área de un rectángulo es igual al producto de su base
porsualtura.
En efecto, sea R u n r e c t á n g u l o b, su base y a, su a l t u r a .
R
aXb
SeaC el c u a d r a d o u n i d a d , y í su lado. Se t e n d r á — = — — . Al elegir C
C
l"
por u n i d a d de superficie, su lado será la unidad lineal, y por t a n t o
f
p—\
en c u a n t o á — es lo que se h a definido por á r e a del r e c t á n g u l o ;
C
luego á r e a de R-— aXb.
192. N O T A . — 1 . Este producto aXb es u n n ú m e r o é indica las
veces que el c u a d r a d o u n i d a d está contenido en la superficie del r e c tángulo.
a
G E O M E T R Í A . — 7
50
1 9 3 . 2 . El c u a d r a d o es t a m b i é n r e c t á n g u l o , p a r a e v a l u a r su
á r e a c u a n d o convenga t o m a r por unidad otro c u a d r a d o menor que ól,
es claro que b a s t a r á medir su base y a l t u r a con el lado del c u a d r a d o
u n i d a d , y m u l t i p l i c a r los n ú m e r o s que r e s u l t e n ; pero, como la base
y la a l t u r a del c u a d r a d o son iguales, r e s u l t a r á siempre que el p r o ducto será la segunda potencia del valor de su lado. Así un c u a d r a d o
cuyo lado fuese un d e c á m e t r o , si se e v a l ú a su á r e a en m e t r o s c u a d r a dos, ésta seria 1 0 X 1 0 ó sean 1 0 0 metros c u a d r a d o s . P o r esto se dice
que el área de un cuadrado es la segunda potencia de su lado. Tomando por unidad para medir
está recta, el lado del
cuadrado
unidad.
1 9 4 . El área de un paralelogramo
es igual al producto de su
base por su altura ( F i g . 7 1 ) .
Sea el p a r a l e l o g r a m o abcd; t o m a n d o por base el lado ad, la a l t u r a será be; a h o r a bien, si desde c se baja o t r a p e r p e n d i c u l a r ch á la
prolongación de la base, los dos t r i á n g u l o s abe y ehd, s e r á n i g u a l e s ;
( 5 0 , 1 2 6 y 100) luego los restos de s e p a r a r l o s s u c e s i v a m e n t e de la figur a t o t a l , s e r á n e q u i v a l e n t e s ; pero s e p a r a n d o el cdh, queda el p a r a l e logramo propuesto abcd; y separando el abe, queda el r e c t á n g u l o
behc. Es decir, que á r e a de abcd=&rea, de bech.
P e r o el á r e a de bech es ( 1 9 1 ) bcY.be, ó sea adXbe; luego la del
p a r a l e l o g r a m o es t a m b i é n adXbe.
1 9 5 . N O T A . — L a p r i m e r p a r t e de e s t a demostración justifica
t a m b i é n la proposición s i g u i e n t e : Todo paralelogramo
es
equivalente á un rectángulo de igual base y altura.
1 9 6 . El área de un triángulo tiene por medida
la mitad del
producto de su base por su altura.
En efecto, sea el t r i á n g u l o abe, ( F i g . 7 2 ) t o m a n d o be por base,
la a l t u r a será ad, t r a z a n d o por los vértices c y a dos p a r a l e l a s ce y ae
á los lados opuestos ab y be, r e s u l t a r á el p a r a l e l o g r a m o abee, el c u a l
queda dividido por la diagonal ac en dos t r i á n g u l o s i g u a l e s ; luego
uno de ellos que es el propuesto abe, es la m i t a d del p a r a l e l o g r a m o .
Ahora bien, el á r e a del p a r a l e l o g r a m o , t o m a n d o por base el lado
be, es bcXad', luego la del t r i á n g u l o s e r á i b'cXad, y como estas r e c t a s son la base y a l t u r a del t r i á n g u l o , q u e d a d e m o s t r a d a la proposición.
1 9 7 . El área de un trapecio tiene por medida, el producto
de
su altura por la semisuma
de sus bases.
En efecto, sea el trapecio abcd; ( F i g . 7 3 ) en el cual considerando,
como g e n e r a l m e n t e se hace, á uno de los lados paralelos como su b a se, la a l t u r a será la ae: t i r a n d o la diagonal ac, queda el t r a p e c i o d i vidido en los dos t r i á n g u l o s abe y acd, los que si se consideran ser
A
M>
sus bases los lados paralelos ad y be del trapecio, tienen la misma a l t u r a ae que éste: es evidente, por o t r a p a r t e , que el á r e a del t r a p e cio se compone de la s u m a de las á r e a s de estos dos t r i á n g u l o s ; l u e go se t e n d r á á r e a del trapecio abcd—área, del t r i á n g u l o acb-\-Avea.
; ,
(bc-\-ad)
del acd—\aeXbc-\-\aeXad-ae
198.
Como la línea gh que u n e los p u n t o s medios de los lados no
paralelos del trapecio, es igual en v a l o r n u m é r i c o á -———. El á r e a
del trapecio propuesto t i e n e t a m b i é n por expresión; á r e a de abcd—
aeXgh.
Es decir, que el área de un ir anecio tiene por medida el producto de su altura por la recta que une los puntos medios de los lados
no paralelos.
199. El área de un polígono regidar es igual á la mitad
del
producto de la apotegma por el
perímetro.
En efecto, sea (Fig. 49) abedef u n exógono r e g u l a r . T r a z a n d o
desde el centro o, (147) r e c t a s á los vórtices, q u e d a r á dividido en t a n tos t r i á n g u l o s iguales, como lados t i e n e . El á r e a de uno de estos, por
ejemplo aob, t o m a n d o como base el lado ab del polígono, es \ ohXab
(esta oh es la perpendicular bajada desde el c e n t r o á el lado y se l l a ma apotegma) y como es e v i d e n t e que la s u m a de las á r e a s de estos
t r i á n g u l o s , c o n s t i t u y e la de el polígono, y esta s u m a se consigue r e pitiendo la del t r i á n g u l o aob t a n t a s veces como lados h a y a , se t e n drá: á r e a de abede f=\abXohX o—\ohX~¥\
pues 6Xab, es lo que se
llama p e r í m e t r o .
200. Para medir el área de un polígono irregular,
se le divide
en triángulos; y calculando
separadamente
el área de cada uno
de estos triángulos,
la suma de todas ellas será la
delpolígbno.
Si se emplean las diagonales p a r a la división del polígono en
t r i á n g u l o s , se v a n considerando las diagonales como las bases, y b a jándole desde los v é r t i c e s perpendiculares, b a s t a medir las d i a g o n a les y las perpendiculares, y se tienen los datos necesarios p a r a e v a luar el á r e a del polígono. W
<
C A P Í T U L O XVI.
D E LA COMPARACIÓN DE LAS ÁREAS.
área
Se llaman figuras equivalentes,
las que tienen una
misma
y no pueden
coincidir.
201. Las áreas de dos rectángulos
que tienen una
dimensión
52
común, están en la misma
relación
que la de sus otras
dimensiones.
Las áreas de dos rectángidos
cualesquiera,
tienen la
misma
relación que los productos de sus dos dimensiones.
Ambos t e o r e m a s q u e d a r o n demostrados n ú m e r o s 188 y 189.
202. Las áreas de dos paralelógramos
cualesquiera,
tienen la
misma relación que los productos de sus bases por sus
alturas.
En efecto, sea P y P ' las á r e a s de los p a r a l e l ó g r a m o s a y b las
dimensiones del p r i m e r o , á y b' las del segundo; se sabe que á r e a de
P=aXb y de P'=a' Xb', de donde dividiendo o r d e n a d a m e n t e P : P ' : :
aXb:a'Xb'.
Si a=a' 6 b=b', r e s u l t a P : P ' : : b: b' ó P : P ' : : a: á. Es decir, que
si los p a r a l e l ó g r a m o s tienen iguales bases, sus á r e a s t i e n e n la misma
relación que sus alturas, y si t i e n e n iguales alturas,
la misma que
sus bases.
203. La relación de las áreas de dos triángulos
cualesquiera
es la misma que la de los productos de sus bases por sus
alturas.
En efecto, sean T y t las á r e a s de dos t r i á n g u l o s que t i e n e n a y
b por base y a l t u r a y á y b' r e s p e c t i v a m e n t e , se sabe que T—^aXb; y
q u e t—\áXb',
dividiendo o r d e n a d a m e n t e y s u p r i m i e n d o el factor
común i , se t e n d r á T: tv. aXb:
a'Xb'.
204. Es claro, que si las alturas a y a' son iguales, las
áreas
tienen la relación de los bases; y si las bases b y b' son iguales,
tiene la misma que-la de las alturas. Así todos los t r i á n g u l o s que t i e nen la m i s m a base y sus vértices e s t á n sobre u n a p a r a l e l a á esta b a se, son e q u i v a l e n t e s ; pues e q u i d i s t a n d o dos paralelas en todos sus
p u n t o s , todos estos t r i á n g u l o s tienen la m i s m a a l t u r a y a d e m á s i d é n t i c a basjp»
205. Si dos triángulos
tienen un ángulo igual, la relación
de
sus áreas es la misma que la de los productos de los lados que forman dicho
ángulo.
Sean abcydef
(Fig. 74)- dos t r i á n g u l o s que t i e n e n el á n g u l o
d—a. Tomando sobre ab á p a r t i r de a la distancia am—de y t r a z a n d o
la mn que forme con la am, un á n g u l o amn—def, es claro que los dos
t r i á n g u l o s amn y def son i g u a l e s (101).
Hecho esto, t i r a n d o la me, los dos t r i á n g u l o s abe y ame que t i e ne el vértice común c, y sus bases am y ab en línea recta, t e n d r á n la
m i s m a a l t u r a , y sus á r e a s por t a n t o están en la relación de sus bases:
es decir, que acb\ acm\ \ áb\ am. (1).
P o r la m i s m a r a z ó n , e n t r e las á r e a s de los t r i á n g u l o s ame y amn
que tienen el vórtice común m y sus bases ac 7 an en línea r e c t a , se
tiene amc\ amn'.'. ac'. an. (2).
53
Multiplicando o r d e n a d a m e n t e las proporciones (1) y (2) y s u primiendo el factor ame común á la p r i m e r a r a z ó n , y teniendo en
cuenta que amn—edfy
am—de y an—df, se t e n d r á abe'. def\ \ abX
ac', edXdf.
206. Si la mn fuese p a r a l e l a á la be, las s e g u n d a s r a z o n e s de
las relaciones (1) y (2) serían i g u a l e s , y entonces las p r i m e r a s d a r í a n
abc\ ame'.'. amc\ amn'.
Es decir, que el á r e a del t r i á n g u l o ame, seria media proporcional e n t r e las de los o t r o s dos t r i á n g u l o s .
207. Las áreas de dos triángulos semejantes
tienen la misma
relación que los cuadrados de sus lados
homólogos.
Sean abe y a'b'c' ( F i g . 69) dos t r i á n g u l o s s e m e j a n t e s : siendo
iguales los á n g u l o s , se t e n d r á e n t r e sus á r e a s la relación (205)
abe
ca
ed
.
.
..
.
,.
;=-^r^X^j
(1) pero por ser semejantes los t r i á n g u l o s , se t i e n e
a'b'c'
c'a"~c'b'
w
- T ~ 7 = 4 T ; i s u s t i t u y e n d o e s t a relación en (1) d i r á ff. = - ^ — . Como
ca
cb
*
abe
ca*
en las figuras semejantes, todas las rectas homologas tienen la misma
eb
ab
razón, se podría h a b e r p u e s t o t a m b i e n = —_-=-—----. c b
a b
208. Las áreas de dos polígonos semejantes
tienen la ?nisma
relación que los cuadrados de sus líneas
homologas.
Sean abede y a'b'c'd'e' ( F i g , 64) dos polígonos semejantes: si desde dos vértices homólogos se t i r a n las diagonales homologas ac y a'c';
ad y a'd' los polígonos q u e d a r á n descompuestos en el mismo n ú m e r o
de t r i á n g u l o s semejantes, y s e m e j a n t e m e n t e dispuestos (173).
Ahora bien, las á r e a s de los t r i á n g u l o s semejantes abe y a'b'c',
están la relación de los c u a d r a d o s de sus lados homólogos, luego se
tendrá abe', a'b'c''.'. ab"-'. a'b' .
P e r o por idéntica r a z ó n acd'. a'c'd'W cd '. c'd' y ade'. a'd'e'W
aé : a'e' .
T a m b i é n á c a u s a de la semejanza de los polígonos, se tiene ab\
a'b".'. bc\ b'c''.'..... y t a m b i é n ab '. a'b' '.'. be ', b'c' '.'.....
Luego siendo iguales las segundas razones de las proporciones, se
t e n d r á abe', a'b'c''.'. acd'. a'c'd'W. adé\ a'd'e'W ab '. a'b" '.'. ac'.
a'c' .
Pero en u n a serie de razones i g u a l e s , la s u m a de los a n t e c e d e n tes es la de los consecuentes, como u n a n t e c e d e n t e es á su consecuente ó sea abc-\-bcd-\-ade\
a'b'c'-\-b'éd'\a'd'é\\
ab '. a'b' .
Pero la s u m a de los t r i á n g u l o s es el á r e a del polígono, luego la
proporción será abede'. a'b'c'd'e".'. ab '.
a'b' .\¡/
.209. Bicuadrado
construido sobre la suma de dos rectas, es
g
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
54
equivalente al cuadrado construido sobre la primera,
mas el cuadrado construido
sobre la segunda,
más el duplo del
rectángulo
construido sobre estas dos líneas.
En efecto; sean ab y be (Fig. 75) estas dos r e c t a s , c o n s t r u y e n d o
sobre la s u m a ac el c u a d r a d o acgi; t o m a n d o ae=ab, y t r a z a n d o la
ef paralela á la ab, y la bli p a r a l e l a á la ai; es claro, que todos los á n gulos de esta figura son r e c t o s ; además, las r e c t a s ae, bd y ef son
iguales e n t r e sí, (33) y por la m i s m a razón, las ab, ed é ih; y como
ae=ab, se tiene
ae=bd=cf=ab—ed—ih.
También las rectas be, df y hg son i g u a l e s e n t r e sí, (120) como
las ie, lid y gf; además, por ser ai=ac, y ae—ab, se tiene ai—ae—ac
—ab, ó sea ei—bc, y por t a n t o ,
bc=df=hg—ie—hd=gf.
Esto supuesto, es e v i d e n t e que abde es el c u a d r a d o c o n s t r u i d o
sobre ab; y hdfg es el c u a d r a d o c o n s t r u i d o sobre be; a d e m á s befd y
edhi son dos r e c t á n g u l o s iguales construidos sobre las r e c t a s ab y be.
P e r o la s u m a de estas c u a t r o figuras compone el c u a d r a d o acgi,
construido sobre la s u m a ab\bc;
luego este c u a d r a d o equivale al
c u a d r a d o de ab, m a s el de be, m a s el doble del r e c t á n g u l o ab y be.
Si pues se hace ab-=a, y bc=b, se tiene que el á r e a del c u a d r a d o
ag se r e p r e s e n t a por (a-X-b) y se vé que consta de el á r e a a de ad, m á s
b de dg, m á s dos veces aXb de las á r e a s de los dos r e c t á n g u l o s .
210. El cuadrado construido sobre la diferencia de dos rectas,
es equivalente al cuadrado construido sobre la mayor, más el construido sobre la menor, menos dos veces el rectángulo
construido
sobre estas dos rectas.
En efecto, sean ab y be ( F i g . 76) las dos r e c t a s ; c o n s t r u y e n d o los
c u a d r a d o s ackh y abde, es claro que ae—ab y ah—ac; luego ae—ah—
ab—ac, ó sea he=bc.
P r o l o n g a n d o de y kh en las l o n g i t u d e s efy hg, i g u a l e s á be, y
u n i e n d o /"con g, es claro.que la figura fghe es u n c u a d r a d o igual al
que se construyese sobre la be.
Prolongando ch h a s t a que se e n c u e n t r e en i al lado ed, y siendo
db—ab (pues abde es un c u a d r a d o ) , el r e c t á n g u l o dbci es i g u a l al que
se c o n s t r u y e r a sobre las dos r e c t a s ab y be.
También, como id=cb, y fe=bc, es claro que fe=id, y por t a n t o
fi—ed=ab;
por o t r a p a r t e , fg=he=cb;
luego el r e c t á n g u l o fihg es
igual al que se c o n s t r u y e r a sobre las líneas ab y be.
Esto supuesto, es evidente que el c u a d r a d o ackh equivale á el
c u a d r a d o abde, m á s el c u a d r a d o fghe, menos el r e c t á n g u l o icbd, m e nos el ikgf; es decir, que el c u a d r a d o construido sobre (ab—cb), es
i g u a l á el c u a d r a d o construido sobre ab, m á s el c u a d r a d o c o n s t r u i d o
sobre be, menos dos veces el r e c t á n g u l o c o n s t r u i d o sobre e s t a s líneas.
2
2
2
55
N O T A . —Reemplazando estas líneas por sus medidas a y b, la relación a n t e r i o r se podrá escribir bajo esta forma:
(a—b) =a*—2ab-{-b .
211. El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
de
un triángulo rectángulo,
es equivalente
á la suma de las áreas de
los construidos
sobre los catetos.
En efecto, sea abe (Fig. 77) u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o ; s u p o n i e n do construido u n c u a d r a d o sobre cada uno de sus lados, si desde el
vértice a, del á n g u l o recto se baja u n a perpendicular ad, á la h i p o t e nusa y se prolonga h a s t a e, u n i e n d o a con l, y el p u n t o c con el h, se
tendrá que los dos t r i á n g u l o s hbc y abl son iguales, pues t i e n e n el
lado be, del uno igual á el bl del o t r o , y el hb=ba por lados de c u a drados.
En c u a n t o á los á n g u l o s hbc y abl, que comprenden estos lados, son
iguales, porque cada uno se compone de u n r e c t o , m á s el á n g u l o abe.
Esto supuesto, el á r e a de el t r i á n g u l o abl, t o m a n d o por base bl\ es \ bd
Xbl, pues a y d e s t á n sobre la ae paralela á la base bl; el á r e a del r e c t á n g u l o bdel, es bixbd;luego
el t r i á n g u l o es la mitad del r e c t á n g u l o .
Por o t r a p a r t e , el á r e a de hbc es i hbXab, pues el vértice c, está en la
he p a r a l e l a á hb; y como el á r e a del c u a d r a d o ablih es hb.ab, el t r i á n gulo hbc tiene la mitad del á r e a del c u a d r a d o . Como ya se probó que
los dos t r i á n g u l o s hbc y abl son iguales, los dobles de sus á r e a s t a m bién lo s e r á n ; es decir, que el r e c t á n g u l o bdel i g u a l en á r e a al c u a drado ablih. Del mismo modo, t i r a n d o las r e c t a s am y bf, se p r u e b a
que siendo los t r i á n g u l o s bef, y ame iguales y m i t a d e s r e s p e c t i v a mente de las á r e a s del c u a d r a d o acfg, y r e c t á n g u l o déme, estas figuras son i g u a l e s ; luego la s u m a de los dos r e c t á n g u l o s
bdel\demc=
abJili\acfg ó sea el c u a d r a d o
bcml—abkh-\~acfg.
%
i
C A P Í T U L O XVII.
PROBLEMAS RELATIVOS Á ESTA SECCIÓN.
212.
Convertir
un polígono
en otro equivalente
que tenga
un
Sea abedef (Fig. 78) el polígono dado; t i r a n d o la diagonal ac y
por el vértice b u n a paralela bi á la diagonal d e t e r m i n a d a por s u
encuentro con la prolongación del lado fa; uniendo i con c, el polígono icdefai que tiene u n lado menos que el propuesto, le es e q u i valente. .
56
En efecto, los dos t r i á n g u l o s aib y cib son e q u i v a l e n t e s , porque t i e n e n la base común ib y sus vértices a y c, sobre u n a p a r a l e l a á
esta base ( 2 0 3 ) ; luego los restos de q u i t a r l o s s u c e s i v a m e n t e de la
figura t o t a l ibcdefai,
deben ser t a m b i é n e q u i v a l e n t e s , ó sea que
ibcdefai—aib—ibcdefai—cbi,
ó lo q u e es lo mismo
abcdef—icdefai,
que es lo que se pedia en el problema.
2 1 3 . N O T A . — E s t e método puede t a m b i é n aplicarse á u n polígono cóncavo. En efecto, ( F i g . 79) sea abcdefg u n polígono que t i e n e
el ángulo e n t r a n t e abe; empleando el método a n t e r i o r se t i r a r í a la
diagonal ac; por b la bi p a r a l e l a á ac d e t e r m i n a d a por su e n c u e n t r o
con el lado ga. Uniendo i con c, se t i e n e que los t r i á n g u l o s abe y aic
t i e n e n la misma base ac y sus vértices b é i sobre una p a r a l e l a á la
base, luego son e q u i v a l e n t e s ; restándolos sucesivamente de la figura
t o t a l , los restos abcdefg y cdefgi son e q u i v a l e n t e s .
2 1 4 . Es claro, que r e p i t i e n d o esta operación suficientemente
n ú m e r o de veces, se reducirá cualquier polígono á
triángulo.
2 1 5 . Se llama cuadrar una figura, determinar
un
cuadrado
cuya área 'sea equivalente á la de la figura dada.
2 1 6 . Cuadrar un rectángulo.
Sea a la a l t u r a y b la base del
r e c t á n g u l o , y sea x el lado del c u a d r a d o que se busca: como el á r e a del
c u a d r a d o es x , y la del. r e c t á n g u l o aXb, es claro que se debe t e n e r
x =aXb;
luego x es u n a media proporcional e n t r e a, b, la c u a l se
puede d e t e r m i n a r n u m é r i c a ó g e o m é t r i c a m e n t e , según se h a v i s t o
esto ú l t i m o . (181).
2 1 7 . Cuadrar un paralelogramo
triángulo,
y trapecio ó polígono regular. El método indicado p a r a el r e c t á n g u l o es aplicable á
t o d a s aquellas figuras cuya á r e a puede expresarse por el producto de
dos rectas; así p a r a c u a d r a r u n p a r a l e l o g r a m o , se b u s c a r á u n a media
proporcional entre su base y su a l t u r a ; p a r a u n t r i á n g u l o u n a m e dia proporcional e n t r e la m i t a d de su base y su a l t u r a ; p a r a u n t r a pecio se h a l l a r á e n t r e su a l t u r a y la r e c t a que u n e los p u n t o s medios
de los lados no paralelos; y por ú l t i m o , p a r a u n polígono r e g u l a r , la
media proporcional se b u s c a r á e n t r e su perímetro y la m i t a d de su
apotegma.
^ ^
2
2
*
Fin de la Planimetría rectilínea.
SEGUNDA PARTE.
DE
LA
PLANIMETRÍA.
TRATADO DE LA CIRCUNFERENCIA DE CÍRCULO.
P R E L I M I N A R E S -
218. En la geometría elemental no puede hacerse u n estudio
completo de t o d a s las c u r v a s que se pueden t r a z a r en u n plano, p o r que los conocimientos de A r i t m é t i c a y Álgebra que tienen g e n e r a l mente los que la e s t u d i a n , no son suficientes para ello. L i m í t a s e s u
estudio á u n a sola c u r v a , á saber: la circunferencia
de circulo, t a n to porque sus propiedades son más e x t e n s a s , comunes, y fáciles que
las de o t r a s c u r v a s , c u a n t o porque están í n t i m a m e n t e ligadas con
las construcciones y propiedades de las figuras rectilíneas.
219. En a l g u n a s de las construcciones de la p l a n i m e t r í a r e c t i línea, se ha hecho ya uso de la propiedad fundamental de esta c u r v a ,
y por la cual se define, á saber: si u n a r e c t a g i r a alrededor de u n o de
sus e x t r e m o s h a s t a d a r la v u e l t a completa, su otro e x t r e m o , ó mejor
dicho, cada u n o de sus p u n t o s , describirá una línea que en todos sus
puntos estará igualmente distante del extremo fijo. Esta es la p r o piedad f u n d a m e n t a l de todas las demás que en t a l línea se consideran. De modo que
220. Se llama, circunfereitcia
una línea curva plana
cerrada,
cuyos puntos distan igualmente de uno
interior.
221. El punto inteiñor equidistante
de todos los de la circunferencia, se llama centro. Así, ( F i g . (80) el c e n t r o es c.
222. Se llaman radios, las rectas que van desde el centro á
la circunferencia:
( F i g . 80) los ca, cb y ef.
Geometría.- 8
58
223. Por definición, todos los radios de una misma
circunferencia son
iguales.
224. Se llama cuerda, la recta que vá de un punto á otro de
la circunferencia.
( F i g . 80) Tal es la ab ó bf.
225. Se llama diámetro,
la cuerda que pasa por el centro. Así
(Fig. 80) la bf.
226. Todos los diámetros
de una circunferencia
son
iguales.
Esto es evidente porque cada uno se compone de dos radios.
227. La superficie encerrada dentro de la circunferencia,
se
llama
círculo.
228. Como en la p a l a b r a círculo vá r e p r e s e n t a d a la superficie y
la línea que la l i m i t a , se suele emplear c o m u n m e n t e por la de c i r c u n ferencia, p r i n c i p a l m e n t e si no se t r a t a de propiedades especiales, yá
de la longitud de la línea, yá del á r e a que e n c i e r r a , que entonces d e ben emplearse con distinción.
229. La circunferencia
no puede tener dos puntos
consecutivos comunes con una recta.
Sean a y b, dos puntos c u a l e s q u i e r a de u n a circunferencia (Fig.
80) uniéndolos por medio de la recta ab; si desde el c e n t r o c, se baja
la p e r p e n d i c u l a r cd, ésta y todas las oblicuas t i r a d a s desde c, á la r e c ta ab, que caigan más cerca de la p e r p e n d i c u l a r que l a s ca y cb, son
m e n o r e s que estos radios (116), y por t a n t o , sus e x t r e m o s tienen que
e s t a r d e n t r o de la circunferencia; luego por pequeña que se consider e u n a r e c t a secante ab, en u n a circunferencia, t i e n e todos s u s puntos
d e n t r o de la misma, escepto aquellos dos en que la c o r t a . Es decir, no
t i e n e dos consecutivos comunes: de aquí el que
230. La circunferencia
sea una línea tal, que en todos sus
puntos cambia de dirección, conforme con la definición dada (XIV)-
C A P Í T U L O I.
D E LAS POSICIONES DE UNA RECTA EN UNA C I R C U N F E R E N C I A .
T A N G E N T E S Y, SU USO PARA LA DETERMINACIÓN DE LA DIRECCIÓN Y FORMA
DE LA
CIRCUNFERENCIA.
231. Las posiciones principales de u n a r e c t a respecto de una
circunferencia, son dos: 1. Que corte oblicuamente al radio
tirado
á su punto de encuentro con la curva. 2 .
Perpendicularmente.
232. Si una recta corta oblicuamente
al radio tirado al punto
a
a
de encuentro con la circunferencia,
cortad la misma en un segundo punto, y la perpendicular
levantada en el medio de la
cuerda,
pasa por el centro de la circunferencia.
En efecto; ( F i g . 80) si l a
línea ed e n c u e n t r a oblicuamente al radio cb, es claro que desde c se
le puede bajar u n a p e r p e n d i c u l a r , y siendo e s t a ú l t i m a m á s c o r t a
que el radio cb, e n c o n t r a r á á la r e c t a d e n t r o de la c i r c u n f e r e n c i a ; y
como al otro lado de la perpendicular se puede t r a z a r u n a oblicua ca,
igual al r a d i o cb, su pié a pertenecerá á la circunferencia (220). L u e go la recta eb, e n c u e n t r a á la circunferencia en u n segundo p u n t o .
Ahora bien, como los e x t r e m o s a y b de la c u e r d a , e q u i d i s t a n del c e n tro (220) de la circunferencia, la perpendicular que se l e v a n t e en su
punto medio d, precisamente ha de pasar por todos los e q u i d i s t a n t e s
de estos e x t r e m o s , (120) y entreellos, por el c e n t r o , que es u n o de los
que gozan de esta c u a l i d a d .
233., Recíprocamente.
La perpendicular
bajada desde el centro de una circunferencia
sobre una cuerda, pasa por el punto medio de ésta.
En efecto; (Fig. 80) los radios ca y cb t i r a d o s á los e x t r e m o s de
la cuerda ab, siendo dos oblicuas iguales, sus pies a y b se a p a r t a n
igualmente de el pié de la perpendicular, luego é s t a pasa precisamente por el p u n t o medio d, de la c u e r d a .
3^234.. Tres puntos que no están en línea recta fljayí la posición
de una circunferencia.
En efecto, sean a,b y c los t r e s p u n t o s (Fig.
81) uniéndolos por medio de las dos rectas ab y be; si se i m a g i n a que
por esos tres p u n t o s pasa u n a circunferencia, las dos r e c t a s ab y be
serán c u e r d a s y por t a n t o su c e n t r o se e n c o n t r a r á en cada u n a de las
perpendiculares l e v a n t a d a s á e s t a s c u e r d a s en s u s p u n t o s medios r e s pectivos el y e; luego precisamente será el único p u n t o o, común á
estas dos r e c t a s , ó sea donde se c o r t a n . Una vez conocido el c e n t r o o,
el radio está conocido, pues será c u a l q u i e r a de l a s d i s t a n c i a s i g u a l e s
oa, ob, ú oc. Luego por t r e s p u n t o s de u n plano que no están en línea
recta, siempre puede pasar u n a c i r c u n f e r e n c i a . Además, no puede
pasar más que u n a , porque no cortándose las dos perpendiculares do
y eo, por m á s que se prolonguen, más que en un p u n t o , (8) en todo el
plano indefinido donde están las dos rectas ab y be, no hay m á s p u n to e q u i d i s t a n t e de los t r e s a, b y c, que el ya d e t e r m i n a d o o; luego t o das las circunferencias que se conciban por ellos, tienen el mismo c e n t r o ; t a m b i é n tienen el mismo r a d i o , pues h a n de p a s a r por a, b y c:
luego todas se confunden, ó son u n a sola.
235. Se llama tangente á una circunferencia,
la recta que no
tiene más que un punto común con ella. Este punto se llama de contado.
60
236. La recta perpendicular
al radio en el punto que este corta á la circunferencia,
es tangente á ésta.
En efecto; si en el e x t r e m o a del r a d i o ca (Fig. 82) se t r a z a la
p e r p e n d i c u l a r bd, todas las r e c t a s que desde c v a y a n á la r e c t a bd,
s e r á n oblicuas (82), y por t a n t o , mayores que la ca (116), y precisam e n t e lian de salir fuera de la circunferencia (220) para e n c o n t r a r
la bd. Luego esta recta t i e n e todos sus p u n t o s e x t e r i o r e s á la c i r c u n ferencia, escepto uno que es el a, el cual es c o m ú n ; luego es t a n g e n t e ^ ¡.
237. Recíprocamente.
Si una recta es tangente á una
circun/\
ferencía, el radio tirado al punto de contacto le es
perpendicular.
En efecto; si la recta bd ( F i g . 82) es t a n g e n t e á la circunferencia
c, y el p u n t o de c o n t a c t o es a, la r e c t a ac es la m á s corta que se p u e de t r a z a r desde la bd al c e n t r o , y por t a n t o , (118) es perpendicular
á la bd.
238. De aquí se deduce que la línea perpendicidar
á una tangente en su punto de contacto, contiene el centro de todas las circunferencias tangentes á la Pévfu, en el punto dado.
- / 239. La tangente á mía circunferencia,
expresa la
dirección
ae esta curva en el momento de contacto.
En efecto, se han definido las líneas c u r v a s , como aquellas cuya
dirección v a r í a c o n s t a n t e ó confínunmente; luego es e v i d e n t e que si
varía la dirección, en cada p u n t o debe t e n e r u n a d e t e r m i n a d a , y que
por próximo que dos puntos se consideren en las circunferencias, se
ha demostrado que no están en línea recta, es decir, que una recta no
puede t e n e r dos puntos consecutivos comunes con ella (229). Ahora
bien, la d e t e r m i n a d a y m o m e n t á n e a dirección de u n p u n t o , puede ser
e x p r e s a d a por u n a r e c t a , pero h a de ser tal que solo corte ó toque á
la c u r v a en este p u n t o ; si la cortase en otro no e x p r e s a r í a la dirección
de uno. Una recta de e s t a s condiciones es lo que se h a llamado t a n gente, la c u a l e x p r e s a , por t a n t o , la dirección d.e la c u r v a en el p u n t o de c o n t a c t o y n a d a más que en este p u n t o .
240. El ungido de dos tangentes mide la variación de dirección de la circunferencia
entre los dos punios de contacto.
En efecto; sean fh y eg ( F i g . 83) dos t a n g e n t e s á la c i r c u n f e r e n cia c, en los puntos a y d. El á n g u l o de dos r e c t a s e s t á engendrado
por la diferencia de su dirección, luego el feg de las dos t a n g e n t e s ,
m a r c a r á la diferencia de su dirección, y como cada u n a de ellas tiene
la dirección de la c u r v a en los puntos a y d, evidente es que este
mismo á n g u l o feg puede d e n o t a r lo que h a v a r i a d o la dirección de la
circunferencia, desde el p u n t o a h a s t a el d.
241. El ángulo de dos tangentes es igurá al que form.an los dos
radios trazados á los puntos de contacto.
£
En efecto; (Fig. 8 3 ) el á n g u l o fed tiene por suplemento á su a d yacente dea; por o t r a p a r t e , los á n g u l o s del c u a d r i l á t e r o aedc, valen
c u a t r o rectos, y como los en a y en d son rectos, ( 2 3 7 ) el á n g u l o en c y
el dea valen dos rectos: luego los dos ángulos fed y el c, que tienen el
mismo suplemento dea, son i g u a l e s .
242.
C O R O L A R I O . — L a circunferencia
es una curva
igualmente
formada en todas sus
partes.
En efecto, si se t o m a n dos arcos ad y dli que puedan superponerse, y se t r a z a n los radios ca, cb y ch, los ángulos acd y dch, cuyo v é r tice está en el centro, son i g u a l e s , pues h a n sido engendrados por el
mismo movimiento de giro que los dos arcos ad ydh; por consiguiente,
á iguales arcos, iguales ángulos en el c e n t r o , é iguales ángulos de las
tangentes. P o r t a n t o , en las circunferencias, á igual longitud está l i gado i g u a l cambio de dirección, y de c o n s i g u i e n t e es u n a c u r v a r e g u lar en todas sus p a r t e s . '
^243.
Trazar
una tangente á una circunferencia:
1.° en un
punto dado sobre ella; 2 . ° desde un punto exterior.
Sea la c i r c u n f e rencia c y el p u n t o de t a n g e n c i a a; (Fig. 8 2 ) si se t r a z a el r a d i o ca y
en su e x t r e m o a se le l e v a n t a u n a p e r p e n d i c u l a r bd, ésta será la t a n gente pedida ( 2 3 6 ) .
244.
N O T A 1. —Es evidente
que en un punto de una
circunferencia, solo se le puede trazar una tangente, pues en un p u n t o , solo
se puede t r a z a r u n a p e r p e n d i c u l a r al radio, y e s t a es condición p r e cisa.
2.° Si el punto fuese e x t e r i o r como el a; (Fig. 8 4 ) suponiendo
t r a z a d a la t a n g e n t e ab y el r a d i o cb, e v i d e n t e m e n t e el t r i á n g u l o acb
es r e c t á n g u l o en b, ( 2 3 7 ) y como se conoce de él la hipotenusa ac, que
es la r e c t a que u n e el p u n t o dado con el c e n t r o , y el c a t e t o cb se p u e de por la construcción del t r i á n g u l o acb ( 1 2 2 ) d e t e r m i n a r la longitud
de la t a n g e n t e ab. Hecho esto, no h a b r á más q u e desde el p u n t o a con
el radio ab, describir u n a circunferencia, y los dos puntos b y d, d o n de corte á la p r i m e r a , s e r á n los de c o n t a c t o . Es claro que.se pueden
t i r a r dos t a n g e n t e s , pues al c o n s t r u i r con los datos e x p u e s t o s el t r i á n gulo abe, se pudo hacer h a c i a las dos regiones de la recta ac.
245.
N O T A 2 . — D o s tangentes
á una circunferencia
que
partan de un mismo punto, son iguales.
En efecto; los t r i á n g u l o s abe y acd (Fig. 8 4 ) son rectángulos con
la hipotenusa ac común, y los catetos cb y cd iguales por r a d i o s de
una circunferencia; luego ( 1 2 3 ) ab—ad. m '
A
A
62
C A P Í T U L O II.
D E LA CIRCUNFERENCIA COMO MEDIDA D É L O S ÁNGULOS.
246. Ángulos
centrales.
Si se consideran dos r e c t a s l i g a d a s por u n o de s u s e x t r e m o s , y
que u n a de ellas g i r a alrededor de este p u n t o , r e s u l t a que en cada
m o m e n t o del g i r o , las direcciones de las dos r e c t a s forman á n g u l o s
diferentes, y que cada punto de la r e c t a que g i r a describe u n arco
de circunferencia cuyo centro es el vértice del á n g u l o . Estos
ángulos, cuyo vértice está en el centro del arco comprendido
entre sus
lados, se llaman centrales, y la p a r t e de circunferencia que a b r a z a n , su arco
correspondiente.
247. La relación de los ángulos es la misma que la de sus arcos correspondientes.
En efecto: 1.° Si en una circunferencia se
consideran dos ángulos en el c e n t r o , i g u a l e s , sus arcos t a m b i é n lo
son, pues h a n sido e n g e n d r a d o por el mismo cambio de dirección, y
la circunferencia es u n a c u r v a r e g u l a r ; luego en este caso la r e l a ción de los ángulos es la m i s m a que la de s u s a r c o s .
2.° Si se t u v i e r e n dos á n g u l o s c e n t r a l e s de diferente m a g n i t u d
ab y acd, ( F i g . 85) considerándolos divididos en p a r t e s iguales por
medio de r e c t a s que p a r t a n del v é r t i c e , por ejemplo, el acb en 4, y el
acd en 7, es claro que acb'. acd'.'. 4".7. Por o t r a p a r t e , como los arcos
ab y ad quedan divididos en p a r t e s iguales, (247) es evidente que ab'.
ad'.'. 4'.7. Luego acb'. acd'.'. ab'. ad.
248. Los arcos pueden servir para la medida de los ángulos.
249. División de la circunferencia.
P u e s t o que u n a r e c t a al d a r
u n a vuelta completa sobre o t r a , á la cual está ligada por un p u n t o ,
describe c u a t r o rectos, y cada u n o d e s ú s p u n t o s una circunferencia, es
claro que todo á n g u l o c e n t r a l es u n a p a r t e tal de c u a t r o rectos, como
el arco que describe, es de toda la circunferencia. De aquí el e x p r e s a r
la medida de los ángulos por p a r t e s ó arcos de c i r c u n f e r e n c i a , y el
h a b e r dividido á é s t a p a r a comodidad y e x a c t i t u d en 360 partes i g u a les que se l l a m a n g r a d o s , cada g r a d o en 60 p a r t e s l l a m a d a s m i n u t o s
y cada m i n u t o en 60 segundos: en a d e l a n t e , si h a y necesidad de m á s
fracción de a r c o , se e x p r e s a por décimas, c e n t é s i m a s , e t c . , de segundos.
Los grados, m i n u t o s y segundos, se espresan r e s p e c t i v a m e n t e en la e s c r i t u r a con u n cero, ó u n a c e n t o , ó dos. Así 34° 2 ' . 3,"4
63
expresan 3 4 grados, dos minutos y t r e s y c u a t r o décimas de segundo. Esta es la división l l a m a d a s e x a g e s i m a l .
'/
2 5 0 . Hay o t r a i n t r o d u c i d a por los a u t o r e s del s i s t e m a m é t r i c o
decimal, que divide toda la c i r c u n f e r e n c i a en 4 0 0 p a r t e s , l l a m a d a s
t a m b i é n grados, cada g r a d o en 1 0 0 m i n u t o s y cada m i n u t o en 1 0 0 segundos, etc. Esta división es poco u s a d a .
2 5 1 . Según esto, en la p r i m e r a división, u n r e c t o mide 9 0 ° , dos
180°, t r e s 2 7 0 ° , y c u a t r o 3 6 0 ° ; de modo que á n g u l o de 9 0 ° equivale á
decir á n g u l o r e c t o .
2 5 2 . Se llaman ángulos escéntricos,
todos los que sin tener el
vértice en el centro de una circunferencia,
interceptan
entre
sus
lados uno ó más arcos de ésta.
Tales son los formados por dos c u e r d a s q u e se c o r t a n en la c i r cunferencia (inscriptos) ó en el círculo, ó los formados por tangente
y cuerda, ó por dos tangentes ó dos secantes. Todos estos pueden e x presarse ó medirse por u n a cierta función de los arcos que i n t e r ceptan.
( 2 5 3 . La medida del ángulo formado por una tangente y una
cuerda, es la mitad del arco que comprenden
sus lados.
Sea el á n g u l o m, formado por la t a n g e n t e da, y la c u e r d a ab
(Fig. 8 6 ) si desde el c e n t r o c se t r a z a n los r a d i o s ca y cb, el ángulo m
es la m i t a d del c e n t r a l acb, pues bajando la p e r p e n d i c u l a r ce á la
cuerda se tiene por u n a p a r t e bisecado el á n g u l o acb ( 1 0 8 ) , de modo
que á n g u l o p—h acb. P o r o t r a p a r t e , los ángulos p y m tienen por
complemento al n: ( 6 8 ) luego m=p—\ acb; a h o r a bien, el á n g u l o acb
como c e n t r a l mide el arco ab; luego el m t i e n e por medida £ arco ab.
2 5 4 . N O T A . — S i el á n g u l o propuesto fuera el daq, formado por la
t a n g e n t e y u n d i á m e t r o , el teorema sería evidente, pues daq es recto
(237) y mide 9 0 ° ó sea i del arco abq que a b r a z a .
2 5 5 P o r ú l t i m o , si el propuesto fuere el bag, e n t r e él y su a d y a cente dab, componen dos rectos, ó sea la m i t a d de los dos á n g u l o s acb
cóncavo, y acb convexo ( 2 0 ) . Pero el á n g u l o m es i g u a l á la m i t a d
del acb cóncavo, luego el bag es i g u a l á la mitad del acb convexo, y
como éste es c e n t r a l y mide el arco aqb, el bag medirá \ arco aqb. \ |
( 2 5 6 . Se llama ángulo inscrito el que tiene su vértice en la circunferencia
y sus lados son dos
cuerdas.
2 5 7 . La medida del ángulo inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.
En efecto, sea n (Fig. 8 7 ) u n á n g u l o i n s c r i t o , si por el v é r t i c e a
se t r a z a la t a n g e n t e de, se t e n d r á n los t r e s á n g u l o s m, n, y p, que
juntos miden la m i t a d de toda la circunferencia ( 2 5 1 ) . P e r o m mide
£ arco ab y p, i arco ac ( 2 5 3 ) ; luego el n p r e c i s a m e n t e mide \ arco be.
64
2 5 8 . N O T A . — L o s ángulos inscritos
que abrazan
media
circunferencia
son rectos. En efecto, su medida es la m i t a d de media
circunferencia, ó sea £ de J de circunferencia, que es i g u a l 4 i 6
c u a d r a n t e , ó 9 0 ° , que es la medida del recto.
2 5 9 . Es evidente que todos los ángulos inscritos que
abrazan
el mismo arco son iguales. Así, ( F i g . 8 9 ) los á n g u l o s acb, adb, aeb y
afb son iguales y todos aquellos cuyo v é r t i c e esté en el arco acdefb y
sus lados pasen por a y b.
2 6 0 . La parte de círculo acdefb donde están estos
ángulos
inscritos,
se llama segmento, y á los inscritos
en él, ángulos del
mismo
segmento.
2 6 1 . El a r c o acdefb, se dice arco capaz del á n g u l o c o n s t a n t e
que está inscrito en él.
2 6 2 . Es claro que dado un arco ab, todo á n g u l o que mide la m i t a d de él y sus e x t r e m o s pasan por a y b, t i e n e su vértice en la p a r t e
r e s t a n t e de la c i r c u n f e r e n c i a .
2 6 3 . Se llama ángido éscéntrico interior, el formado por dos
cuerdas que se cortan dentro del circula, como el abe (Fig. 8 8 ) .
^ 2 6 4 . La medida del ángulo éscéntrico interior á el círculo, es
la semisuma
de los arcos que comprenden
sus lados y sus prolongaciones.
En efecto, sea abe el á n g u l o de que se t r a t a : t r a z a n d o la c u e r d a
ac, se forma el t r i á n g u l o abe, cuyos t r e s á n g u l o s ( 5 8 ) miden la mitad
de la circunferencia; pero los á n g u l o s m y n,, como i n s c r i t o s , miden
r e s p e c t i v a m e n t e \ arco ec y h arco da; luego el abe precisamente m i de lo que á estos arcos le falta p a r a componer la m i t a d de la c i r c u n ferencia ó sea £ arco ac-f-i arco de. -Q
2 6 5 . La medida del ángulo éscéntrico exterior,
es la
semidiferencia de los arcos que
comprende.
1.° Sea el á n g u l o bac ( F i g . 9 0 ) formado por dos secantes; si se
u n e b con e, se t e n d r á el t r i á n g u l o bae, y su á n g u l o e x t e r i o r m—n-\bae i n t e r i o r e s no a d y a c e n t e s ; luego bac=m—n\y
como m y n son i n s critos, sus medidas con £ arco be y \ arco de; luego bae tiene por m e dida \ arco be—k arco de.
2 . ° Si el á n g u l o e x t e r i o r está formado por t a n g e n t e y secante
come el abe, ( F i g . 9 1 ) t r a z a n d o la c u e r d a de, se t i e n e el t r i á n g u l o
bed, cuyo á n g u l o e x t e r i o r m=n-\-dbc;
de donde dhc—m—n; como el
m mide \ arco ac por inscrito, y el n, \ arco de, por formado e n t r e
t a n g e n t e y c u e r d a , la medida del abe s e r á £ arco ac—\ arco de.
3.° Si el á n g u l o e x t e r i o r lo forman dos t a n g e n t e s , como el abe
(Fig. 9 2 ) t r a z a n d o la c u e r d a ac. se tiene m=abc-\-n;
de donde abc=
m—n, y como la medida del m es i arco akc,y la del n; & arco alie, por
65
formados por t a n g e n t e y c u e r d a , se t e n d r á que la medida del abe
es £ arco ahe—i arco alie.
C A P Í T U L O III.
D E LAS CUERDAS Y RECTAS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO.
266.
C U E R D A S . — E l diámetro
es la mayor de las cuerdas
que
se pueden trazar en un círculo.
En efecto; (Fig. 9 3 ) sea el d i á m e t r o ab y u n a c u e r d a c u a l q u i e r a
df; como esta ú l t i m a no p a s a por el c e n t r o , se puede desde este p u n t o
t r a z a r dos r a d i o s cd y cfá sus e x t r e m o s , con lo que se f o r m a r á u n
t r i á n g u l o edf, en el cual cd-{-cf>df, y como cd-\-cf=ab,
( 2 2 5 ) se t i e ne ab>df.
2 6 7 . El diámetro
divide á la circunferencia
en dos
partes
iguales.
En efecto, ( F i g . 9 3 ) estando los t r e s p u n t o s a, c y b en línea r e c ta, la ac y cb forman el á n g u l o ( 1 5 ) lineal ó de dos rectos, t a n t o en
la p a r t e s u p e r i o r como en la inferior; luego los arcos adb y afb son
iguales.
También p u d i e r a d e m o s t r a r s e por superposición d i r e c t a , pues si
se dobla la figura por la ab, como sobre ella e s t á el c e n t r o , todos los
puntos del arco adb c a e r á n sobre los de el afb; pues si se supone que
uno cayese en el i n t e r i o r ó e x t e r i o r , el r a d i o t i r a d o á ese p u n t o sería
más corto ó m á s l a r g o que todos los demás, lo cual es c o n t r a r i o á l a s
condiciones de la c u r v a de que se t r a t a .
2 6 8 . Se entiende
generalmente
por arco correspondiente
á
una cuerda, el menor de los que subtiende. En este sentido se e n u n cian los t e o r e m a s s i g u i e n t e s .
2 6 9 . Los arcos iguales en una misma circunferencia,
están
subtendidos por cuerdas iguales á el arco mayor lo subtiende
mayor
cu-erda.
En efecto; ( F i g . 9 4 ) si el arco ab=bd, t i r a n d o las c u e r d a s ab y bd
y los radios ca, cb y cd, se f o r m a r á n dos t r i á n g u l o s acb y beá i g u a les, porque t i e n e n dos lados iguales (el be común y el ac—cd por radios) é igual el á n g u l o comprendido acb y bed (porque son c e n t r a l e s y
abrazan el mismo arco); luego c u e r d a ab=bd.
Si el arco af>ab, haciendo la misma construcción los t r i á n g u l o s
acb j-acf, t i e n e n dos lados iguales (el común ac y bc—cf); pero el á n gulo acb<acf; ( 2 4 6 ) luego ( 1 1 5 ) el t e r c e r lado ab<af.
GEOMETRÍA.—9
66
270. Las recíprocas son ciertas. Es decir, en una misma
circunferenc'a
ó circunferencias
iguales á cuerdas iguales,
corresponden arcos ijüales,
y á mayor cuerda corresponde
mayor
arco.
En efecto: ( F i g . 94) 1.° Si c u e r d a ab=bd, los t r i á n g u l o s acb y
bcd son iguales por t e n e r sus t r e s lados i g u a l e s ; luego á n g u l o acb=
bcd, y por t a n t o (247) arco ab=-bd.
2.° Si la c u e r d a ab<af, los t r i á n g u l o s acb y acf'tienen ac común
y cb—cf, pero ab<af, y por t a n t o (247) á n g u l o acb<acf,
luego arco
ab<af.
271. Las cuerdas
iguales equidistan
del centro y la mayor
dista
menos.
Si la c u e r d a ab=bd, (Fig. 94) las perpendiculares ch y ch t r a z a das desde el c e n t r o , i r á n á los puntos medios de las c u e r d a s ; (233) l u e go los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s acli y bch, que tienen las h i p o t e n u s a s
ac y cb iguales por r a d i o s , y el c a t e t o ah—bh por m i t a d de r e c t a s
i g u a l e s , son t a m b i é n i g u a l e s , (123) y por t a n t o ch=ch, q u e son las
que miden la d i s t a n c i a s del c e n t r o á las c u e r d a s (118).
Si la c u e r d a af>ab, tomando u n arco fm—áb y t r a z a n d o su c u e r da fm, será igual á la ab; y lo que se d e m u e s t r e de la fm y fa respect o de su d i s t a n c i a al c e n t r o , q u e d a r á demostrado p a r a la ab y fa. E s to supuesto, si se t r a z a n las p e r p e n d i c u l a r e s CT¿ y cp, se tiene cn<C
er, pues la cr es oblicua á la c u e r d a fa; pero es evidente que
cp>cr,
luego á forliori
cp>cn.
F á c i l m e n t e se d e m u e s t r a n las. recíprocas, ó
CAPÍTULO
IV.
RECTAS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO.
272. Si dos cuerdas
se cortan en un círculo, sus
segmentos
son inversamente
proporcionales.
Sean las ab y de (Fig, 95) que se c o r t a n en f: u n i e n d o a con d y c
con b, los t r i á n g u l o s afd j cfb, tienen los á n g u l o s en f, iguales por
opuestos por el v é r t i c e , los en d y b, y en a y c, r e s p e c t i v a m e n t e i g u a les dos á dos, por inscritos que a b r a z a n u n mismo a r c o ; luego son
e q u i á n g u l o s , y por t a n t o (163) af\ fc\\ fd\ fb.
273. Si desde un punto fuera del círculo se trazan dos secantes que terminen en el segundo punto de intersección,
están en razón inversa de sus segmentos
externos.
En efecto; sean ad y ae las secantes ( F i g . 96) uniendo los punto?
\
67
b y e; c y d se forman dos t r i á n g u l o s acd y abe e q u i á n g u l o s (pues el
ángulo a es común y los en d y e iguales por inscritos en el mismo
segmento), los cuales dan la proporción (163) ad\ ae\ \ ac\ ab.
21A.
Si desde un punto fuera de una circunferencia
se trazan una secante y una tangente, la tangente es media
proporcional
entre toda la secante y su segmento
externo.
En efecto; (Fig. 96) s e l l a visto que la proporción ad\ ae\\ ac\ ab
es verdadera; a h o r a bien, si se supone que la secante ae g i r a a l r e d e dor de a de izquierda á derecha, los dos p u n t o s c y e, t e n d e r á n á r e u nirse y h a b r á u n momento en que así suceda, que será cuando la ae se
convierte en la t a n g e n t e af; pero en todas estas posiciones la p r o p o r ción se verifica; luego t a m b i é n se verificará cuando ae=ac=af
y dirá ad\ af\; af\ ab.
También p u d i e r a h a b e r s e d e m o s t r a d o por t r i á n g u l o s semejantes,
trazando las c u e r d a s df y bf.
CAPÍTULO
V.
DE LA RELACIÓN ENTRE LA RECTA QUE UNE LOS CENTROS DE DOS CIRCUNFERENCIAS Y LOS RADIOS, SEGÚN LA RESPECTIVA POSICIÓN DE ÉSTAS.
275. Se llaman circunferencias
secantes,
las que se cortan en
dos puntos, y tangentes las que solo tienen un punto
común.
276. Es e v i d e n t e , que dos circunferencias
no se pueden
cortar
masque en dos puntos. P u e s se ha demostrado que por t r e s p u n t o s
que no están en línea r e c t a , solo puede p a s a r u n a circunferencia.
277. Sidos circunferencias
son tangentes, el punto de contacto está sobre la línea que une los centros.
En efecto; si se supone que c y c' (Fig. 97) sean los centros de dos
circunferencias, y a el p u n t o de c o n t a c t o , fuera de la línea QC' de los
centros, se t e n d r á que bajando desde a la perpendicular ab á la ce' y
prolongada u n a p a r t e ba'—ba, el p u n t o á pertenece á la c i r c u n f e r e n cia cuyo c e n t r o es c, por ser ca=cá
(116 y 220) t a m b i é n pertenece á
la circunferencia cuyo c e n t r o es c', porque c'a=c'á
{116 y 220). L u e go pertenece á las dos circunferencias, ó lo que es lo mismo, las dos
circunferencias son secantes, pues t i e n e n u n segundo p u n t o común.
Es decir, que p a r a h a c e r ver que sólo tienen u n p u n t o de c o n t a c t o ,
éste se h a de h a l l a r p r e c i s a m e n t e sobre la línea que u n e los c e n t r o s .
278. Si dos circunferencias
son secantes, la distancia
de los
08
centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia.
En efecto, ( F i g . 98) sean c y c' los centros de dos circunferencias
secantes; uniéndolos e n t r e sí, y con u n o de los p u n t o s de contacto a,
que p r e c i s a m e n t e está fuera de la ce', se t e n d r á formado u n t r i á n g u lo en el cual se verifica que cc'<ca-\-c'a
y también
cc>ca—c'a.
N O T A . — S i se llama d á la distancia de los c e n t r o s y R y r, á,los
r a d i o s , se t e n d r á que d<R-\-r y que
d>R—r.
279. Si dos circunferencias
son tangentes,
la distancia de los
centros es igual á la suma ó diferencia
de los radios, según que
sean exteriores
ó
interiores.
En efecto; el p u n t o de contacto p r e c i s a m e n t e se h a l l a sobre la l í nea que u n e los centros y la inspección de las (Fig, 99 y 100), dá e v i d e n t e m e n t e para la p r i m e r a ó sea t a n g e n c i a e x t e r i o r cc'—ca-\-c'a
ó
sea d=R-\-r.
Y para la t a n g e n c i a i n t e r i o r ce' —ca—c'a ó sea
d=R—r.
280. Si dos circunferencias
son exteriores,
la distancia
de
los centros es mayor que la suma de los radios,
y si son
interiores
es menor que la
diferencia.
Ambas proposiciones quedan d e m o s t r a d a s con la inspección de las
(Fig. 101 y 102), pues se tiene en la ( F i g . 101) ce'=ca\ab\cb
y á
forliori cc'~>ca-{-c'b ó sea d~>R-\-r. Y p a r a la ( F i g . 102) cc'—cb—
(é a-\-ab) y á fortiori cc'<ccb—c'a ó sea
d<R—r.
281. Las reciprocas son ciertas. En efecto; *sea por ejemplo, la
recíproca de la proposición, (278) á saber: Si la distancia de los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su
diferencia, las circunferencias
son
secantes.
En efecto, siendo d<R-\-r y d~>R—r, desde luego no pueden ser
ni t a n g e n t e s e x t e r i o r e s ni i n t e r i o r e s . Tampoco pueden ser e x t e r i o r e s
porque se opone la condición d<R-\-r,
ni i n t e r i o r e s á c a u s a de q u e
d>R—/\' luego no pueden ser m á s que s e c a n t e s , toda vez que no
existen más posiciones r e s p e c t i v a s e n t r e dos circunferencias.
Por análogo método de exclusión se d e m u e s t r a n las demás r e c í procas.
C A P Í T U L O VI.
CONSTRUCCIONES CUYA RESOLUCIÓN DEPENDE DE LAS PROPOSICIONES ANTERIORES.
282. Es evidente que u n a circunferencia queda d e t e r m i n a d a de
m a g n i t u d y posición, si se conoce su c e n t r o y su r a d i o ; y por t a n t o .
69
que al conocimiento de estos datos se deben d i r i g i r los esfuerzos en
la resolución de aquellos problemas que dependen del t r a z a d o de e s t a
curva. Hay porción de problemas que no tienen por objeto el t r a z a d o
de una circunferencia con estas ó a q u e l l a s condiciones, y sin e m b a r go, para resolverlos, ó es indispensable su t r a z a d o ó al menos los facilitan e x t r a o r d i n a r i a m e n t e . En todos estos casos conviene t e n e r p r e sente: 1.° Que dados t r e s p u n t o s por donde pasa u n a c i r c u n f e r e n c i a ,
ésta queda d e t e r m i n a d a i n m e d i a t a m e n t e . 2.° Que dada la m a g n i t u d
y posición del d i á m e t r o , t a m b i é n puede considerarse como t r a z a d a la
circunferencia, pues h a l l a n d o su p u n t o medio (153-2°) ese será el
centro (221) y su m i t a d el radio (225).
283. Sobre una recta dada m, construir
un arco capaz de un
ángulo dado k. (Fig. 103).
Es claro q u e la r e c t a m será u n a c u e r d a de la circunferencia, y
por t a n t o , t o m a n d o u n a r e c t a ab=m y l e v a n t a n d o en su p u n t o medio
d una perpendicular, en é s t a se h a l l a r á el c e n t r o ; p a r a d e t e r m i n a r
en qué p u n t o de ella se e n c u e n t r a , se o b s e r v a ' q u e si por uno de los
extremos a ó b de la r e c t a se construye un á n g u l o abh=h, la. m i t a d
de el arco de circunferencia que pase por a y por b y sea t a n g e n t e á la
bhen el p u n t o b, medirá este á n g u l o , (253) y por t a n t o al h,y a d e m á s
la perpendicular á la t a n g e n t e en el punto b, p a s a r á por el c e n t r o de
la circunferencia; luego su intercesión con la dg lo d e t e r m i n a r á t a l
como en c; como ha de p a s a r por b, el radio será cb; con lo cual se p o drá t r a z a r la c i r c u n f e r e n c i a ; el arco agb será el pedido, pues todos
ios ángulos inscritos en él, m e d i r á n £ arco ab ó sea lo mismo que el k.
284. Dados dos lados y el ángido opuesto á el mayor,
construir
el triángido.
Sean myn (Fig. 103) los lados y h el á n g u l o opuesto
al mayor m: c o n s t r u y e n d o sobre el m—ab el arco agb capaz del á n gulo h, sobre este arco e s t a r á el otro vértice, y como h a de e s t a r d i s tante del p u n t o # ó de el & la c a n t i d a d ra, desde u n o c u a l q u i e r a de e s tos puntos con u n a l o n g i t u d ar=n se corta á el arco agb, y el t r i á n 'gulo ahb es el pedido. Es claro que tales pueden ser los datos que el
problema no sea posible.
285. Sí el triángulo fuera rectángulo y se diese la
hipotenusa
my un cateto n; (Fig. 104) considerando á la r e c t a m—ab como d i á metro y t r a z a n d o la circunferencia, el arco acb será el capaz del á n gulo recto, (258) luego con u n a d i s t a n c i a igual n, se m a r c a r á desde
a, por ejemplo, el p u n t o c, y el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o (258) acb será el
pedido.
286. Hallar una media proporcional
entre dos rectas
dadas
fflp.
Este problema se r e s u e l v e m u y fácilmente por las c i r c u n f e r e n -
70
cias. En efecto; (Fig. 105) sobre u n a r e c t a se t o m a ab=m y bc—n y
considerado á ac como d i á m e t r o , se describe u n a circunferencia, s i
d e s d e n se l e v a n t a la p e r p e n d i c u l a r bd, ésta será la media proporcional pedida. En efecto, uniendo d con a y c, se forma el t r i á n g u l o ade
r e c t á n g u l o en d, y por t a n t o , se tiene la proporción (109) ab\ bd\\
bd\ be.
287. T a m b i é n h u b i e r a podido t o m a r s e ac=m y ab=n, y en este
caso, haciendo la misma construcción, la media proporcional sería la
c u e r d a ad (169),
288. Se diee que una recta está dividida en media y extrema
razón, cuando su parte mayor es media proporcional
entre toda la
recta y su parte
menor.
289. Dividir una recta dada ab en media y extrema
razón.
P o r el e x t r e m o b se l e v a n t a u n a p e r p e n d i c u l a r bc—\ab y se describe
desde c u n a circunferencia; t r a z a n d o desde a la secante ag que pase
por el centro, y llevando la p a r t e af sobre la ab, el p u n t o h, que m a r ca la e x t r e m i d a d f será el pedido.
En efecto, la circunferencia será t a n g e n t e á la ab (236) y d a r á
(274) ag\ ab'.'. áb\ af ó sea ( A r i t m é t i c a ) ag—ab\ ab'.'. ab—af. af.
P e r o bc=eg= k ab, luego 2cg=fg=ab
y t a m b i é n af=ah,
luego ag—
ah—ag—fg—af—ah
y ab—af=ab—ah=Jib;
luego la proporción s e r *
a¡>\ ab \ \ hb' ah ó sea ab\ ah\'. aW. Jib.
,..
:
POLÍGONOS E N E L
CIRCULO.
C A P I T U L O VII.
D E LOS POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS.
290. Un polígono se dice que está inscrito en una
circunferencia, cuando sus vértices están en ella y sus lados son
cuerdas
de la
misma.
291. Se dice circunscrito,
cuando sus vértices están fuera del
circulo y sus lados son
tangentes.
292. Los polígonos r e g u l a r e s son inscriptibles y c i r c u n s c r i p t i bies en u n a circunferencia. ( F i g . 107).
En efecto, se ha demostrado (147) que todo polígono r e g u l a r tiene
u n p u n t o i n t e r i o r o, e q u i d i s t a n t e de los v é r t i c e s : luego haciendo cen-
7]
tro en ese punto o, con un r a d i o oa, i g u a l á la d i s t a n c i a á u n o de los
vértices, la circunferencia que se describa p a s a r á por todos ellos,
(220) ó lo que es lo mismo, el polígono q u e d a r á inscrito.
También e s c i r c u n s c r i p t i b l e , pues siendo sus lados c u e r d a s i g u a les del círculo en q u e está inscrito, e q u i d i s t a n del c e n t r o ; ( 2 7 0 ) luego
si desde el centro o con el radio og, q u e mide esta distancia, se d e s c r i be u n a circunferencia, ésta p a s a r á por los p u n t o s medios de los l a dos, y si se t r a z a n los radios á estos puntos medios, s e r á n perpendiculares, ( 1 9 1 ) y por t a n t o , t a n g e n t e s ; ( 2 3 6 ) luego el polígono es c i r c u n s criptible.
2 9 3 . El centro de los círculos á los que está el polígono
inscrito y circunscrito,
es uno mismo que el del polígono.
2 9 4 . El radio del círculo al cual está circunscrito
un polígono, se llama apotegma
del polígono, que como se vé, es lo mismo que la perpendicular
bajada desde el centro al lado-del polígono.
2 9 5 . El círculo en el cual está inscrito un polígono, se dice circunscrito al polígono, y vice-versa
aquél á el que está
circunscrito,
se llama inscrito en el polígono.
2 9 6 . Si se divide una circunferencia
en tres ó más arcos
iguales, y por los puntos de división
se trazan cuerdas, éstas
forman
un polígono regular inscrito, y si se trazan tangentes,
forman un
polígono regular circunscrito.
En efecto, si la circunferencia o ( F i g .
1 0 7 ) se divide en seis arcos i g u a l e s , las c u e r d a s ab, be... fa s e r á n
i g u a l e s , ( 2 6 9 ) y los á n g u l o s a, b,.. f, t a m b i é n lo s e r á n ; ( 2 5 9 ) luego el
polígono abedef
r e g u l a r y por su construcción está inscrito.
2.° Si se t r a z a n las t a n g e n t e s hi, ij, jh... m h los ángulos del polígono hijhlm serán i g u a l e s , y sus lados t a m b i é n , pues los t r i á n g u l o s
insósceles ( 2 4 5 ) hbc, icd
mab, son todos iguales por t e n e r las bases
iguales, y los ángulos a d y a c e n t e s á l a s m i s m a s ; luego los ángulos
h, i
m del v é r t i c e , son i g u a l e s , y los duplos de los lados i g u a l e s , á
saber: hi, ij.... mh, t a m b i é n lo s e r á n , luego el polígono que forman es
regular.
297.
N O T A 1. —Es c l a r o que inscrito ó c i r c u n s c r i t o un polígono, si cada arco se divide en dos p a r t e s i g u a l e s , y se t r a z a n cuerd "
ó t a n g e n t e s , se formará u n n u e v o polígono inscrito ó c i r c u n s c r i t o ,
que será t a m b i é n r e g u l a r y de duplo n ú m e r o de lados que el p r o puesto; porque se está en el m i s m o caso de t e n e r dividida la c i r c u n f e A
rencia encartes iguales.
2.
Si por los puntos medios délos arcos subtendidos por los
lados de un polígono regular inscrito, se trazan tangentes, el polígono circunscrito
que se forma será regular
y semejante
al
A
72
inscrito,
y cada dos vértices estarán en línea recta con el
centro. <
En efecto, sea (Fig 108) un triángulo ate equilátero inscrito, los
puntos medios d, f, g de los arcos subtendidos, dividen á la circunferencia en partes iguales, luego las tangentes que por ellos se trazen,
formarán un polígono regular. Además, será semejante al inscrito,
porque son del mismo número de lados (195). Por último, cada dos
vértices, por ejemplo, b y b' está en línea recta con el centro, porque
si se traza la cuerda df los puntos b , b y o equidistan de sus extremos d y / (245) (269) y (223), y por tanto estáns obre la perpendicular
ob' á la df (121)
en su punto medio; es decir, están en línea recta.
298. El lado del exágono regular inscrito, es igual al radio.
En efecto, sea abedefun exágono regular (Fig. 107) si desde el
centro o, se trazan dos radios oa y ob, á los extremos. de un lado, el
4 , 2
ángulo central aob valdrá -— ó -~ del recto, luego losen a-\-b del
O
o
4
triángulo aob valdrán juntos— (111), y como soniguales, porque-el
}
,
o
2
triángulo es isósceles en o, cada uno valdrá —; es decir, que los tres
3
ángulos del triángulo aob son iguales, luego sus tres lados también
lo son (111) ó sea ab=ob=oa.
299. El lado del decágono regular inscrito, es igual á la parte
mayor del radio dividido en media y extrema razón. En efecto, sea
ab (Fig. 109) el lado del decágono regular, y oa y ob los radios; el
2
triángulo aob es isóscelesen o; y como el ángulo o vale — de recto, los
4
4
4
2
en a y & valen cada uno — pues a\b-\-o= - + - + R —2 rectos. Es5
5
5
5
2
2
to supuesto, si se biseca el ángulo^, se tiene n=- y p = - : y p o r s e r
5
5
2
2
¡I y m = - el triángulo oaces isósceles en <?, y por tanto ac=oc,
5
5
por ser
y r = t - se tiene g_=~- luego el triángulo acb es isósceles
5
o
5
en a, y por tanto, ac=ab\ es decir que ab=ac=oc.
Por otra parte, por ser ac bisectriz de un ángulo de un triángulo, se tiene la proporción ao\ ab\ \ oc\ cb, pero ao=ob por radios y
ab=oc, según se ha visto, luego ob\ oc\\ oc\ cb, es decir, que en c está dividido el radio ob, en media y extrema razón, y su parte mayor.
oo es igual á ab, lado del decágono regular inscrito. )%
73
CAPÍTULO VIII.
CONSTRUCCIONES R E F E R E N T E S Á E S T A SECCIÓN.
300. Dividir la circunferencia
en tres partes iguales. Sea la
circunferencia c (Fig. 110) desde un punto cualquiera de ella a, con
una abertura de compás igual radio, se marcan á derecha é izquierda
dos puntos b y d; el arco dab será i- de la circunferencia; tomando la
cuerda db> desde d, se marcará el punto e y quedará dividida la circunferencia en tres arcos iguales. En efecto; los arcos ad y ab son
iguales entre sí, (270) y cada uno - de la circunferencia; (299) luego
6
la suma de los dos será
6 6 6 3
301. NOTA.—Esta construcción es la misma que si se pidiera
inscribir ó circunscribir un triángulo equilátero, pues para lo primero se trazarían las cuerdas de los arcos di), de y be; y para lo segundo,
por los puntos d b y e, se trazarían tangentes; lo mismo se tendrá
por dicho en las siguientes divisiones.
302. Dividir la circunferencia en cuatro partes iguales.
Para ello se trazan dos diámetros perpendiculares y sus extremos marcarán los de los arcos que son \ de la circunferencia. En
efecto, dos diámetros perpendiculares forman cuatro ángulos centrales rectos, y por tanto iguales; luego los arcos que abrazan también son iguales.
303. Dividir la circunferencia en seis partes iguales.
Se lleva sobre la circunferencia una abertura de compás igual á
el radio y estará contenida seis veces exactamente.
304. Dividir la circunferencia en diez partes iguales.
Se divide el radio en media y extrema razón, (299) y su parte
mayor llevada como cuerda sobre la circunferencia, estará contenida
diez veces exactamente.
305. 'NOTA.—Para dividir la circunferencia
en cinco partes
iguales. Se divide en diez, y cada dos arcos serán \ de la circunfe5
rencia.
|
^M^.''
306. Dividir una circunferencia
en quince partes
iguales.
Para ello se observa que ~ — v por tanto que el arco de -jjde
6 10 15*
15
y
;vf
1
i
1
H
GEOMETRÍA.-—IO
Ti
la circunferencia es la diferencia de los a r c o s
6
y ~ r de la
10
misma;
luego si desde un p u n t o a de u n a circunferencia se m a r c a u n arco
(303) y desde el mismo p u n t o otro arco n— ^ (304), el arco
diferencia de los dos s e r á — de la circunferencia: t o m a n d o la
15
c u e r d a de este arco diferencia, c a b r á 15 veces e x a c t a s en la c i r c u n ferencia.
307. ¿Qué divisiones
exactas pueden hacerse en la
circunferencia?
Se a c a b a de ver que puede dividirse en 3, 4, 5, 6, 10 y 15 p a r t e s
e x a c t a s , y como cada u n a de estas p a r t e s puede e x a c t a m e n t e d i v i d i r se en dos, por medio de u n a perpendicular bajada desde el centro á la
c u e r d a , se tiene que por medios geométricos pueden hacerse en la
circunferencia las siguientes series de divisiones.
1. 3; 6; 12; 24
3X2 lados. 2 . 4; 8; 1(3
4 X 2 " lados.
3 . 5; 10; 20
5 X 2 lados. 4 .
15; 30; 60
15X2" lados.
a
a
11
n
a
a
X'
C A P Í T U L O IX.
CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.
308. Se sabe q u e p e r í m e t r o de u n polígono significa la s u m a
de los valores n u m é r i c o s de sus lados, y es claro que si el polígono
es r e g u l a r , p a r a conocer el p e r í m e t r o b a s t a conocer el v a l o r de un
lado, toda vez que siendo todos iguales, su v a l o r se h a l l a r á m u l t i p l i cando el de el lado conocido por el n ú m e r o de ellos.
309. P a r a d e t e r m i n a r el v a l o r n u m é r i c o de u n a línea, es necesario fijar la u n i d a d : en los polígonos inscrito y circunscrito conviene que esta u n i d a d sea el r a d i o de la circunferencia, porque de esa
m a n e r a se simplifican las fórmulas h a l l a d a s en función de éste.
310. El lado del exágono regular inscrito es igual á el radio.
311. El lado del triángulo equilátero inscrito es igual á el radio multiplicado
por \Z~JJ~.
En efecto; (Fig. 111) sea ad la c u e r d a de — de la circunferencia:
t r a z a n d o el d i á m e t r o ab y la c u e r d a bd, el arco adb=.\
ferencia; luego arco bd=adb—ad=^—.7=^-
de la circun-
de la circunferencia.
75
Es decir, que la c u e r d a bd es i g u a l á el r a d i o ; esto s u p u e s t o , el t r i á n gulo adb es r e c t á n g u l o en d, y s e g ú n el t e o r e m a de P i t á g o r a s , dá
ad =ab —bd ;
pero ab—2r (llamando r al radio) y bd=r; luego s u s tituyendo ad —4r —r =3r ;
de donde e x t r a y e n d o la raíz c u a d r a d a
y prescindiendo del doble signo, pues sólo se desea su valor a b s o l u t o ,
ad—r V1T312. El lado del cuadrado
es igual al radio
multiplicado
por V~o~.
En efecto; (Fig. 111) sea ef la c u e r d a de i de la c i r c u n f e r e n cia: t r a z a n d o los radios ce y cf, el t r i á n g u l o cef es r e c t á n g u l o en c,
(y según el t e o r e m a de P i t á g o r a s ) , se t i e n e
ef =ce -\-cf —r -\-r =-2r ;
de donde e x t r a y e n d o la raíz c u a d r a d a y t o m a n d o el valor positivo,
éf—r
V~.
313. Dado un lado de un polígono regular inscrito en un círculo, calcular el de duplo número de lados regular é inscrito.
Sea ( F i g . 112) ab=a el lado de un polígono r e g u l a r i n s c r i t o ; si
se baja el r a d i o p e r p e n d i c u l a r cg á la c u e r d a ab, el arco ag será m i t a d del ab, y por t a n t o , su c u e r d a ag el lado del polígono de duplo
n ú m e r o de lados: se t r a t a , pues, de c a l c u l a r el v a l o r de ag en función
del numérico a, de el ab, y del radio. P a r a ello se observa que el á n gulo acb, por ser i n t e r n o de u n t r i á n g u l o , vale menos de dos rectos, y
por t a n t o , su m i t a d acg es a g u d o , y aplicando según esto al lado ag
del t r i á n g u l o acg el t e o r e m a (171) se t e n d r á :
ag —ac -\-cg —2cg.ch,
ó sea llamando r al r a d i o ; ag =r -\-r —2r.
ch. P a r a r e s o l v e r l a c u e s t i ó n , b a s t a r á poner á chen función del radio y del n ú m e r o s y p a r a
ello, como ch es u n cateto del t r i á n g u l o r e c t á n g u l o achucuya hipoten u s a es el r a d i o r y el otro c a t e t o ah—^a, se t i e n e (1G9-3. )
ch =r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
—^-; de donde ch—^/^
R
2
2
^1 L u e g o ag —2r —2r
2
2
2
2
| / " 2_^l. y ex/
/
r
t r a y e n d o la raíz c u a d r a d a de ambos miembros y sacando en el s e g u n d o , 2 r d e factor común, se t i e n e
ag=
314. E J E M P L O . ¿Teniendo el lado de un exágono regular
inscrito 1 0 . y siendo el radio lO." ; cual será la longitud del lado del
dodecágono regular inscrito en el mismo círculo? Sea x este lado,
m
1
setienea=10y r=10; luegox=V
2.10! 1 0 — L /
10 —-)=5 ,175
2
m
315. Dado el valor de el lado de un polígono regular
inscrito,
hallar el de semejante circunscrito.
Sea ab—a (Fig. 112) el valor del
lado de este polígono r e g u l a r i n s c r i t o ; si se baja desde el c e n t r o el r á -
76
dio cg p e r p e n d i c u l a r á la c u e r d a , y por g se t r a z a u n a t a n g e n t e l i m i t a d a por las prolongaciones de los r a d i o s ca y cb que v a n á los e x t r e m o s de l a c u e r d a , se t e n d r á el lado df del polígono r e g u l a r c i r c u n s c r i t o semejante a l inscrito, (297) cuyo valor se busca. O b s e r v a n do a h o r a que los t r i á n g u l o s cdfy cab son semejantes (162) y c o m p a r a n d o lados homólogos, se t e n d r á df\ ab\ \ cg\ ch; pero ab su valor
es a; y cg=r
y se h a visto en el problema a n t e r i o r que ch= 1 /
V
2_.
4'
luego s u s t i t u y e n d o será df\ a\\ r\ j /^ 2_ _^l de donde
/
df=
a
4
r
T
)
z
:
V
v
,
EJEMPLO.
¿ Teniendo en una circunferencia
cuyo radio son
10. el lado del exágono regular inscrito 1 0 . : cual será la longitud del semejante circunscrito?
A h o r a « = 1 0 ; r—10; luego llamando
m
m
x el valor que se busca, será x—
1/
^2:12
=11,545.
4
Áreas de l a s figuras circulares.
CAPÍTULO X.
RECTIFICACIÓN Y CUADRATURA DEL
CÍRCULO.
316.^ Las líneas c u r v a s así como las r e c t a s , tienen su l o n g i t u d
d e t e r m i n a d a , pues solo v a r í a n la u n a de la o t r a en que la dirección
que siguen en la u n a es c o n s t a n t e y en l a o t r a v a r í a c o n t i n u a m e n t e ,
según se ha establecido en sus r e s p e c t i v a s definiciones. L a medida
de las líneas r e c t a s , t a m b i é n se ha dicho que es su relación con otra
q u e se t o m a por u n i d a d ; a h o r a bien, c u a n d o se mide l a l o n g i t u d de
u n a línea c u r v a t o m a n d o por u n i d a d u n a r e c t a , ó en o t r o s t é r m i n o s :
c u a n d o se h a l l a l a relación e n t r e l a c u r v a y l a r e c t a u n i d a d , se dice
que se h a rectificado l a c u r v a . Esta relación n u n c a es e x a c t a , pero
se puede h a l l a r con la a p r o x i m a c i ó n que se desee,
317. En la circunferencia
se ha tomado como unidad su diámetro; y es c l a r o , que d e t e r m i n a d a la relación queda rectificada la
curva.
318. P a r a d e t e r m i n a r la relación de u n a circunferencia con su
radio ó d i á m e t r o , se h a considerado á ésta como u n polígono r e g u l a r
de un n ú m e r o infinito de lados; es decir, que tiene m á s lados que
cualquier polígono que se considere inscrito ó c i r c u n s c r i t o en ella, y
en v i r t u d de esta consideración, se h a l l a s u rectificación. P a r a ello
se anteponen las s i g u i e n t e s proposiciones:
319. l.° Si hacia un mismo lado de una recia se trazan
dos
líneas quebradas,
si la interior ó envuelta es convexa, será
menor
que la exterior
ó envolvente.
En efecto, sea-¿?& u n a r e c t a ( F i g . 113J y aghb u n a línea c o n v e x a
envuelta por la acdb; prolongando las r e c t a s ag y gh h a s t a que corten
en ey f,\'d e x t e r i o r , se t e n d r á n las desigualdades s i g u i e n t e s : ag-\-ge<
ac\ce y gh-\-hf<ge-\-ed-\-df;
t a m b i é n hb<Jif\fb;
sumando ordenadamente y s u p r i m i e n d o los s u m a n d o s comunes á ambos m i e m b r o s ,
ge-\-hf; se t e n d r á
ag-\-gh-\-hb<ac-{-cd-{-db.
320. La circunferencia,
considerada
como un polígono
regular de un número de lados mayor que cualquiera
dado, es el límite
superior de los perímetros
de los polígonos inscritos,
y menor de
el de los
circunscritos.
En efecto, respecto de los circunscritos, es siempre u n a línea c o n vexa q u e b r a d a e n v u e l t a , y con relación á el de los inscritos, es e n volvente.
321. La relación
de la circunferencia
al diámetro,
es una
cantidad constante; es decir, que no varía de una á otra
circunferencia.
En efecto; sean C, C, C".... v a r i a s circunferencias rectificadas,
sean R, R ' , R "
sus r a d i o s ; supóngase inscritos en ellas v a r i o s p o lígonos r e g u l a r e s de i g u a l n ú m e r o de lados, y sean P , P ' , P "
sus
perímetros: como todos estos polígonos son semejantes, (175) y s u s
radios son los de las circunferencias en que e s t á n i n s c r i t o s , se t i e n e
P P'
P"
— = — = — = . . . . y como e s t a s relaciones son s i e m p r e i g u a l e s , c u a l quiera que sea el n ú m e r o de lados de que consten estos polígonos, sus
límites t a m b i é n serán i g u a l e s ( A r i t m é t i c a ) . El límite de P es C, el de
P ' es C, y el de P " e s C " ; luego
C
c
o'
c"
—--—7==--,,-==
R
R
R
y
también
C"
c
— =
2Jb¿
—-=....
=constante.
2R"
322. El número constante que indica la relación de toda circunferencia con su diámetro, se ha denotado con la letra griega r,.
2R
Así se establece la i g u a l d a d
0
s
e
a
C=2 7;R.ji§(^ •
78
323. Determinación
aproximada
de %.
Si se inscribe en u n a circunferencia u n cuadrado,
después u n
octógono, después u n polígono de 16 lados, y así s u c e s i v a m e n t e , ó m á s
e x a c t a m e n t e , si se calcula el perímetro de u n cuadrado i n s c r i t o , d e s pués por las fórmulas dadas el del c i r c u n s c r i t o , después se h a l l a por
las mismas fórmulas el p e r í m e t r o de u n octógono inscrito y circunscrito, después los de u n polígono de 16 lados, después los de el de 32,
64, 128,256.... etc., (pues el cálculo se puede l l e v a r h a s t a donde se
q u i e r a ) , y se toma el radio como u n i d a d , se t e n d r á que al l l e g a r al
polígono de 256 lados dá como p e r í m e t r o del i n s c r i t o P = 6 , 28301, y
p a r a el c i r c u n s c r i t o , P ' = 6 , 28302. Es decir, que difieren en menos de
0,00001; luego la l o n g i t u d de la circunferencia diferirá de c u a l q u i e r a
de estos dos valores (de P ó P ) en menos t o d a v í a , puesto que e s t á
comprendida e n t r e las de P y P ' . A h o r a bien; esto dá u n v a l o r a p r o x i m a d o p a r a TC, puesto que si se t o m a á C=6,28302 como R = l , se
C
t e n d r á ~—==T:=3,
14156. Si se q u i s i e r a m á s a p r o x i m a c i ó n p a r a t i , se
2R
c a l c u l a r í a n los perímetros de los polígonos de duplo n ú m e r o de lados
de 256 en a d e l a n t e , h a s t a l o g r a r la a p r o x i m a c i ó n que se d e s e a r a . Lo
mismo podría h a b e r s e hecho p a r t i e n d o de el t r i á n g u l o e q u i l á t e r o ó
del pentágono r e g u l a r ; pero este método que solo sirve p a r a d a r u n a
idea de cómo se h a l l a u n valor a p r o x i m a d o p a r a u, no es el que ha servido p a r a h a l l a r l o con 150 decimales como por procedimientos a n a l í ticos s u p e r i o r e s se ha d e t e r m i n a d o .
Las diez p r i m e r a s cifras e x a c t a s del v a l o r a p r o x i m a d o de r c s o n
7 r = 3 , 1415926535. El v a l o r a p r o x i m a d o de TÍ fué expresado por A r 22
355
químedes por la fracción 7C= — y por Meció TÍ= —
que es
más
f
exacta.
324. Cuadratura
del círculo.
Siendo el círculo el límite de todos los polígonos r e g u l a r e s inserí-
4
critos en él, es e v i d e n t e que su á r e a será el l í m i t e de l a s á r e a s de -estos polígonos, cuando su n ú m e r o de lados a u m e n t a indefinidamente;
a h o r a bien, c u a l q u i e r a que sea u n polígono r e g u l a r , su á r e a (199) llam a n d o P al perímetro y a, la a p o t e g m a t i e n e por espresion - a X P.
El
l í m i t e de esta e x p r e s i ó n , c u a n d o el n ú m e r o de lados es indefinido, es el
producto de los límites de sus factores; el factor - como es n u m é r i c o ,
no tiene v a r i a c i ó n . El p e r í m e t r o P t i e n e por límite la circunferencia
rectificada C y la a p o t e g m a a , t i e n e por l í m i t e el r a d i o R; luego llamando A el á r e a del círculo s e r á A = límite \ a. P . = ¡ 7 C. R ; luego el
79
área del circulo es igual á la mitad del producto de la
circunferencia rectificada por el radio.
325. Como la circunferencia rectificada p u e s t a en función del
radio es G = 2 TcR;"sustituyendo en la fórmula a n t e r i o r será A = TC R ;
luego el área del círculo es igual al producto de la relación TC de
la circunferencia
al diámetro por el cuadrado del radio.
326. Es claro que si el c u a d r a d o unidad t u v i e s e por lado el r a dio, R sería i g u a l á 1, y la fórmula entonces se c o n v e r t i r í a en A = TC.
Es decir, que el área del círculo, tomando
por unidad el cuadrado del radio, es igual á la relación TC de la circunferencia
al diámetro.
327. Se llama sector circular (Fig. 114), cada una de las partes o a m b , ó oanb de círculo, comprendida
entre dos radios oa y ob
y el arco a m b en el primero,
y a n b en el segundo. El arco que lo
termina se llama base del sector.
328. El área de un sector de círculo tiene por medida la mitad del producto de su arco por su radio.
En efecto, por u n r a z o n a m i e n t o idéntico al empleado en el n ú mero (247), se vé que las á r e a s de dos sectores del mismo radio, son
proporcionales
á los arcos que les sirven de bases; a d m i t i e n d o e s to, se tiene l l a m a n d o S y S' l a s á r e a s de los dos sectores en que q u e da dividido c u a l q u i e r círculo por dos r a d i o s , yaya'
sus arcos r e s pectivos, que S* S';*. a\ a de donde S; S-f-S".* a\ a\d
pero S + S '
es todo el círculo, y a-\-a la circunferenciaJC; luego se t i e n e l l a m a n d o
R al r a d i o de este círculo que el á r e a de S-j-S= á r e a del c í r c u l o =
TC R ; y C = 2 TC R, s u s t i t u y e n d o en la a n t e r i o r proporción será
„ ,
.„
ir R a
RXa
Si TC R ; ; a\ 2 TC R o sea S = — • - — — = — - —
2 TC R
2
329. Se llama segmento de círculo, la parte de círculo
comprendida entre una cuerda y su arco. Como t o d a c u e r d a subtiende
dos arcos, toda c u e r d a d e t e r m i n a dos segmentos, y excepto en el caso
de ser un d i á m e t r o , uno es m a y o r que medio círculo y o t r o menor.
330. Para evaluar el área de un segmento (Fig. 114): 1.° menor que media circunferencia
como el a b m se halla la del
sector
oamb y se le resta la del triángulo o a b .
2.° Si el segmento fuese mayor que un semicírculo,
como el
anb,, bastaría para evaluar su área', sumar las áreas del sector oanb
y la del triángulo oab.
331. Se llama corona circular,
el espacio que dejan entre si
dos circunferencias
concéntricas
( F i g . 114).
Para evaluar el área de una corona, basta observar
que este
espacio es la diferencia entre las áreas de los dos círculos. Así, si se
2
y
2
2
2
80
l l a m a n R y r los radios se t e n d r á : Área de u n a corona = TTR —rcr =it
( R — r ) . Es decir, que el área de una corona es igual á la relación 7T de la circunferencia
al diámetro,
multiplicada
por la diferencia de los cuadrados
de los
radios.
332. Se llama trapecio circular
el espacio abcd
determinado
por dos radios en una
corona.
333. El área de un trapecio circular
se halla restando
las
áreas de los dos sectores. Así ( F i g . 114) el á r e a del t r a p e c i o adcb ser á la diferencia de la del sector oab menos la del odc.
334.
Ejemplos.
Un patio circular tiene 2 1 , 0 de
diámetro.
¿Cuál es su áreal Tomando K — 3 , 1416, se tiene área=366, - 43.
2
2
2
2
m
m c
¿Cuál es el radio
de un círculo
Si en la fórmula A = ir r
cuadrados *
1
peja r , se t e n d r á r— | / ~
A
que
2 -
tiene
de área
6
metros
del á r e a de un c í r c u l o , se d e s -
luego en el ejemplo, dividiendo 6 m e -
22
t r o s c u a d r a d o s p o r - ^ - y e s t r a y e n d o la r a i z c u a d r a d a al cociente, se
t e n d r á r—l,
38.
¿Cuál es el radio del círculo que tiene de área 5 , - - 47? S o l u ción: r=l,
319.
¿Cuál es el área de un sector circular\ cuyo radio son 1 0 , y el
ángulo de 75.°? Tomando 7 i = 3 , 1 4 6 , se t i e n e : á r e a del rector—65, 45.
Hallar el radio de un sector que tiene 32
- - de área y 48° de
ángulo del centro, se tendrá r = 8 , - 74, ó sea=0,
874.
S í un círculo tiene 12 centímetros
de diámetro,
¿qué valor debetener el ángulo de un sector para que su superficie
sea
igual
m
m
c
m
m
mc
dccim
d e c
c
m
QQcentim. c.£
La incógnita a h o r a es el arco a que s e r á a—39°. 47'. 18", 4.
Fin del tratado de la circunferencia y de la planimetría.
SEGUNDA PARTE,
DE
L AG E O M E T R Í A
E L E M E N T A L .
STEREOMETRÍA.
PRIMERA SECCIÓN.
R E C T A S
Y
PLANOS.
C A P Í T U L O I.
D E LA LÍNEA RECTA Y DEL PLANO.
335. De las definiciones dadas de la línea r e c t a y del plano, r e sulta que si una recta tiene dos de sus puntos en un plano, toda ella
está en el plano. De donde se sigue que una recta no puede
encontrar á un plano más que en un punto, pues de lo c o n t r a r i o e s t a r í a
toda ella en el plano.
336. Por dos puntos pueden pasar infinitos
planos..
En efecto; si se unen los dos p u n t o s por u n a r e c t a , y por ésta
pasa u n plano y se hace g i r a r alrededor de ella, en sus infinitas posiciones, siempre la c o n t e n d r á ; luego por los dos p u n t o s pasan infinitos
planos.
337. Tres puntos que no están en línea recta fijan la posición
de un plano ( F i g . 115).
En efecto. Sean los t r e s p u n t o s que no e s t á n en línea r e c t a a, l), c,
por dos p u n t o s a y b, se sabe que pasan infinitos planos de m a g n i t u d
indefinida; haciendo g i r a r u n o de ellos como si la ab fuese u n a c h a r nela, es claro que-habrá u n m o m e n t o que p a s a r á por el t e r c e r p u n t o
c, y entonces es evidente q u e por los t r e s p u n t o s a, b y c,- pasa u n
plano.
Si se supone que sea posible que u n segundo plano pase por los
tres puntos a,byc,y
p a r a fijar las ideas se llama al p r i m e r plano m
GEOMETRÍA.—n
82
y al segundo n; si se unen los dos puntos a y b por medio de u n a r e c t a , es evidente que la r e c t a ab e s t a r á toda ella en el plano m y en el
plano n; y si se une a con c, t a m b i é n la r e c t a ac e s t a r á toda ella en
los dos planos (335).
Esto supuesto, sea A u n p u n t o c u a l q u i e r a del plano m; t r a z a n d o
en este plano por el punto li, u n a r e c t a efque corte en e y f, r e s p e c t i v a m e n t e á las ab y ac, ó sus prolongaciones; la r e c t a af, que tiene
dos de sus puntos e y /"en el plano n, está toda ella en este plano;
luego el p u n t o h es p u n t o del plano n: pero por hipótesis se h a t o m a do sobre el plano m, luego es común á los dos planos: lo mismo que
se ha demostrado respecto del punto h, se d e m o s t r a r í a de c u a l q u i e r
otro p u n t o del plano m; luego estos dos planos que tienen todos sus
p u n t o s comunes coinciden en toda su e x t e n s i ó n y no son m á s que
uno solo.
338. Dos rectas que se cortan determinan
un plano.
En efecto, tornando sobre cada u n a de ellas un p u n t o , éstos con
el p u n t o de e n c u e n t r o , son t r e s puntos que no están en línea recta.
339. Dos paralelas determinan
un plano.
En efecto, se pueden t o m a r dos p u n t o s en u n a de ellas y uno en
la o t r a , y serán t r e s que no están en línea r e c t a .
340. La intersección
de dos planos es una lin.ea recta.
En efecto: la intersección, si fuese u n a línea c u r v a ó quebrada,
t o m a n d o sobre ella t r e s p u n t o s que no estén en línea r e c t a , se t e n d r í a n por ellos dos planos distintos, lo que es imposible (337).
341. Si una recia ao, es perpendiculará
otras dos bo y co, que
pasan por su pie en un plano mn, es también perpendicular
á cualquier otra od, que pase por su pié en el mismo
plano.
En efecto; (Fig.
t r a z a n d o u n a r e c t a c u a l q u i e r a be que c o r t e
á las t r e s dadas ob, oc, od, y prolongando la ao por la p a r t e inferior
del plano u n a p a r t e oa'—oa, uniendo aya
con los p u n t o s b, d y c, se
t e n d r á : 1.° en el plano de los t r e s p u n t o s a,b,á la ba=bá por oblic u a s que se a p a r t a n i g u a l m e n t e del pié de la perpendicular bo á la
« a ; por i g u a l r a z o n e n el plano a,c,á, se t i e n e ac—ác; luego los
dos t r i á n g u l o s abe y a'bc son iguales, (pues be es común y ac—ác,
ab=a'b), y p o r t a n t e , sus ángulos homólogos, es decir,
abd=a'bd.
Esto demostrado, se deduce que los t r i á n g u l o s abd y a'bd son
iguales, (por t e n e r bd común ba=bá y el á n g u l o abd=ábd)
(100).
Luego los lados homólogos son i g u a l e s , es decir,
da=dá.
Se vé, pues, que en el plano de los p u n t o s adá se t i e n e
da=da\
y por construcción oa—oa'; es decir, que la recta do t i e n e dos puntos
d y o , e q u i d i s t a n t e s de a y a; luego la do, es p e r p e n d i c u l a r á la
aá en o.
1
83
342. Todas las perpendiculares
levantadas á una recia ao en
uno de sus puntos o, están en un plano.
En efecto; (Fig. 117) sean ob y oc dos p e r p e n d i c u l a r e s á la ao en
el punto o, y sea mn el plano de e s t a s r e c t a s , o t r a c u a l q u i e r a perpendicular á la ad en el p u n t o o, t i e n e que e s t a r en el plano mn; pues
si oi fuese, u n a p e r p e n d i c u l a r á la ao, y no estuviese en el plano mn,
construyendo el plano od de estas dos r e c t a s , éste c o r t a r í a al mn,
pues tiene u n p u n t o o común con él sea oe, su intersección, y se t e n dría que la ao sería p e r p e n d i c u l a r á la oe (341); esto es absurdo, pues
entonces en un mismo plano que es el od, se t e n d r i a n dos r e c t a s oe y
oi perpendiculares á o t r a oa en un p u n t o , lo que es imposible; luego
la oi no puede ser p e r p e n d i c u l a r á la ao, y e s t a r fuera del plano mn.
343. Se dice que una recta es perpendicular
á un plano,
cuando lo es á todas las que pasan por su pié en el plano.
Para que una recta sea perpendicular
á un plano, basta que lo
sea á dos que pasen por su pié en el plano (341).
344. Se llama plano perpendicular
á una recta, el que contiene
todas las perpendiculares
levantadas
á esta recta en uno de sus
puntos.
345. Por un punto fuera de un plano no se le puede bajar más
que una sola perpendicular
( F i g . 118).
Sea el p u n t o o, bajando la
p e r p e n d i c u l a r al plano mn; si se
supone que se puede bajar o t r a p e r p e n d i c u l a r , y que ésta sea la ob,
uniendo a con b, la r e c t a ab está en el plano mn, y se t e n d r í a que siendo las dos r e c t a s oa y ob p e r p e n d i c u l a r e s al plano, lo serian á la r e c ta ab que pasa por sus pies en este plano: es decir, que en el t r i á n g u lo aob h a b r í a dos á n g u l o s rectos, lo que es a b s u r d o .
346. Por un punto de un plano, no se le puede levantar
más
que una perpendicular.
(Fig. 118).
Sea el p u n t o a, y suponiendo que por él se p u e d a n l e v a n t a r al
plano mn, dos p e r p e n d i c u l a r e s oa y ca, éstas d e t e r m i n a n u n plano,
cuya intersección con el mn será u n a r e c t a t a l como ab. Es decir, q u e
las t r e s r e c t a s oa, ac y ab e s t á n en u n mismo plano, q u e es el aobc.
Ahora bien; las oa y ac perpendiculares al plano mn, lo será t a m b i é n
á la ab que pasa por su pié en este plano; luego se t e n d r í a en u n m i s mo plano aobc l e v a n t a d a s dos perpendiculares á u n a r e c t a ab en u n
mismo p u n t o , lo que es a b s u r d o .
347. Por un punto de una recta no se le puede trazar mas que
un plano
perpendicular.
En efecto, se ha demostrado que u n tal plano debe c o n t e n e r t o das las perpendiculares t i r a d a s a l a r e c t a dada por el p u n t o dado, y
'que todas estas perpendiculares están sobre un solo y único plano.
84
348. Tmr un punto fuera de una recta, no se le puede
trazar
mas que un plano perpendicular
( F i g . 118).
Suponiendo, que, en efecto, por el p u n t o o e s t e r i o r á la recta ab
pudiesen pasar dos planos p e r p e n d i c u l a r e s á esta recta: seaníü y b, los
p u n t o s en que estos planos c o r t a n á la r e c t a ab, uniendo o con b y a,
los dos ángulos oab y oba, serían rectos; h a b r í a , por t a n t o , u n t r i á n g u l o con dos á n g u l o s rectos, lo que es imposible. Q
349. La recta que e n c u e n t r a á u n plano, y no le es p e r p e n d i c u l a r , se llama oblicua al plano.
350. La, perpendicular
trazada desde un punto á un plano, es
menor que cualquiera
oblicua trazada
desde el mismo punto al
plano.
En efecto, ( F i g . 118) sea el punto o y el plano mn; oa la perpendic u l a r y ob la oblicua: uniéndose a con b, se tiene el t r i á n g u l o oab,
r e c t á n g u l o en a, y se sabe que la h i p o t e n u s a es m a y o r que c u a l q u i e r a de los catetos; luego oa<ob.
351. Se llama distancia de un punto
cular bajada desde el punto al plano.
á un plano,
la
perpendi-
352. Si desde un punto se trazan una perpendicular
y varias
oblicuas á un plano: 1.° Las que sus. pies equidisten del de la perpendicular,
son iguales.
2 . ° Las que disten más, son mayores que las que disten menos (Fig-. 119).
Sea el p u n t o a bajando la p e r p e n d i c u l a r ao sobre el plano mn y
las oblicuas ab, ac, ad, t a l e s que sus pies b, c, d, e q u i d i s t e n de o; t i r a n d o las r e c t a s ob, oe, od, los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s aob, aoc, aod
son iguales, por t e n e r el c a t e t o oa común, y los otros ob=oc=od,
por
hipótesis, luego las h i p o t e n u s a s t a m b i é n lo son: es decir, q u e ab=
ac—ad.
2.° Sea a h o r a la d i s t a n c i a oe>oc, la oblicua ae s e r á m a y o r que
la ac, porque en el t r i á n g u l o ace la ae se opone al á n g u l o m a y o r que
es el obtuso ace, el cual es o b t u s o por a d y a c e n t e al a g u d o acó del
t r i á n g u l o aoc r e c t á n g u l o en o.
353. Si dos oblicuas á un plano son iguales, se apartan
igualmente del pié de la perpendicular:
pues si a l g u n a se a p a r t a s e más ó
menos que c u a l q u i e r a o t r a , é s t a sería m a y o r ó m e n o r que t o d a s las
demás.
354. Dos. oblicuas á un plano que son desiguales,
la mayor
se
aparta más del pié de la perpendicular.
En efecto, si siendo
ae>ac
no se t u v i e r e oe>oc, precisamente se debería t e n e r oe—oc ó oe<or;
pero de oe—oc se d u d u c i r í a ae=ac c o n t r a el s u p u e s t o : y de
oe<oc
85
se deduciría ac<ac t a m b i é n c o n t r a el supuesto; luego solamente es
posible que oe>oc.
3 5 5 . N O T A . — S i desde el pié de una perpendicular
á un plano se.
describe en éste una circunferencia,
todos los puntos de la perpendicular equidistan
de ella; pues t i r a n d o las r e c t a s que miden éstas
distancias, todas s e r á n iguales por oblicuas e q u i d i s t a n t e s .
356.
T E O R E M A D E L A S T R E S P E R P E N D I C U L A R E S . — S i desde el pié
o, de una perpendicular
á un plano mn,se traza otra
perpendicular
od, á una recta be situada en el plano, y se une el pié d, de esta segunda perpendicular
con un punto cualquiera
de la primera,
la
recta ad que resulta, será perpendicular
á la situada en el plano
(Fig. 1 2 0 ) .
En efecto, t o m a n d o bd—dc y t r a z a n d o las rectas ab y ac; ob y oc,
se tienen que ob=oc, por oblicuas, e q u i d i s t a n t e s de la p e r p e n d i c u l a r
od: los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s aob y aoc son, por t a n t o , i g u a l e s (pues
ao común y ob=oc); luego ab=ac. Esto s u p u e s t o , como las rectas ab,
ad, ac, be, están en un mismo plano bac, pues cada u n a de ellas t i e ne dos p u n t o s en este plano, se t i e n e que la ad, cuyos e x t r e m o s ay d
equidistan de los b y c de la be, le es perpendicular.
3 5 7 . Una recta es paralela á un plano, ó dos planos son
paralelos, cuando indefinidamente
prolongados
las rectas y el plano ó
los dos planos no se
encuendan.
3 5 8 . Si dos ángulos en el espacio tienen sus lados paralelos y
dirigidos en el mismo sentido, son
iguales.
Sea el á n g u l o abe de lados paralelos á los del def, y dirijidos en
el mismo sentido. Tomando sobre ellos las p a r t e s ba=ed y bc—ef y
t r a z a n d o las r e c t a s be, ad, ef, ac y df. Siendo las rectas ab y de i g u a les, y paralelas la figura abed, es un p a r a l e l o g r a m o , y por t a n t o , ad—
be y p a r a l e l a .
A n á l o g a m e n t e , la cf—be y p a r a l e l a : luego la ad=cf
y paralela: de aquí se deduce que el c u a d r i l á t e r o adfc es un p a r a l e l o g r a mo, y por t a n t o , que ac—dfy
paralela.
Esto demostrado, los dos t r i á n g u l o s abe y def'son e v i d e n t e m e n t e
iguales ( 9 9 ) , y por t a n t o , el á n g u l o abc=def.
C A P Í T U L O II.
DE
LOS ÁNGULOS DIEDROS.
3 5 9 . iSe llama ángulo diedro,
planos qu&%e cortan.
la separación
ó abertura
de
dos
86
360. Los planos que lo forman se llaman caras y la recta en
que se cortan
aristas.
361. Los ángulos diedros se leen con cuatro letras; una de
cada plano y las dos de la arista en m,edio.
Así ( F i g . 122) los dos planos mcd y ncd, forman un á n g u l o ' d i e d r o
c u y a s c a r a s son estos planos; su a r i s t a la r e c t a de y se designa medn.
En el caso de no h a b e r formado sobre u n a r e c t a m á s que u n d i e dro (como en la F i g . 122) se podrá d e s i g n a r con las dos l e t r a s de la
a r i s t a y decir el diedro de.
362. La magnitud de un diedro depende de la abertura de sus
caras, no de la magnitud de éstas.
363. Se llama Á N G U L O P L A N O C O R R E S P O N D I E N T E á un diedro, el
formado por dos perpendiculares
levantadas
á su arista en un
punto y una en cada cara.
364. Si dos diedros son iguales, sus ángulos planos
correspondientes también lo son ( F i g . 122).
En efecto, sean medn y m'c'd'n'
dos diedros i g u a l e s : t o m a n d o
u n p u n t o o, en la a r i s t a del primero y t r a z a n d o las perpendiculares
oa y ob á esta a r i s t a , u n a en cada c a r a del diedro; haciendo lo m i s mo en el diedro m'c'd'n', r e s u l t a r á n los dos á n g u l o s planos aob y
aob' correspondientes á los diedros propuestos, y se vá á d e m o s t r a r
que si mcdn—m'cd'n',
se verifica q u e aob=a' o'b'.
P a r a ello se coloca el diedro medn sobre el m'c'd'n' de modo que
sus a r i s t a s c o i n c i d a n ^ que el p u n t o o venga sobre el o , lo cual s i e m pre es posible. A h o r a bien; como los diedros son iguales, si se hace
g i r a r el medn sobre su a r i s t a h a s t a que u n a de sus c a r a s dm coincida con la d'm , la o t r a en coincidirá con la c'ri: esto s u p u e s t o , la r e c t a oa coincidirá con la o'a', pues a m b a s t i e n e n que ser p e r p e n d i c u l a res á u n a misma recta (la a r i s t a oc) en u n mismo p u n t o (el o) y en
u n mismo plano, pues el dm y d'm' h a n coincidido. P o r idénticas
consideraciones la r e c t a ob coincide con la. o'b'; luego el á n g u l o
aob—a'o'b'.
365. La recíproca t a m b i é n es c i e r t a , á saber: si dos
ángulos
planos son iguales,
los diedros á que corresponden
también
son
iguales ( F i g . 122).
En efecto; colocando el diedro como a n t e r i o r m e n t e m'c'd'n' sob r e el medn, de modo que las a r i s t a s c'd y cd coincidan, y u n a de las
c a r a s m'd' y md, y t a m b i é n los p u n t o s o y o, las a o y ao coincidir á n según se h a demostrado. Ahora bien; las c u a t r o r e c t a s oa, ob,
oa , o'b' perpendiculares á la a r i s t a cd en un mismo p u n t o o, e s t á n
en u n solo plano perpendicular á esta a r i s t a , (343) y p u e s t o que los
á n g u l o s a'o'b' y aob son i g u a l e s , p r e c i s a m e n t e c o i n c i d i r á n . P o r con]
87
siguiente, las c a r a s en y en que t i e n e n comunes las dos rectas ob y
ob', oc y oc' que se c o r t a n , coinciden (338); luego los diedros
m'c'd'n y medn son i g u a l e s .
366. La relación de dos diedros es la misma que la de sus ungidos planos correspondientes
(Fig. 123).
En efecto, c u a l e s q u i e r a que sean los diedros q u e se propongan,
siempre se puede considerar que la a r i s t a y u n a de las c a r a s h a n
coincidido. Sean mden y mdep dos á n g u l o s colocados de este modo.
P o r un p u n t o c u a l q u i e r a o de la a r i s t a común, se l e v a n t a n las
perpendiculares oa, ob, oc á la a r i s t a , cada u n a r e s p e c t i v a m e n t e en
las c a r a s dli, dn y dp. En el plano que d e t e r m i n a n estas perpendiculares (342) y desde o como c e n t r o , se describe u n arco de círculo abe.
Se t e n d r á , que si r e s p e c t i v a m e n t e tienen estos arcos 3 y 5 veces u n a
medida, se verificará que aob'. aoc\ \ 3*. 5.
Si por los radios t i r a d o s á los puntos de división y por la a r i s t a
ed se hacen pasar planos, q u e d a r á el diedro mdep dividido en 5 d i e dros parciales, y el mden en 3, los cuales t e n d r á n por á n g u l o s planos
correspondientes (263) los i g u a l e s en que se dividieron los planos aob
y aoc, y por t a n t o , estos diedros parciales serán iguales (364), escogiendo uno de ellos por u n i d a d para comparar los diedros propuestos, se t e n d r á mden', mdep'.'. o'. 5. Lo cual hace v e r que la relación
de los diedros es 3 | 5 la m i s m a que la de sus ángulos planos c o r r e s pondientes.
Lo mismo se d e m o s t r a r í a si no fuesen comensurabies los diedros
y ángulos planos, puesto que entonces la relación de los diedros es el
límite de u n a serie de relaciones de diedros comensurabies, siempre
iguales á la de sus ángulos planos y cada vez m á s a p r o x i m a d o s á los
propuestos/ ^ 0
1
367. Tíuando dos planos se c o r t a n m u t u a m e n t e , forman c u a t r o
ángulos diedros (Fig. 124).
Si por un p u n t o c u a l q u i e r a o de la a r i s t a común se t r a z a n en l a s
caras de los diedros perpendiculares como oa, ob, oc, od, e s t a r á n en
un plano, y los á n g u l o s que forman serán los correspondientes á las
medidas de los diedros. Es claro que si estos c u a t r o ángulos planos
son iguales (es decir, rectos) los diedros lo serán t a m b i é n y se n o m bran así mismo diedros
rectos.
368. El á n g u l o diedro recto es el que se t o m a como unidad
para los diedros, lo mismo que el á n g u l o recto plano se t o m a p a r a los
ángulos planos, ó como los c u a d r a n t e s p a r a los arcos.
Midiéndose los diedros por ángulos planos y éstos á su vez por
grados, minutos y segundos, es evidente que también
los
diedros
88
se podrán expresar por grados, minutos,
etc.: así el diedro
recto
tiene 90°, el diedro agudo menos de 90° y el obtuso más.
369. / 2 los ángulos diedros les son aplicables
las
demostraciones dadas sobre rectas que concurren,
pues tienen las m i s m a s
propiedades que sus á n g u l o s planos c o r r e s p o n d i e n t e s . Así las p r o posiciones.
La suma de dos ángidos
diedros adyacentes
componen
dos
rectos.
Los diedros opuestos por la arista son
iguales.
La suma de todos los ángulos diedros que se pueden
formar
alrededor de una recta, valen cuatro
rectos.
Si dos diedros son suplementarios
y tienen una cara
común,
la otra está sobre un mismo plano, etc., etc. Se d e m o s t r a r á n como
sus a n á l o g a s de la p a r t e plana, teniendo cuidado de s u s t i t u i r la p a l a b r a vértice por arista y la de lado por cara.
370. L a significación de las p a l a b r a s suplemento y
complemento, lo mismo que la de diedros adyacentes
ú opuestos por la arista,
etc., es la misma que la que tienen respecto de á n g u l o s de r e c t a s .
371. Dos planos son perpendiculares
cuando forman
un án-
C A P Í T U L O III.
DE
LOS PLANOS PARALELOS.
372. f Dos planos perpendiculares
á una recta son
paralelos.
En efecto, si prolongados se e n c o n t r a r a n , desde u n p u n t o c u a l q u i e r a ( d é l a intersección), se t e n d r í a n dos planos p e r p e n d i c u l a r e s á
u n a r e c t a , lo que es imposible.
373. Sí á dos planos paralelos mn y pq corla un tercer
plano
r s , las intersecciones
ab y cd son paralelas ( F i g . 125).
En efecto, las dos r e c t a s ab y cd s i t u a d a s en los planos paralelos
mn y pq, por m a s q u e se prolonguen, no se e n c u e n t r a n ; a d e m á s e s t á n en un mismo plano que es el secante rs; luego e s t á n d e n t r o de la
definición dada de r e c t a s p a r a l e l a s .
374. Las partes de paralelas comprendidas
entre planos
paralelos, son
iguales.
S e a n p g y mn dos planos paralelos; ( F i g . 125) ac y bd dos p a r a l e l a s comprendidas por estos planos; si por e s t a s dos r e c t a s se hace p a -
89
sar un plano (339), sus intersecciones ab y cd s e r á n paralelas (373).
Por t a n t o , la figura abcd es u n p a r a l e l ó g r a m o , y de aquí el que
ac—bd.
375. Tres planos paralelos mn, pq, r s , cortan á dos rectas
cualesquiera en partes proporcionales
(Fig. 126).
Sean ab y cd dos rectas cortadas por estos planos: si por el e x t r e mo a de u n a de ellas se t r a z a la r e c t a afg p a r a l e l a á la cd, se t e n d r á
cli=afy
hd—fg.
Haciendo p a s a r u n plano por los t r e s p u n t o s g, a y b, sus i n t e r secciones fe y gb s e r á n p a r a l e l a s , y por c o n s i g u i e n t e (162) af\
fg\\
ae\ eb ó sea ch'. Jid \ \ ae\ eb.
376. Dos planos paralelos pq y r s cortan á dos rectas ab y ag
que concurren fuera de ellos, en partes proporcionales.
En efecto,
la proporción af\ fg\\ ae\ eb d e m u e s t r a el t e o r e m a .
377. Si dos planos paralelos
son cortados por un tercero,
se
forman ocho ángulos diedros que reciben las mismas
denominaciones que los determinados
por una recta secante con dos jiar alelas.
Así los alternos internos serán (Fig. 125) los mabs y qcdr; n a b s
y pcdr.
Los alternos externos r a b m y scdq; r a b n y scdp.
Los correspondientes
r a b m y rcdp; r a b n y rcdq; scdp y s a b m ;
scdq y sabn.
378. Si á dos planos paralelos corta un tercer plano. Los ángulos diedros alternos internos, ó alternos
externos,
son
iguales
entre sí. Los correspondientes
también lo son. Los dos diedros
internos de un mismo lado del plano secante, son suplementarios
lo
mismo que los dos externos ( F i g . 125).
En efecto, sean mn y pq dos planos paralelos, y rs uno s e c a n t e :
sus intersecciones ab y cd, a r i s t a s de los diedros formados por estos
planos, s e r á n rectas p a r a l e l a s (373): si se t r a z a a h o r a u n plano p e r pendicular á e s t a s a r i s t a s , y que corte á los dos paralelos y al s e c a n te, sus intersecciones respectivas s e r á n las r e c t a s efy hi con los dos
paralelos, y la zt con el s e c a n t e : a h o r a bien, estando e s t a s i n t e r s e c ciones en el plano p e r p e n d i c u l a r á l a s a r i s t a s , ab será p e r p e n d i c u l a r
á las r e c t a s zt y ef, y la cd á las zt y hi, que pasan por su pié en este
plano. Es decir, que los ángulos planos formados por las dos r e c t a s
paralelas efy hi con la secante zt, son las medidas de los diedros
formados por los planos mn y pq con el secante rs. P e r o e n t r e estos
ángulos rectilíneos se verifican las propiedades e n u n c i a d a s en el t e o rema: luego e n t r e los diedros á que sirven de m e d i d a s , t a m b i é n se
verificaiiN,^
\ \ r
/
00
CAPÍTULO
IV.
DEL ÁNGULO TRIEDRO Y DEL POLIEDRO.
879. La posición relativa
de tres planos que pasan por un
mismo punto, y que se cortan según tres rectas distintas,
se expresa también con la palabra ángido, añadiéndole la de T R I E D R O para distinguirlo
del caso que se refiere á la separación
de dos rectas, ó de dos planos.
380. La (Fig. 127) r e p r e s e n t a u n á n g u l o t r i e d r o ó simplemente
u n t r i e d r o . El p u n t o v donde se r e ú n e n los t r e s planos, se l l a m a vértice del triedro; y los planos (que se deben considerar indefinidos),
avb, ave y bvc son las caras del t r i e d r o , y las r e c t a s va, vb, ve, i n t e r secciones de estas c a r a s , se llaman sus
aristas.
381. Los t i e d r o s se designan, sea solamente con la l e t r a de su
v é r t i c e , sea haciéndola s e g u i r de las l e t r a s de las a r i s t a s , p a r a e v i t a r confusión; así se puede decir, el t r i e d r o v ó el t r i e d r o vabe.
Un t r i e d r o consta de seis elementos, que son t r e s á n g u l o s d i e dros y t r e s planos.
382. Una cara cualquiera de un triedro, es menor que la suma
de las otras dos, y mayor que su diferencia
(Fig 127).
En efecto, sea vabe un t r i e d r o c u a l q u i e r a ; a n t e todo, es evidente
que la primer p a r t e del t e o r e m a , solo t e n d r á que demostrarse para la
m a y o r de las t r e s c a r a s : sea esta la c a r a ave. Si en el plano ave se
t r a z a la recta vd tal que forme con la va un á n g u l o avd=avb,
y se
c o r t a n las t r e s r e c t a s va, vd, ve por u n a r e c t a c u a l q u i e r a ade, t o mando vb—vd y uniendo el punto b con a y con c, se t e n d r á que los
dos t r i á n g u l o s avd y avb son iguales (100), y por t a n t o , ab—ad. P o r
o t r a p a r t e , ac<ab-\-bc ó sea ad-\-dc<ab-\-bc,
ó en fin dc<bc. Luego
los dos t r i á n g u l o s bvc y dvc, t i e n e n u n lado común ve, y o t r o igual
por construcción, á saber: vb=vd;
pero el t e r c e r lado de es menor
que el be, y por t a n t o , el á n g u l o cvd<Cbvc. S u m a n d o á ambos m i e m bros de esta desigualdad, las p a r t e s iguales avd y avb, se t e n d r á
dvc-\-avd<avb-\-bvc,
y observando que por e s t a r los dos á n g u l o s dvc
y avd en un mismo plano, su s u m a es ave, se t e n d r á por fin avc<
avb-\-bvc.
Demostrado para la m a y o r de las c a r a s , es evidente que p a r a las
o t r a s dos menores, t a m b i é n se verifica.
P a r a d e m o s t r a r la segunda p a r t e del t e o r e m a , b a s t a r e s t a r de los
91
dos miembros de la desigualdad establecida con c a d a á n g u l o , uno de
los ángulos planos. Así de la a n t e r i o r resulta
avb>avc—bvc.
383- En todo triedro á caras iguales, se oponen diedros
iguales, y á mayor cara mayor diedro (Fig 128).
1.° Sean las c a r a s avb y bvc iguales, se v á á d e m o s t r a r que el
diedro va—ve.
P a r a ello, sobre las tres aristas del t r i e d r o , se t o m a n las p a r t e s
iguales vd=vf=vg;
tomando después las partes dh=gm, y t i r a n d o
por g y h planos perpendiculares r e s p e c t i v a m e n t e á e s t a s dos a r i s tas, se -determinarán los ángulos ihl y nmk, medidas de los diedros
va y ve. Si pues se d e m u e s t r a que estos á n g u l o s planos son i g u a l e s ,
el teorema q u e d a r á demostrado. P e r o se t i e n e que siendo i g u a l e s (por
la hipótesis y construcción) los t r i á n g u l o s dvf y fvg, los dos t r i á n gulos r e c t á n g u l o s dhiynmg
son t a m b i é n iguales, (pues dh—gm, y el
ángulo hdc=mgn
por ser de la base de t r i á n g u l o i g u a l e s ) ; luego
hi—nm y di=ng; también los t r i á n g u l o s dhl y mhg son iguales (pues
mg=dh y á n g u l o hdl=mgh por ángulos de la base del isósceles vdg)
y dan hl=mh; dl—gh. Pero por ser df=fg en el t r i á n g u l o dfg, se t i e ne á n g u l o fdg=fgd;
y por t a n t o , los t r i á n g u l o s dil y nhg son i g u a l e s ,
y dan il=nh\ luego (99) el t r i á n g u l o ihl=nmh,
ó lo que es lo mismo
diedro va—ve.
Si se supone (Fig. 128-2. ) que en el t r i e d r o vdeg se tiene c a r a
dve>evg,
el diedro
vd<vg.
En efecto; tomando como a n t e s vd=ve—vg;
por ser, según la h i pótesis, dve>evg,
se t e n d r á (115) de>eg, y por c o n s i g u i e n t e dh—lig,
y por t a n t o , los dos t r i á n g u l o s dvh y hvg s e r á n i g u a l e s (99) y d a r á n
ángulo ó c a r a
dvh=hvg.
Ahora bien; esto dice que en el t r i e d r o vdhg el diedro vd—dvgli;
pero e v i d e n t e m e n t e el diedro dvge contiene al dvgli, y por t a n t o , es
mayor que él, ó que su igual vd.
384. Si en un triedro son iguales dos diedros, las caras
opuestas son iguales, y si dos diedros son desiguales á mayor diedro, se
opone mayor
cara.
385. Si los tres diedros de un triedro son iguales, sus tres caras planas con también
iguales.
Estas proposiciones se d e m u e s t r a n fácilmente por reducción al
absurdo.
386. Igualdad de
triedros.
Se llaman triedros iguales los que superpuestos
coinciden
sus
aristas.
387. Si dos triedros tienen sus tres caras iguales é
igualmente
dispuestas, son iguales (Fig. 129).
a
/
92
Sean los t r i e d r o s vabe y v'a'b'c' que tienen las c a r a s avb—a'v'b',
bvc—b'r'e'
yavc—a'v'c'.
Según lo demostrado, sus diedros serán r e s p e c t i v a m e n t e i g u a l e s ,
y por t a n t o , colocando el t r i e d r o v' sobre el v, de modo que la c a r a
a'v'b' coincida con su homologa avb, las caras adyacentes bvc y b'v'c'
t a m b i é n coincidirán por ser los diedros v'b' y vb i g u a l e s ; y en su consecuencia la t e r c e r a c a r a c'v'á y eva t a m b i é n coincidirán por la
igualdad de los diedros v'c y ve. Las a r i s t a s de los t r i e d r o s h a n coincido, luego son iguales.
388. Dos triedros son iguales cuando los tres diedros del uno
son iguales á los tres del otro, y están igualmente
dispuestos.
En efecto, se demostró que si un t r i e d r o t i e n e sus driedros i g u a les, sus c a r a s planas t a m b i é n son iguales, con lo cual b a s t a p a r a h a cer ver la coincidencia de dos t r i e d r o s , cuyos diedros sean i g u a l e s .
389. Dos triedros
que tienen un diedro igual
comprendido
entre caras iguales é igualmente
dispuestas
( F i g . 129) son
iguales.
Es decir, que diedro vb=v'b', y c a r a s avb—a 'v'b';
bvc=b'v'c'.
En efecto, la demostración consiste en r e p e t i r la superposición
del caso a n t e r i o r .
390. Dos triedros que tienen dos ángulos diedros iguales
adyacentes á una cara igual é igualmente dispuestos
respecto de esta
cara son iguales ( F i g . 129).
Es decir, que la c a r a avb—a'v'b' y los driedros va=v'a',
vb=v'b'.
En efecto, t a m b i é n se d e m u e s t r a por superposición d i r e c t a .
391. Se llama ángulo poliedro el espacio determinado
por varios planos que pausan
por un punto.
392. Los planos avb, bvc,cvd, dva ( F i g . 130) que lo componen,
se l l a m a n caras del poliedro; sus intersecciones consecutivas de dos
en dos, va, vb... vd son sus aristas; el p u n t o s , donde c o n c u r r e n todas
los a r i s t a s , se llama vértice del á n g u l o poliedro.
393. Los ángulos poliedros se leen, ó por la letra del vértice ó
haciendo seguir á esta letra todas las de las aristas; así el de la
(Fig. 130) se leerá: ángulo v, ángulo vabedo.
394. Los ángulos poliedros se dividen en cóncavos y convexos.
Se llaman ángulos poliedros convexos, aquellos en que una recta no puede encontrar mas que á dos de sus caras, y por el contrario, en los cóncavos.
En a d e l a n t e , siempre que de á n g u l o s poliedros se t r a t e , se s o b r e e n t e n d e r á n convexos,
á menos que e x p r e s a m e n t e se e s t a b l e z c a lo
contrario.
395. La suma de todos los ángulos planos de un ángulo
poliedro convexo, es menor que cuatro rectos ( F i g 130).
l
Sea v el poliedro convexo, c o r t a n d o todas sus a r i s t a s por u n plano, r e s u l t a r á el polígono convexo abcd; bajando desde el v é r t i c e v
una perpendicular vo al plano de este polígono, y uniendo el p u n t o o
con los a,b, c y d. Si desde o y v se t i r a s e n perpendiculares á la ab,
éstas c o n c u r r i r í a n sobre u n mismo puesto de la ab (356), y por t a n t o ,
la vo será menor que la ve (350) y (342).
Esto s u p u e s t o , si se hace g i r a r el plano avb alrededor de la ab
como c h a r n e l a , h a s t a que se coloque en el plano del aob, como la ve>
vo el punto v caerá e x t e r i o r m e n t e al o y se t e n d r á en un plano la fig u r a (131) en la que e v i d e n t e m e n t e el á n g u l o
avb<aob.
Del mismo modo se h a r í a v e r que los ángulos avd<aod;
dvc<
doc y cvb<cob; s u m a n d o o r d e n a d a m e n t e , y observando que l a r e u n i o n
de todos los á n g u l o s formados alrededor del p u n t o o en el plano abcd
valen c u a t r o rectos, se t e n d r á avb\bvc-\-cve\dva<C\
rectos. O
S E C C I Ó N SEGUNDA.
CUERPOS
GEOMÉTRICOS.
D E LOS TETRAEDROS.
396. Para limitar espacios por superficies planas,
se necesitan al menos cuatro, toda vez que s i con t r e s planos se forma u n
triedro, el espacio que comprenden queda ilimitado en el sentido
opuesto ai vértice, y para l i m i t a r l o en este sentido es necesario y
basta un c u a r t o plano que éorte á las o t r a s t r e s . El cuerpo de esta
manera o r i g i n a d o recibe el nombre de
tetraedro.
Tetráedo es, pues, el cuerpo determinado
por cuatro
planos
(Pig. 132).
Los c u a t r o planos avb, ave, bvc, abe (Fig. 132) que forman el t e traedro, se l l a m a n sus caras; estas c u a t r o c a r a s son t r i á n g u l o s .
397. Se llama base de un t e t r a e d r o , la cara sobre la cual se considera que insiste ó descansa: el vértice opuesto á l a base se llama
vértice del
tetraedro.
Se llama A L T U R A , la perpendicular
bajada desde el vértice al
plano de la base.
94
IGUALDAD DE TETRAEDROS.
398. Dos tetraedros
son iguales si tienen tres caras del uno
iguales á tres caras del otro é igualmente
dispuestas.
Sean los t e t r a e d r o s (Fig. 132) vade y v'a'b'c', t a l e s q u e avb=¡
a'v'b'; bvc=b'v'c'; cva=c'v'á,
y e s t á n i g u a l m e n t e dispuestas.
Es claro que por la hipótesi, los dos t r i e d r o s formados en v y v ,
tienen sus t r e s ángulos planos i g u a l e s , y por t a n t o son i g u a l e s . Luego
si se superpone el t r i e d r o v sobre v', sus t r e s a r i s t a s va, vb, ve,
s e g u i r á n la m i s m a dirección que las va', v'b', v'c'; y por ser iguales
las c a r a s , la avb coincidirá con la a'v'b', la bvc con la b'v'c y la eva
con la c'v'á; luego los a r i s t a s ab, a'b', be, b'c', ca, c'a', t a m b i é n c o i n c i d i r á n , y por t a n t o , los t e t r a e d r o s coinciden.
399. Si dos tetraedros
tienen dos caras iguales
é
igualmente
dispuestas,
é igual el diedro comprendido,
son iguales.
F á c i l m e n t e se d e m u e s t r a la coincidencia en este caso, por s u perposición d i r e c t a .
400. Si dos tetraedros tienen una cara a v b = a ' v'b' é iguales los
tres diedros v a = v ' a ' ; v b = v ' b ' ; a b — a ' b ' adyacentes
é
igualmente
dispuestos
(Fig. 132) son
iguales.
T a m b i é n se d e m u e s t r a por superposición directa.
401. Se llaman tetraedros
semejantes,
los que tienen sus ángulos diedros iguales y sus curas respectivamente
semejantes.
402. Si en un tetraedro se traza un plano paralelo
á la base
el tetraedro parcial que resulta es semejante
al total.
Sea el t e t r a e d r o vabe (Fig. (133) %i se t r a z a el plano a'b'c' p a r a lelo al abe, se t e n d r á d e t e r m i n a d o o t r o t e t r a e d r o va'b'c' que con el p r o puesto t i e n e .
^ *
Los ángulos diedros va=vá;
vb=vb'; vc=vc' por ser c o n t i n u a ción unos de o t r o ^ e s decir, por ser unos mismos. Y los
vabc=va'b'c'
etc., por ser correspondientes e n t r p planos paralelos abe, a'b'c'.
Respecto de la§ c a r a s , se tiene que las l a t e r a l e s váb, va'b' son
semejantes por ser las rectas ab y a'b' p a r a l e l a s (162); y lo mismo se
d i r í a de las demás l a t e r a l e s ; y respecto de las bases abe y a'b'c', t a m bién son semejantes, porque e v i d e n t e m e n t e de la semejanza de las
laterales^-, se deduce que los lados de estos t r i á n g u l o s son proporcionales; luego estos t e t r a e d r o s son s e m e j a n t e s .
, ^
403. Se llaman caras homologas, las opuestas á ángulos
diedros iguales; aristas homologas, las pertenecientes
á diedros
igua-.i
les, y vértices homólogos, los vértices donde concurren- las
aristas
homologas.
s
95
404. Si dos tetraedros
tienen sus ángulos diedros
iguales é
igualmente dispuestos,
son semejantes
( F i g . 133).
Sean los t e t r a e d r o s vade y v'def, tales que los diedros
va=v'd;
vb=v'e;
áb—de. Si p a r t i r del vértice v y sobre la a r i s t a va, se t o ma una p a r t e va'—vd y se t r a z a el plano a'b'c' paralelo al abe. El t e t r a e d r o va'b'c' r e s u l t a n t e será semejente al vabe.
Ahora los dos t e t r a e d r o s va'b'c' y v'def, son iguales porque t i e nen u n a a r i s t a igual por construcción va'—vd,
y todos los diedros
iguales, (pues los v'd, ve, v'fson por hipótesis i g u a l e s á los va, vb,
ve; y los de, y fd iguales á los a'b', b'c y c a , porque son r e s p e c t i v a m e n t e i g u a l e s á los ab, ac, be, los primeros por hipótesis y los s e gundos por correspondientes e n t r e planos p a r a l e l o s ) , y por t a n t o , el
t e t r a e d r o v'def es s e m e j a n t e al vabe.
405. Si dos tetraedros
vabe y vdef tienen una cara
semejante
adyacente á tres diedros iguales, son semejantes.
(Fig. 133)
Sean las c a r a s semejantes las vab y v'de y los t r e s diedros a d y a cente^ va=v'd,
vb=v'e y ab=de.
Haciendo la construcción de el caso a n t e r i o r , los dos t e t r a e d r o s
v'def y va'b'c' t i e n e n u n a c a r a vab'=v'de
(por t r i á n g u l o s que t i e n e n
un lado va'=v'd,
y los dos á n g u l o s adyacentes iguales por p e r t e n e cer á t r i á n g u l o s semejantes por hipótesis); a d e m á s los diedros a d y a centes á estas c a r a s son i g u a l e s , (los v'd y v e i g u a l e s por hipótesis á
los va y vb, y el de—a'b' por ser ambos iguales al ab, u n o por h i p ó t e sis y el otro por correspondientes e n t r e planos paralelos); luego estos
t e t r a e d r o s son i g u a l e s , y por t a n t o , el t e t r á e d o v'def es semejante a l
vabe.
406. Si dos tetraedros
tienen dos caras semejantes
y semejantemente dispuestos,
é igual al diedrg comprendido,
son
semejantes (Fig. 133).
Sean v'de y v'df semejantes á vab y vac é i g u a l e s los diedros va
y v'd
comprendidos.
Repitiendo la construcción hecha a n t e r i o r m e n t e , los dos t e t r a e dros v'def y va'b'c' tienen las dos c a r a s va'b' y va'c' iguales á l a s
v'de y v'efé i g u a l el driedro comprendido; luego son i g u a l e s , ó lo que
es lo mismo, el t e t r a e d r o v'def es semejante al vabe. O
407. Si dos tetraedros
tienen tres caras semejantes
y semejantemente dispuestas,
son semejantes.
i
Sean las t r e s c a r a s semejantes r e s p e c t i v a m e n t e las vab, vac, vbc
á las v'de, v'df y v'af; c o n s t r u y e n d o el t e t r a e d r o va'b'c', se t e n d r á
que éste es igual al v'def por t e n e r t r e s c a r a s va'b', va'c', vb'c' igu.SL\es Has v'de, v'df y v'ef (398). (Estas c a r a s son i g u a l e s , pues por
construcción los va'b' y va'c', v'de y v'df, tienen el lado va'=v'd
y los
y
96
á n g u l o s adyacentes iguales, por p e r t e n e c e r , ó ser iguales, á los de los
t r i á n g u l o s supuestos semejantes; y los v'efy vb'c t a m b i é n i g u a l e s ,
porque d e m o s t r a d a la de los dos a n t e r i o r e s , tienen dos lados iguales
vb' y ve' á los ve y v'fé igual el á n g u l o comprendido por hipótesis).
408. Las líneas homologas de tetraedros
semejantes
son proporcionales
(Fig. 133).
Ante todo se o b s e r v a r á que siempre es posible, dados dos t e t r a e dros semejantes v y v', t i r a r e n el primero u n plano abe' t a l , que
d e t e r m i n e un t e t r a e d r o va'b'c' igual al v . Esto s u p u e s t o , sean los
t e t r a e d r o s vabe y v'def semejantes: c o n s t r u y e n d o el va'b'c' i g u a l
v'def, se t e n d r á que las c a r a s avb ya'vb' son t r i á n g u l o s semejantes y
dan ^j=.— \
t a m b i é n en las c a r a s semejantes bvc y b'vc' se deduce
va
vb
vb _ ve |
va _ vb __ ve _
^
vb' "ve' '
° va'
vb
ve'
Si se bajan las a l t u r a s vo y vo', desde vértices homólogos á
las bases homologas, como los planos de estas bases son paralelos,
q u e d a r á n la va y vo' divididas por los dos planos paralelos, en p a r t e s
j
va
vo .
,
•
proporcionales; es decir, que — = — r i luego á causa de la p a r t e cova
vo
T
m
u e o > 0
r
m u n - ^ : de e s t a i g u a l d a d con la a n t e r i o r , se t e n d r á ' ^ ^ = - ^ = . . . =
va
va
vb
be
vo
b'c'
vo'""
409. Las áreas de las caras homologas de tetraedros
semejantes, tienen la misma relación que los cuadrados de sus
aristas
homologas, ó los cuadrados de sus alturas ( F i g . 133).
En efecto, siendo (por ejemplo) las c a r a s avb y a'vb' semejantes,
T
se tiene
r
. ^ , — , . P e r o de la relación e n t r e todas l a s líneas h o a vb
va
va*
vb
be
vo
,
avb
mologas se deduce que
—=—7rr —
TT-TT=——'•>
luego - 7 - 7 7 =
va
vb
be
vo
a vb
va
vo
va
vo 410. Si dos tetraedros
tienen igual altura,
las áreas de las
secciones hechas á igual distancia del vértice paralelamente
á sus
bases, están en la misma relación que estas bases F i g . (134).
Sean vabe y v'a'b'c' dos t e t r a e d r o s de igual a l t u r a , c u y a s bases
abe y a'b'c' e s t á n en un mismo plano: sean def y d'e'f
dos secciones
paralelas y á i g u a l d i s t a n c i a de las bases. Si desde los vértices v y v
se bajan las a l t u r a s vo y v'o' como por hipótesis vo=v'o'; y por c o n s t r u c c i ó n los planos def y d'e'f,, se h a n t r a z a d o á la m i s m a a l t u r a ,
a
V
V a
a 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
97
será vg=v'g';
siendo semejantes los t e t r a e d r o s vabe y vdef, se tiene
abe'. def\\ vo vg ; pero t a m b i é n los t e t r a e d r o s semejantes
v'a'b'c'
y v'd'e' f dan a'b'c''. d'e'f
v'o'~'. v'g' ; y como los segundos
miembros son i g u a l e s , se tiene abe', a'b'c''.'. dfe\
d'fe'.
411. Si las bases de dos tetraedros de igual' altara son
equivalentes, las secciones equidistantes
de las bases y paralelas
á ella
también son
equivalentes.
En efecto, (Fig. 134) si se supone que abe—a' b' c', la relación
abe', a'b'c"'=1;
luego
def—d'e'f.
412. Se llama tronco de tetraedro,
la parte comprendida
entre
la base y un plano paralelo á ella.
413. Se dá el n o m b r e de tetraedro regular, á aquel c u y a s c a r a s
son t r i á n g u l o s e q u i l á t e r o s . Es claro que de la i g u a l d a d de t o d a s las
aristas de este cuerpo, se deduce la de sus á n g u l o s planos, y de aquí
la de sus diedros, y por t a n t o , se le dá el nombre de r e g u l a r .
414. Todos los tetraedros
regulares son
semejantes.
2
2
%
CAPÍTULO
V.
PIRÁMIDES.
415. Se llama pirámide,
el cuerpo que tiene por base un polígono cualquiera y sus caras son triángulos
que se reúnen en un
punto que se Varna vértice de la
pirámide.
Las pirámides t o m a n el nombre del n ú m e r o de lados que t i e n e su
base: así se l l a m a n pirámides triangulares
(que no son o t r a cosa que
el t e t r a e d r o ) , cuadran guiares, pentagonales,
etc., según que su base
sea un triángulo,
cuadrilátero,
pentágono,
etc.
Las pirámides
se leen, poniendo primero la letra del vértice
y
después las de la base.
416. Si por u n o de los vértices de la base de u n a p i r á m i d e se
tiran diagonales, y por la a r i s t a correspondiente á este v é r t i c e y cada
diagonal se hace p a s a r u n plano, es evidente que la p i r á m i d e q u e dará descompuesta en tetráerlos, y éstos serán en n ú m e r o de (n—2),
si n indica el n ú m e r o de los lados de su base.
Se llaman P L A N O S D I A G O N A L E S , los que pasan por una arista
lateral y una de las diagonales
de la base de la
pirámide.
417. Si dos pirámides
tienen sus bases y dos caras
laterales
contiguas iguales ó igualmente
dispuestas,
son iguales (Fig. 135).
98
Sean vabcde y v'a'b c'd'e dos p i r á m i d e s tales que la base abcde=
a'b'c'd'e y las dos c a r a s c o n t i g u a s avb y bvc son iguales á las a'v'b'
y b'v'c'.
Si se t r a z a n los planos diagonales ave y a'v'c', como los t r i á n gulos abe y a'b'c' son iguales, por la hipótesi de que las bases abede y
a'b'c d'e son iguales; los t e t r a e d r o s vabe y v a'b'c s e r á n iguales
(398). Esto demostrado, si se i m a g i n a que las bases de e s t a pirámides
se h a n hecho coincidir, es cíaro que los t r i á n g u l o s abe y a'b'c' y los
t e t r a e d r o s vabe y v a'b'c' t a m b i é n coincidirán por ser i g u a l e s : luego
los vértices v y v coinciden y los a, b, c,d,ey
a', b', c , d', e ; es decir, que las pirámides coinciden.
418. Se llaman pirámides
semejantes,
las que tienen sus diedros iguales y semejantes
sus caras.
419. Si en una pirámide
se tira un plano paralelo á la base, la
pirámide parcial que resulta es semejante á la propuesta.
(Fig. 135)
En efecto, sea va"b"c"d"e" la p i r á m i d e d e t e r m i n a d a en la vabcde,
por el plano a"b"c"d' e", paralelo á la base abede, se t e n d r á que los
diedros formados sobre las a r i s t a s l a t e r a l e s , (es decir, los va" y va,
vb" y vb, etc.) son unos mismos; y los formados por las bases y los
planos l a t e r a l e s (es decir, los va"b"d" y vabd, vb"c e" y vbce, etc.),
t a m b i é n son iguales por correspondientes e n t r e planos paralelos.
Luego estas p i r á m i d e s tienen sus diedros i g u a l e s .
Respecto de sus c a r a s , las l a t e r a l e s son semejantes, por que det e r m i n á n d o s e los t r i á n g u l o s va b", va"b", e t c . , por las intersecciones
del plano a' b"c"d"e", paralelo á la base abede con las c a r a s laterales,
p r e c i s a m e n t e estas intersecciones son r e c t a s p a r a l e l a s ; es decir, que
a"b", b"c", etc., son p a r a l e l a s á las ab,bc, etc.; iuego los triángulos
así determinados va"b" y vab, vb"c" y vbc, etc., son semejantes. Respecto de las bases a"b"c"d"e" y abede, t i e n e n sus lados paralelos, y en
el mismo sentido, y por t a n t o , sus ángulos iguales (358); además, como, por la semejanza de l a s c a r a s l a t e r a l e s se tiene la serie de razones
iguales ab\ a"b"\ '. bc\ b"c"
de'. d"e", las bases abede y a"b"c"d"e
son semejantes.
420." Las secciones hechas en una pirámide por planos
paralelos á su base, son polígonos semejantes
áesta base (Fig. 135). Con
c u a l q u i e r a sección p a r a l e l a á la base abede se puede r e p e t i r la demost r a c i ó n que se h a hecho respecto de la a"b"c"d"e"..
421. Las aristas ó alturas homologas de pirámides
semejantes, son
proporcionales.
En efecto, ( F i g 135) la semejanza de las c a r a s homologas dá una
serie de razones iguales ab\ a"b"'. \ va'. v"a , y si se t r a z a n las altur a s vo y vo", haciendo por la a r i s t a va y la a l t u r a p a s a r u n plano, se
r
,!
v
l
11
n
99
d e t e r m i n a r á n dos t r i á n g u l o s vao y va"o" s e m e j a n t e s , y que dan
va', va"'.', vo'. vo"; luego ab'. a"b"\ \ va\ va".
422. Se llaman pirámides
regulares,
aquellas cuyas bases son
polígonos regulares,
y cuyos triángulos
laterales son todos
isósceles é iguales.
423. La altura de uno de los triángulos laterales se llama apotegma de la
pirámide.
424. En una pirámide
regular, la altura cae en el dentro de la
base (Fig 135). P u e s siendo las a r i s t a s de la pirámide i g u a l e s , el pió
de la perpendicular bajada desde v, sobre el plano de la base, e q u i d i s t a r á de los puntos a,b,c,d,e, pies d é l a s oblicuas i g u a l e s ; (355) luego
precisamente p a s a r á por el c e n t r o del polígono r e g u l a r abcde.
425. Dado un tronco de pirámide
regular hallar las
alturas
de la total y deficiente.
Sea el tronco dado a"c ( F i g . 135): si se supone completa la p i r á mide, se t e n d r á bajando la a l t u r a vo, y haciendo pasar por ella y la
arista va u n plano, que vo\ vo"'.'. oa'. o"a" ó sea
vo—vo"=oo"'.vo'.'.
oa—o"a"\ oa y t a m b i é n oo"\ vo"\\ oa—o"a"\ o"a", la p r i m e r a dá
oo"Xoa
,
,
oo"Xo"a"
vo—
-rnr y la segunda vo"—
h—tt-.
oa—o"a"
oa—o"a"
C A P Í T U L O VI.
PRISMAS.
426. Se llama prisma el cuerpo en que dos de sus caras son
polígonos iguales y paralelos y las demás son
paralelógramos.
Estas dos c a r a s paralelas se l l a m a n bases del prisma: las o t r a s
que siempre son p a r a l e l ó g r a m o s , se l l a m a n c a r a s
laterales.
Altura de un prisma, es la perpendicular
bajada desde una de
las bases al plano de la otra.
427. De la definición dada de prisma, se deduce que las
aristas
laterales son todas
iguales.
En efecto; siendo paralelas de dos en dos, son todas p a r a l e l a s e n tre sí: a d e m á s están comprendidas e n t r e planos paralelos, que son l a s
dos bases; luego son iguales (374).
428. Los prismas
toman el nombre del número de lados que
tiene el polígono de su base: así se l l a m a n prismas
triangulares,
cuadrangulares,
pentagonales,
etc., según que su base sea u n t r i á n gulo, c u a d r i l á t e r o , p e n t á g o n o , e t c .
100
429. Los prismas suelen leerse- con dos l e t r a s de vértices o p u e s tos en las dos bases: así se dice el prisma ai ó el prisma ai' ( F i g . 136).
430. Si dos prismas tienen las bases y una de las caras
laterales iguales, é igualmente
dispuestas,
y formando ángulo
diedro
igual, son iguales {Fig. 136).
En efecto, colocando el prisma ai sobre el a'i' de niodo que sus
bases abede y áb'c'd'e' coinciden, lo cual se verificará por ser i g u a les; la c a r a abfg s e g u i r á la dirección áb'fg',
por formar ángulos
diedros iguales con estas bases; y por ser iguales estas c a r a s , los v é r tices fy g coincidirán con f y g': a h o r a bien; las a r i s t a s l a t e r a l e s
son todas paralelas á éstas que han coincidido, y p a r t e n de los v é r t i ces de las bases que coincidieron, precisamente s e g u i r á n la misma dirección u n a s que o t r a s ; y a d e m á s , como son i g u a l e s , sus e x t r e m o s
h, i, h, coincidirán con los ti, i', ti; todos los vértices h a n coincidido,
luego los p r i m a s coinciden.
431. Toda sección hecha en un prisma por un plano paralelo
á
las bases, es un polígono igual á estas bases (Fig. 136).
En efecto; la sección mnopq y u n a c u a l q u i e r a de sus bases, t i e nen sus lados paralelos, (373) y por t a n t o , iguales (374), y además,
sus ángulos iguales; (358) luego son i g u a l e s .
432. Se llama prisma recto, aquel cuyas aristas laterales
son
perpendiculares
á los planos de sus bases, y oblicuo en el caso contrario.
433. Las caras laterales de un prisma recto son
rectángulos.
En efecto, siendo las a r i s t a s perpendiculares á las bases, lo son
á las r e c t a s que pasan por sus pies en e s t a s bases; luego las c a r a s l a t e r a l e s son r e c t á n g u l o s .
434. La, altura
de un prisma
recto es igual á una de las
aristas.
435. Dos prismas
rectos son iguales, si tienen igual base é
igual
altura.
436. Se Varna prisma, regular, al que, además de ser
recto,
tiene por base un polígono
regular.
437. Se llama sección recta de un prisma oblicuo, la
determinada en su superficie por un plano perpendicular
á las
aristas.
438. Se llama prisma troncado ó tronco de prisma, á el cuerpo
que resulta cortando todas las aristas de mi prisma, por un plano
que no es paralelo á la base.
439. Todo prisma puede descomponerse
en prismas
triangulares y en tantos como lados tiene el polígono de su base, menos dos,
(Fig. 136).
En efecto, si por u n a de las a r i s t a s fa, y por las diagonales tiradas
L01
desde el vértice a de la base, se hacen pasar planos, los cuerpos en que
queda descompuesto el prisma p r i m i t i v o t e n d r á n por bases los t r i á n gulos iguales abe y glif, etc., en que se descomponen las dos bases, y
por c a r a s l a t e r a l e s p a r a l e l ó g r a m o s , (pues el plano afhc t i e n e sus l a dos paralelos dos á dos). Estos cuerpos son, p o r t a n t e , (420) p r i s m a s
triangulares. l x
X
C A P I T U L O VII.
ILT^LOS^PARALELEPÍPEDOS.
440. Los prismas cuadrangulares
cuyas bases son
paralelógramos, se llaman paralelepípedos.
En un paralelepípedo,
por tanto, sus seis caras son
paralelógramos.
Los paralelepípedos
gozan de todas las propiedades de los p r i s mas, y además de las suyas peculiares siguientes:
441. Las caras opuestas de un paralelepípedo,
son iguales y
paralelas.
En efecto; ( F i g . 137) sean dos c a r a s opuestas aelicl y begf de l a s
cuales se vá á d e m o s t r a r que son iguales y p a r a l e l a s ; en efecto, la
a r i s t a ae es igual y p a r a l e l a á bf, por lados opuestos del p a r a l e l ó gramo abfe: t a m b i é n la ad i g u a l y paralela á la be, por lados opuest o s del p a r a l e l ó g r a m o abcd y el á n g u l o dae de las dos p r i m e r a s , i g u a l
al fbc de las dos segundas (358); luego los p a r a l e l ó g r a m o s adhe y
befg son i g u a l e s (134) y sus planos paralelos.
442. Siendo todas las c a r a s de un paralelepípedo p a r a l e l ó g r a mos, dos c u a l e s q u i e r a de ellas o p u e s t a s pueden ser t o m a d a s como
bases: la altura es entonces la p e r p e n d i c u l a r común á estas bases.
443. Se l l a m a n vértices
opuestos en los paralelepípedos, dos
que no estén en la misma c a r a ; t a l e s son.los a y g ó los li y b, etc.
En cada v é r t i c e del paralelepípedo se r e ú n e n t r e s planos y forman, por t a n t o , u n t r i e d r o .
Se l l a m a n diagonales
de un paralelepípedo,
las recias que unen
dos vértices opmcstos. Así la r e c t a ec es u n a diagonal ( F i g . 137).
444. El plano que pasa por dos diagonales de un
paralelepípedo, se llama, P L A N O D I A G O N A L .
Todo plano diagonal aege divide e v i d e n t e m e n t e al paralelepípedo en dos prismas t r i a n g u l a r e s arlchge y abenfg.
445. Se llama paralelepípedo
rectángulo,
el que además de ser
recto su base es un
rectángulo.
•ao2
446. En todo paralelepípedo
rectangular,
el cuadrado de una
diagonal es igual á la suma de los cuadrados
de las tres
aristas
que parten de uno de sus vértices (Fig. 137).
En efecto, sea ec u n a diagonal haciendo pasar u n plano por la
a r i s t a ea y la diagonal ec, s u intersección con la c a r a abcd será u n a
diagonal ac. Ahora bien; por ser la a r i s t a ea perpendicular á esta
c a r a , lo será á la ac que pasa por su pié en el plano; luego el t r i á n gulo eac es r e c t á n g u l o y dá por el t e o r e m a de P i t á g o r a s ec —ae
\ac .
Pero el t r i á n g u l o cba e v i d e d e n t e m e n t e es r e c t á n g u l o y por el
mismo t e o r e m a se tiene ac ~bc -\-ab
y observando que bc=ad; se
t e n d r á en fin,
ec —aé \ab -\-ad .
447. Se llama cubo, al paralelepípedo
recto rectangular,
cuyas
seis caras son cuadrados.
^
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
\
\
C A P Í T U L O VIII.
D E LOS POLIEDROS EN GENERAL.
448. Se llama poliedro en general, á todo cuerpo
terminado
por superficies
planas.
E s t a s superficies se l l a m a n caras del poliedro.
449. Los poliedros se dividen
en cóncavos
y convexos:
los
primeros
son aquellos en que una recta encuentra
á su
superficie
en más de dos puntos, y convexos los que no puede encontrarla
más
que en dos puntos.
450. Las rectas que determinan
las caras del poliedro, se llaman A R I S T A S ; los puntos donde concurren
y terminan
las
aristas
V É R T I C E S . Las rectas que unen dos vértices
que no están en una
misma cara, D I A G O N A L E S . LOS planos que pasan por tres
vértices
que no están en la misma cara, P L A N O S D I A G O N A L E S .
451. Todo poliedro puede descomponerse
en
pirámides.
En efecto, si se considera u n p u n t o i n t e r i o r del c u a l q u i e r poliedro, y desde este p u n t o r e c t a s á los vértices, es evidente q u e concibiendo planos por cada dos de e s t a s r e c t a s y el p u n t o i n t e r i o r , quedar á descompuesto el poliedro en pirámides c u y a s bases son las c a r a s
del poliedro y cuyo vértice común es el p u n t o i n t e r i o r .
La misma descomposición puede hacerse eligiendo otro c u a l q u i e r
p u n t o del poliedro.
452. Un poliedro puede siempre descomponerse
en
tetraedros.
En efecto, demostrado que puede descomponerse en p i r á m i d e s , co-
103
mo estas á su vez se descomponen en t e t r a e d r o s (416), es evidente q u e
un poliedro puede descomponerse en t e t r a e d r o s .
453. Se llaman poliedros iguales, los que tienen todas sus caras iguales é igualmente
dispuestas é iguales los diedros
comprendidos.
454. Dos poliedros son iguales si se pueden descomponer
en
el mismo número de pirámides
iguales é igualmente
dispuestas.
En efecto, haciendo coincidir dos c u a l e s q u i e r a de estas p i r á m i des i g u a l e s , las adyacentes e v i d e n t e m e n t e t e n d r á n confundidas u n a
de sus c a r a s , y como por el supuesto son iguales y e s t á n i g u a l m e n t e
dispuestas, coincidirán en toda su e x t e n s i ó n . Lo mismo acontecerá
con las adyacentes á e s t a s p r i m e r a s , y así sucesivamente con todas
las pirámides de que se componen ambos poliedros; luego éstos coinciden y coincidiendo es e v i d e n t e que sus c a r a s son iguales lo mismo
que sus diedros.
A n á l o g a m e n t e , dos poliedros son iguales si se pueden
descomponer en igual número de tetraedros iguales é igualmente
dispuesto?. Esto es u n a consecuencia de lo a n t e r i o r .
455. Dos poliedros iguales pueden descomponerse
en el mismo número de pirámides
iguales é igualmente
dispuestas.
La d e mostración es fácil de h a c e r , comparando pirámide á p i r á m i d e .
D E LOS POLIEDROS REGULARES.
456. Se llaman poliedros regulares,
los que sus caras son polígonos regulares
iguales entre sí, y cuyos ángulos sólidos
son
también iguales y están formados por igual número de
aristas.
457. Los poliedros regalares
son cinco. En efecto, p a r a form a r á n g u l o sólido, se necesitan al menos t r e s ángulos planos (379).
Además, el valor de estos á n g u l o s planos no puede llegar á c u a t r o
rectos (396): uniendo estas condiciones con las de la definición de p o liedro r e g u l a r , se tiene: 1.° que r e u n i e n d o tres ángulos del t r i á n g u lo e q u i l á t e r o en cada v é r t i c e , se puede formar un poliedro que t e n g a
c u a t r o c a r a s y se llama tetraedro regular,
porque los t r e s á n g u l o s
de cada v é r t i c e valen 2 rectos y e s t á n por t a n t o d e n t r o de l a s c o n d i ciones e n u n c i a d a s .
2.° Con c u a t r o ángulos de t r i á n g u l o e q u i l á t e r o en cada v é r t i c e
8
(cuyo valor es - de recto), se forma u n poliedro convexo r e g u l a r de
3
8 caras, que se l l a m a octaedro
regular.
104
8.°
Con cinco ángulos de t r i á n g u l o e q u i l á t e r o en cada
vértice
(su v a l o r — de recto), se forma un poliedro r e g u l a r de 20 c a r a s l i a mado icosaedro
regular.
Con más de cinco ángulos de t r i á n g u l o e q u i l á t e r o en cada v é r t i ce, no se puede puede formar á n g u l o sólido, pues el valor de seis ya
12
es — de r e c t o .
3
4.° Con t r e s á n g u l o s de c u a d r a d o en cada v é r t i c e (su valor de 3
rectos), se forma u n poliedro r e g u l a r de seis c a r a s que se l l a m a exáedro ó cubo.
Con m á s de t r e s ángulos de c u a d r a d o , no se puede e v i d e n t e m e n t e
f o r m a r á n g u l o sólido.
5.° Con t r e s ángulos de pentágono r e g u l a r en cada vértice (su
18
valor — de recto), se forma u n poliedro r e g u l a r de 1 2 c a r a s , llamado
dodecaedro
regular.
Con m á s de t r e s ángulos de pentágono r e g u l a r no se puede form a r á n g u l o sólido.
No hay más órdenes de poliedros regulares
que éstos.
En efecto; siendo el valor de u n á n g u l o de u n polígono r e g u l a r
a—2r
, es claro q u e si n a u m e n t a , el valor de a a u m e n t a t a m n
bien. Ahora bien; como t r e s ángulos de exágono r e g u l a r , c u y o valor
es c u a t r o rectos, son demasiado g r a n d e s p a r a poder formar á n g u l o
sólido, es e v i d e n t e que con m a y o r razón será imposible con t r e s de
eptágono de octógono... e t c . r e g u l a r . Luego no puede c u m p l i r s e con
la definición de poliedro r e g u l a r y las dos condiciones de existencia
de ángulo sólido, sino en los cinco casos explicados, "gi
C A P Í T U L O IX.
SEMEJANZA DE POLIEDROS.
458. Los poliedros
se llaman semejantes,
cuando
cumplen
con las dos condiciones
de igualdad de diedros y semejanza
de
sus caras homologas, suponiendo
además que sus elementos
están
igualmente
dispuestos.
459. Los elementos homólogos en poliedros semejantes
(caras,
aristas, vértices, diagonales,
ángulos diedros, ángulos
poliedros,
etc.), son los que están semejantemente
dispuestos.
105
460. Se llama razón de semejanza,
la constante que existe entre todos estos elementos homólogos
respectivamente.
Dos poliedros semejantes pueden descomponerse
en igual
número de tetraedros semejantes
y semejantemente
dispuestos,
sien^
do igual la razón de semejanza
(Fig. 138).
Sean los dos poliedros abc....lm y a'b'c' ....l'm' que se suponen s e mejantes; dividiéndolos en t e t r a e d r o s de u n modo análogo, y s u p o niendo que sean dos s e m e j a n t e m e n t e dispuestos de estos t e t r a e d r o s
componentes, abcl y a'b'c l', éstos serán semejantes por t e n e r un á n gulo t r i e d r o en b igual al b', los cuales son iguales por ser á n g u l o s
homólogos de poliedros semejantes.
Separando estos dos t e t r a e d r o s , los poliedros que queden t e n d r á n
las condiciones de la definición (458), pues como los diedros que se le
han q u i t a d o al s e p a r a r los dos t e t r a e d r o s semejantes, son iguales, y
los de los poliedros p r i m i t i v o s t a m b i é n son i g u a l e s , los restos son
iguales: lo mismo se d i r á respecto de la semejanza de l a s c a r a s ; luego
el poliedro que queda, s e p a r a n d o estos dos t e t r a e d r o s , tienen sus d i e dros iguales y sus c a r a s semejantes. Esto supuesto, considerando
otros dos t e t r a e d r o s de los nuevos poliedros, se vería que t a m b i é n son
semejantes, y separándolos á su vez, los poliedros restos, serian t a m bién semejantes. Continuando así, es claro que se llegará á el ú l t i m o
t e t r a e d r o de ambos poliedros, que serán semejantes. Luego q u e d a
demostrada la p r i m e r a p a r t e .
Respecto de la razón de semejanza, como todos los t e t r á e d o s se
ligan r e s p e c t i v a m e n t e en ambos poliedros por u n a c a r a común,. todos
tienen la misma razón de semejanza.
461. Dos poliedros
compuestos
de igual número de
tetraedros semejantes y semejantemente
dispuestos, son
semejantes.
En efecto: 1.° Si se consideran dos c a r a s homologas, de ambos
poliedros, no se pueden p r e s e n t a r m á s que dos casos, ó estas c a r a s
pertenecen í n t e g r a s á dos de los t e t r a e d r o s semejantes, en ,cuyo caso
son semejantes; ó se componen de i g u a l n ú m e r o de t r i á n g u l o s semejantes y s e m e j a n t e m e n t e dispuestos, á los de que se compone s u
homologa en el o t r o poliedro, (pues todos estos t r i á n g u l o s pertenecen
á t e t r a e d r o s semejantes) y en este caso t a m b i é n son semejantes.
Se vé, pues, que los dos poliedros tienen todas sus c a r a s h o m o l o gas semejantes.
2.° Respecto de sus á n g u l o s diedros homólogos, todos s e r á n
iguales, ya por pertenecer íntegros á t e t r a e d r o s semejantes, ya por
componerse de i g u a l n ú m e r o de diedros i g u a l e s , por ser homólogos
de t e t r a e d r o s semejantes. Luego los diedros de ambos poliedros son
iguales.
GEOMETRÍA.—14
106
462. En dos poliedros
semejantes,
las aristas
y
diagonales
homologas tienen una razón constante de
semejanza.
En efecto; de la semejanza de las c a r a s , r e s u l t a la i g u a l d a d de
relación de sus a r i s t a s , y como cada a r i s t a es común á dos c a r a s , t o das tienen u n a relación c o n s t a n t e de semejanza.
463. Las áreas de las caras homologas de los poliedros
semejantes, están en la misma relación que los cuadrados de sus
aristas
homologas.
P u e s se sabe que las c a r a s tienen la m i s m a relación que sus
a r i s t a s y que las a r i s t a s tienen u n a relación c o n s t a n t e de semejanza.
464. Los poliedros regidares
de la misma especie, son semejantes. Es decir, que todos los t e t r a e d r o s r e g u l a r e s son semejantes
e n t r e sí; todos los octaedros, icosaedros, exáedros, dodecaedros r e g u lares, son r e s p e c t i v a m e n t e semejantes.
CAPÍTULO
X.
D E LAS ÁREAS TOTALES Y PARCIALES DE LOS CUERPOS.
465. El área de la superficie lateral de una pirámide
regular,
es igual á la mitad del producto de su apotegma por el
perímetro
de su base.
En efecto; cada u n a de las caras l a t e r a l e s es un t r i á n g u l o isósceles, y su á r e a , es uno de los lados de la base de esta p i r á m i d e por la
m i t a d de s u a l t u r a .
Así, llamando a, esta a l t u r a ó sea la a p o t e g m a de la p i r á m i d e , y b
á este lado, el á r e a de uno de estos t r i á n g u l o s t e n d r á por e x p r e sión i aXb,: la de todos ellos será la m i s m a ; luego al s u m a r estas
á r e a s se podrá sacar en t o d a s ellas \ a de factor común, y se obtendrá
así por expresión de la superficie l a t e r a l de la pirámide \ a, factor
común de los lados de la base; ó sea del p e r í m e t r o de esta base. Llam a n d o p al p e r í m e t r o , la expresión buscada será \ aXp.
466. El área lateral de un tronco de pirámide
regidar,
es
igual á el producto de la altura de uno de los trapecios
laterales,
por la semisuma
de los perímetros
de sus dos bases.
En efecto, el área-de cado uno de los trapecios l a t e r a l e s es, (11al-i-l'
mando a á su a l t u r a y l y V sus bases) ax
——; luego
s u m a n d o las
á r e a s de todos los trapecios l a t e r a l e s y sacando la a l t u r a de uno de
107
ellos por factor común, se t e n d r á la a l t u r a m u l t i p l i c a d a por los dos
p-i-p'
semiperimetros, o s e a « X — — •
Como el p e r í m e t r o de la sección i n t e r m e d i a del tronco es i g u a l á
p-X-p'
—^—, llamándola p"', se t e n d r á por expresión del á r e a l a t e r a l del
troncó aXp"^P
467. El área de la superficie lateral de un prisma
recto, es
igual á el producto de su altura por él perímetro
de su base.
En efecto; las c a r a s l a t e r a l e s de un prisma recto son r e c t á n g u l o s ,
cuyo área se e x p r e s a por el producto de su base por su a l t u r a ; l l a mando, pues, á la a l t u r a c o m ú n de todos ellos a, que es la misma que
la del prisma, y b b' b"... los lados de la base, que son las bases de
los r e c t á n g u l o s , se t e n d r á por expresión de el á r e a l a t e r a l del p r i s m a ,
a.b-\-a.b'-\-a.b"-\-... =-a(b-\-b'-\-b"-\-...)=a.p
l l a m a n d o p al p e r í m e t r o
de su base.
Si el prisma es oblicuo, s u s c a r a s l a t e r a l e s son p a r a l e l ó g r a m o s ,
y si p a r a e v a l u a r su á r e a se t o m a n como bases las a r i s t a s l a t e r a l e s ,
su a l t u r a respectiva serán los lados de la sección r e c t a (437). Cada
uno, por t a n t o , t e n d r á por expresión de su á r e a u n a a r i s t a l a t e r a l
del prisma por uno de los lados de la sección r e c t a , y como t o d a s l a s
a r i s t a s l a t e r a l e s son i g u a l e s , s u m a n d o estas áreas y sacando la a r i s t a l a t e r a l de factor c o m ú n , se t e n d r á por expresión del á r e a l a t e r a l
del prisma oblicuo (llamando a la a r i s t a l a t e r a l y p el p e r í m e t r o de
la sección r e c t a ) a'Xp'.
468. El área lateral de un prisma
oblicuo es igual á el producto de su arista lateral por el perímetro
de su sección
recta.
469. Las áreas de dos poliedros semejantes
están en la misma relación que los cuadrados de sus líneas
homologas.
Sean dos poliedros c u a l e s q u i e r a semejantes: como e s t a condición
envuelve la de semejanza de s u s c a r a s homologas y proporcionalidad
de sus a r i s t a s homologas si se l l a m a n C, C', C '... las á r e a s de las c a r a s
del p r i m e r poliedro, y A, A', A"..: sus a r i s t a s , c, c , c"... y a, a', a"...
las á r e a s de las c a r a s y las a r i s t a s del segundo poliedro, homologas á
las a n t e r i o r e s , se t e n d r á C*. c'. \ A ; a ; C! c'[\ A' ; a ;C"'. c"\ \ A" ;
a" etc., y como A ' a '.* A' *, a' '.* A" '. a" se t e n d r á G\ c\ G", c\\
c " : c " : a : a} de donde c + c ' + c " + . . . : c + c + c " - f - . . . . : : a ; « : :
A' *, a" e t c .
. A h o r a C-j-C'+C"-|—.. es el á r e a del p r i m e r poliedro, y c-fc'-fc"-}-... la del segundo; luego queda d e m o s t r a d a la proposición.
}
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
%
,
2
2
108
C A P Í T U L O XI.
VOLÚMENES.
que
470. Se flama volumen de un cuerpo, la medida
ocupa.
471. El cuerpo tomado como unidad de volumen,
del
es el
espacio
EXÁE-
DRO R E G U L A R - Ó CUBO.
472. Dos cuerpos se llaman equivalentes
cuando sin ser idénticos tienen el mismo
volumen.
473. Un paralelepípedo
cualquiera ABCDEFGH, puede
convertirse en otro recto abcdefgh, que tenga igual altura y dase
equivalente ( F i g . 139).
Sea u n paralelepípedo c u a l q u i e r a el AG: tomando sobre la a r i s t a
E F y su prolongación dos p u n t o s e y f, tales que su distancia sea
igual á la a r i s t a E F ; y t r a z a n d o por estos p u n t o s dos planos eadli y
fbcg perpendiculares á las a r i s t a s (pues todas son paralelas): quedar á d e t e r m i n a d o un paralelepípedo recto, a g .
Si se consideran las dos porciones ADUFadhe y. BGGFdcgf, se vé
que son dos p r i m a s troncados (pues sus bases no son paralelas), que
tienen su base adhe áe\ uno, i g u a l á la bcgfdel otro (441), y además,
las a r i s t a s respectivas perpendiculares á e s t a s bases, i g u a l e s ; pues
de ef=RF se deduce EF—eF—ef— e¥, ó sea Ee=Ff: del mismo modo
de hg=líG se deduce, r e s t a n d o la p a r t e común /¿G, que Bh—Gg; a n á logamente Dd—Cc y Aa=Bd.
P o r t a n t o , si se hacen coincidir las bases iguales adhe y dcfg de
estos dos troncos, las a r i s t a s s e g u i r á n u n a misma dirección por ser
perpendiculares á estas bases, y a d e m á s , como se h a d e m o s t r a d o que
son iguales, los p u n t o s B, C, G, F , de la o t r a base, coincidirán con los
A, D, H, E, del o t r o tronco: es decir, que ambos troncos Bg y Ah son
iguales.
Ahora bien; si de la figura t o t a l se r e s t a el tronco Bg, queda el
paralelepípedo AG propuesto, y si por o t r a p a r t e , se r e s t a de la misma
figura el tronco Ah, queda un paralelepíredo recto, ag, y es evidente
que los restos de s e p a r a r s u c e s i v a m e n t e p a r t e s iguales de un mismo
cuerpo, son e q u i v a l e n t e s ; luego paralelepípedo AG e q u i v a l e n t e al paralelepípedo recto hg.
F a l t a sólo h a c e r ver que los paralelepípedos e q u i v a l e n t e s AG y
ag tienen base e q u i v a l e n t e á i g u a l a l t u r a ; en efecto: 1.° Sus bases
109
son e q u i v a l e n t e s , pues tomando como base del AG el p a r a l e l o g r a m o
ABCD, y del ag el r e c t á n g u l o abcd, este p a r a l e l o g r a m o y r e c t á n g u l o
tiene la misma base AB—db, é i g u a l a l t u r a . 2.° La a l t u r a de ambos
paralelepípedos, si se t o m a por base la ABCD del uno y abcd del o t r o ,
es la misma, pues ambos tienen la o t r a base EFGH y efgh respectiva,
en u n mismo plano paralelo al p r i m e r o .
N O T A . — H a y que a d v e r t i r que las dos c a r a s adhe y bcgfúel p a r a lelepípedo recto ag, pueden ser p a r a l e l ó g r a m o s .
474. Todo paralelepípedo
recto, cuya base sea un
paralelogramo, puede convertirse
en otro paralelepípedo
recto de base rectangular equivalente y de la misma altura (Fig. 140).
Sea AG un paralelepípedo recto, cuya base es u n p a r a l e l o g r a m o ;
siendo recto, sus a r i s t a s l a t e r a l e s son perpendiculares al plano de su
base; luego si por la a r i s t a HD se hace pasar un plano R~Dea perpendicular á la a r i s t a HG, lo será á sus paralelas DC, AB y E F , é i d é n t i camente el plano GfbC t i r a d o por la Ge p e r p e n d i c u l a r m e n t e á HG, lo
será á sus paralelas las a r i s t a s DC, AB y E F . Estos dos planos d e t e r minan con l a s c a r a s r e c t a n g u l a r e s del paralelepípedo propuesto, un
segundo paralelepípedo EDeafbGG recto r e c t a n g u l a r , que es e q u i v a lente al propuesto, porque los dos cuerpos ka DE eíl y Bb CF /G son
dos prismas t r i a n g u l a r e s rectos que tienen i g u a l base {AaD—BbC,
(AD=BC y aD—bC por paralelas e n t r e paralelas, y el ángulo c o m prendido igual por lados paralelos y vértices dirigidos en el mismo
sentido) é igual a l t u r a (toda vez que sus dos bases e s t á n en dos p l a nos paralelos ABCD y EFGH); luego estos prismas son iguales.
Ahora bien; si de la figura t o t a l se r e s t a el prisma B&CF/G, q u e da el paralelepípedo de base p a r a l e l o g r á m i c a , propuesto AG; y si de
la misma figura total se r e s t a el otro prisma t r i a n g u l a r AaDEeH,
queda el paralelepípedo recto r e c t a n g u l a r aG: luego estos dos p a r a lelepípedos, restos de s e p a r a r cuerpos iguales de un mismo cuerpo,
son e q u i v a l e n t e s .
Falta, sólo h a c e r ver: 1.° Que el paralelogramo base ABCD es
e q u i v a l e n t e al r e c t á n g u l o abCB: pero esto es evidente, pues t i e n e n
igual base CD é igual a l t u r a , toda vez que los otros vértices e s t á n en
la AB paralela á esta base. 2.° Que los dos paralelepípedos tienen
igual a l t u r a , lo cual t a m b i é n es evidente, pues sus bases están sobre
dos planos paralelos, ci
475. Un paralelepípedo
cualquiera es equivalente
á otro recto
rectangular,
de base equivalente
é igual
altura.
En efecto; se ha visto que un paralelepípedo c u a l q u i e r a es e q u i valente á otro recto, y que todo paralelepípedo recto de base p a r a lelográmica es equivalente á otro recto r e c t a n g u l a r ; luego un p a r a l e -
110
lepípedo c u a l q u i e r a es e q u i v a l e n t e á otro recto r e c t a n g u l a r de base
equivalente é igual a l t u r a .
476. Todo prisma triangular
es la mitad de un
paralelepípedo de base doble é igual
altura.
En efecto; (Fig. 137) si por los vértices ayo,
g y e del prisma
t r i a n g u l a r acdegh, se t r a z a n p a r a l e l a s á las a r i s t a s opuestas, q u e d a r á formado el paralelepípedo df, que e v i d e n t e m e n t e consta de dos
prismas t r i a n g u l a r e s : estos son iguales por t e n e r igual base adc—abc
é i g u a l ' a l t u r a ; luego cada uno de ellos es m i t a d del paralelepípedo ag
de doble base é igual a l t u r a .
477. La relación de los volúmenes de dos paralelepípedos
rectos que tienen iguales bases, es la misma
que la de sus
alturas
(Fig. 141).
Sean BG- y bg dos paralelepípedos r e c t á n g u l o s c u y a s bases ABCD
y abcd son iguales: dividiendo sus a l t u r a s BE y be en p a r t e s iguales
y suponiendo que a d m i t a n u n a medida c o m ú n que esté contenida 4
veces en la BE, y 8 en la be, es claro que BE*. be\ \ A\ 8.
Si por los puntos de división se t i r a n planos paralelos á las bases
de ambos paralelepípedos, es evidente que q u e d a r á n divididos respect i v a m e n t e en 4 y 8 paralelepípedos parciales, todos i g u a l e s e n t r e sí,
porque todos tienen i g u a l base é igual a l t u r a y son rectos; por t a n t o ,
si uno de ellos se t o m a como unidad p a r a c o m p a r a r los volúmenes de
los dos paralelepípedos propuestos, e v i d e n t e m e n t e se t e n d r á BG¡
bg\ 41 8,
Si las a l t u r a s fuesen incomensurables, (siguiendo el mismo m é todo que en las proposiciones a n á l o g a s n ú m s . (158, 188, etc.), es decir, t o m a n d o cada vez más pequeña la unidad lineal con que se m i den las a l t u r a s ) , la relación incomensurable de ambos paralelepípedos y la de sus a l t u r a s , son los límites de u n a serie de relaciones c o m e n s u r a b l e s iguales en todos los estados de m a g n i t u d en que se cons i d e r a n , y por t a n t o ( A r i t m é t i c a 263) estos l í m i t e s son i g u a l e s .
Este t e o r e m a se puede e n u n c i a r .
La relación de los volúmenes de dos paralelepípedos
rectángulos, que tienen dos dimensiones
comunes, es igual á la de su tercera dimensión,
p o r q u e , en efecto, si dos paralelepípedos rectángulos
t i e n e n base i g u a l , tienen dos dimensiones c o m u n e s , pues si el p a r a l e lepípedo es r e c t á n g u l o , las t r e s a r i s t a s que concurren en cada vértice
miden sus t r e s dimensiones, de l a s q u e dos pertenecen siempre á la
c a r a que se tome por base.
• '
478. La relación de los volúmenes de dos paralelepípedos
rectángulos que tienen una dimensión
común é. igual á la de los productos de sus otras dos
dimensiones.
111
En electo, llamando P y P ' los volúmenes de dos paralelepípedos
rectángulos c u a l e s q u i e r a ; a,b c, las dimensiones del p r i m e r o y a,b ,c
las del segundo; siempre será posible c o n s t r u i r u n t e r c e r p a r a l e l e p í do P " que t e n g a dos dimensiones del u n o y la t e r c e r a del o t r o de los
propuestos; es decir, a, b,e .
Esto s u p u e s t o , por el t e o r e m a a n t e r i o r se tiene P*.
c\ c' y
también P " ; P ' ; ; b\ b'. De donde m u l t i p l i c a n d o o r d e n a d a m e n t e y s u primiendo el factor común P " de la p r i m e r a razón, r e s u l t a P*. P';*.
cXK c'Xb'.
•
479. La relación de los volúmenes de dos paralelepípedos
rectángulos que no tienen dimensión común, es igual á la de los productos de sus tres
dimensiones.
Sea P el volumen de u n paralelepípedo r e c t á n g u l o c u y a s d i m e n siones sean a,b,c. Sea P' el d e o t r o cuyas dimensiones son <z',¿/,c\ Sea
un t e r c e r paralelepípedo r e c t á n g u l o de v o l u m e n P " y de dimensiones
a> b', c', (es decir, dos comunes con las del u n o , y u n a con las del otro)
se t e n d r á e n t r e P y P " , P*. P " : : bXc\ b'Xc' y e n t r e P ' y P " que P " ;
P'** a\ a' multiplicando y reduciendo r e s u l t a P | P.'*-*
aXbXC.
a'Xb'Xc'.
480. El volumen de un paralelepípedo
es igual al produelo
de
sus tres
dimensiones.
En efecto, sea P , el v o l u m e n de un paralelepípido r e c t á n g u l o y
sus dimensiones a, b, c. Sea C el de u n cubo cuyo lado es l, se t e n d r á
. .
P
aXbXc
la relación — =
^
.
C
r
Pero si el cubo r e p r e s e n t a d o por C, se toma por unidad de v o l u men y su a r i s t a l, por unidad lineal p a r a e v a l u a r las a r i s t a s a, b, c
del paralelepípedo P. El primer miembro de la relación a n t e r i o r es lo
que se ha definido por volumen de u n cuerpo (470), y como l vale 1,
respecto de las dimensiones de P , será volumen de
P=aXbXc.
Lo mismo se entiende demostrado para los paralelepípedos que
no sean r e c t á n g u l o s , toda vez que son e q u i v a l e n t e s á los de esta e s pecie con a l t u r a y base e q u i v a l e n t e s .
481. El volumen de un prisma cualquiera,
es igual al producto de su base por su altura.
Considerando primero u n p r i s m a t r i a n g u l a r c u a l q u i e r a : Se h a
demostrado que es la mitad de u n paralelepípedo de doble base é i g u a l
a l t u r a . Luego su volumen será la mitad del volumen de ese p a r a l e l e pípedo: a h o r a bien, u n paralelepípedo c u a l q u i e r a tiene por expresión
de su volumen, el producto de su base por su a l t u r a ; la m i t a d s e r á
la mitad de su base, que es j u s t a m e n t e la del p r i s m a t r i a n g u l a r por
su a l t u r a .
s
y
112
Considerando a h o r a u n p r i s m a poligonal c u a l q u i e r a , si se descompone en prismas t r i a n g u l a r e s , t r a z a n d o diagonales en su base y
planos por éstas y u n a a r i s t a , es evidente que el volumen del prisma
poligonal propuesto, es e q u i v a l e n t e á la s u m a de los volúmenes de
todos estos prismas t r i a n g u l a r e s en que se ha descompuesto, y l l a mando A á su a l t u r a , y b,b',b,".... los áreas de los t r i á n g u l o s en que
se descompone el polígono base del p r i m i t i v o , se t e n d r á (observando
que los volúmenes de los prismas parciales tienen por expresión
AX¿V AX&'.... y que b-\-b'-{-b"-\-.... es igual á el á r e a de la base B, del
prisma propuesto). Volumen del prisma = A X B .
Dos prismas de base equivalente
é igual altura, son
equivalentes, fc? / L
VOLÚMENES DE LAS PIRÁMIDES.
482. Dos tetraedros
de base equivalente
é igual altura,
son
equivalentes
(Fig. 142).
Sean VABC y V A ' B ' C dos t e t á e d r o s , c u y a s bases ABC y A'B'C'
tienen igual á r e a y c u y a a l t u r a es la m i s m a .
Colocados ambos t e t r a e d r o s sobre un mismo plano horizontal
T X , es claro que sus vértices v e n d r á n sobre u n a misma línea recta
W , paralela á el plano TX, cuya distancia YY' á este plano, r e p r e s e n t a r á la a l t u r a común á ambos t e t r a e d r o s .
Dividiendo esta a l t u r a común en partes iguales (por ejemplo en
4), y t r a z a n d o planos por los p u n t o s de división paralelos á el TX; det e r m i n a r á n en los dos t e t r a e d r o s las secciones DEF y D ' E ' F ' ; GHJ y
y G-'H'J'; LMN y L ' M ' N ' , que serán equivalentes (411). Ahora t r a zando por los lados F E , J H , NM, planos EK, IIP, MR, paralelos á la
a r i s t a VA, y por los lados F ' E ' , J ' H ' , N ' M ' , planos E ' K ' , H ' P ' , M'R*,
paralelos á la a r i s t a V'A', q u e d a r á n formadas dos series de prismas,
t a l e s que los inscritos en el t e t r a e d r o VABC serán uno á u n o , e q u i valentes á los inscritos en el t e t r a e d r o V A ' B ' C " , pues r e s p e c t i v a m e n t e tienen base e q u i v a l e n t e é i g u a l a l t u r a . L u e g o la s u m a de los
prismas inscritos de este modo en el p r i m e r t e t r a e d r o , es e q u i v a l e n t e á la s u m a de los inscritos en el segundo.
Si la alt-ura común YY', se divide en doble t r i p l e , c u á d r u p l e ,
etc, . n ú m e r o de p a r t e s , y se c o n s t r u y e n prismas inscritos en
ambos t e t r a e d r o s , es evidente que el n ú m e r o de prismas inscritos ser á doble, t r i p l e , c u á d r u p l e , etc. Pero la s u m a de los prismas i n s c r i t o s en el t e t r a e d r o VABC, siempre será i g u a l á la s u m a de los inscri-
113
tos en el V A'B'C, y estas s u m a s variables son c o n s t a n t e m e n t e i g u a les, c u a l q u i e r a que sea el n ú m e r o de p a r t e s en que se h a y a dividido
la a l t u r a YY'. Luego en el límite, c u a n d o la a l t u r a se considere d i v i dida en infinito n ú m e r o de p a r t e s , t a m b i é n estas s u m a s son i g u a l e s .
Pero estos límites respectivos son los dos t e t r a e d r o s propuestos; l u e go estos t e t r a e d r o s son e q u i v a l e n t e s . 3
483. El volumen de un tetraedro es igual al tercio del producto de su altura por su base ( F i g . 143).
En efecto, sea VABC un t e t r a e d r o c u a l q u i e r a : si por los vértices
A y C se t r a z a n p a r a l e l a s á la a r i s t a VB y por'V Un plano DVE, p a ralelo á la base ABC, queda formado u n prisma t r i a n g u l a r VDEABC;
Ahora bien; si en este p r i s m a se t r a z a por los t r e s vértices D, Y¡,
y C un plano, q u e d a r á descompuesto en los t r e s t e t r a e d r o s VABC,
VADC y VDCE, los cuales son e q u i v a l e n t e s .
Porque si se t o m a por v é r t i c e del VDEC el p u n t o C, se t e n d r á el
t e t r a e d r o CDVE, el cual es e q u i v a l e n t e al VABC, por t e n e r i g u a l b a se é igual a l t u r a , que es la del p r i s m a .
T a m b i é n VDCE es e q u i v a l e n t e a l VDAC, p ü e s l a s b a s e s DEC y ADC
son iguales, y a d e m á s , por e s t a r estas bases en un mismo plano y
t e n e r el v é r t i c e V común, la a l t u r a es i g u a l . Así, VDCE=VDAC.
Luego V A B C = V A D C = V D C E . Es decir, que el t e t r a e d r o propuesto es
la t e r c e r a p a r t e del p r i s m a ABCDVE, de igual base ABC, que el t e *
tráedro, é igual altura.
Demostrado esto, es e v i d e n t e que si la expresión del v o l u m e n del
prisma es, su base ABC, por su a l t u r a (que se llama a ) , la del t e t r a e d r o
será un tercio de su base ABC, por su a l t u r a a, ó sea, l l a m a n d o B á
la base; volumen de T—~aXB.
)Q
3
•
484. El volumen de una pirámide
cualquiera, és igual al tercio del producto de su base, por su altura.
En efecto; si se descompone la p i r á m i d e en t e t r a e d r o s , por m e dio de planos t i r a d o s por u n a a r i s t a l a t e r a l y las diagonales de la
base que p a r t e n del vértice correspondiente á esta a r i s t a , es evidente
que la s u m a de los volúmenes de estos t e t r a e d r o s , d a r á el volumen de
la p i r á m i d e .
Ahora bien; todos estos t e t r a e d r o s tienen por a l t u r a común la
de la pirámide (pues todos tienen su vórtice en el de é s t a , y sus b a ses están en el plano de la base de la m i s m a ) ; luego en la s u m a de l a s
expresiones de los volúmenes, llamando a la a l t u r a común, —— a ser á factor común de la s u m a de las á r e a s de sus bases, de modo que si
se llaman b, b',
las á r e a s de estos t r i á n g u l o s , se t e n d r á volumen
GEOMETRÍA.—15
114
de la p i r á m i d e = - ^ - a (b\V
\b"-\-...)
= ~^— « X B , l l a m a n d o B la base
ó
ó
de la pirámide, y observando que
b-\-b'-\-b"-^-...=B.
485. El volumen de un tronco de tetraedro de bases
paralelas,
es igual al tercio de su altura, por la suma de sus dos bases,
más
una media geométrica
entre ellas (Fig. 144).
Sea el tronco de t e t r a e d r o de bases p a r a l e l a s el ABCDEF: t i r a n d o
por los vértices A, F , B un plano, q u e d a r á descompuesto en el t e t r a e dro FABC, y en la p i r á m i d e c u a d r a n g u l a r FABED.
Si en e s t a p i r á m i d e , por los t r e s p u n t o s A, F y E, se hace pas a r otro plano, q u e d a r á á su vez descompuesta en los dos t e t r á e d o s
FADE y FAEB, ó sea leyendo el vértice del p r i m e r o en A, el ADEF y
FAEB.
Así el tronco está ya descompuesto en los t r e s t e t r a e d r o s s i g u i e n t e s FABC-f-ADEF-fFABE. Los dos p r i m e r o s t i e n e n por bases
r e s p e c t i v a m e n t e l a s ABC y DEF del t r o n c o , y por a l t u r a , la misma
que la de éste, pues sus vértices F y A e s t á n en la base o p u e s t a .
Respecto del. FABE, si se t i r a la FG p a r a l e l a á la a r i s t a EB, y se
u n e G, con E y con A, se tiene el t e t r a e d r o F A E B = G A B E , pues tienen
la misma base AEB, y la misma a l t u r a , porque sus vértices e s t á n sobre FG, paralela á la base: y leyendo el v é r t i c e de este ú l t i m o en E,
se tiene F A E B = E A G B ; pero este ú l t i m o tiene su base en el plano de
la base m a y o r del t r o n c o , y su v é r t i c e en l a o t r a base: es decir, que
t i e n e la misma a l t u r a que la del t r o n c o .
Esto s u p u e s t o , el volumen del tronco es e v i d e n t e m e n t e i g u a l á la
s u m a de los volúmenes de estos t r e s t e t r a e d r o s ; así, l l a m a n d o a la a l t u r a del t r o n c o , y B y b, las á r e a s respectivas de sus bases, se t e n d r á :
Volumen del tronco=volúmen
de FKBC-\-volúmen de A D E F +
volumen de EAGB; ó sea volumen del t r o n c o = - ^ - « X B - f - ~ - a X b -f
- i - «XAGB.
3
Si se observa a h o r a que t i r a n d o la GH p a r a l e l a á el lado AC, el
á r e a del t r i á n g u l o AGB es medio geométrico e n t r e las del ABC y
BGH, (206) y que este ú l t i m o es igual al DFE; se t e n d r á A G B =
\/~B.b y s u s t i t u y e n d o en la f ó r m u l a a n t e r i o r , s e r á :
Volumen del tronco=^-^~ a ^ B + & - f
486. El volumen de un tronco de pirámide
de bases
paralelas,
es igual al producto del tercio de su altura por la suma de sus bases, y de la de una media geométrica
entre
ellas.
En efecto, dado u n tronco c u a l q u i e r a de p i r á m i d e , si se conside-
115
r a c o n s t r u i d a la t o t a l , siempre se puede i m a g i n a r que e x i s t e u n t e t r a e d r o de base e q u i v a l e n t e é i g u a l a l t u r a , que será por c o n s i g u i e n te equivalente al volumen de la p i r á m i d e : a h o r a bien, si se c o r t a á la
misma a l t u r a , á la pirámide y al t e t r a e d r o , por planos paralelos á sus
bases, como s u s secciones s e r á n e q u i v a l e n t e s (409) la p i r á m i d e p a r cial de la propuesta, y la del t e t r a e d r o t a m b i é n serán e q u i v a l e n t e s por
tener i g u a l a l t u r a y base e q u i v a l e n t e (484). Es claro que los dos
troncos que quedan de s e p a r a r de la pirámide y t e t r a e d r o t o t a l , la p i rámide y el t e t r a e d r o parcial, serán e q u i v a l e n t e s .
En r e s u m e n , u n tronco de pirámide se puede considerar siempre
equivalente á u n tronco de t e t r a e d r o con las condiciones s i g u i e n t e s :
1. Tener i g u a l a l t u r a . 2 . Que las dos bases de el uno sean e q u i v a lentes á las dos bases del o t r o .
Esto supuesto, el v o l u m e n del tronco de p i r á m i d e t e n d r á por
expresión la m i s m a que la del tronco de t e t r a e d r o , y como la de
éste es llamado a, B y b su a l t u r a y á r e a s de sus dos bases;
a
y—_}_.
a
a
^ B _ j _ £ _ L . [ / " £ bj ge t e n d r á justificada la proposición, obser-
vando que B y b son t a m b i é n las á r e a s de las bases del t r o n c o de p i r á mide y que su a l t u r a a es t a m b i é n la misma. ]js
C A P Í T U L O XII.
COMPARACIÓN DE LOS VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS SEMEJANTES.
487. Los volúmenes de dos pirámides
semejantes
están en la
misma relación que los cubos de sus líneas homologas (Pig. 135).
Siendo semejantes dos p i r á m i d e s vabcde y va"b"c"d"e", los ángulos poliedros del vértice son i g u a l e s : así siempre se podrá colocar
la p r i m e r a sobre la segunda, de m a n e r a que las a r i s t a s homologas de
estos ángulos coincidan. De este modo la base a"b"c"d"e" se colocará
p a r a l e l a m e n t e á la abcde; luego la a l t u r a vo e s t a r á cortada en o" en
partes proporcionales á las a r i s t a s va y va", y por lo t a n t o , á ab y
a"b": de modo que se t e n d r á vo'. vo"'.'. ab'. a"b".
Pero por semejantes las bases de las dos p i r á m i d e s , se tiene abcde]
a"b"c"d"e"::
ab\a"b"\
Multiplicando estas dos i g u a l d a d e s o r d e n a d a m e n t e y dividiendo
los dos t é r m i n o s de la p r i m e r a razón por t r e s , d a r á — vo' Xabcde'.
!
vo"Xa"b"c"d"e"::
ab*\
a"b"\
~
116
488. Los volúmenes de dos poliedros semejantes
están en la
misma relación que los cubos de sus aristas
homologas.
En efecto, se h a v i s t o que dos poliedros semejantes pueden ser
descompuestos en el mismo n ú m e r o de t e t r a e d r o s semejantes y semej a n t e m e n t e dispuestos: por t a n t o , se puede formar u n a serie de r e l a ciones en las que los n u m e r a d o r e s de los primeros
miembros
sean
los tetraedros del uno, y los denominadores
los tetraedros
del otro,
y en c u a n t o á los segundos miembros,
serán los cubos de las relaciones de sus aristas
homologas ó diagonales
homologas; y como
siendo semejantes los poliedros, las relaciones de sus a r i s t a s h o m o logas ó diagonales homologas son iguales, y por t a n t o , los cubos
de estas relaciones: es claro, que los primeros miembros de estas series son iguales e n t r e sí. Ahora bien: e n toda serie de relaciones
i g u a l e s , la s u m a de los n u m e r a d o r e s dividida por la de los d e n o m i n a dores, es i g u a l á u n a c u a l q u i e r a de las relaciones. P e r o l a s u m a de
todos los n u m e r a d o r e s , es el p r i m e r poliedro, y la s u m a de todos los
denominadores es el segundo; luego se vé que la relación de sus volúmenes es la misma que la del cubo de sus a r i s t a s diagonales y líneas
homologas, Q
S E C C I Ó N TERCERA.
De los tres cuerpos redondos Cono, Cilindro y Esfera.
PRELIMINARES.
4 8 9 . Se llaman cuerpos redondos
en Geometría
elemental,
aquellos que pueden considerarse
engendrados
por el
movimiento
de una figura plana alrededor de una recta que se llama eje.
4 9 0 . Tres son los cuerpos que bajo esta generación
se consideran, á saber: el C O N O y C I L I N D R O circulares rectos, y la E S F E R A .
491.
Se llama C O N O circidar
recto, el cuerpo engendrado
por
un triángulo rectángulo abe (Fig. 1 4 5 ) que gira alrededor
de uno
de sus catetos ac.
4 9 2 . En este movimiento el c a t e t o movible be está siempre en
u n plano ( 3 4 2 ) y e n g e n d r a un círculo del c u a l es radio y c\iyo centro
es c ( 2 2 0 ) . La h i p o t e n u s a ab e n g e n d r a u n a superficie c u r v a que es la
117
llamada cónica; en c n a n t o al cateto ac es fijo y se llama el eje ó altura.
El círculo que engendra el c a t e t o móvil se l l a m a base del cono.
498. La h i p o t e n u s a en sus diferentes posiciones se l l a m a generatriz ó lado del cono.
494. Se llama cilindro circular
recto, el cuerpo
engendrado
por un paralelógramo
rectángulo (Fig. 146) abcd que gira
alrededor
de uno de sus lados ad.
495. En este movimiento los lados ba y cd adyacentes al eje ad
describen dos círculos (342), (220) cuyos planos son paralelos. El l a do ad es el eje ó altura y el opuesto be engendra u n a superficie c u r va que es la l l a m a
cilindrica.
496. El lado que engendra la superficie
cilindrica
se llama
generatriz
ó lado del
cilindro.
497. Los dos círculos iguales y de planos ¡paralelos se llaman
bases del
cilindro.
498.' Estos dos cuerpos se llaman circulares,
porque el m o v i miento que los e n g e n d r a es c i r c u l a r ; y rectos, porque el eje es p e r pendicular al plano del círculo que se considera ser su base, y por e s to el eje se l l a m a t a m b i é n alturaf.
499. Esfera es el cuerpo engendrado por u n semicírculo adb
(Fig. 147) que g i r a alrededor de su d i á m e t r o ab. En este movimiento
todos los p u n t o s de la superficie e n g e n d r a d a , que se llama
esférica,
equidistan del centro del semicírculo generador, que t a m b i é n se llama centro de la esfera, y su r a d i o y d i á m e t r o en c u a l q u i e r a de las
posiciones que ocupe, radio y diámetro de la esfera.
C A P Í T U L O I.
D E L CONO.
500. Toda sección hecha por un plano en un cono,
paralelamente á su base, es un círculo cuyo centro está en el eje.
En efecto; ( F i g . 145) sea la ef una sección hecha por u n plano, y
sea g el p u n t o donde corta al eje; como todos los p u n t o s de la línea de
sección e s t á n en un plano que es el secante, b a s t a r á , para Iríícer ver
que es u n a circunferencia, d e m o s t r a r que sus puntos equidistan de
u n o i n t e r i o r : p a r a ello t o m a n d o además de los e y f, el punto h, y h a ciendo p a s a r por el eje ac y por estos p u n t o s , planos, c o r t a r á n á la b a -
118
se y la sección en las rectas paralelas (373) be y eg; lie y hg; de y fg;
luego los t r i á n g u l o s abe y aeg son semejantes, (376) y c o m p a r a n d o
lado homólogos dan ae\ ag\\bc\
eg;\os akc y ahg ñanac'. ag\ \ lic\
hg, y de los ade y afg r e s u l t a ac\ ag\\ dc\ fg; y como
bc=hc—dc
por radios de u n mismo círculo, r e s u l t a que l a s . t r e s proporciones a n teriores tienen sus t r e s primeros t é r m i n o s idénticos y por consiguient e los c u a r t o s t a m b i é n lo son; es decir, que
eg=hg—fg.
501. Dos conos son iguales si lo son sus bases y altura. La d e mostración es evidente por superposición directa.
502. Se llama tronco de cono, la parte comprendida
entre la
base y un plano paralelo á ella; tal seria la ebdf (Fig. 145).
503. Dado un tronco de cono, hallar la altura de el total, y de
el deficiente.
Sea ( F i g . 145) ebdf el tronco dado; idénticas consideraciones á
l a s hechas en el caso (425) de las pirámides, h a r i a n ver que basta
d e t e r m i n a r la a l t u r a de el deficiente, p a r a que lo esté la de el t o t a l , y
recíprocamente. Esto supuesto, considerando completo el corio y t r a zando un plano por el eje y una g e n e r a t r i z ab, c o r t a r á á las dos b a ses del tronco en dos radios be y eg paralelos; por lo c u a l se t e n d r á ,
comparando los. t r i á n g u l o s abe y aeg, que ac\ ag\\ bc\ eg; de
Zli
Z
"onde j ¡ J £ $
t-fg .
*
^-ag^gc,
que es la a l t u r a conocida del tronco que se l l a m a r á A, y be y eg son los r a d i o s conocidos de las bases que se l l a m a r á n R y r r e s p e c t i v a m e n t e las a n t e r i o r e s proporciones se e s c r i b i r á la 1 . A*. ag\ \ R—r\ r; de donde ag—
:
c
o
m
o
a
, y la 2 . A¡ ac..
R—r. R; de donde ac= —
.
R—r
R—r
504. El área lateral del cono es ignal á la mitad del
producto
de su generatriz
ó lado por la circunferencia
de su base.
P a r a e v a l u a r este á r e a se considera el cono como el límite de
u n a p i r á m i d e r e g u l a r , cuyo n ú m e r o de c a r a s se duplica indefinidam e n t e . P u e s si en efecto se considera i n s c r i t a la base de u n a p i r á m i de en la de u n cono y su vértice coincide con el de éste, duplicando
indefinidamente los lados de la base de la p i r á m i d e , t i e n e n por límite
la circunferencia (320) y las c a r a s de las p i r á m i d e s que r e s u l t a n t i e n den á confundirse con la superficie cónica. Esto s u p u e s t o , sea l,el l a do ó g e n e r a t r i z de u n cono, y c, la circunferencia de su base; sea p el
perímetro de la base de u n a p i r á m i d e r e g u l a r i n s c r i t a en el cono y a su
a p o t e g m a , se t e n d r á que el á r e a l a t e r a l de la p i r á m i d e es (465) £ aXp.
El límite de la apotegma a, es el lado l del cono, y el de p, es la c i r cunferencia c. Luego el área l a t e r a l del cono es i g u a l á £ IXc.
Si se llama r al r a d i o de la base del cono, se t e n d r á c=2rtr,
y
a
J
110
s u s t i t u y e n d o en la expresión a n t e r i o r , s e r á á r e a lateral—ixrl, que es
la más u s u a l p a r a e x p r e s a r e l . á r e a l a t e r a l del cono.
505. Se llama superficie curva desarrolladle,
la que puede estenderse en un plano sin desgarraduras
ni pliegues.
506. La superficie cónica se desarrolla
en un sector
circular
cuyo arco es igual en longitud á la circunferencia
de la base del
cono y cuyo radio es la generatriz
ó lado del cono.
En efecto; (Fig. 145) suponiendo colocado el cono abd sobre u n
plano y que el lado ad coincida con éste, si se hace g i r a r sin
r e s b a l a r (de modo que el v é r t i c e a no cambie de l u g a r ) h a s t a que el
mismo lado ad v u e l v a á coincidir con el plano t a l como en an, se t e n d r á : 1.° que todos los p u n t o s que recorre la circunferencia de la base
del cono permanecen e q u i d i s t a n t e s del vértice a, toda vez que las g e n e r a t r i c e s del cono son i g u a l e s , y por t a n t o , e s t á n en el arco descrito
desde a con esta g e n e r a t r i z por radio (220) (222). Además, este arco
e v i d e n t e m e n t e es igual en l o n g i t u d á la circunferencia de la base del
cono, pues todos los p u n t o s de ésta se h a n ido a p l i c a n d o s u c e s i v a m e n t e sobre el plano. L u e g o la figura descrita en el plano por la s u cesiva aplicación de todas las g e n e r a t r i c e s , es la definida en la P l a n i m e t r í a (327) como sector circular, cuyo r a d i o y arco son r e s p e c t i v a m e n t e la g e n e r a t r i z y la circunferencia de la b a s e .
507. El área de la superficie lateral de un cono troncado*
tiene
por expresión el producto de su lado por la semisuma de las circunferencias
de sus bases (Fig. 145).
En efecto; sea el t r o n c o de cono ebdf: considerando el cono completo abe, se sabe que su superficie desarrollada es el sector adn: por
la m i s m a razón, la del cono deficiente aefes la de el sector afm: a h o r a bien; es evidente que el á r e a l a t e r a l del tronco de cono, es la diferencia e n t r e las á r e a s l a t e r a l e s de los dos conos abd y aef, ó lo que es
lo mismo, la diferencia e n t r e las á r e a s de los dos sectores adn y afm,
ó sea, en fin, i g u a l al á r e a del t r a p e c i o c i r c u l a r fdmn.
P e r o el á r e a del trapecio fdmn—fd
— p — ,
y como
dn—Cyfm
—c (llamando C y c í a s c i r c u n f e r e n c i a s d é l a s bases del t r o n c o ) , se t e n C-i-c
drá: Área lateral del tronco de cono—fdY.
.
N O T A . — S i en l u g a r de C y c se pone su valor en función de los radios, R y r r e s p e c t i v a m e n t e , r e p r e s e n t a n d o fd por l lado, será: Á r e a
del tronco—TC. l K\r).
)g
508. El volumen de un cono es • igual al tercio de su
altura
por el área de su base.
En efecto, considerando como a n t e s , i n s c r i t a en el cono u n a p i r a r
120
mide, y llamando á su a l t u r a a, y £ s u base, el v o l u m e n de esta p i r á m i de seria — aXb. Ahora bien; siendo el cono límite de las pirámides
ó
r e g u l a r e s en él i n s c r i t a s , cuando se duplican indefinidamente sus c; •
r a s , su volumen será el límite de el de la p i r á m i d e ; y como la a l t u r a
a del cono y de la p i r á m i d e i n s c r i t a es i d é n t i c a , c u a l q u i e r a que sea
el n ú m e r o de c a r a s de esta, y el limite de el á r e a de la base b es el á r e a
del círculo (la cual llamando r al r a d i o es) r.r , se t e n d r á s u s t i t u y e n t e estos límites en la expresión del volumen a n t e r i o r , q u e el del
2
2
1
cono es — iir a.
509. Se llaman conos semejantes,
aquellos cuyos
triángulos
generadores
son semejantes
y el giro se supone verificado
sobre
dos lados
homólogos.
510. Las áreas laterales de dos conos semejantes,
son proporcionales á los cuadrados de sus alturas, lados y radios.
En efecto, ( F i g . 145) los dos conos abd y aef son semejantes, y
sus t r i á n g u l o s g e n e r a d o r e s dan ab\ ae\ \ ac\ ag; t a m b i é n bc\ eg'/.
ac'. ag: m u l t i p l i c a n d o o r d e n a d a m e n t e estas proporciones y a d e m á s
la p r i m e r a razón de l a q u e r e s u l t a por 7:, d i r á ab.XTí.bc'.
aeXK.eg','.
ac '. ag , y como el primero y segundo t é r m i n o de e s t a proporción r e p r e s e n t a n las á r e a s l a t e r a l e s de los conos abd y aef, y a d e m á s por ser
semejantes los t r i á n g u l o s generadores, la relación de los c u a d r a d o s
ac y ag es la misma p a r a todos los lados homólogos, queda d e m o s t r a d a la proposición.
511. Los volúmenes de los conos semejantes
son
proporcionales á los cubos de sus lineas
homologas.
( A l t u r a s , lados y radios). Sean ( F i g . 145) los conos semejantes
aef y abd. P o r ser los t r i á n g u l o s generadores s e m e j a n t e s , se t i e n e
2
2
2
2
2
ac\ ag'. \ bc\ eg; por o t r a p a r t e , es evidente q u e ^ nbc ', — r.eg '.'. be '.
3
3
• eg ( A r i t m é t i c a proporciones) m u l t i p l i c a n d o o r d e n a d a m e n t e , se t e n d r á — 7i bc .ac\ — 7: eg . ag\ \ be ', eg . Y como los dos p r i m e r o s t é r 3
•
3
minos son la expresión de los volúmenes respectivos de abd y aef y lo
mismo dá la relación be ', eg que la de los cubos de las a l t u r a s ó
lados por ser semejantes los t r i á n g u l o s g e n e r a d o r e s , queda d e m o s t r a do el t e o r e m a .
2
2
2
2
3
3
3
9
2
2
j
121
C A P Í T U L O II.
D E L CILINDRO.
512. Toda sección hecha por úñ plano en un dindro
circular recto paralelamente
á las bases, es un círculo.
En efecto, sea ésta gh ( F i g . 146) y sea h el punto en donde el p l a no secante c o r t a al eje; t o m a n d o en la línea de intersección o t r o p u n to l, y haciendo p a s a r por el eje ad y por cada uno de los p u n t o s g, l y h
un plano, las intersecciones de estos planos con el secante gh serán
paralelas r e s p e c t i v a m e n t e á sus intersecciones con la base ce del c i lindro (373), y como las p a r t e s de generatrices ge, he y Im, son t a m bién p a r a l e l a s al eje, las r e c t a s hg, hl y hh son respectivamente i g u a les (374) á las de, dm y dé, y como estas ú l t i m a s son iguales e n t r e sí
por radios de Un mismo círculo, las p r i m e r a s t a m b i é n son iguales e n t r e sí; luego la c u r v a glh de intersección, adeniás de ser plana, t i e n e
sus puntos e q u i d i s t a n t e s de uno interior; luego es u n a circunferencia (220).
513. Dos cilindros son iguales si lo son sus bases y a l t u r a s .
L a superposición d i r e c t a d e m u e s t r a el t e o r e m a .
514! El área lateral de un cilindro es igual al producto de sú
generatriz
ó lado, por la circunferencia
de su base.
En efecto, por a n á l o g a s consideraciones que las empleadas p a r a
el cono, el cilindro c i r c u l a r recto se considera como el l í m i t e de Un
prisma r e c t o , c u a n d o el n ú m e r o de sus c a r a s se duplican indefinidamente, cuyas bases e s t á n i n s c r i t a s en las del cilindro y cuya a r i s t a
es igual á la g e n e r a t r i z de éste: a h o r a bien; siendo el á r e a l a t e r a l de
u n a prisma recto, el producto de su a r i s t a por el p e r í m e t r o de su base
(467) ó sea aXp, la del cilindro límite, será el límite de a, a r i s t a , que
siempre es i g u a l á la g e n e r a t r i z , multiplicado por el límite del p e r í metro p de la base, i n s c r i t a en la del cilindro que es (320) la c i r c u n ferencia c; luego Área lateral de un cilindro—IXc.
Si se llama r a l
radio de la c i r c u n f e r e n c i a , s e r á c = 2 r r r , y s u s t i t u y e n d o en la e x p r e sión del á r e a del cilindro, ésta será=27rW.
515. La superficie cilindrica es desarrollable
en un rectángu'a base es en longitud igual á la circunferencia
de la base del
cmndro, y cuya altura es el lado de ésle.
En efecto, si el cilindro befe (Fig. 146) se coloca sobre un plano
Lde modo que el lado fe coincida con él, y se hace ú r a r sin r e s b a l a r
GEOMETRÍA.—16
h a s t a que este mismo lado vuelva á colocarse sobre el plano, toda la
superficie cilindrica se h a b r á aplicado s u c e s i v a m e n t e al plano, y en
este movimiento,como los puntos de las dos circunferencias de las b a ses e s t á n siempre e q u i d i s t a n t e s , h a b r á n descrito dos r e c t a s p a r a l e l a s fp y eq iguales en longitud á las circunferencias de las bases, toda
vez que estas r e c t a s se h a n e n g e n d r a d o por la aplicación sucesiva de
todos los p u n t o s de a m b a s circunferencias sobre el plano; a d e m á s ,
como la pq es i g u a l á la ef, la figura pqef es u n p a r a l e l o g r a m o ; y es
r e c t á n g u l o , porque siendo el cilindro recto, las g e n e r a t r i c e s son perpendiculares á las bases.
516. Se llaman cilindros semejantes,
aquellos cuyos
rectángulos generadores
lo son, y además dos lados homólogos han servido de ejes.
517. Las áreas laterales de dos cilindros semejantes,
son proporcionales
á los cuadrados
de sus lados, alturas y radios de sus
bases.
Sean L y ¿ l o s lados y R y r los r a d i o s de las bases de dos cilindros semejantes; por definición L*. l\\ R*. r y e v i d e n t e m e n t e 27ri¿*.
2 K r \ \ R\ r; multiplicando o r d e n a d a m e n t e , se t e n d r á 27iRXL*. 27rrX
l\ \ R ; r . Y como los dos t é r m i n o s de la p r i m e r a razón e x p r e s a n las
á r e a s l a t e r a l e s de los dos cilindros, y t a m b i é n R '. r *. \ L 1 l queda
d e h t u t i r a d o el t e o r e m a .
518. ISM>Qlúmen de un cilindro es igual al producto del área
del circulo de su base, por su altura.
En efecto, considerando el cilindro como el límite de u n prisma
recto r e c t a n g u l a r , c u y a s bases e s t á n i n s c r i t a s en las del cilindro y de
i g u a l a l t u r a , c u a n d o este prisma duplica indefinidamente el n ú m e r o
de sus c a r a s , se tiene que siendo el v o l u m e n de un tal prisma aXb,
l l a m a n d o a su a l t u r a y & el á r e a de su base, el del cilindro será el lím i t e de e s t a expresión; pero la a l t u r a a no v a r í a c u a l q u i e r a que sea
el n ú m e r o de sus c a r a s , y la base b tiene por límite el círculo base del
cilindro, que l l a m a n d o r al r a d i o , s u á r e a es 7 t r ; luego al l í m i t e de
este volumen ó sea el del cilindro es Tir a.
519. Los volúmenes de dos cilindros semejantes
son
proporcionales á los cubos de sus alturas, lados y radios.
En efecto, por definición llamando A y a las a l t u r a s ; R y r los
radios de dos cilindros semejantes, se tiene A ; a\ \ R\ r; por o t r a
p a r t e , es e v i d e n t e que TÍR ; »f**-; R '. r ; m u l t i p l i c a n d o o r d e n a d a m e n t e , será r r R X A l -nr Xa\R ".
r , y por t a n t o , \\ñ. '. a . •.•
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
2
3
%
2
C A P Í T U L O VIII.
D E LA ESFERA.
520. Toda sección hecha en una esfera por un plano, es un
círculo.
Sea ( F i g . 147) la esfera c, y la sección hecha por u n plano la c u r v a dhe; si desde el centro c de la esfera se baja u n radio p e r p e n d i c u l a r á este plano, el punto o, donde lo e n c u e n t r e , e q u i d i s t a r á de todos
los de la c u r v a , porque l a s oblicuas cd, ch, ce, e t c . , que se t r a z e n d e s de el c e n t r o de la esfera á los puntos de esta c u r v a , son i g u a l e s por
radios de la esfera y s u s pies e q u i d i s t a n de el de la p e r p e n d i c u l a r ;
luego la c u r v a de sección dhe, además de ser plana (puesto que está
hecha por u n plano) tiene todos sus puntos e q u i d i s t a n t e s de u n o i n t e r i o r ; es por t a n t o , u n a circunferencia.
521. Se llaman círculos máximos en la esfera, todas
aquellas
secciones hechas por un plano que pasan por el centro, y
menores
las que no pasan por él.
522. Los extremos
del diámetro perpendicular
al plano de un
círculo de la esfera, se llaman polos de este
círcido.
523. Los polos de un círculo en la esfera, equidistan
de todos
los puntos de la
circunferencia.
En efecto; ( F i g . 147) sea el círculo odhe, y sea ba el d i á m e t r o de
la esfera p e r p e n d i c u l a r á su plano; s e g ú n la definición, los e x t r e m o s
b y a son los polos de este círculo; si desde a se consideran t r a z a d a s
las líneas ad, ah y ae, serán i g u a l e s por oblicuas que se a p a r t a n
i g u a l m e n t e del pié o de la perpendicular; toda vez que od=oh—oe
por radios. Lo mismo se diria de las rectas bd, bh, be. Luego los e x t r e m o s b y a e q u i d i s t a n de todos los p u n t o s de la circunferencia del
círculo odhe.
524. Si desde un punto de la esfera, y con una abertura
constante de compás, se describe una línea sobre la superficie
esférica,
ésta será una circunferencia,
y el punto desde donde se describe,
uno de sus polos.
En efecto, sea el p u n t o a ( F i g . 147) y la c u r v a t r a z a d a desde él
la dhe. Si se u n e el c e n t r o de la esfera c con a, y se t r a z a n los radios
cd, ch y ce y las r e c t a s ad, ah y ea, los t r i á n g u l o s acd, ach y ace son
iguales por t e n e r sus t r e s lados iguales (el ca es común, los ad, ah y
ae es la a b e r t u r a c o n s t a n t e del compás, y los cd, ch y ce son los r á -
124
dios de la esfera); luego si desde los vórtices homólogos d, h y e se
bajan perpendiculares al lado común ca, é s t a s c a e r á n todas en el m i s mo p u n t o o, y por t a n t o , todas e s t a r á n en un plano (342); luego la c u r va dhe, descrita es plana: además, las r e c t a s od, oe y oh son iguales
porque los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s doe, hoc y oce son i g u a l e s por t e n e r el c a t e t o co c o m ú n y las h i p o t e n u s a s i g u a l e s ; por t a n t o , la c u r v a
dhe,- a d e m á s de ser plana, s u s p u n t o s e q u i d i s t a n de u n o i n t e r i o r ;
luego es u n a circunferencia.
525. Se liama plano tangente á una esfera,
el que solo tiene
de común con ella un punto que se nombra de contado ó tangencia.
526. El plano perpendicular
al radio en el punto que éste corta á la esfera, es tangente á la misma ^Fig. 147).
Sea mn el plano p e r p e r d i c u l a r al radio cb en el p u n t o b en que
éste c o r t a á la superficie esférica.
Si desde el p u n t o c, se t i r a u n a r e c t a c u a l q u i e r a ch al plano mn,
é s t a t e n d r á q u e ser u n a oblicua, y por t a n t o , m a y o r que cb; y como
p a r a ser m a y o r que cb necesita salir de la esfera, es claro que el plano mn no puede t e n e r m á s p u n t o común con la esfera que el p u n t o b;
luego le es t a n g e n t e .
527. El plano, m n tangente
á la esfera, es perpendicular
al
radio cb tirado al punto de
tangencia.
En efecto, todos los p u n t o s de este plano mn e s t á n fuera de la
superficie esférica, escepto el de t a n g e n c i a b; luego la r e c t a m á s c o r t a
que se puede t i r a r del c e n t r o c a l plano, es el r a d i o cb, y por t a n t o , es
p e r p e n d i c u l a r á este plano (352).
ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA.
528. El área de la superficie que engendra la base de un triángulo isósceles que gira alrededor de una recta que pasa por su vértice, puede expresarse
por el producto de la proyección
de la base
sobre el eje, multiplicada
por la circunferencia
cuyo radio es la aliara del
triángulo.
P u e d e n suceder t r e s casos:
L.° Que la base ( F i g . 148) sea p a r a l e l a al eje; en este caso,
al g i r a r el t r i á n g u l o abe alrededor de rs, la base afr e n g e n d r a la s u perficie l a t e r a l de u n cilindro cuyo á r e a es (514) abyj2^a,m.
Pero
ab=mu y am=dc; luego la superficie e n g e n d r a d a por la base ab, se
puede e x p r e s a r por
mnX2itcd.
2.° Si la base ab toca á la r e c t a rs como en la (Fig. 149) t r a -
125
zando la p e r p e n d i c u l a r am y la a l t u r a cd del t r i á n g u l o , al g i r a r éste
alrededor de la rs, la base ab e n g e n d r a la superficie l a t e r a l de u n c o no que tiene por expresión (504) k abX2i:Xatn.
Pero los dos t r i á n g u los cdb y amb son semejantes (166) y d a n db=\áb\
mb\ \ cd\ am; de
donde | abXam=mbXcd;
de donde < $ ab.2Tiam=mb.2r:cd.
.
3.° Si la base ab como en la (Fig. 150) no toca al eje, proyect á n d o l a sobre la rs, y t r a z a n d o la a l t u r a cd del t r i á n g u l o , se t e n d r á
que al g i r a r e n g e n d r a la superficie l a t e r a l de un cono t r u n c a d o , cuyo
á r e a tiene por expresión (507) ab.2Ttdp.
P e r o si desde b se t r a z a u n a
perpendicular dh á la am, los dos t r i á n g u l o s cdp y ahb son semejant e s y dan ab\ cd\ \ bh—mn\ dp; de donde abXdp—mn.cd
ó sea abX
2v:dp=mn.2Tt.cd.
529. El área de una esfera, es cuadrupla
de la de su círculo
máximo.
En efecto; sea (Fig. 151) abedefg el semicírculo g e n e r a d o r ; si se
considera dividida la c i r c u n f e r e n c i a en p a r t e s iguales
ab~bc=cd—
de=ef=fg,
y t r a z a d a s por ellas c u e r d a s , al g i r a r e n g e n d r a n u n a s u perficie poliédrica i n s c r i t a en la de la esfera, la cual t e n d r á por límite
á ésta cuando el n ú m e r o de los lados del sector poligonal a u m e n t a
indefinidamente. La expresión del á r e a que e n g e n d r a la base abedefg
de este sector al g i r a r , es la s u m a de las e n g e n d r a d a s por las bases
de los t r i á n g u l o s isósceles mab....mfg,
y observando que todos son
i g u a l e s , y por t a n t o , la a l t u r a mh es común: esta s u m a t e n d r á por e x presión 2KmhX{aíi-\-kl-\-lm'\-m.n-\-np-\-pg)=2'iimhXag.
Cuando el
n ú m e r o de lados crece indefinidamente, en esta expresión, solo v a r í a
la a l t u r a mh, cuyo límite es r radio de la esfera; luego en el límite, ó
sea cuando de la superficie esférica se t r a t a , la expresión de su á r e a
es 2nr.ag y como ag—2r, será por fin 2izr.2r ó sea 4-irr.
530. Se llama zona esférica,
la parte de superficie
esférica
determinada
por un plano ó comprendida
entre dos planos
paralelos como la abe ó abcd (Fig. 152).
En el p r i m e r caso, las dos circunferencias ab y be, se l l a m a n sus
bases. Si la zona es la d e t e r m i n a d a por u n solo plano que c o r t a la esfera como la abe tiene u n a sola base y t a m b i é n se llama casquete e s férico. OÍ
531. Se llama altura de una zona, la proyección de su arco sobre el eje: así la a l t u r a de la zona abcd es oh y la de abe es eh.
532. El área de una zona es igual á su altura
multiplicada
por el área del círculo
máximo.
En efecto, las mismas consideraciones que se h a n hecho p a r a d e t e r m i n a r el á r e a de la esfera, conducen, á h a c e r ver que el á r e a de
abcd es oñ.tzr*, siendo r el radio de la esfera. Y la de abe es ch.r.r
2
2
126
533. El volumen de una esfera es igual al tercio del
radio
multiplicado
por el área de la esfera.
En efecto; si se concibe que se t o m a sobre la superficie de u n a
esfera u n n ú m e r o m u y g r a n d e de p u n t o s m u y cercanos los unos á
los o t r o s , y d i s t r i b u i d o s uniformemente sobre toda su superficie, y que
por todos estos p u n t o s se hacen p a s a r planos t a n g e n t e s , se t e n d r á de
este modo u n poliedro circunscrito á la esfera, y c u y a superficie y
volumen diferirán t a n poco como se q u i e r a , de la superficie y v o l u men de la esfera (pues p a r a a p r o x i m a r l o más y m á s , b a s t a considerar
m a y o r n ú m e r o de p u n t o s sobre la esfera). Si se supone descompuesto
este poliedro en p i r á m i d e s , cuyo v é r t i c e común sea el c e n t r o de la
esfera, cada u n a de e s t a s pirámides t e n d r á por base u n a de l a s c a r a s
de este poliedro, y por a l t u r a el r a d i o de la esfera; su volumen s e r á ,
por consiguiente, el tercio del r a d i o por el á r e a de estas c a r a s . Luego
el volumen del poliedro será el producto de su superficie, por el t e r cio del r a d i o de la esfera. Pero si los puntos que se han considerado
estuviesen infinitamente próximos y en n ú m e r o infinitamente g r a n de, el poliedro diferiría infinitamente poco de la esfera; luego el v o lumen de la esfera es su límite y tiene por expresión el t e r c i o de su
1
4
r a d i o por su superficie, ó sea — r.4rrr ó sea — rrr.
o
o
E s t a ú l t i m a expresión se t r a d u c e diciendo que el volumen de una
esfera es igual á los cuatro tercios del producto del cubo del
radio,
por la relación de la circunferencia
al
diámetro.
534. Se llama sector esférico,
el cuerpo engendrado
por un
sector circular que gira alrededor de uno de sus radios.
535. El volumen de un sector esférico es igual al tercio del
radio por el área de la zona esférica que lo limita.
En efecto, s i r v a ó nó de eje de giro uno de los radios del sector
c i r c u l a r , (Fig. 152) (en el p r i m e r caso seria eloae y en el segundo oca)
g e n e r a d o r del sector esférico, siempre se puede h a c e r el mismo r a z o n a m i e n t o que p a r a e n c o n t r a r el volumen de la esfera; es decir, t o m a r
en su superficie p u n t o s m u y próximos, y por ellos h a c e r pasar planos
t a n g e n t e s á esta superficie, obteniendo así u n a p a r t e de un poliedro,
c u y a superficie poliedral está c i r c u n s c r i t a á la superficie esférica del
sector, y cuyo volumen diferirá t a n t o menos de el del sector, c u a n t o
m á s próximos y numerosos sean los p u n t o s considerados en su s u p e r ficie: a h o r a bien; como t a l poliedro se puede considerar descompuesto
en pirámides, cuyo vórtice común es el centro, se tiene que el v o l u men es igual á la s u m a de los volúmenes de e s t a s pirámides, c u y a a l t u r a común es el r a d i o del sector. Pero el volumen de u n a de ellas es
igual al tercio del r á lio (que es su a l t u r a ) por el á r e a de su base; l ú e 2
8
127
go el de todas será un tercio del r a d i o , por la s u m a de las á r e a s de sus
bases, ó sea por el á r e a de la superficie poliedral. En el límite, c u a n do se consideran infinitos p u n t o s de la superficie del sector, este v o lumen será el tercio del radio por el área del casquete esférico ó zona esférica que limita al sector.
Así, que en u n a esfera de r a d i o r, el volumen de un sector en que
el á r e a de su superficie esférica sea z, se t e n d r á por expresión del v o lumen v— — rXz. Y c o m o z = a . 2 n r , l l a m a n d o a la proyección del a r 3
co g e n e r a d o r sobre el eje, se tiene, en fin, volumen del s e c t o r = - ^
r X a X 2TC r=-.
a. i:r
1
ó
Es decir, que el v o l u m e n de un sector puede e x p r e s a r s e t a m b i é n
por el producto de los dos tercios de su altura (proyección del arco
sobre el eje) multiplicados
por el área del circulo
máximo.
536. La relación de las áreas de las esferas son
proporcionales á los cuadrados de sus radios ó diámetros.
En efecto, es evidente que si R y r son los radios de dos esferas,
se tiene 4TTR ; -47ir \ \ R 1 r : : 4R \ 4 r .
537. Los volúmenes de las esferas están en la relación de los
cubos de sus radios ó
diámetros.
4
4
2
2
2
2
2
2
P u e s si R y r son los r a d i o s , es evidente que - TTR ; — rcr ; \ R *.
3
r ; ; 8R : 8r.
3
3
3
3
3
Vi
SECCIONES CÓNICAS.
538. Se llama superficie cónica en general, la engendrada
por
una línea recta ab (Fig. 153) sugeta á pasar por un punto v y que
gira siguiendo una curva adl.
539. Si esta curva (que se llama directriz) es una
circunferencia, la superficie cónica se llama de revolución,
y si tiene un
eje oo* que es perpendicular
á el círculo día en su centro la superficie cónica toma el nombre yá sabido de circular
recta.
540. Siendo indefinida la recta ab y pasando á un lado y otro
del vértice ó punto fijo v, es evidente que al girar engendra dos superficies cónicas á uno y otro lado de este punto, las cuales se llaman hojas del cono. Así en general, toda superficie cónica tiene dos
hojas indefinidas é igualmente dispuestas,
aunque en sentido' contrario respecto del
vértice.
541. Si una superficie
cónica circular
recta se corta por un
plano oblicuo al eje, como el gh, que encuentra todas las
generatri-
128
ees en una hoja, se engendra
una curva cerrada que se llama
Elipse.
542. Si se corta por un plano paralelo á una generatriz
como
el m k l , el cual no corta más que á una hoja del cono, se
engendra
una curva abierta ó indefinida mkl que se llama
parábola.
543. Si por último, el plano secante corta á las dos hojas del
cono, se engendra
una curva en cada hoja como las nfp y qrs, las
cuales juntas se consideran
una sola con dos ramas indefinidas,
y
la cual se llama
Hipérbola.
Antes de e s t u d i a r a l g u n a s de las más i n t e r e s a n t e s propiedades
de estas c u r v a s , conviene establecer a l g u n a s definiciones.
544. Se llama en general tangente á una curva en un punto dado, el límite hacia el cual tiende la dirección de una secante que se
hace girar alrededor de uno de los puntos de intersección
hasta que
un segundo punto viene á reunirse
con el primero.
Se llama Asíntota, una línea á la cual se acerca
constantemente una curva, á partir de un punto dado, pero sin que nunca lleguen
á encontrarse
ambas líneas, por grande que sea la distancia á que
se consideren
prolongadas.
En las tres curvas definidas,
la que tiene asíntotas, éstas son
líneas
rectas.
Se llama centro de una curva, un punto tal, que toda recta qué
pasa por él y termina en la curva,
queda dividida en dos partes
iguales.
Se llama diámetro de una curva la línea que divide en dos
partes iguales á un sistema de cuerdas
paralelas.
Si estas líneas son rectas y perpendiculares
á el sistema
de
cuerdas paralelas que bisecan (que se llaman sus C U E R D A S C O N J U G A D A S ) , entonces el diámetro toma el nombre de E J E , y los puntos
donde corta á la curva, V É R T I C E S D E E S T A C U R V A .
545. Las tres curvas definidas
son planas y convexas; es decir, que todos sus puntos están en un plano, pues por su
intersección
han sido engendradas,
y una recta no puede cortarlas
en más de
dos puntos.
546. Se llaman foco en estas curvas ciertos puntos
situados
sobre el eje, cuyas distancia á la curva gozan de propiedades
determinadas.
Las rectas que van desde los focos de una curva á un punto cualquiera de ella, se llaman radios
vectores.
547. Se llama elipse, una curva plana cerrada, y que goza de
la propiedad de que, la suma de las distancias
de Lodos sus pantos,
á dos fijos, es una magnitud
constante.
129
Las elipses tienen dos ejes desiguales,
y los dos punios
fijos
que se llaman focos, están sobre el eje mayor de la elipse; el punto
donde se c o r t a n los ejes es el c e n t r o . l^L •
Así en la elipse ( F i g . 155) A A ' es su eje m a y o r ; B B ' su eje menor;
F y F ' sus focos: las r e c t a s F M y F ' M , que v a n délos focos á u n p u n t o
c u a l q u i e r a de la c u r v a , son los r a d i o s vectores.
Por definición F M - r - F ' M = c o n s t a n t e : esta c a n t i d a d c o n s t a n t e es el
eje m a y o r , así, l l a m a n d o 2a el valor n u m é r i c o de A A ' será F M - f
UF'=2a.
548. L a s elipses se pueden c o n s t r u i r en v a r i o s casos; e n t r e ellos
están los s i g u i e n t e s : 1.° Dados sus ejes. 2.° Dado el eje mayor y los
focos.
Dados los ejes (Fig. 1 5 4 ) : en este caso la construcción es por p u n tos; en efecto, sean 2a el eje m a y o r y 2b el menor. Se t r a z a n dos r e c t a s A A ' = 2 Í Ü y B B ' = 2 & p e r p e n d i c u l a r e s en su p u n t o medio, y considerando á A A ' y B B ' como d i á m e t r o s , se describen dos c i r c u n f e rencias: hecho esto, desde u n p u n t o P del eje m a y o r , se l e v a n t a la
perpendicular PC á este eje, h a s t a la circunferencia m a y o r : se u n e
el centro con C, y por el p u n t o H, en que el radio OC c o r t a á la m e nor, se t r a z a la HM p a r a l e l a á el eje mayor: este p u n t o M, así o b t e nido, es de la elipse: de este modo se obtendrían todos los p u n t o s que
se q u i s i e r a n , y uniéndolos con u n t r a z o continuo, se t e n d r í a l a e l i p s e .
Dado el eje mayor y los fcjcos: Dada la longitud del eje m a y o r 2a
y la posición de los focos, se fija en los focos los e x t r e m o s de u n hilo
inestensible y de longitud 2a: después, por medio de u n lápiz ó e s t i l e te, se pone t i r a n t e este hilo, haciendo que se deslice el lápiz, y c u a n do h a y a dado u n a revolución c o m p l e t a , se tiene t r a z a d a la elipse s o bre el papel ó t e r r e n o .
549.
Por un punto M, dado sobre la elipse, tirarle una tangente (Fig. 1 5 5 ) .
Se t i r a n los radios vectores FM y F ' M , y prolongando el F ' M u n a
p a r t e M H = F M , se u n e H con F : hecho esto, desde el p u n t o M se baja
una perpendicular T T ' á la H F y é s t a será la t a n g e n t e .
5 5 0 . Dada la elipse construir
sus ejes (Fig. 1 5 5 ) . Se t r a z a n dos
cuerdas p a r a l e l a s c u a l e s q u i e r a CD y EG por sus p u n t o s medios, se
hace p a s a r u n a r e c t a HM que es u n d i á m e t r o de la elipse, y por su
medio O se 'traza o t r a PQ p a r a l e l a á las c u e r d a s bisecadas, c u y a r e c ta PQ es otro d i á m e t r o conjugado de el primero.
Si se biseca el á n gulo POM de éstos d i á m e t r o s , se t e n d r á uno de los ejes B B ' , y si por el
centro O se le t r a z a la perpendicular A A ' se t e n d r á el o t r o .
5 5 1 . El área de una elipse es igual al producto de sus
semiejes, por la relación TC de la circunferencia
al
diámetro.
GEOMETRÍA.—17
130
Así; si u n a elipse t i e n e 16 m e t r o s de eje mayor y 12 de eje menor,
su á r e a s e r á 8 X 6 X 3 , 14954.
HIPÉRBOLAS.
552. Se llama hipérbola,
la curva plana cuyos puntos
gozan
de la propiedad de que, la diferencia de sus distancias
á dos puntos
fijos, es una magnitud
constante.
553. Las hipérbolas constan, según se ha dicho, de dos ramas
indefinidas
y tienen dos ejes, uno, que la corta en dos puntos,
que
son los vértices, y otro, llamado imaginario,
que no la corta.
554. Los puntos fijos aludidos en la definición, que son los focos,
e s t á n sobre el eje t r a n s v e r s o ; la m a g n i t u d constante á la cual es
igual la diferencia de dos radios vectores tirados á un mismo
punto de la curva, es la del eje transverso,
q
555. Las hipérbolas tienen asíntotas
rectilíneas.
Así, la (Fig. 156) es u n a hipérbola: F y F ' los focos; AA' el eje
t r a n s v e r s o ; BB' el i m a g i n a r i o ; A á A' los vértices de la c u r v a ; FM y
F ' M los radios vectores que cumplen con la condición de F ' M — F M =
AA'. Las a s í n t o t a s son H H ' y GG'.
556. La hipérbola se llama equilátera,
si el eje transverso
y
no transverso
son
iguales.
557. Dados los ejes, construir la hipérbola (Fig. 157).
Sean los ejes AA' el t r a n s v e r s o , y BB' el i m a g i n a r i o ; sobre el
t r a n s v e r s o se t o m a u n a distancia OD=OB, por A se t i r a una p a r a lela á la BB' y uniendo u n p u n t o c u a l q u i e r a Q del eje i m a g i n a r i o con
D ; prolongando h a s t a que e n c u e n t r e en m á esta paralela; llevando
a h o r a la d i s t a n c i a Qm á derecha é i z q u i e r d a de Q , sobre u n a paralela
al eje AA', los p u n t o s M y M' así obtenidos, son de la hipérbola.
558. Dado el eje transverso
y los focos.
POR
PUNTOS.
En efecto, ( F i g . 156) si F , F ' son los focos y 2a la longitud del eje
t r a n s v e r s o , se l l e v a r á p r i m e r a m e n t e sobre las r e c t a s F F \ y á p a r t i r
de su p u n t o medio C, dos d i s t a n c i a s OA y OA' iguales á a, con lo que
se o b t e n d r á n los puntos A y A', vértices de la c u r v a . Después, desde
F y F ' como c e n t r o s , con un r a d i o c u a l q u i e r a A'E (mayor que A ' F ' ) ,
se describen c u a t r o arcos de círculo h a c i a uno y otro lado de la recta
AA'; desde los mismos p u n t o s F y F ' se describen otros c u a t r o arcos
de círculo con el r a d i o AE (suma del eje t r a n s v e r s o y del radio a n t e r i o r ) , que c o r t a r á n á los primeros en c u a t r o p u n t o s , M, M', M " , M ' " ,
que serán de la hipérbola. Repitiendo esta construcción, se h a l l a r á n
todos los p u n t o s que se deseen de la c u r v a , y t a n próximos como se
q u i e r a n : uniendo estos por u n t r a z o c o n t i n u o , se t i e n e t r a z a d a la
curva.
131
5 5 9 . Por un movimiento
continuo ( F i g . 1 5 6 ) .
P a r a esto, dados los focos F y F ' y la longitud 2a del eje t r a n s verso, se dispone u n a regla F L , de m a n e r a que puede g i r a r alrededor
de u n eje fijo en uno de los focos, el F por ejemplo; en el e x t r e m o L
de esta regla y al otro foco F se fija un hilo, c u y a l o n g i t u d sea FL-\-2a:
este hilo se pone t i r a n t e por medio de un lápiz ó estilete, y se hace
r e s b a l a r este lápiz ó p u n t a á lo largo de la r e g l a , p r o c u r a n d o que
siempre esté el hilo t i r a n t e , p a r a lo cual l a regla t i e n e que g i r a r a l rededor del p u n t o F : de este modo, el lápiz d e s c r i b i r á u n c u a r t o de la
hipérbola; repitiendo esta operación con los dos focos, y á u n a y o t r a
región del eje t r a n s v e r s o , se describirá toda la hipérbola.
5 6 0 . Dados los ejes, construir las asíntotas de la hipérbola.
P o r los vértices A y A' de la c u r v a se t i r a n dos p a r a l e l a s al eje
i m a g i n a r i o , iguales en l o n g i t u d á este eje; y se une el c e n t r o con los
e x t r e m o s P , Q, R, S de e s t a s r e c t a s , y esas s e r á n las a s í n t o t a s .
5 6 1 . N O T A . — P u e d e observarse que si se t i r a n las r e c t a s PQ y
RS, la figura QPRS es un r e c t á n g u l o cuyas dimensiones son los dos
ejes; y que las a s í n t o t a s son l a s diagonales de este r e c t á n g u l o .
PARÁBOLAS.
5 6 2 . Se llama parábola una curva plana de una sola rama
indefinida,
cuyos puntos distan igualmente
de un punto dado y de
una recta dada.
El punto dado que está sobre el eje de la parábola, se llama su
F O C O ; la r e c t a dada la D I R E C T R I Z .
Así la (Fig. 1 5 9 ) es u n a p a r á b o l a AX su eje; F su foco; O su v é r tice; DD' su d i r e c t r i z .
5 6 3 . La distancia
del vértice O, de la parábola al pié A, de la
directriz;
es decir, la recta OA se llama el parámetro
de la parábola.
L a s p a r á b o l a s no t i e n e n a s í n t o t a s . Según la definición de P a r á bola, conocido el p a r á m e t r o OA y el eje se puede d e t e r m i n a r el foco:
pues t o m a n d o u n a distancia O F = O A el p u n t o F es el foco.
CONSTRUCCIÓN DE LAS PARÁBOLAS.
564.
Conociendo su eje OX, y su parámetro
OA ( F i g . 1 5 9 ) .
se toma hacia la derecha de O, un p u n t o R c u a l q u i e r a , y sobre AR se describe u n a semi-circunferencia; se l e v a n t a por O
u n a perpendicular al d i á m e t r o , y por R o t r a indefinida; se t i r a u n a
paralela al eje, y el p u n t o M donde e n c u e n t r a á la p e r p e n d i c u l a r l e v a n t a d a en R, es de la p a r á b o l a .
POR
565.
PUNTOS:
P O R UN MOVIMIENTO CONTINUO.
Dado el eje y el p a r á m e t r o y d e t e r m i n a d o el foco y directriz, se
sitúa u n a e s c u a d r a B D C á lo l a r g o de la d i r e c t r i z : después se lijan los
132
e x t r e m o s de un hilo de longitud DC, en los puntos.C y F : poniendo t i r a n t e el hilo con u n lápiz ó estilete y haciendo c o r r e r la e s c u a d r a á lo
l a r g o de la directriz, conservando siempre t i r a n t e el hilo, el lápiz
describirá la r a m a superior de la p a r á b o l a .
Por un punto M de la parábola tirarle una tangente ( F i g . 159).
Se u n e F con M, y por M se t i r a la MD p e r p e n d i c u l a r á la d i r e c t r i z : u n i e n d o F con D, y t i r a n d o por M u n a p e r p e n d i c u l a r MG- á la FD,
é s t a será la t a n g e n t e pedida.
507. Todos los diámetros de la parábola son paralelos al eje.
Recíprocamente
toda recta paralela al eje de una parábola,
es
un
diámetro.
568. La tangente á la parábola forma ángulos iguales con el
eje y el radio vector de el punto de contacto.
Es decir, que la HK forma con la HX y con la FM á n g u l o s i g u a les, ó sea que K H X = H M F .
569. La tangente forma ángulos iguales con el radio vector y
el diámetro que pasa por el punto de contacto.
En efecto, siendo el d i á m e t r o MC p a r a l e l o á el eje OX, se tiene
K M C = M H X , y por t a n t o = H M F .
570. Se llama normal á una curva la perpendicular
á la tangente en el punto de contacto.
Así ( F i g . 159) la MP es la n o r m a l á la p a r á b o l a en el p u n t o M.
571. La normal de la parábola forma ángulos iguales con el
diámetro y radio vector que pasan por el punto en que corta á la
curva.
En efecto, siendo PM perpendicular á la HK, se t i e n e á n g u l o
P M H = P M K por rectos; pero se h a visto que á n g u l o F M H = K M C ;
luego restando o r d e n a d a m e n t e , r e s u l t a á n g u l o P M F = P M C .
Fin de la Stereometría.
NOCIONES
OE
TRIGONOMETRÍA
RECTILÍNEA.
1. Se llama T R I G O N O M E T R Í A , la parte de las matemáticas
que
se ocupa de la resolución de los triángulos, por medio del cálculo.
2. Según que se ocupa de los triángulos
rectilíneos
ó
esféricos, así se denomina trigonometría
rectilínea ó esférica,.
3. P a r a su objeto se hace uso de ciertas líneas l l a m a d a s seno y
tangente de u n arco y c u y a esplicacion es la s i g u i e n t e (Fig. 160).
Sea u n a circunferencia O y en ella dos d i á m e t r o s perpendiculares, u n o h o r i z o n t a l y o t r o v e r t i c a l : á p a r t i r del e x t r e m o de la d e recha del d i á m e t r o h o r i z o n t a l , es decir, del punto A, considérense
v a r i o s arcos AM, AM', AM".... contando siempre de derecha á i z q u i e r d a en el sentido AMM'M"
Ahora bien, se l l a m a seno de un arco, la perpendicular
bajada desde un extremo M ó M' del arco, hasta el radio ó
diámetro
que pasa por el otro extremo.
Luego el seno del arco AM es la línea
MP, lo c u a l se escribe sen A M = M P .
P o r definición se t i e n e i g u a l m e n t e sen A M ' = M P ' ; sen A M " =
M " P ' ; sen A M " ' = M " ' P .
4. Se llama tangente trigonométrica
de un arco AM, la parte
de tangente geométrica
AT, tirada por un extremo A del arco y limitada por su encuentro T, con la prolongación
del radio ó diámetro que pasa por el otro extremo. Luego la t a n g e n t e t r i g o n o m é t r i c a
del arco AM es la línea AT: lo c u a l se escribe t a n g . A M = A T . T a m bién por definición t a n g . AM' = AT'; t a n g . A M " = A T ; t a n g . A M " ' = A T .
5. Se llaman colíneas de un arco, las líneas
trigonométricas
de su complemento:
entendiéndose por complemento de un arco, el
que se le debe sumar ó restar p a r a que j u n t o s formen u n c u a d r a n t e ;
así el complemento de un arco de 120° será (—30°), pues 120 - j (—30°)=90.
6. El seno y tangente de un arco complementario,
toman el
134
nombre de C O S E N O y C O T A N G E N T E respecto del otro arco que complementa. Así el sen 3 0 ° = c o s 60°, pues el a r c o de 30°, es el complemento de 60°.
P o r t a n t o , si se llama al n ú m e r o de g r a d o s de u n arco a, su c o m plemento será (90—a) y e n t r e las líneas de estos arcos e x i s t i r á la r e lación s i g u i e n t e :
sen # = c o s (90—a)
t a n g a=cot (90—a)
7.
eos a=sen (90—a)
cot <z=tang (90—a).
Aplicando estas definiciones de colínea á la ( F i g . 160) se tiene
eos AM rrrMQ
=OP
cosAM' =M'Q = O P '
eos AM" = M " Q ' = O P '
eos A M ' " = M ' " Q ' = O P
cot AM = B S
cotAM" = B S '
cot AM" = B S
cot A M ' " = B S ' .
8. P o r lo que se acaba de v e r se h a b r á n o t a d o que el coseno de
u n arco puede siempre considerarse
como igual á la distancia
que
hay desde el pié del seno al centro del arco.
9. Además, t r a t á n d o s e de c u a l q u i e r a r c o , si se prolongase su seno h a s t a la circunferencia, r e s u l t a la c u e r d a del arco duplo del que
se t r a t a , siendo e v i d e n t e m e n t e el seno la m i t a d de esta c u e r d a .
Así, si se prolonga MP h a s t a M ' " , la c u e r d a M M ' " es, el doble del seno MP, y c u e r d a del arco MAM"', doble del arco AM. Luego se puede
establecer que el seno de un arco es igual á la mitad de la
cuerda
del arco duplo.
10. No basta p a r a el fin de la t r i g o n o m e t r í a el valor absoluto de
las líneas t r i g o n o m é t r i c a s , pues es m u y fácil ver que los c u a t r o a r cos AM, AM', AM", A M " ' , que han servido de ejemplo, en la ( F i g . 160)
tienen líneas t r i g o n o m é t r i c a s del mismo valor absoluto: y por consig u i e n t e , al d a r como dato para h a l l a r u n o de estos arcos, la m a g n i t u d
en a b s o l u t o de sus líneas ¿á cuál de estos c u a t r o arcos se c o n s i d e r a r í a
que pertenecían? h a b r í a , pues, u n a a m b i g ü e d a d que h a r í a i n ú t i l el
empleo de e s t a s líneas.
P a r a o b v i a r esta dificultad, se debe t e n e r presente que si bien es
v e r d a d que h a y siempre c u a t r o arcos en u n a m i s m a circunferencia,
c u y a s líneas t r i g o n o m é t r i c a s t i e n e n el mismo valor a b s o l u t o , estas
líneas no tienen T O D A S á L A V E Z la misma P O S I C I Ó N , en dos c u a l e s q u i e r a de estos c u a t r o a r c o s , respecto de los dos d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a res, que pase uno de ellos por el e x t r e m o del a r c o . Ha sido preciso
considerar en las líneas t r i g o n o m é t r i c a s , no solo su valor a b s o l u t o ,
sino también su P O S I C I Ó N . La m a n e r a de i n t r o d u c i r en el cálculo esta
consideración de P O S I C I Ó N , la proporciona el principio de que
11. Los valores numéricos
de dos magnitudes
de
posición
135
directamente
contrarias,
deben ir afectadas en el cálculo de signos
opuestos.
Es decir, que si uno vá afectado del signo más (-f-), el o t r o debe
llevar el signo menos (—).
Jt\
1 2 . P a r a h a c e r aplicable el principio enunciado, se conviene
generalmente, dada u n a circunferencia y dos d i á m e t r o s p e r p e n d i c u lares en ella, u n o horizontal y o t r o v e r t i c a l .
l.° En considerar
como origen de los arcos el extremo A de
la derecha del diámetro
horizontal.
2.° Todos los arcos contados en el sentido AMM'.... á
partir
del origen, se consideran como positivos: y por tanto, entrarán
en
el cálculo afectados del signo más. Y por consiguiente,
todos los
arcos contados desde A, en el sentido AM"'M".... entrarán
afectados del signo
menos.
3 . ° Todas las líneas trigonométricas
de. los arcos que
termi« nan en el primer cuadrante se consideran
positivas,
y por
consiguiente las líneas trigonométricas
de los demás arcos, que
estén
en posición contraria
á las de éste, deben ir precedidas
del
signo
menos.
1 3 . De esta ú l t i m a convención se deriva:
1.° Que deben ir precedidos
del signo MÁS, todos los senos que
como el MP caen en taparte superior del diámetro AA', y del signo
M E N O S , los que como M"P' caen por la parte
inferior.
2 . ° Que deben ir precedidos
del signo MÁS todos los cosenos
que, como el OP, se cuenta de izquierda
á derecha; y del signo M E N O S , todos los que, como el O P ' , se cuenten de derecha á
izquierda
del centro.
1 4 . Este pudiera estenderse á las demás líneas t r i g o n o m é t r i c a s ,
pero a d e m á s de ser muy fácil su comprensión, es i n ú t i l , toda vez que
por medio de las funciones c i r c u l a r e s , se dan fórmulas p a r a d e t e r m i n a r todas las líneas t r i g o n o m é t r i c a s de u n a r c o , en función del seno y coseno del mismo a r c o .
1 5 . Poniendo á la v i s t a el c u a d r o de los senos y cosenos de los
c u a t r o arcos AM, AM', AM" y A M ' " , en m a g n i t u d y signo, se t e n d r á
sen
sen
sen
sen
16.
AM = - f M P 'eos AM = + O P
AM' = - ¡ - M ' P ' eos AM' = — O P '
A M " = — M " P ' eos AM" = — O P '
AM"'=—M"'P
eos A M " ' = - f - O P .
R E L A C I O N E S E X I S T E N T E S E N T R E LOS SENOS Y COSENOS DE DOS
ARCOS, I G U A L E S E N MAGNITUD Y DE POSICIÓN C O N T R A R I A .
Sea AM u n arco positivo, y A M " ' otro de igual m a g n i t u d , pero
de posición c o n t r a r i a : es claro que conforme con el principio e n u n -
136
ciado (11), si se llama -\-a la r e p r e s e n t a c i ó n n u m é r i c a , ó sea el n ú m e ro de grados del arco AM, la del arco A M ' " s e r á — a .
T r a z a n d o el seno de ambos arcos -j-a y — a , que según la definición (3), s e r á n las líneas MP y M " ' P , se vé que son iguales en m a g n i t u d , pero de c o n t r a r i a posición, luego escribiendo sus valores n u méricos, se t e n d r á (11) sen (—a)——sen a.
En c u a n t o al coseno OP, es el mismo en m a g n i t u d y posición par a ambos arcos, luego eos ( — a ) = c o s
a-yt
17. Es decir: 1.° Que los senos de dos arcos iguales,
pero
de posición opuesta, son iguales, pero de signos
contrarios.
2. Los cosenos de dos arcos iguales y de opuesta posición,
son
iguales y del mismo
signo.
18. Es e v i d e n t e , que si u n arco se r e p r e s e n t a por a grados, su
s u p l e m e n t o será 180 —a; pues a-f-180°—(2=180°.
T a m b i é n es e v i d e n t e que 180—a se puede poner bajo la forma de
90-f-(90—a)', y por ú l t i m o , que el complemento del arco 90+(90—a),
e s — (90—a).
Esto s u p u e s t o , y teniendo presente lo establecido, (6 y 17) se tiene
sen (180—¿ü)=sen (90-f ( 9 0 — ^ ) ) = c o s (—(90—a))=oos ( 9 0 — a ) = s e n a
eos ( 1 8 0 - ¿ ) = c o s ( 9 0 - f ( 9 0 - « ) ) = s e n ( — ( 9 0 - a ) ) = — s e n ( 9 0 — a ) = - c o s a
ó sea poniendo el primero y ú l t i m o m i e m b r o de e s t a s t r a s f o r m a ciones sen (180°—a)=sen a eos (180°—a)=—eos a.
19. Que t r a d u c i d a s , dicen: Que los senos de dos arcos
suplementarios
son iguales y del mismo signo; y los cosenos iguales y
de signos
contrarios.
20. Las líneas trigonométricas
de un arco varían cuando este
arco crece positivamente
desde cero hasta + 3 6 0 ° , ó
negativamente
desde 0° á —360°
En efecto, si el p u n t o M es móvil y coincide con A, o r i g e n de los
a r c o s : entonces el arco a s e r á n u l o lo mismo que su seno, pero el coseno s e r á igual al r a d i o AO; es decir, que p a r a a=0 se t i e n e : sen a=0;
eos a=R.
Si el p u n t o M que recorre el a r c o , se m u e v e h a c i a B, se i r á
alejando del d i á m e t r o AA' y a p r o x i m á n d o s e al B B ' : por t a n t o , el seno
del arco que describe i r á a u m e n t a n d o , y el coseno d i s m i n u y e n d o ; así
si a a u m e n t a , sen a a u m e n t a y cós a d i s m i n u y e .
Cuando el p u n t o M h a y a llegado en este m o v i m i e n t o á confundirse con el B, el seno del arco AB, es BO, y el coseno 0, luego p a r a a = 9 0 °
se t i e n e sen a—"R; eos a=0. Siguiendo el p u n t o M en su m o v i m i e n t o ,
pasado el p u n t o B, se v á acercando al d i á m e t r o A ' A y alejando del
BB', por t a n t o , si a a u m e n t a m a s de 90°, pero < 1 8 0 ; sen a d i s m i n u y e
y eos a, a u m e n t a en v a l o r a b s o l u t o . Y c u a n d o a = 1 8 0 ° , se t e n d r á
sen a = 0 ; eos a= — R.
a
o
137
F á c i l m e n t e se verá que si a aumenta pero < 2 7 0 ° ; —sen a, a u m e n t a y—eos a disminuye.
Si a = 2 7 0 ° ; sen a=—R; eos a=0.
Si a a u m e n t a , pero <3G() ;—sen a d i s m i n u y e , y eos a a u m e n t a .
Si ¿2=360°; sen a=0; eos a=-\-R.
Si se concibe que el p u n t o a continúa en su m o v i m i e n t o , se t e n d r í a n arcos m a y o r e s q u e u n a circunferencia, pero que sus senos y cosenos s e r i a n los mismos que los de otros m e n o r e s que u n a circunferencia.
Se vé t a m b i é n por el cuadro a n t e r i o r , que c u a l q u i e r a que sea el
arco que en u n a circunferencia se c o n s i d e r e , los límites de los v a l o res que puede t o m a r s u seno y coseno, son desde 0 á ± R . X
0
FUNCIONES CIRCULARES.
21. Sea ( F i g . 160) un a r c o AM, =a tirando su seno, r e s u l t a el
t r i á n g u l o OMP, r e c t á n g u l o en P , y por el teorema de P i t á g o r a s , se
tiene M P + O P = O M , ó sea s e n . « - f c o s . « = R . (1). Si se t r a z a la
t a n g e n t e AT, los dos t r i á n g u l o s rectángulos OAT y OPM, que tienen
u n á n g u l o a g u d o común, d a n AT". M P | • OA*. OP, ó sea t a n g . a ; s e n a : :
1.
,
,
, .
„ sen.a
. .
R . eos. a de donde t a n g . a = R
.... (2)
cos.«
Poniendo en vez de a el arco (90—a) se t e n d r á t a n g . (90—
sen.(90-q)
eos. (90—a)
„
, .
.
sen.(90—a)
eos a ,
P e r o t a n g (90—a)=cot.a\ y
7—
( =
, luego
eos. (90—a)
sen a
eos a , .
cot a = R
(3)
sen a
Si se aplican las f ó r m u l a s (1) y (3) á el arco (180—a) s u p l e m e n o
sen(180—a) )y según los v a t g (180—a)—R
/ o _ A / lores dados por
t a r i o d e l a, se t e n d r á
cosÜ80—a)i
clel
cot ( 1 8 0 — a ) = R — T — — 5 — - n ú m . (12) será
'
sen(180°-rt) /
cot(180—a)=—cot a
tg (180 —a)=—tga
22. Es decir que las tangentes
y cotangentes de dos arcos suplementarios,
son iguales y de signos
contrarios.
23. Si se forma u n c u a d r o de la v a r i a c i ó n de los valores a b s o lutos, que t o m a n las t a n g e n t e s de los arcos desde 0 á 360°, so t e n d r á
a— 0 t g a=0
cot a=co;
a c r e c e < 90° t g a crece; cot a dism.
> 90°
a= 90° t g a=oc
cot a=0
a crece
' tg a dism.; cot a crece
<180° *
2
2
2
2
2
2
n
V
0
u
fórmula
o
v
o
o
o
G E O M E T R Í A . — rfi
138
# = 1 8 0 ° t g a—0
cot a = o o , «
c r e c e
<
r>180°
270° ^
ft
c r e c
e ; cot a dism.
>270°
• . t g a dism.; cot a crece.
<360
24. En las fórmulas (1) (2) (3) n ú m s . 21 y 22 si se hace el r a d i o
R = l , es decir, si se t o m a por u n i d a d , se t e n d r á sen a -|-cos
a=h...
.-\ ,
sen a
eos a
, .
(l);tgfl=
.... ( 2 ) ; c o t a =
.... (3)
eos a
sen a
Esto simplifica las fórmulas y no i n u t i l i z a s u empleo cuando el
r a d i o del arco no se h a y a tomado por u n i d a d , pues es m u y fácil, o b tenido u n r e s u l t a d o bajo la hipótesis de ser el r a d i o la u n i d a d , d e d u cir de él, cual es en el caso de no ser el r a d i o 1.
25. En efecto, basta sustituir
en la fórmula
hallada bajo la
hipótesis de ser el radio 1, en lugar de cada linea
trigonométrica
su relación con el nuevo radio: así donde se v e a . t a n g a ó sen ¿ü etc.,
tan°" a
sen ¿?
siendo el radio 1, se pondrá si el r a d i o es r, — ^ — ó — ^ — etc. •
26. Hallar las fórmidas del seno y coseno de la suma, y diferencia de dos arcos en función de los senos y cosenos de estos arcos.
Sea (Fig. 161) u n arco ab=a y bc=b, es evidente que el arco abe—
a-\-b y que t o m a n d o bd—bc—b el arco ad=a—b. Esto supuesto, si se
t r a z a n los senos de estos arcos, la c u e r d a cd y el radio ob perpendicul a r á la c u e r d a , y las r e c t a s hh y dm y hn perpendiculares al seno cg
y á la hh, se t e n d r á (observando que los t r i á n g u l o s enh y hnd son
iguales (G. 50,233 y 101) que
sen
(a-\-b)—cg=ng-\-cn=hh-\-cn
sen
(a—b)=de=mh=hh—hm=hk—cn
|cos
(a-\-b)—og=oh—gh=oh—nh
, eos
(a—b)=oe=oh-\-he=oh-\-md=oh-\-nh.
a=270° tg
<2=oo
cot a—0
a crece
2
w
2
w
2
2
t
a
Pero la comparación de los dos t r i á n g u l o s semejantes obf y ohh
(162) dan t o m a n d o el radio i g u a l á 1, ob\ oh\\ bf\ hh\\ of\ oh ó sea
i ; eos b\; sen a\ hh\\ eos a\ oh, de donde hh—sen a eos b y oh—
eos a eos b.
También la comparación de los dos t r i á n g u l o s semejantes enh y
obf(WG)
dano&; ch\ \ bf\ nh\ \ of\ en ó sea 1*. sen b\\ sen a\ nh'.'.
coa a\ en; de donde n / z = s e n a sen b y c n = s e n b eos a.
S u s t i t u y e n d o estos valores de. bh, en, oh y nh en las igualdades
a n t e r i o r e s , se t e n d r á
sen (a-4-&)=sen a eos b - j - sen b eos a)
sen ¡a—&)=sen a eos b — sen b eos a I
.
eos (a-f-&)=cos a eos b — sen a sen
bly-W)
eos (a—•/>)—eos a eos b -f- sen a sen b)
139
Estas fórmulas dicen, que
27. El seno de la suma ó diferencia de dos arcos, es igual á la
suma ó diferencia de los productos que se obtienen
multiplicando
el seno de cada uno de estos arcos, por el coseno del otro,
teniendo
en la diferencia
cuidado de tomar por minuendo
el producto
del
seno del minuendo en el primer
miembro.
28. Que el coseno de la suma 6 diferencia
de dos arcos,
es
igual á la diferencia
ó la suma entre los productos de los cosenos
y senos de los dos arcos. g£
29. Hallar las fórmidas del seno y coseno de un arco en función de la tangente del mismo
arco.
Si se a ñ a d e la u n i d a d á el c u a d r a d o de la relación (2) n.° 24 se t e n d r á
, , ,
, . sen # , , , , .
cos a-fsen ¿í
. .
2
2
2
s
7-, o l + t g < 2 =
y como s e n # + c o s # = l
cos-a
cos a
1
1
se t e n d r á l - 4 - t a n g =
—
de donde eos a= -h — —
....(5)
2
2
l-f-tg a=H
2
2
2
2
n
2
2
cos a
~Kl+^ a
P a r a la fórmula del seno, se observa que de la fórmula (2) se d e d u ce sen tó=tang a eos a, y s u s t i t u y e n d o por eos, a su valor (5), s e r á
tg a
sen
a=-h—-
lA+tg a
2
Si el problema hubiese sido: Hallar el coseno y la tangente,
en
función del seno, ó el seno y la tangente de un arco, en función
del
coseno del mismo arco, se o b t e n d r í a fácilmente
. .
,
sen a
En el l . caso: eos a = ± \ R ^
sen #.. t g a = +
y 1—sen &
Y en el 2.°: sen a=±\/~l—co&a
igd—±\-J—- cos-«
eos a
30. Si en las fórmulas n ú m . ° (4) se hace b—a, se t e n d r á
sen 2a- . ¿»en « e o s a.... (6) e o s 2 a = c o s a — s e n a . . . . (7).
L a s cuales dicen (6) Que el seno del duplo de un arco es igual
al doble del producto del seno por el coseno del arco
sencillo.
Y (7) Que el coseno del duplo de un arco, es igual al^ cuadrado
del coseno, menos el cuadrado del seno del arco sencillo. ISL
31. Si se dividen u n a por o t r a l a s fórmulas (4) se t e n d r á la t a n . , ,
,
' , . sen a eos &-4-sen b eos a
g e n t e del a r c o (a-Vb), luego; t a n g (a-\-b)=
.
eos a eos b—sen a sen b
Dividiendo a h o r a los dos t é r m i n o s del segundo miembro por eos a
eos b, y teniendo presente que
= t a n g a y vice-versa será
eos a
, ....
t a n g «-f-tang b
, ,
t a n g (a\b)=
•
,
..... (8)
1—tan# a t a n ^ b
er
2
2
2
2
!
S e n
T
a
140
r, i •
j 4.
,
i\
£«—tang b
¿iDel mismo modo t a n g (a—b)—-——
.... (9)
1-f-tang a t a n g b
'
Las cuales dicen: Que la tangente de la suma ó
diferencia
de dos arcos es igual al cociente de la suma ó diferencia
de las tangentes de estos arcos, dividida por la unidad menos ó más el producto de dichas
tangentes.
32. Si en la fórmula (9) se hace b=a, se t e n d r á t a n g 2a—
2tanga
1—tang a"" ^
Es decir que la tangente del duplo de un arco es igual al cociente del duplo de la tangente del arco sencillo, dividido por la unidad
disminuida
en el cuadrado de la misma tangente,
^¡j
t a n
:
v
2
D E LAS TABLAS TRIGONOMÉTRICAS, SU DISPOSICIÓN Y USO.
33. P a r a halla>r los logaritmos de las líneas t r i g o n o m é t r i c a s , se
necesita calcular primero el valor n u m é r i c o de estas líneas; y como
este v a l o r n u m é r i c o depende del n ú m e r o de grados del arco, y valor
del r a d i o que en cada caso t e n g a la circunferencia en q u e se consideren, se ha tomado g e n e r a l m e n t e como circunferencia p a r a c a l c u l a r
el valor n u m é r i c o de las líneas t r i g o n o m é t r i c a s , aquella cuyo r a d i o
es 10 ; (ya sean v a r a s , m e t r o s , k i l ó m e t r o s , etc.)
Esto impone la precisa necesidad de r e s t a b l e c e r el r a d i o en todas
las fórmulas que se v a y a n á c a l c u l a r por l o g a r i t m o s , c u a n d o los a r cos de que se t r a t e en ellas no t e n g a n por r a d i o ÍO .
Además t a m b i é n supone que dado el valor numérico del r a d i o y
el n ú m e r o de g r a d o s del a r c o , se xmede c a l c u l a r el de las líneas t r i g o métricas.
10
10
DESCRIPCIÓN DE LAS TABLAS TRIGONOMÉTRICAS DE VÁZQUEZ QUEII Q
34. Las t a b l a s t r i g o n o m é t r i c a s del Sr. Vázquez Queipo consider a n la circunferencia dividida en 300° y comprenden d i r e c t a m e n t e los
logaritmos de los senos, t a n g e n t e s , c o t a n g e n t e s y cosenos de todos los
arcos desde 0° á 90°, creciendo de m i n u t o en m i n u t o , y en la s i g u i e n te disposición.
Cada dos llanas comprenden un g r a d o : el n ú m e r o de grados está
señalado en la parte superior, y los m i n u t o s en la c o l u m n i t a de la
izquierda de cada llana.
Esta disposición se e s t i e n d e , l e y é n d o l o s grados situados en h i p a r t e s u p e r i o r , desde 0° á 44.° En la p a r t e inferior de cada l l a n a hay o t r a
141
graduación que empieza en 89° y concluye en 45°; y en la derecha de'
cada llana o t r a s c o l u m n i t a s de m i n u t o s .
Por esta disposición, el conjunto de estas dos g r a d u a c i o n e s comprenden todos los arcos de m i n u t o en m i n u t o desde 0° á 90°.
35. E n t r e las dos c o l u m n a s de los m i n u t o s , e s t á n c u a t r o e n c a b e zadas seno, tangente,
cotangente,
coseno, que contiene d i r e c t a m e n t e , con c a r a c t e r í s t i c a y p a r t e decimal ( h a s t a 7 decimales), los l o g a r i t m o s de las respectivas líneas t r i g o n o m é t r i c a s de los arcos s e ñ a lados por los g r a d o s s u p e r i o r e s , minutos de la c o i u m n i t a d e l a i z q u i e r da, y nombre de la línea que encabeza la c o l u m n a .
E s t a s m i s m a s c o l u m n a s de logaritmos, llevan por la p a r t e i n ferior escrito el nombre de la C O L Í N E A , de la de la p a r t e superior:
de modo, que leida por la p a r t e inferior, de izquierda á derecha, dice:
coseno, cotangente,
tangente,
seno.... é indican en qué columna se
h a l l a n los l o g a r i t m o s de estas líneas p e r t e n e c i e n t e s á los arcos, cuyos
grados están en* la p a r t e inferior, y sus m i n u t o s en las columnitas de
la derecha de cada l l a n a .
36. En c u a n t o al l o g a r i t m o de cada arco, se e n c u e n t r a en línea
horizontal con los m i n u t o s del arco, en su c o l u m n a correspondiente.
Además, p a r a no c a n s a r la vista, se h a l l a n encerrados los logar i t m o s y m i n u t o s en c u a d r o s .
Por ú l t i m o , las c a r a c t e r í s t i c a s , para no c a n s a r la v i s t a , no están
p u e s t a s m a s que el p r i m e r logaritmo de cada g r u p o . Otras p a r t i c u l a r i d a d e s que contienen se esplicarán con el manejo de las t a b l a s .
37. El valor del r a d i o en estas t a b l a s se h a considerado igual á 1.
MANEJO DE LAS TABLAS DE VAZQUEZ QUEIPO.
38. El manejo de u n a s t a b l a s t r i g o n o m é t r i c a s , consiste en r e solver las dos cuestiones siguientes: 1. Dado un arco, hallar el logaritmo de cualquiera de sus líneas trigonométricas.
2 . Dado un
logaritmo de una línea trigonométrica,
hallar el arco á que pertenece.
39. P a r a resolver el primero de estos problemas, se d i s t i n g u i r á n
dos casos: 1.° Que el arco sea un número completo de grados y minutos. 2.° Que tenga un cierto número de segundos.
Si el arco es un n ú m e r o completo de grados y m i n u t o s , d i r e c t a m e n t e se h a l l a el l o g a r i t m o de c u a l q u i e r a de sus líneas, leyendo la
g r a d u a c i ó n superior de las t a b l a s y m i n u t o s de la izquierda, si está
e n t r e 0° y 45°, y la g r a d u a c i ó n de abajo y m i n u t o s de la derecha, si
está e n t r e 45° y 90°.
a
a
142
Así, pedido el l o g a r i t m o t a n g e n t e 37° 18', se busca en la p a r t e
s u p e r i o r de las l l a n a s 37°; después en la c o l u m n i t a de los m i n u t o s
18', y en la misma línea h o r i z o n t a l , en la c o l u m n a de l o g a r i t m o s que
e s t á encabezada Tangentes,
está 1,881839. P o r t a n t o , Log.° t a n g .
37°. 18 —1,881839.
Si se pidiese log.° eos 78°. 2 5 ' ; se busca 78° en la p a r t e inferior de
las l l a n a s y 25' en la c o l u m n i t a de la d e r e c h a , enfrente, en la c o l u m m a de l o g a r i t m o , que lleva por abajo Coseno, e s t á 1,480140: por t a n t o , Log.° eos. 78°, 25' = 1 , 4 8 0 1 4 0 .
Del mismo modo Log.° sen 2 , 7' = £ 5 6 7 4 8 1 ; Log.° t a n g 89°, 18' =
1,913003.
40. Si el arco de cuya línea t r i g o n o m é t r i c a se pide el l o g a r i t mo, t u v i e s e segundos, entonces h a y que d i s t i n g u i r dos casos: que e s té e n t r e 3 y 87°, ó que esté e n t r e 0 y 3 ó 87° y 90°.
Si e s t á e n t r e 3 y 87°, se halla el logaritmo,
prescindiendo
de
los segundos, y después se multiplica
la parte proporcional
que se
halla en su columna respectiva
por el número de segundos,
añadiendo ó restando la parte entera de este producto á las últimas
cifras del logaritmo hallado, según que se trate de un seno y tangente
ó de un coseno y cotangente.
Así
o
o
o
o
o
Log.° sen 23°.
Log.° t a n g 59°.
Log.° cot 85°.
Log.° eos 66°.
14'.16"=T,596120;
42'.24" =7,919294;
38'.40"=1_,881762;
52*. 2 " = 1 , 5 9 4 2 4 1 .
Si el arco está entre 0 y 3 , 87° y 90° se reduce á segundos y
se halla el logaritmo vulgar de el número que resulte: á este logaritmo se le agrega el constante 6,685 que encabeza
las
columnas
que están entre las de los senos y tangentes de las tablas,
seguido
de las tres últimas cifras, que en estas columnas, así
encabezadas,
se encuentran
en frente de los minutos del arco.
Así, pedido el l o g a r i t m o seno 2°,20'.16", se reduce todo á s e g u n dos, lo que da 8416": se h a l l a el l o g a r i t m o v u l g a r de 8146, que es
3,925106, y e s t e l o g a r i t m o se s u m a con el a u x i l i a r 6,685455, c u y a s
t r e s ú l t i m a s cifras están enfrente del arco 2 , 2 0 ' , en el lado_de los s e nos: con esto se t e n d r á Log.° sen 2 . 20'. 1 6 " = 3 , 9 2 5 1 0 6 + 6 , 6 8 5 4 5 5 =
2,610561.
o
o
o
o
Del mismo modo Log.° t a n g I . 9'. 14"=3,317077.
Si el arco e s t u v i e s e comprendido e n t r e 87° y 90°, se opera con la
colínea. Así Log.° cot 88°.15',16"=Log.° t a n g 1°.44'.54"=3,317077.
En c u a n t o al l o g a r i t m o de los cosenos de los arcos, e n t r e 0° y 3 ,
o
o
143
disminuyen con t a n t a l e n t i t u d , que b a s t a la inspección de las t a b l a s
para conocer la p a r t e que debe restársele por cada segundo. Así, p e dido el logaritmo coseno 2 .12'.15", se ve que el de 2°.12' es 1,999680,
y el de 2°. 13' es 1,999675, l o q u e dice que por 1' de diferencia en los
arcos, disminuye el log.° coseno en 0,000005, luego por 15", ó sea | de
minuto, d i s m i n u i r á en i X 0 , 0 0 ¡005, ó sea en 0,000001: así log.° eos
2 . 12'. 15"—f,999679.
^
Queda r e s u e l t o el p r i m e r problema en todos los casos.
41. 2.° Dado el logar ¡lino de una línea trigonométrica,
hallar
el arco á que
pertenece.
P a r a resolver e s t a cuestión, se busca en la t a b l a , en las c o l u m nas de l o g a r i t m o s , señalados a r r i b a ó abajo con el nombre de la línea
cuyo l o g a r i t m o se h a dado, primero las t r e s p r i m e r a s cifras, y d e s pués las o t r a s t r e s : si se e n c u e n t r a n las t r e s ú l t i m a s , es decir, si el
logaritmo dado se e n c u e n t r a e n t r e los de la t a b l a , se lee la g r a d u a ción de a r r i b a y m i n u t o s de enfrente al l o g a r i t m o á la i z q u i e r d a , si
el nombre de la línea, cuyo l o g a r i t m o se dá, está a r r i b a ; ó la g r a d u a ción de abajo y m i n u t o s de la derecha, enfrente al l o g a r i t m o , si el
nombre de la línea, cuyo l o g a r i t m o se conoce, e s t á abajo.
o
o
Así, pedido el arco cuyo seno tiene por l o g a r i t m o 1,396150, se b u s caría en las c o l u m n a s s e ñ a l a d a s senos (sea a r r i b a ó abajo) las t r e s
p r i m e r a s cifras decimales 396, y e n c o n t r a d a s , se b u s c a r í a n al lado de
ellas las t r e s ú l t i m a s 150; se vé que efectivamente se e n c u e n t r a en
la t a b l a enfrente de 25', en la c o l u m n a que arriba tiene seno; luego
corresponde á los grados de lo a l t o de la página, y con esto se e s c r i b i r á arco cuyo logaritmo seno es 1,396150=14°. 25'.
Del mismo modo si se sabe q u e log.° t g = 0 , 3 6 3 4 2 8 , se t e n d r á q u e
su arco correspondiente es 66°. 35'.
42. Si el logaritmo dado no se encuentra entre los de la tabla,
precisamente e s t a r á comprendido e n t r e dos contenidos en ella y que
se diferencian en 1': esto indica que el arco correspondiente t i e n e s e gundos, y p a r a encontrarlos se r e q u i e r e la m a r c h a i n v e r v a de la e x plicada p a r a el caso, dado el arco h a l l a r su l o g a r i t m o . Que se r e d u c e
á buscar en la t a b l a el próximo menor, y r e s t a r l o del l o g a r i t m o dado;
hecho esto se divide el resto por la p a r t e proporcional que señala la
t a b l a , y la p a r t e e n t e r a del cociente s e r á n los segundos que se deben
s u m a r ó r e s t a r al a r c o que corresponde al l o g a r i t m o p r ó x i m o m e n o r
de la t a b l a , según que se hable de seno y t a n g e n t e ó de coseno y c o tangente.
Así, pedido c u a l sea el arco cuyo log.° t g = 0 , 3 1 9 7 4 2 , se e n c o n t r a rá que el i n m e d i a t a m e n t e menor es 0,319556 que corresponde á 64°
144
24': y como el dado es m a y o r y se t r a t a de una t a n g e n t e p a r a averig u a r los segundos que deben a ñ a d i r s e á este a r c o , se d i v i d i r á la diferencia 186 e n t r e ambos l o g a r i t m o s (el dado y el de la t a b l a r por 5,40
que es la p a r t e proporcional, y su cociente e n t e r o 34 será el n ú m e r o
de segundos que se busca: así el arco pedido es 64°. 24'. 34".
43. Si el logaritmo más próximo se encuentra en las tres primeras llanas, es decir, que el arco correspondiente es m e n o r q u e 3 y
m a y o r que 87°, hay que e m p l e a r el medio s i g u i e n t e :
o
Supóngase que se pide el arco cuyo l o g a r i t m o seno=2,129606: el
próximo menor es el 2,126471 que cae en las t r e s p r i m e r a s l l a n a s , por
lo que hay que retroceder en el método explicado y emplear el logar i t m o a u x i l i a r ; así se vé que 6,685562 es el que le corresponde; y restándolo del log.° dado, su diferencia 3,444044 e x p r e s a r á el logaritmo
v u l g a r del n ú m e r o de segundos que tiene el a r c o ; por t a n t o , en la t a bla de los n ú m e r o s se busca el n ú m e r o c u y o logaritmo es esta diferencia, que es 2780: estos son los segundos del arco que reducidos á min u t o s y grados dan 0°, 46', 20", que es el arco buscado. Lo mismo se
h a r á p a r a las t a n g e n t e s .
V
Así, pedido el arco cuyo l o g a r i t m o t g = 2 , 5 7 7 9 4 2 , se t e n d r í a 2°,
10', 1".
Si fuera este log.° propuesto de u n a c o t a n g e n t e , se t o m a r í a el
complemento á 1 del logaritmo dado y se o p e r a r í a sobre el complem e n t o dado y la t a n g e n t e .
Así sea el log.° cot «=1,532976: el l o g a r i t m o que h a y q u e s u m a r le p a r a que la s u m a sea cero se halla buscando el complemento á la
p a r t e decimal y restándole 2 unidades, así log.° t g « = 2 , 4 6 7 0 2 4 , de
donde a=l°, 40", 44".
44. N O T A . — S i la línea cuyo l o g a r i t m o se dá fuese el coseno y
perteneciere á un arco menor que 3 , el p r ó x i m o menor de la t a b l a ,
entonces es fácil h a l l a r los segundos que deben r e s t a r s e , pues siendo 7
la mayor diferencia e n t r e dos de estos cosenos, basta dividir 60" por la
diferencia e n t r e el l o g a r i t m o de la t a b l a y el dado, y r e s t a n d o los segundos que r e s u l t e n como cociente del arco á que pertenece el logar i t m o de la t a b l a . P o r ú l t i m o , si el l o g a r i t m o coseno p r ó x i m o menor
fuera de u n arco m a y o r que 87 g r a d o s (lo que se conoce si la c o l u m n a
en que se e n c u e n t r a lleva por abajo coseno) se o p e r a r á sobre el seno,
caso ya e x a m i n a d o , y el arco en que se e n c u e n t r e será el complemento
del buscado.
Así;sise tiene l o g a r i t m o cos=2,686408 se vé que el próximo menor
e s t á en la c o l u m n a que por abajo lleva coseno: se opera, p u e s , como
si se t r a t a r a de su seno y se vé que 4,001004 es el l o g a r i t m o de los s e o
145
gundos del a r c o , complemento del que se busca: este arco complemento tiene 10023" ó 2 47', 3 " .
o
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTILÍNEOS RECTÁNGULOS.
45. P a r a más sencillez de las f ó r m u l a s de resolución de los t r i á n gulos r e c t á n g u l o s , se conviene s e ñ a l a r los á n g u l o s con las l e t r a s m a y ú s c u l a s A, B, C, poniendo la A en el v é r t i c e del á n g u l o recto: el v a lor n u m é r i c o de los lados se señala con las m i n ú s c u l a s a, b, c, iguales
á las del v é r t i c e opuesto.
46. En tocio triángulo
rectángulo,
un cateto cualquiera
es
igual á la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto ó coseno del
comprendido
( F i g . 162),
Sea el t r i á n g u l o ABC, desde uno de los vértices de los ángulos
agudos, el C por ejemplo, se describe con un radio igual 1, el arco MQ,
t r a z a n d o su seno MP que será p a r a l e l o á el lado BA se t e n d r á BA;
M P ; C B " . CM Ó sea; c\ sen C*'. a\ 1, de donde, c—a sen C.
P e r o por ser el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , B < 9 0 ° y C=90°—B, de donde sen C = s e n (90°—B)=cos B, luego s u s t i t u y e n d o será; c=a eos B.
47. En todo triángulo rectángulo, un cateto es igual al otro
multiplicado
por la tangente del ángulo opuesto al primero,
ó cotangente del ángmo agudo
adyacente.
En efecto, si en la construcción a n t e r i o r se t r a z a la QN t a n g e n t e
del arco MQ, correspondiente á el á n g u l o C, se t e n d r á BA*. NQ*. *. CA;
CQ ó sea; c\ t a n g C ; ; b ; 1, de donde, c—b t a n g C.
P e r o de C=90°—B se t i e n e t a n g C—cot B; luego s u s t i t u y e n d o ser á c=b cot B. V /
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
4 8 . En todo triángulo, la relación de dos lados es la
misma
que la de los senos de los ángulos
opuestos.
En efecto, sea el t r i á n g u l o ABC ( F i g . 163 y 164); bajando desde
uno de sus vórtices B, la p e r p e n d i c u l a r BD sobre el lado opuesto, é s t a
caerá dentro ó fuera del t r i á n g u l o según que el á n g u l o A sea a g u d o
ú obtuso.
En el p r i m e r caso se t e n d r á en los t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s ABD y
BDC, que B D = c sen A; B D = c sen C, luego; c sen k—a sen C, de donde
c\ a\; sen C; sen A.
Si desde A se t r a z a la AE, se t e n d r á t a m b i é n A E = c sen B; AE=&
GEOMETRÍA.—19
146
sen C , luego c\ b\\ sen C". sen B. De estas se deduce c\ sen C\\ a\
sen A y c ; sen C * ' . b\ sen B, de donde a', sen A; *. b\ sen B\\ c\ sen C.
49. Si el t r i á n g u l o t u v i e s e un á n g u l o obtuso como ef*BAC (Fig.
164), entonces la perpendicular BD c a e r á fuera y se t e n d r á en los dos
t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s BDC y BDA, que B D = a s e n C y B D = c s e n B A D ;
pero BAD=180—BAC, de donde sen B A C = s e n BAD; luego a senC
= c sen A. Se e s t á en el c a s o ' a n t e r i o r .
50. En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual á la suma de los cuadrados de los otros dos, mas el duplo del producto
de
estos mismos lados por el coseno del ángulo opuesto al
primero.
En efecto, (Fig. 163 y 164) si en c u a l q u i e r a de los t r i á n g u l o s , ya
sea a c u t á n g u l o ú o b t u s á n g u l o , se baja la BD p e r p e n d i c u l a r á u n o de
los lados, se t e n d r á en la (Fig. 163) según (Geom. 101 c o r . )
a =b -\c-—2b. AD y en la ( F i g . 164)
a*=b \c -\-2b.AV.
Pero en el p r i m e r caso en el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o ABD se tiene:
AD=<? eos A; y en el segundo en el BDA, A D = c eos BAD=(21) c X
—eos B A C = — c eos A.
S u s t i t u y e n d o será en uno y otro caso a =& -f-c —2bc eos A. fórm u l a aplicable á los t r e s lados de todo t r i á n g u l o , c u a l q u i e r a que sea
el á n g u l o A.
Así para los lados b y c se t e n d r á b =a -\-c —2ac
eos B y c-—a -\b —2ab eos C.
a
2
os
2
2
2
s
2
%
2
2
2
2
2
EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR MEDIO DE LAS
FÓRMULAS HALLADAS.
EJEMPLOS DE RECTÁNGULOS.
51. A D V E R T E N C I A . — C u a n d o se t r a t e de resolver t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s , debe tenerse p r e s e n t e : L a relación d e m o s t r a d a e n t r e los
valores numéricos de sus lados, conocida por t e o r e m a de P i t á g o r a s , á
saber: a =b -\-c :
y la relación c o n s t a n t e e n t r e sus á n g u l o s , á saber:
A = 9 0 ° B4-C=90°.
52. l.° Dados los dos catetos b y c, hallar la hipotenusa
a y
un ángulo
agudo.
S e g u n l a s fórmulas se t i e n e & = c t a n g B, ó t a n g B = ~ de donde log.
2
2
2
t g . B = l o g . b—log. c.
Determinado B se t i e n e C = 9 0 ° — B . P o r ú l t i m o , la h i p o t e n u s a a
se puede d e t e r m i n a r ya por la relación b—a sen B, ó a=
sen
-, de
R
147
donde log. a = l o g . 6—log. sen B; ya por la conocida a =b -\-c
2
2
2
óa=
Vb -\~c .
2
2
6=400 c=300 .
Se t e n d r á log. t a n g B = l o g . 400—log. 300=0,124939, de donde
B = 5 3 ° . 7'. 48", 3: luego C = 3 6 ° . 52'. 11", 7. T a m b i é n log. a = l o g . 400—
log. sen 53°. 7'. 48", 3=2,698970, de donde ¿ ? = 5 0 0 .
53. 2.° Dada la hipotenusa a y un ángulo B, determinar
los
catetos b y c, y el otro ángulo agudo C.
Primeramente C=90°—B.
De la fórmula b=a sen B, se deduce l o g . 6 = l o g . ° a-\- log.
sen B.
Respecto al cateto c, se hallará por la expresión c = « s e n C , si
se q u i e r e hacer uso del á n g u l o C, ó por la fórmula c=a eos B, si se
quiere h a c e r solo uso del ángulo dado.
A P L I C A C I Ó N a = 7 4 6 ,5; B=52°. 9 ' . 10": i n m e d i a t a m e n t e C = 3 7 ° .
50'. 50": log. 6 = l o g . ° 746,54-log.° sen 52°. 9". 10"=2,770464: de
donde 6=589*» ,0.
Haciendo u s o del ángulo d a d o , se t i e n e log. <?=log.° 746,5-f~
log.° eos 52°. 9'. 10"=2,660886: de donde c = 4 5 8 , 0 .
54. 3.° Dada la hipotenusa a. y un cateto b, determinar
el c y
los dos ángulos agudos C y B.
P a r a el c a t e t o c, se t i e n e por la fórmula de P i t á g o r a s c=
APLICACIÓN
m
m
m
0
0
m
0
0
m
V
a ~b .
Respecto del á n g u l o B, se tiene de b—a sen B; log. sen B = l o g . ° 6
— l o g . a.
Una vez d e t e r m i n a d o B, se conoce el á n g u l o C.
A P L I C A C I Ó N . — S i a = 1 5 0 o y 6 = 9 3 0 , se tiene: log. sen B = l o g . °
930—log. 1500=1,792392; de donde B = 3 8 ° . 18'. 58", y de, aquí C =
51°. 4 1 ' . 2 " .
2
2
0
0
En c u a n t o á c=Kl500 —930 = 6 2 1 .
2
4.°
al 2.°
2
El caso de dado un cateto
m
y un ángulo agudo,
es
análogo
-VN
EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
55. Dados un lado a y dos ángulos B y C.
El t e r c e r á n g u l o A e s t a r á dado i n m e d i a t a m e n t e , pues será el s u plemento de los otros dos: así A=180—(B-fC).
Determinados los á n g u l o s , los lados incógnitos se d e t e r m i n a r á n
148
por la relación que existe e n t r e los lados de u n t r i á n g u l o (50) y los
c
son C
senos de los ángulos opuestos. Así, p a r a el lado c se t i e n e — = — — ,
a sen A
de donde c~
^ , ó t o m a n d o l o g . será; log. c = l o g . # + log.
SGI1 A.
sen C—log. sen A, y p a r a el b, — =
- , de donde b=
, o toa
sen A
sen A
mando l o g . log. &=log. a-\-\og. sen B—log. sen A.
A P L I C A C I Ó N N U M É R I C A . « = 3 5 6 , 7 ; B = 5 7 ° . 14". 22",2; C = 7 9 ° . 2 3 ' .
6", 9; i n m e d i a t a m e n t e se deduce que A = 1 8 0 ° — ( B + C ) = 4 3 ° . 22'.
30", 8.
Respecto á los lados, se tiene log. <?=log. 3 5 6 , 7 + l o g . sen (79°.
23'. 6", 9)—log. sen (43°. 22'. 30"8)=2,707993; de donde c = 5 1 0 , 5 .
P a r a b, se tiene log. 6 = l o g . 3 5 6 , 7 + l o g . sen (57°. 14'. 22",3)—log.
sen (43°. 22'. 30",8)=2,640254; de donde 5 = 4 3 6 , 8 .
56. Dados los tres lados a, b y c, calcular los tres
ángulos.
Sean los ángulos A, B y C. P a r a d e t e r m i n a r A, se h a r á uso de la
formula conocida (32), que se verifica en todo t r i á n g u l o , así: Í Í = & ' +
c —2bc eos A, de donde eos A =
-.
2bc
Lo mismo se c a l c u l a r í a n los otros dos á n g u l o s .
a
S 6 n
05
os
m
m
2
l
3
Fin de las Nociones de Trigonometría Rectilínea.
2
SÁMJURJ9. Compendio ile Cenmeiim.
L A M
¡
3 .